课程设计：量子力学基本原理分析理解
目的：加深对量子力学基本原理理解和应用
指导教师：张晓霞教授
学号：2905402036 姓名：胡淼
一、说明量子力学中粒子的状态是由波函数描写
实物粒子的波粒二象性
量子理论的发展过程是人们对微观世界的认识逐步深化的过程。在Planck-Einstein 的光量子
论（光子具有波粒二象性）的启发下，面对Bohr 的原子的量子理论取得的成功和碰到的困难，
de Broglie （1923）提出了实物粒子（静质量m ≠0的粒子，例如电子）也具有波粒二象性的假
说：一个能量为E 动量为p 的质点，同时具有粒子性和波动性，其波长λ由p 确定，频率ν由
能量E 确定。自由粒子满足的徳布罗意关系：
E=h νω ≠ ⑴
⑵
至此，人们清楚地认识到微观粒子不是经典粒子，也不是经典波，不能用经典的牛顿定律来描
述其运动状态，必须引进一种新的函数来描述其波粒二象性------波函数。
波函数的统计解释
把微观粒子的粒子性和波动性统一起来的是M.Born （1926）提出的几率波。他认为，粒子的干
涉和衍射实验中所揭示的波动性质，既可以看成大量粒子在同一实验中的统计结果，也可看成
单个粒子在许多次相同实验中的统计结果。在分析电子的双缝干涉实验时可以发现在底片r 点
附近干涉花样的强度电子出现在r 附近的几率。干涉图样如图（1）
图（1）
设干涉波用来描述，干涉花样在空间的分布则用描述，这里的意义与经典波
不同，是刻画粒子在空间出现几率大小的量。既然几率波决定粒子在空间出现的几率，那么，在t时刻，几率波应该是空间位置（x,y,z）的函数，我们把该函数写为或,
称为波函数。所以，量子力学中波函数所描述的不是实在的物理量，而是粒子在空间分布的几率。
其实比较我们经典力学中对波动性的解释：波动性是指某种物理在空间分布呈周期性变化，并且由于波的相干性，而出现干涉衍射等现象。在的Born统计解释中，他保留了波最重要的特性----相干叠加，不过他把“某种物理量”改为“粒子出现的几率”。量更确切的说，
表示在r点附近体积元内找到粒子的几率，这就是Born对波函数的统计解释，是量子
力学基本原理之一。按照Born对波函数的统计解释在非相对论的情况下很自然要求该粒子在空间各点的概率之和为1，即要求波函数满足下列条件：
⑶
而且在某一时刻在空间某点出现的几率是单值的，因此，除孤立奇点外，波函数还应
满足是r的单值、有界、连续的函数。
二、用态叠加原理分析双缝干涉实验
量子力学中态叠加原理：对于一般情况，如果和是体系的可能态，那么他们的线性叠加
=+（）⑷
也是这个体系的一个可能状态。
现在，我们利用上述态叠加原理来讨论电子的双缝干涉现象（对光子同样适用，但本文就简单起见只讨论电子）。一个电子有和两种可能的态，如图（2），是通过的电子的态，是
通过电子的态，=+是这两种态的叠加。
图（2）
按照态叠加原理，也是电子可能状态。那么，根据上节波函数统计解释，电子的几率分布为：
把（4）式推广到更一般情况，态可以表示为许多态
=⑸
三、建立薛定谔方程
在经典力学中，体系运动状态随时间变化遵循牛顿方程，牛顿方程是关于变量t的二阶全微分
方程。在量子力学中，体系的运动状态由波函数描述。和经典力学相似可以建立一个决定随时间t变化规律的方程式。从物理上看，这个方程必须满足：
⑴ t时刻，已知初态且只知道这样一个初始条件，所以，描写离子状态的波函数所满足的方程只能含对时间t的一阶导数。
⑵要满足态叠加原理，即若和是方程的解，那么
=+也应该是方程的解。因此方程必须是线性的，只能包含，的一阶导数和对坐标各阶导数的一次项，不能包含它们的平方或开方项。
⑶方程的系数不应包含状态参量，如动量，能量等，因为方程系数如含有状态的参量，则方程只能被粒子的部分状态所满足，而不能被所以状态满足。
根据以上三个条件来建立波函数满足的方程。对于自由粒子这一特殊情况，我们已知方程的解是平面波：
⑹
将平面波（6）式对t和x, y, z求微商得
⑺
⑻
在非相对论的情况下对与自由粒子，能量等于动能
E=⑼
由（7）、（8）、（9）得到
⑽
式（10）就为自由粒子波函数所满足的微分方程，其中m为粒子的质量。由式（7）（8）可看出能量和动量作用在波函数上相当于算符和作用在波函数上，即有
把式（10）推广到更一般情况，来建立力场中粒子波函数所满足的微分方程。已知此时粒子能量为
将式中E和p用（11）中对应关系表示并作用在波函数上有
这个方程成为薛定谔波动方程。对于多粒子体系，式中哈密顿算符H可表示为更一般的形式
（）（14）
多粒子体系薛定谔方程是
（）（15）
注意，因为哈密顿量是非相对量，因此薛定谔方程只适用于非相对论情况。
四、证明动量算符是线性厄密算符
1.厄密性
由式（11）我们可以得出在三维情况下动量算符
要证明该算符的厄密性，即或
（16）
为简单起见，这里只考虑其一维情况，即的厄密性质。
也就是说，就束缚态而言，当x时，都趋于零，算符的厄密性得证
2.线性性
设是任意两个波函数，且有
⒄态叠加原理可知，对于=+（，的作用必须是：
+⒅
即：⒆
因此，的线性性得证。
综上，动量算符是线性厄密算符。
五、分析本征函数的性质
厄密算符的本征函数具有正交、归一、完备性
1.厄密算符属于不同本征值的本征函数彼此正交
证明：设
存在。因为是厄密算符，因此，所以对式（）两边取复共轭
，对变量的整个空间求积分
（22）
同理有
（23）
由厄密算符的定义有
（24）
式（22）和式（23）左边相等，因此右边也相等，则有
（25）
因为，证毕。。由以上论证可知，本征函数可以归一化为函数还代替
满足上两式的成为正交归一系。
2.满足一定条件的厄密算符其本征函数组成完备系，设有，那么任意函数可
按展开。
式中和x无关，若本征值n 是连续的，则上式求和变积分。关于叠加系数，可将上式左右两边左乘,然后同去积分再由正交归一性得出：
而且可以证明当
证明：
至此，本文已经从上述的五个部分分别阐述了：
量子力学基本假定Ⅰ：波函数完全描述粒子状态
波粒二象性除波函数统计解释的另一种表现形式：态叠加原理
量子力学基本假定Ⅱ：波函数随时间演化的薛定谔方程
量子力学基本假定Ⅲ：量子力学中力学量用线性厄密算符表示
量子力学基本假定Ⅳ：任何力学量算符的本征函数组成正交完备系，在任意已归一态
的几率等于前面的系数
