了解复合函数求导法则，能求简单复合函数?常见的基本初等函数的导数公式：
（仅限于形如y=Aa^b）的复合函数）的导数.
?常用的导数运算法则：
(C)z = 0(C为常数);(x〃)' = nx n~] (n G
7VJ；
(sin x\ = cos x；(cos x)' = — sin x；
(e x y = e x；(a x y = a x lno(Q>0,旦。A 1)；法则l：[w(x) ± v(x)y = u(x) ± v\x).
法则2：[w(x)v(x)]/ = u\x)v(x) + u(x)v(x).
法则
如⑴-"知）（心）莉）.
函数导数不等式
一、考试范围与要求
1.了解导数概念的实际背景.
2.通过函数图像直观理解导数的几何意义.
要点通解：
鲜见单独以1为知识背景的试题.以2为知识背景的题仅限于选择题、填空题或解答题的某个环节，主要形式为求过某点的切线的方程.
3.能根据导数的定义求函数y = C（C为常数Xy = x y y = -9y = x\y = x\y = ^的导数.
X
4.能利用以下给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并
要点通解：
鲜见单独以3或4为知识背景的试题.但在用导数研究函数的过程中首要的步骤就是求函数的导数，因而对4理解和掌握十分重要.
5.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数不超过三次）.
6.了解函数在某点去取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数不超过三次）. 要点通解：
此处历年常考，且常和其他知识有机整合.此题属于压轴题，解题过程中往往首先构造函数, 再运用导数法探究函数的单调性、极值或最值，常有较大难度.
7.会用导数解决实际问题.
要点通解：
尚没有考及，但应关注.
8.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.
9.了解微积分基本定理的含义.
要点通解：
基本命题形式为计算定积分，题型为选择题或填空题.
考向预测：
选择题、填空题、解答题皆有出现，但以解答题为主，作为必考的最后一题，有较大的难度, 主要考查利用导数求曲线在（过）某点的切线方程，利用导数研究函数的单调性，极值与最值，
函数的零点，恒成立以及导数与其他知识的综合等问题.
x>0 例
2. x>0
二、导数的综合应用
1. 利用导数研究函数的单调性与极值(最值)问题.
2. 利用导数研究曲线的切线问题. 3 .利用导数研究不等式证明问题.
4 .利用导数研究函数的恒成立及范围问题. 1. 利用导数研究函数的单调性与极值(最值)问题
例 1.求函数 f(x) = x 2 -2(a + l)x + 2aInx+单调区间.
%1 求定义域；②求导数；③求导函数的根；④求广⑴分子部分的图像；⑤求出广⑴的符号; ⑥求出/(x)的单调性.
广(尤)二火一1)3一^
两个讨论点：1.根与区间的位置关系；2.两根的大小关系
设函数/(x) = ^lnx + —-2x,。2 0.试求函数/(X)的单调区间. "/、 CIX -2x4-6/
讨论点：方程的类型、判别式的符号
(1) 。= 0 (2) 。>0
① OV Q VI
%1 a = 1 ?a>\
2. 利用导数研究曲线的切线问题.
%1 切点在切线上 %1 切点在曲线上
%1 切点处的导数就是切线的斜率
例1.己知函数/(X ) = 2X 3
-3X .若过P(l,t)存在3条直线与曲线y = f(x)相切，求t 的取值范围.
切点(工0,)‘0) 广(易)=6￡ -3
< 光=广(易)(工0 -1) => 4" - 6" + r = 3 = 0
% = /⑴ to
问题转化为：
己知函数》=4疽_ 6亍+ i 3中含有3个零点，求t取值范围
例2.设/为曲线C:y = —在点(1,0)处的切线.
X
⑴求/的方程；
(II)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线/的下方.
I: y = x-\ y(x) = x-1
/W匕g⑴
n
f⑴-g⑴VO
n
虹尤+ M0
X
i /、Inx , ln(x) = --- 1
x
>nV)max<0
ln'(x)=iFnx
X
m(x) = 1 - x" - Inx
曲线的位置关系
不等式恒成立
求导以后出现超越方程
可以考虑“去分母”等手段规避超越方程“二次求导”
单调性(图像的变化走势)
极值(图像的变化界限)
在平面直角坐标系xoy中，已知点P是函^f(x) = x\nx-x的图像上的动点，该曲线在点P处的切线/交y轴与点M(0,皿)，过点P作/的垂线交y轴于点N(0”，N)，则业的取值范围
是(―8,—1] D
[3,+8)
/'(工)= \nx P(x0 ,y0) Vo =工。ln-尤。
I-y-yo =(x-x
0)-lnx0y M =-x0
k, = In
x0 k=--—
IWC Q
1 z、
y-y。= ----- (xr())
mx Q
_ 工0 _ ^o(ln2 x
-lnx0 +1) V N— )'o + : 一
In x0IWC0
业=-InF+lnx。-1
当x()>L lnx
()
>0
当0 I I 1 —In X Q------- 1 = —(In X Q H ------ In x G In x0—+ 1>3 3 .利用导数研究不等式证明问题. 利用导数证明不等式的基本步骤: (1)作差或变形 ⑵构造新的函数h(x) (3)利用导数研究h(x)的单调性或最值 (4)根据单调性及最值，得到所证的不等式 例］.巳知= (其中届Rg = 2.71828…是自然对数的底数，歆⑴=0,试证明:对 任意* >0, f f(x)< +1恒成立. 广⑴=0,得k = 1, f(x) = — e x + [ g(x) =(X2 +x), /z(x) = --- (1-x-xlnx) (x > 0) e x v- -1- 1 等价--- (1 -x-xlnx) < / + i e x X l-x-x\nx<——(e~2 +1) x +1 /?(%) = ]- x- x\nx (x > 0), h\x) = - In % - 2 (x > 0) (0, / ) T (e~2 ,+8)I h(e'2) = / +1 I- x-x\nx < e~ +1 设°(x) = / _(尤 + 1) (p\x) = e x -1 x > 0 低"⑴ > 0, 伊⑴有(0, + 8)个 (p(x) > 9(0) = 0 x > 0,(p(x) = e x一(x +1) > 0 --- > 1 x + 1 X :.I-x-xinx < e~2 +1 < —一(e A +1) x+l 对任意工> 0,f(x) < 恒成立 +x A(1)不等式证明问题转化成最值问题 (2)等价变形构造函数，而不是直接构造 (3)分析法 例 2.已知函数/(%) = \nx-^ax2 +x,ae R若。=-2, 正实数％工2满足/3)+ /(尤2)+罕2 =0 ??? X] + x 2 > V5-1 2 (2)设c>0时，a n n + c _p.、〒 1 2tl + 1 + C 1 1 ---- 1 ------- 证明：玉+易2 ”a ] f(x) = lnx + x 2 + x X] >0, x 2 >0, /(x,) + /(x 2) + x }x 2 = 0 In x } + x } + 玉 + In x 2 + x 2 + x 2 + x t x 2 = 0 (x { +x 2) +(X)+x 2) = XjX 2 一 ln(x,x 2) 目标 等T 不等 X] +切转化羽工2 构造函数(p(t) = t-lnt (t > 0) 。'