文科数学复习
指数式与对数式的运算
一．分数指数幂的意义 1、分数指数幂概念
给定正实数a ，对于任意给定的整数m 、n （m 、n 互素），存在唯一的正实数b 、使得_____________，我们把b 叫做a 的
n
m
次幂，记作_____________，它就是分数指数幂。 2、分数指数幂的根式形式：（+∈>N n m a ,,0且1>n ）
（1）正分数指数幂 n
m
a =________________ （2）负分数指数幂 n
m a -= ________________
3、0的正分数指数幂等于__________，0的负分数指数幂__________。 例1、将下列根式化成分数指数幂的形式
（1）()0>a a a ， （2）
()
3
2
52
1x x （3）()03
243
2
>???
? ??-
-b b
练习：
1、把下列各式中的b （0>b ）写成分数指数幂的形式：
（1）83=b ，______________ （2）452=b ______________ （3）n m
b 343=- ______________
2、用分数指数幂的形式表示下列各式 （1）37
)(a - _________，（2）4
1
a
________, （3）43
)
(b a +_________, （4）3x x ________
二、指数幂的运算性质 若,,,a b R m n Q +
∈∈ 则：
①n
m a a ?=_________ ②n
m a )(=___________ ③n
ab )(=__________
例2、求下列各式的值。
（1）()3
4125-， （2）4
1412-
??
?
?? （3）2
101
.0- （4）2
5945??
? ??
例3、求下列各式的值．
(1) 12
1(6)4
＋13
3(3)8
＋＋0
； (2)10
2
2
1.531222(0.01)54-
-????
+?- ? ???
??
练习： （1）5
132
-=________， （2）3164=_________ ,（3）3
227
-=________ , （4）2
14964-
??
?
??=_________
三、对数的概念和性质
1、如果__________(0,1,a a >≠且),那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作_________,其中____叫做底数的对数，____叫做真数. 所以=1log a _______. =a a log _________；=N
a a log _______(对数恒等式).
2、两种重要对数：(1)常用对数：以___为底的对数，N 的常用对数10
log N
简记为_______
(2)自然对数：以___为底的对数，N 的常用对数log e N
简记为_______（其中 2.71828e ≈）
3、对数的运算性质
0,1,0,0,a a M N >≠>>如果且则
①__________________________ , ②__________________________ ,③__________________________ 练习：
1、将下列指数式写成对数式，对数式化为指数式。 （提示：根据)10(log ≠>=?=a a N a b N b
a 且）
（1）416log 2=； （2）327log 3=； （3）27
1)31(3
=
； （4）8134
=
2、计算：
（1）3log 81=___________； （2）1
3
1
log 27
=__________ 例4、计算： (1)51lg12.5lg lg 82
-+； (2) 7lg 9－7
2lg 3＋lg7； (3)2log 510＋log 50.25；
例5、化简：（1）2lg 5lg 2lg 5lg 2+?+; （2）27
lg 81lg 3
lg 27lg 53
9lg 523lg --++
四、换底公式
1、换底公式：
2、换底公式的作用：利用换底公式可以将 的对数间的运算转化为 的对数间的运算。
3、换底公式的常用推论：
①log log a b b a ?=___即log b a =________ , ②log log a b b c ?=________ ③log ____log n m
a a
b b =
例6、计算：
（1）27log 8log 329?； （2）9log 4log 25log 532??, （3）)2log 2)(log 3log 3(log 9384++
巩固练习： 1、2log 2
值为（ ）
A.-2 B 2 C -21 D 2
1 2、9log 27的值为（ ） A.
41 B. 1 C. 2
3 D. 32
3、计算 ⑴.64log 4=_______ ⑵.1log 3=_______ ⑶.7
log 5.039=________ ⑷.25
16log 4
2
=_______.
4、填空 ⑴.16log 2
2=______ ⑵.0___)](log [log log 532= ⑶. 9log 8log 25log 532?? =________
5、计算：⑴.)4()3()2(3
241322
1314
1y x y x
y x -??--- ⑵. 20.5
3
071022(3π)927-
??
??-- ?
???
??
