有限元法分析结果的误差影响
本文指出了有限元法分析结果的误差影响存在于其每一操作步骤，并对这些误差进行了归类分析。随后，结合工程实例，通过改变单元类型（形状和精度）、调整单元尺寸大小和应用多种分网方式，显示理想化误差和离散化误差对计算结果的影响。最后，提出建议和今后的研究方向。
一、引言
有限元法分析起源于50年代初杆系结构矩阵的分析。随后，Clough于1960年第一次提出了“有限元法”的概念。其基本思想是利用结构离散化的概念，将连续介质体或复杂结构体划分成许多有限大小的子区域的集合体，每一个子区域称为单元（或元素），单元的集合称为网格，实际的连续介质体（或结构体）可以看成是这些单元在它们的节点上相互连接而组成的等效集合体；通过对每个单元力学特性的分析，再将各个单元的特性矩阵组集成可以建立整体结构的力学方程式，即力学计算模型；按照所选用计算程序的要求，输入所需的数据和信息，运用计算机进行求解。
当前，有限元方法/理论已经发展的相当成熟和完善，而计算机技术的不断革新，又在很大程度上推进了有限元法分析在工程技术领域的应用。然而，如此快速地推广和应用使得人们很容易忽视一个前提，即有限元分析软件提供的计算结果是否可靠、满足使用精度的前提，是合理地使用软件和专业的工程分析。只有这两者很好地结合，我们才能得到工程上切实可信的计算结果，否则只会在工程上造成极大的浪费，甚至带来严重的工程事故。
二、误差分析
有限元法分析一般包括四个步骤：物理模型的简化、数学模型的程序化、计算模型的数值化和计算结果的分析。每一个步骤在操作过程中都或多或少地引入了误差，这些误差的累积最终可能会对计算结果造成灾难性的影响，进而蒙蔽我们的认识和判断。
第一步，物理模型的简化，主要有几何实体、连接/装配关系、环境边界条件和材料特性的简化，进而构建数学模型。这些简化或者说假设，是必要的，也是必须的，但是也由此在模型中引入了理想化误差（idealization error）。有些理想化误差是非良性奇异的，比如几何实体简化时细节部位上忽略小的圆/倒角，连接/装配关系简化时忽略焊缝和螺栓连接等，往往导致模型发生结构方面（诸如L形截面的角点）的奇异，即结构奇异（奇异的数学定义是在某一点处导数无穷）；有些理想化误差是良性奇异的，比如边界条件简化时添加集中载荷和孤立点约束，导致模型发生边界条件的奇异，即边界奇异；其它理想化误差，比如几何实体简化时三维壳/面体简化为二维壳/面、三维梁简化为一维梁，边界条件简化时非均匀温度场和压力场简化为均匀温度场和压力场等，只会影响计算结果的准确度，不会引发计算结果方面的数值奇异，即应力奇异和位移奇异等。理想化误差是在有限元法分析开始之前引入的，因此我们不可能通过改进有限元分析技术来达到消除其的目的，而只能通过修改数学模型本身来实现消除其的目的。
第二步，数学模型的程序化，主要有几何实体的单元离散、单元网格的装配连接、模型环境边界条件的添加，进而构建计算模型。几何实体的离散，和单元类型（形状和精度）、单元尺寸以及分网方式的选择有关，不可避免地会引入离散化误差（discretization error）。离散化误差，是根植于有限元法分析本身的，因此只能通过改进有限元分析技术或者技巧来尽力消除/减小这方面的误差，比如采用规则化的单元形状避免单元在形状上产生奇异（即单元奇异）、提高单元精度和增加网格密度减小计算方面的误差等方法。单元网格的装配连接一般采用MPC多点约束法，因而会引入人为误差（artificial error），这方面误差的消除更多是需要长期计算经验的积累。模型环境边界条件的添加，其误差影响依赖于第一步的理想化简化。
第三步，计算模型的数值化，主要是用数值计算方法（程序求解器）求解、逼近真实的解析值，因而必然存在数值化误差（numerical error）。数值计算方法的精度（非人为可控）越高，计算结果的误差就越小，但计算的工作量也越大。实际考虑到计算精度和计算资源的利用，必然要做一个适当的统一。
第四步，计算结果的分析，主要是利用数值计算结果来分析、评判，或预知真实的物理模型，由此也存在着认知误差（recognized error）。认知误差的消除，一方面需要真实物理试验的指导，另一方面依赖于
分析人员的工程经验和认知能力。同时，不要忘记了我们的前提假设，即第一步物理模型的简化，或假设。
下文，将通过一个简单的例子来说明理想化误差和离散化误差对有限元法分析结果的影响。计算时，采用有限元数值分析软件ANSYS11.0版本，32位操作系统软件WindowsXP版本，HP xw4200服务器硬件平台，保证了程序求解器及其运行环境的统一，以消除数值化误差。
三、实例分析
图1 起竖支耳模型
图1中所示为工程上最常见的起竖支耳模型，其包括两个部分：横板和竖耳。工艺生产上，即可以将横板和竖耳做成一个整体铸件（如图1.a），也可以将二者作为两个单独的部件焊接而成（如图1.b）。有限元分析时，一般会忽略铸件上小的过渡圆角，也经常忽略焊接件上的焊缝，即而简化为适于分析的几何实体（如图1.c）。工程使用中，起竖机构通过销轴作用于竖耳销孔以推动横板连接机构完成起竖，具体压力载荷P的数学形式可表示为：
上式(1)中，P0为最大压力载荷幅值，θ为载荷作用面上某点的周向角度，F为真实的载荷力，R为销孔半径，L为销孔纵向长度。数学建模时，仅为满足工程简单计算的需求，材料模型通常取为线性弹性模型。
为了显示计算结果的误差影响，这里选用三种评估方法：智能化自由网格划分、规则化网格划分和自适应P改进，见表1。智能化自由网格划分，利用SMRTSIZE选项控制单元尺寸大小，分割几何实体为四面体单元，单元形状较差，计算效率低；规则化网格划分，利用线段分割数参数NSize控制网格单元大小，保证几何实体规则划分，以避免单元奇异，进而消除离散化带来的误差影响；自适应P改进在规则化网格划分的基础上，通过提高单元精度以展示所关心位置处节点的应力收敛过程，进而显示理想化误差带来的影响。
表1 三种评估方法
关心位置包括：几何简化引起结构奇异的位置，竖耳根部左下角LUGDL、右下角LUGDR、左上角LUGUL 和右上角LUGRL，这些位置的节点应力通常不会收敛，即应力奇异；边界约束引起边界奇异的位置，横板约束根部左下角PLATEDL、右下角PLATEDR、左上角PLATEUL和右上角PLATEUR，这些位置受刚性约束限制了其横向位移（泊松比效应）从而导致应力不收敛；实体离散可能引起单元奇异的位置，销孔左下角PINDL、右下角PINRL、左上角PINUL和右上角PINUL，这些位置若网格规则其应力集中，若网格不规则其应力奇异。
3.1 智能化自由网格划分
