平面汇交力系合成的解析法 1、力的投影
x
已知力可求投影
F x =F ·cos q F y =F ·cos b=F ·sin q
反之，已知投影可求 力的大小和方向
2
2F =F x +F y
力的大小
cos θ=
F x ，cos β=
F y F
F
方向
力 的 交 ，
F x ，F y
F x =F x i ，F y =F y j
力F =F x +F y
力的 解
所
F=F
x i+F
y
j
2、合力投影定理
合力投影定理 合力在任一 上的投影，等于 力在同一 上投影的代数和。
F
R x=∑F ix
F R =(
F
R y=∑F iy 合力的大小 22
F)+(F)
ix iy
∑∑
方向 cos(F，i)=
F R x，cos(F，j)=F R y
R R
F R F R
力系的汇交
[例]已知 图 平面共 力系；求 此力系的合力。解 解析法
解 解析法
F R
F R ==171.3N
cos θ=
F R x
F R F
cos β=
R y
=0.6556
=0.7548
θ=40.99，β=49.01
F F 2
F 3
F 4
300450
600
450
F R
3、平面汇交力系的平衡方程
平面汇交力系平衡的必要和充 条件是 力系的合力等于零。
2
F R =(F )=0
iy ∑∑F ix =0，∑F iy =0
必
平面汇交力系平衡的必要和充 条件是 力在两个 上投影的代数和 别等于零。
[例]已知 F =3kN ，l =1500mm ，h =200mm ，忽略自重； 求 平衡时，压块C 对工件与地面的压力，AB 杆受力。 解 AB 、BC 杆 二力杆，取销钉B 对象。
=0
∑F x
F cos θ+F cos θ=0
BA BC F =F BA BC
解
F =F =
F =11.35kN
2sin θ
BA
BC
F sin θ+F sin θ-F =0BA BC F =0y
∑
选压块C 对象
=0
F cos θ-F =0
CB Cx ∑F
x
解
F =F cot θ=Fl =11.25kN 22h Cx
∑F y =0
-F CB sin θ+F Cy =0
解
=1.5kN
F Cy
[例]如图所 ，重物G =20kN ， 钢丝绳挂在支架的滑轮B 上，钢丝绳的另一端绕在铰车D 上。杆AB 与BC 铰接，并 铰链A ，C 与墙连接。如两杆与滑轮的自重不计并忽略摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB 和B C 所受的力。
解 取滑轮B 研究对象， 忽略滑轮的大小，画受力图。 列平衡方程
∑F x =0，-F BA +F 1cos 60-F 2cos ∑F y =0，F BC -F 1cos 230=030-F cos 60=0
解方程 杆AB 和BC 所受的力:
F BA = -0.366
G = -7.321 kN
=1.366G =27.32kN
F BC
30
60
G
30
60
F
当由平衡方程求 某一未知力的值 负时， 原先假 定的 力指向和实 际指向相反。
项目一 1.1.2 教学设计 2015年 5月日星期模块名称平面力偶系模块课时3、4 模块描述 理解力矩、力偶、平面力偶系。 了解求解平面力偶系合成的方法。 教学目标提高学生运用平面几何知识解决力学问题的能力，提高对知识的理解运用能力。 培养学生的分析问题能力 教学资源理论联系实际进行分析，围绕练习题展开讨论教学组织按座位自然分组 教学过程 教学阶 段 （可以 按照完成这一模块（任务）的步骤呈现）学习任务知识点 活动设计 （教师活动、学生活动） （讲解、示范、组织、指导、安 排、操作等） 估 用 时 间 新课引入复习巩固所 学知识 力的概念和平面力系合 成方法 教师：引导学生一起复习相关知识 点。5 新课讲解学习力对点 之矩 1、力对点之矩 力对点的矩是很早以前人们在 使用杠杆、滑车、绞盘等机械搬运或 提升重物时所形成的一个概念。现以 板手拧螺母为例来说明。如图1-1-4 所示，在板手的A点施加一力F，将 使板手和螺母一起绕螺钉中心O转 动，这就是说，力有使物体（扳手） 产生转动的效应。实践经验表明，扳 手的转动效果不仅与力F的大小有 关，而且还与点O到力作用线的垂 直距离d有关。当d保持不变时，力 10
F越大，转动越快。当力F不变时， d值越大，转动也越快。若改变力的 作用方向，则扳手的转动方向就会发 生改变，因此，我们用F与d的乘 积再冠以适当的正负号来表示力F 使物体绕O点转动的效应，并称为 力F对O点之矩，简称力矩，以符 号MO（F）表示，即 d F F M? ± = ) (O O点称为转动中心，简称矩心。 矩心O到力作用线的垂直距离d称 为力臂。 学生：思考力矩在下列两种情况下等 于零？ 教师：引导学生回答（1）力等于零； （2）力的作用线通过矩心，即力臂 等于零。 教师：绘制图形，要求分别计算下图 所示的F1、F2对O点的力矩。 学习合力矩2、合力矩教师：我们知道平面汇交力系对物体 的作用效应可以用它的合力R来代 替。这里的作用效应包括物体绕某点 转动的效应，而力使物体绕某点的转 动效应由力对该点之矩来度量，因 此，平面汇交力系的合力对平面内任 一点之矩等于该力系的各分力对该 点之矩的代数和。合力矩定理是力学 中应用十分广泛的一个重要定理。 学生：用自己的话说明合力矩。 10 学习力偶和力偶矩3、力偶和力偶矩教师：在生产实践和日常生活中，经 常遇到大小相等、方向相反、作用线 不重合的两个平行力所组成的力系。 这种力系只能使物体产生转动效应 而不能使物体产生移动效应。例如， 司机用双手操纵方向盘，木工用丁字 头螺丝钻钻孔，以及用拇指和食指开 10
