克鲁斯卡尔算法

算法设计与分析大作业班级：物联网1401学号：姓名：zk江南大学物联网工程学院一、多项式分治1.1算法简介分治字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。

因为多项式的表示是Pn(x)= a n x n＋a n-1x n-1＋…＋a1x＋a0任意大整数都可以看作是一多项式（其中X=10，a n是第n+1位上的数字，个位用a0表示）。

如：9876=6+7*101+8*102+9*103所以大整数相乘可以用多项式乘积的分治算法实现，实际上大整数相乘就是多项式乘积的一个特例。

把一个多项式分为两个P (x)= P0(x)+ P1(x)x n/2 q(x)=q0(x)+q1(x)x n/2P(x)*q(x)=P0(x)*q0(x)+P1(x)*P1(x)*x n+((P0(x)+ P1(x))*( q0(x)+q1(x))- P0 * q0– P1* q1)* x n/2令：R0= P0(x)*q0(x) R1= P1(x)*q1(x) R2= P0(x)+ P1(x))*( q0(x)+q1(x))- P0 * q0– P1* q1于是上式可化简为P(x)*q(x)= R0 +（R2- R0- R1）* x n/2+ R1*x n由于多项式乘法时间远多于加法时间，所以多项式乘积分治算法对比较大的n将有很大的改进。

1.2调试过程①在调试过程中poly_product()函数出错，单步调试发现图1poly_product()错误部分第16,17行出错，多项式阶数相同系数相加，所以讲r2+k改为r2或17,18行r3改为r3+k 即可。

②多项式的输入只能是2的倍数。

1.3运行结果图2多项式分治算法运行结果二、背包问题2.1算法简介背包是基于这样的问题，即有N件物品和一个容量为V的背包，第i件物品的重量是w[i]，价值是v[i]。

图论是离散数学的一个分支，研究图的性质和图上的问题。

图是由结点和边组成的一种抽象数据结构，可以用来描述现实世界中的各种关系和连接。

本文将介绍一些图的基本概念和算法。

在图中，结点表示实体，边表示结点之间的关系。

一张图可以用G=(V, E)表示，其中V为结点的集合，E为边的集合。

边可以有方向（有向图）或没有方向（无向图），也可以有权重（带权图）或没有权重（不带权图）。

图的基本概念中，最常见的是路径和回路。

路径是图中的一条边的序列，每个边连接两个结点。

回路是一条路径，起点和终点相同。

如果一条路径中没有重复的结点，那么它就是一条简单路径。

连接结点之间的路径可以通过深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）来寻找。

DFS以栈为数据结构，先找到一个结点，然后再找它的邻居结点，如此往复，直到找到目标结点或者所有结点都被访问过。

BFS以队列为数据结构，先找到一个结点，然后找它的所有邻居结点，如此往复，直到找到目标结点或者所有结点都被访问过。

除了DFS和BFS，图中还有其他一些重要的算法和问题。

最短路径算法是用来找到两个结点之间最短路径的算法，其中最著名的是狄克斯特拉算法和弗洛伊德算法。

狄克斯特拉算法适用于没有负权边的图，通过不断更新起点到每个结点的最短距离来寻找最短路径。

弗洛伊德算法适用于任意有向图，通过不断更新任意两个结点之间的最短距离来寻找最短路径。

最小生成树算法是用来找到一个无环且连通的子图，该子图包含所有结点并且边的权重之和最小的算法。

其中最著名的是普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。

普里姆算法从一个起始结点出发，每次选择与该结点最近的未访问结点，直到所有结点都被访问过。

克鲁斯卡尔算法一开始将每个结点都看作一个独立的树，然后每次选择权重最小的边，如果该边连接的两个结点不在同一棵树中，就将它们合并为一棵树。

图的基本概念和算法在离散数学中起到了至关重要的作用。

图论不仅仅可以用于计算机科学领域，还可以应用到物流规划、社交网络分析、电路设计等各个领域。

考研数据结构图的必背算法及知识点Prepared on 22 November 20201.最小生成树：无向连通图的所有生成树中有一棵边的权值总和最小的生成树问题背景：假设要在n个城市之间建立通信联络网，则连通n个城市只需要n—1条线路。