按照有限元分析软件前处理步骤，首先定义了单元类型（三维十节点四面体结构单元SOLID187）、实常数和材料模型参数；然后，采用智能化自由网格划分技术对几何实体图1.c进行分网（见图2所示），单元尺寸大小由SMRTSIZE参数控制；最后，对模型进行检查，确保无误后退出前处理模块。
图4 竖耳根部角点应力变化曲线图5 横板约束角点应力变化曲线
进入有限元分析软件计算模块，首先给计算模型添加环境边界条件：横板左、右面固定约束，竖耳销孔位置施加式(1)形式的载荷，其合力沿水平正Z轴方向；随后，设置求解环境参数，静态分析；最后，对模型进行检查，确保无误后求解退出计算模块。
由图3~图5所示，可以发现：1）竖耳根部、销孔上下缘和横板约束根部的节点应力具有比较明显的网格敏感特性，当网格密度达到一定程度时其整体趋势是随着网格密度的增加（SMRTSIZE越小）应力值无
限增加，即不收敛；2）由于网格不太规则，使得载荷和位移边界条件偏离对称特性，因而对称位置的应力数值有明显偏差。众所周知，特定工况下结构的真实应力，其数值只能有一个，具有唯一性。考虑到数值计算的精度问题，其应力计算值可能是一个围绕真实应力在一定精度范围内波动的数值，而随着数值精度的不断提高，应力计算值将会逐渐趋于一个有限数值，即真实应力。由此看来，图3~图5所示关心位置处应力并非真实的应力，而是计算得到的虚假应力。
3.2 规则化网格划分
采用三维二十节点六面体实体单元SOLID186，利用线段分割数参数NSize控制网格单元大小，扫略划分图1.c几何实体，见图6所示。
由图7~图8所示，可以看出：1）由于网格规则，使得载荷和位移边界条件满足对称特性，因而对称位置的应力数值基本完全重合；2）竖耳根部和横板约束根部的节点应力仍具有比较明显的网格敏感特性，其整体趋势是随着网格密度的增加（NSize越大）应力值无限增加，即不收敛；3）销孔上下边缘的节点应力在4.45~4.50MPa范围内波动，且有收敛态势，因而其应力计算值为真实应力。以上分析表明，销孔上下边缘的应力结果误差为离散化误差，而竖耳根部角点和横板约束角点的应力结果误差为理想化误差。
图8 竖耳根部角点应力变化曲线图9 横板约束角点应力变化曲线
3.3 自适应P改进
采用三维二十节点六面体实体P单元SOLID147（其位移模式中形函数的阶次可以在2~8之间自适应选择），设置线段分割数参数NSize=3控制网格单元大小，扫略划分图1.c几何实体，见图10所示。
图12 竖耳根部角点应力变化曲线图13 横板约束角点应力变化曲线
由图11~图13所示，可以看出：1）竖耳根部和横板约束根部的节点应力随单元精度的提高无限增加，不收敛；2）销孔上下边缘的节点应力随单元精度的提高逐渐收敛于4.39MPa左右。由此再次表明，销孔
上下边缘的应力结果误差为离散化误差，而竖耳根部角点和横板约束角点的应力结果误差为理想化误差。
CATIA有限元分析计算实例 CATIA有限元分析计算实例 11.1例题1 受扭矩作用的圆筒 11.1－1划分四面体网格的计算 （1）进入【零部件设计】工作台 启动CATIA软件。单击【开始】→【机械设计】→【零部件设计】选项，如图11－1所示，进入【零部件设计】工作台。 图11－1单击【开始】→【机械设计】→【零部件设计】选项 单击后弹出【新建零部件】对话框，如图11-2所示。在对话框内输入新的零件名称，在本例题中，使用默认的零件名称【Part1】。点击对话框内的【确定】按钮，关闭对话框，进入【零部件设计】工作台。 （2）进入【草图绘制器】工作台 在左边的模型树中单击选中【xy平面】, 如图11-3所示。单击【草图编辑器】工具栏内的【草图】按钮，如图11-4所示。这时进入【草图绘制器】工作台。 图11－2【新建零部件】对话框
图11－3单击选中【xy平面】 （3）绘制两个同心圆草图 点击【轮廓】工具栏内的【圆】按钮，如图11-5所示。在原点点击一点，作为圆草图的圆心位置，然后移动鼠标，绘制一个圆。用同样分方法再绘制一个同心圆，如图11-6所示。 图11－4【草图编辑器】工具栏 图11－5【轮廓】工具栏 下面标注圆的尺寸。点击【约束】工具栏内的【约束】按钮，如图11-7所示。点击选择圆，就标注出圆的直径尺寸。用同样分方法标注另外一个圆的直径，如图11-8所示。 图11－6两个同心圆草图 图11－7【约束】工具栏 双击一个尺寸线，弹出【约束定义】对话框，如图11－9所示。在【直径】数值栏内输入100mm，点击对话框内的【确定】按钮，关闭对话框，同时圆的直径尺寸被修改为100mm。用同样的方法修改第二个圆的直径尺寸为50mm。修改尺寸后的圆如图11-10所示。
有限元模型如何查错 作者：PAUL KUROWSKI 在建立有限元模型的过程中很容易出错，如果你知道如何查错，修正这些错误将会变得很简单 有限元分析的第一步就是建立被分析对象的数学模型，这要求我们思索建模的理论基础如弹性理论，板的Reissner理论，塑性变形理论等，和考虑问题的其它信息如几何描述、材料特性，约束和荷载等等。 分析的目的就是由这些条件，计算得到精确解u_EX并同时得到位移u_EX的应力函数 F(u_EX)如Von Mises应力等。应力函数F (u_EX) 仅仅依赖于数学模型的定义，而与求解该数学问题的数值近似计算方法无关；同时应力函数F(u_EX)也不依赖于网格划分、网格类型和单元尺寸。函数F(u_EX)与模型实体物理性质之间的差异，被称为“模型错误”。 下一步就是使用有限元方法去找到精确解u_EX的近似值u_FE。这个过程包括选择网格划分和构件类型，如对二维板用八节点（矩形）单元，依此类推。网格划分＆单元定义被称为有限元的离散化。 离散化产生的误差可以被定义为： 大部分的分析应该把这个误差控制在10％以内。同时由于建立模型和模型的离散化一定会产生这个误差，正确运用有限元分析就包括对这两类误差进行评估和控制。有限元分析结果中的名义误差＆真实误差是有区别的，最好能够加以区别： 名义误差可以比建模误差和离散误差的总和小，二者可能反号而相互抵消。结果的好坏取决于模型是否反应实际（模型误差的大小）和有限元软件在转化过程中的精度控制（离散
