第二章 勾股定理与平方根
一、选择题
1．下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是
（ ）
A ．7,24,25a b c ===
B ． 1.5,2, 2.5a b c ===
C ．2
5
,2,34
a b c =
==
D ．15,8,17a b c ===
2．小强量得家里彩电荧屏的长为cm 58，宽为cm 46，则这台电视机尺寸是
（ ）
A ．9英寸（23cm ）
B ．21英寸（54cm ）
C ．29英寸（74cm ）
D ．34英寸（87cm ）
3．等腰三角形腰长10cm ，底边16cm ，则面积
（ ） A ．2
96cm
B ．2
48cm
C ．2
24cm
D ．2
32cm
4．三角形三边c b a ,,满足ab c b a 2)(2
2
+=+，则这个三角形是 （ ） A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．等腰三角形 5．2
(6)-的平方根是
（ ）
A ．6-
B ．36
C ．±6
D ．6±
6．下列命题正确的个数有：a a a a ==233)2(,)1(（3）无限小数都是无理数（4）有限小数都是有理数（5）实数分为正实数和负实数两类 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7．x 是2
)9(-的平方根，y 是64的立方根，则=+y x
（ ） A ．3
B ．7
C ．3，7
D ．1，7
8．直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高
（ ）
A ．6
B ．8
C ．
18
13
D ．
60
13 9．直角三角形边长为b a ,，斜边上高为h ，则下列各式总能成立的是
（ ）
A 、2
h ab = B ．2
222h b a =+
C ．
h
b a 111=+
D ．
2
221
11h
b a =+ 10．如图一直角三角形纸片，两直角边cm BC cm AC 8,6==，现将直角边AC 沿直线AD
折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ） A ．cm 2 B ．cm 3 C ．cm 4
D ．cm 5
二、填空题
11．下列实数(1)3.1415926 .
(2)0.3 22(3)
7
(5)(6)
2
π
(7)0.3030030003...
其中无理数有________，有理数有________．（填序号）
A
E
B
D
C
第10题图
12．
4
的平方根________，0.216的立方根________．
13________的立方根________．
14．算术平方根等于它本身的数有________，立方根等于本身的数有________．
15．若2256x =，则=x ________，若3
216x =-，则=x ________．
16．已知Rt ABC ?两边为3，4，则第三边长________．
17．若三角形三边之比为3：4：5，周长为24，则三角形面积________．
18．已知三角形三边长n n n n n n ,122,22,122
2++++为正整数，则此三角形是________
三角形．
19．如果0)6(42
=++-y x ，则=+y x ________．
20．如果21a -和5a -是一个数m 的平方根，则.__________,==m a 21．三角形三边分别为8，15，17，那么最长边上的高为________．
22．直角三角形三角形两直角边长为3和4，三角形内一点到各边距离相等，那么这个距离
为________． 三、计算题
23．求下列各式中x 的值
2(1)16490x -=；
2(2)(1)25x -=；
3(3)(2)8x =-；
3
(4)(3)27x --=．
四、作图题
24．在数轴上画出8-的点．
25．下图的正方形网格，每个正方形顶点叫格点，
请在图中画一个面积为10的正方形．
五、解答题
26．已知如图所示，四边形ABCD 中，3,4,13,12,AB cm AD cm BC cm CD cm ====
090A ∠
=求四边形ABCD 的面积．
第24题图
第25题图
A
27．如图所示，在边长为c 的正方形中，有四个斜边为c 、直角边为b a ,的全等直角三角形，
你能利用这个图说明勾股定理吗？写出理由．
28．如图所示，15只空油桶（每只油桶底面直径均为60cm ）堆在一起，要给它盖一个遮
雨棚，遮雨棚起码要多高？
29．如图所示，在Rt ABC ?中，0
90ACB ∠=，CD 是AB 边上高，若AD=8，BD=2，求CD ．
第27题图
第29题图
C
A
D
B
第28题图
30．如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米？（先画
出示意图，然后再求解）．
第二章 勾股定理与平方根
1．C 2．C 3．C 4．C 5．C 6．B 7．D 8．D 9．D 10．B 11． (4)(6)(7)；(1)(2)(3)(5) 12．2
3
±,0.6
13．2±,2 14．0,1；0，1± 15．16±,-6 16．5 17．24 18．直角 19．-2
20．2或－4；9或81 21．120
17
22．1 23.(1) x=74± (2) x=6或x=－4 （3）x=-1 (4) x=0
24．略 25．如图 26．36 27．
222222221
4(),22,2
ab b a c ab a b ab c a b c ?+-=∴++-=∴+=
28．h=60 29．4 30．13
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阅读理解题 1.小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一些含根号的式子的平方，如3+2错误！未找到引用源。=(1+错误！未找到引用源。)2，善于思考的小明进行了如下探索： 设a+b错误！未找到引用源。=(m+n错误！未找到引用源。)2(其中a，b，m，n均为正整数)，则有a+b错误！未找到引用源。=m2+2mn错误！未找到引用源。+2n2. ∴a=m2+2n2，b=2mn. 这样，小明找到了把部分a+b错误！未找到引用源。的式子化为平方式的方法. 请你仿照小明的方法探索并解决问题： (1)当a，b，m，n均为正整数时，若a+b错误！未找到引用源。=(m+n 错误！未找到引用源。)2，用含m，n的式子分别表示a，b得，a= ，b= . (2)利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：+ 错误！未找到引用源。 =( + 错误！未找到引用源。)2. (3)若a+4错误！未找到引用源。=(m+n错误！未找到引用源。)2且a，b，m，n均为正整数，求a的值. 【解析】(1)m2+3n22mn (2)12，6，3，1等(答案不唯一) (3)由b=2mn得4=2mn，mn=2，a，m，n均为正整数， mn=1×2或mn=2×1，即m=1，n=2或m=2，n=1，
