高一上学期期末考试 函数的概念与性质 分类汇编
一．选择题（共23小题）
【题1】某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100C ?，水温(C)y ?与时间()t min 近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温
温度(C)y ?与时间()t min 近似满足函数的关系式为
10
180()(2
t a y b a -=+，b 为常数）
，通常这种热饮在40C ?时，口感最佳．某天室温为20C ?时，冲泡热饮的部分数据如图所示．那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为( )
A ．35min
B ．30min
C ．25min
D ．20min
【题2】下列函数为奇函数，且在(,0)-∞上单调递减的是( ) A ．2()f x x -= B ．1()f x x -=
C ．2()log f x x =
D ．()3x f x =
【题3】下列函数中，值域是(0,)+∞的是( ) A ．2y x = B ．2
1
1
y x =
+ C ．2x y =- D ．(1)(0)y lg x x =+>
【题4】下列函数中，既是偶函数，又在区间(,0)-∞上为减函数的为( ) A ．1y x
= B ．cos y x =
C ．2x y -=
D ．||1y x =+
【题5】下列函数中，既是奇函数又在(0,)+∞上是增函数的是( ) A ．()2x f x -= B ．3()f x x =
C ．()f x lgx =
D ．()sin f x x =
【题6】已知函数：①2()4f x x x =-：②1
()()5x f x =：③12()log f x x =；④3()f x x =，其中在区间
(0,)+∞上是增函数的为( )
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
【题7】已知幂函数()y f x =的图象经过点1
(2,)4
，则此幂函数的解析式为( )
A ．2()f x x -=
B ．2()f x x =
C ．()2x f x =
D ．()2x f x -=
【题8】函数()([y f x x π=∈-，])π的图象如图所示，那么不等式()cos 0f x x g …的解集为( ) A ．[,]22
ππ
- B ．[,][02ππ--U ，]
2
π
C ．[2
π
-，]π
D ．{}[02π-U ，]2
π
【题9】地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为 4.8 1.5lgE M =+．已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为1E 和2E ，则1
2
E E 的值所在的区间为( ) A ．(1,2) B ．(5,6) C ．(7,8) D ．(15,16)
【题10】在同一直角坐标系中，2x y =与2log ()y x =-的图象可能是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【题11】数学老师给出一个定义在R 上的函数()f x ，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条性质：
甲：在(-∞，0]上函数单调递减；乙：在[0，)+∞上函数单调递增； 丙：函数()f x 的图象关于直线1x =对称；丁：(0)f 不是函数的最小值．
老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确，那么，你认为说法错误的同学是( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁
【题12】若函数()y f x =的定义域为{|23x x -剟，且2}x ≠，值域为{|12y y -剟，且0}y ≠，则()y f x =的图象可能是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【题13】函数||1
()2
x y =的图象是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【题14】已知函数2,0()3,0x log x x f x x >?=??…，则1
(())4f f 的值是( )
A ．1
9
-
B ．9-
C ．19
D ．9
【题15】下列函数在区间(0,)+∞内单调递减的是( ) A ．3y x = B ．11
y x =
- C ．2
1log y x
= D ．tan y x =-
【题16】若函数6(3)3,7
(),7x a x x f x a x ---?=?>?…单调递增，则实数a 的取值范围是( )
A ．9
(4
，3)
B ．9
[4
，3)
C ．(1,3)
D ．(2,3)
【题17】2003年至2015年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，下列函数模型中，最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是(
)
A ．2()f x ax bx c =++
B ．()x f x ae b =+
C ．()ax b f x e +=
D ．()f x alnx b =+
【题18】函数1
()1
f x lgx =-的定义域为( ) A ．(0,)+∞ B ．(0，1)(1?，)+∞
C ．(1,)+∞
D ．(0，10)(10?，)+∞
【题19】已知函数2(0)()3(0)
x log x x f x x >?=??…，那么1
[()]4f f 的值为( )
A ．9
B ．1
9
C ．9-
D ．19
-
【题20】已知(21)4,1()log ,1
a a x a x f x x x -+?=?
>?…是(,)-∞+∞上的减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．1
(0,)2
C ．11(,)62
D ．11[,)62
【题21】已知函数1,1
(),1x e x f x lnx x ?-=?>?
…，那么(2)f ln 的值是( )
A ．0
B ．1
C ．(2)ln ln
D ．2
【题22】函数2()2(1)2f x ax a x =+-+在区间(-∞，4]上为减函数，则a 的取值范围为( ) A ．1
05
a <… B ．1
05
a
剟 C ．105
a <<
D ．15
a >
【题23】已知函数21,0
()2,0x x f x x x ?+=?->?