化误差的大小）。 WHAT IS MODELING ERROR? 何为模型误差？ 假设要分析一个支架，我们首先考虑到的问题应该包括：我们想得到什么结果？是最大应力还是最大变形？是固有频率、弯曲刚度、还是温度分布？支架是否处于弹性变形阶段？极限荷载形式有几种情况？如何模拟支撑条件等等。有了一个明确的目标和对我们使用的理论自身局限性的把握，分析者就可以建立模型了。有时这个模型与CAD模型是相似的，但相当多的情况是，为了简化网格的划分，我们有必要修改模型的拓扑描述。部分建模的过程包括以下一些问题：用壳单元模拟薄壁墙体，对对称性、反对称性或两者的运用，是否考虑细部及忽略不重要的特征等。比如，选用壳单元而不用实体单元意味着我们考虑到数学模型和相应的有限元软件的运作方式而作出了一个重要的决定。 当(研究对象的)拓扑描述已经比较理想后，我们还需要对材料属性(选择线弹性、弹塑性或其他)、荷载及支撑条件进行理想的简化。我们认为这些简化精确反应了所需模型的重要数据，而建模当中的一些重要决策有时并未过多的考虑这些(方面)。简化了的模型经常是概念错误的，一个检验模型是否不合理的方法是其解析解对应的应变能是否无穷大或趋近于零；另一个方法是对应于数学模型的我们感兴趣的数据在结果没有得到体现。很多分析者认为一个有效的网格生成器可以生成高质量的网格并降低模型误差，其实不尽然，模型是在网格划分前假定的，因此，最合理的网格划分也无法修正一个简化不合理的数学模型。 A SYSTEMATIC APPROACH 一个系统的方法 确保模型误差较小的唯一方式是把所需研究的数据放在对模型假设不敏感之处。类似地，通过把所需研究的数据放在对离散不敏感之处（不敏感的表现是：结果对更细的网格划分或更大的p值并不发生明显的改变），以减少离散误差。举个例子：比如说我们对一块简支板沿着边缘方向的剪力感兴趣，那么经典的克西霍夫板模型(Kirchhoff’s plate)是不可用的，可以通过一个Reissner模型或一个全3D的弹性模型轻而易举地检验出来。一个关于板弯曲的Reissner模型假设所有平面内位移沿厚度方向呈线性变化、剪应变沿厚度方向保持不变。若采用更厚的板的话会迫使人们去置疑简支的意义、同时会置疑是否可以给出一
误差分析 1. 半片法测检流计内阻的误差讨论 1. 系统误差 半偏法实验条件要求保持0U 不变，但实际上，“半偏”与“满偏”时2R 不同，0U 也 不同，当将2R 调大时，与0R 并联的电路部分电阻阻值增大，该并联线以外的电阻值不变，因此，由欧姆定律可知，在0R 上的分压增大，即0U 与之前的0U 不同了，而我们在实验时，是将两次测得的0U 看成不变的值，这里即存在了系统误差，实验中采用尽量使得0U 的值达到电压表满偏的地方的方法，以减小由于读数的偶然误差而增加的误差。另外也可以证明02R R R g -≈。这里0R 为Ω001.，如果把2R 当作g R ，则有一个固定的系统误差，因此最后确定测量结果时应地这项系统误差进行修正。 修正结果为：Ω=Ω-=-=1715411715502.).(R R R g 2. 由检流计灵敏阈所决定的误差1? 所谓灵敏阈指引起仪表的示值发生一可察觉变化的被测量的最小变化值。检流计的灵敏阈可取为0.2分度所对应的电流值。在检流计中当电流的改变小于灵敏阈时，我们一般很难察觉出光标读数的变化，这就给内阻的测量带来误差。测灵敏阈的方法是在调好半偏后，可以人为地增大2R 到)'R R (?+2，使光标偏转减小2个分度，从而推算出0.2分度所对应的电阻的改变值为0.1'R ?。故灵敏阈对内阻测量的影响约导致 Ω±=Ω?±=?±=?80202810101...'R .。 3. 由于电压U 波动所引起的误差2? 实验要求电压表V 的示值不变，而实际上电压可能有波动，而我们却察觉不出电压表指针的变化。这项误差可按电压表灵敏阈为0.2分度来考虑，即U 的相对误差约为0.2分度的电压值除以电压表的示值，可得 半偏法： Ω ±=Ω???±=?±=?0367042020020201715722022../)..(./).(R g 电压表示值分度的电压值
有限单元法与有限元分析 1.有限单元法 在数学中，有限元法（FEM，Finite Element Method）是一种为求解偏微分方程边值问题近似解的数值技术。求解时对整个问题区域进行分解，每个子区域都成为简单的部分，这种简单部分就称作有限元。它通过变分方法，使得误差函数达到最小值并产生稳定解。类比于连接多段微小直线逼近圆的思想，有限元法包含了一切可能的方法，这些方法将许多被称为有限元的小区域上的简单方程联系起来，并用其去估计更大区域上的复杂方程。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。 随着电子计算机的发展，有限单元法是迅速发展成一种现代计算方法。它是50年代首先在连续体力学领域--飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。 1.1.有限元法分析本质 有限元法分析计算的本质是将物体离散化。即将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型，这一步称作单元剖分。离散后单元与单元之间利用单元的节点相互连接起来；单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质，描述变形形态的需要和计算精度而定（一般情况单元划分越细则描述变形情况越精确，即越接近实际变形，但计算量越大）。所以有限元中分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是同新材料的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。这样，用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划分单元数目非常多而又合理，则所获得的结果就与实际情况相符合。 1.2.特性分析 1）选择位移模式： 在有限单元法中，选择节点位移作为基本未知量时称为位移法；选择节点力作为基本未知量时称为力法；取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量时称为混合法。位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法中位移法应用范围最广。 当采用位移法时，物体或结构物离散化之后，就可把单元总的一些物理量如
中学化学中四种定量实验常见误差分析例 举 物质的量浓度溶液的配制，酸碱中和滴定，硫酸铜晶体中结晶水含量的测定和中和热的测定是中学化学实验中的四种定量实验。它是学生学习和掌握中学化学实验的重点内容，特别是四种定量实验的误差分析是学生学习和掌握定量实验的难点。现就中学化学中四种定量实验常见误差分析例举如下： 一、物质的量浓度溶液的配制 (以配制500mL.1mol/LNaOH溶液为例) 1、NaOH药品不纯（如NaOH中混有少量Na2O），结果偏高。 2、用天平称量NaOH时，称量时间过长。由于部分NaOH 与空气中的CO2反应生成Na2CO3,得到Na2CO3和NaOH 的混合物,则结果偏低。 3、用天平称量NaOH时，如砝码有污物，结果偏高。 4、用天平称量NaOH时，物码颠倒，但未用游码，不影响结果。 5、用天平称量NaOH时，物码颠倒，又用了游码，结果偏低。 6、用天平称量NaOH时，若用滤纸称NaOH，结果偏低。