这时，自然会考虑这样一个问题，如何在最节省经费的前提下建立这个通信网。

在每两个城市之间都可以设置一条线路，相应地都要付出一定的经济代价。

n个城市之间，最多可能设置n(n-1)/2条线路，那么，如何在这些可能的线路中选择n-1条，以使总的耗费最少呢分析问题（建立模型）：可以用连通网来表示n个城市以及n个城市间可能设置的通信线路，其中网的顶点表示城市，边表示两城市之间的线路，赋于边的权值表示相应的代价。

对于n个顶点的连通网可以建立许多不同的生成树，每一棵生成树都可以是一个通信网。

即无向连通图的生成树不是唯一的。

连通图的一次遍历所经过的边的集合及图中所有顶点的集合就构成了该图的一棵生成树，对连通图的不同遍历，就可能得到不同的生成树。

图G5无向连通图的生成树为(a)、(b)和(c)图所示：G5G5的三棵生成树：可以证明，对于有n个顶点的无向连通图，无论其生成树的形态如何，所有生成树中都有且仅有n－1条边。

最小生成树的定义：如果无向连通图是一个网，那么，它的所有生成树中必有一棵边的权值总和最小的生成树，我们称这棵生成树为最小生成树，简称为最小生成树。

最小生成树的性质：假设N=(V,{E})是个连通网，U是顶点集合V的一个非空子集，若（u,v）是个一条具有最小权值(代价)的边，其中，则必存在一棵包含边（u,v）的最小生成树。