黄河水利职业 技术学院课时授课计划
第三章 平面力系的合成与平衡 § 1平面汇交力系的合成与平衡 一、 图解法（几何法） 1、两个共点里的合成 2、多个共点力的合成 3、平衡的几何条件 平面汇交力系平衡的充要的几何条件是力系的合力等于零。 用 等式表示为： F R =F i +F 2+?…?F 3=0 由几何作图知，力多边形自行封闭。 二、 解析法 1、 力在平面直角坐标系上的投影 2、 合力投影定理 合力在同一坐标轴上的投影，等于所有分力在同一坐标轴上投 影的代数和。 3、 平面汇交力系的合成 如已知力系各力在所选定的直角坐标上的投影，则合力的大小 和方向余弦分别由下列确定： 大小 F R = Q F R X F Ry Fy 1 汇交力系简化结果是一个力，这个力对物体的作用与原汇交力 系等效 4、平面汇交力系的平衡 方向 Fy Fx 本节讲 解平面汇 交 力系合 成 的几何 法和平衡 的几何条 件及解析 法和平衡 的解析条 件、平衡 方程 tg F Ry
第三章 平面力系的合成与平衡 我们根据力的作用线的位置不同，可将力系分为平面力系和 空间力系两大类。 「平面力系：力的作用线在同一平面（汇交、平行、 一般） 1 力系分类 空间力系：力的作用线不在同一平面 平面汇交力系：作用在物体上的所有力的作用线都在同一平 面内，而且汇交于一点的力系。 求汇交力系的合成（简化）与平衡有两种方法： （1图解法一一几何作图法 （2）解析法一一代数计算法 § 1平面汇交力系的合成与平衡 一、图解法（几何法） 1、两个共点里的合成 合力R 的作用线通过汇交点；用矢量等式表示为 R=F I +F 2 教学内容 教学方法 与手段 在平面 合成的 平行四 边形法 则的基 础 上讲 清平面 汇交力 系合成 的 几何 法和平 衡的几 何条件 的理论 和结论 力的投 影 计算 是力学 计算的 基本功 合力投 影 定理 只从 数 学上的 矢量和 投影定
平面任意力系平衡方程的应用教案 目的要求：掌握利用平面任意力系平衡方程基本形式求解平衡问题。教学重点：平衡方程的正确运用。 教学难点：对平衡方程的理解。 教学内容： 平面任意力系的简化 一、平面任意力系向任一点（简化中心）平移。 1、力系的简化依据－力的平移定理 2、力系的简化过程：如图(a)所示平面任意力系 根据力的平移定理，力平移后要附加一个力偶，其力偶的大小等于该力对简化中心之矩。这样，平移到简化中心的力组成一个平面汇交力系，所有附加的力偶组成一个平面力偶系。
3、平面汇交力系组成一个合力——主矢。根据平面汇交力系求合力的公式可得主矢的大小和方向为 二、平面任意力系平衡方程的应用 1、平面任意力系的平衡方程： 当平面任意力系作用于物体上，并处于平衡时，平面任意力系向任一点简化所得的主矢和主矩都应该等于零，于是得到下列平衡方程的基本形式： 2、解题步骤和方法： （1）确定研究对象，画受力图。 （2）选择座标轴和矩心，列平衡方程。 （3）解平衡方程，求出未知约束反力。 三、例题：
例1:如图所示悬臂梁，已知L＝2m，F=100N,求固定端A处的约束反力。 解（1）、取梁AB为研 究对象。 （2）、画出AB梁的受 力图。 （3）、建立直角坐标系 Axy。 （4）、列出平衡方程： ∑F x=0 F AX-Fcos30?＝0 ∑M A(F)=0 M A-FLsin30? ＝0 (5)、解平衡方程，求出 未知量。 联立求解平衡方程得 F Ax=86.6 N F Ay=50 N M A=100 N.m 说明：计算结果为正， 说明各未知力的实际方 向均与假设方向相同。
习题 2-1 试用解析法求图示平面汇交力系的合力。 a) b) 题2-1图题2-2图2-2 图示大船由三条拖轮牵引，每根拖缆拉力为5 kN。（1）求作用于大船的合力。（2）欲使合力沿大船轴线方向，应如何调整A船与大船轴线的夹角α？ 2-3 简易起重机用钢丝绳吊起重W＝2000 N的重物，各杆自重不计，A、B、C三处简化为铰链连接，求杆AB和AC受到的力。（滑轮尺寸和摩擦不计） 题2-3图 2-4 试计算下列各图中力F对点O之矩。 题2-4图题2-5图
2-5 一个450N的力作用在A点，方向如图示。求：（1）此力对D点的矩；（2）要得到与（1）相同的力矩，应在C点所加水平力的大小与指向。（3）要得到与（1）相同的力矩，在C点应加的最小力。 2-6 求图示齿轮和皮带上各力对点O之矩。已知：F＝1kN，α＝20°，D＝160 mm，F T1＝200 N，F T2 ＝100 N。 题2-6图 2-7 构件的载荷及支承情况如图示，l＝4 m，求支座A、B的约束反力。 题2-7图 2-8 锻锤工作时，若锻件给锻锤的反作用力有偏心，已知打击力F＝1000 kN，偏心距e＝20 mm，锤体高h＝200 mm，求锤头给两侧导轨的压力。 2-9 一均质杆重1kN，将其竖起如图示。在图示位置平衡时，求绳子的拉力和A处的支座反力。 题2-8图题2-9图 2-10 已知q、a（题2-10图），且F＝qa、M＝qa2。求图示各梁的支座反力。
题2-10图 2-11 水塔总重量G＝160 kN，固定在支架A、B、C、D上，A为固定铰链支座，B为活动铰支，水箱右侧受风压为q＝16 kN∕m，如图示。为保证水塔平衡，试求A、B间最小距离。 2-12 题图所示汽车起重机的车重W Q＝26 kN，臂重G＝4.5 kN，起重机旋转及固定部分的重量W＝31 kN。设伸臂在起重机对称面内。试求图示位置汽车不致翻倒的最大起重载荷G P。 2-13 组合梁及其受力情况如图所示。梁的自重可忽略不计，试求A、B、C、D各处的约束反力。 题2-11图题2-12图 题2-13图 2-14 在题图所示构架中，已知F、a,试求A、B两支座反力。