⑴=— (x } + x 2 )2 + (%! + x 2) > 1 例3. (1)尤 > 0H 寸，证明— < ln(l + x) < x 1 ---- + X 1 1 1 —+ + ? ? ? + 〃 + 1 + C 〃 + 〃 + C ,2n + c < In ------ H-1 + C x --- < ln(l + x) < x l + x n 1 …1、 1 n + c n + c n + c i 〃 + 2 + c - 1 1 In ------ = ln(l + ------ ) < ------ 〃 + 1 + C 〃 + 1 + C 72 + 1 + C 〃 +1 + 〃 + C . 1 、 1 In -------- = ln(l + -------- ) < ------ n + n + c 〃 + 〃 + c 〃 + 〃 + c 1 ,〃+l+c ，乃+2+c ,〃+3+c ,2〃+l+c < In + ln + ln + ??? + ln n + n + c n + c 〃 + l + c 〃 + 2 + c n + n + c i 2n +1 + c =In -------- /? + c 例4顶(x) = J +》ln(x +1),其啊。o. (1) 当》时，判断函数⑴在定义域上的单调性 2 ⑵求函数八工)的极值点 (3)证明：对任意的正整数〃，不等式ln(l + l)>-L-4都成立? n n rr 2 (II )当6Z <4 时，|f'(Xi)-f’(X2)| > X, - x2 . ⑴分析法些严2>y(守) 凡+、2> 4 X] + x2 x}x2a In y/x}x2 > a \n " * (2)& < 0,唯一极小值点"— 0 b>^, /,⑴无极值点 (3> = -1, f(x) = x2 - ln(l + x) h(x) = x3 - /'(%) + ln(l + x) Ji(x) = 3- ‘ "—— > 0 x + 1 [0, + 8) T h(x) "(0) = 0 ln(l + x)〉?x 令X =L(0,+8),则有：imi + L)〉-^ — -^ n n rr 〃 7 例5 （2006年四川）已知函数f（x） = x2 + -+czlnx（x>0）,对任意两个不相等的正数尤「 X （I）当。"时，f⑴+您2）*（心1）； 1（*+对）+公互+ +小应；>（宜互）2+」_ +血4 2x x x2 2 Xj + x2 2 三对三式看能否一对一 (2心)=2厂况 要证l/Vi) - f\x2)| > |x, - x 2 \f\x\) ~ f'(x2 )| =(2工]一 M ~ (2易~~T +—) xf x{x2 x2 =kf |2+缉牛-工 x i +工2 X l X2 只须证2+20+：)__ >1 (x t x2y x}x2 55+2(X I+X2)+23+D 尤 1 x2~ x} x2 X] = L x2 = 2不成立 a - XjX2 二元变成一元 c / --- 2(x. + x?) 4 %! + x2 > l^X x X2 x{x2 + —— ------- - > x{x2 + ] --- *1尤2 J尤1尤2 . --- 4 令t - A /x I x2h(t) -12 +—(r > 0) /Z(0=2/-4 r = V2 W(R)>3V4=V108>4>6/ 分析法证明不等式(叠加) 导数证明不等式为实质是转化求函数的最值(减元) 例 6. (2005 年湖南卷)已知函数/(x) = lnx, g(x)= — ox2 + bx, a^O. (I)若b = 2,且/2(X)=/3)—g(X)存在单调递减区间，求。的取值范围； (II )设函数7U)的图象G与函数g(x)图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点作*轴的垂线分别交G，C2于点M、N,证明0在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行. (Z)/Z(x) v 0,总有尤 > 0的解,(—1,0) u (0,+8) 设P(X], '。，。(易况)，贝化、易是方程上杯+版= lnx的丰艮 设0 <为<、2，G在M的切线与C2在N的切线不平行?广(且二)丰g'(W旦) 反证法：假设平行 2 x. +x7, ------ =——ci.b %)+x2 2 2(工| —工2) 。/ 2 1\ 1 \ z—K -- ]-- - =—(x； + bx2) - (― x； + 版])=In 名- In x, ............ ① 尤]+尤2 2 」 2 2(% X] -1 尸⑺在［1, + 8)T r(t) > r(l) = 0 即1混> 四二口等值r + 12(-1) 1+ r %1代数恒等变形 %1导数证明(不等，单调性) %1反证法 例7.己知函数/'⑴=ax2 -bx + \nx9 a,be R ⑴当力=2。+ 1时，讨论函数“对的单调性； (2)当1 = 1,人＞3时，记函数的导函数的两个零点分别是￥1和尤2(尤1 ＜尤2),求证：/(x 1 )-/(x2)＞--ln2. 4 (1)当o < o <—时，(0,1)(—,+8)T (1,—)J 2 2a2。 当Q =S时，(0, + 8)T 当。>—时，(0,—),(1,+8)T (—,1)1 2 2a 2a (2)当Q = 1, f(x) = x2 -bx + \nx(x > 0) , 2x2— /?x +1 f⑴= X Xp尤2是方程2尤2-版+1 = 0两 根 零点定理，根的范围也是后面函数的定义域 1 g(X) = 2x2-bx + i,又b > 3 1 3 — b g(5)= 丁<0, g ⑴= 32<0 X] G (0,—),x2 G (l,4-oo) bx{ = 2x； +1 转化条件bx = 2x| +1 减元 ，一元=(X； - xf (bxy - bx2 ) + ln — -(X]2 -xf) + ln—x2 二x} - —v~ln(2x2) 入2 x2 >1,令，=2%2 E (2, + 8) 9(。= /'(M) - 3 Tn，不等式证明问题转化成函数的最值问题Z>2H寸，如)=("叮〉0 2-r ??.9。)在(2,4-oc)? 3(p(t)>(p(2) = --\n2 4 3 ?，?f(x\) _ f(x2)〉? - In 2 1 X1 In — --- - (%! + Xo ) > 2 -x2』 勺也匚也 X2 I 2(—1) =Inf > ———- ，+ 1 /、i 2(r -1) m(t) = \nt -- ---- r + 1 冰⑴=Hi > o ?+i) A。在(o,+8)T T > I 导数研究函数的性质(单调性)证明不等式 等价转化a,x x,x 2 —x} ,x 2 - t 减兀 分析法、构造法 mt >2(—1) t + 1 例8.己知函^{g(x) = xlnx, h(x) = -—x + — -l(aeR)9且函数f(x) = g(x) +x/心)有两个不同的 2 x 极值点X],工2 . ⑴求实数。的取值范围； (2)证明：lnXj + lnx2 >2 (1)/z(x) = Inx-axfi e (2)X52是方程^nx-ax = 0的两个根 Inx = ax v不妨设—> x2 i x i In—L In x2 = ax2 Jn—L = a(x x -x2),a = ----- - 一X2 X\ ~ X2 InXj +ln x2 > 2 ? a(x} +x 2 ) > 2 函数的零点，导数求法 r. In Xj 4- In x2 > 2 例9.已知函数/'3) = ax2 - Inx. ⑴若/⑴> 0在[l, + 8)上恒成立，求实数。