当m=1，n=2时，a=m2+3n2=12+3×22=13. 当m=2，n=1时，a=m2+3n2=22+3×12=7. 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感.他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图①或图②摆放时，都可以用“面积法”来证明. 下面是小聪利用图①证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2. 证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b-a， ∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=错误！未找到引用源。b2+错误！未找到引用源。ab， 又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=错误！未找到引用源。c2+错误！未找到引用源。a(b-a)， ∴错误！未找到引用源。b2+错误！未找到引用源。ab=错误！未找到引用源。c2+错误！未找到引用源。a(b-a)，
解题技巧专题：勾股定理与面积问题 ——全方位求面积，一网搜罗 ◆类型一三角形中利用面积法求高 1．直角三角形的两条直角边的长分别为5cm，12cm，则斜边上的高线的长为() A. 80 13cm B．13cm C. 13 2cm D. 60 13 cm 2．(2017·乐山中考)点A、B、C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB所在直线的距离是________． ◆类型二结合乘法公式巧求面积或长度 3．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＋b＝12cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是() A．48cm2B．24cm2C．16cm2D．11cm2 4．若一个直角三角形的面积为6cm2，斜边长为5cm，则该直角三角形的周长是() A．7cm B．10cm C．(5＋37)cm D．12cm 5．(2017·襄阳中考)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为() A．3 B．4 C．5 D．6 ◆类型三巧妙利用割补法求面积 6．如图，已知AB＝5，BC＝12，CD＝13，DA＝10，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．
7．如图，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，CD＝2，求四边形ABCD的面积．【方法6】 ◆类型四利用“勾股树”或“勾股弦图”求面积 8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为________cm2. 参考答案与解析 1．D 2. 3 55解析：如图，连接AC，BC，设点C到线段AB所在直线的距离是h.∵S△ABC ＝3×3－ 1 2×2×1－ 1 2×2×1－ 1 2×3×3－1＝9－1－1－ 9 2－1＝ 3 2，AB＝1 2＋22＝5，∴ 1 2×5h＝ 3 2，∴h＝ 35 5.故答案为 35 5.
勾股定理之折叠问题、等面积法（北师版） 试卷简介:本套试卷主要考查在折叠的背景下学生对勾股定理的应用以及利用等面积解决问题的思想。在考查学生勾股定理的同时检验学生对于折叠问题处理思路的掌握情况，另外为后期几何的模块封装做好铺垫，“看到什么想什么”，看到多个垂直存在，想到利用等面积法来解决问题。 一、单选题(共10道，每道10分) 1.如图,矩形纸片ABCD中,已知AD=4,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE,且EF=.则AB的长为( ) A. B. C.3 D.4 答案：C 解题思路： 由折叠，得∠AFE=∠B=90°，AB=AF，BE=EF= ∵BC=AD=4 ∴CE= 在Rt△CEF中，由勾股定理，得 CF==2 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB2+BC2=AC2 设AB=x，则 x2+42=(x+2)2 解之，得x=3 即AB=3 故答案选C． 试题难度：三颗星知识点：勾股定理之折叠问题
2.如图,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8,BC=10,则DE=( ) A.6 B.5 C.4 D.3 答案：B 解题思路： 在长方形ABCD中，CD=AB=8，AD=BC=10 由折叠，得AF=AD=10，EF=DE 在Rt△ABF中，由勾股定理，得 BF==6 ∴CF=4 设DE=x，则EF=x，CE=8-x 在Rt△CEF中，由勾股定理，得 CE2+CF2=EF2 即(8-x)2+42= x2 解之，得x=5 即DE=5 故答案选B． 试题难度：三颗星知识点：勾股定理之折叠问题 3.如图,矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=,折叠纸片使AD边与对角线BD重合,折痕为DG,则AG 的长为( ) A. B.4