；
6、计算：
(1).2log 5log 4log 3log 5432???； (2).2
)2(lg 50lg 2lg 25lg +?+
（3）4log 32log 22
- （4）)2lg 32(lg 8lg 2
1
lg
21lg 5lg 2lg -?+-+
对数函数专题 对数及对数运算 【要点梳理】 要点一、对数概念 1．对数的概念 如果()01b a N a a =>≠，且，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作:log a N=b ．其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 要点诠释： 对数式log a N=b 中各字母的取值范围是：a>0 且a ≠1， N>0， b ∈R ． 2．对数()log 0a N a >≠，且a 1具有下列性质： （1）0和负数没有对数，即0N >； （2）1的对数为0，即log 10a =； （3）底的对数等于1，即log 1a a =． 3．两种特殊的对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，N N lg log 10简记作．以e （e 是一个无理数， 2.7182e =???）为底的对数叫做自然对数， log ln e N N 简记作． 4．对数式与指数式的关系 由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示． 由此可见a ，b ，N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化． 要点二、对数的运算法则 已知()log log 010a a M N a a M N >≠>，且，、 （1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； ()log log log a a a MN M N =+ 推广： ()( )1 2 1 l o g a k a N N N = + 、、、 （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； log log log a a a M M N N =- （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； log log a a M M αα= 要点诠释： （1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两
求指数、对数函数的导数 例 求下列函数的导数： 1．1ln 2+=x y ；2．)132(log 22++=x x y ； 3．)sin(b ax e y +=； 4．).12cos(3+=x a y x 分析：对于比较复杂的函数求导，除了利用指数、对数函数求导公式之外，还需要考虑应用复合函数的求导法则来进行．求导过程中，可以先适当进行变形化简，将对数函数的真数位置转化为有理函数的形式后再求导数． 解：1．解法一：可看成1,,ln 2+===x v v u u y 复合而成． . 111 2)1(2111 ) 2(21122221 2221 +=+?+=?+?+=??='?'?'='--x x x x x x x x x v u v u y y x v u x 解法二：[])1(11 1ln 222'++='+='x x x y . 1211 2111)1()1(21 11222221 22+=?+?+=' +?+?+=-x x x x x x x x 解法三：)1ln(211ln 2 2+=+=x x y ， [].1122)1(1121)1ln(2122222+=+='+?+?='+='x x x x x x x y 2．解法一：设132,log 2 2++==x x u u y ，则 )34(log 1 2+??='?'='x e u u y y x u x .132log )34()34(132log 2222++? +=+++?=x x e x x x x e 解法二：[])132(132log )132(log 22222'++?++='++='x x x x e x x y .132log )34()34(132log 2222+++=+?++=x x e x x x x e 3．解法一：设b ax v v u e y u +===,sin ,，则
2020-2021学年高一数学单元知识梳理：指数函数与对数函数 1．指数式、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数式、对数的运算性质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化． 2．指数函数和对数函数的性质及图象特点是这部分知识的重点，而底数a的不同取值对函数的图象及性质的影响则是重中之重，要熟知a在(0,1)和(1，＋∞)两个区间取值时，
函数的单调性及图象特点． 3．比较几个数的大小是指数函数、对数函数性质的应用，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比较，分出大于1还是小于1；然后在各类中两两相比较． 4．求含有指数函数和对数函数的复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集．其次要结合函数的图象，观察确定其最值或单调区间． 5．函数图象是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及．考查形式有知式选图、知图选式、图象变换以及用图象解题．函数图象形象地显示了函数的性质．在解方程或不等式时，特别是非常规的方程或不等式，画出图象，利用数形结合能快速解决问题． 6．方程的解与函数的零点：方程f(x)＝0有实数解?函数y＝f(x)有零点?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点． 7．零点判断法：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 注意：由f(a)f(b)<0可判定在(a，b)内至少有一个变号零点c，除此之外，还可能有其他的变号零点或不变号零点．若f(a)f(b)>0，则f(x)在(a，b)内可能有零点，也可能无零点． 8．二分法只能求出其中某一个零点的近似值，另外应注意初始区间的选择． 9．用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下： 一、指数、对数函数的典型问题及求解策略 指数函数、对数函数的性质主要是指函数的定义域、值域、单调性等，其中单调性是高考考查的重点，并且经常以复合函数的形式考查，求解此类问题时，要以已学函数的单