7、称量前小烧杯中有水，无影响。 8、向容量瓶中转移溶液时，有少量溶液流至容量瓶之外，结果偏低。 9、未把烧杯、玻璃棒洗涤2～3次，或洗涤液未注入容量瓶，结果偏低。 10、烧杯中溶液未冷却至室温，就开始转移溶液注入容量瓶，结果偏高 11、定容时蒸馏水加多了，液面超过了刻度线，而用滴管吸取部分溶液至刻度线，结果偏低。 12、定容时摇匀，容量瓶中液面下降，再加蒸馏水至刻度线，结果偏低。 13、容量瓶定容时，若俯视液面读数，结果偏高。 14、容量瓶定容时，若仰视液面读数，结果偏低。 15、配制一定物质的量浓度稀H2SO4时，用量筒量取浓溶液，若俯视读数，结果偏低。 16、配制一定物质的量浓度稀H2SO4时，用量筒量取浓溶液，若仰视读数，结果偏高。 二、酸碱中和滴定 17、滴定管蒸馏水洗后未用标准液润洗，就直接装入标准液，造成标准液稀释，溶液浓度降低，滴定过程中消耗标准液体积偏大，测定结果偏高。 18、盛待测液滴定管水洗后，未用待测液润洗就取液加
目录 摘要 (1) 1引言 (1) 2 简要介绍有限元和极限平衡方法 (1) 3影响边坡稳定性的因素 (2) 3.1水位下降速度的影响 (2) 3.2 不排水粘性土对边坡失稳的影响 (5) 3.3 裂缝位置的影响 (9) 4 总结和结论 (12)
基于有限元法和极限平衡法的边坡稳定性分析 摘要：相较于有限元分析法，极限平衡法是一种常用的更为简单的边坡稳定性分析方法。这两种方法都可用于分析均质和不均质的边坡，同时考虑了水位骤降，饱和粘土和存在张力裂缝的条件。使用PLAXIS8.0(有限元法)和SAS-MCT4.0(极限平衡方法)进行了分析，并对两种方法获得的临界滑动面的安全系数和位置进行了比较。 关键词：边坡稳定；极限平衡法；有限元法；PLAXIS；SAS-MCT 1.引言 近年来，计算方法，软件设计和高速低耗硬件领域都得到快速发展，特别是相关的边坡稳定性分析的极限平衡法和有限元方法。但是，使用极限平衡方法来分析边坡，可能会在定位临界滑动面(取决于地质)时出现几个计算困难和前后数值不一致，因此要建立一个安全系数。尽管极限平衡法存在这些固有的局限性，但由于其简单，它仍然是最常用的方法。然而，由于个人电脑变得更容易获得，有限元方法已越来越多地应用于边坡稳定性分析。有限元法的优势之一是，不需要假设临界破坏面的形状或位置。此外，该方法可以很容易地用于计算压力，位移，路堤空隙压力，渗水引起的故障，以及监测渐进破坏。 邓肯(1996年)介绍了一个综合观点，用极限平衡和有限元两种方法对边坡进行分析。他比较了实地测量和有限元分析的结果，并且发现一种倾向，即计算变形大于实测变形。Yu 等人(1998年)比较了极限平衡法和严格的上、下界限法对于简单土质边坡的稳定性分析的结果，同时，他们也将采用毕肖普法和利用塑性力学上、下限原理的界限法得到的结果进行了比较。Kim等人(1999年)同时使用极限平衡法和极限分析法对边坡进行分析，发现对于均质土边坡，得自两种方法的结果大体是一致的，但是对于非均质土边坡还需要进行进一步分析工作。Zaki(1999年)认为有限元相对于极限平衡法更显优势。Lane和Griffiths (2000年) 提出一个看法，用有限元方法在水位骤降条件下评价边坡的稳定性，应绘制出适用于实际结构的操作图表。Rocscience有限公司(2001年)提出了一个文件，概述了有限元分析方法的能力，并通过与各种极限平衡方法的结果比较，提出了有限元方法更为实用。Kim等人(2002年)用上、下界限法和极限平衡法分析了几处非均质土体且几何不规则边坡的剖面。这两种方法给出了类似有限元分析法产生的安全系数，临界滑动面位置。 2.简要介绍有限元和极限平衡方法 有限元法(FEM)是一个应用于科学和工程中，求解微分方程和边值问题的数值方法。进一步的细节，读者可参考Clough和Woodward(1967年)，Strang和Fix(1973年)，Hughes(1987年)，Zienkiewicz和Taylor(1989年)所做的研究工作。 PLAXIS 8版(Brinkgreve 2002年)是一个有限元软件包，应用于岩土工程二维的变形和 折稳定性分析。该程序可以分析自然成型或人为制造的斜坡问题。安全系数的确定使用c
实验法案例及误差分析 第四组成员： 某企业为了了解“托儿”对商品销售的作用，决定采用两组实验设计来确定“托儿”的实际效果。其所选择的三个摊位基本效益差不多，实验结果如表： 商品销售额变动结果 事前测量是否引入“托 事后测量 儿” 实验组100 有150 控制组1 102 无110 控制组2 无有125 分析: 该公司采用前后对照组的实验方法,选择了摊位基本效益差不多的三个小组(实验组/控制组1/控制组2 ),以实现实验前三个小组的相似性,在该实验中: 因变量---商品销售额 自变量---引入托儿 抽样误差：案例中三个小组除基本效益相似外还存在例如位置、摊位摆设等其他外生变量，因此在实施中会产生随机误差。 非抽样误差：在进行实验法的过程中产生的数据收集、处理等不可避免的系统误差。 商品销售额变动结果分析:
根据以上数据，计算结果是： (1)实验组本身总效应=150-100=50 即从实验组来看,引入托儿后销售额增加了50,但不能说明销售额的增加仅仅是由引入托儿引起的,也可能是由于其他外生变量引起的。 (2)前后测量本身可能导致的销售额的差异，也即控制组1所导致的结果差异为： 控制组1导致的结果差异=110-102=8 因为控制组1没有引入托儿及自变量没有发生变化,所有该销售额的变动只能解释为是有其他外生变量引起的。 (3)无前测量所导致的差异（控制组2）=125-（100+102）/2=24 (4)所以控制组的总效应=8+24=32 (5)引入“托儿”及前测的交互效应(实验效果)=50-32=18 在排除外生变量的影响后,可以认为“引入托儿”使销售额增加了18。评价：该实验法的类型是现场实验即在自然环境的环境中操纵自变量，提高了该研究结果在现实生活中推广的可能性即外部效度较高。从所得数据可看出，误差控制得较好。