第二章平面汇交力系的合成与平衡 课题：第一节平面汇交力系的合成与平衡（一） [教学目标] 一、知识目标： 1、了解求解平面汇交力系的两种方法。 2、理解平面力系、平面汇交力系。 3、理解平面汇交力系平衡的几何条件。 二、能力目标： 通过用几何法求解平面汇交力系的合力，提高学生运用平面几何知识解决力学问题的能力，提高对知识的理解运用能力。 三、素质目标： 培养学生的分析问题能力 [教学重点] 平面汇交力系平衡的几何条件。 [难点分析] 用几何法求解平面汇交力系的合力。 [学生分析] 学生的数学基础知识需要强化补充。 [辅助教学手段] 理论联系实际进行分析，围绕练习题展开讨论。 [课时安排] 2课时 [教学内容] 一、导入新课 我们在对力系进行研究时，为了方便，可以按照各力作用线的分布情况进行分类。从讲实际结构的受力情况入题，一般结构所受的作用力不在同一个平面内，这种力系就属于空间力系；反之，如果所受的作用力都在同一个平面内，这种力系就属于平面力系。 那么在我们研究的力系中，也把它分为两类：空间力系和平面力系。工程
中许多结构所受的作用力虽是空间力系，但在一定条件下可以简化为平面力系，比如水坝、挡土墙的受力等。平面力系是工程中最常见的力系，本章讨论的便是平面力系的合成和平衡问题，随之引出平面汇交力系的概念及其求解平面汇交力系的两种方法：几何法和解析法。 二、新课讲解 1、平面汇交力系合成的几何法 （1）导入：力是矢量，矢量的合成都可以遵循平行四边形法则，那么两个汇交力怎么合成呢：两个力的合力的作用点是原汇交点，大小和方向是以两个分力为邻边所构成的平行四边形的对角线。 （2）分析：在力的平行四边形法基础上，可以得到两个汇交力合成的三角形法和多个汇交力合成的力多边形法。 （3）概念：平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力的大小和方向等于原力系中各力的矢量和，其作用点是原汇交力系的交点。 2、平面汇交力系平衡的几何条件 （1）分析：如果某平面汇交力系的力多边形首尾相重合，即力多边形自行闭合，则力系的合力等于零，物体处于平衡状态，该力系为平衡力系。反之，欲使平面汇交力系成为平衡力系，必须使它的合力为零，即多边形必须闭合。（2）总结：平面汇交力系平衡的几何条件是：力多边形自行闭合。 3、例题分析 P31例2-1、2-2、2-3 6、小结： 本堂课的难点是用几何法求解平面汇交力系平衡问题，通过多道例题分析引导学生理解；重点是理解平面汇交力系平衡的几何条件。 7、作业 P682-1、2-2
机械基础机械基础第一学年第一学期教案编号
环节分配 复习旧课提问： 1.静力学的基本公理 2.平面力偶系的合成和平衡条件 分别找学生回答10ˊ 知识链接 一、约束与约束力 限制构件运动的其他物体，均为改构件的约束。 约束对研究对象的作用本质上就是力的作用，这种力称 为约束力。 常见约束类型有：柔性体约束、光滑面约束、铰链约束 1、柔性约束 工程上常见的传动带、柔软的绳索和链条的约束称为柔 性体约束。 特点：只能受拉力作用而不能受压力作用。如图2-2-1 所示，绳索对物体的约束就属于柔性体约束。其大小与物 体的重量相等，作用点为绳索和重物的接触点，方向沿着绳 索背离物体，用T表示。 2、光滑面约束 当两物体直接接触，且表面光滑，这种光滑面构成的约 束称为光滑接触面。光滑接触面的约束力通过接触点，方向 老师、学生互动 讨论 5’ 8’ 8’
沿着接触面在该点的公法线并指向受力物体，常用N表示。如图2-2-2 3、铰链约束 由铰链构成的约束称为铰链约束。如图2-2-3（a）（b） 两种常见的铰链支座约束： （1）、固定铰链支座 如果构件汇总的一个固定在地面或机架上，这类约束称为固定铰链支座，如图2-2-4所示。 老师具体讲解 用挂图以图形并 茂的形式，结合知识 点进行具体的讲解， 并让学生思考，举例 说出自己平时见到过 的零件。 7’ 7’
（2）、活动铰链支座 如图2-2-5（a）所示，支座中有几个圆柱滚子可沿某一方向滚动。其约束力垂直于支承面且通过铰链中心。 图2-2-5（b）为活动铰链支座的简化图。 4、固定端约束 如图2-2-6所示车床上得刀架对车刀的约束属于固定端约束。 二、物体的受力分析和受力图 教师重点介绍并 用挂图，以图形并茂 的形式，结合知识点 进行具体的讲解，并 让学生思考 想一想：现实生 活中存在的铰链？ 5’ 5’ 8’
平面一般力系的简化 平面一般力系是指各力的作用线位于同一平面内但不全汇交于一点，也不全平行的力系。平面一般力系是工程上最常见的力系，很多实际问题都可简化成平面一般力系问题处理。例如，图4－1所示的三角形屋架，它的厚度比其他两个方向的尺寸小得多，这种结构称为平面结构，它承受屋面传来的竖向荷载P，风荷载Q以及两端支座的约束反力X A、Y A、Y B，这些力组成平面一般力系。 在工程中，有些结构构件所受的力，本来不是平面力系，但这些结构（包括支撑和荷载）都对称于某一个平面。这时，作用在构件上的力系就可以简化为在这个对称面内的平面力系。例如，图4－2（a）所示的重力坝，它的纵向较长，横截面相同，且长度相等的各段受力情况也相同，对其进行受力分析时，往往取1m 的堤段来考虑，它所受到的重力、水压力和地基反力也可简化到1m长坝身的对称面上而组成平面力系，如图4－2（b）所示。 第一节力的平移定理 上面两章已经研究了平面汇交力系与平面力偶系的合成与平衡。为了将平面一般力系简化为这两种力系，首先必须解决力的作用线如何平行移动的问题。 设刚体的A点作用着一个力F（图4－3（a）），在此刚体上任取一点O。现在来讨论怎样才能把力F平移到O点，而不改变其原来的作用效应？为此，可在O点加上两个大小相等、方向相反，与F平行的力F′和F〞，且F′=F〞=F（图4－3（b））根据加减平衡力系公理，F、F′和F〞与图4－3（a）的F对刚体的作用效应相同。显然F〞和F组成一个力偶，其力偶矩为 m= Fd = ) M (O F 这三个力可转换为作用在O点的一个力和一个力偶（图4－3（c））。由此可得力的平移定理：作用在刚体上的力F，可以平移到同一刚体上的任一点O，但必须附加一个力偶，其力偶