第八节指数式、对数式的运算 ?基础知识 1.指数与指数运算 (1)根式的性质 ①(n a)n＝a(a使 n a有意义)． ②当n是奇数时，n a n＝a； 当n是偶数时，n a n＝|a|＝ ?? ? ??a，a≥0， －a，a<0. (2)分数指数幂的意义 分数指数幂的意义是解决根式与分数指数幂互化问题的关键． ①a m n＝ n a m(a>0，m，n∈N*，且n>1)． ②a - m n＝ 1 a m n ＝ 1 n a m (a>0，m，n∈N*，且n>1)． ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (3)有理数指数幂的运算性质 ①a r·a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)； ②a r a s＝a r－s(a>0，r，s∈Q)； ③(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)； ④(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)． (1)有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于0，否则不能用性质来运算． (2)有理数指数幂的运算性质也适用于无理数指数幂． 2．对数的概念及运算性质 一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，就是a b＝N，那么，数b就叫做以a 为底N的对数，记作：log a N＝b. 指数、对数之间的关系
(1)对数的性质 ①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1. (2)对数的运算性质 如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N ＝log a M －log a N ； ③log a (N n )＝n log a N (n ∈R)． ? 常用结论 1．换底公式的变形 (1)log a b ·log b a ＝1，即log a b ＝ 1 log b a (a ，b 均大于0且不等于1)； (2)log am b n ＝n m log a b (a ，b 均大于0且不等于1，m ≠0，n ∈R)； (3)log N M ＝log a M log a N ＝log b M log b N (a ，b ，N 均大于0且不等于1，M >0)． 2．换底公式的推广 log a b ·log b c ·log c d ＝log a d (a ，b ，c 均大于0且不等于1，d >0)． 3．对数恒等式 a log a N ＝N (a >0且a ≠1，N >0)． 考点一 指数幂的化简与求值 [典例] 化简下列各式：
2016-2017学年度???学校9月月考卷 1．计算：________． 2．已知666log log log 6a b c ++=，其中*,,a b c N ∈，若,,a b c 是递增的等比数列，又b a -为一完全平方数，则a b c ++=___________. 3．已知3log 21x =,则42x x -=________. 4．lg83lg5+的值是 ． 5．lg0.01＋log 216＝_____________. 6= ． 7．已知,53m b a ==且，则m 的值为 . 8．已知y x y x y x lg lg 2lg )2lg()lg(++=++-，则 9，0a b c <<<，0)()()(
参考答案 1．1 【解析】＝lg10＝1. 2．111 【解析】 试题分析：66666log log log log 6,6a b c abc abc ++===， 2b ac =，所以366,36b b ==.46ac =，因为b a -为一完全平方数，所以27,48,111a c a b c ==++=. 考点：1.对数运算；2.数列. 【思路点晴】本题涉及很多知识点，一个是对数加法运算，用的是公式 log log log a a a b c bc +=.然后,,a b c 是递增的等比数列，可得2b ac =，接下来因为b a -为一完全平方数，比36小的完全平方数只有25,16,9，故可以猜想27a =，通过计算可得27,48,111a c a b c ==++=.有关几个知识点结合起来的题目，只需要对每个知识点逐个击破即可. 3．6 【解析】 试题分析：由条件可知2log 3x =，故222log 3log 34222936x x -=-=-=. 考点：对数运算的基本性质. 4．3 【解析】 试题分析：3lg83lg5lg8lg5lg10003+=+==。 考点：对数运算法则的应用。 5．2 【解析】lg0.01＋log 216＝－2＋4＝2 考点：本题考查对数的概念、对数运算的基础知识，考查基本运算能力. 6【解析】 考点：指数和对数的运算法则。 7【解析】略 8．2 【解析】略
指数式和对数式比较大 小 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-