量子力学复习题量子力学常用积分公式 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7 ) ( ) (8) (a<0) ( 正偶数) (9) =
( 正奇数) ( ) (10) ( ) (11)) ( ) (12) (13) (14) (15) (16) ( )
( ) 一、简答题 1. 束缚态、非束缚态及相应能级的特点。 2. 简并、简并度。 3. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ，写出粒子在立体角 中被测到的几率。 4. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ，写出粒子在球壳 中被测到的几率。 5. 一粒子的波函数为 ，写出粒子位于 间的几率。 6. 写出一维谐振子的归一化波函数和能级表达式。 7. 写出三维无限深势阱 中粒子的能级和波函数。 8. 一质量为 的粒子在一维无限深方势阱 中运动，写出其状态波函数和能级表达式。 9. 何谓几率流密度？写出几率流密度
的表达式。 10. 写出在 表象中的泡利矩阵。 11. 电子自旋假设的两个要点。 12. 的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？ 13. 写出电子自旋 的二本征态和本征值。 14. 给出如下对易关系： 15. 、 分别为电子的自旋和轨道角动量， 为电子的总角动量。证明： ，[ ]=0，其中 。 16. 完全描述电子运动的旋量波函数为 ， 准确叙述 及 分别表示什么样的物理意义。 17. 二电子体系中，总自旋 ，写出（
）的归一化本征态（即自旋单态与三重态）。 18. 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？ 19. 给出一维谐振子升、降算符 的对易关系式；粒子数算符 与 的关系；哈密顿量 用 或 表示的式子； （亦即 ）的归一化本征态。 20. 二粒子体系，仅限于角动量涉及的自由度，有哪两种表象？它们的力学量完全集分别是什么？两种表象中各力学量共同的本征态及对应的本征值又是什么？ 21. 使用定态微扰论时，对哈密顿量 有什么样的要求？ 22. 写出非简并态微扰论的波函数（一级近似）和能量（二级近似）计算公式。 23. 量子力学中，体系的任意态 可用一组力学量完全集的共同本征态 展开： ， 写出展开式系数 的表达式。 24. 一维运动中，哈密顿量
引言：黑体辐射等实验的研究以及光谱实验的诞生，促使了人们对微观世界的不断认识。经典力学的局限性也日益显著，所面临的一些棘手的问题也越来越多。因此迫使我们不得不抛弃经典力学，而重新建立一个全新的力学体系——量子力学。该力学体系描绘了微观世界中，微观粒子的运动行为及其力学特性。 题目：量子力学的概率解释 内容摘要：在经典力学中，我们知道物体的运动可由牛顿第二定律描述： 22(((),(),()))d r F m r x t y t z t dt ==r u r r ；方程的解即为物体的动力学方程。由此方程的解： ((),(),())r x t y t z t =r ；在给定的初始条件下我们即可以知道任意时刻物体在空间所处的位 置。而在微观领域中，微观粒子的运动并不适用于上述的方程所描述。实验证明他们在某一 时刻出现在空间的哪一点上是不确定的。应该用方程μH E ψ=ψ来描述。比如电子的衍射现象，海森堡的不确定性关系，还有薛定谔为批评哥本哈根学派对量子论的观点而提出的一 个思维实验（薛定谔猫）。本文利用概率与统计的相关概念对量子力学做出一些相关的阐明，并对一些相关的问题（衍射，薛定谔猫等）进行说明。对单电子体系薛定谔方程作出较为详细的讨论，并加以例题进行进一步说明。 关键词：量子力学、概率与统计、电子衍射现象、薛定谔猫、薛定谔方程 概率统计理论的简单介绍： 随机变量X ：X 是定义在样本空间Ω上的实值函数；对面门一样本点ω，()X ω是一个实数。X 离散取值时，为离散随机变量。X 连续取值时，为连续型随机变量。本文只介绍连续型随机变量。 概率密度函数：当X 为连续型随机变量时，例如一条直线AB 如图：A 0 1 B 假设现在有一个点落到了AB 上，我们是否能问该点恰好落在0.5x =处的概率是多少？显然这是毫无意义的问题，因为该点恰好落在任意一点上的概率均为零。（基本事件的个数为无穷） 我们只能问该店落在某一区间[,]a b 上的概率是多少？例如[,][0,0.5]a b =；此时概率 10.5/12 p == 。 因此设X 是一随机变量，如果存在非负函数()f x 使得对任意满足a b -∞≤≤+∞的,a b 有 ()()b a p a X b f x dx ≤≤=?；就称()f x 是随机变量X 的概率密度函数。 显然()f x 应该具有如下性质： （1） ()1f x dx +∞ -∞ =? ；(量子力学中波函数的归一化性质) （2）()0.p X a ==于是()()()p a X b p a X b p a X b ≤≤==≤p p p ； （3）对于数集,()()A A p X A f x dx ∈= ?；
2020年专业技术人员公需科目《当代科学技术前沿 知识》试题与答案 一、单项选择题（共20题，共40分） 1. 信息材料旨在实现信息的产生、发射、传输、接收、获取、存储和显示等功能使用，下列属于信息材料的是() A.第三代半导体材料 B.超大容量信息存储材料 C.先进磁性材料 D.激光晶体 参考答案 答案：ABC 2. 目前，以疫苗为主的生物治疗目前在全球迅速发展，下列哪些属于以疫苗为主的生物治疗()。 A、T细胞激活与调节 B、树突状细胞疫苗 C、溶癌病毒治疗 D、T细胞过继转移 参考答案 答案：ABCD 3. ( ) 指的是利用量子叠加或量子纠缠来获得更高灵敏度和分辨率的新型传感器。 A、生物传感器 B、位移传感器
C、红外传感器 D、量子传感器 参考答案 答案：D 4. 量子材料指的是由于其自身电子遵循的量子力学规律而产生奇异物理特性的材料，下列不属于量子材料的是( )。 A.石墨烯 B.铜氧化物高温超导体 C.铁基超导体 D.锂离子电池 参考答案 答案：D 5. 2009年，科技部、中共中央组织部、工业和信息化部三部委联合启动国家 农村农业信息化示范省建设工作。以下哪个省市未被列入先期示范工作中：()。 A、山东 B、湖南 C、江苏 D、安徽 参考答案 答案：C 6. 目前，全球固体废物领域技术创新最为活跃的国家是以下哪个国家：()。 A、美国 B、德国