教师课时教案 课题： 2.2平面汇交力系的平衡 目的与要求： 1、能说出平面力系的分类； 2、知道平面汇交力系的平衡条件及其平衡方程； 3、能运用平面汇交力系的平衡方程计算简单的平衡问题； 4、感悟平面汇交力系的平衡问题在工程中的应用； 5、通过对平衡问题计算步骤的理解，培养学生的力学素养。教学模式及教学方法：教学模式：能设计实验，体验三个汇交力作用下处于平衡状态时物体的受力的大小变化以及受力的性质；能探究三个汇交力作用下平衡问题的解题方法。 教学方法：实验法、讲授法、类比法 复习要点：力投影正负的判断和投影计算公式 新课重点、难点：重点：运用平面汇交力系的平衡方程求解简单的平衡问题； 难点：1、建立平面汇交力系的平衡方程； 2、感悟平面汇交力系的平衡问题在工程中的应用。解决措施：通过重点讲解、分步探讨让学生掌握如何解决汇交力系平衡问题本课小结：本节课我们主要学习了汇交力系的平衡方程及应用平衡方程解决力学中的平衡问题。 课外作业（或复习题）： 1、通过本内容的学习，你有哪些收获？还存在哪些困惑？ 2、参观构件吊装的施工现场，运用所学知识对吊装方法加以说明。 课后改进措施: 重视基础知识的讲解，循序渐进，让学生打好基础，同时重视习题讲解，而且要让学生自己多练习。
图一图二二、导学提纲
点为研究对象，根据平面汇交力系的平衡方程得： -F TAB cos450=0 sin450=0 TAB 代入解得： 所示三角支架中杆AC 和杆BC 所受的力（已知重物
设计意图
本课题教学采用“前置作业导学+精讲”相结合的教学形式，以“自主学习、组内交流、小组展示、自我检测、反思提高”为基本教学环节，构建“阳光、自主、高效”课堂。 1、实验设计 图一、图二的实验设计，通过手提（拉）弹簧，“感”到力的大小；又通过观察弹簧的伸长情况“看”到力的大小，把抽象的力转化为摸得着、看得到的很形象的力。另外也为后面要求设计实验探究钢索受到的拉力大小与其水平夹角的关系提供参考。该实验可设计如下：先用双手拉住棉线（因其能承受的拉力小放采用）两端，并在棉线的中间挂一个砝码，再慢慢地向两边移开双手，使棉线与水平的夹角减小，直到棉线被拉断（拉力逐然增大），可以验证拉力与夹角的关系。实验的设计，充分体现“做中学”、“做中教”的理念。 2、前置作业 课前精心预设由导学提纲、练一练、探究与感悟组成的前置作业，是为了培养学生自主学习能力，彰显学生为主体，教师为主导的思想，实现“先学后教（导）、以学定教”的教改理念。考虑到当前中职学生的学习现状，教师在引导的基础上，应积极鼓励学生大胆交流与展示，重视课中动态生成。对于重点内容，教师应精讲，确保课堂教学效果。练一练中包括练习1和练习2，练习1要求相对低些，可模仿教材P31例2-3进行求解，练习2要求相对高些，以满足不同学生的学习需要。 3、探究与感悟 为较高要求，对不同的学生可设置定性分析与定量计算两个层次要求，达到课后反思提高的目的。探究问题的设计，主要为了通过探究不同的解题方法，实现从二力平衡到三个汇交力系平衡的知识迁移，培养学生解决问题的科学的思维方法。感悟问题的设计，主要为了突出工程应用，提高学生解决工程实际问题的能力，增强安全生产的意识。
教案 课程名称：理论力学 课型：课堂教学 院部：基础部力学教研室授课教师：祝乐梅 2015年5月15日
第二章平面力系 §2-3 平面任意力系的简化（1课时） §2-4 平面任意力系的平衡条件和平衡方程（1课时） 一、教学目标 知识与技能目标： 1.掌握平面任意力系向一点简化的方法； 2.深入理解平面任意力系与平面汇交力系和平面力偶系的关系； 3.掌握平面任意力系的最终简化结果； 4.深入理解平面任意力系的平衡条件及平衡方程的三种形式； 5.掌握单个刚体平面任意力系平衡问题。 二、教学重点 1.力的平移定理； 2.平面任意力系向作用面内任一点的简化及力系的简化结果； 3.平面任意力系平衡的解析条件和单个刚体的平衡问题。 二、教学难点 1.力的平移定理的推导以及逆运用； 2.主矢与主矩的概念，平面任意力系向任意点简化和最终简化结果的区别； 3.单个物体平衡问题的求解。 四、教学过程 导入新课： 1.多媒体课件引入：播放生活中的平面任意力系问题，提问平面任意力系与之前的平 面汇交力系和平面力偶系的区别，该力系在生活实际中更广泛的存在。对待该力系我们应采用什么样的方法进行简化和平衡运算？ 2.回顾比较式引入： 平面汇交力系：处理定理，简化方法，简化结果，平衡条件； 平面力偶系：处理定理，简化方法，简化结果，平衡条件； 平面任意力系：处理定理？简化方法？简化结果？平衡条件？ 思考：能否转化为平面汇交力系和平面力偶系，然后采用平面汇交 力系和平面力偶系的方法来处理该问题？
讲授新课： 1.课件展示:生活中存在的平面任意力系问题：以铲车为研究对象，以铲车的铲子为 研究对象，以桁架为研究对象，画出受力图，分析所有受力图所受各力的特点。 2.教师提问，学生回答：这些力系属于平面汇交力系吗？属于平面力偶系吗？为什么 不属于？那么该力系属于什么力系呢？平面任意力系为更一般的力系。 3.前期课程回顾：平面汇交力系：处理定理：力的可传性，力的平行四边形法则 简化方法：几何法和解析法 简化结果：过汇交点的一个合力，合力为各力矢量和 平衡条件：合力为零，力的多边形自行封闭 平衡方程： x y F F = =∑ ∑