解决方案：两种常用的构造最小生成树的算法：普里姆（Prim）和克鲁斯卡尔（Kruskal）。

他们都利用了最小生成树的性质1.普里姆（Prim）算法：有线到点，适合边稠密。

时间复杂度O(N^2)假设G＝（V，E）为连通图，其中V为网图中所有顶点的集合，E为网图中所有带权边的集合。

生成树的树形结构生成树是一种用于解决图论问题的重要算法。

它通过选择一些边来连通图中的所有节点，形成一棵树，这棵树称为生成树。

在生成树中，每个节点都能被到达且没有环，它们之间的边权和最小。

生成树算法可以分为两类：普通算法和快速算法。

普通算法比较简单，但是时间复杂度较高，适用于边数比较少的图。

快速算法则通常适用于边数较多的图，能够快速找到最小生成树。

一般地，生成树算法都可以用来解决最小生成树问题，也可以用来解决其他的问题。

下面就介绍一下生成树算法的几个常见应用。

一、最小生成树最小生成树问题是一类十分重要的图论问题。

它的目标是找到一棵包含图中所有节点的树，并且这棵树的边权和最小。

最小生成树问题可以通过生成树算法来解决。

最小生成树算法包括普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。

普里姆算法从一个节点开始，逐渐加入节点，形成一棵生成树。

克鲁斯卡尔算法则是选择所有无环的边，形成一棵生成树。

二、连通性问题在某些应用中，需要判断一个图是否连通，即是否存在一条路径可以从图中的任意节点到达任意节点。

对于这类问题，也可以使用生成树算法来解决。

连通性问题的解决方式是构建一棵生成树，如果生成树中包含了所有的节点，则原来的图是连通的。

如果生成树中没有包含所有的节点，则说明原来的图不连通。

三、最短路问题最短路问题是指在一个加权有向图中，寻找一条从起点到终点的路径，使得路径上经过的所有边权值之和最小。

最短路问题可以使用生成树算法来解决。

最短路问题的解决方式是使用迪杰斯特拉算法或贝尔曼-福德算法，构建一棵生成树，找到从起点到终点的最短路径。

总体来看，生成树算法是图论中十分重要的算法之一，不仅包含了最小生成树问题，还可以用来解决连通性问题和最短路问题等多个问题。

测绘技术中常见的地图配准算法介绍地图配准是测绘技术中的一个重要环节，它的主要目的是将多幅地图或者地理数据进行对应，使得它们在同一基准下具备一致性。

在实际的测绘应用中，地图配准算法能够帮助我们更加准确地理解和分析地理现象，为精确测绘和地理信息系统等应用提供支持。

本文将介绍一些常见的地图配准算法，以及它们的原理和应用。

一. 特征点匹配算法特征点匹配算法是地图配准中常用的一种方法。

该算法通过提取地图上的关键特征点，比如角点或者边缘点，然后在不同地图上寻找相应的特征点进行匹配。

在特征点匹配中，常用的算法包括克鲁斯卡尔算法、归一化互相关算法和改进的归一化互相关算法等。

克鲁斯卡尔算法是一种最小生成树的算法，它的主要思想是通过连接权值最小的边逐步构建最小生成树。

在地图配准中，我们可以将特征点作为节点，它们之间的相似度作为边的权值，然后使用克鲁斯卡尔算法寻找最佳的匹配组合。

归一化互相关算法是一种基于互相关的特征点匹配方法。

它通过计算两个特征点周围区域内的互相关系数来判断它们的相似度。

在进行配准时，我们可以选取特定阈值来筛选出相似度较高的特征点对，从而得到最佳的匹配结果。

改进的归一化互相关算法是针对传统归一化互相关算法的一种改进。

它在计算互相关系数时引入了自适应窗口大小和自适应核函数，从而提高了特征点匹配的准确性和鲁棒性。

改进的归一化互相关算法在地图配准和图像配准中都有广泛的应用。

二. 尺度不变特征变换算法尺度不变特征变换（Scale-Invariant Feature Transform，简称SIFT）算法是一种经典的特征点匹配算法，它在地图配准中也有较为广泛的应用。