指数式和对数式比较大小五法 方法一：利用函数单调性 同底的指数式和对数式以及同指数的指数式的大小,可以利用函数的单调性来比较. 核心解读： 1.比较形如m a 与n a 的大小,利用指数函数x y a =的单调性. 2.比较形如log a m 与log a n 的大小,利用对数函数log a y x =的单调性. 3.比较形如m a 与m b 的大小,利用幂函数m y x =的单调性. 例1：比较下列各组数的大小 （1）0.30.3,30.3 （2）2log 0.8,2log 8.8 （3）0.30.3,0.33 [解]（1）利用函数0.3x y =的单调性. 因为函数0.3x y =在R 上单调递减,<3,所以0.30.3>30.3. （2）利用函数2log y x =的单调性. 因为函数2log y x =在(0,)+∞单调递增,<,所以2log 0.8<2log 8.8. （3）利用函数0.3y x =的单调性. 因为函数0.3y x =在(0,)+∞单调递增,<3,所以0.30.3<0.33. 方法二：中间桥梁法 既不同底又不同指的指数式、对数式比较大小,不能直接利用函数的单调性来比较,可利用特殊数值作为中间桥梁,进而可比较大小. （1）比较形如m a 与n b 的大小,一般找一个“中间值c ”,若m a c <且m c b <,则m n a b <；若m a c >且n c b >,则m n a b >.常用到的特殊值有0和1.(0log 1a =，1log a a =，01a =) （2）比较形如m a 与n b 的大小,一般可以取一个介于两值中间且与题目中两数都能比较大小的一个中间值,即n a 或者m b ,进而利用中间值解决问题. 例2：比较下列各组数的大小 （1）0.41.9, 2.40.9 （2）124()5,139()10 [解]（1）取中间值1. 因为0.4 01.9 1.91>=, 2.400.90.91<=,所以0.4 2.41.90.9>. （2）取中间值1 29()10 . 利用函数910 x y =（）的单调性比较139()10和129()10的大小,易知139()10>129()10.利用函数12y x =单调性比较124()5和129()10的大小,易知124()5<129()10.所以139()10>1 24()5. （补充:对于指数相同底数不同的两指数式比较大小,也可以通过做比与1比较大小的方法比较两数的大小.）
预习 1.化简下列各式： (1)0.027－13－????17－2＋????27912－(2－1)0； (2)????56a 13b －2·(－3a －12b －1)÷(4a 23b －3)1 2·ab . (3)g 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2； (4)(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)． (5)a ·1a ＋(5a )5－6a 6 (6) 4a 23·b －13÷? ????－23a －1 3b 23 2．计算：－????32－2＋????－278－23＋(0.002) －1 2＝____________． 课堂讲解 1．计算2log 63＋log 64的结果是_____________. 2．若x log 23＝1，则3x ＋3－ x ＝_____________. 3．计算log 5????412log 2 10－（33）23－7log 72＝____________． 4．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝________． 5.a 3 a ·5a 4(a >0)的值是____________． 6．已知2x ＝3，log 483 ＝y ，则x ＋2y 的值为____________． 7.（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64 ＝____________．
2 / 2 课后练习1． ()2a 23b 12()－6a 12b 13÷()－3a 16b 56 =_________________. 2．如果2log a (P －2Q )＝log a P ＋log a Q ，那么P Q 的值为_________________. 3．若lg 2，lg(2x ＋1)，lg(2x ＋5)成等差数列，则x 的值等于_________________. 4．已知函数f (x )＝? ????log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ????log 312的值是_________________. 5．定义a ·b ＝? ????a ·b ，a ·b ≥0，a b ，a ·b <0，设函数f (x )＝ln x ·x ，则f (2)＋f ????12＝_________________. 6．化简：（a 23·b －1）－12·a －12·b 136a ·b 5 ＝____________． 7．若函数f (x )＝ln(e x ＋1)＋ax 为偶函数，则实数a ＝____________． 8．若67x ＝27，603y ＝81，则3x －4y ＝____________． 9．化简下列各式： (1)????2790.5＋0.1－2＋????21027－23－3π0＋3748 ； (2) 3 a 72·a －3÷ 3a －3·a － 1； (3)lg 3＋25lg 9＋35lg 27－lg 3lg 81－lg 27 .
高一数学对数函数经典练习题 一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ） A 、2a - B 、52a - C 、2 3(1)a a -+ D 、 2 3a a - 答案A 。 ∵3a =2→∴a=log 32 则: log 38-2log 36=log 323 -2log 3(2*3) =3log 32-2[log 32+log 33] =3a-2(a+1) =a-2 2、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则 N M 的值为（ ） A 、41 B 、4 C 、1 D 、4或1 答案B 。 ∵2log a (M-2N ）=log a M+log a N ， ∴log a (M-2N)2=log a (MN ），∴（M-2N)2 =MN ， ∴M 2-4MN+4N 2=MN ，→m 2-5mn+4n 2=0（两边同除n 2）→(n m )2 -5n m +4=0,设x=n m →x 2-5x+4=0→(x 2 ???==1x x 又∵2log (2)log log a a a M N M N -=+，看出M-2N>0 M>0 N>0 ∴n m =1答案为：4 3、已知2 2 1,0,0x y x y +=>>，且1 log (1),log ,log 1y a a a x m n x +==-则等于（ ） A 、m n + B 、m n - C 、()12m n + D 、()1 2 m n - 答案D 。 ∵loga(1+x)=m loga [1/(1-x)]=n ，loga(1-x)=-n 两式相加得：→ loga [(1+x)(1-x)]=m-n →loga(1-x 2)=m-n →∵ x 2+y 2=1，x>0，y>0, → y 2=1- x 2→loga(y 2)=m-n