第三章 平面任意力系 教学要求： 1、了解平面任意力系向一点简化的方法，掌握平面任意力系平衡方程的各种形式。 2、熟练掌握在平面任意力系作用下，物体或简单物体系平衡问题的计算方法。 3、掌握平面平行力系平衡方程及解题方法。 工程中经常遇到平面任意力系的问题，即作用在物体上的力的作用线都分布在同一平面内，并呈任意分布。当物体所受的力都对称于某一平面，可将它视作平面任意力系问题。例：行驶中的汽车，受重力，地面对轮子的支承力、摩擦力等作用，所受力对称于纵向对称面，作用线任意分布。 §3-1 平面任意力系向作用面内一点简化 力系向一点简化是一种较为简便并具有普遍性的力系简化方法。此方法的理论基础是力的平移定理。 一、力的平移定理 定理：可以把作用在刚体上点A 的力F 平移到任一点B ，但必须同时附加一力偶，该力偶的矩等于原来的力F 对新作用点B 点的矩。 证：图中F ’=F ’’=F ，M =M B (F ) 反过来，根据力的平移定理，也可以将平面内的一个力和一个力偶用作用在平面内另一点的力来等效替换。 力的平移定理可解释一些实际问题，例：攻丝时，要求两手握扳手，而且用力要相等，不允 许用一只手扳动扳手。因为作用在扳手一端的力F 与作用在中点的力F’和力偶矩 为M 的力偶等效，这个力偶使丝锥转动，这个力F’往往使攻丝不正，甚至折断丝锥。 二、平面任意力系向作用面内一点简化·主矢和主矩 有一平面任意力系：F 1、F 2、F 3，向作用面内任一简化中心O 点简化。 先将各力平移至点O ，得：F’1、F’2、F’3、M 1、M 2、M 3，
M 1= M O (F 1)，M 2= M O (F 2)，M 3= M O (F 3) 合成得主矢： F’R = F’1+ F’2+ F’3= F 1+ F 2+ F 3=∑F i 主矩： M O = M 1+ M 2+ M 3=∑M O (F i ) 一般情况下，平面任意力系向作用面内任一点简化，可得一个主矢和一个主矩，主矢等于各力的矢量和，它与简化中心的选择无关；主矩等于各力对简化中心之矩的矩的代数和，它与简化中心的位置有关。 主矢的解析表达式：F’R = F’Rx + F’R y=∑F x i +∑F y j 主矢的大小和方向余弦： F ’R = ()() 2 2 ∑∑+y x F F cos(F’R ，i )=∑F x /F ’R ，cos(F’R ，j )= ∑F y /F ’R 三、固定端约束力 固定端：一个物体的一端完全固定在另一物体上。例：车刀夹持在刀架上，工件夹持在卡盘上固定不动等。固定端约束对物体的作用，是在接触面上作用了一群约束力。在平面问题中，这些力为一平面任意力系。将这群力向作用面内A 点简化得到一个力和一个力偶，一般这个力的大小和方向均为未知量，可用两个未知正交分力代替。因此，在平面力系情况下，固定端A 处的约束作用力可简化为两个约束力F Ax 、F Ay 和一个矩为M A 的约束力偶。 四、平面任意力系的简化结果分析 1、简化为一个力偶 F’R =0，M O ≠0，因力偶对平面内任一点的矩相同，故主矩与简化中心的选择无关 2、简化为一合力 (1) F’R ≠0，M O =0，F’R 即为合力，过简化中心O 。 (2) F’R ≠0，M O ≠0，合力F R =F’R ，作用线到O 点的距离d =M O /F R ，根据主矢和主矩的方向确定合力的作用线在O 点的哪一侧。 ∵M O =∑M O (F i )，M O (F R )= F R d=M O ∴M O (F R )=∑M O (F i ) 平面任意力系的合力矩定理：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力 系中各力对同一点的矩的代数和。 3、平衡 F’R =0，M O =0 R
作业A 一、填空题 1.平面汇交力系是指力作用线＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，且＿＿＿＿＿＿＿＿＿一点的力系。 2.平面汇交力系平衡的必要和充分条件是＿＿＿＿＿＿＿，此时力多边形＿＿＿＿＿＿＿。 3.沿力矢量的两端向坐标轴作＿＿＿＿，两垂足在坐标轴上截下的这段长度称为力在坐标轴上的投影，力的投影是＿＿＿＿量，有正负之分。 4.力沿直角坐标轴方向分解，通常，过力F 矢量的两端向坐标轴作平行线构成矩形，力F 是矩形的＿＿＿，矩形的＿＿＿＿是力F 矢量的两个正交分力y x F F 、。 5.已知一个力F 沿直角坐标轴的两个投影为y x F F 、，那么这个力的大小=F ＿＿＿＿，方向角=α＿＿＿＿。(角α为F 力作用线与x 轴所夹的锐角。) 6.平面汇交力系的力多边形如图(a)，(b)，(c)则 图(a)中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 图(b)中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 图(c)中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 7.如图所示，不计重量的直杆AB 与折杆CD 在B 处用光滑铰链连接，若结构受力F 作用，
则支座C 处的约束力大小＿＿＿＿＿＿，方向＿＿＿＿＿＿。 （7题图） （8题图） 8.如图所示，力F 在y x 、轴上投影x F ＝＿＿＿＿＿、y F ＝＿＿＿＿＿。 9.平面刚架在B 处受一水平力F 作用，如图所示，刚架自重不计，设F =20kN ，L =8m ，h =4m ，则求A 、D 处的约束反力，可以按以下步骤进行： （1）以刚架为研究对象，进行受力分析：请画出刚架的受力分析图 （2）作用在刚架上的力（主动力和约束力）构成的力系属＿＿＿＿＿力系 （3）列出刚架的平衡方程（坐标如图）