C、日本 D、中国 参考答案 答案：D 7. ()有望成为继药物治疗、手术治疗后的第三种疾病治疗途径。 A、精准医学 B、再生医学 C、预防医学 D、康复医学 参考答案 答案：B 8. 关于重大慢性病的说法，不正确的是（)。 A.重大慢性病多为终身性疾病，很难根治 B.并发症危害大，疾病后期的致死致残率高 C.对人类健康和发展造成了极大的负面影响 D.不会造成经济损失 参考答案 答案：D 9. 深海生物资源主要是指生活在海洋大陆坡和洋底水深( )之间，具有开发利用价值的生物。 A.小于200米 B.200~3000米 C.3000～5000米
量子力学的通俗讲座 一、粒子和波动 我们对粒子和波动的概念来自直接的经验。和粒子有关的经验对象：小到石子大到天上的星星等；和波动有关的经验对象：最常见的例子是水波，还有拨动的琴弦等。但这些还不是物理中所说的模型，物理中所谓粒子和波动是理想化的模型，是我们头脑中抽象的对象。 1.1 粒子的图像 在经典物理中，粒子的概念可进一步抽象为：大小可忽略不计的具有质量的对象，即所谓质点。质量在这里是新概念，我们可将其定义为包含物质量的多少，一个西瓜，比西瓜仔的质量大，因为西瓜里包含的物质的量更大。 为叙述的简介，我们现在可把粒子等同于质点。要描述一个质点的运动状态，我们需要知道其位置和质量（x,m ），这是一个抽象的数学表达。 但我们漏掉了时间，时间也是一个直观的概念，这里我们可把时间描述为一个时钟，我们会发现当指针指到不同位置时，质点的位置可能不同，于是指针的位置就定 义了时刻t 。有了时刻 t ，我们对质点的描述就变成了（x,t,m ），由此可定义速度v ，现在我们对质点运动状态的描述是（x,v,t,m ）。 在日常经验中我们还有相互作用或所谓力的概念，我们在地球上拎起不同质量物体时肌肉的紧张程度是不同的，或者说弹簧秤拎起不同质量物体时弹簧的拉伸程度是不同的。 以上我们对质量、时间、力等的定义都是直观的，是可以操作的。按照以上思路进行研究，最终诞生了牛顿的经典力学。这里我们可简单地用两个公式：F=ma （牛顿第二定律） 和 2 GMm F x （万有引力公式） 来代表牛顿力学。前者是质点的运动方程，用数学的语言说是一个关于位置x 的二阶微分方程，所以只需要知道初始时刻t=0时的位置x 和速度v 即可求出以后任意时刻t 质点所处的位置，即x(t)，我们称之为轨迹。 需要强调的是一旦我们知道t=0时x 和v 的精确值（没任何误差），x(t)的取值也是精确的，即我们得到是对质点未来演化的精确预测，并且这个求 解对t<0也精确成立，这意味着我们还可精确地反演质点的历史。这些结论都是由数学理论严格保证的，即轨迹是一根理想的线。 经典的多粒子系统
量子力学论文 题目：浅谈量子力学的前沿进展 学院： 专业： 学号： 姓名： 时间：2014年7月1日 指导教师：
浅谈量子力学的前沿进展 摘要：量子力学是在19世纪末发展起来的一门新科学,而且它还一直处于不断地发展中,在自然科学中具有重要作用。量子力学的规律已成功地运用于各个领域,物理、材料、化学、生命、信息和制药等,量子力学与我们的生活密切相关。量子力学是研究微观粒子的运动规律，主要研究原子、分子、凝聚态物质，以及原子核和基本粒子的结构、性质的基础理论。量子力学诞生至今一百年。经过一百年的发展，它由原子层次的动力学理论，已经向物理学和其他学科以及高新技术延伸。而事实上，它已超出物理学范围；它不仅是现代物质科学的主心骨，又是现代科技文明建设的主要理论基础之一。本文将对量子力学目前的发展、应用以及前沿进展做出阐述。
关键词：量子力学；发展；前沿 Abstract Quantum Mechanics was a new subject that was formulated at the end of the 19th century and is still under development. It plays a key role in natural sciences. The theory of Quantum Mechanics is applied to a variety of areas, such as physics, materials, chemistry, life science, informatics and pharmacy and is closely related to our daily life. Quantum Mechanics is a basic theory that studies the motion law of microscopic particles and studies mainly atoms, molecules, condensed matter, and the structure and nature of atomic nucleus and fundamental particles. It has been one hundred years up to now when Quantum Mechanics was founded. It extended from kinetic theory at atomic level to Physics and other subjects and high-tech within one hundred years of development. As a matter of fact, it has beyond the scope of Physics; it is not only the backbone of modern matter science, but also one of the main theoretical basis of modern science and civilization construction. This paper will make a simple exposition for the modern development, application and leading edge of Quantum Mechanics.
