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算法设计与分析大作业班级：物联网1401学号：姓名：zk江南大学物联网工程学院一、多项式分治1.1算法简介分治字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。
因为多项式的表示是Pn(x)= a n x n＋a n-1x n-1＋…＋a1x＋a0任意大整数都可以看作是一多项式（其中X=10，a n是第n+1位上的数字，个位用a0表示）。
如：9876=6+7*101+8*102+9*103所以大整数相乘可以用多项式乘积的分治算法实现，实际上大整数相乘就是多项式乘积的一个特例。
把一个多项式分为两个P (x)= P0(x)+ P1(x)x n/2 q(x)=q0(x)+q1(x)x n/2P(x)*q(x)=P0(x)*q0(x)+P1(x)*P1(x)*x n+((P0(x)+ P1(x))*( q0(x)+q1(x))- P0 * q0– P1* q1)* x n/2令：R0= P0(x)*q0(x) R1= P1(x)*q1(x) R2= P0(x)+ P1(x))*( q0(x)+q1(x))- P0 * q0– P1* q1于是上式可化简为P(x)*q(x)= R0 +（R2- R0- R1）* x n/2+ R1*x n由于多项式乘法时间远多于加法时间，所以多项式乘积分治算法对比较大的n将有很大的改进。
1.2调试过程①在调试过程中poly_product()函数出错，单步调试发现图1poly_product()错误部分第16,17行出错，多项式阶数相同系数相加，所以讲r2+k改为r2或17,18行r3改为r3+k 即可。
②多项式的输入只能是2的倍数。
1.3运行结果图2多项式分治算法运行结果二、背包问题2.1算法简介背包是基于这样的问题，即有N件物品和一个容量为V的背包，第i件物品的重量是w[i]，价值是v[i]。
图论是离散数学的一个分支，研究图的性质和图上的问题。
图是由结点和边组成的一种抽象数据结构，可以用来描述现实世界中的各种关系和连接。
本文将介绍一些图的基本概念和算法。
在图中，结点表示实体，边表示结点之间的关系。
一张图可以用G=(V, E)表示，其中V为结点的集合，E为边的集合。
边可以有方向（有向图）或没有方向（无向图），也可以有权重（带权图）或没有权重（不带权图）。
图的基本概念中，最常见的是路径和回路。
路径是图中的一条边的序列，每个边连接两个结点。
回路是一条路径，起点和终点相同。
如果一条路径中没有重复的结点，那么它就是一条简单路径。
连接结点之间的路径可以通过深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）来寻找。
DFS以栈为数据结构，先找到一个结点，然后再找它的邻居结点，如此往复，直到找到目标结点或者所有结点都被访问过。
BFS以队列为数据结构，先找到一个结点，然后找它的所有邻居结点，如此往复，直到找到目标结点或者所有结点都被访问过。
除了DFS和BFS，图中还有其他一些重要的算法和问题。
最短路径算法是用来找到两个结点之间最短路径的算法，其中最著名的是狄克斯特拉算法和弗洛伊德算法。
狄克斯特拉算法适用于没有负权边的图，通过不断更新起点到每个结点的最短距离来寻找最短路径。
弗洛伊德算法适用于任意有向图，通过不断更新任意两个结点之间的最短距离来寻找最短路径。
最小生成树算法是用来找到一个无环且连通的子图，该子图包含所有结点并且边的权重之和最小的算法。
其中最著名的是普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。
普里姆算法从一个起始结点出发，每次选择与该结点最近的未访问结点，直到所有结点都被访问过。
克鲁斯卡尔算法一开始将每个结点都看作一个独立的树，然后每次选择权重最小的边，如果该边连接的两个结点不在同一棵树中，就将它们合并为一棵树。
图的基本概念和算法在离散数学中起到了至关重要的作用。
图论不仅仅可以用于计算机科学领域，还可以应用到物流规划、社交网络分析、电路设计等各个领域。
考研数据结构图的必背算法及知识点Prepared on 22 November 20201.最小生成树：无向连通图的所有生成树中有一棵边的权值总和最小的生成树问题背景：假设要在n个城市之间建立通信联络网，则连通n个城市只需要n—1条线路。
这时，自然会考虑这样一个问题，如何在最节省经费的前提下建立这个通信网。
在每两个城市之间都可以设置一条线路，相应地都要付出一定的经济代价。
n个城市之间，最多可能设置n(n-1)/2条线路，那么，如何在这些可能的线路中选择n-1条，以使总的耗费最少呢分析问题（建立模型）：可以用连通网来表示n个城市以及n个城市间可能设置的通信线路，其中网的顶点表示城市，边表示两城市之间的线路，赋于边的权值表示相应的代价。
对于n个顶点的连通网可以建立许多不同的生成树，每一棵生成树都可以是一个通信网。
即无向连通图的生成树不是唯一的。
连通图的一次遍历所经过的边的集合及图中所有顶点的集合就构成了该图的一棵生成树，对连通图的不同遍历，就可能得到不同的生成树。
图G5无向连通图的生成树为(a)、(b)和(c)图所示：G5G5的三棵生成树：可以证明，对于有n个顶点的无向连通图，无论其生成树的形态如何，所有生成树中都有且仅有n－1条边。
最小生成树的定义：如果无向连通图是一个网，那么，它的所有生成树中必有一棵边的权值总和最小的生成树，我们称这棵生成树为最小生成树，简称为最小生成树。
最小生成树的性质：假设N=(V,{E})是个连通网，U是顶点集合V的一个非空子集，若（u,v）是个一条具有最小权值(代价)的边，其中，则必存在一棵包含边（u,v）的最小生成树。