初二数学勾股定理及平方根专题 【知识点扫描】 一、勾股定理： 1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 A B C a b c 弦 股 勾 勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2， 那么这个三角形是直角三角形。 2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股 数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。） *附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13 3. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角 形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。 （2）有两个角互余的三角形是直角三角形。 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： （1）确定最大边（不妨设为c）； （2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形； 若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）； 若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 （2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 （3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。 勾股定理的作用： （1）已知直角三角形的两边求第三边。 （2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。 （3）用于证明线段平方关系的问题。 （4）利用勾股定理，作出长为n的线段 二、平方根：（11——19的平方） 1、平方根定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。（也 称为二次方根），也就是说如果x2=a，那么x就叫做a的平方 根。 2、平方根的性质： ①一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 一个正数a的正的平方根，记作“ a”，又叫做算术平方根，它负的平方根，记作“— a”，这两个平方根合起来记作“±a”。（ a叫被开方 数，“”是二次根号，这里“”，亦可写成“2 ”） ②0只有一个平方根，就是0本身。算术平方根是0。 ③负数没有平方根。
勾股定理与面积计算 1.（1）如图①，S 1、S 2和S 3分别是以直角三角形的两直角边和斜边长为直径的半圆的面积，你能找出S 1、S 2和S 3之间的关系吗？请说明理由 （2）如图②，如果直角三角形的两直角边分别为6cm ，8cm ，你能根据（1）的结论求出阴影部分的面积吗？你能得出什么结论吗？ 2.如图（2）R t ⊿ABC 中，∠ACB=900，AC=6，BC=8，S 1、S 2和S 3分 别是以直角三角形的两直角边和斜边长为边长的等边三角形。你能找出S 1、S 2和S 3之间的关系吗？请说明理由 3. 如图（3）R t ⊿ABC 中，∠ACB=900，AB=3，S 1、S 2和S 3分别是以直角三角形的三边为斜边的等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为 。 4. 如图（4） 以R t ⊿ABC 的三边为边长向形外画正方形，以AB 为边的正方形的 面积为100cm 2，则这三个正方形的面积共为 cm 2。 5、如图14.1.3，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， 其中最大的正方形E 的面积为81cm 2，则正方形A 、B 、C 、D 的面积之和为 。 6、如图14.1.4，是一个“羊头型”的图案，其作法是：从正方形1开始以它的一边为斜边向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，依次类推。若正方 形1的面积为64cm 2，则正形7的边长为 。 7.如图所示的弦图中，大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形的短直角边 为a ，较长直角边为b ，求（a+b ）= 。 8. 有一块土地的形状如图， ∠B=∠D=90°，AB=20m ，BC=15m ，CD=7m ，请计算这块土地面积。 （2） （3） (4) 1242334图14.1.4B 8题图
尊敬的各位评委、老师，您们好。今天我说课的内容是人教版《数学》八年级下册第十八章第一节《勾股定理》第一课时，我将从教材、教法与学法、教学过程、教学评价以及设计说明五个方面来阐述对本节课的理解与设计。 一、教材分析： （一）教材的地位与作用 从知识结构上看，勾股定理揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，为后续学习解直角三角形提供重要的理论依据，在现实生活中有着广泛的应用。 从学生认知结构上看，它把形的特征转化成数量关系，架起了几何与代数之间的桥梁； 勾股定理又是对学生进行爱国主义教育的良好素材，因此具有相当重要的地位和作用。 根据数学新课程标准以及八年级学生的认知水平我确定如下学习目标：知识技能、数学思考、问题解决、情感态度。其中【情感态度】方面，以我国数学文化为主线，激发学生热爱祖国悠久文化的情感。 （二）重点与难点 为变被动接受为主动探究，我确定本节课的重点为：勾股定理的探索过程。限于八年级学生的思维水平，我将面积法发现勾股定理确定为本节课的难点，我将引导学生动手实验突
出重点，合作交流突破难点。 二、教法与学法分析 教学方法叶圣陶说过“教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导。”因此教师利用几何直观提出问题，引导学生由浅入深的探索，设计实验让学生进行验证，感悟其中所蕴涵的思想方法。 学法指导为把学习的主动权还给学生，教师鼓励学生采用动手实践，自主探索、合作交流的学习方法，让学生亲自感知体验知识的形成过程。 三、教学过程 我国数学文化源远流长、博大精深，为了使学生感受其传承的魅力，我将本节课设计为以下五个环节。 首先，情境导入 给出《七巧八分图》中的一组图片，让学生利用两组七巧板进行合作拼图。（请看视频）让学生观察并思考三个正方形面积之间的关系？它们围成了什么三角形？反映在三边上,又蕴含着什么数学奥秘呢？寓教于乐，激发学生好奇、探究的欲望。 第二步追溯历史解密真相 勾股定理的探索过程是本节课的重点，依照数学知识的循序渐进、螺旋上升的原则，我设计如下三个活动。 从上面低起点的问题入手，有利于学生参与探索。学生很容
