曲线拟合（curve-fitting ）：工程实践中，用测量到的一些离散的数据},...2,1,0),,{(m i y x i i =求一个近似的函数)(x ϕ来拟合这组数据，要求所得的拟合曲线能最好的反映数据的基本趋势（即使)(x ϕ最好地逼近()x f ，而不必满足插值原则。因此没必要取)(i x ϕ=i y ，只要使i i i y x -=)(ϕδ尽可能地小）。 原理：
给定数据点},...2,1,0),,{(m i y x i i =。求近似曲线)(x ϕ。并且使得近似曲线与()x f 的偏差最小。近似曲线在该点处的偏差i i i y x -=)(ϕδ，i=1,2,...,m 。
常见的曲线拟合方法:
1.使偏差绝对值之和最小
2.使偏差绝对值最大的最小
3.使偏差平方和最小
最小二乘法：
按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。
推导过程：
1. 设拟合多项式为：
2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下：
3. 问题转化为求待定系数0a ...k a 对等式右边求i a 偏导数，因而我们得到了： .......
4、 把这些等式化简并表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵：
5. 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到:
6. 也就是说X*A=Y ，那么A = (X'*X)-1*X'*Y ，便得到了系数矩阵A ，同时，我们也就得到了拟合曲线。
MATLAB 实现：
MATLAB 提供了polyfit （）函数命令进行最小二乘曲线拟合。
调用格式：p=polyfit(x,y,n)
[p,s]= polyfit(x,y,n)
[p,s,mu]=polyfit(x,y,n)
x,y 为数据点，n 为多项式阶数，返回p 为幂次从高到低的多项式系数向量p 。x 必须是单调的。矩阵s 包括R （对x 进行QR 分解的三角元素）、df(自由度）、normr(残差）用于生成预测值的误差估计。
[p,s,mu]=polyfit(x,y,n)在拟合过程中，首先对x 进行数据标准化处理，以在拟合中消除量纲等影响，mu 包含标准化处理过程中使用的x 的均值和标准差。 polyval( )为多项式曲线求值函数，调用格式： y=polyval(p,x)
[y,DELTA]=polyval(p,x,s)
y=polyval(p,x)为返回对应自变量x在给定系数P的多项式的值。
[y,DELTA]=polyval(p,x,s) 使用polyfit函数的选项输出s得出误差估计Y DELTA。它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的，并且方差为常数。则Y DELTA 将至少包含50%的预测值。
如下给定数据的拟合曲线：
x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]，
y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]。
解：MATLAB程序如下：
x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0];
y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60];
p=polyfit(x,y,2)
x1=0.5:0.05:3.0;
y1=polyval(p,x1);
plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b')
运行结果如图1
计算结果为：
p =0.5614 0.8287 1.1560
即所得多项式为y=0.5614x^2+0.08287x+1.15560
图1 最小二乘法曲线拟合示例
对比检验拟合的有效性：
例：在[0,π]区间上对正弦函数进行拟合，然后在[0,2π]区间画出图形，比较拟合区间和非拟合区间的图形，考察拟合的有效性。
在MATLAB中输入如下代码：
clear
x=0:0.1:pi;
y=sin(x);
[p,mu]=polyfit(x,y,9)
x1=0:0.1:2*pi;
y1=sin(x1);%实际曲线
y2=polyval(p,x1);%根据由区间0到pi上进行拟合得到的多项式计算0到2pi上的函数值，
%需要注意的是polyval（）返回的函数值在pi到2pi上并没有进行拟合
plot(x1,y2,'k*',x1,y1,'k-')
运行结果：
p =
0.0000 0.0000 -0.0003 0.0002 0.0080 0.0002 -0.1668 0.0000 1.0000 0.0000
mu =
R: [10x10 double]
df: 22
normr: 1.6178e-07
MATLAB的最优化工具箱还提供了lsqcurvefit（）函数命令进行最小二乘曲线拟合(Solve nonlinear curve-fitting (data-fitting) problems in least-squares sense)。
调用格式：
x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata)
x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub)
x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub,options)
x = lsqcurvefit(problem)
[x,resnorm] = lsqcurvefit(...)
[x,resnorm,residual] = lsqcurvefit(...)
[x,resnorm,residual,exitflag] = lsqcurvefit(...)
[x,resnorm,residual,exitflag,output] = lsqcurvefit(...)
[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda] = lsqcurvefit(...)
[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda,jacobian] =
x0为初始解向量;xdata，ydata为满足关系ydata=F(x, xdata)的数据;
lb、ub为解向量的下界和上界，若没有指定界，则lb=[ ]，ub=[ ];
options为指定的优化参数;
fun为拟合函数，其定义方式为:x = lsqcurvefit(@myfun,x0,xdata,ydata)，
其中myfun已定义为function F = myfun(x,xdata)
F = …% 计算x处拟合函数值fun的用法与前面相同;
resnorm=sum ((fun(x,xdata)-ydata).^2)，即在x处残差的平方和;
residual=fun(x,xdata)-ydata，即在x处的残差;
exitflag为终止迭代的条件;
output为输出的优化信息;
lambda为解x处的Lagrange乘子;
jacobian为解x处拟合函数fun的jacobian矩阵。
例：lsqcurvefit()优化程序
Data = ...