第二十二章量子力学基础知识 1924年德布罗意提出物质波概念。1926年薛定谔给出物质波的波函数基本动力学方程—薛定谔方程， 玻恩对波函数统计解释。1927年海森堡提出著名的不确定关系。 海森堡、狄拉克、薛定谔各建立矩阵力学、新力学和波动力学， 形成了完整的量子力学理论。--------------------------------------------------------------------------- 教学要求： * 了解实物粒子的波动性及实验,理解物质波的统计意义； * 能用德布罗意关系式计算粒子的德布罗意波长； * 了解波函数统计意义及其标准化条件和归一化条件，
会简单计算粒子的概率密度及归一化常数； * 理解不确定关系并作简单的计算； * 了解薛定谔方程及一维定态薛定谔方程 * 了解一维无限深势阱中粒子的波函数求解步骤， 学会用波函数求概率密度和发现粒子的概率。 教学内容： §22-1 波粒二象性 §22-2 波函数 §22-3 不确定关系 §22-4 薛定谔方程（简略，一维定态薛定谔方程） §22-5 一维无限深势阱中的粒子 §22-6 势垒隧道效应 * §22-7 谐振子 * 教学重点： 实物粒子的波粒二象性及其统计意
义； 概率密度和发现粒子的概率计算； 实物粒子波的统计意义—概率波; 波函数的物理意义及不确定关系。 作业 22-01)、22-03)、22-05)、22-07)、 22-09)、22-11)、22-13)、22-15)、 22-17)、22-18)、 ---------------------------------- --------------------------------- §22-1 波粒二象性 1924年，法国德布罗意在博士论文中提出:“整个世 纪以来，在辐射理论方面，比起波动的研究方法来， 是过于忽略了粒子的研究方法；那么在实物理论上， 是否发生了相反的错误，把粒子的图象想象得太多， 而过于忽略了波的图象？”德布罗意根据光与实物的
量子力学总结 第一部分 量子力学基础（概念） 量子概念 所谓“量子”英文的解释为：a fixed amount (一份份、不连续)，即量子力学是用不连续物理量来描述微观粒子在微观尺度下运动的力学，量子力学的特征简单的说就是不连续性。 描述对象：微观粒子 微观特征量 以原子中电子的特征量为例估算如下： ○1“精细结构常数”（电磁作用常数）， 1371~ 10297.73 2-?==c e α ○ 2原子的电子能级 eV a e me c e mc E 27~~02242 2 2==??? ? ?? 即：数10eV 数量级 ○ 3原子尺寸：玻尔半径： 53.0~2 2 0me a =?，一般原子的半径1?