-3 4 3 2 1 0 -1 -2 D C B O A 第二章《勾股定理与平方根》单元测试题 （考试时间100分钟，总分120分） 班级 姓名 得分 一、精心选一选（每题2分，共20分） 1.16的平方根是（ ） A.4 B ．±4 C.256 D ．±256 2.64的立方根是（ ） A.4 B ．±4 C.2 D ．±2 3.下列实数 722，3，38，4，3 π ，0.1， 010010001.0-，其中无理数有（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 ⒋ 对0.000009进行开平方运算，对所得结果的绝对值再进行开平方运算……随着开方次数的增加，其运算结果（ ） A.越来越接近1 B.越来越接近0 C.越来越接近0.1 D.越来越接近0.3 ⒌地球七大洲的总面积约是1494800002 km ，如对这个数据保留3个有效数字可表示为（ ） A ．1492km B ．1.5×108 2km C ．1.49×108 2km D ．1.50×108 2 km ⒍如图,若数轴上的点A ，B ，C ，D 表示数-2，1，2，3，则表示74-的点P 应在线段（ ） A ．线段AB 上 B ．线段BC 上 C ．线段CD 上 D ．线段OB 上 ⒎对于10.08与0.1008这两个近似数,它们的（ ） A ．有效数字与精确位数都不相同 B ．有效数字与精确位数相同 C ．精确位数不同,有效数字相同 D ．有效数字不同,精确位数相同 ⒏ 一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达到该建筑物的最大高度是（ ） A. 12米 B. 13米 C. 14米 D. 15米 ⒐ 三角形三边长分别为a 2 ＋b 2 ，a 2 －b 2 ，2ab （a>b ，a 、b 都为整数），则这个三角形是（ ）
折叠问题与等面积法（讲义） 一、知识点睛 1.折叠问题处理思路： （1 ）找 __________________； （2 ）____________________； （3 ）利用 _______________列方程． 2.等面积法 当几何图形中出现多个高（垂直、距离）的时候，可以考虑 ______________解决问题，即利用图形面积的不同表达方式列方程． 二、精讲精练 1.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC =6cm ， BC =8cm ，现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与 AE 重合，则线段 CD =__________． C A M D F D N B E A B E C 第 1题图第 2 题图 2.如图，将边长为 8cm 的正方形 ABCD 折叠，使点 D 落在 BC 边的中点 E 处，点 A 落在点 F 处，折痕为 MN ，则线段 CN 的长是 __________． 3.如图，在长方形 ABCD 中， AB =3 ，AD =9 ，将此长方形折叠，使点 D 与点 B 重合，折痕 为 EF ，则△ ABE 的面积为 ________． A E D B F C C' 4.如图，折叠矩形的一边 AD ，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知 AB =8cm ，BC =10cm ， 则 EF =________． A D E B F C
5. 如图，在矩形 ABCD 中， BC =4 ，DC =3 ，将该矩形沿对角线BD 折叠，使点 C 落在点 F 处， BF 交 AD 于点 E，求 EF 的长． F A D E B C 6.如图，在△ ABC 中，AB =20 ，AC=12 ，BC =16 ，点 E 为线段 BC 上一点，把△ ABC 沿 AE 折叠，使 AB 落在直线 AC 上，求重叠部分（阴影部分）的面积． A B E C B'
勾股定理、平方根专题知识点整理 第一节勾股定理 一、勾股定理： 1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 A B C a b c 弦 股 勾 勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个 三角形是直角三角形。 2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么 ka，kb，kc同样也是勾股数组。） *附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13 3. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角 三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五） 其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。 （2）有两个角互余的三角形是直角三角形。 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： （1）确定最大边（不妨设为c）；
（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边） 4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 （2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的 一半。 （3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角 等于30°。 5. 勾股定理的作用： （1）已知直角三角形的两边求第三边。 （2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。 （3）用于证明线段平方关系的问题。 （4）利用勾股定理，作出长为n 的线段 二、平方根：（11——19的平方） 1、平方根定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。