解决方案：两种常用的构造最小生成树的算法：普里姆（Prim）和克鲁斯卡尔（Kruskal）。
他们都利用了最小生成树的性质1.普里姆（Prim）算法：有线到点，适合边稠密。
时间复杂度O(N^2)假设G＝（V，E）为连通图，其中V为网图中所有顶点的集合，E为网图中所有带权边的集合。
生成树的树形结构生成树是一种用于解决图论问题的重要算法。
它通过选择一些边来连通图中的所有节点，形成一棵树，这棵树称为生成树。
在生成树中，每个节点都能被到达且没有环，它们之间的边权和最小。
生成树算法可以分为两类：普通算法和快速算法。
普通算法比较简单，但是时间复杂度较高，适用于边数比较少的图。
快速算法则通常适用于边数较多的图，能够快速找到最小生成树。
一般地，生成树算法都可以用来解决最小生成树问题，也可以用来解决其他的问题。
下面就介绍一下生成树算法的几个常见应用。
一、最小生成树最小生成树问题是一类十分重要的图论问题。
它的目标是找到一棵包含图中所有节点的树，并且这棵树的边权和最小。
最小生成树问题可以通过生成树算法来解决。
最小生成树算法包括普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。
普里姆算法从一个节点开始，逐渐加入节点，形成一棵生成树。
克鲁斯卡尔算法则是选择所有无环的边，形成一棵生成树。
二、连通性问题在某些应用中，需要判断一个图是否连通，即是否存在一条路径可以从图中的任意节点到达任意节点。
对于这类问题，也可以使用生成树算法来解决。
连通性问题的解决方式是构建一棵生成树，如果生成树中包含了所有的节点，则原来的图是连通的。
如果生成树中没有包含所有的节点，则说明原来的图不连通。
三、最短路问题最短路问题是指在一个加权有向图中，寻找一条从起点到终点的路径，使得路径上经过的所有边权值之和最小。
最短路问题可以使用生成树算法来解决。
最短路问题的解决方式是使用迪杰斯特拉算法或贝尔曼-福德算法，构建一棵生成树，找到从起点到终点的最短路径。
总体来看，生成树算法是图论中十分重要的算法之一，不仅包含了最小生成树问题，还可以用来解决连通性问题和最短路问题等多个问题。
测绘技术中常见的地图配准算法介绍地图配准是测绘技术中的一个重要环节，它的主要目的是将多幅地图或者地理数据进行对应，使得它们在同一基准下具备一致性。
在实际的测绘应用中，地图配准算法能够帮助我们更加准确地理解和分析地理现象，为精确测绘和地理信息系统等应用提供支持。
本文将介绍一些常见的地图配准算法，以及它们的原理和应用。
一. 特征点匹配算法特征点匹配算法是地图配准中常用的一种方法。
该算法通过提取地图上的关键特征点，比如角点或者边缘点，然后在不同地图上寻找相应的特征点进行匹配。
在特征点匹配中，常用的算法包括克鲁斯卡尔算法、归一化互相关算法和改进的归一化互相关算法等。
克鲁斯卡尔算法是一种最小生成树的算法，它的主要思想是通过连接权值最小的边逐步构建最小生成树。
在地图配准中，我们可以将特征点作为节点，它们之间的相似度作为边的权值，然后使用克鲁斯卡尔算法寻找最佳的匹配组合。
归一化互相关算法是一种基于互相关的特征点匹配方法。
它通过计算两个特征点周围区域内的互相关系数来判断它们的相似度。
在进行配准时，我们可以选取特定阈值来筛选出相似度较高的特征点对，从而得到最佳的匹配结果。
改进的归一化互相关算法是针对传统归一化互相关算法的一种改进。
它在计算互相关系数时引入了自适应窗口大小和自适应核函数，从而提高了特征点匹配的准确性和鲁棒性。
改进的归一化互相关算法在地图配准和图像配准中都有广泛的应用。
二. 尺度不变特征变换算法尺度不变特征变换（Scale-Invariant Feature Transform，简称SIFT）算法是一种经典的特征点匹配算法，它在地图配准中也有较为广泛的应用。
SIFT算法通过分析图像的局部特征，如边缘和角点等，并在不同图像中寻找相应的特征点进行匹配。
SIFT算法的主要步骤包括尺度空间极值检测、关键点定位、方向分配、描述子生成和特征点匹配等。
在进行地图配准时，我们可以提取地图上的SIFT特征点，并在不同地图中进行匹配，从而得到两幅地图之间的对应关系。
生成树算法的三个步骤生成树是图论中的重要概念，它描述了一个连通图的一个子图，该子图包含了图中的所有顶点，并且是无环的。
生成树算法是用来找到一个连通图的生成树的一种方法。
本文将介绍生成树算法的三个步骤：图的遍历、边的选择和生成树的构建。
一、图的遍历图的遍历是生成树算法的第一步，它的目的是将图中的所有顶点访问一遍。
常用的图的遍历算法有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。
深度优先搜索是通过递归的方式进行遍历，从某个顶点开始，先访问它的一个邻接顶点，然后再递归地访问该邻接顶点的邻接顶点，直到所有顶点都被访问过。
广度优先搜索是通过队列的方式进行遍历，从某个顶点开始，先访问它的所有邻接顶点，然后再依次访问这些邻接顶点的邻接顶点，直到所有顶点都被访问过。
二、边的选择边的选择是生成树算法的第二步，它的目的是选择一些边，使得这些边构成一个连通图的生成树。
常用的边的选择算法有最小生成树算法和最大生成树算法。
最小生成树算法的目标是选择一些边，使得这些边的权值之和最小。
常用的最小生成树算法有普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。
普里姆算法是从一个顶点开始，每次选择一条最小权值的边，将该边连接的顶点加入到生成树中，直到所有顶点都被加入到生成树中。
克鲁斯卡尔算法是先将所有边按照权值从小到大排序，然后依次选择权值最小的边，如果这条边连接的两个顶点不在同一个连通分量中，则将这条边加入到生成树中。