○4速率：26 ~~ 2.210/137 e c V c m s c ?-? ○5时间：原子中外层电子沿玻尔轨道的“运行”周期 秒 160 0105.1~2~-?v a t π 秒 角频率16 102.4~~?a v c ω， 即每秒绕轨道转1016圈 （电影胶片21张/S ，日光灯频率50次/S ） ○6角动量： =??2 2 20~~e m me mv a J 基本概念： 1、光电效应 2、康普顿效应 3、原子结构的波尔理论 波尔2个假设： 定态轨道 定态跃迁 4、物质波及德布洛意假设（德布洛意关系）
“任何物体的运动伴随着波，而且不可能将物质的运动和波的传播分开”，认为物体若以大小为P 的动量运动时，则伴随有波长为λ的波动。 P h =λ，h 为普朗克常数 同时满足关系ω ==hv E 因为任何物质的运动都伴随这种波动，所以称这种波动为物质波（或德布罗意波）。 称P h h E v ==λ 德布罗意波关系 例题：设一个粒子的质量与人的质量相当，约为50kg ，并以12秒的百米速度作直线运动，求粒子相应的德布罗意波长。说明其物理意义。 答：动量v p μ= 波长m v h p h 3634101.1)1250/(1063.6)/(/--?=??===μλ 晶体的晶格常数约为10－10m ，所以，题中的粒子对应的德布罗意波长<<晶体的晶格常数，因此，无法观测到衍射现象。 5、波粒二象性 （1）电子衍射实验 1926年戴维逊（C ·J ·Davisson ）和革末（L ·H ·Gevmer ）第一个观察到了电子在镍单晶表面的衍射现象，证实了电子的波动性，求出电子的波长λ
光学工程前沿之来自量子世界的新技术 潘运（MF1415003) （南京大学光通信中心江苏南京 210008） 摘要：本文是听完全国光电技术与系统学术会议中量子技术的邀请报告后，自己的一些感想和总结。郭光灿院士首先介绍了量子世界的与经典世界的一些不同的特点，用来引起大家对量子学的兴趣，然后着重介绍了量子密码和量子计算这两方面的量子学的应用，这两项应用着重体现了量子学巨大的发展前景，最后鼓励大家投身与科学研究的事业中来，体现了郭院士不仅自己专心搞研究而且期望拉起一个研究队伍的科研理念。本篇报告着重介绍量子光学的一些基础性知识，并且对会议中量子学的应用做一些介绍。 关键词：量子光学，量子信息技术，量子世界 Abstract:This article is after listening to the National Optoelectronic Technology and Systems Conference invited the report quantum technology, some of their own feelings and summary. Academician Guangcan Guo first introduced the quantum world with some of the different characteristics of the classical world, to arouse interest in quantum science, and then focuses on the quantum cryptography and quantum computing applications of quantum science in these two areas, which focuses on two applications quantum Theory reflects strong growth prospects, and finally to encourage everyone to join the cause of scientific research in the past, reflecting the professor Guo concentrate not only their own research and expect to pull out of a research team of research ideas. This chapter report highlights some of the basic quantum optics knowledge, and for meeting the application of quantum science to do some introduction. Keywords: Quantum Optics，Quantum information technology，Quantum World 1.引言 量子世界具有经典世界所不具有的特点，对于常年生活在宏观世界中的人来说，这种微观的量子世界的特点可能会然人感到怪异。但是正是由于量
附录A ：量子力学中常用的数学工具 1. 常用数学符号 1.1 克雷内克符号 克雷内克（Kronecker ）符号i j δ在物理中有广泛应用，其定义为 1,0,i j i j i j δ=?=? ≠? （A1-1） 可以用来简洁地表示基矢量或本征函数之间的正交归一性关系 *i j i j dx ψψδ=? （A1-2） 1.2 列维·西维塔符号 列维·西维塔（Levi-Civita ）符号i j k ε又称为三阶反对称张量，其定义为 1,123,231,312 1,132,213,3210,i j k i jk i jk ε+=?? =-=??? 其它 （A1-3） 可以用来简洁地表示矢量积的分量关系 ,,,(), k i j k i j i j k i j k i j i j k A B A B A B C A B C εε?=??=∑∑v v v v v （A1-4） 1.3. 微分算符 在坐标表象下，动量对应梯度算符，梯度算符在直角坐标和球坐标中的表示形式为 11 sin x y z r e e e e e e x y z r r r θ?θθ? ???????=++=++??????v v v v v v （A1-5） 利用球坐标表达式r r re =v v ，得到 1sin r e e ?θθθ? ????=-??v v v （A1-6） 上式决定了角动量在球坐标中的表示形式。 （A1-6）式的平方为球面拉普拉斯算符 2 22 11sin sin sin θθθθθ?Ω????=+ ??? （A1-7） 与角动量平方相对应。拉普拉斯算符在直角坐标和球坐标中的表示形式为 22222 22222 11 r x y z r r r Ω?????=?=++=+????? （A1-8） 与动能相对应。