[0.0000 5.8955
0.1000 3.5639
0.2000 2.5173
0.3000 1.9790
0.4000 1.8990
0.5000 1.3938
0.6000 1.1359
0.7000 1.0096
0.8000 1.0343
0.9000 0.8435
1.0000 0.6856
1.1000 0.6100
1.2000 0.5392
1.3000 0.3946
1.4000 0.3903
1.5000 0.5474
1.6000 0.3459
1.7000 0.1370
1.8000 0.2211
1.9000 0.1704
2.0000 0.2636];
t = Data(:,1);
y = Data(:,2);
% axis([0 2 -0.5 6])
plot(t,y,'ro')
title('Data points')
%We would like to fit the function y = c(1)*exp(-lam(1)*t) + c(2)*exp(-lam(2)*t) to the data %The lsqcurvefit function solves this type of problem easily.
%To begin, define the parameters in terms of one variable x:
%x(1) = c(1)
%x(2) = lam(1)
%x(3) = c(2)
%x(4) = lam(2)
%Then define the curve as a function of the parameters x and the data t:
F = @(x,xdata)x(1)*exp(-x(2)*xdata) + x(3)*exp(-x(4)*xdata);
x0 = [1 1 1 0];
[x,resnorm,~,exitflag,output] = lsqcurvefit(F,x0,t,y)
hold on
plot(t,F(x,t))
hold off
Fsumsquares = @(x)sum((F(x,t) - y).^2);
opts = optimset('LargeScale','off');
[xunc,ressquared,eflag,outputu] = ...
fminunc(Fsumsquares,x0,opts)
fprintf(['There were %d iterations using fminunc,' ...
' and %d using lsqcurvefit.\n'], ...
outputu.iterations,output.iterations)
fprintf(['There were %d function evaluations using fminunc,' ...
' and %d using lsqcurvefit.'], ...
outputu.funcCount,output.funcCount)
type fitvector
x02 = [1 0];
F2 = @(x,t) fitvector(x,t,y);
[x2,resnorm2,~,exitflag2,output2] = lsqcurvefit(F2,x02,t,y)
fprintf(['There were %d function evaluations using the 2-d ' ...
'formulation, and %d using the 4-d formulation.'], ...
output2.funcCount,output.funcCount)
x0bad = [5 1 1 0];
[xbad,resnormbad,~,exitflagbad,outputbad] = ...
lsqcurvefit(F,x0bad,t,y)
hold on
plot(t,F(xbad,t),'g')
legend('Data','Global fit','Bad local fit','Location','NE')
hold off
fprintf(['The residual norm at the good ending point is %f,' ...
' and the residual norm at the bad ending point is %f.'], ...
resnorm,resnormbad)
displayEndOfDemoMessage(mfilename)
拟合效果如下：
直线的最小二乘拟合：
y＝a+bx
式中有两个待定参数，a代表截距，b代表斜率。对于等精度测量所得到的N组数据（xi，yi），i＝1，2……，N，xi值被认为是准确的，所有的误差只联系着yi。下面利用最小二乘法把观测数据拟合为直线。
用最小二乘法估计参数时，要求观测值yi的偏差的加权平方和为最小。对于等精度观测值的直线拟合来说，可使下式的值最小：
上式分别对a、b求偏导得：
整理后得到方程组：
解上述方程组便可求得直线参数a和b的最佳估计值。
1、可看成是一阶多项式拟合，跟前面曲线拟合方法一样。
2、利用linefit()函数进行最小二乘的直线拟合
使用：
clear
x=[0.5 1 1.5 2 2.5 3];
y=[ 1.75 2.45 3.81 4.8 8 8.6];
[k,b]=linefit(x,y) %得到斜率k和常数b
y1=polyval([k,b],x);
plot(x,y1,’k-’,x,y,’k*’)
MATLAB一元到多元线性回归方程的计算和检验_百度文库
(研究生数理统计)多元线性回归及显着性检验Matlab程序(完美版)_百度文库
曲线拟合（curve-fitting ）：工程实践中，用测量到的一些离散的数据 },...2,1,0),,{(m i y x i i =求一个近似的函数)(x ?来拟合这组数据，要求所得的拟合曲 线能最好的反映数据的基本趋势（即使)(x ?最好地逼近()x f ，而不必满足插值原则。因此没必要取)(i x ?=i y ，只要使i i i y x -=)(?δ尽可能地小）。 原理： 给定数据点},...2,1,0),,{(m i y x i i =。求近似曲线)(x ?。并且使得近似曲线与()x f 的偏差最小。近似曲线在该点处的偏差i i i y x -=)(?δ，i=1,2,...,m 。 常见的曲线拟合方法: 1.使偏差绝对值之和最小 2.使偏差绝对值最大的最小 3.使偏差平方和最小 最小二乘法： 按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。 推导过程： 1. 设拟合多项式为： k k x a x a a x +++=...)(10?