…，若()5f x =，则x 的值是( )
A ．2-
B ．2或5
2
-
C ．2或2-
D ．2或2-或5
2
-
二、填空题（共14小题）
【题24】已知函数()f x 满足下列性质： ()i 定义域为R ，值域为[1，)+∞； ()ii 在区间(,0)-∞上是减函数；
（ⅲ）图象关于2x =对称．
函数概念与表示 一．要点精讲 1．函数的概念： 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。 注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； （2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x。 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 （1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式： ①自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）； ②限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误； ③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。 （2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。 ①配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等式法（运用不等式的各种性质）；④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）。 3．两个函数的相等： 函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。 4．区间 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间； （3）区间的数轴表示。 5．映射的概念 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A→B”。 函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射。 注意：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f 表示具体的对应法则，可以用汉字叙述。 （2）“都有唯一”什么意思？ 包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。 6．常用的函数表示法 （1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式； （2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
第二章 函 数 §2.1 函 数 2.1.1 函 数 第1课时 变量与函数的概念 一、基础过关 1．下列对应：①M＝R ，N ＝N ＋，对应法则f ：“对集合M 中的元素，取绝对值与N 中的元素对应”； ②M＝{1，－1,2，－2}，N ＝{1,4}，对应法则f ：x→y＝x 2，x∈M，y∈N； ③M＝{三角形}，N ＝{x|x>0}，对应法则f ：“对M 中的三角形求面积与N 中元素对应”． 是集合M 到集合N 上的函数的有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个 2．下列各组函数中，表示同一个函数的是 ( ) A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1 B ．y ＝x 0和y ＝1 C ．f(x)＝x 2和g(x)＝(x ＋1)2 D ．f(x)＝x 2 x 和g(x)＝x x 2 3．函数y ＝1－x ＋x 的定义域为 ( ) A ．{x|x≤1} B ．{x|x≥0} C ．{x|x≥1或x≤0} D ．{x|0≤x≤1} 4．函数y ＝x ＋1的值域为 ( ) A ．[－1，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0] D ．(－∞，－1] 5．已知函数f(x)＝2x －3，x∈{x∈N |1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为________________． 6．若A ＝{x|y ＝x ＋1}，B ＝{y|y ＝x 2＋1}，则A∩B＝__________. 7．判断下列对应是否为集合A 到集合B 的函数． (1)A ＝R ，B ＝{x|x>0}，f ：x→y＝|x|； (2)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x→y＝x 2； (3)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x→y＝x ； (4)A ＝{x|－1≤x≤1}，B ＝{0}，f ：x→y＝0. 8．求下列函数的定义域：(1)y ＝－12x 2＋1； (2)y ＝x －2x 2－4； (3)y ＝1 x ＋|x| ； (4)y ＝x －1＋4－x ＋2； (5)y ＝4－x 2 ＋1|x|－3； (6)y ＝ax －3(a 为常数)． 二、能力提升 9．设集合M ＝{x|0≤x≤2}，N ＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有 ( ) A ．①②③④ B ．①②③ C ．②③ D ．② 10．下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是 ( ) A ．f(x)＝|x| B ．f(x)＝x －|x| C ．f(x)＝x ＋1 D ．f(x)＝－x 11．若函数f(x)的定义域是[0,1]，则函数f(2x)＋f(x ＋2 3)的定义域为________． 12．已知函数f(x ＋ 1)的定义域为[－2, 3]，求f(2x 2－2)的定义域． 三、探究与拓展 13．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m ，渠深为1.8 m ，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑) (1)试将横断面中水的面积A(m 2)表示成水深h(m)的函数； (2)确定函数的定义域和值域； (3)画出函数的图象．
角的概念、定义 一、知识清单 1. 终边相同的角 ①与α（0°≤α<360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）: {} Z k k ∈+?=,360 |αββο ; ②终边在x 轴上的角的集合:{}Z k k ∈?=,180|οββ; ③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,90180|οοββ; ④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈?=,90|οββ. 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零, 熟记特殊角的弧度制. 3.弧度制下的公式 扇形弧长公式r =l α，扇形面积公式211 ||22 S R R α==l ，其中α为弧所对圆心 角的弧度数。 4.三角函数定义: 利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数.在α终边上任取一点(,)P x y （与原点不重合），记22||r OP x y ==+， 则sin y r α=，cos x r α=，tan y x α=，cot x y α=。 注: ⑴三角函数值只与角α的终边的位置有关，由角α的大小唯一确定,∴三角函数是以角为自变量,以比值为函数值的函数. ⑵根据三角函数定义可以推出一些三角公式: ①诱导公式：即 2 k π αα±→或902k αα±→o 之间函数值关系()k Z ∈，其规律是“奇变偶不变，符号看象限” ；如sin(270)α-=o cos α- ②同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商数关系. ⑶重视用定义解题.
1.2.1 函数的概念（第一课时） 课 型：新授课 教学目标： （1）通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用； （2）了解构成函数的三要素； （3）能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。 教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。 教学难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。 教学过程： 一、问题链接： 1． 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？ 2．回顾初中函数的定义： 在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量。 表示方法有：解析法、列表法、图象法. 二、合作探究展示： 探究一：函数的概念： 思考1：（课本P 15）给出三个实例： A ．一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h （米） 与时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-。 B ．近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空 臭氧层空洞面积的变化情况。（见课本P 15图） C ．国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的 高低。“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表。（见课本P 16表） 讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着 怎样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？ 归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为：对于数集A 中的每一个x ，按照某种对 应关系f ，在数集B 中都与唯一确定的y 和它对应，记作： :f A B → 函数的定义： 设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作： (),y f x x A =∈ 其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）。显然，值域是集合B 的子集。 注意： ① “y =f (x )”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y =g (x )”； ②函数符号“y =f (x )”中的f (x )表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x ． 思考2：构成函数的三要素是什么？ 答：定义域、对应关系和值域 小试牛刀．1下列四个图象中，不是函数图象的是（ B ）.