第二章构件的静力学分析 §2-1 力的基本性质 教学目标： 1、熟悉力的概念、性质； 2、理解约束类型，掌握约束反力方向的确定。熟练绘制受力图 3、能把工程实际结构转换成力学模型，培养分析问题和解决问题的能力。 4、、了解约束类型及约束反力方向的确定。 5、能准确判断出约束类型并确定约束反力方向，有一定的分析问题和解决问题的能力。 教学重点： 1、力的概念、性质； 2、约束类型，约束反力方向的确定。 3、画受力图 教学难点： 约束反力方向的确定。 授课类型：新课 教学方法： 教学方法：讲练法、演示法、讨论法、归纳法。 教具： 教室里边的桌子，电杠，扫帚等 教学安排： 教学步骤：讲授与演示交叉进行、讲授中穿插讨论、讲授中穿插练习与设问，最后进行归纳。 教学过程： 一、导入新课： 构件的静力分析是选择构件材料、确定构件外形尺寸的基础。构件的静力分析是以刚体为研究对象。刚体是指受力后变形忽略不计的物体。 二、新课教学： 一、力的概念 1.力的定义 力是物体相互间的机械作用，其作用结果使物体的形状和运动状态发生改变。 说明：力的效应分外效应—改变物体运动状态的效应。内效应—引起物体变形的效应。 2.力的三要素 力的大小、方向、作用点（线）。 3.力的表示法 力是矢量，用数学上的矢量记号来表示。 4.力的单位 在国际单位制中，力的单位是牛顿(N) 1 N= 1公斤?米/秒2（kg ?m/s 2 )。
? 启发教学： 2020F N F N ==哪一种正确？ 注意区别矢量与标量。 二、力的基本性质 公理一(二力平衡公理) 要使刚体在两个力作用下维持平衡状态，必须也只须这两个力大小相等、方向相反、沿同一直线作用。 二力构件—不计自重只在两点受力而处于平衡的构件。与构件形状无关。 ? 设问： 能不能在曲杆的A 、B 两点上施加二力，使曲杆处于平衡状态。 公理二(力平行四边形公理) 作用于物体上任一点的两个力可合成为作用于同一点的一个力，即合力。合力的矢由原两力的矢为邻边而作出的力平行四边形的对角矢来表示。 矢量表达式： 12R F F F =+ ? 课堂讨论： 分析下列哪种表达式正确？12R F F F =+ 12R F F F =+ 公理三(加减平衡力系公理) 可以在作用于刚体的任何一个力系上加上或去掉几个互成平衡的力，而不改变原力系对刚体的作用。 推论 (力在刚体上的可传性) 作用于刚体上的力，其作用点可以沿作用线在该刚体内前后任意移动，而不改变它对该刚体的作用。 F A B F 1 A B A F 1 F 2 R F A B F 2 F 1
平面汇交力系的合成与 平衡 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
黄河水利职 课时授课计划业技术学院 ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． 装 ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． 订 ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． 线 ． ． ． ．
空间力系两大类。 平面力系：力的作用线在同一平面（汇交、平行、一般） 力系分类 空间力系：力的作用线不在同一平面 平面汇交力系：作用在物体上的所有力的作用线都在同一 平面 内， 而且 汇交 于一 点的 力系。 求汇交力系的合成（简化）与平衡有两种方法： （1）图解法——几何作图法（2）解析法——代数计算法§1 平面汇交力系的合成与平衡 一、图解法（几何法） 1、两个共点里的合成 合力R的作用线通过汇交点；用矢量等式表示为R=F1+F2。 合力R的大小和方向不仅与两个力的大小有关，而且还与两分力的夹角有关。 两个分力的夹角减小时：合力增大； 两个分力的夹角增大时：合力减小； 两个分力的夹角两个力方向相同，合力最大，值为两分力大小之和为零度时：方向与两分力方向相同。 夹角为180度时，合力最小，值为两合力 大小之差，方向与较大分力同向。 2、多个共点力的合成 设物体受平面汇交力系F1，F2，F3，F4作用，求力系的合力R。 将各已知力首尾相连，连成折线，后连接折线的首尾两点，得合力R，这种求合力的方法，称为力多边形法则，这种力多边形称为不封闭的力多边形。合力的作用线通过力系的汇交点。 画力多边形时，改变各分力的相同的次序，将得到形状不同的力多边形，但最后四边形法则的基础上讲清平面汇交力系合成的几何法和平衡的几何条件的理论和结论 力的投影计算是力学计算的基本功合力投影定理只从数学上的矢量和投影定理直接引出在矢量代数的基础上讲情平面汇交力系合成的解析法和平衡的解析条件的理论和结论 平衡条件的应用应予足够重视，使学生理解恰当选取分离体、正确进行受力分析、画受力图、计算力的投影的重要性