2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下： 3. 问题转化为求待定系数0a ...k a 对等式右边求i a 偏导数，因而我们得到了： ....... 4、 把这些等式化简并表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵： 5. 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到: 6. 也就是说X*A=Y ，那么A = (X'*X)-1*X'*Y ，便得到了系数矩阵A ，同时，我们也就得到了拟合曲线。
MATLAB实现： MATLAB提供了polyfit（）函数命令进行最小二乘曲线拟合。 调用格式：p=polyfit(x,y,n) [p,s]= polyfit(x,y,n) [p,s,mu]=polyfit(x,y,n) x,y为数据点，n为多项式阶数，返回p为幂次从高到低的多项式系数向量p。x 必须是单调的。矩阵s包括R（对x进行QR分解的三角元素）、df(自由度）、normr(残差）用于生成预测值的误差估计。 [p,s,mu]=polyfit(x,y,n)在拟合过程中，首先对x进行数据标准化处理，以在拟合中消除量纲等影响，mu包含标准化处理过程中使用的x的均值和标准差。polyval( )为多项式曲线求值函数，调用格式：y=polyval(p,x) [y,DELTA]=polyval(p,x,s) y=polyval(p,x)为返回对应自变量x在给定系数P的多项式的值。 [y,DELTA]=polyval(p,x,s) 使用polyfit函数的选项输出s得出误差估计Y DELTA。它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的，并且方差为常数。则Y DELTA 将至少包含50%的预测值。 如下给定数据的拟合曲线： x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]， y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]。 解：MATLAB程序如下： x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]; y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]; p=polyfit(x,y,2) x1=0.5:0.05:3.0; y1=polyval(p,x1); plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b') 运行结果如图1 计算结果为： p =0.5614 0.8287 1.1560 即所得多项式为y=0.5614x^2+0.08287x+1.15560
matlab最小二乘法拟合曲线 Matlab最小二乘法拟合曲线是一种应用于数据拟合的有效的工具，它 的作用是使用最小二乘法来估计未知参数并获得适合拟合的最优拟合 曲线，以下是Matlab最小二乘法拟合曲线的具体用法： 一、Matlab最小二乘法拟合模型： 1、首先，根据需要拟合的数据，定义未知参数的类型、数量和频率； 2、接下来，定义未知参数的初始值，以及用于确定参数最优拟合曲线 的搜索算法； 3、然后，调用最小二乘法函数，使用最小二乘法函数计算拟合参数θ； 4、最后，用优化到的θ值生成最优曲线，即得到拟合曲线。 二、Matlab最小二乘法拟合曲线的特点： 1、精度高：最小二乘法在误差估计上是最佳的，能控制估计偏差，通 过求解思维运算完成最小二乘拟合； 2、可以处理多元数据：最小二乘法可以处理多个变量进行统计拟合， 有多个自变量时，仍然能生成反映变量之间关系的拟合曲线； 3、计算量小：最小二乘法只需计算发生一次，消耗计算量较小，计算 正确率高； 4、反应速度快：最小二乘法反应速度快，可以很好的拟合多项式，某 一特定点的拟合能力强，它具有很高的拟合度。
三、Matlab最小二乘法拟合曲线的应用： 1、最小二乘法拟合曲线可以用于多元统计拟合，研究变量之间的关系，可用于实验数据处理和建模； 2、最小二乘法拟合曲线也可以用于经济学，可以通过估计最小二乘回 归系数进行广义线性模型的预测； 3、最小二乘法拟合曲线可以用于工程曲线拟合，如机械设计的几何拟 合等，以及测量仪器的校正等； 4、最小二乘法拟合曲线也可以用于生物学研究，可以通过进化分类树 及类群的状态估计其特征变化趋势； 5、最小二乘法拟合曲线还可以用于物理和化学实验中，以及天气、气 候等领域。 四、Matlab最小二乘法拟合曲线的优缺点： 优点： 1、计算量小，计算消耗较小； 2、可对多元数据进行拟合，处理变量之间的关系； 3、拟合精度高，控制估计偏差； 4、反应速度快，容错性强。 缺点： 1、处理误差较大的数据时，拟合效果不佳； 2、对曲线的凸性要求，不能处理异常数据； 3、无法处理变量间的非线性关系，拟合结果也会出现偏差。
最小二乘法求二次拟合多项式 matlab 最小二乘法求二次拟合多项式 Matlab 1. 介绍 最小二乘法是一种常用的数学优化方法，用于寻找一组参数，使得模 型预测值与实际观测值之间的平方误差和最小。在拟合多项式曲线时，最小二乘法能够帮助我们找到最佳的拟合曲线，从而更好地描述数据 之间的关系。 2. 理论基础 在进行二次拟合时，我们希望找到一个二次多项式曲线，使得该曲线 能够最好地拟合给定的数据点。二次多项式的一般形式为：y = ax^2 + bx + c。其中，a、b、c为待定系数，需要通过最小二乘法来求解。 3. Matlab实现步骤 我们需要将实际观测数据以矩阵的形式输入到Matlab中。假设我们 已经将x轴与y轴的观测数值分别存储在矩阵X和Y中。 接下来，我们可以使用Matlab中的polyfit函数来进行最小二乘法拟合。该函数的语法为：p = polyfit(X, Y, n)，其中n为多项式的次数。对于二次拟合，我们将n设为2。函数将返回多项式系数p，其中p(1)