的取值范围; (2)求证：当n>2,ne R*时，^-+ 口—+ ... + 口—> ~- ln2 In 3 \nn H +1 g(x) =峪，gG) = X 1 2 1 9 - % - \nx-2x [ ci x _ 1 - 21nx x 4 g z (x) = 0, x = [l,e y ) T,(b, + 8)2 五 (2)(7 = — ,/(x) = —x 2 -\nx> 0,[l,+8)上恒成立 2e 2e 1 r 2 r 2 x > 2,—x 2 -Inx > 0,— > — > Inx 2e 2 2e 业、c 1 2e 2 吉工 2 2,— > — > — \nx x 工~ 1 2 勺，1 1、 商>歹>2丁 了 —>4 >2(---) In 3 32 3 4 1 2 1、 ——> —> 2( -------- ) In 4 42 4 5 ——>—^>2(—-) \n(n -1) (〃 —1)一 n-\ n 1 1 1 1 n 1 1 1 1 11、 In(n-l) 2 3 3 4 〃〃 + 1 〃 + ---- 1 --- 1 --- In 2 In 3 In 4 分析法： 1 1 1 n-\ ——+——+ ??? +——> -- In 2 In 3 In n 〃 + 1 1 1 1 n-2 ’I 1 、— 2 In 2 In 3 \n(m) n n 〃 + l n (n +1) n 加强不等式 1 2 ——> — Inn AT n 1 2 Inx n x 2 1 Inx < —，由(l)lnx v —x 2 2 2e 例 10.已知l/(x) = sin x + mx(x > 0) 6 ⑴若/⑴在［0,+8)上单调递增，求实数〃［的取值范围； (2)当a > IHj, V XG ［0,+oo),不等式siM-cosH'-2是否恒成立？并说明理由. ⑴广⑴=cosx ------- m x2 g(x)= cosxd m 2 g'(x) = -sinx + x h(x) = -sinx + x h\x) = -cosx+1 > 0 *(x)在［0,+oo)T g(x) = -sinx + x > g'(0) = 0 g(尤)在［0, + 8)T , g(x) > g(0) -\-m 要使/*⑴在［0, + 8)T 则1 一〃2 > 0,即〃2 < 1 (2)x G［0, + 8),sinx < x X2X2 且cosx + --- m > l-m,cosx> 1 ----- 2 2 r2 若siM — cos x< x-(i -- ) < e ax - 2 2 亍 e ar- —-J^-1 2 x2 M(x) = e x- — -x-\ M\x) - e x -x-\ M(x) = e x -x-\ M\x) = e x x>0, MXx)^ M3) "(0) = 0 2 W-二-x-120恒成立 2 x2x2 又e* ---- x-1 > e x ------ x-1 > 0 2 2 当Q 21时，V XE［0,+8) 不等式siri￥-cosx< ^av - 2恒成立 A (1)三次求导 r2 (2)递进式(1)解决问题的过程得到的副产品sinx 2 进一步来变更命题 V-2 (3)所证不等式sin x-cosx< - 2转化成b--- - x-l>0恒成立 4.利用导数研究函数的恒成立及范围问题. 恒成立及范围问题 a > /⑴恒成立<=> 6/ > /(x) max 转化成函数的最值问题有解— Q>/3)min a > y(x)有解/'(尤)的值域 当恒成立问题中的参数不能分离是，则需要根据具体情况讨论 单变量恒成立 %1对任意尤￡ [m,n],a > .尸⑴恒成立=>a> /(x) max 若存在xc [m,n]9a > f(x)有解=> a > /(x) min 若V XE [m,n],a >了⑴无解 => a "⑴min %1对任意XE [m,n],a < f(x)恒成立=> ? < /(x) min 若存在xc [m,n]9a 。< /(x) max 若Sc [m,n],a< f (x)无解=> ? > /(x) max 双变量恒成立、有解、无解的转化 ?V XG [a9b]9f(x) > g(x) => [f(x) - g(x)]min > 0 %1存在％ e [a9b]9f(x Q) >g(x°) => [f(x) -g(x)]max >0 %1皿 E [a,b]9x2G [c,d],f(x{)> g(x 2 )=> /(x)min > g(x)max ?Bx{ e [a,b],x2G [c,d],/(明)> g(x2) => /(x) max > g(x)min ⑤S] € [以],存在尤2 E[c9d]9f(x{) > g(x 2 )=> 丽min > gOOmin 例1.已知函数f(x) = x2 - lax + 2 In x. ⑴若函数y =，(尤)在工=1处的切线与直线2x-y + 4 = 0平行，试求实数。的值； (2)若y = JO)有两个极值点外x2,且羽〈知a - 不等式/(^,) > m(x2)tH成立, 求实数〃的取值范围. ⑴。=1 c\ c o L2 2*一心+ 1) (2)x > 0, /(X)= 2x - 2a + —= ---------- x x r(x)有两个极值点昆、x2,且x{ < x2 明+勺=“2： =>x,+ —>-=>0 v v =1 2 2 八]八0 mx 2 n V f(X|) m < ---- — _ x； + 2orf + 2 In 叫分离参数法(可直接分离) 等价转化 二次求导(超越方程) =X；一2(x)+ x2 )xf + 2x1 In X] 难点：0 1 2 定义域的挖掘 h{x) = -x3一2x + 2x In x h f(x) = -3x2 + 2 In x 伊(x) = -3x2 + 2 (0 < x < -) 2 (ln-, + oo k )T ,、r 2 2(1-3尸) (P(X)= ~f)X d = --------- > 0 1 3 1 0(X)< 例3)= -- + 21n-<0 h\x) < 0 /心)在(0,?]J 1 9 h(x) > h(-) =--- In 2 2 8 ,9 … ?.? m < -- m 2 8 例2.函= ae x (x +1)(其中e = 2.71828…),gfr)=尸+城+ 2,己知它们在x = 0处有相同的切线. (1)求函救/'(X),gO)的解析式； ⑵ 若Vi2-2,"⑴2g(x)恒成立，求实数A 的取值范围. jr(o)=/(o) 1/(0)= g(0) /. /(x) = 2e x (x +1)，g(x) = x 2 + 4x + 2 (2)Fj(x) = kf(x)-g(x) = 2ke x -2x-4 = 2(x+ 2)3—1) 讨论InL 与-2大小关系 k %1 当ln-<-2,即A> 疽，FQ)在[一2, + 8)丁 k 2 F ⑴顽=~(一2) = -(e 2 -k)<0 不符合 F(x)min > 0 e %1 当\n- = -2时，即k = *,"⑴在[-2, + 8)T k 2 F ⑴血=F(—2) = -(e 2- k) = 0,满足F(x),nin > 0 %1 当m-> -2时，即1匕上<决时 k F ⑴在[-2,ln ；) J,(ln"+oo)T K K F(x)n ,n = F(ln|) = \nk<2-\nk) > 0,满足F(x)min > 0 K :.]k\\ f(x) > g(x),直接构造函数/3)-g(x) = F ⑴ 转化成求尸3)的最值，遇参数分类讨论. 参考题： 3. 求函= (x 2 - 2ax)In + bx 1, a.be R (/)当"=l 9b = -1时,设g(x)=(尤一 I)? In 尤 + x.求证：X/x > l 9g(x)- f(x) > x 2 +x + e-e v (〃)当。=-2时，若对任意XE [1,+8),不等式2/(X )>3X 2+^恒成立，求实数。的取值范围. 答案：a < 1 设函数 g(x) = x\nx ,贝|J 1 xe一，+8 E 7 时，8’⑴〉。，故g(x) 时,g'(x)<0 (1、 0 -单调递减，在 I e) +oo单调递增, 不等式恒成立，能成立的常用解法： (1)分离参数后转化为最值，注意分离前式子的符号 (2)直接转化为函数的最值问题，伴随对参数的讨论 (3)数形结合 常见构造辅助函数的四种方法： (1)直接构造法： /W > g(x) D -g(x) > 0 构造函数人3) = fM -幺3) (2)构造“形似”函数 稍作变形后构造，如，移项、通分、取对数，把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的 结构. (3)适当放缩后再构造： 若所构造函数最值不易求解，可将所证明的不等式进行放缩，再重新构造函数. (4)构造双函数 若直接构造函数求导，难以判断符号，导数的零点也不易求得，因此单调性和极值点都 不易获得，从而构造/'(尤)和&O)，利用最值求解. 