最大生成树算法的目标是选择一些边，使得这些边的权值之和最大。
常用的最大生成树算法有逆克鲁斯卡尔算法和逆普里姆算法。
逆克鲁斯卡尔算法和逆普里姆算法的原理与克鲁斯卡尔算法和普里姆算法相反。
三、生成树的构建生成树的构建是生成树算法的第三步，它的目的是根据选择的边构建一个生成树。
生成树可以用邻接矩阵或邻接表来表示。
邻接矩阵是一个二维数组，其中的元素表示两个顶点之间是否有边。
邻接表是一种链表的数据结构，其中的每个节点表示一个顶点，节点的值表示该顶点的邻接顶点。
计算机领域常用算法列表在计算机科学领域，算法是解决问题的基础工具。
各种算法的应用领域广泛，包括数据处理、搜索、排序、图形处理、机器学习等。
本文将介绍计算机领域常用的一些算法，以帮助读者了解和熟悉这些算法的基本原理和应用。
一、搜索算法1. 顺序搜索算法顺序搜索算法是最简单的搜索算法之一，其基本思想是按顺序逐个比较目标元素和列表中的元素，直到找到匹配项或搜索完整个列表。
顺序搜索算法适用于未排序的列表。
2. 二分搜索算法二分搜索算法也称为折半搜索算法，适用于已排序的列表。
其基本思想是将列表从中间切分，然后将目标元素与中间元素进行比较，根据比较结果缩小搜索范围，以达到快速搜索的目的。
3. 广度优先搜索算法广度优先搜索算法是一种图遍历算法，用于搜索图或树的结构。
它从起始节点开始，按照广度优先的方式依次访问与当前节点相邻的节点，直到找到目标节点或访问完整个图。
二、排序算法1. 冒泡排序算法冒泡排序算法是一种简单且常用的排序算法。
它通过不断比较相邻的元素并交换位置，将最大或最小的元素逐步“冒泡”到正确的位置，直到整个列表有序。
2. 快速排序算法快速排序算法是一种高效的排序算法。
它通过选择一个基准元素，将列表划分为两个子列表，其中一个子列表的元素都小于基准元素，另一个子列表的元素都大于基准元素。
然后对子列表递归地应用快速排序算法，最终得到有序列表。
3. 归并排序算法归并排序算法是一种稳定的排序算法。
它将列表划分为多个子列表，然后逐个合并子列表，直到得到完全排序的列表。
归并排序算法的核心思想是分治法，将大问题拆分为小问题并解决。
三、图算法1. 最短路径算法最短路径算法用于求解两个节点之间的最短路径。
著名的最短路径算法有迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。
迪杰斯特拉算法适用于单源最短路径问题，而弗洛伊德算法适用于所有节点对之间的最短路径问题。
2. 最小生成树算法最小生成树算法用于求解连通图的最小生成树。
其中，普里姆算法和克鲁斯卡尔算法是两种常用的最小生成树算法。
榆林学院12届课程设计《最小生成树问题》课程设计说明书学生姓名：赵佳学号：1412210112院系：信息工程学院专业：计算机科学与技术班级：计14本1指导教师：答辩时间：年月日最小生成树问题一、问题陈述最小生成树问题设计要求：在n个城市之间建设网络，只需保证连通即可，求最经济的架设方法。
存储结构采用多种。
求解算法多种。
二、需求分析1.在n个城市之间建设网络，只需保证连通即可。
2.求城市之间最经济的架设方法。
3.采用多种存储结构，求解算法也采用多种。
三、概要设计1、功能模块图2、功能描述（1)CreateUDG()创建一个图：通过给用户信息提示，让用户将城市信息及城市之间的联系关系和连接权值写入程序，并根据写入的数据创建成一个图。
（2)Switch()功能选择：给用户提示信息，让用户选择相应功能。
（3)Adjacency_Matrix()建立邻接矩阵：将用户输入的数据整理成邻接矩阵并显现在屏幕上。
（4)Adjacency_List()建立邻接表：将用户输入的数据整理成临接表并显现在屏幕上。
（5)MiniSpanTree_KRSL()kruskal算法：利用kruskal算法求出图的最小生成树，即：城市之间最经济的连接方案。
（6)MiniSpanTree_PRIM()PRIM算法：利用PRIM算法求出图的最小生成树，即：城市之间最经济的连接方案。
四、详细设计本次课程设计采用两种存储结构以及两种求解算法。
1、两种存储结构的存储定义如下：typedef struct Arcell{double adj;}Arcell,AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];typedef struct{char vexs[MAX_VERTEX_NUM]; //节点数组AdjMatrix arcs; //邻接矩阵int vexnum,arcnum; //图的当前节点数和弧数}MGraph;typedef struct Pnode //用于普利姆算法{ char adjvex; //节点double lowcost; //权值}Pnode,Closedge[MAX_VERTEX_NUM];//记录顶点集U到V-U的代价最小的边的辅助数组定义typedef struct Knode//用于克鲁斯卡尔算法中存储一条边及其对应的2个节点{char ch1; //节点1char ch2; //节点2double value;//权值}Knode,Dgevalue[MAX_VERTEX_NUM];2、求解算法采用Prim算法和Kruskal算法。
最短路径求最值12个模型详解最短路径求最值是指要在最小的距离内求出最优的结果。
最短路径求最值的12个模型如下：1. 旅行商问题（TSP）：旅行商问题是求解对给定城市进行最佳巡回路径的一种最优化问题。
2. 最大流最小割：最大流最小割是一种最优化问题，它是用最小的割点将一个连通图分割成两部分，使得最大的流量在这两部分之间流动的最优化问题。
3. 关键路径算法：关键路径算法是一种运用于解决项目计划问题的最优化算法，它寻找出在所有可能路径中，最短的项目路径作为最终的项目安排。