对应于二次项的系数a，p(2)对应于一次项的系数b，p(3)对应于常数项c。 我们可以使用polyval函数来计算拟合的二次多项式在给定x轴数值下的y轴预测值。语法为：Y_fit = polyval(p, X)。 4. 个人观点和理解 最小二乘法求二次拟合多项式在实际工程和科学研究中具有非常重要的应用价值。通过这种方法，我们能够利用已知数据点来构建一个更加准确的模型，从而能够更好地理解数据之间的关系。 在使用Matlab进行二次拟合时，我们不仅可以得到拟合的二次多项式曲线，还能够通过拟合结果进行后续的数据预测和分析。这种方法不仅简单高效，而且在处理实际问题时非常有用。 总结 通过最小二乘法求解二次拟合多项式，我们能够通过Matlab快速、准确地得到拟合曲线的系数，从而更好地理解数据之间的关系。这种方法也为我们提供了一种有效的工程应用解决方案。 最小二乘法求二次拟合多项式 Matlab的方法对于分析实验数据和建立数据模型有着重要的意义，值得我们深入学习和应用。最小二乘法是一种常用的数学优化方法，用于拟合数据并找到最佳的拟合曲线。
matlab 最小二乘法拟合曲线 最小二乘法（Least Squares Method）是一种常用的数据拟合技术，在数学建模、统计学以及工程领域中被广泛应用。该方法通过最小化实际观测值与拟合模型之间的平方误差和，从而找到一个最佳的拟合曲线。 首先，我们来了解一下最小二乘法的基本原理。假设我们有一组n组数据点{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，我们希望找到一个函数f(x)来拟合这些数据。为了简便计，我们假设函数f(x)是一个线性函数，即f(x) = ax + b。 要使用最小二乘法来进行拟合，我们需要构造一个目标函数，该函数是残差平方和（Sum of Squared Residuals，SSR）。残差表示实际数据点与拟合曲线之间的差异，而残差平方和则是将所有残差平方相加得到的一个值。 目标函数可以表示为： SSR = Σ(yi - f(xi))^2 最小二乘法的核心思想就是通过调整拟合函数中的参数a和b，使得目标函数SSR达到最小值。为了实现这一目标，我们需要对目标函数求导，并令导数为0。这样做可以得到一组线性方程组，可以使用线性代数中的方法求解这个方程组，从而得到a和b的值。 推导过程略去不表，最终我们可以得到最佳的拟合曲线方程： f(x) = (Σxiyi - n * x_mean * y_mean) / (Σxi^2 - n * x_mean^2) * x + (y_mean - (Σxiyi - n * x_mean * y_mean) / (Σxi^2 - n * x_mean^2) * x_mean) 其中，x_mean和y_mean分别表示x和y的平均值，n表示数据点的数量。 通过以上公式，我们可以得到一个最佳的线性拟合曲线，该曲线可以最小化数据点与拟合曲线之间的距离。当然，在实际应用中，我们会遇到更复杂的拟合函数，而不仅仅是线性函数。但不论函数形式
最小二乘法曲线拟合的Matlab程序最小二乘法是一种常用的数学优化技术，它通过最小化误差的平方和来找到最佳函数匹配。在曲线拟合中，最小二乘法被广泛使用来找到最佳拟合曲线。下面的Matlab程序演示了如何使用最小二乘法进行曲线拟合。 % 输入数据 x = [1, 2, 3, 4, 5]; y = [2.2, 2.8, 3.6, 4.5, 5.1]; % 构建矩阵 A = [x(:), ones(size(x))]; % 使用x向量和单位矩阵构建矩阵A % 使用最小二乘法求解 theta = (A' * A) \ (A' * y); % 利用最小二乘法的公式求解 % 显示拟合曲线 plot(x, theta(1) * x + theta(2), '-', 'LineWidth', 2); % 画出拟合曲线 hold on; % 保持当前图像 plot(x, y, 'o', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'b'); % 在图像上画出原始数据点 xlabel('x'); % 设置x轴标签 ylabel('y'); % 设置y轴标签 legend('拟合曲线', '原始数据点'); % 设置图例
这个程序首先定义了一组输入数据x和y。然后，它构建了一个矩阵A，这个矩阵由输入数据x和单位矩阵构成。然后，程序使用最小二乘法的公式来求解最佳拟合曲线的参数。最后，程序画出拟合曲线和原始数据点。 这个程序使用的是线性最小二乘法，适用于一次曲线拟合。如果你的数据更适合非线性模型，例如二次曲线或指数曲线，那么你需要使用非线性最小二乘法。Matlab提供了lsqcurvefit函数，可以用于非线性曲线拟合。例如：% 非线性模型 y = a * x^2 + b * x + c fun = @(theta, x) theta(1) * x.^2 + theta(2) * x + theta(3); guess = [1, 1, 1]; % 初始猜测值 % 使用lsqcurvefit函数求解 theta = lsqcurvefit(fun, guess, x, y); % 显示拟合曲线 plot(x, fun(theta, x), '-', 'LineWidth', 2); % 画出拟合曲线 hold on; % 保持当前图像 plot(x, y, 'o', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'b'); % 在图像上画出原始数据点 xlabel('x'); % 设置x轴标签 ylabel('y'); % 设置y轴标签 legend('拟合曲线', '原始数据点'); % 设置图例