SIFT算法通过分析图像的局部特征，如边缘和角点等，并在不同图像中寻找相应的特征点进行匹配。

SIFT算法的主要步骤包括尺度空间极值检测、关键点定位、方向分配、描述子生成和特征点匹配等。

在进行地图配准时，我们可以提取地图上的SIFT特征点，并在不同地图中进行匹配，从而得到两幅地图之间的对应关系。

生成树算法的三个步骤生成树是图论中的重要概念，它描述了一个连通图的一个子图，该子图包含了图中的所有顶点，并且是无环的。

生成树算法是用来找到一个连通图的生成树的一种方法。

本文将介绍生成树算法的三个步骤：图的遍历、边的选择和生成树的构建。

一、图的遍历图的遍历是生成树算法的第一步，它的目的是将图中的所有顶点访问一遍。

常用的图的遍历算法有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。

深度优先搜索是通过递归的方式进行遍历，从某个顶点开始，先访问它的一个邻接顶点，然后再递归地访问该邻接顶点的邻接顶点，直到所有顶点都被访问过。

广度优先搜索是通过队列的方式进行遍历，从某个顶点开始，先访问它的所有邻接顶点，然后再依次访问这些邻接顶点的邻接顶点，直到所有顶点都被访问过。

二、边的选择边的选择是生成树算法的第二步，它的目的是选择一些边，使得这些边构成一个连通图的生成树。

常用的边的选择算法有最小生成树算法和最大生成树算法。

最小生成树算法的目标是选择一些边，使得这些边的权值之和最小。

常用的最小生成树算法有普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。

普里姆算法是从一个顶点开始，每次选择一条最小权值的边，将该边连接的顶点加入到生成树中，直到所有顶点都被加入到生成树中。

克鲁斯卡尔算法是先将所有边按照权值从小到大排序，然后依次选择权值最小的边，如果这条边连接的两个顶点不在同一个连通分量中，则将这条边加入到生成树中。

最大生成树算法的目标是选择一些边，使得这些边的权值之和最大。

常用的最大生成树算法有逆克鲁斯卡尔算法和逆普里姆算法。

逆克鲁斯卡尔算法和逆普里姆算法的原理与克鲁斯卡尔算法和普里姆算法相反。

三、生成树的构建生成树的构建是生成树算法的第三步，它的目的是根据选择的边构建一个生成树。

生成树可以用邻接矩阵或邻接表来表示。

邻接矩阵是一个二维数组，其中的元素表示两个顶点之间是否有边。

邻接表是一种链表的数据结构，其中的每个节点表示一个顶点，节点的值表示该顶点的邻接顶点。

计算机领域常用算法列表在计算机科学领域，算法是解决问题的基础工具。

各种算法的应用领域广泛，包括数据处理、搜索、排序、图形处理、机器学习等。

本文将介绍计算机领域常用的一些算法，以帮助读者了解和熟悉这些算法的基本原理和应用。

一、搜索算法1. 顺序搜索算法顺序搜索算法是最简单的搜索算法之一，其基本思想是按顺序逐个比较目标元素和列表中的元素，直到找到匹配项或搜索完整个列表。

顺序搜索算法适用于未排序的列表。

2. 二分搜索算法二分搜索算法也称为折半搜索算法，适用于已排序的列表。

其基本思想是将列表从中间切分，然后将目标元素与中间元素进行比较，根据比较结果缩小搜索范围，以达到快速搜索的目的。

3. 广度优先搜索算法广度优先搜索算法是一种图遍历算法，用于搜索图或树的结构。

它从起始节点开始，按照广度优先的方式依次访问与当前节点相邻的节点，直到找到目标节点或访问完整个图。

二、排序算法1. 冒泡排序算法冒泡排序算法是一种简单且常用的排序算法。

它通过不断比较相邻的元素并交换位置，将最大或最小的元素逐步“冒泡”到正确的位置，直到整个列表有序。

2. 快速排序算法快速排序算法是一种高效的排序算法。

它通过选择一个基准元素，将列表划分为两个子列表，其中一个子列表的元素都小于基准元素，另一个子列表的元素都大于基准元素。

然后对子列表递归地应用快速排序算法，最终得到有序列表。

3. 归并排序算法归并排序算法是一种稳定的排序算法。

它将列表划分为多个子列表，然后逐个合并子列表，直到得到完全排序的列表。

归并排序算法的核心思想是分治法，将大问题拆分为小问题并解决。

三、图算法1. 最短路径算法最短路径算法用于求解两个节点之间的最短路径。

著名的最短路径算法有迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。

迪杰斯特拉算法适用于单源最短路径问题，而弗洛伊德算法适用于所有节点对之间的最短路径问题。

2. 最小生成树算法最小生成树算法用于求解连通图的最小生成树。

其中，普里姆算法和克鲁斯卡尔算法是两种常用的最小生成树算法。

榆林学院12届课程设计《最小生成树问题》课程设计说明书学生姓名：赵佳学号：1412210112院系：信息工程学院专业：计算机科学与技术班级：计14本1指导教师：答辩时间：年月日最小生成树问题一、问题陈述最小生成树问题设计要求：在n个城市之间建设网络，只需保证连通即可，求最经济的架设方法。

存储结构采用多种。

求解算法多种。

二、需求分析1.在n个城市之间建设网络，只需保证连通即可。

2.求城市之间最经济的架设方法。

3.采用多种存储结构，求解算法也采用多种。

三、概要设计1、功能模块图2、功能描述（1)CreateUDG()创建一个图：通过给用户信息提示，让用户将城市信息及城市之间的联系关系和连接权值写入程序，并根据写入的数据创建成一个图。

（2)Switch()功能选择：给用户提示信息，让用户选择相应功能。

（3)Adjacency_Matrix()建立邻接矩阵：将用户输入的数据整理成邻接矩阵并显现在屏幕上。

（4)Adjacency_List()建立邻接表：将用户输入的数据整理成临接表并显现在屏幕上。

（5)MiniSpanTree_KRSL()kruskal算法：利用kruskal算法求出图的最小生成树，即：城市之间最经济的连接方案。

（6)MiniSpanTree_PRIM()PRIM算法：利用PRIM算法求出图的最小生成树，即：城市之间最经济的连接方案。

四、详细设计本次课程设计采用两种存储结构以及两种求解算法。

1、两种存储结构的存储定义如下：typedef struct Arcell{double adj;}Arcell,AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];typedef struct{char vexs[MAX_VERTEX_NUM]; //节点数组AdjMatrix arcs; //邻接矩阵int vexnum,arcnum; //图的当前节点数和弧数}MGraph;typedef struct Pnode //用于普利姆算法{ char adjvex; //节点double lowcost; //权值}Pnode,Closedge[MAX_VERTEX_NUM];//记录顶点集U到V-U的代价最小的边的辅助数组定义typedef struct Knode//用于克鲁斯卡尔算法中存储一条边及其对应的2个节点{char ch1; //节点1char ch2; //节点2double value;//权值}Knode,Dgevalue[MAX_VERTEX_NUM];2、求解算法采用Prim算法和Kruskal算法。