三、近三年高考题 2014年全国卷高考题 be x~x 21.(本小题满分12分)设函数f(x) = ae x\nx + ^—,曲线y = /(x)在点(1, /(I)处的切线为y = e(x-i) + 2. (I)求。，如 (II)证明：/(X)> 1 . 【解析］：(I)函数f(i)的定义域为(0,+oo), /z(x) = 6/e Y In - e Y - 4 r-1 + - X X 由题意可得f(l) = 2,f(l) = e ,故。= 1* = 2 ......... 6分 2广1 2 (II)由(I )知，f(x) = e x \nx +--- ,从而f(x) > 1 等价于x In x > xe~x—— x e 从而g(x)在(0,+8) 的最小值为 2 设函数h(x) = xe'x——,则/?'。)=广(1一工)，所以当左(0,1) 时，h\x) > 0 ,当 e 尤￡(1,+8)时，h\x) < 0 ,故戚￥) 在(0,1)单调递增，在(1,+8)单调递减，从而/?(x) g(x)在(0,*o) 的最小值为 //(!) = --. e 综上：当x>0时,g(x) > h(x),即/(X)> 1. ......... 12 分 2015年全国卷高考题 已知函数f (x) =x3 +tzx + —,g(x) = -lnx 4 (I)当"为何值时，x轴为曲线= /(%)的切线； (II)用min {〃"}表示〃中的最小值，设函数h(x) = min{/Cv),g(x) ) (% > 0)，讨论/? (x)零点的个数 3 3 5 3 、 5 【答案】(I) a = —； (II)当。〉——或。< ——时，h{x)由一个零点；当。=——或〃=——时，h{x) 4 4 4 4 4 5 3 有两个零点；当—— 4 4 【解析】 试题分析：(I )先利用导数的儿何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的。值；(II)根据对数函数的图像与性质将工分为工>1,工=1,0<工< 1研究/?(尤)的零点个数，若零点不容易求解，则对1再分类讨论. , xl + ax. + — = 0 试题解析：(I)设曲线y = /(x)与对由相切于点(％0),则、—=0,广(0 = 0,即 4 , 3" +。= 0 1 3 解得? 3 因此，当6Z = -时，工轴是曲线y = f(x)的切线.. 5分 4 * (II)当xw (1,+8)时，g(x) = -lnx<0 ,从而/?(%) = min(/(x),g(x)} < g(x) < 0 , A h(x)在(1, +oo)无零点. 当工=1 时，若则/(1) = 6/ + ->0, /7(l) = min{/(l),g(l)} = g(l) = 0,故工=1 是/?(x)的零 4 4 点；若a <,则/(l) = 6z + —<0 , /?⑴=min{/(l),g(l)} = f⑴<0,故工=1 不是/?⑴的零点. 4 4 当XG (0,1)时，g(x) = -lnx>0 ,所以只需考虑f(x)在(0,1)的零点个数. 构造函数法证明不等式的八种方法 1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。 2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法： 一、移项法构造函数 【例1】 已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有x x x ≤+≤+-)1ln(1 11 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数 11 1)1ln()(-++ +=x x x g ，从其导数入手即可证明。 【解】1111)(+-=-+='x x x x f ∴当01<< -x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数 当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数 故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞ 于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ， 即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证）， 现证左面，令111)1ln()(-++ +=x x x g ， 22)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ， 即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数， 故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ， ∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即0111)1ln(≥-++ +x x ∴111) 1ln(+-≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(11 1,1有时 【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ），那么要 证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证． 2、作差法构造函数证明 【例2】已知函数.ln 2 1)(2x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数332)(x x g =的图象的下方； 分析：函数)(x f 的图象在函数)(x g 的图象的下方)()(x g x f =F 用导数证明函数不等式的四种常用方法 本文将介绍用导数证明函数不等式的四种常用方法. 例1 证明不等式：)0)1ln(>+>x x x （. 证明 设)0)(1ln()(>+-=x x x x f ，可得欲证结论即()(0)(0)f x f x >>，所以只需证明函数()f x 是增函数. 而这用导数易证： 1()10(0)1 f x x x '=- >>+ 所以欲证结论成立. 注 欲证函数不等式()()()f x g x x a >>(或()()()f x g x x a ≥≥)，只需证明()()0()f x g x x a ->>(或()()0()f x g x x a -≥≥). 设()()()()h x f x g x x a =->(或()()()()h x f x g x x a =-≥)，即证()0()h x x a >>(或()0()h x x a ≥≥). 若()0h a =，则即证()()()h x h a x a >>(或()()()h x h a x a ≥≥). 接下来，若能证得函数()h x 是增函数即可，这往往用导数容易解决. 例2 证明不等式：)1ln(+≥x x . 证明 设()ln(1)(1)f x x x x =-+>-，可得欲证结论即()0(1)f x x >>-. 显然，本题不能用例1的单调性法来证，但可以这样证明：即证)1)(1ln()(->+-=x x x x f 的最小值是0，而这用导数易证： 1()1(1)11 x f x x x x '=-=>-++ 所以函数()f x 在(1,0],[0,)-+∞上分别是减函数、增函数，进而可得 min ()(1)0(1)f x f x =-=>- 所以欲证结论成立. 