4. 迪杰斯特拉算法：迪杰斯特拉算法是一种最短路径搜索算法，它通过控制向图中每个点的距离，来求出从指定点出发到达目的地最短的距离。
5. 弗洛伊德算法：弗洛伊德算法是一种求解最短路径的算法，通过使用动态规划的方法，它可以在网络中快速求出最短路径。
6. 贝尔曼-福德算法：贝尔曼-福德算法是一种求解最短路径的算法，它利用宽度优先和深度优先搜索结合的方法，求出网络中任意两点之间的最短路径。
7. 克鲁斯卡尔算法：克鲁斯卡尔算法是一种解决最短路径问题的算法，它通过比较每条边的权值来求解8.斐波那契堆：斐波那契堆是一种运用斐波那契算法实现最小堆和最大堆结构的数据结构，可以帮助快速查找最大和最小值。
9. A*算法：A*算法是一种运用heuristics函数的最优化搜索算法，它可以快速的找到最短的路径。
10. Dijkstra–Scholten算法：Dijkstra–Scholten算法是一种在复杂网络环境中求解最短路径的算法，它采用端到端的方法求出最适合的路径。
11. Bellman-Ford算法：Bellman-Ford算法是一种最短路径算法，它将路径最优化的目标写成一个系统的线性方程，并利用动态规划技术解决这类问题。
12. Johnson算法：Johnson算法是一种运用反向算法实现最短路径搜索的方法，它由索引器和搜索器两部分组成，索引器会根据输入的起点和终点，快速计算出最短路径并输出。
详解图的应用（最小生成树、拓扑排序、关键路径、最短路径）1.最小生成树：无向连通图的所有生成树中有一棵边的权值总和最小的生成树1.1 问题背景：假设要在n个城市之间建立通信联络网，则连通n个城市只需要n—1条线路。
这时，自然会考虑这样一个问题，如何在最节省经费的前提下建立这个通信网。
在每两个城市之间都可以设置一条线路，相应地都要付出一定的经济代价。
n个城市之间，最多可能设置n(n-1)/2条线路，那么，如何在这些可能的线路中选择n-1条，以使总的耗费最少呢?1.2 分析问题（建立模型）：可以用连通网来表示n个城市以及n个城市间可能设置的通信线路，其中网的顶点表示城市，边表示两城市之间的线路，赋于边的权值表示相应的代价。
对于n个顶点的连通网可以建立许多不同的生成树，每一棵生成树都可以是一个通信网。
即无向连通图的生成树不是唯一的。
连通图的一次遍历所经过的边的集合及图中所有顶点的集合就构成了该图的一棵生成树，对连通图的不同遍历，就可能得到不同的生成树。
图G5无向连通图的生成树为(a)、(b)和(c)图所示：G5G5的三棵生成树：可以证明，对于有n 个顶点的无向连通图，无论其生成树的形态如何，所有生成树中都有且仅有n－1 条边。
1.3最小生成树的定义：如果无向连通图是一个网，那么，它的所有生成树中必有一棵边的权值总和最小的生成树，我们称这棵生成树为最小生成树，简称为最小生成树。
最小生成树的性质：假设N=(V,{ E}) 是个连通网，U是顶点集合V的一个非空子集，若（u,v）是个一条具有最小权值(代价)的边，其中，则必存在一棵包含边（u,v）的最小生成树。
1.4 解决方案：两种常用的构造最小生成树的算法：普里姆（Prim）和克鲁斯卡尔（Kruskal）。
他们都利用了最小生成树的性质1.普里姆（Prim）算法：有线到点，适合边稠密。
时间复杂度O(N^2)假设G＝（V，E）为连通图，其中V 为网图中所有顶点的集合，E 为网图中所有带权边的集合。
说说最小生成树（MinimumSpanningTree）minimum spanning tree(MST)转自：/gsky1986/article/details/45149931 最小生成树是连通无向带权图的一个子图，要求能够连接图中的所有顶点、无环、路径的权重和为所有路径中最小的.graph-cut对图的一个切割或者叫切断，会使图分离成为两个不相连的顶点集.它基于树的两个基本属性：为树的任意两个节点间添加一条边，会在树中形成一个环.删去树中的一条边，会将原树分离成两棵不相连的树.crossing edge有了切断的概念，很容易就会问到，被切开的那些边是什么？切断造成了两个不相连的顶点集，而切断的操作施加在这些边上，那么这些边本身就横跨了两个顶点集.prim’s algorithm最常用的一种求MST的算法是普利姆算法它是一种贪心算法.它搜索的方向是从某一个顶点开始，对所有邻接的边进行考察，然后将最轻的边（权重最小的边）加入MST.决定它下一步搜索方向的，是最轻边的另一端的顶点，从这个顶点开始，它重复上一步，直到所有的顶点访问完毕.由于普利姆算法每次都贪心地找当前看来最轻的边，它不会综合考量全局，所以它是一种贪心算法.由于它从最轻边的另一个端点继续它的搜索之旅，所以每一步求出的在MST中的边都会自然地连成一颗树，直到最后长大为MST. PriorityQueue在普利姆算法中，一个重要的操作是挑选最轻边，所以一个优先队列可以对这个操作进行优化支持.优先队列通常基于堆来实现，比如二叉堆.它可以给我们对数级的时间返回队头元素，而这个队头元素具有最高的优先级.如果我们规定越轻的边的优先级越高，那么一个小根堆实现的升序优先队列就可以用在普利姆算法中.lazy prim普利姆算法在找到一条最轻边（v,w）后，这条边就不应该在以后的搜索中成为一个备选，同时点w也被加入了MST，那么优先队列中所有还未访问的但和点w连着的那些边都成了废弃边，它们不应该被再次考察.那么如何处理这种不再备选的边？我们可以删除这些边，但是删除这条边后，边的另一端顶点还没有访问，我们的删除操作会波及那些还没有访问的顶点.那么，一个比较懒而直观的方式是推迟对所有的废弃边的删除操作，任由它们在优先队列中，作为队列一员参与队列的每次调整操作.采取懒惰方式的普利姆算法的时间复杂度是O(ElogE).