（也称为二次方 根），也就是说如果x 2 =a ，那么x 就叫做a 的平方根。 2、平方根的性质： ①一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 一个正数a 的正的平方根，记作“a ”，又叫做算术平方根，它负的平方根，记作“—a ”，这两个平方根合起来记作“±a ”。（ a 叫被开方数， “”是二次根号，这里“”， 亦可写成“2 ”） ②0只有一个平方根，就是0本身。算术平方根是0。 ③负数没有平方根。 3、 开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方和平方运算互为逆运算。 4、（1） 平方根是它本身的数是零。 （2）算术平方根是它本身的数是0和1。 （3） () ()()().0,0,0222 <-=≥=≥=a a a a a a a a a （4）一个数的两个平方根之和为0 三、立方根：（1——9的立方） 1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根。（也称为二次 方根），也就是说如果x 3 =a ，那么x 就叫做a 的立方根。记作“3a ”。 2、立方根的性质： ①任何数都有立方根，并且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. ②互为相反数的数的立方根也互为相反数，即3a -=3a - ③a a a ==3333)(
图14.1.3G F E D C B A 勾股定理与面积计算 1.（1）如图①，S 1、S 2和S 3分别是以直角三角形的两直 角边和斜边长为直径的半圆的面积，你能找出S 1、S 2和S 3之间的关 系吗请说明 理由 （2）如图②，如果直角三角形的两直角边分别为6cm ，8cm ，你能根据（1）的结论求出阴影部分的面积吗你能得出什么结论吗 2.如图（2）Rt ⊿ABC 中，∠ACB=900，AC=6，BC=8，S 1、S 2和S 3分 别是以直角三角形的两直角边和斜边长为边长的等边三角形。你能找出S 1、S 2和S 3之间的关系吗请说明理由 3. 如图（3）Rt ⊿ABC 中，∠ACB=900，AB=3，S 1、S 2和S 3分别是以直角三角形的三边为斜边 的等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为 。 4. 如图（4） 以Rt ⊿ABC 的三边为边长向形外画正方形，以AB 为边的正方形的 面积为100cm 2，则这三个正方形的面积共为 cm 2。 （2） （3） (41 242334图14.1.4 B 8题图
5、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， 其中最大的正方形E的面积为81cm2，则正方形A、B、C、D的面积之和为。 6、如图14.1.4，是一个“羊头型”的图案，其作法是：从正方形1开始以它的一边为斜边向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，依次类推。若正方形1的面积为64cm2，则正形7的边长为。 7.如图所示的弦图中，大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，求（a+b）= 。 8. 有一块土地的形状如图，∠B=∠D=90°，AB=20m，BC=15m，CD=7m，请计算这块土地面积。
1．下列说法正确的有（） ①轴对称图形的对应线段相等，对应角相等； ②成轴对称的两条线段必在对称轴的同侧； ③轴对称的对应点的连结被对称轴垂直平分； ④成轴对称的对应线段若相交，则交点必在对称轴上。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．等腰三角形一边长是4，另一边长是9，则它的周长是（） A．17 B．22 C．17或22 D．24 3．等腰三角形的周长是24，其中一边长是10，则腰长是（） A．10 B．7 C．10或7 D．17 4．平面上有A、B两个点，以AB为一边作等腰直角三角形能作（） A．3个B．4个C．5个D．6个 5．如图，在一个规格为4×8的球台上，有两个小球P 和Q。若击打小球P经过球台的边AB反弹后，恰好击中小球Q，则小球P击出时，应瞄准AB边上的（）A．点O 1B．点O2 C．点O3D．点O4 6．线段是轴对称图形，它的对称轴是。 7．角是轴对称图形，它的对称轴是。 8．角平分线上的任意一点到这个角的两边的
相等，线段的垂直平分线上的点到的距离相等。 9．举一个有无数条对称轴的轴对称图形是。 10．计算器屏幕上显示0到9这十个数字中，其中成轴对称图形的数字有个。 11．在△ABC中，∠BAC=135°，EF、GH分别是AB、AC 两边的垂直平分线，与BC边交于点E、G，求∠EAG的度数。 12．如图，点D是△ABC的中点，将一把直角三角尺的直角顶点放于D处，其两条直角边分别交AB、AC于点E、F。试比较BE+CF与EF的大小，并说明 理由。 13．正三角形给人以“稳如泰山”的美感，它具有独特的对称性。请你用三种不同的分割的方法，将以下三个正三角形分别分割成四个等腰三角形（在图中画出分割线，并标出必要的角的度数）
第二章勾股定理、平方根专题 第一节勾股定理 一、勾股定理： 1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 A B C a b c 弦 股 勾 勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个 三角形是直角三角形。 2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么 ka，kb，kc同样也是勾股数组。） *附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13 3. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角 三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五） 其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。 （2）有两个角互余的三角形是直角三角形。 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： （1）确定最大边（不妨设为c）；