注 欲证函数不等式()()()(,f x g x x I I >≥∈是区间)，只需证明()()()0(f x g x x I ->≥∈. 函数、导数和不等式 1i.(北京卷8)某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高.m值为（） A.5 B.7 C.9 D.11 由已知中图象表示某棵果树前n年的总产量S与n之间的关系，可 分析出平均产量的几何意义为原点与该点边线的斜率，结合图象可得答 案． 解答：解：若果树前n年的总产量S与n在图中对应P（S，n）点 则前n年的年平均产量即为直线OP的斜率 由图易得当n=9时，直线OP的斜率最大 即前9年的年平均产量最高， 故选C 2ii(北京卷14) 已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2．若同时满足条件： ①x∈R，f(x)＜0或g(x)＜0； ②x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)＜0． 则m的取值范围是________． iii 3(全国卷10) 已知函数y＝x2-3x+c的图像与x轴恰有两个公共点，则c＝（） （A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1 求导函数可得y′=3（x+1)(x-1） 令y′＞0，可得x＞1或x＜-1；令y′＜0，可得-1＜x＜1； ∴函数在（-∞，-1），（1，+∞）上单调增，（-1，1）上单调减 ∴函数在x=-1处取得极大值，在x=1处取得极小值 ∵函数y=x^3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点 ∴极大值等于0或极小值等于0 ∴1-3+c=0或-1+3+c=0 ∴c=-2或2 4iv (福建卷9)若函数y=2x 图像上存在点（x ，y ）满足约束条件30,230,,x y x y x m +-≤??--≤??≥? ，则实数m 的最大值为（ ）A ． 12 B.1 C. 32 D.2 解：约束条件 x +y ?3≤0 x ?2y ?3≤0 x ≥m 确定的区域为如图阴影部分，即△ABC 的边与其内部区域， 分析可得函数y=2x 与边界直线x+y=3交与点（1，2）， 若函数y=2x 图象上存在点（x ，y ）满足约束条件， 即y=2x 图象上存在点在阴影部分内部， 则必有m≤1，即实数m 的最大值为1， 故选B ． 5v .（湖北卷9）函数f （x ）=xcosx 2在区间[0,4]上的零点个数为（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 f(x)=xcosx2，0<=x<=4，0<=x2<=16<5.5π x=0是零点之一 cos2x=0，cosx=0，x=π/2或者x=3π/2或者x=5π/2或者x=7π/2或者x=9π/2 所以：零点共有6个 6vi （江苏卷13）已知函数2 ()(,)f x x ax b a b R =++∈的值域为[)0,+∞，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(,6)m m +，则实数c 的值为 高考专题训练二十三 函数、导数与不等式、解析几何、数列型解答题 班级_______ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：72分 总得分________ 1．(12分)(2011·成都市高中毕业班第二次诊断性检测)设△ABC 的三内角A 、B 、C 所对应的边长分别为a 、b 、c ，平面向量m ＝(cos A ，cos C )，n ＝(c ，a )，p ＝(2b,0)，且m ·(n －p )＝0. (1)求角A 的大小； (2)当|x |≤A 时，求函数f (x )＝sin x cos x ＋sin x sin ? ?? ?? x －π6的值域． 解：(1)m ·(n －p )＝(cos A ，cos C )·(c －2b ，a ) ＝(c －2b )cos A ＋a cos C ＝0 ?(sin C －2sin B )cos A ＋sin A cos C ＝0?－2sin B cos A ＋sin B ＝0. ∵sin B ≠0，∴cos A ＝12?A ＝π3 . (2)f (x )＝sin x cos x ＋sin x sin ? ????x －π6＝1 2 sin x cos x ＋32sin 2x ＝14sin2x ＋32·1－cos2x 2＝34＋1 4sin2x － 34cos2x ＝34＋12sin ? ?? ?? 2x －π3. ∵|x |≤A ，A ＝π3，∴－π3≤x ≤π3－π≤2x －π3≤π3∴－1≤sin ? ????2x －π3≤32?3－24≤34＋12sin ? ????2x －π3≤3 2. ∴函数f (x )的值域为[3－24，3 2 ]． 第5讲 导数与函数零点、不等式证明、恒成立问题 高考定位 在高考压轴题中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以含指数函数、对数函数为载体考查函数的零点(方程的根)、比较大小、不等式证明、不等式恒成立与能成立问题. 真 题 感 悟 1.(2016·全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝ln x －x ＋1. (1)讨论函数f (x )的单调性； (2)证明当x ∈(1，＋∞)时，1 解得x0＝ln c－1 ln c ln c. 当x 函数、导数与不等式综合题 1 已知 ()()ln f x ax b x =+-，其中0,0a b >>.（1）若)(x f 在[)0,+∞上是减函数，求 a 与 b 的关系；（2）求)(x f 在[)0,+∞上的最大值；（3）解不等式ln x x x x 2 21- -???? ??-+≤ln2–1. 解：.（1）()1a a b ax f x ax b ax b --'= -= ++. ………………1分 0,0,0x a b >>≥, ()0f x '∴≤时，0a b -≤，即a b ≤. 当a b ≤时，0,0,0.0,0a b x ax b a b ax >>∴+>--≥≤, 即()0f x '≤. ()f x ∴在[0,)+∞上是减函数时，b a ≥. ………………………4分 （2）由（1）知，（i ）当b a ≥时()f x 为减函数，()f x 的最大值为(0)ln f b =；……5分 当b a <时， ()a b ax f x ax b --'= +， ∴当0a b x a -< ≤时，()0f x '>，当a b x a ->时()0f x '<， 即在[0, )a b a -上()f x 是增函数，在[,)a b a -+∞上()f x 是减函数，………………7分 ∴a b x a -= 时()f x 取最大值， 最大值为max ()( )ln a b a b f x f a a a --==- ， 即max ln (), ()ln ().b b a f x a b a b a a ?? =?-- 专题四 集合、函数与导数、不等式（文） 2011年 1．设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则=?（M N ） 2．函数0)y x =≥的反函数为 5．下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是 A ．1a b >+ B ．1a b >- C ．22a b > D ．33a b > 10．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2 f -= 21． 