有限元分析概念 有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件 有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象。由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。 有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。并利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。 线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间。如果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。 线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。 非线性问题与线弹性问题的区别： 1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解； 2）非线性问题不能采用叠加原理； 3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。 有限元求解非线性问题可分为以下三类：
1）材料非线性问题 材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，此时应变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们的局限性。在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。 2）几何非线性问题 几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的。 当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系。研究这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。它包括大位移大应变及大位移小应变问题。如结构的弹性屈曲问题属于大位移小应变问题，橡胶部件形成过程为大应变问题。 3）非线性边界问题 在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦的作用不可忽视，接触边界属于高度非线性边界。 平时遇到的一些接触问题，如齿轮传动、冲压成型、轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等，当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通常要考虑非线性边界条件。 实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非线性问题。
定量实验及其误差分析 一．教学目标： 1.中学化学常见的定量实验：溶液的配制、滴定实验、食醋中总酸含量的测定、镀锌铁皮的厚度的测定。 2.定量实验中的误差分析 二．教学过程 问题一：“白铁皮”具有较强的耐腐蚀性，是生产中常用的金属材料之一。镀锌层犹如铁皮的保护层，这层膜的厚度及均匀度也成了判断镀层质量的重要指标。某研究性学习小组为了测定镀锌铁皮的厚度，设计了下面的实验方案： 方案一：取三块镀锌铁皮（A、B、C，截自同一块镀锌铁皮），将镀锌铁皮A放入烧杯中，加入40mL 6mol?L―1盐酸，反应时用玻璃棒小心翻动镀锌铁皮，待锌镀层反应完全时，立即将未反应的铁皮取出，洗涤、小心烘干、称量。将B、C重复上面实验。 （1）锌镀层完全反应的标志是。 （2）如何检验铁片已经洗净。 （3）该小组的实验数据记录及数据处理如下，完成下列表格（锌的密度为7.14g/cm3）数据记录数据处理 镀锌铁皮长度 /cm 宽度 /cm 镀锌铁皮 质量/g 铁皮 质量/g 锌镀层厚度 （单侧）/cm 锌镀层平均厚度 （单侧）/cm A 5.00 4.90 4.460 4.313 4.201×10―4 B 5.10 5.00 4.421 4.267 4.229×10―4 C 5.20 5.00 4.640 4.467 4.660×10―4 计算镀锌铁皮锌镀层平均厚度（单侧）cm。本实验中产生误差的原因可能有哪些（任意例举两种）、 （4）此实验中需要盐酸95mL 6mol?L―1,需用质量分数为 36.5%，密度为1.2g?m L―1的浓盐酸 ml ,下列操作能使配制溶液的浓度偏高的操 作。 A. 容量瓶定容时，若仰视液面读数， B. 定容时蒸馏水加多了，液面超过了刻度线，而用滴管吸取部 分溶液至刻度线 C. 用量筒量取浓溶液，若仰视读数， D. 烧杯中溶液未冷却至室温，就开始转移溶液注入容量瓶 方案二：已知锌与强碱溶液反应离子方程式为： Zn+2OH―+2H2O=[Zn(OH)4]2―+H2↑。某同学按右图装置设计 了测定镀锌铁皮镀层厚度的实验方案，将单侧面积为S cm2、质量为m g的镀锌铁皮放入6mol?L―1 NaOH溶液中。回答下列问题：（4）装置中导管a的作用是。 （5）检查气密性，将药品和水装入各仪器中，连接好装置后，需进行的操作还有：①记录C的液面位置；②待B中不再有气体产生并恢复至室温；③由A向B中滴加足量NaOH溶液；④上下移动C，使干燥管和C中液面相平。上述操作的顺序是（填序号）。 （6）实验前后碱式滴定管中液面读数分别为V1 mL、V2 mL（实验条件的气体摩尔体积为Vm mol?L―1）。则镀锌铁皮的厚度为cm。（写出数学表达式） 问题二：食醋中醋酸含量的测定 问题与讨论：1.醋酸是一种有机弱酸，其离解常数Ka = 1.76×，可用标准碱溶液直接滴定，用什么指示剂？为什么？ 2.如果要测定食醋的总酸含量，但无酸式滴定管，可用什么玻璃仪器来代替？使用此仪器是否要来溶液润洗？转移溶液时如何操作？请画出此操作的装置图。 3.如果滴定的终点没有控制好，即氢氧化钠滴加过量，溶液显深红色，你有没有补救的办法？如何补救？ 4.中和滴定的反应容器是什么？需要润洗吗？ 5.滴定的终点的现象如何描述？ 例2在测定某铁矿石中的含铁量时，可准确称取0.2113g铁矿石溶解在酸里，再把Fe3+还原成Fe2+,然后用0.0223mol·L-1的KMnO4溶液滴定，发生反应的离子方程式如下： 5Fe2++MnO 4 +8H+=====5Fe3++Mn2++4H2O 滴定结果有消耗KMnO4溶液17.20mL，试计算和回答下列问题： （1）矿石中含铁的质量分数为。 （2）KMnO4溶液应装在试管定管里，原因是 。 （3）如果矿石是用盐酸溶解在制得的，Fe2+溶液里含有Cl-,则测定的结果矿石在含铁量（填偏高、偏低、无影响），原因是. 例3.20.00mL一定物质的量浓度的盐酸X，用一定浓度的NaOH溶液Y滴定，如图所示。 （1）试求X、Y的物质的量浓度之比。（2）求盐酸的物质的量浓度。 小结：