（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边） 4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 （2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的 一半。 （3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角 等于30°。 5. 勾股定理的作用： （1）已知直角三角形的两边求第三边。 （2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。 （3）用于证明线段平方关系的问题。 （4）利用勾股定理，作出长为n 的线段 二、平方根：（11——19的平方） 1、平方根定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。（也称为二次方 根），也就是说如果x 2 =a ，那么x 就叫做a 的平方根。 2、平方根的性质： ①一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 一个正数a 的正的平方根，记作“a ”，又叫做算术平方根，它负的平方根，记作“—a ”，这两个平方根合起来记作“±a ”。（ a 叫被开方数， “”是二次根号，这里“”， 亦可写成“2 ”） ②0只有一个平方根，就是0本身。算术平方根是0。 ③负数没有平方根。 3、 开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方和平方运算互为逆运算。 4、（1） 平方根是它本身的数是零。 （2）算术平方根是它本身的数是0和1。 （3） () ()()().0,0,0222 <-=≥=≥=a a a a a a a a a （4）一个数的两个平方根之和为0 三、立方根：（1——9的立方） 1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根。（也称为二次 方根），也就是说如果x 3 =a ，那么x 就叫做a 的立方根。记作“3a ”。 2、立方根的性质： ①任何数都有立方根，并且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. ②互为相反数的数的立方根也互为相反数，即3a -=3a - ③a a a ==3333)(
专题：勾股定理与面积问题 ——全方位求面积，一网搜罗 ◆类型一三角形中利用面积法求高 1．直角三角形的两条直角边的长分别为5cm，12cm，则斜边上的高线的长为() A. 80 13cm B．13cm C. 13 2cm D. 60 13 cm 2．(2017·乐山中考)点A、B、C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB所在直线的距离是________． ◆类型二结合乘法公式巧求面积或长度 3．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＋b＝12cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是() A．48cm2B．24cm2C．16cm2D．11cm2 4．若一个直角三角形的面积为6cm2，斜边长为5cm，则该直角三角形的周长是() A．7cm B．10cm C．(5＋37)cm D．12cm 5．(2017·襄阳中考)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为() A．3 B．4 C．5 D．6 ◆类型三巧妙利用割补法求面积 6．如图，已知AB＝5，BC＝12，CD＝13，DA＝10，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．
7．如图，∠B＝∠D＝90°，∠ A＝60°，AB＝4，CD＝2，求四边形ABCD的面积．【方法6】 ◆类型四利用“勾股树”或“勾股弦图”求面积 8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方 形的边长为9cm，则正方形A ，B，C，D的面积之和为________cm2. 9．在我国古算书《周髀算经》中记载周公与商高的谈话，其中就有勾股定理的最早文字记录，即“勾三股四弦五”，亦被称作商高定理．如图①是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图②是将图①放入长方形内得到的，∠BAC ＝90°，AB＝3，AC＝4，则D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，那么长方形KLMJ 的面积为________．
勾股定理的不同证法 证法1：设三角形较短的两边长度分别为a和b，较长的边为c， 如果a的二次方与b的二次方的和等于c的二次方，最长边对 应的角为直角，则已证明勾股定理：a2+b2=c2 证法2：以三角形三边延伸做三个正方形，边长分别为a，b， c，如果正方形（a边长）加正方形（b边长）面积和等于正方 形（c边长），则a2+b2=c2，已证明勾股定理。 证法3:以a，b为直角边，以c为斜边做两个全等的三角形， 则每个直角三角三角形的面积等于?ab，把这两个直角三 角形如图所示，使A，E，B三点在一条直线上。 ∵Rt△EAD≌RT△CBE， ∴∠ADE＝∠BEC， ∵∠AED＋∠ADE＝90° ∴∠AED＋∠BEC＝90° ∴∠DEC＝180°—90°＝90° ∴△DEC是一个等腰直角三角形 它的面积等于?c2 又因为∠DAE＝90°，∠EBC＝90°， ∴AD∥BC ∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于?（a＋b）2 ∴?（a＋b）2＝2·?ab＋?c2 ∴a2+b2=c2 证法4：做8个全等的直角三角形设它们的两条直 角边长为a，b，斜边长为c，在做三个边长为a，b， c的正方形，把它们像左图那样拼成两个正方形，从 左图可以看到，这两个正方形的边长都是a＋b，所 以面积相等，即： a2+b2＋4·?ab等于c2＋4·?ab，整理便得a2+b2=c2 证法5：以a，b为直角边(b＞a)，以c为斜边做四 个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于?ab，把这 四个直角三角形拼成如图所示形状。 ∵RtDAH≌Rt△ABE, ∴∠HDA＝∠EAB ∵∠HAD＋∠HAD＝90° ∴∠EAB＋∠HAD＝90° ∴ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2 ∵EF＝FG＝GH＝HE＝b—a ∠HEF＝90° ∴EFGH是一个边长为b—a的正方形，它的面积等于（b—a）2 4·?ab＋（b—a）2等于c2 ∴a2+b2=c2 证法6：从这张图可以得到一个矩形和三个三角形，推导公式如下：