已知函数{}32()3(36)124f x x ax a x a a R =++---∈ （I ）证明：曲线()0y f x x ==在处的切线过点（2，2）； （II ）若0()f x x x =在处取得极小值，0(1,3)x ∈，求a 的取值范围。 2010年卷1 2、设全集U ＝（1，2，3，4，5），集合M ＝（1，4），N ＝（1，3，5）， 则N ?（C ，M ） 7.已知函数f (x )= lg x .若a ≠b ，且f (a )=f (b )，则a +b 的取值范围是 10.设a =log 3，2，b =ln2，c =12 5-,则 （A ）a ＜b ＜c (B)b ＜c ＜a (C)c ＜a ＜b (D)c ＜b ＜a 13.不等式2232 x x x -++>0的解集是 . 21. 已知函数f (x )=3a x 4-2(3a +2)x 2+4x . (Ⅰ)当a =16 时，求f (x )的极值; (Ⅱ)若f (x )在(-1,1)上是增函数，求a 的取值范围. 2009年卷1 2. 设集合A=｛4，5，6，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集=A B ， 则集合［u （A B ）中的元素共有 (A) 3个 （B ） 4个 （C ）5个 （D ）6个 3.不等式111x x +?-的解集为 6.已知函数()f x 的反函数为()()10g x x ＝＋2lgx ＞，则(1)(1)f ＋g ＝ 10.如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4( ,0)3 π中心对称，那么φ的最小值为 21. 已知函数42()36f x x x =-+. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）设点P 在曲线()y f x =上，若该曲线在点P 处的切线l 通过坐标原点， 求l 的方程 2008年卷1 1.函数y =1x x -+的定义域为 2. 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是 4.曲线y =x 3－2x +4在点(1,3)处的切线的倾斜角为 8.若函数y ＝f (x )的图像与函数y =1n 1+x 的图像关于直线y ＝x 对称，则f (x )＝ 21.已知函数f (x)=x 3+a x 2+x+1,a ∈R. （Ⅰ）讨论函数f(x)的单调区间； （Ⅱ）设函数f(x)在区间（－21,33 -）内是减函数，求α的取值范围. 2007年卷1 导 数 的 应 用 --------利用导数证明不等式 教学目标：1、进一步熟练并加深导数在函数中的应用并学会利用导数证明不等式 2、培养学生的分析问题、解决问题及知识的综合运用能力； 教学重点：利用导数证明不等式 教学难点：利用导数证明不等式 教学过程： 一、复习回顾 1、利用导数判断函数的单调性； 2、利用导数求函数的极值、最值； 二、新课引入 引言：导数是研究函数性质的一种重要工具．例如：求函数的单调区间、求函数的最大（小）值、求函数的值域等等．然而，不等式是历年高考重点考查的内容之一.尤其是在解答题中对其的考查，更是学生感到比较棘手的一个题.因而在解决一些不等式问题时，如能根据不等式的特点，恰当地构造函数，运用导数证明或判断该函数的单调性, 出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题．然后用函数单调性去解决不等式的一些相关问题，可使问题迎刃而解. 因此，很多时侯可以利用导数作为工具得出函数性质，从而解决不等式问题． 下面具体讨论导数在解决与不等式有关的问题时的作用． 三、新知探究 1、利用导数得出函数单调性来证明不等式 例1：当x>0时,求证：x 2x 2 -＜ln(1+x) . 证明：设f(x)= x 2x 2-－ln(1+x) (x>0), 则f '(x)=2x 1x -+． ∵x>0,∴f '(x)<0,故f(x)在（0，+∞）上递减， 所以x>0时,f(x) 函数导数与不等式专题 2 函数导数与不等式专题 一．利用切线与导数之间的联系解决不等式有关问题 1．（2013年高考四川）已知函数 22,0()ln ,0 x x a x f x x x ?++<=?>?,其中a 是实数. 设11(,())A x f x ,22(,())B x f x 为该函数图象上的两点,且12 x x <. (1)指出函数()f x 的单调区间; (2)若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直,且20x <,证明:211x x -≥; (3)若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合,求a 的取值范围. 2．（2014届江西省新余）已知函数x (=， f ln ) x b x ax g． x =a R) ( ) (2∈ - （1）若曲线)(x f与)(x g在公共点)0,1(A处有相同的切线，求实数a、b的值； （2）当1=b时，若曲线)(x f与)(x g在公共点P处有相同的切线，求证：点P唯一； （3）若0>a，1=b，且曲线)(x f与)(x g总存在公切线，求正实数a的最小值． 3 4 二．利用函数的单调性、极值与导数的联系解决有关不等式问题 3．（2014届云南省师大附中）已知函数2()f x x ax =-，()ln g x x =． （1）若()()f x g x ≥对于定义域内的x 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）设()()()h x f x g x =+有两个极值点12,x x ，且110,2x ??∈ ??? ，求证：12 3()()ln 24h x h x ->-； 常见导数不等式构造新函数 ①含导数式)()()()(''x g x f x g x f +可构造函数：)()()(x g x f x F =； ②含导数式)()()()(''x g x f x g x f -可构造函数：)()()(x g x f x F =； ③含导数式)()('x af x f +可构造函数：ax e x f x F )()(= ； ④含导数式)()('x af x f -可构造函数：ax e x f x F )()(= ； ⑤含导数式)()('x f x f +可构造函数：x e x f x F )()(= ； ⑥含导数式)()('x f x f -可构造函数：x e x f x F )()(= 例题： 1.函数)(x f 的定义域为R ，,2)1(=-f 对42)(,2)(,'+??∈?x x f x f R x 则的解集为（ ） A （1,1-） B （+∞-,1） C （2,∞-） D （+∞,2） 2.定义域为R 的可导函数)(x f y = 的导数为)('x f ，满足)()('x f x f ?且1)0(=f ，则不等式1)(?x e x f 的解集为（ ） A(0,∞-) B （+∞,0） C （2,∞-） D （+∞,2） 3.定义在（+∞,0）的函数)(x f 非负数可导，且满足)()('x f x xf ?， 若m,n ),0(+∞∈且n m ?,则必有（ ） A )()(m mf n nf ? B )()(n mf m nf ? C )()(n nf m mf ? D )()(m nf n mf ? 4.设()()x g x f ,是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0 专题一 函数与导数、不等式 第1讲 函数图象与性质及函数与方程 一、选择题 1．(2014·北京朝阳期末考试)函数f (x )＝1x －1＋x 的定义域为 ( )． A ．[0，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[0,1)∪(1，＋∞) D ．