从这里看出，它对边比较稠密的图来说，是低效的.如果要了解懒惰方式的的普利姆算法，请参考：普利姆算法lazy 实现eager prim以懒惰方式处理不再备选的边，会使得算法多次考察这样的边,影响了效率.有没有方法对它进行改进？考虑一下，我们在找出一条最轻边并将它加入MST后，实际上使得其它的还没有被访问的边被访问的机会增加了.而我们只对最轻边感兴趣，所以在考察一个顶点时，只需要在优先队列中维护一条目前已知的到这个顶点的最短距离或最小权重就可以了.为了不将废弃边加入队列，我们需要以索引方式来组织优先队列.关于索引式的优先队列，请参考：索引式优先队列以积极方式队列废弃边的算法，请参考：普利姆算法eager实现普利姆算法的eager实现的时间复杂度是最差O(ElogV ) kruskal’s algorithm克鲁斯卡尔算法是求MST的另一种常用算法，它非常简单：1.每一步都挑选当前看来最轻的边.如果这条边的两个端点的加入，没有在mst中造成回路，将这条边加入mst.2.对所有的边重复上一步.算法中比较关键的一个操作是判断是否形成回路(cycle)，这可以借助并查集来做，请参考：快速并查集克鲁斯卡尔算法的时间复杂度为O(ElogE).这里是一个完成的算法实现，请参考：克鲁斯卡尔算法实现综述最小生成树和最小生成森林（minimum spanning forest）技术，对于连通性考察很有意义.克鲁斯卡尔算法和懒惰方式的普利姆算法形式简单、易于理解，适合处理边不稠密的图.积极方式的普利姆算法,初次接触会不易理解.但它效率高于懒惰方式，平均适用性更好.求MST的贪心算法，都离不开优先队列或堆的支持，堆的操作效率决定了这些算法的效率.如果用斐波那契堆来实现优先队列，则decrease-key操作的摊还代价是O(1 )，普里姆算法将可优化到：O(E+VlogV ).。
数据结构和算法学习笔记⼋：带权连通图的最⼩⽣成树⼀.简介: 对于⼀个n个顶点的连通图,其最⼩⽣成树是指将所有顶点连接起来的权值之和的最⼩树,树中包含n个顶点和n-1条边.最⼩⽣成树常见的⽣成算法有普⾥姆算法和克鲁斯卡尔算法,它们分别基于顶点的⾓度和边的⾓度⽣成最⼩⽣成树. 声明:对于本⽂中实现图结构的各种类,详见:⼆.两种算法简介 1.普⾥姆算法:普⾥姆算法基于顶点实现,基本思路是将所有已经纳⼊到最⼩⽣成树中的顶点存储起来,然后遍历当前的最⼩⽣成树的端点,找出权值最⼩且不会闭环的边并延伸最⼩⽣成树,然后将新的顶点纳⼊到最⼩⽣成树中(和其他已经纳⼊到树中的顶点⼀起存储起来) 2.克鲁斯卡尔算法:克鲁斯卡尔算法基于边实现,⾸先将所有边按照权值由⼩到⼤排序,然后再从⼩到达依次遍历所有边,⼀⼀判断当前边加⼊最⼩⽣成树中后是否会形成环路,在不形成环路的情况下将此边加⼊最⼩⽣成树,并将顶点存储起来.顶点的存储结构类似于倒置的树,根节点在最下⽅.在最⼩⽣成树的⽣成过程中可能会同时存在多颗顶点树,但是最终所有顶点树会汇聚成⼀颗.三.代码实现(c#)/************************************* 创建⼈：movin* 创建时间：2021/7/4 19:55:02* 版权所有：个⼈***********************************/using System;using System.Collections.Generic;using System.Text;namespace GraphCore{///<summary>///最⼩⽣成树算法///</summary>public class MinimumCostSpanningTreeUtil{///<summary>///计算最⼩⽣成树-普⾥姆算法///要求参数必须是⼀个连通图,此处没有校验参数graph是否是连通图的过程,可⾃⾏添加///</summary>///<param name="graph"></param>///<param name="findAEdgeCallBack">找到⼀条边后的回调函数,参数为边的两个关联点下标和权值</param>public static void MiniSpanTree_Prim(AdjacencyMatrixGraph graph,Action<int,int,int> findAEdgeCallBack = null){//数组lowcast,数组的长度和顶点的个数⼀致,数组中每个下标的值和顶点⼀⼀对应//lowcast的作⽤有两个,以lowcast[1] = 5为例,意思是当前已经找过的顶点中到1顶点的最短路径权值为5//所以作⽤⼀是某下标对应值不为0时代表当前已经⽣成的部分最⼩⽣成树到某下标对应顶点的权值最⼩的边的权值//作⽤⼆是某下标对应值为0时代表此下标对应顶点已经在最⼩⽣成树中,不再参与继续⽣成最⼩⽣成树int[] lowcast = new int[graph.Count];//数组adjvex,这个数组作⽤是对应记录lowcast中最⼩权值边的另⼀个依附顶点下标(⼀个依附顶点下标就是lowcast下标)int[] adjvex = new int[graph.Count];lowcast[0] = 0;//从0号顶点开始⽣成最⼩⽣成树,⾸先将0号顶点对应位置置为0//adjvex[0] = 0;//这句代码加不加都ok,0号位已经加⼊最⼩⽣成树,这个值也就⽤不上了//初始化lowcast数组的其他下标值for(int i = 1;i < lowcast.Length; i++){//当前最⼩⽣成树中只有0号顶点,所以以0号顶点到i号顶点的边的权值就是当前的最⼩边权值lowcast[i] = graph.adjacencyMatrix[0, i];//这些边的另⼀个依附顶点当然是0号顶点adjvex[i] = 