《平面任意力系的平衡》教学设计 【课题】平面任意力系的平衡（中国劳动社会保障出版社《工程力学》第三版第四章第一节） 【课时】第1课时（45分钟） 【课型】新课 【教材分析】静力学研究内容---物体受力分析方法和物体在力系作用下处于平衡条件在工程中应用很广。工程中最常见的力系是平面任意力系，前述的平面汇交力系和平面力偶系以及后述的平面平行力系可看成是平面任意力系的特殊形式，许多实际问题都可以简化为平面任意力系问题来处理，分析和解决平面任意力系平衡问题在静力学中占有重要地位。 【学情分析】职高学生对工程结构缺乏感性认识，对于作用在工程结构上力的分析难以正确理解，尤其对如何应用平衡方程解决工程上的平衡问题感觉困惑，对所学知识点内容缺乏整合应用的能力。但他们具有初步的分析和解决问题的能力，这就需要教师能合理设疑，引导学生进行自主探究，充分发挥学生学习主体的作用。 【教学目标分析】 1．识记目标：理解平面任意力系的概念；掌握平面任意力系的平衡条件和平衡方程。 2．能力目标：能应用平面任意力系平衡方程解决工程上的平衡问题；培养学生严谨的逻辑思维能力和自主探索问题的能力；提高学生分析和解决问题的能力。 3．情感目标：培养学生勤于思考的好习惯和严谨、务实、细致的工作态度；通过小组讨论，培养学生的协作精神。 【重点、难点】 重点：平面任意力系的平衡条件和平衡方程以及物体在平面任意力系作用下平衡问题的解法。 难点：应用平面任意力系平衡方程求解物体平衡问题的方法和步骤以及解题方法的优化。 【教学方法及策略】 本节课运用创设问题情境---引导学生自主探究---小组合作讨论---练习总结 ---知识拓展的教学模式；采用启发式教学法，引导学生进行自主探究学习，通过对展示案例的合作讨论，进行解题方法的优化，以达到预期的教学目标。
平面力系合成与平衡习题 1、判断题： （1）无论平面汇交力系所含汇交力的数目是多小，都可用力多边形法则求其合力。（）（2）应用力多边形法则求合力时，所得合矢量与几何相加时所取分矢量的次序有关。（）（3）若两个力在同一轴上的投影相等，则这两个力的大小必定相等。（） （4）两个大小相等式、作用线不重合的反向平行力之间的距离称为力臂。（） （5）平面力偶系合成的结果为一合力偶，此合力与各分力偶的代数和相等。（） （6）平面任意力系向作用内任一点简化的主矢，与原力系中所有各力的矢量和相等。（）（7）一平面任意力系向作用面内任一点简化后，得到一个力和一个力偶，但这一结果还不是简化的最终结果。（） （8）平面任意力系向作用面内任一点简化，得到的主矩大小都与简化中心位置的选择有关。（） （9）只要平面任意力系简化的结果主矩不为零，一定可以再化为一个合力（）。 （10）在求解平面任意力系的平衡问题时，写出的力矩方程的矩心一定要取在两投影轴的交点处。（） （11）平面任意力系平衡方程的基本形式，是基本直角坐标系而导出来的，但是在解题写投影方程时，可以任意取两个不相平行的轴作为投影轴，也就是不一定要使所取的两个投影轴互相垂直。（） 2、填空题： （1）在平面力系中，若各力的作用线全部，则称为平面汇交力系。 （2）平面汇交力系平衡的几何条件为：力系中各力组成的力多边形。 （3）若平面汇交力系的力矢所构成的力多边形自行封闭，则表示该力系的等于零。（4）合力在任一轴上的投影，等于各分力在轴上投影的代数和，这就是合力投影定理。 （5）平面任意力系向作用面内任一点简化结果，是主矢不为零，而主矩为零，说明力系与通过简化中心的一个______等效。 （6）平面任意力系向作用面内的一点简化后，得到一个力和一个力偶，若将其再进一步合成，则可得到一个_____。 （7）平面任意力系向作用面内任一点简化后，若主矢_____，主矩_____,则原力系必然是平衡力系。 （8）平面任意力系只要不平衡，则它就可以简化为一个______或者简化为一个合力。（9）建立平面任意力系的二力矩式平衡方程应是：任取两点A、B为矩心列两个力矩方程，取一轴X轴为投影列一个投影方程，但A、B两点的连线应_____于X轴。 （10）平面任意力系的平衡方程可以表示成不同的形式，但不论哪种形式的独立方程应为______个。 （11）平面平行力系的平衡方程，也可以是任取A、B两点为矩心而建成两个力矩方程，但
黄河水利职业技术 学院课时授课计戈I」
我们根据力的作用线的位置不同，可将力系分为平面力系和空间力系两 大类。 『平面力系：力的作用线在同一平面（汇交、平行、一般） 力系分类彳 I 空间力系：力的作用线不在同一平面 系的合成（简化）与平衡有两种方法： （1）图解法一一几何作图法 （2）解析法一一代数计算法 § 1平面汇交力系的合成与平衡 一、图解法（几何法） 1、两个共点里的合成 合力R 的作用线通过汇交点；用矢量等式表示为 R=F 什F2。 合力R 的大小和方向不仅与两个力的大小有关，而且还与两分力的夹角有 关。 两个分力的夹角减小时：合力增大； 两个分力的夹角增大时：合力减小； 两个分力的夹角 （两个力方向相同，合力最大，值为两分力大小之和为 零度时： 方向与两分力方向相同。 夹角为180度时，合力最小，值为两合力大小之差，方 向与较大分 力同向。 2、多个共点力的合成 设物体受平面汇交力系 F1，F2，F3，F4作用，求力系的合力 R 。 将各已知力首尾相连，连成折线，后连接折线的首尾两点，得合力 R ，这 种求合力的方法，称为力多边形法则，这种力多边形称为不封闭的力多边形。 合力的作用线通过力系的汇交点。 画力多边 形时，改变各分力的相同的次序，将得到形状不同的力多边形，但最后求得的 合力不变。 成的平行 四边形法 则的基础 上讲清平 面汇交力 系合成的 几何法和 平衡的几 何条件的 理论和结 论 力的投影 计算是力 学计算的 基本功 合力投影 定理只从 数学上的 矢量和投 影定理直 接引岀 在矢量代 数的基础 上讲情平 面汇交力 系合成的 解析法和 平衡的解 析条件的 理论和结 论 平衡条件 的应用应 予足够重 视，使学 生理解恰 当选取分 离体、正 确进行受 力分析、 画受力 图、计算 力的投影 平面汇交力系：作用在物体上的所有力的作用线都在同一平面内，而且 —打》氏上