作业一：有限元分析实例 实例：请对一个盘轴配合机构进行接触分析。轴为一等直径空心轴，盘为等厚度圆盘，其结构及尺寸如图所示。盘和轴为一种材料，材料参数为：弹性模量Ex=2.5E5，泊松比NUXY=0.3，摩擦系数MU=0.25，试采用有限元计算方法分析轴和盘在过盈配合时的应力应变分布以及将轴从盘心拔出时轴和盘的接触情况。 问题分析说明 （1）本题主要分析装配过程中结构的静态响应，所以分析步选择通用静态分析步。由于为过盈配合，属于大变形，故应考虑几何 非线性的影响。 （2）模型具有轴对称性，所以可以采取轴对称模型来进行分析，先建立二维模型计算，再转换为三维模型计算，这样可以节省计
算时间。分析过程由两个载荷步组成, 第一个载荷步为过盈分 析, 求解过盈安装时的情况。第二个载荷步为将轴从盘心拔出 时的接触分析, 分析在这个过程中盘心面和轴的外表面之间的 接触应力。它们都属于大变形问题, 属于非线性问题。在分析 时需要定义一些非线性选项来帮助问题的收敛。 （3）接触面之间有很大的相对滑动，所以模型要使用有限滑移。 模型建立的分析说明 （1）进定义单元类型此项实例分析的问题中涉及到大变形, 故选用So li d185 单元类型来建立本实例入部件模块，的模型。盘 轴接触问题属于面面接触, 目标面和接触面都是柔性的, 将使用接触单元T ARGET 170 和CO NTAT17 4来模拟接 触面。分别创建名为为part1、part2的部件。 （2）定义材料属性，在线性各向同性材料属性对话框中的EX (弹性模量) 文本框中输入 2 . 5E5,PRX Y (泊松比) 文本框中输入 0 . 3,并将定义的材料属性赋予给part1和part2。如下图所示。 （3）进入装配模块，创建两者间的装配关系。
h-型自适应有限元法计算重力坝应力的能量误差控制 标准 李俊杰，李留强 大连理工大学土木水利学院，辽宁大连（116023） E-mail：lijunjie@https://www.doczj.com/doc/ff13423154.html, 摘要：鉴于目前重力坝有限元计算仍没有相应应力取值标准，本文应用自适应有限元法，通过对L型板和重力坝进行多种情况下的线弹性自适应计算，提出了基于h-型自适应有限元法的全域能量误差限控制标准。算例表明，自适应计算不会因角缘应力集中而出现剖分不收敛情况，且计算结果不受初始网格和单元尺寸改变控制因子影响；存在一个稳定的临界全域能量误差限，超过该值后，继续降低误差限，坝踵区的应力趋于稳定值，且不随坝高和弹模比的改变而变化。 关键词：水工结构；能量误差限；自适应有限元；重力坝；坝踵 中图分类号：TU3 文献标识码：A 文章编号：1673－7180（2007）09－ 0. 前言 对于解决水工结构计算问题，有限单元法所具备的优势是《重力坝设计规范》采用的材料力学方法所无法比拟的，但是迄今其仍不能以量化方式纳入重力坝设计规范，主要是因为采用有限元求解重力坝坝踵应力失真，即随网格不同，应力在坝踵区有明显的变化。网格越小，坝踵处拉应力值越大，在坝踵处有限元解具有不确定性；另外，重力坝设计规范是根据材料力学解得出的，而有限元方法没有与之相配套的标准，在进行某些判断时会遇到一定的困难。因此，到目前为止，坝踵区应力的分布规律及控制一直没有得到很好的解决。 敖麟[1]认为，在满足平衡精度的前提下，重力坝坝踵应力可近似以距坝踵角点某一半径周界(如R=0.01H～0.02H，H为坝高)上的应力来代表。赵代深[2]认为，重力坝有限元应力控制标准的关键在于网格剖分，他考虑以不同坝高、弹模比、剖分方案的相对主拉应力区长度的平均值作为强度控制标准，初步建议了两个经验公式。杨清平[3]等通过对多种情况下的重力坝应力计算，提出以坝踵主拉应力区相对宽度作为变量来分析重力坝坝踵主拉应力区的范围和应力分布规律，并给出了求解坝踵区主拉应力相对宽度的经验公式。杨强[4]等应用局部自适应加密，得出以全局误差限作为大坝应力取值的控制标准。 本文应用全局自适应加密，探讨基于h-型自适应有限元的全域能量误差限控制标准。全域能量误差限不但是一个无量纲数，而且能反映结构全域能量误差情况，作为控制标准具有明显的优点。另外，本文通过大量算例计算，分析验证了自适应计算的收敛性、初始网格和单元尺寸改变控制因子对计算结果的影响、临界全域能量误差限的稳定性。 1. 应力平滑误差估计和自适应策略 1.1 应力平滑误差估计 自适应有限元方法是一种能通过自适应分析自动调整算法以改进求解过程的数值方法。它以常规有限元法为基础,以误差估计和自适应网格改进技术为核心，是一种效率高、可靠性高的计算方法。自适应有限元包括h-加密(h-enrichment)、p-改进(p-refinement)、移动结点法(r-法)和组合法（如h-p法、r-p法）等。 在自适应网格加密中，一般采用以应力形式表示的能量误差估计，并同应力平滑方法相
第二章 实验数据误差分析和数据处理 第一节 实验数据的误差分析 由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及人的观察力，测量程序等限制，实验观测值和真值之间，总是存在一定的差异。人们常用绝对误差、相对误差或有效数字来说明一个近似值的准确程度。为了评定实验数据的精确性或误差，认清误差的来源及其影响，需要对实验的误差进行分析和讨论。由此可以判定哪些因素是影响实验精确度的主要方面，从而在以后实验中，进一步改进实验方案，缩小实验观测值和真值之间的差值，提高实验的精确性。 一、误差的基本概念 测量是人类认识事物本质所不可缺少的手段。通过测量和实验能使人们对事物获得定量的概念和发现事物的规律性。科学上很多新的发现和突破都是以实验测量为基础的。测量就是用实验的方法，将被测物理量与所选用作为标准的同类量进行比较，从而确定它的大小。 1.真值与平均值 真值是待测物理量客观存在的确定值，也称理论值或定义值。通常真值是无法测得的。若在实验中，测量的次数无限多时，根据误差的分布定律，正负误差的出现几率相等。再经过细致地消除系统误差，将测量值加以平均，可以获得非常接近于真值的数值。但是实际上实验测量的次数总是有限的。用有限测量值求得的平均值只能是近似真值，常用的平均值有下列几种: (1) 算术平均值 算术平均值是最常见的一种平均值。 设1x 、2x 、……、n x 为各次测量值，n 代表测量次数，则算术平均值为 n x n x x x x n i i n ∑==+???++=121 (2-1) (2) 几何平均值 几何平均值是将一组n 个测量值连乘并开n 次方求得的平均值。即 n n x x x x ????=21几 (2-2) （3）均方根平均值 n x n x x x x n i i n ∑==+???++= 1 222221均 (2-3) (4) 对数平均值 在化学反应、热量和质量传递中，其分布曲线多具有对数的特性，在这种情况下表征平均值常用对数平均值。 设两个量1x 、2x ，其对数平均值