0;}//开始计算最⼩⽣成树,结果存储到result中int min = int.MaxValue;//⽤来存储找到的最⼩权值边的权值的临时变量int tempIndex = 0;//⽤来存储即将加⼊最⼩⽣成树的边的顶点(也就是即将加⼊最⼩⽣成树的顶点)的临时变量,另⼀个顶点存储在adjvex数组中//循环length-1次,每次将⼀个顶点和⼀条边加⼊最⼩⽣成树中for(int i = 1;i < graph.Count; i++){//循环在当前的lowcast中找到⾮0的最⼩值(到没有找过的顶点中的最⼩边)min = int.MaxValue;tempIndex = 0;for(int j = 1;j < lowcast.Length; j++){if(lowcast[j] != 0 && lowcast[j] < min){min = lowcast[j];tempIndex = j;}}//找到边后调⽤回调函数if(findAEdgeCallBack != null){findAEdgeCallBack(tempIndex, adjvex[tempIndex], lowcast[tempIndex]);}//更新lowcast数组lowcast[tempIndex] = 0;//每次延申了最⼩⽣成树后需要将lowcast中的值更新,⽅便下次继续延申最⼩⽣成树//刚才将下标为tempIndex的顶点和⼀条边加⼊了最⼩⽣成树,接下来只需要更新这个顶点相关的边即可for(int j = 1;j < lowcast.Length;j++){//判断顶点tempIndex和顶点j之间的边//j顶点不在最⼩⽣成树中且这条边的权值⽐lowcast中记录的最⼩权值要⼩时//更新到顶点j的最⼩权值边的权值,并且记录到顶点j的最⼩权值边的另⼀个顶点为tempIndexif(lowcast[j] != 0 && lowcast[j] > graph.adjacencyMatrix[tempIndex, j]){lowcast[j] = graph.adjacencyMatrix[tempIndex, j];adjvex[j] = tempIndex;}}}}///<summary>///计算最⼩⽣成树-克鲁斯卡尔算法///要求参数必须是连通图///</summary>///<param name="graph"></param>///<param name="findAEdgeCallBack">找到⼀条边后的回调函数,参数为边的两个关联点下标和权值</param>public static void MinSpanTree_Kruskal(EdgesetArrayGraph graph, Action<int, int, int> findAEdgeCallBack = null){//将边集数组排序SortEdgeNode(graph.edgeNodes);//声明⼀个数组,数组下标对应顶点下标//数组中值为-1时代表对应顶点还没有加⼊最⼩⽣成树//当某个顶点被加⼊最⼩⽣成树后,将数组中对应的下标的值修改,修改后的值指向下⼀个加⼊最⼩⽣成树的顶点下标//如vertices[5] = 7代表5号顶点和7号顶点都在最⼩⽣成树中,其中5号顶点的下⼀个顶点是7号顶点//在构建最⼩⽣成树的过程中会通过这个数组检验当前边添加进数组是否会构成环//分析后⾯的代码可以知道,最终数组中length-1个值会被修改,刚好对应添加到最⼩⽣成树中的length-1条边int[] vertices = new int[graph.edgeNodes.Length];//数组初始值都为-1for (int i = 0; i < vertices.Length; i++){vertices[i] = -1;}//下⾯构建最⼩⽣成树//循环遍历所有边,⼀⼀校验是否可以加⼊最⼩⽣成树for (int i = 0; i < graph.edgeNodes.Length; i++){EdgesetArrayEdgeNode node = graph.edgeNodes[i];int startIndex = GetNextVertex(vertices, node.headIndex);int endIndex = GetNextVertex(vertices, node.tailIndex);//检验是否成环,不成环则这条边可以加⼊最⼩⽣成树if (startIndex != endIndex){vertices[startIndex] = endIndex;if(findAEdgeCallBack != null){findAEdgeCallBack(node.headIndex, node.tailIndex, node.weight);}}}}///<summary>///在vertices中,顶点之间的先后次序最终的存储⽅式类似于⼀颗倒过来的树,根顶点在最下⽅,存储时会⼀直向下找,直到找到根顶点,存储时会将下⼀个存储到最⼩⽣成树中的顶点挂到根顶点下⽅成为新///查找时看此顶点是否有后继顶点,如果有那么继续查找后继顶点的后继顶点...