指数对数（必修一） 一、概念性质 1、指数对数的定义域 指数：n a （0a ≠） 对数：log (01,0)a n a a n >≠>且 2、指数运算法则 ①m n m n a a a +?= ②m n m n a a a -÷= ③()m n mn a a = ④()m m m a b ab = 运用指数运算法则，一般从右往左变形。 3、对数运算法则 同底公式：①log a b a b = ②log log log ()a a a M N MN += ③log log log a a a M M N N -= ④log log n a a M n M = 不同底公式：①log log log m a m N N a = ②log log m n a a n b b m = ③1log log a b b a = (2,3,11题) 4、对数和指数的单调性 5、指数函数y=a x 与对数函数y=x a log ,(1,0≠>a a )是互为反函数即b x b a a x log =?=它是实现指数式与对数式 相互转换的桥梁。当a>1时，两个函数在定义域内都递增；当0 高一数学（必修1）专题复习三 指数函数和对数函数 一．基础知识复习 （一）指数的运算： 1．实数指数幂的定义： （1）正整数指数幂： a n n a a a a 个???=（R a ∈）（2）零指数幂：10=a （0≠a ） （3）负整数指数幂：n n a a 1 = -（0≠a ） （4）正分数指数幂：n m n m a a =（1,,,0≠∈≠+n N n m a ） （5）负分数指数幂：n m n m a a 1 = -（（1,,,0≠∈≠+n N n m a ． 2．指数的运算性质： ① y x y x a a a +=? ② y x y x a a a -= ③ xy y x a a =)( ④ x x x b a ab =)( 1b 就叫做以a 为底N 的对数，记作b a log =．即：b N N a a b =?=log ． （10 （2）当（3）1的对数是零，01log =a （4）底数的对数等于1，1log =a 2．对数恒等式：（1 （2）b a b a =log （3）m n a a n m log log = 3．对数的运算法则： ① ()N M MN a a a log log log += ② N M N M a a a log log log -= ③ () N n N a n a log log = ④ N n N a n a log 1log = 4．对数换底公式：b N N a b log log log =．由换底公式推出一些常用的结论： （1 （2）c c b a b a log log log =? （3 （4 （5 （一）指数函数的图象和性质 1．x y a =(0a >且1a ≠)的定义域为R ，值域为()0,+∞． 2．x y a =(0a >且1a ≠) 的单调性： 当1>a 时，x y a =在R 上为增函数； 当01a <<时，x y a =在R 上是减函数． 3．x y a =(0a >且1a ≠)的图像特征： 当1>a 时，图象像一撇，过点()0,1， 且在y 轴左侧a 越大，图象越靠近y 轴； 当01a <<时，图象像一捺，过点()0,1，且在y 轴左侧a 越小，图象越靠近y 轴． 4．x y a =与x a y -=的图象关于y 轴对称． （二）对数函数的图象和性质 1．)10(log ≠>=a a x y a 且 的定义域为+ R ，值域为R ． 2．)10(log ≠>=a a x y a 且的单调性： 当1>a 时，在()+∞,0单增， 当01a <<时，在()+∞,0单减． 3．)10(log ≠>=a a x y a 且的图象特征： 当1>a 时，图象像一撇，过()1,0点，在x 轴上方a 越大越靠近x 轴； 当01a <<时，图象像一捺，过()1,0点，在x 轴上方a 越小越靠近x 轴． 4．b a log 的符号规律（同正异负法则）： 给定两个区间()0,1和()1,+∞，若a 与b 的范围处于同一个区间，则对数值大于零；否则若a 与b 的范围分处两个区间，则对数值小于零． 5．log a y x =与x y a 1log =的图像关于x 轴对称． 6．指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数． （1）互为反函数的图像关于直线x y =对称 （2）互为反函数的定义域和值域相反 （3）一般地，函数)(x f y =的反函数用)(1 x f y -=表示，若点),(b a 在) (x f y =的图像上，则点),(a b 在)(1x f y -=的图像上，即若b a f =)(，则a b f =-)(1 ． （4）求反函数的步骤：①反解，用y 表示x ； ②求原函数的值域； ③x 与y 互换， 并标明定义域． 二．训练题目 （一）选择题 1．设0a >（ ） 指数函数及对数函数重难点 根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根.即，若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n . ②性质：1）a a n n =)(； 2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 幂的有关概念： ①规定：1）∈???