ANASYS有限元计算与材力公式计算结果比较 摘要：基于有限元单元法理论，使用ANASYS软件计算悬臂和两端固定两种梁在简单荷载作用下的位移与应力，并与使用材料力学公式计算的结果作比较，分析误差产生的原因，以加深对有限单元法的理解。 关键词：ANASYS；有限元；材料力学 ANASYS FEM calculation and build formula results Abstract：Based on the theory of finite element method yuan, calculated using software ANASYS cantilever beam and two fixed ends in a simple load of displacement and stress, and the use of the mechanical formula for the results of comparative analysis of the reasons for the error, to deepen the understanding of the finite element method. Key words: ANASYS; finite element method; material mechanics 1.前言 有限单元法是当今工程分析中获得最广泛应用的数值计算方法，其分析的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适且较简单的近似解，然后推导求解这个域总的满足条件，从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。ANSYS软件是融结构、流体、电场、磁场、声场分析于一体的大型通用有限元分析软件。由世界上最大的有限元分析软件公司之一的美国ANSYS开发。软件主要包括三个部分：前处理模块，分析计算模块和后处理模块。前处理模块提供了一个强大的实体建模及网格划分工具，可以方便地构造有限元模型，分析计算模块包括结构分析（可进行线性分析、非线性分析和高度非线性分析）、流体动力学分析、电磁场分析、声场分析等，软件提供了100种以上
CATIA有限元分析计算实例 11.1例题1 受扭矩作用的圆筒 11.1－1划分四面体网格的计算 （1）进入【零部件设计】工作台 启动CATIA软件。单击【开始】→【机械设计】→【零部件设计】选项，如图11－1所示，进入【零部件设计】工作台。 图11－1单击【开始】→【机械设计】→【零部件设计】选项 单击后弹出【新建零部件】对话框，如图11-2所示。在对话框内输入新的零件名称，在本例题中，使用默认的零件名称【Part1】。点击对话框内的【确定】按钮，关闭对话框，进入【零部件设计】工作台。 （2）进入【草图绘制器】工作台 在左边的模型树中单击选中【xy平面】, 如图11-3所示。单击【草图编辑器】工具栏内的【草图】按钮，如图11-4所示。这时进入【草图绘制器】工作台。
图11－2【新建零部件】对话框 图11－3单击选中【xy平面】 （3）绘制两个同心圆草图 点击【轮廓】工具栏内的【圆】按钮，如图11-5所示。在原点点击一点，作为圆草图的圆心位置，然后移动鼠标，绘制一个圆。用同样分方法再绘制一个同心圆，如图11-6所示。 图11－4【草图编辑器】工具栏 图11－5【轮廓】工具栏 下面标注圆的尺寸。点击【约束】工具栏内的【约束】按钮，如图11-7所示。点击选择圆，就标注出圆的直径尺寸。用同样分方法标注另外一个圆的直径，如图11-8所示。
图11－6两个同心圆草图 图11－7【约束】工具栏 双击一个尺寸线，弹出【约束定义】对话框，如图11－9所示。在【直径】数值栏内输入100mm，点击对话框内的【确定】按钮，关闭对话框，同时圆的直径尺寸被修改为100mm。用同样的方法修改第二个圆的直径尺寸为50mm。修改尺寸后的圆如图11-10所示。 图11－8标注直径尺寸的圆草图 图11－9【约束定义】对话框 （4）离开【草图绘制器】工作台 点击【工作台】工具栏内的【退出工作台】按钮，如图11-11所示。退出【草图绘制器】工作台，进入【零部件设计】工作台。 图11－10修改直径尺寸后的圆 图11－11【工作台】工具栏
刚塑性有限元数值模拟中产生误差的原因及改进方法 1 引言 塑性加工过程的有限元数值模拟，可以获得金属变形的详细规律，如网格变形、速度场、应力和应变场的分布规律，以及载荷-行程曲线。通过对模拟结果的可视化分析，可以在现有的模具设计上预测金属的流动规律，包括缺陷的产生（如角部充不满、折叠、回流和断裂等）。利用得到的力边界条件对模具进行结构分析，从而改进模具设计，提高模具设计的合理性和模具的使用寿命，减少模具重新试制的次数。在制造技术飞速发展、市场竞争日益加剧的今天，塑性加工过程的计算机模拟可在模具虚拟设计、制造阶段就能充分检验模具设计的合理性，减少新产品模具的开发研制时间，对用户需求做出快速响应，提高市场竞争能力。由此可见，金属成型过程的有限元模拟已是模具计算机集成制造系统中必不可少的模具设计检验环节。 金属成形工艺分体积成形和板料成形两大类，相应地，用于分析其流动规律的有限元法也分为两类，即：刚塑性、刚粘塑性有限元和弹塑性有限元。体积成形中的挤压成形和锻造成形在实际生产中应用很广，中外学者在这方面进行了很多研究，其中二维模拟技术已相当成熟，三维模拟是目前的世界研究热点。刚塑性、刚粘塑性有限元模拟能否对模具设计的合理性做出可靠校验，取决于模拟的精度和效率。作者结合从事二维塑性有限元模拟的经验和当前的三维塑性有限元模拟系统开发的实践，对刚塑性、刚粘塑性有限元模拟过程中产生误差的原因进行了全面的详细分析，并提出相应的解决方法，同时以具体实例说明。 2 刚塑性、刚粘塑性有限元模拟中产生误差的原因及改进方法 2.1 刚塑性有限元法求解的数学基础 刚塑性有限元法是假设材料具有刚塑性的特点，把实际的加工过程定义为边值问题，从刚塑性材料的变分原理或上界定理出发，接有限元模式把能耗率表示为节点速度的非线性函数，利用数学上的最优化原理，在给定变形体某些表面的力边界条件和速度边界条件的情况下，求满足平衡方程、本构方程和体积不变条件的速度场和应力场。速度场的真实解使以动可容速度场建立的能量泛函取极小值。但所得到的塑性力学的微分方程组一般不能用解析法求解，常采用数值解近似，而采用数值解，则会出现各种误差。误差取决于所用的数值方法。下述处理方式易引起系统误差。 2.1.1时间和空间的离散化