以此类推,直到某个顶点对应下标值为-1,即没有后继顶点,返回这个顶点下标///如果两个顶点之间会构成环路,那么它们所在的顶点的后继中⼀定会有相同的顶点,最终查找下去得到的值为顶点相同///</summary>///<param name="vertices"></param>///<param name="index"></param>///<returns></returns>private static int GetNextVertex(int[] vertices,int index){while(vertices[index] != -1){index = vertices[index];}return index;}///<summary>///将给定边集数组按照从⼩到达排序///采⽤选择排序///</summary>///<param name="graph"></param>private static void SortEdgeNode(EdgesetArrayEdgeNode[] edgeNodes){for (int i = 0; i < edgeNodes.Length; i++){int minIndex = i;for (int j = i + 1; j < edgeNodes.Length; j++){if(edgeNodes[minIndex].weight > edgeNodes[j].weight){minIndex = j;}}if(minIndex != i){EdgesetArrayEdgeNode temp = edgeNodes[i];edgeNodes[i] = edgeNodes[minIndex];edgeNodes[minIndex] = temp;}}}}}。
最小生成树课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能够理解最小生成树的概念，掌握其定义和性质；2. 学生能够掌握两种常见的最小生成树算法：普里姆（Prim）算法和克鲁斯卡尔（Kruskal）算法；3. 学生能够运用最小生成树解决实际问题，如网络设计、电路设计等。
技能目标：1. 学生能够运用图论知识，分析并解决最小生成树问题；2. 学生能够编写和调试实现最小生成树的算法程序；3. 学生能够通过小组合作，共同探讨并解决最小生成树相关问题。
情感态度价值观目标：1. 学生通过学习最小生成树，培养对图论的兴趣，激发探索数学问题的热情；2. 学生在合作解决问题的过程中，学会沟通、协作，培养团队精神；3. 学生能够认识到数学知识在实际生活中的广泛应用，增强学习的积极性和主动性。
课程性质：本课程为计算机科学、信息技术等相关专业的高年级学生设计，旨在帮助学生掌握最小生成树的基本原理和算法，提高解决实际问题的能力。
学生特点：学生已经具备一定的图论基础，熟悉基本的算法和数据结构，具有一定的编程能力。
教学要求：通过讲解、示例、练习和小组讨论等形式，使学生掌握最小生成树的相关知识，提高编程实践能力和解决问题的能力。
同时，注重培养学生的团队合作精神和数学思维。
二、教学内容1. 最小生成树概念与性质- 定义、性质和判定条件- 最小生成树的应用场景2. 普里姆（Prim）算法- 算法原理与步骤- 代码实现与调试- 算法性能分析3. 克鲁斯卡尔（Kruskal）算法- 算法原理与步骤- 代码实现与调试- 算法性能分析4. 最小生成树算法比较与应用- 普里姆与克鲁斯卡尔算法的优缺点对比- 实际问题中的应用案例分析5. 小组讨论与练习- 分组讨论最小生成树相关算法及应用- 编写和调试最小生成树算法程序- 解决实际问题，如网络设计、电路设计等教学内容安排与进度：第一周：最小生成树概念与性质，普里姆算法原理与实现第二周：普里姆算法性能分析，克鲁斯卡尔算法原理与实现第三周：克鲁斯卡尔算法性能分析，最小生成树算法比较与应用第四周：小组讨论与练习，解决实际问题教材章节：《离散数学及其应用》第6章：图论《数据结构与算法分析》第9章：图论算法《计算机算法设计与分析》第4章：最小生成树与最短路径三、教学方法本课程将采用以下多样化的教学方法，以激发学生的学习兴趣和主动性：1. 讲授法：教师通过生动的语言、形象的比喻和具体的案例，讲解最小生成树的概念、性质和算法原理，使学生系统掌握理论知识。
图形结构与知识点总结一、引言图形结构是计算机科学中一种重要的数据结构，它是一种通过连接各种数据项来表示抽象实体之间关系的数据结构。
图形结构广泛应用于计算机网络、社交网络、路由算法、图像处理、计算机图形学、人工智能等领域。
在本次总结中，我们将深入探讨图形结构的基本概念、存储表示、图的遍历、最短路径算法、最小生成树算法等知识点，并对相关知识进行系统总结。
二、基本概念1.图形结构的定义图形是一个由结点和边组成的数学模型，它表示了一些对象之间的二元关系。
其中，结点表示对象，边表示对象之间的关系。
图形结构可以分为有向图和无向图。
2.图的术语图的术语包括结点、边、度、路径、环、连通图等。
结点是图形中的基本单位，边表示结点之间的关系，度是结点所连接的边的数量，路径是从一个结点到另一个结点的边的序列，环是起点和终点相同的路径，连通图是图中任意两个结点之间都存在路径的图。
三、存储表示1.邻接矩阵邻接矩阵是一种常用的图形结构存储表示方法。
它使用一个二维数组来表示结点之间的边的关系，其中数组的值表示边的权重或是否存在边。
邻接矩阵适合表示稠密图，但对于稀疏图来说，它会浪费大量的空间。
2.邻接表邻接表是另一种常用的图形结构存储表示方法。
它使用一个数组和一个链表来表示结点之间的边的关系，数组中的元素表示结点，链表中的元素表示结点的邻接结点。
邻接表适合表示稀疏图，但对于稠密图来说，查找邻接结点会消耗较多的时间。
3.其他存储表示方法除了邻接矩阵和邻接表之外，还有其他存储表示方法，如邻接多重表、十字链表等。
这些方法适用于特定类型的图，可以根据具体情况选择合适的存储表示方法。
四、图的遍历1.深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种图的遍历算法，它从起始结点开始，沿着一条路径一直向下搜索，直到遇到已访问过的结点或者死路为止，然后回溯到最近的一个分支结点继续搜索。
DFS可以用递归或者栈来实现。
2.广度优先搜索（BFS）广度优先搜索是另一种图的遍历算法，它从起始结点开始，一层一层地往外扩展，直到遍历完所有结点。