初二数学测试卷（勾股定理与平方根） 一、选择题 1．一个直角三角形两直角边长分别为3和4，则下列说确的是（ ）． A 、三角形面积为12 B 、三角形的周长为25 C 、斜边长为25 D 、斜边长为5 2．以下列各数为边长，不能组成直角三角形的是（ ）． A 、3，4，5 B 、4，5，6 C 、5，12，13 D 、6，8，10 3．2 (6)-的平方根是（ ）． A ．6- B ．36 C ．±6 D ．6± 4．下列判断中错误的是（ ）． A 、△ABC 中，若∠ B ＝∠ C －∠A ，则△ABC 是直角三角形 B 、△AB C 中，若a 2＝b 2－c 2，则△ABC 是直角三角形 C 、△ABC 中，若∠A ︰∠B ︰∠C ＝3︰4︰5，则△ABC 是直角三角形 D 、△ABC 中，若a ︰b ︰c ＝5︰4︰3，则△ABC 是直角三角形 5．下列命题正确的个数有：（1 a =，（2 a =，（3）无限小数都是无理数，（4）有限小数都是有理数，（5）实数分为正实数和负实数两类（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．若两条线段的长为8cm 和15cm ，则能组成一个直角三角形的第三条线段的长为（ ）． A 、12cm B 、13cm C 、17cm D 、17cm 或161cm 7．如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB CD EF GH ，，，四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）． A 、CD EF GH ，， B 、AB EF GH ，， C 、AB C D GH ，，D 、AB CD EF ，， 8．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则BD ＝（ ）． A 、2cm B 、3cm C 、4cm D 、5cm （第7题图） （第8题图） 9．在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ）． A 、42 B 、32 C 、42或32 D 、不能确定 A B E D C C E B H D F A G
第二章勾股定理与平方根小结与思考 【教学目标】（课标要求） 1．掌握勾股定理及直角三角形的判断条件（勾股定理的逆定理），并能利用上述知识解决一些简单的实际问题． 2．了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根；了解开方与乘方互为逆运算，会求某些非负数的平方根，会求某些数的立方根．会用计算器求平方根和立方根． 3．了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应．4．能用有理数估计一个无理数的大致范围． 5．了解近似数和有效数字的概念；在实际问题中会利用计算器进行计算，并按问题的要求对结果取近似值． 6．理解数的意义，能用多种方法来表示数；能在具体环境之中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法． 【教学重难点】 形成自己的关于《勾股定理与平方根》的知识树状图，对本章内容有较为详细的了解． 【教学过程】 一、自我反思 （1）你能说出勾股定理吗？举例说明勾股定理在生活中的一些应用．
（2）举例说明: 什么是一个数的平方根、算术平方根 、立方根？平方根和立方根有什么区别？ （3）开方运算和乘方运算有什么联系？任何实数总可以进行开方运算吗？ （4）说说有理数和无理数什么区别？ 二、知识整理
三、例题精讲 例1 靠着墙放长为2.5米的梯子，梯子的底端距墙根0.7米．由于打滑，梯子的顶部下滑了40cm ，试问梯子的底端将滑出多少？ 例2 计算23322 --π ．（结果精确到0.01） 四、 随堂练习（供选用） 1．选择 （1）如图，左边是一个正方形，则此正方形的面积是（ ） A ．1cm 2 B ．3cm 2 C ．6cm 2 D ．9cm 2 （2）以下各组数中，能组成直角三角形的是（ ） A ．2，3，4 B ．1.5，2，2.5 C ．6，7，8 D ．8，9，10 （3）下列说法中，正确的是（ ）． A ．8的立方根是±2 B ．9的立方根是3 C ．－0.001的立方根是－0.1 D ．―2的立方根是―8 （4）下列计算正确的是（ ）． A ． 43.0≈0.066 B ．895≈30 C ．2536≈60.4 D ．3900≈96 （5）在实数范围内，下列说法正确的是（ ）． 4cm 5cm
第 1 页 共 3 页 勾股定理与平方根 班级 姓名 学号 学习目标：1回顾勾股定理及其逆定理，利用勾股定理解决生活中的实际问题 2平方根及立方根，能说出一个近似数的精确度或有几个有效数字，能按照要求用 四舍五入的方法取一个数的近似数，会进行实数的有关计算 学习难点：勾股定理及其应用，平方根及立方根 教学过程： 一、知识要点 1、勾股定理：在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。 2、勾股定理的应用：在一个直角三角形中，知道其中的任意两边都可以求第三边。 ①c2＝a2＋b2；②a2＝c2－b2；③b2＝c2－a2。 3、直角三角形的识别（勾股定理的逆定理）：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a2＋b2 ＝c2，那么这个三角形是直角三角形。（这是判定一个三角形是直角三角形的又一种方法） 4、平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。也称二次方根，也就是说，如果x2＝a ，那么x 就叫做a 的平方根。 