第一章静力学 教学目标一、知识目标 知道平面力系的类型的概念；知道力的正交分解 知道求平面汇交力系合力的方法二、能力目标 能运用数学知识求解分力。 能运用解析法求合力 三、素质目标 ； 培养学生认真学习的兴趣 教学重点力的正交分解；平面汇交力系合成的解析法 教学难点力的正交分解 教学方法演示法讲授法 教学准备@ 练习卷 教学课时2课时 教学过程 教学内容教学组织 第一课时 一、复习导入— 1、什么是力系？ 2、常见的力系有哪些？ 〖设问〗 二、新课教学 （一）平面力系的类型< 平面力系 根据力系中各力作用线的位置，力系可分为平面力系和空间力系。各力的作用线都在同一平面内的力系称为平面力系。。 在平面力系中又可以分为平面汇交力系、平面平行力系、平面力偶系和平面一般力系。在平面力系中，各力作用线汇交于一点的力系称平面汇交力系。[演示]利用PPT演示三类平面力系。 [引导学生观看] 得出平面汇交力系的概念。 〖设问〗我们如何才能求出它的合力呢？即力系的合成 ^
（二）平面汇交力系合成的几何法 1、几何法 只需把各力矢首尾相连，得一折线，则合力矢是由第一个力矢的起点向最后一个力矢的终点的线。各分力矢与合力矢构成的多边形称为力的多边形，这种求合力的方法称为力的多边形法则。 若改变各力矢的作图顺序，所得的力的多边形的形状则不同，但是这并不影响最后所得的逆封边的大小和方向。 [提问] 还记得力的三角形法 则吗 [引导学生回答] 】 [讲授]利用几何法合成平面汇交力系 [演示] 几何法 [看] 看不同的效果 [讲授]几何法的特点：简单，但由于作图误差，结果也有误差。 [问]有没有一种方法能精确知道合力呢？引出解析法（用计算的方法） （三）平面汇交力系合成的解析法 1、力的正交分解（力在坐标轴上的投影） ! 说明： （1）投影的指向与 坐标轴一致，为正，否则为负； （2）力在坐标轴上的投影为标量。 [问]大家还记得力的平行四边形法则，请将力F 沿X 、Y 轴进行分解。 [讲授]引导学生分析投影的概念及各投影与力F 的解析关系。 2、补充三角函数知识 斜边对边=αsin 斜边 邻边 =αcos 00 300 450 > 600 900 sin α 0 1/2 22 2 3 1 , cos α 1 2 3 2 2 2 1 0 [讲授]记忆方法 “林可” < [学生记忆] 第二课时 （三）应用 \ 对边 α 邻边
平面汇交力系合成的解析法 1、力的投影 x 已知力可求投影 F x =F ·cos q F y =F ·cos b=F ·sin q 反之，已知投影可求 力的大小和方向 2 2F =F x +F y 力的大小 cos θ= F x ，cos β= F y F F 方向 力 的 交 ， F x ，F y F x =F x i ，F y =F y j 力F =F x +F y 力的 解
所 F=F x i+F y j 2、合力投影定理 合力投影定理 合力在任一 上的投影，等于 力在同一 上投影的代数和。 F R x=∑F ix F R =( F R y=∑F iy 合力的大小 22 F)+(F) ix iy ∑∑ 方向 cos(F，i)= F R x，cos(F，j)=F R y R R F R F R 力系的汇交 [例]已知 图 平面共 力系；求 此力系的合力。解 解析法 解 解析法
F R F R ==171.3N cos θ= F R x F R F cos β= R y =0.6556 =0.7548 θ=40.99，β=49.01 F F 2 F 3 F 4 300450 600 450 F R 3、平面汇交力系的平衡方程 平面汇交力系平衡的必要和充 条件是 力系的合力等于零。 2 F R =(F )=0 iy ∑∑F ix =0，∑F iy =0 必 平面汇交力系平衡的必要和充 条件是 力在两个 上投影的代数和 别等于零。 [例]已知 F =3kN ，l =1500mm ，h =200mm ，忽略自重； 求 平衡时，压块C 对工件与地面的压力，AB 杆受力。 解 AB 、BC 杆 二力杆，取销钉B 对象。
平面汇交力系合成的几何法 1、两个共点力的合成 F 1 力 180-α 由力的平行四边 法则作图（左），也可用力的 来作图（右）。 F R =F 1F R sin ?sin(180-α) = 合力 由 由 2、任意个共点力的合成 力多边 :各分力矢首尾相连， 组成一个不封闭的力多边 。 封闭边表示合力的大小和 。
b F 1 F 2F 3 d F 4 e F R a c a b c d F 4 e F 1F 2 F 3 F R 各力矢与合力矢构成的多边 称为力多边 。 用力多边 求合力的作图规则称为力的多边 法则。 力多边 中表示合力矢量的边称为力多边 的封闭边。 结论 平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小与 等 于各分力的矢量和(几何和)，合力的作用线通过汇交点。 用 矢量式表示为 3、平面汇交力系平衡的几何法 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是 该力系的合力等于零。 上述 程的几何表达为 该力系的力多边 自行封闭。 用几何 法求平面汇交力系平衡时，要做出自行封 闭的力多边 ，一般只适合 个力的平衡问题。
[例]图示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的力F=212 N， 与水平面成a =450 。当平衡时，DA铅直，BC水平，试求拉杆BC所受的力。已知EA=24cm，DE=6cm(点E在铅直线DA上) ，又B ，C ，D都是光滑铰链，机构的自重不计。 解 取制动蹬ABD作为研究对象，并画出受力图。 作出相应的力多边 。 OE = EA = 24 cm tan?=DE= 6 OE24 ?=arctan1=140 4 由力 图可得 sin(180?-α-?) F=F=750N B sin?