量子力学诠释问题（一） 作者：孙昌璞( 中国工程物理研究院研究生院北京北京计算科学研究中心) 1 引言：量子力学的二元结构和其发展的二元状态上世纪二十年代创立的量子力学奠定了 人类认识微观世界的科学基础，成功地解释和预言了各种相关物理效应。然而，关于波函数的意义，自爱因斯坦和玻尔旷世之争以来众说纷纭，并无共识。直到今天，量子力学发展还是处在这样一种二元状态。对此有人以玻尔的“互补性”或严肃或诙谐地调侃之，以“shut up and calculate”的工具主义观点处之以举重若轻。这样一个二元状态主要是由于附加在玻恩几率解释之上的“哥本哈根诠释”之独有的部分：外部经典世界存在是诠释量子力学所必需的，是它产生了不服从薛定谔方程幺正演化的波包塌缩，使得量子力学二元化了。今天，虽然波包塌缩概念广被争议，它导致的后选择“技术”却被广泛地应用于量子信息技术的各个方面，如线性光学量子计算和量子离物传态的某些实验演示。早年，薛定谔曾经写信严厉批评了当时的物理学家们，他在给玻恩的信中写到：“我确实需要给你彻底洗脑……你轻率地常常宣称哥本哈根解释实际上已经被普遍接受，毫无保留地这样宣称，甚至是在一群外行人面前——他们完全在你的掌握之中。这已经是道德底线了……你真的如此确信人类很快就
会屈从于你的愚蠢吗？”1979 年，Weinberg在《爱因斯坦的错误》一文中批评了玻尔对测量过程的不当处理：“量子经典诠释的玻尔版本有很大的瑕疵，其原因并非爱因斯坦所想象的。哥本哈根诠释试图描述观测(量子系统)所发生的状况，却经典地处理观察者与测量的过程。这种处理方法肯定不对：观察者与他们的仪器也得遵守同样的量子力学规则，正如宇宙的每一个量子系统都必须遵守量子力学规则。”“哥本哈根诠释可以解释量子系统的量子行为，但它并没有达成解释的任务，那就是应用波函数演化方程于观察者和他们的仪器。”最近温伯格又进一步强调了他对“标准”量子力学的种种不满。在量子信息领域，不少人不加甄别地使用哥本哈根诠释导致的“后选择”方案，其可靠性令人怀疑！其实，在量子力学幺正演化的框架内，多世界诠释不引入任何附加的假设，成功地描述了测量问题。由于隐变量理论在理论体系上超越了量子力学框架，本质上是比量子力学更基本的理论，所以本文对Bell 不等式不作系统讨论。自上世纪八十年代初，人们先后提出了各种形式迥异的量子力学新诠释，如退相干、自洽历史、粗粒化退相干历史和量子达尔文主义，但实际上都是多世界诠释的拓展和推广。2 哥本哈根诠释及其推论哥本哈根诠释的核心内容是“诠释量子世界，外部的经典世界必不可少”。波函数描述微观系统的状态，遵循态叠加原理，即：如果|?1>
量子力学论文题目: 量子力学发展历史及应用领域 学生姓名武术 专业电子科学与技术 学号_ 222009322072082 班级2009 级 2班 指导教师张济龙 成绩 _ 工程技术学院 2011年12 月
量子力学发展历史及应用领域 武术 西南大学工程技术学院，重庆 400716 摘要:量子力学发展至今已有一百年了，它发展的道路并不是一帆风顺的。这一百年虽是艰难的，但是辉煌的。此后，人们发现量子力学与现代科技的联系日益紧密，它的发展潜力是不能低估的。本文从两个部分逐次论述了量子力学的发展及应用。第一部分是量子力学的发展，这部分阐述了早期量子论。第二部分是量子力学的应用，这部分阐明了量子力学在固体物理和信息科学中的应用。 关键词：早期量子论；量子力学的发展；量子力学的应用 量子力学诞生至今一百年。经过一百年的发展，它由原子层次的动力学理论，已经向物理学和其他学科以及高新技术延伸。而事实上，它已超出物理学范围；它不仅是现代物质科学的主心骨，又是现代科技文明建设的主要理论基础之一。 建立在量子概念的量子力学及其物理诠释，促使人类的思想观念产生根本性转变；虽然这新概念很抽象，但就目前文明的空前繁荣而言，量子力学所产生的影响是相当广泛的。而看看量子力学的前沿性进展新貌，则会感到心驰神往。 量子力学可谓是量子理论的第二次发展层次，第一次常称作早期量子论，第三次就是量子场论。本文除了论述这三个层次以外，又说了它在现代物理乃至现代物质科学中的地位，阐述了它应用的状况。 一.量子力学的发展 19世纪末20世纪初，人们认为经典物理发展很完美的时候，一系列经典理论无法解释的现象一个接一个的发现了。经典力学时期物理学所探讨的主要是用比较直接的实验研究就可以接触到的物理现象的定理和理论。牛顿定理和麦克斯韦电磁理论在宏观和慢速的世界中是很好的自然规律。而对于微观世界的
量子力学基础简答题 1、简述波函数的统计解释； 2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？ 3、力学量G ?在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系； 5、电子在位置和自旋z S ?表象下，波函数??? ? ??=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释各项的几率意义。 6、何为束缚态？ 7、当体系处于归一化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时，简述在 ψ(,) r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。 8、设粒子在位置表象中处于态),(t r ψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,) r t 改写为ψ(,) r t 有何 不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 9、简述定态微扰理论。 10、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 12、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 13、测不准关系是否与表象有关？ 14、在简并定态微扰论中，如 () H 0的某一能级) 0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…， f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H H H '+=???0的零级近似波函数？ 15、在自旋态χ1 2 ()s z 中， S x 和 S y 的测不准关系( )( )??S S x y 22?是多少？ 16、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger 方程的解？同一能量 对应的各简并态的迭加是否仍为定态Schrodinger 方程的解？ 17、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。 18说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。 19何谓选择定则。 20、能否由Schrodinger 方程直接导出自旋？ 21、叙述量子力学的态迭加原理。 22、厄米算符是如何定义的？ 23、据[a ?，+ a ?]=1，a a N ???+=，n n n N =?，证明：1 ?-=n n n a 。 24、非简并定态微扰论的计算公式是什么？写出其适用条件。