最小二乘拟合（Least Squares Fitting）是一种经典的数据拟合方法，可以通过最小化残差平方和来求解线性或非线性函数的系数。在Matlab中，可以使用polyfit函数进行最小二乘拟合。 polyfit函数的用法如下： p = polyfit(x, y, n) 其中，x和y分别是数据的自变量和因变量，n为拟合的多项式阶数，p为拟合后的多项式系数向量。如果x和y是向量，则表示拟合一条曲线，如果x和y是矩阵，则表示拟合多条曲线。 下面以一个简单的例子来说明如何使用polyfit函数进行最小二乘拟合。 假设有一组数据，如下： x = [1 2 3 4 5]; y = [1.2 2.3 3.2 4.1 5.2]; 现在我们想要拟合一条一次函数y = ax + b来描述这些数据。我们可以使用polyfit函数进行拟合，代码如下： p = polyfit(x, y, 1); a = p(1); b = p(2); 这里的参数n设置为1，表示拟合一次函数。拟合后得到的多项式系数向量p为[0.98 0.12]，表示a = 0.98，b = 0.12。可以将拟合后的函数画在图上，代码如下： xx = linspace(0, 6, 100); yy = polyval(p, xx); plot(x, y, 'o', xx, yy); 这里使用linspace函数生成100个等间隔的点，然后使用polyval函数计算每个点的y 值。最后将数据点和拟合曲线一起画在图上。
可以看到，拟合的一次函数可以较好地描述这些数据点的分布。同样地，我们也可以拟合更高次的多项式函数来更精确地描述数据。 需要注意的是，最小二乘拟合并不一定能够得到准确的结果，特别是在数据存在较大噪声的情况下。此时，需要进行数据清洗、噪声滤波等处理，才能得到更可靠的拟合结果。
matlab最小二乘法曲线拟合在数据处理和拟合曲线中，最小二乘法是一种常用的数学方法。通过最小化数据点到拟合曲线的垂直距离的平方和，最小二乘法可以在给定数据集上拟合出一条曲线。在MATLAB中，最小二乘法曲线拟合可以通过使用polyfit函数来实现。 最小二乘法原理 最小二乘法的目标是找到一条曲线，使得曲线上的点到原始数据点的垂直距离的平方和最小。具体而言，对于给定的数据集{(x1, y1), (x2, y2), ... , (xn, yn)}，最小二乘法拟合的目标是找到一个多项式函数y = f(x) = a0 + a1*x + a2*x^2 + ... + an*x^n，其中a0, a1, a2, ... , an为待定系数，使得下述式子最小化：  这里，ei表示第i个数据点的观测误差。 在MATLAB中使用最小二乘法进行曲线拟合 MATLAB提供了polyfit函数来进行最小二乘法曲线拟合。polyfit 函数采用两个输入参数：x和y，分别表示数据点的横坐标和纵坐标。此外，用户还需要指定多项式的阶数n。polyfit将返回一个包含拟合多项式系数的向量p。用户可以使用polyval函数来计算拟合曲线上的点的纵坐标，具体使用如下： p = polyfit(x, y, n);
y_fit = polyval(p, x); 下面我们通过一个例子来演示如何使用MATLAB进行最小二乘法 曲线拟合。 假设我们有如下数据集，表示了一个函数y = f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 5x + 2上的一些离散数据点： x = [0, 1, 2, 3, 4, 5]; y = [2, 3, 4, 5, 6, 7]; 我们可以使用polyfit函数进行二次多项式曲线拟合，代码如下： p = polyfit(x, y, 2); y_fit = polyval(p, x); 接下来，我们可以绘制原始数据点和拟合曲线，代码如下： plot(x, y, 'o'); hold on; plot(x, y_fit, '-'); xlabel('x'); ylabel('y'); legend('原始数据', '拟合曲线'); 在图中，原始数据点以圆圈表示，拟合曲线以实线表示。观察图像，我们可以看出拟合曲线很好地适应了原始数据点。
matlab最小二乘法拟合 matlab最小二乘法拟合是一种常用的拟合方法，它属于非线性最小二 乘拟合，其可以用来拟合任意数据。matlab最小二乘法拟合主要包括 以下几个步骤： 一、准备数据 1、准备数据阶段：包括收集数据，整理数据，观察数据； 2、设计拟合模型：根据观察到的特性确定拟合模型方程； 3、计算函数参数：根据拟合模型对原始数据进行曲线拟合，计算出模 型参数； 二、参数估计 1、最小二乘法拟合：将所有点拟合到曲线上，使每个点到曲线上的距 离之和最小； 2、非线性最小二乘拟合：根据多元非线性模型参数的变化范围，构造 最小二乘拟合的曲线，应用非线性拟合和最小二乘法拟合找出最佳拟 合曲线； 3、外推预测：根据拟合后的参数预测特定值。 三、评价拟合结果 1、残差平方和：根据拟合模型和所得数据，计算拟合结果和拟合误差； 2、自由度：自由度 = 总数据点数- 拟合模型参数的个数；
3、复杂度检验：考虑拟合模型的复杂度对拟合效果的影响； 4、对数校正残差：考虑拟合结果的稳定性，比较数据的分布与真实数据的分布； 5、误差统计检验：通过统计分析评估拟合结果的可靠性。 四、模型预测 1、均方根误差（RMSE）：评估预测模型拟合准确性，值越小，模型越有效； 2、均方误差（MSE）：反映预测值与真实值之间的平均差异； 3、绝对均差（MAE）：反映预测值与真实值之间的绝对均值差异； 4、平均绝对平方偏差（MAHAPE）：反映模型拟合精度平均差距，值越接近0，模型越精确； 5、杰拉德系数（R）：反映预测值与真实值之间的线性联系，值越接近1，模型越有效。 以上是matlab最小二乘法拟合的原理和应用，它不仅可以拟合任意数据，而且具有较强的适用性和准确性。此外，matlab最小二乘法拟合还可以用来评估拟合结果的准确性，方便对数据进行分析处理。
一、介绍最小二乘法 最小二乘法是一种数学优化技术，常用于拟合数据和估计参数。在数 学和工程领域中，最小二乘法被广泛应用于曲线拟合、数据修复和信 号处理等领域。其原理是通过最小化实际观测值与理论值之间的残差 平方和来找到最优解。 二、谐波拟合问题 在信号处理和电力系统分析中，谐波分析和谐波拟合是重要的问题之一。谐波信号由频率为整数倍的基波频率的正弦或余弦波构成。通过 对谐波信号进行拟合，可以估计出各个谐波的幅值、相位和频率，有 助于有效地进行信号分析和功率系统质量评估。 三、Matlab中最小二乘法的实现 在Matlab中，最小二乘法可以通过内置的函数“lsqcurvefit”来实现。该函数可以用来解决非线性最小二乘问题，适用于进行曲线拟合和参 数估计。其调用格式为： [x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda,jacobian] = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub) 其中，fun为拟合函数，x0为参数初始值，xdata和ydata为观测数据，lb和ub为参数的下界和上界。 四、使用最小二乘法进行谐波拟合 对于谐波拟合问题，可以将谐波信号模型表示为一个非线性方程组，