=n a a a a n ( N * ， 2）)0(10 ≠=a a ， n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）， 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）， 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ） （注）上述性质对r 、∈s R 均适用. 例 求值 （1） 3 28 （2）2 125 - （3）()5 21- （4）() 43 8116- 例.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) (1)43a a ? （２）a a a （３）32 )(b a - （４）43 )(b a + （５）32 2b a ab + （6）42 33 )(b a + 例.化简求值 （1）0 121 32322510002.08 27）（）（）（）（-+--+---- （2）2 11 5 3125.05 25 .231 1.0)32(256) 027.0(?? ????+-+-????? ?-- （3）=?÷ ?--3133 73 32 9a a a a （4）21 1511336622263a b a b a b ??????-÷- ??? ??????? = （5）6323 1.512??= 指数函数的定义： ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ， 2）函数的值域为),0(+∞， 3）当10<a 时函数为增函数. 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （1）2 2 x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =- （4）x y π= （5）2y x = （6）2 4y x = （7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠） 例：比较下列各题中的个值的大小 （1）1.72.5 与 1.7 3 ( 2 )0.1 0.8 -与0.2 0.8 - ( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1 例：已知指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求 (0),(1),(3)f f f -的值. 思考：已知0.7 0.9 0.8 0.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列,,a b c . 例 如图为指数函数x x x x d y c y b y a y ====)4(,)3(,)2(,)1(，则 d c b a ,,,与1的大小关系为 O x y a d c b 高中数学指数、对数的运算一．选择题（共28小题） 1．（2014?济南二模）log2+log2cos的值为（） A．﹣2B．﹣1C．2D．1 2．（2014?成都一模）计算log5+所得的结果为（） A．1B．C．D．4 3．若a＞2，b＞2，且log2（a+b）+log2=log2+log2，则log2（a﹣2）+log2（b﹣2）=（）A．0B．C．1D．2 4．（2014?泸州二模）式子log2（log216）+8×（）﹣5=（） A．4B．6C．8D．10 5．（2014?泸州一模）的值为（） A．1B．2C．3D．4 6．（2015?成都模拟）计算21og63+log64的结果是（） A．l og 2B．2C．l og63D．3 6 7．（2014?浙江模拟）log212﹣log23=（） A．2B．0C．D．﹣2 8．（2014?浙江模拟）下列算式正确的是（） A．l g8+lg2=lg10B．l g8+lg2=lg6C．l g8+lg2=lg16D．l g8+lg2=lg4 9．（2014?和平区二模）已知3x=5y=a，且+=2，则a的值为（） A．B．15C．±D．225 10．（2013?枣庄二模）已知函数，则的值是（）A．9B．﹣9C．D． 11．（2013?婺城区模拟）已知函数f（x）=log2，若f（a）=，则f（﹣a）=（） A．2B．﹣2C．D． ﹣ 12．（2013?泸州一模）log2100+的值是（） A．0B．1C．2D．3 13．（2013?东莞一模）已知函数f（x）=，则f（2+log32）的值为（）A． B．C．D．﹣54 ﹣ 14．（2013?东城区二模）f（x）=，则f（f（﹣1））等于（）A．﹣2B．2C．﹣4D．4 15．（2012?安徽）（log29）?（log34）=（） A．B．C．2D．4 16．（2012?北京模拟）函数y=是（） B．区间（﹣∞，0）上的减函数 A．区间（﹣∞，0） 上的增函数 D．区间（0，+∞）上的减函数 C．区间（0，+∞） 上的增函数 17．（2012?杭州一模）已知函数则=（）A．B．e C．D．﹣e 18．（2012?北京模拟）log225?log34?log59的值为（） A．6B．8C．15D．30 19．（2012?北京模拟）实数﹣?+lg4+2lg5的值为（）A．2B．5C．10D．20 高中数学指数和对数知识点 (一)指数函数 1.指数函数的概念:一般地，函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 2.指数函数的图象和性质 1．在同一坐标系中画出下列函数的图象： （1）x )31(y = （2）x )2 1(y = （3）x 2y = （4）x 3y = （5）x 5y = 图象特征 函数性质 1a > 1a 0<< 1a > 1a 0<< 向x 、y 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在x 轴上方 函数的值域为R + 函数图象都过定点（0，1） 1a 0= 自左向右看， 图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数 减函数 在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图 1a ,0x x >> 1a ,0x x <> 正数的分数指数幂的意义 )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1* >∈>= = -n N n m a a a a n m n m n m 有理指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>； （3）s r r a a a b =)( ),0,0(Q r b a ∈>>． 