[0,1) 2．(2014·新课标全国卷Ⅱ改编)偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝( )．A ．1 B ．－1 C ．3 D ．－3 3．(2014·天津卷)函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为 ( )． A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，－2) 4．(2014·济南模拟)函数f (x )＝(x －1)ln|x |的图象可能为 ( )． 5．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝??? －x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，0] B ．(－∞，1] C ．[－2,1] D ．[－2,0] 二、填空题 6．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2 a )＋f (log 12 a )≤2f (1)，则a 的取值范围是________． 7．(2014·广州测试)已知函数f (x )＝2ax 2＋2x －3.如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，则实数a 的取值范围为____________． 8．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对?x ∈R 都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)成立．当x 1，x 2∈[0,2]， 且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2 <0，给出下列命题： ①f (2)＝0；②直线x ＝－4是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[－4,4]上有四个零点；④f (2 014)＝0. 其中所有正确命题的序号为________． 用导数证明函数不等式地四种常用方法 本文将介绍用导数证明函数不等式地四种常用方法. 例1 证明不等式：)0)1ln(>+>x x x （. 证明 设)0)(1ln()(>+-=x x x x f ，可得欲证结论即()(0)(0)f x f x >>，所以只需证明函数()f x 是增函数. 而这用导数易证： 1()10(0)1 f x x x '=- >>+ 所以欲证结论成立. 注 欲证函数不等式()()()f x g x x a >>(或()()()f x g x x a ≥≥)，只需证明()()0()f x g x x a ->>(或()()0()f x g x x a -≥≥). 设()()()()h x f x g x x a =->(或()()()()h x f x g x x a =-≥)，即证()0()h x x a >>(或()0()h x x a ≥≥). 若()0h a =，则即证()()()h x h a x a >>(或()()()h x h a x a ≥≥). 接下来，若能证得函数()h x 是增函数即可，这往往用导数容易解决. 例2 证明不等式：)1ln(+≥x x . 证明 设()ln(1)(1)f x x x x =-+>-，可得欲证结论即()0(1)f x x >>-. 显然，本题不能用例1地单调性法来证，但可以这样证明：即证)1)(1ln()(->+-=x x x x f 地最小值是0，而这用导数易证： 1()1(1)11 x f x x x x '=-=>-++ 所以函数()f x 在(1,0],[0,)-+∞上分别是减函数、增函数，进而可得 min ()(1)0(1)f x f x =-=>- 所以欲证结论成立. 注 欲证函数不等式()()()(,f x g x x I I >≥∈是区间)，只需证明()()()0(f x g x x I - >≥∈. 设()()()()h x f x g x x I =-∈，即证()()0()h x x I >≥∈，也即证 专题一：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 一、选择题 1．已知全集U ＝R ，集合2{|1}M x x =<，2{|0}N x x x =-<，则集合M ，N 的关系用韦恩（Venn ）图可以表示为 （ ） 2．已知()x f 是定义在R 上的奇函数，若()x f 的最小正周期为3，f (1)>0，f (2)=23 1 m m -+，则m 的取值范围是 （ ） （A ）3(,)2-∞ （B ）3(,1) (1,)2-∞ （C ）3(1,)2- （D ）3 (,1)(,)2 -∞-+∞ 3．下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是 （ ） A.()sin f x x = B.()1f x x =-+ C.()1()2x x f x a a -= + D.2()ln 2x f x x -=+ 4．下列结论： ①命题“0,2>-∈?x x R x ”的否定是“0,2≤-∈?x x R x ”； ②当),1(+∞∈x 时，函数22 1 ,x y x y ==的图象都在直线x y =的上方； ③定义在R 上的奇函数()x f ，满足()()x f x f -=+2，则()6f 的值为0. ④若函数()x x mx x f 2ln 2-+=在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为1 2m ≥. 其中，正确结论的个数是 （ ） A ．1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 5．已知,,22,,xy c y x R y x ==+∈+ 那么c 的最大值为 ( ) A ．1 B ． 21 C ．2 2 D ．41 6．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 （ ） A ．4x y --3=0 B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 7．已知a 是使表达式2x +1>42-x 成立的最小整数，则方程1-|2x -1|=a x -1实数根的个数为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8．已知)(x f 是定义在R 上的函数，且)2()(+=x f x f 恒成立，当)0,2(-∈x 时，2 )(x x f =，则当 专题1 函数、导数与不等式 二、高考回放 【2007年第20题（理科），13分】 已知定义在正实数集上的函数2 1()22 f x x ax = +，2()3ln g x a x b =+，其中0a >．设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同． （I ）用a 表示b ，并求b 的最大值； （II ）求证：)0()()(>≥x x g x f ． 本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力． 解：（Ⅰ）设()y f x =与()(0)y g x x =>在公共点00()x y ，处的切线相同． ()2f x x a '=+∵，2 3()a g x x '=，由题意00()()f x g x =，00()()f x g x ''=． 即2 20002 00123ln 232x ax a x b a x a x ?+=+????+=?? ，，由200 32a x a x +=得：0x a =，或03x a =-（舍去）． 