5、平方根的性质：①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0，记作0 ；③负数没有平方根。 6、开平方的定义：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。 7、算术平方根的定义：正数a 有2个平方根，其中正数a 的正的平方根，也叫做a 的算术平方根。公式：( a )2＝a (a ≥0)，a2 ＝a (a ≥0) ， a2 ＝－a(a ≤0)。 8、立方根的定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根，也称为三次方 根；也就是说，如果x3＝a ，那么x 叫做a 的立方根，数a 的立方根记作3a 读作“三次根号a ”。 9、开立方的定义：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方和立方互为逆算。 10、立方根的性质：正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根0。 二、课堂小练习 1、16 的平方根________，64 的立方根_______。 2、若一正数的平方根是2a －1与－a ＋2，则_____ a 。 3、如图,6 4、400分别为所在正方形的面积，则图中字母A 所代表的正方形面积是 __ 4、直角三角形两条直角边的长分别为 5、12，则斜边上的高为 . 5、已知甲往正东走了4km ，乙往正南走了3km ，这时甲、乙两人相距 . 6、一个长方形的长为12cm ，对角线长为13cm ，则该长方形的周长为 . 7、以直角三角形的三边为边向形外作正方形P 、Q 、K ，若SP ＝4，SQ ＝9，则Sk ＝ . 8、在Rt △ABC 中，∠C=90°若a=5，b=12，则c=________。 9、在△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，下列条件中，能判断△ABC 为直角三角形的是 ( )A.a ＋b ＝c B. a ：b ：c ＝3：4：5 C.a ＝b ＝2c D.∠A ＝∠B ＝∠C 10、若三角形三边长分别是6,8,10,则它最长边上的高为( ) A.6 B.4.8 C.2.4 D. 8 11、分别以下列四组数为一个三角形的边长：①6、8、10；②5、12、13；③8、5、17 ④4、5、6.其中能构成直角三角形的有（ ） A.4组 B. 3组 C. 2组 D.1组 12、在ΔABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c,下列说法中正确的个数有（ ） 400 64 A
面积法与勾股定理 例.如图，在⊿ABC 中，∠ACB=900，AB=5cm,BC=3cm,CD ⊥AB 与D,求： （1），AC 的长；（2）⊿ABC 的面积；（3）CD 的长。 （7分） 解：在Rt △ABC 中，4352222=-=-=BC AB AC 6342 121=??=?=?BC AC S ABC 面积法： 652121=??=?= ?CD CD AB S ABC ∴512=CD 练习1.如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，若AC=12，BC=5，则CD= . 解：在Rt △ABC 中，135122222=+=+=BC AC AB CD AB BC AC S ABC ?=?=?2 121 面积法：∴CD 13512=? ∴1360= CD 练习2、如图，长方形长AB=24，宽AD=10。（1）求BD 的长；（2）求点C 到BD 的距离。 解：在Rt △DAB 中，2624102222=+=+= AB AD BD 根据△DCB 中，CE DB CD BC ?=?2121,CE ?=?262410,13 120=CE 练习3.等腰三角形底边长为８cm,腰长为５ cm,则腰上的高为 .
解:求得底边上的高为3，面积法h 52 13821?=??，8.4=h 例2．已知：如图，△ABC 中，∠C = 90°，点O 为△ABC 的三条角平分线的交点，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，点D 、E 、F 分别是垂足，且BC = 8cm ，CA = 6cm ，则点O 到三边AB ，AC 和BC 的距离分别等于 cm 面积法 10862222=+=+=BC AC AB OD BC OF AB OE AC BC AC ?+?+?=?2 1212121 x x x 810686++=?，2=x 练习2、如图，△ABC 中，∠B=90°，两直角边AB=7,BC=24,三角形内有一点P 到各边的距离相等，则这个距离是（ ） （A ）1 (B)3 (C)4 (D)5 C O A B D E F 第18题图 A B P C
第二章 勾股定理与平方根 基础知识复习讲义（2） 要点回顾 【知识点 1】 平方根概念： 算术平方根： 〖基础回顾〗 1.求下列各数的平方根和算术平方根（先表示，再化简） 36 42 1452-1442 16 2．求下列各式中x 的值． 0252=-x 81)1(42=+x 6442 =x 09822 =-x 【知识点 2】 平方根意义： 〖基础回顾〗 计算： 914414449? 494 8116- 416 13+- 【知识点 3】立方根概念： 立方根的意义： 〖基础回顾〗 1．求各数的立方根（先表示，再化简） 125 （-8） 2 - 64 2.计算 ⑴ 327 102 - （2）3271-- （3）336418-? 3.求下列各式的x.
⑴x 3-216=0 ⑵8x 3+1=0 ⑶(x+5)3=64 【知识点 4】 无理数概念： 常见无理数有： 〖基础回顾〗 1．在实数3 1，38-，3.14，π，2-，39中属于有理数有 ； 属于无理数的有 ． 2．下列说法正确的是（ ）. A.无限小数都是无理数 B.带根号的数都是无理数 C.无理数是无限小数 D.无理数是开方开不尽的数 【知识点 5】 实数概念及分类 实数： 〖基础回顾〗 1．与数轴上的点一一对应的数是 。 2. 数轴上表示6-的点到原点的距离是 。 点M 在数轴上与原点相距5个单位，则点M 表示的实数为 。 3. 227.2540.317 π-- 1.232232223222 有理数集合：｛ …｝ 无理数集合：｛ …｝ 正实数集合：｛ …｝ 负实数集合：｛ …｝ 4 ．在数轴上画出表示 实数 正无理数 负无理数