对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log = 对数式与指数式的互化：x N a =log ? N a x = 对数的性质 对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． （二）对数函数的图象和性质 ○ 1 在同一坐标系中画出下列对数函数的图象；（可用描点法，也可借助科学计算器或计算机） 篇一：高中数学对数与对数运算教案 《对数与对数运算》 教案 xx大学数学与统计学院 xxx 一、教学目标 1、知识目标：理解对数的概念，了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的相互转换；理解对数的运算性质，形成知识技能； 2、能力目标：通过实例让学生认识对数的模型，让学生有能力去解决今后有关于对数的问题，同时让学生学会观察和动手，通过做练习，使学生感受到理论与实践的统一，锻炼学生的动手能力； 3、分析目标：通过让学生分组进行探究活动，在探究中分析各种思维的技巧，掌握对数运算的重要性质。 二、教学理念 为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动，从学习中体会快乐。本节课我引导学生从实例出发，引发学生的思考，从中认识对数的模型，体会对数的必要性。在教学重难点上，我步步设问、启发学生的思维，通过课堂练习、探究活动，学生讨论的方式来加深理解，很好地突破难点和提高教学效率。让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权。 三、教法学法分析 1、教法分析 新课程标准之处教师是教学的组织者、引导者、合作者，在教学过程要充分调动学生的积极性、主动性。本着这一原则，在教学过程中我主要采用以下教法：实例引入法、开放式探究法、启发式引导法。 2、学法分析 “授人以鱼，不如授人以渔”，最有价值的知识是关于方法的知识。学生作为教学活动的主题，在学习过程中的参与状态和参与度是影响教学效果最重要的因素。在学法选择上，我主要采用：观察发现法、小组讨论法、归纳总结法。 四、教材分析 本节讲对数的概念和运算性质主要是为后面学习对数函数做准备。这在解决一些日常生活问题及科研中起着十分重要的作用。同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一、相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。 五、教学重点与难点 重点：（1）对数的定义； （2）指数式与对数式的相互转化及其条件。难点：（1）对数概念的理解； （2）对数运算性质的理解；（3）换底公式的应用。 六、课时安排：1个课时七、教学过程 （一）创设情境，引入课题 问题：我们能从关系y?13?1.01x中，算出任意一个年头x的人口总数，反之，如果问“哪一年的人口总数可达到18亿，20亿，30亿??”，该如何解决？ 抛出问题，让学生思考，这就引出这节课将要学习的问题，即对数与对数运算的问题，以及指数与对数如何相互转换的问题。 （二）讲授新课 1．对数的定义 x 一般地，如果a?n(a?0,且a?1),那么数x叫做以a为底n的对数，记 难点9 指数函数、对数函数问题 指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一,本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题. ●难点磁场 (★★★★★)设f (x )=log 2 x x -+11,F (x )=x -21+f (x ). (1)试判断函数f (x )的单调性,并用函数单调性定义,给出证明； (2)若f (x )的反函数为f － 1(x ),证明：对任意的自然数n (n ≥3),都有f － 1(n )> 1 +n n ; (3)若F (x )的反函数F － 1(x ),证明：方程F － 1(x )=0有惟一解. ●案例探究 ［例1］已知过原点O 的一条直线与函数y =log 8x 的图象交于A 、B 两点,分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数y =log 2x 的图象交于C 、D 两点. (1)证明：点C 、D 和原点O 在同一条直线上； (2)当BC 平行于x 轴时,求点A 的坐标. 命题意图：本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识,考查学生的分析能力和运算能力.属★★★★级题目. 知识依托：(1)证明三点共线的方法：k OC =k OD . (2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想,只要得到方程(1),即可求得A 点坐标. 错解分析：不易考虑运用方程思想去解决实际问题. 技巧与方法：本题第一问运用斜率相等去证明三点共线；第二问运用方程思想去求得点A 的坐标. (1)证明：设点A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2,由题意知：x 1>1,x 2>1,则A 、B 纵坐标分别为log 8x 1,log 8x 2.因为A 、B 在过点O 的直线上,所以 2 2 8118log log x x x x = ,点C 、D 坐标分别为(x 1,log 2x 1),(x 2,log 2x 2),由于log 2x 1= 2log log 818x ===2 log log log ,log 382 82218x x x 3log 8x 2,所以OC 的斜率：k 1= 1 1 8212log 3log x x x x = , OD 的斜率：k 2= 2 2 8222log 3log x x x x = ,由此可知：k 1=k 2,即O 、C 、D 在同一条直线上. (2)解：由BC 平行于x 轴知：log 2x 1=log 8x 2 即：log 2x 1= 3 1 log 2x 2,代入x 2log 8x 1=x 1log 8x 2得：x 13log 8x 1=3x 1log 8x 1,由于x 1>1知log 8x 1≠0,∴x 13=3x 1.