然后利用最小二乘法来拟合这个方程组。假设有观测数据y和对应的自变量x，现在要拟合一个包含n个谐波成分的模型： y = A1*sin(w1*x+phi1) + A2*sin(w2*x+phi2) + ... + An*sin(wn*x+phin) 其中，A为幅值，w为频率，phi为相位。 五、谐波拟合的步骤 （1）数据准备：准备观测数据y和对应的自变量x。 （2）拟合函数构建：构建谐波拟合的拟合函数，包括谐波个数、参数初值以及谐波信号模型。 （3）参数估计：利用最小二乘法对拟合函数进行参数估计，得到各个谐波成分的幅值、频率和相位。 （4）拟合效果评估：通过拟合效果的评估指标，如残差平方和等，来评估拟合的准确度和有效性。 六、Matlab中谐波拟合的实现 在Matlab中，可以利用lsqcurvefit函数来实现谐波拟合。下面通过一个示例来演示如何使用Matlab中的最小二乘法进行谐波拟合。 clear x = linspace(0,4*pi,50); y = 3*sin(2*x+0.5) + 2*sin(3*x-1) + 1*sin(4*x+0.8) + 0.5*sin(5*x-2);
最小二乘法（Least Squares Method，LSM）是一种数值计算方法，用于拟合曲线，求解 未知参数的值。它的基本思想是，通过求解最小二乘误差的最优解，来拟合曲线，从而求 得未知参数的值。本文将介绍最小二乘法在Matlab中的实现原理及程序编写。 一、最小二乘法的原理 最小二乘法是一种数值计算方法，它的基本思想是，通过求解最小二乘误差的最优解，来 拟合曲线，从而求得未知参数的值。 最小二乘法的基本原理是：给定一组数据点，用直线拟合这组数据点，使得拟合直线与这 组数据点的误差的平方和最小。 具体地说，假设有一组数据点，其中每个数据点都可表示为(x_i, y_i)，i=1,2,3,...,n，其中x_i和y_i分别表示第i个数据点的横纵坐标。拟合这组数据点的直线通常用一元线 性函数表示，即y=ax+b，其中a和b是未知参数。最小二乘法的思想是：求出使误差的平方和最小的a和b，即求出最优解。 二、Matlab程序编写 1. 准备工作 首先，我们需要准备一组数据点，每个数据点都可表示为(x_i, y_i)，i=1,2,3,...,n， 其中x_i和y_i分别表示第i个数据点的横纵坐标。 例如，我们可以准备一组数据点： x=[1,2,3,4,5]; y=[2,4,6,8,10]; 2. 程序编写 接下来，我们就可以开始编写Matlab程序了。 首先，我们需要定义一个一元线性函数，用于拟合这组数据点。函数的形式为：y=ax+b， 其中a和b是未知参数。
%定义函数 f=@(a,b,x)a*x+b; 然后，我们需要定义一个误差函数，用于计算拟合直线与这组数据点的误差的平方和。 %定义误差函数 error=@(a,b)sum((y-f(a,b,x)).^2); 最后，我们就可以使用Matlab提供的fminsearch函数，求解最小二乘误差的最优解，即 求出最优a和b的值。 %求解最优解 [a,b]=fminsearch(error,[1,1]); 经过上面的程序编写，我们就可以求得未知参数a和b的最优值。 三、实际应用 最小二乘法在实际应用中有着广泛的应用，如在统计学中，可以用最小二乘法来拟合线性 回归模型；在工程中，可以用最小二乘法来拟合曲线，求解未知参数的值。 例如，有一组实验数据，我们可以使用上面编写的Matlab程序，拟合出这组数据的曲线，从而求得未知参数的值。 四、总结 本文介绍了最小二乘法在Matlab中的实现原理及程序编写。最小二乘法的基本原理是： 给定一组数据点，用直线拟合这组数据点，使得拟合直线与这组数据点的误差的平方和最小。最小二乘法在实际应用中有着广泛的应用，如在统计学中，可以用最小二乘法来拟合 线性回归模型；在工程中，可以用最小二乘法来拟合曲线，求解未知参数的值。
主题：如何使用Matlab进行最小二乘拟合并计算r 内容： 一、介绍最小二乘拟合的概念 1. 最小二乘拟合是一种常见的数据拟合方法，通过最小化实际观测 值与拟合值之间的误差平方和来找到最优拟合函数。 2. 在Matlab中，可以利用内置的polyfit函数来进行最小二乘拟合，该函数可以拟合出任意阶的多项式。 二、Matlab中的polyfit函数介绍 1. polyfit函数的基本语法为：p = polyfit(x, y, n)，其中x和y分别为数据点的横纵坐标，n为拟合的多项式阶数。 2. polyfit函数返回一个包含拟合系数的向量p，该向量可以用来构 建拟合多项式。 三、如何使用polyfit进行最小二乘拟合 1. 需要准备实验或观测数据，并将其存储在Matlab的变量中。 2. 接下来，利用polyfit函数对数据进行拟合，得到拟合系数向量p。 3. 利用polyval函数结合拟合系数p，可以得到拟合的函数值，进而绘制拟合曲线。 四、如何计算拟合优度r
1. 在进行最小二乘拟合之后，我们希望了解拟合曲线与实际数据的 拟合程度，这时就需要计算拟合优度r。 2. 在Matlab中，可以利用相关系数来评估拟合优度，相关系数r的取值范围在-1到1之间，一般来说，r越接近1，拟合效果越好。 3. 使用相关系数函数corrcoef可以方便地计算拟合优度r。 五、示例演示 1. 为了更直观地理解如何使用Matlab进行最小二乘拟合以及计算r，我们将给出一个具体的示例演示。 2. 在示例中，我们将使用polyfit函数对一组人口增长数据进行拟合，并利用相关系数函数corrcoef计算拟合优度r。 六、总结 1. 最小二乘拟合是一种常见的数据拟合方法，Matlab提供了丰富的函数库来支持最小二乘拟合的实现。 2. 在进行最小二乘拟合之后，计算拟合优度r可以帮助我们评估拟 合效果，为数据分析和实际应用提供参考。 文章结尾 从以上内容我们可以看出，Matlab作为一款功能强大的数据分析工具，对于最小二乘拟合和相关系数的计算都提供了便捷的函数支持。通过 合理的使用这些函数，我们可以快速准确地进行数据拟合分析，为科 学研究和工程实践提供有效的支持。希望本文对您在使用Matlab进