1、NaOH药品不纯（如NaOH中混有少量Na2O），结果偏高。 2、用天平称量NaOH时，称量时间过长。由于部分NaOH与空气中的CO2反应生成Na2CO3 ，得到Na2CO3和NaOH的混合物，则结果偏低。 3、用天平称量NaOH时，如砝码有污物，结果偏高。 4、用天平称量NaOH时，物码颠倒，但未用游码，不影响结果。 5、用天平称量NaOH时，物码颠倒，又用了游码，结果偏低。 6、用天平称量NaOH时，若用滤纸称NaOH，结果偏低。 7、称量前小烧杯中有水，无影响。 8、向容量瓶中转移溶液时，有少量溶液流至容量瓶之外，结果偏低。 9、未把烧杯、玻璃棒洗涤2～3次，或洗涤液未注入容量瓶，结果偏低。 10、烧杯中溶液未冷却至室温，就开始转移溶液注入容量瓶，结果偏高 11、定容时蒸馏水加多了，液面超过了刻度线，而用滴管吸取部分溶液至刻度线，结果偏低。 12、定容时摇匀，容量瓶中液面下降，再加蒸馏水至刻度线，结果偏低。 13、容量瓶定容时，若俯视液面读数，结果偏高。 14、容量瓶定容时，若仰视液面读数，结果偏低。 15、配制一定物质的量浓度稀H2SO4时，用量筒量取浓溶液，若俯视读数，结果偏低。 16、配制一定物质的量浓度稀H2SO4时，用量筒量取浓溶液，若仰视读数，结果偏高。 二、酸碱中和滴定 17、滴定管蒸馏水洗后未用标准液润洗，就直接装入标准液，造成标准液稀释，溶液浓度降低，滴定过程中消耗标准液体积偏大，测定结果偏高。 18、盛待测液滴定管水洗后，未用待测液润洗就取液加入锥形瓶，待测液被稀释，测定结果偏低。 19、锥形瓶水洗后，又用待测液润洗，再取待测液，造成待测液实际用量增大，测定结果偏高。
CA TIA有限元分析计算例题 11.1例题1 受扭矩作用的圆筒 11.1－1划分四面体网格的计算 （1）进入【零部件设计】工作台 启动CATIA软件。单击【开始】→【机械设计】→【零部件设计】选项，如图11－1所示，进入【零部件设计】工作台。 图11－1单击【开始】→【机械设计】→【零部件设计】选项单击后弹出【新建零部件】对话框，如图11-2所示。在对话框内输入新的零件名称，在本例题中，使用默认的零件名称【Part1】。点击对话框内的【确定】按钮，关闭对话框，进入【零部件设计】工作台。 （2）进入【草图绘制器】工作台 在左边的模型树中单击选中【xy平面】, 如图11-3所示。单击【草图编辑器】工具栏内的【草图】按钮，如图11-4所示。这时进入【草图绘制器】工作台。 图11－2【新建零部件】对话框 图11－3单击选中【xy平面】 （3）绘制两个同心圆草图 点击【轮廓】工具栏内的【圆】按钮，如图11-5所示。在原点点击一点，作为圆草图的圆心位置，然后移动鼠标，绘制一个圆。用同样分方法再绘制一个同心圆，如图11-6
所示。 图11－4【草图编辑器】工具栏 图11－5【轮廓】工具栏 下面标注圆的尺寸。点击【约束】工具栏内的【约束】按钮，如图11-7所示。点击选择圆，就标注出圆的直径尺寸。用同样分方法标注另外一个圆的直径，如图11-8所示。 图11－6两个同心圆草图 图11－7【约束】工具栏 双击一个尺寸线，弹出【约束定义】对话框，如图11－9所示。在【直径】数值栏内输入100mm，点击对话框内的【确定】按钮，关闭对话框，同时圆的直径尺寸被修改为100mm。用同样的方法修改第二个圆的直径尺寸为50mm。修改尺寸后的圆如图11-10所示。 图11－8标注直径尺寸的圆草图 图11－9【约束定义】对话框 （4）离开【草图绘制器】工作台 点击【工作台】工具栏内的【退出工作台】按钮，如图11-11所示。退出【草图绘制器】工作台，进入【零部件设计】工作台。
摘要：本文中要利用有限元分析进行结构优化设计的零件是联轴部件中的连接杆。连杆始终与轴中间不规则截面部分保持接触，连接杆和轴之间是过盈配合，使得连接杆上承受外力，从而连接杆发生形变、进行结构应力分析。Abstract:In this paper to use finite element analysis for structure optimization design of the parts are coupling parts of the connecting rod. Connecting rod always and shaft intermediate irregular section keep contact, connecting rod and shaft are interference fit, making the connecting rod under forces, thus connecting rod occur deformation and structure stress analysis. 关键字：连接杆、有限元分析、结构应力分析 Keywords:connecting rod,finite element analysis,the structural stress analysis 前言连接杆为联接轴部件中传递外力的主要零件，材料为钢，这是本文利用有限元分析进行连接杆的结构优化设计的重要部分，准确地说，能否肯定新的结构，有限元分析在零件的优化设计中起到了至关重要的作用。 有限元法的基本概念 有限元法(Finite Element Method，简称FEM)是一种数值离散化方法，根据变分原理求其数值解。因此适合于求解结构形状及边界条件比较复杂、材料特性不均匀等力学问题能够解决几乎所有工程领域中各种边值问题。 有限元法的基本思想是:在对整体结构进行结构分析和受力分析的基础上，对结构加以简化，利用离散化方法把简化后的边界结构看成是由许多有限大小、彼此只在有限个节点处相连接的有限单元的组合体。然后，从单元分析人手，先建立每个单元的刚度方程，再用计算机对平衡方程组求解，便可得到问题的数值近似解。用有限元法进行结构分析步骤是:结构和受力分析一离散化处理一单元分析一整体分析一引人边界条件求解。 有限元分析的前置处理 建立有限分析模型的过程，即前置处理是有限元分析的关键环节。前置处理的功能主要包括:离散化网格模型的自动生成、网格的修改、拼接和节点编号的优化、载荷及材料数据的建立、边界条件的定义(零位移、已知位移、接触、磨擦等约束条件的处理)、模型数据检查与编辑修改、模型的图形显示等。在对机械结构