最小生成树—克鲁斯卡尔算法
克鲁斯卡其尔算法的时间复杂度为O （eloge ）(e 为网中边的数目)，因此它相对于普里姆算法而言，适合于求边稀疏的网的最小生成树。
克鲁斯卡尔算法从另一途径求网的最小生成树。
假设连通网N=（V ，{E}），则令最小生成树的初始状态为只有n 个顶点而无边的非连通图T=（V ，{∮}），图中每个顶点自成一个连通分量。
在E 中选择代价最小的边，若该边依附的顶点落在T 中不同的连通分量上，则将此边加入到T 中，否则舍去此边而选择下一条代价最小的边。
依次类推，直至T 中所有顶点都在同一连通分量上为止。
例如图为依照克鲁斯卡尔算法构造一棵最小生成树的过程。
代价分别为1，2，3，4的四条边由于满足上述条件，则先后被加入到T 中，代价为5的两条边（1，4）和（3，
4）被舍去。
因为它们依附的两顶点在同一连通分量上，它们若加入T 中，则会使T 中产生回路，而下一条代价（=5）最小的边（2，3）联结两个连通分量，则可加入T 。
因此，构造成一棵最小生成树。
上述算法至多对 e 条边各扫描一次，假若以“堆”来存放网中的边，则每次选择最小代价的边仅需O （loge ）的时间（第一次需O （e ））。
又生成树T 的每个连通分量可看成是一个等价类，则构造T 加入新的过程类似于求等价类的过程，由此可以以“树与等价类”中介绍的 mfsettp 类型来描述T ，使构造T 的过程仅需用O （eloge ）的时间，由此，克鲁斯卡尔算法的时间复杂度为O （eloge ）。
1 2 3 4 5
6 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥6 5 5 6 1 2 3 4 ① ② ③ ④ ⑥5 1 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 1 2 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 1 2 3 ① ② ③ ④ 3 1 2 4 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥
program kruskal;
label 10;
const max=6;
s:array[1..max,1..max] of byte=((0,6,1,5,0,0),
(0,0,5,0,3,0),
(0,0,0,5,6,4),
(0,0,0,0,0,2),
(0,0,0,0,0,6),
(0,0,0,0,0,0));
var p:array[1..(max*(max-1) div 2),0..2] of byte; 存所有边数（存权、两端点） f:array[1..max,1..max] of integer; 生成树邻接表
q:array[1..max,1..2] of integer; 生成树链表
i,j,l,m,n,zs:integer;
begin
for i:=1 to max do q[i,2]:=0; 链表指针清零
l:=0;
for i:=1 to max do 找出所有边
for j:=1 to max do
if s[i,j]<>0 then
begin
l:=l+1;p[l,0]:=s[i,j];p[l,1]:=i;p[l,2]:=j
end;
for i:=1 to l-1 do 边按权升序排序
for j:=i+1 to l do
if p[i,0]>p[j,0] then
begin
zs:=p[i,0];p[i,0]:=p[j,0];p[j,0]:=zs;
zs:=p[i,1];p[i,1]:=p[j,1];p[j,1]:=zs;
zs:=p[i,2];p[i,2]:=p[j,2];p[j,2]:=zs;
end;
f[p[1,1],p[1,2]]:=p[1,0]; 第一条边加入生成树邻接表
q[p[1,1],1]:=p[1,1];q[p[1,1],2]:=-p[1,1];端点加入链表，根节点链指针为负 q[p[1,2],1]:=p[1,2];q[p[1,2],2]:=p[1,1];
i:=1;j:=0; I：所选边的序号，j：当前要选的边数
repeat
i:=i+1;m:=p[i,1];n:=p[i,2]; 取当前选中边的两端点序号
repeat 分别查找两端点的根
if m>0 then m:=q[m,2]
until m<=0;
repeat
if n>0 then n:=q[n,2]
until n<=0;
if (m<0) and (m=n) then goto 10; 若为同一根，则重选
f[p[i,1],p[i,2]]:=p[i,0]; 当前边加入生成树邻接表
if m=n then 当前边两端点均不在树中，则新建一棵树 begin
q[p[i,1],1]:=p[i,1];q[p[i,1],2]:=-p[i,1];
q[p[i,2],1]:=p[i,2];q[p[i,2],2]:=p[i,1]
end;
if (m<0) and (n=0) then 若一端点在某棵树中，则加入 begin
q[p[i,2],1]:=p[i,2];q[p[i,2],2]:=p[i,1]
end;
if (n<0) and (m=0) then 若另一端点在某棵树中，则加入 begin
q[p[i,1],1]:=p[i,1];q[p[i,1],2]:=p[i,2];
end;
if (m<0) and (n<0) then q[-n,2]:=-m; 边接两棵树
j:=j+1;
10:until j>max-1;
for i:=1 to max do 输出生成树邻接表
begin
for j:=1 to max do write(f[i,j]);
writeln;
end;
end.。