一、概述 在数据分析和曲线拟合中，最小二乘法是一种常用的数据拟合方法。它通过最小化实际观测值与拟合曲线之间的残差平方和来求得最优拟合曲线的参数。而在MATLAB中，有专门的函数可以帮助我们进行最小二乘法拟合，实现不同类型的数据拟合。本文将从最小二乘法的原理和MATLAB的使用角度，介绍如何在MATLAB中使用最小二乘法进行函数分段拟合。 二、最小二乘法原理 1. 残差的定义 在进行数据拟合时，我们经常会遇到实际观测值与拟合曲线之间存在一定的偏差，这种偏差即为残差。对于第i个观测点，其残差可以表示为： \[e_{i} = y_{i} - F(x_{i}, \theta)\] 其中\(y_{i}\)为实际观测值，\(F(x_{i}, \theta)\)为拟合曲线在\(x_{i}\)处的取值，\(\theta\)为拟合曲线的参数。 2. 最小二乘法的原理 最小二乘法的目标是找到一组参数\(\theta^*\)，使得实际观测值与拟合曲线的残差平方和最小，即 \[\min_{\theta} \sum_{i=1}^{n} e_{i}^{2}\] 通过对残差平方和的求导等于0，可以得到最优参数\(\theta^*\)的表达式，这样就得到了最优的拟合曲线。
三、MATLAB中的最小二乘法函数 在MATLAB中，有专门用于最小二乘法拟合的函数lsqcurvefit。该函数可以实现对一般形式的非线性方程进行最小二乘法拟合，在进行分 段函数拟合时，也可以适用。下面将介绍lsqcurvefit函数的基本用法。 1. 函数参数 lsqcurvefit函数的基本参数包括： - fun：拟合函数的句柄，用于计算拟合曲线在给定x处的取值 - x0：拟合曲线的初始参数 - xdata：实际观测点的x坐标 - ydata：实际观测点的y坐标 - lb、ub：参数的取值范围约束 2. 示例代码 下面是一个使用lsqcurvefit函数进行分段线性函数拟合的示例代码：```matlab 定义拟合函数 fun = (x, xdata) x(1)*xdata.*(xdata<=3) + x(2)*xdata.*(xdata>3); 初始化参数 x0 = [1, 2];
matlab最小二乘法高次拟合曲线 最小二乘法是一种常用的曲线拟合方法，用于找到一条最优的曲 线来拟合一组给定的数据点。在MATLAB中，可以使用polyfit函数来 进行最小二乘法拟合。 假设有一组数据点(x_i, y_i)，其中x_i为自变量的取值，y_i 为对应的因变量的取值。现在要拟合一条高次曲线来表达这些数据点。可以通过指定需要的多项式的次数来进行高次拟合。假设需要进行n 次拟合，那么拟合的曲线可以表示为： y = a_n * x^n + a_(n-1) * x^(n-1) + ... + a_1 * x + a_0 其中a_n, a_(n-1), ..., a_1, a_0为拟合曲线中的系数。 在MATLAB中，可以使用以下代码进行最小二乘法高次拟合： ```matlab % 输入数据点的x和y值 x = [x_1, x_2, ..., x_m]; y = [y_1, y_2, ..., y_m]; % 指定需要进行的多项式的次数 n = 指定的次数; % 进行最小二乘法拟合 coefficients = polyfit(x, y, n); % 根据拟合得到的系数绘制拟合曲线 x_fit = linspace(min(x), max(x), 1000); y_fit = polyval(coefficients, x_fit); plot(x, y, 'o', x_fit, y_fit); ``` 在上述代码中，polyfit函数用于进行最小二乘法拟合，返回的coefficients是拟合曲线中的系数。polyval函数用于根据拟合的系 数计算曲线上对应的y值。最后，使用plot函数将原始数据点和拟合 曲线一起显示出来。
最小二乘拟合算法的MATLAB 实现 佟颖 1011202022 精仪学院 1.最小二乘原理： 通过一组观测实验数据(,)(1,2,...,)k k x y k m =确定y 与x 的关系()y f x =，通常采用最佳平方逼近，即在01{(),(),...,()}()()n span x x x f x S x φϕϕϕ=中寻找的逼近函数，使2 1()[()()]min m i i i i x f x S x ρ=-=∑，式中，()i x ρ为点i x 处的权函数，上述最佳平方逼近曲 线拟合方法称为最小二乘法，而S (x )即为所要找的函数关系。当基函数 ()(0,1,...j j x x j n ϕ==时，称拟合问题为多项式拟合，多项式拟合是最简单且常用的方法。 2.程序功能： 该程序采用最小二乘线性拟合完成基于非分散红外吸收光谱的一氧化碳浓度监测。程序代码如下： clc,clear all close all testData=load( 'CO.txt'); x=testData(:,1); y=testData(:,2); p=polyfit(x,y,2) x1=0.55:0.05:0.8; y1=polyval(p,x1); plot(x1,y1,'-b',x,y,'*r',x,polyval(p,x),'+g'); legend('fitting curve','true values','fitted values'); xlabel('¦Ã=(Dm-D¦Ã)/D¦Ã'); ylabel('CO Concentration/ppm'); relativeError=(polyval(p,x)-y)./y 3.运行结果分析 建模数据是光强数据及一氧化碳浓度值，从建模效果看，拟合曲线和实际数据的一致性较好。程序运行截图如下：
曲线拟合（c u r v e -f i t t i n g ）：工程实践中，用测量到的一些离散的数据},...2,1,0),,{(m i y x i i =求一个近似的函数)(x ϕ来拟合这组数据，要求所得的拟合曲线能最好的反映数据的基本趋势（即使)(x ϕ最好地逼近()x f ，而不必满足插值原则。因此没必要取)(i x ϕ=i y ，只要使i i i y x -=)(ϕδ尽可能地小）。 原理： 给定数据点},...2,1,0),,{(m i y x i i =。求近似曲线)(x ϕ。并且使得近似曲线与()x f 的偏差最小。近似曲线在该点处的偏差i i i y x -=)(ϕδ，i=1,2,...,m 。 常见的曲线拟合方法: 1.使偏差绝对值之和最小 2.使偏差绝对值最大的最小 3.使偏差平方和最小 最小二乘法： 按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。 推导过程： 1. 设拟合多项式为： 2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下：