量子力学在材料科学中的地位及学习方法新技术革命离不开新材料的发展。无论是新型的结构材料还是功能材料，它们的性质和性能都取决于其组成结构和结合方式，并且是在原子以上的层次作为研究对象。深刻地研究材料的本质，应从揭示微观粒子运动的量子力学理论中去寻求答案，材料的各种性质几乎都可以通过量子力学的平均操作、极限操作及一些学方法推导出来。材料学的迅速发展，特别是以量子力学的观点来研究材料科学，使得材料科学和材料工程得以大步向前。 为了科学地认识材料，以原子以上的层次的运动作为对象，所以要研究量子力学、热力学、古典力学和电磁学的关系。根据文某些文献的观点，研究材料科学是要从量子力学的观点来研究，应首先学习材料科学的基础——量子力学概论。可知，量子力学处于最基本的地位，也就是说，其它相关学科都是从基础的量子力学以平均操作、极限操作等推出来的。例如，如果理解量子的能量观点，那么热力学的各个量可以通过平均操作推导出来；从波动系数可以通过平均操作推导出古典力学的运动方程式，而当普朗克常数h→0即为古典力学；而电磁学与量子力学通过场的量子化联系起来。因此，为了科学地认识材料性质，将以量子力学作为最基本的学科。 在量子力学的学习过程中,我们必须深入理解量子力学中的几个基本原理。量子力学中描述粒子的状态不再用经典物理中的位置和动量来描述,而是由波函数来描述,如何理解这个波函数的统计解释是量子力学学习贯穿始终的重点和难点。粒子的运动也不再服从牛顿运动方程,波函数是遵守薛定谔方程的。 大学物理本科的理论物理专业课量子力学抽象、深奥、难学也难教，对于非物理专业学生学习量子力学，更增加了难度。作为四大力学之一的量子力学从概念到解决问题的方法跟经典物理有根本性的不同，在中学阶段少见到甚至没见到，学生预习时觉得如看“天书”。我觉得老师讲授量子力学过程中可以通过以下措施以求解决上述矛盾，使学生在掌握基本知识的同时，提高思维能力、扩展视野和提高科学素质，以求抛砖引玉。 一、从学生实际出发，紧扣大纲，合理安排教学过程的三阶段 考虑到学生的实际情况和需要，我们的量子力学教学大纲着重量子力学概念、规律和物理思想的展现：对中学中含有的与量子力学有关的内容在层次上进行全方位拓宽、复盖和加深，确保材料、应用化学专业教学及科研对近代物理知
量子力学的隐变量解释1935 年 5 月, 在 Physical Review 上 Einstein 和他的两位同事 B. Podolsky和 N. Rosen 共同发表了一篇名为「Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?」 (量子力学对物理世界的描述是完备的吗?) 三个人异口同声地回答:「不!」.在这篇著名的文章中，作者首先阐述了他们对物理理论的看法：一个严谨的物理理论应该要区别「客观实体」(object reality) 以及这个理论运作的观点．客观实体应独立于理论而存在．在判断一个理论是否成功时，我们会问自己两个问题：(1) 这个理论是否正确? (2) 理论的描述是否完备?只有当这两个问题的答案是肯定时，这样的理论才是令人满意的．理论的正确性当由实验来决定．而关于量子力学的描述是否完备则是这篇文章探讨的主题．在进一步讨论理论的完备性之前，我们必须先定义什么是完备性．作者们提出了一项判别完备性的条件：每一个物理实体的要素必须在理论中有一对应物(every element of the physical reality must have a counterpart in the physical theory)因此我们决定了什么是「物理实体的要素」，那么第二个问题就容易回答了．那么，究竟什么是「物理实体的要素」呢? 作者们以为: 「如果，在不以任何方式干扰系统的情况下，我们能准确地预测(即机率为一)某一物理量的值，那么必定存在一个物理实体的要素与这个物理量对应．」他们认为，只要不把这个准则视为一必要条件，而看成是一充分的条件，那么这个判别准则同样适用于古典物理以及量子力学中对实在的概念．举例来说，在一维系统中，一个以波函数φ(x) = exp(ip0x/2πh) (其中 p0是一常数，i 表纯虚数，h 为Planck常数)描述的粒子．其动量的算符为 h d ,p = ------ ---- ,2(Pi)i dx,因此： pFI(x) = p0FI(x),所以动量有一确定的值 p0. 因此在这种情形下动量是一物理实体．反之，对位 置算符 q 而言，qFI = xFI ≠ aFI ,因此粒子的位置并没有一确定的值．它是不可预测的，仅能以实验测定之．然而任何一实验的测定都将干扰到粒子而改变其状态，被测后的粒子将再也不具动量 p0了．对于此情况，我们说当一粒子的动量确定时，它的位置并非一物理 实体．一般来说在量子力学中，对两个不可对易的可观察量(observable)而言，知道其中一个物理量的准确知识将排除对另外一个的准确知识.任何企图决定后者的实验都将改变系统的状态而破坏了对前者的知识．至此，作者们发现我们面临了如下的两难局面： (1)或者，在量子力学中波函数对物理实在的描述是不完备的． (2)或者，两个对应于不可对易算符的物理量不能同时是实在的(即具有确定的值)．因为，若两个不可对易的物理量同时具有确定的值，根据作者们对完备性的条件，在波函数的描述中应包含这些值．但事实上并非如此，
书名:物理学前沿问题(研究生系列教材) ISBN:756143009 作者:王顺金著 出版社:四川大学出版社 定价:25 页数:152 出版日期:2005-1-1 版次: 开本:小16开 包装:平装 简介:本书简要介绍物理学各个主要分支的研究现状、前沿问题和发展趋势，包括：物理学与高科技，凝聚态物理学与介观物理学，原子、分子物理学与光学，原子核物理学，基本粒子物理学与量子场论，广义相对论、天体物理学与宇宙学。对凝聚态物理学和原子、分子物理学与光学，强调了其新发现和新进展与21世纪高科技的密切关系；对原子核物理学、基本粒子物理学、广义相对论、天体物理学与宇宙论，则探讨了21世纪物理学基本理论可能面临的重大变革。此外，还简要地介绍了物理学与信息论和计算机科学，物理学与生物学的交叉，包括：量子信息、量子通讯与量子计算，生物物理学。最后，介绍了物理学的研究方法，物理学、数学与哲学的相互关系，以及中国物理学的发展前景。本书对所讨论的问题提供了实用的数据与资料，其中包含了作者本人对物理学基本问题的观点和研究心得，以及对物理学发展前景的看法。 作者著述本书的目的是：1、开阔本科高年级学生和研究生的物理学视野，使他们对物理学的各个前沿问题有一些初步的了解，以便于今后选择适合的研究或作领域；2、给学生今后的学习与研究提供一个向导；3、激发学生对物理学，特别是对基础物理学和理论物理学的热情，鼓励他们从事物理学教学与研究工作，为发展中国和世界的物理学做出项献。 本书适合物理学各专业的研究生、本科高年级学生和研究人员阅读，也可供相邻学科的学生和研究人员参考。 目录: 第1章物理学与高科技 1.1 21世纪的高科与知识经济 1.2 21世纪的高科技与物理学 1.3 21世纪物理学的前景与可能面临的变革 1.4 大学本科物理学和数学的知识结构 第2章凝聚态物理学与介观物理学 2.1 凝聚态物理学的现状 2.2 新有序相 2.3 低维系统与小系统:介观物理、协和簇物理与纳米科技 2.4 等离子体物理学与核聚变 2.5 人造系统:超晶格、准晶格与人造原子 2.6 极端条件下的凝聚态物理学 2.7 复杂性与自组织 第3章原子、分子物理学与光学 3.1 引言