又x 1>1,∴x 1=3,则点A 的坐标为(3,log 83). ［例2］在xOy 平面上有一点列P 1(a 1,b 1),P 2(a 2,b 2),…,P n (a n ,b n )…,对每个自然数n 点P n 高一数学对数以及对数函数人教版 【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 对数以及对数函数 二. 学习目标： 1. 理解对数的概念，了解对数运算与指数运算的互逆关系。 2. 能正确利用对数性质进行对数运算。 3. 掌握对数函数的图象性质。 4. 理解指数函数与对数函数的互逆关系。 三. 重点、难点： 1. 对数 （1）对数恒等式 ① b a b a =log （10≠，N 0>，则 ① N M MN a a a log log )(log += ② N M N M a a a log log log -= [例 （1）5lg 2lg 100lg 5lg 20lg 50lg 2lg -+ （2）4log ]18log 2log )3log 1[(6662 6÷?+- 解： （1）原式)2lg 1(2lg 2)2lg 1)(2lg 1()2lg 2(2lg ---++-= 1)2(lg 22lg 2)2(lg 1)2(lg 2lg 22 22=+--+-= （2）原式4log )]3log 1)(3log 1()3(log 3log 21[6662 66÷+-++-= 4log ])3(log 1)3(log 3log 21[62 6266÷-++-= 12 log 2 log 2log )3log 1(2662 66== ÷-= [例2] 已知正实数x 、y 、z 满足z y x 643==，试比较x 3、y 4、z 6的大小。 解：设t z y x ===643（1>t ），则t x 3log =，t y 4log =，t z 6log =，从而 4lg lg 43lg lg 3log 4log 34343t t t t y x -=-=-4 lg 3lg 3 lg 44lg 3lg ?-=t 0)3lg 4(lg 4 lg 3lg lg 43<-?= t 故y x 43< 又由6lg 4lg ) 4lg 36lg 2(lg 2)6lg lg 34lg lg 2(2)log 3log 2(26464?-=-=-=-t t t t t z y 6 lg 4lg ) 4lg 6(lg lg 232?-=t 而0lg >t ，04lg >，06lg >，3 2 4lg 6lg <，则上式0< 故z y 64<，综上z y x 643<< [例3] 已知m 和n 都是不等于1的正数，并且5log 5log n m >，试确定m 和n 的大小关系。 解：由n m n m 55log 1 log 15log 5log > ? >0log log log log 5555>?-?n m m n ???>?>-?0log log 0log log 5555n m m n 或???>>?1,1n m m n 或???<<<<<1 0,10n m m n 综上可得1>>m n 或10<< 2.1-2.2 指数函数与对数函数 一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ） A 、2a - B 、52a - C 、23(1)a a -+ D 、 23a a - 2、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则 N M 的值为（ ） A 、4 1 B 、4 C 、1 D 、 4或1 3、已知221,0,0x y x y +=>>，且1 log (1),log ,log 1y a a a x m n x +==-则等于（ ） A 、m n + B 、m n - C 、()12 m n + D 、 ()1 2 m n - 4、如果方程2lg (lg5lg 7)lg lg5lg 70x x +++=的两根是,αβ，则αβ的值是（ ） A 、lg5lg7 B 、lg35 C 、35 D 、 35 1 5、已知732log [log (log )]0x =，那么12 x - 等于（ ） A 、1 3 B C D 、 6、函数2lg 11y x ?? =- ?+?? 的图像关于（ ） A 、x 轴对称 B 、y 轴对称 C 、原点对称 D 、 直线y x =对称 7、函数 (21)log x y -= ） A 、()2 ,11,3??+∞ ?? ? B 、()1 ,11,2 ?? +∞ ?? ? C 、2,3??+∞ ??? D 、1,2 ??+∞ ??? 8、函数212 log (617)y x x =-+的值域是（ ） A 、R B 、[)8,+∞ C 、(),3-∞- D 、 [)3,+∞ 9、若log 9log 90m n <<，那么,m n 满足的条件是（ ） A 、 1 m n >> B 、1n m >> C 、01n m <<< D 、 01m n <<< 10、2log 13a <，则a 的取值范围是（ ） A 、()20,1,3??+∞ ?? ? B 、2,3 ??+∞ ??? C 、2,13?? ??? D 、 220,,33???? +∞ ? ????? 11、下列函数中，在()0,2上为增函数的是（ ） A 、 12 log (1)y x =+ B 、2log y =C 、21log y x = D 、2 log (45)y x x =-+ 12、已知()log x+1 (01)a g x a a =>≠且在()10-，上有()0g x >，则高一数学(必修1)专题复习三 指数函数和对数函数
指数对数概念及运算公式
高中数学指数对数的运算
高中数学指数和对数知识点
高中数学对数教学设计
高考数学难点突破__指数、对数函数
高一数学对数以及对数函数人教版
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