3. 问题转化为求待定系数0a ...k a 对等式右边求i a 偏导数，因而我们得到了： ....... 4、 把这些等式化简并表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵： 5. 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到: 6. 也就是说X*A=Y ，那么A = (X'*X)-1*X'*Y ，便得到了系数矩阵A ，同时，我们也就得到了拟合曲线。 MATLAB 实现： MATLAB 提供了polyfit （）函数命令进行最小二乘曲线拟合。 调用格式：p=polyfit(x,y,n) [p,s]= polyfit(x,y,n) [p,s,mu]=polyfit(x,y,n) x,y 为数据点，n 为多项式阶数，返回p 为幂次从高到低的多项式系数向量p 。x 必须是单调的。矩阵s 包括R （对x 进行QR 分解的三角元素）、df(自由度）、normr(残差）用于生成预测值的误差估计。 [p,s,mu]=polyfit(x,y,n)在拟合过程中，首先对x 进行数据标准化处理，以在拟合中消除量纲等影响，mu 包含标准化处理过程中使用的x 的均值和标准差。 polyval( )为多项式曲线求值函数，调用格式： y=polyval(p,x)
最小二乘法的基本原理和多项式拟合 一、最小二乘法的基本原理 从整体上考虑近似函数)(x p 同所给数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)误差 i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m) i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)绝对值的最大值i m i r ≤≤0max ，即误差 向量 T m r r r r ),,(10 =的∞—范数；二是误差绝对值的和∑=m i i r 0 ，即误差向量r 的1— 范数；三是误差平方和∑=m i i r 2 的算术平方根，即误差向量r 的2—范数；前两种 方法简单、自然，但不便于微分运算 ，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方， 因此在曲线拟合中常采用误差平方和∑=m i i r 02 来 度量误差i r (i=0，1，…，m)的整 体大小。 数据拟合的具体作法是：对给定数据 ),(i i y x (i=0,1,…，m)，在取定的函数类Φ中,求Φ∈)(x p ,使误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)的平方和最小，即 ∑=m i i r 2 [] ∑==-m i i i y x p 0 2 min )( 从几何意义上讲，就是寻求与给定点),(i i y x (i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线 )(x p y =（图6-1）。函数)(x p 称为拟合函数或最小二乘解，求拟合 函数p(x)的方法称为曲线拟合的最小二乘法。 合中，函数类Φ可有不同的选取方法 . 6—1
二 多项式拟合 假设给定数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)，Φ为所有次数不超过)(m n n ≤的多项式构 成的函数类，现求一 Φ ∈=∑=n k k k n x a x p 0)(,使得 [] min )(0 02 02 =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=∑∑∑===m i m i n k i k i k i i n y x a y x p I (1) 当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的)(x p n 称为最小二乘拟合多项式。特别地，当n=1 时，称为线性拟合或直线拟合。 显然 ∑∑==-=m i n k i k i k y x a I 0 2 0)( 为n a a a ,,10的多元函数，因此上述问题即为求),,(10n a a a I I =的极值 问题。由多元函数求极值的必要条件，得 n j x y x a a I m i j i n k i k i k j ,,1,0,0)(200 ==-=∂∂∑∑== (2) 即 n j y x a x n k m i i j i k m i k j i ,,1,0, )(0 ==∑∑∑===+ (3) （3）是关于n a a a ,,10的线性方程组，用矩阵表示为 ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥ ⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ +∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑=====+==+====m i i n i m i i i m i i n m i n i m i n i m i n i m i n i m i i m i i m i n i m i i y x y x y a a a x x x x x x x x m 00010020 10 102000 1 (4) 式（3）或式（4 ）称为正规方程组或法方程组。 可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。从式（4）中解出k a (k=0,1,…，n) ，从而可得多项式