(薛定谔方程、一维无限深势阱、隧道效应、能量和角动量量子化、电子自旋、多电子原子) 一. 选择题 [ C ]1. （基础训练 10）氢原子中处于2p 状态的电子，描述其量子态的四个量子数(n ，l ，m l ，m s )可能取的值为 (A) (2，2，1，2 1 -)． (B) (2，0，0，21)． (C) (2，1，-1，2 1 -)． (D) (2，0，1，21)． ★提示：2p 电子对应的量子数n = 2; l = 1，只有答案（C ）满足。 [ C ]2. （基础训练11）在激光器中利用光学谐振腔 (A) 可提高激光束的方向性，而不能提高激光束的单色性． (B) 可提高激光束的单色性，而不能提高激光束的方向性． (C) 可同时提高激光束的方向性和单色性. (D) 既不能提高激光束的方向性也不能提高其单色性． [ D ]3. （自测提高7）直接证实了电子自旋存在的最早的实验之一是 (A) 康普顿实验． (B) 卢瑟福实验． (C) 戴维孙－革末实验． (D) 斯特恩－革拉赫实验． [ C ]4. （自测提高9）粒子在外力场中沿x 轴运动，如果它在力场中的势能分布如图19-6所示，对于能量为 E < U 0从左向右运动的粒子，若用 ρ1、ρ2、ρ3分别表示在x < 0，0 < x a 三个区域发现粒子的概率，则有 (A) ρ1 ≠ 0，ρ2 = ρ3 = 0． (B) ρ1 ≠ 0，ρ2 ≠ 0，ρ3 = 0． (C) ρ1 ≠ 0，ρ2 ≠ 0，ρ3 ≠ 0． (D) ρ1 = 0，ρ2 ≠ 0，ρ3 ≠ 0． ★提示：隧道效应。 二. 填空题 1. （基础训练17）在主量子数n =2，自旋磁量子数2 1 =s m 的量子态中，能够填充的最大电子数是___4___． ★提示：主量子数n =2的L 壳层上最多可容纳228n =个电子（电子组态为2622s p ），如 仅考虑自旋磁量子数2 1 =s m 的量子态，则能够填充的电子数为上述值的一半。 图 19-6
量子力学和经典力学在的区别与联系 摘要 量子力学是反映微观粒子结构及其运动规律的科学。它的出现使物理学发生了巨大变革，一方面使人们对物质的运动有了进一步的认识，另一方面使人们认识到物理理论不是绝对的，而是相对的，有一定局限性。经典力学描述宏观物质形态的运动规律，而量子力学则描述微观物质形态的运动规律，他们之间有质的区别，又有密切联系。本文试图通过解释、比较，找出它们之间的不同，进一步深入了解量子力学，更好的理解和掌握量子力学的概念和原理。 经过量子力学与经典力学的对比我们可以发现，量子世界真正的基本特性：如果系统真的从状态A跳跃到B的话，那么我们对着其中的过程一无所知。当我们进行观察的时候，我们所获得的结果是有限的，而当我们没有观察的时候系统正在做什么，我们都不知道。量子理论可以说是一门反映微观运动客观规律的学说。经典物理与量子物理的最根本区别就是：在经典物理中，运动状态描述的特点为状态量都是一些实验可以测量得的，即在理论上这些量是描述运动状态的工具，实际上它们又是实验直接可测量的量，并可以通过测量这些状态量来直接验证理论。在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数描述，一切都是不确定的。但是当微观粒子积累到一定量是，它们又显现出经典力学的规律。 关键字：量子力学及经典力学基本内容及理论量子力学及经典力学的区别与联系
目录 三、目录 摘要 (1) 关键字 (1) 正文 (3) 一、量子力学及经典力学基本内容及理论……………………………………………… 3 经典力学基本内容及理论 (3) 量子力学的基本内容及相关理论 (3) 二、量子力学及经典力学在表述上的区别与联系 (4) 微观粒子和宏观粒子的运动状态的描述 (4) 量子力学中微观粒子的波粒二象性 (5) 三、结论：量子力学与经典力学的一些区别对比 (5) 参考文献 (6)
量子力学的产生与启示 摘要：本文对量子力学的产生做了论述，并通过对量子力学产生的整个过程做了分析与归纳，不仅得出了量子力学产生的四点重大意义，而且认识到辩证思想和创新意识是量子力学产生的必要条件,并结合这些结论探讨了如何培养学生的创新意识和作为科学人员应具备哪些科学素养，对人类以后的科学研究具有指导意义。 关键词:能量子假设;科学素质;创新意识;综合能力 The emergence of quantum mechanics and Enlightenment Abstract: In this paper, so the emergence of quantum mechanics is discussed, and by quantum mechanics have done the whole process of analysis and summary, not only have come to the quantum mechanics of the four points of great significance, and recognizing that dialectical thinking and innovation have a sense of quantum mechanics a necessary condition, combined with these conclusions on how to foster innovation and awareness of students and staff as a science which should have the scientific knowledge, scientific research on human future guidance. Key words:energy sub-hypothesis; scientific quality; innovation awareness; comprehensive ability