即有2222215 23ln 3ln 22b a a a a a a a = +-=-． 令22 5()3ln (0)2 h t t t t t =->，则()2(13ln )h t t t '=-．于是 当(13ln )0t t ->，即13 0t e <<时，()0h t '>； 当(13ln )0t t -<，即13 t e >时，()0h t '<． 故()h t 在1 3 0e ?? ???，为增函数，在13e ??+ ??? ，∞为减函数， 于是()h t 在(0)+，∞的最大值为12 333 2 h e e ??= ???． （Ⅱ）设2 21()()()23ln (0)2 F x f x g x x ax a x b x =-= +-->， 则()F x '23()(3) 2(0)a x a x a x a x x x -+=+-=>． 故()F x 在(0)a ，为减函数，在()a +，∞为增函数， 于是函数()F x 在(0)+，∞上的最小值是000()()()()0F a F x f x g x ==-=． 故当0x >时，有()()0f x g x -≥，即当0x >时，()()f x g x ≥． 【2008年第20题（理科），12分】 水库的蓄水量随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t 的近似函数关系式为 ?????≤<+--≤<+-+-=121050)413)(10(410050)4014()(412 t t t t e t t t V t ， ， （Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以1i t i -<<表示第1月份（1,2,,12i =L ）, 同一年内哪几个月份是枯水期？ （Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取 2.7e =计算）. 本小题主要考查函数、导数和不等式等基本知识，考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际问题的能力。 解：（Ⅰ）①当010t <≤时，1 2 4 ()(1440)5050x V t t t e =-+-+<，化简得214400t t -+>, 解得4t <，或10t >，又010t <≤，故04t <<. ②当1012t <≤时，()4(10)(341)5050V t t t =--+<，化简得(10)(341)0t t --<, 解得41 103 t << ，又1012t <≤,故1012t <≤. 综合得04t <<,或1012t <≤； 故知枯水期为1月，2月，3月，11月，12月共5个月. (Ⅱ) 由(Ⅰ)知：()V t 的最大值只能在（4，10）内达到. 由1 1' 24 4 131()(4)(2)(8),424 t t V t c t t c t t =-++=-+- 令' ()0V t =，解得8t =(2t =-舍去). 当t 变化时，' ()V t 与()V t 的变化情况如下表： 由上表，()V t 在t ＝8时取得最大值(8)850108.32V e =+=(亿立方米). 故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米 【2009年第21题（理科），14分】 1. 函数321()252f x x x x =--+，若对于任意[1,2]x ∈-，都有()f x m <，则实数m 的取值范围是 . 2. 已知函数()2x f x e x a =-+有零点，则a 的取值范围是 . 3. 已知函数321()223 f x x x x =-++，若存在满足003x ≤≤的实数0x ，使得曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线与直线100x my +-=垂直，则实数m 的取值范围是 . 4. 已知函数()f x 为定义在(0,)+∞上的可导函数，且()()f x xf x '>，则不等式21()()0x f f x x -<的解集为 . 5. 设函数22()21(,0)f x tx t x t x R t =++-∈>. (1) 求()f x 的最小值()h t ； (2) 若()2h t t m <-+对(0,2)t ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 6. 若函数321y x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是 . 7. 若方程2(1)x x b -=在区间[0,1]上有解，则实数b 的最小值为 . 8. 若关于x 的不等式21x m x + ≤在区间1(,]2-∞-上有解，则m 的取值范围是 . 9. 若对任意的0x >，恒有ln 1(0)x px p ≤->，则p 的取值范围是 . 10. 已知a R ∈，设函数()ln f x ax x =-的图象在点(1,(1))f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为 . 11. 已知R 上的可导函数()y f x =的图象如图所示，则不等式2(23)()0x x f x '-->的解集为 . 12. 设()f x 、()g x 是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且()()()()0f x g x f x g x ''-<，则当 a x b <<时，下列关系正确的是 .（填序号） （1）()()()()f x g x f b g b >； （2）()()()()f x g a f a g x >； （3）()()()()f x g b f b g x >； （4）()()()()f x g x f a g a >. 高三数学专题复习一 函数、导数与不等式 例题 1.设命题甲：关于x 的不等式0)1(22>+-+a x a x 解集为R ；命题乙：函数 x x f a a )2(2log )(-=是减函数.如果命题甲或命题乙是真命题， 命题甲且命题乙为假命题,则实数a 的取值范围是 . 2.设集合}6,5,4,3,2{},1,0,1{=-=N M ，从M 到N 的映射N M f →:使任意 M x ∈都有)()(x xf x f x ++是奇数，这样的映射N M f →:共有 个. 3.)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0 函数导数与不等式专题 一．利用切线与导数之间的联系解决不等式有关问题 ?x2+ 2x +a, x < 0 1．（2013年高考四川）已知函数 f (x) =? ,其中a 是实数. ?ln x, x > 0 设A(x1 , f (x1 )) ,B(x2 , f (x2 )) 为该函数图象上的两点,且x1 二．利用函数的单调性、极值与导数的联系解决有关不等式问题3．（2014 届云南省师大附中）已知函数f (x) =x2-ax ，g(x) = ln x ．（1）若f (x) ≥g(x) 对于定义域内的x 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）设h(x)=f(x)+g(x)有两个极值点x , x ，且x∈? 0, 1? ，求证：h(x)-h(x)> 3 -ln2； 1 2 1 2 ? 1 2 4 ?? 4.（2014 届湖北省部分重点中学）已知函数f (x) =2 x3+x2+ax +1 在(-1, 0)上有3 两个极值点 x1 , x2 ，且 x1 专题五 函数、导数、不等式的综合问题 1.已知函数f (x )＝ln x ＋k e x (k 为常数，e ＝ 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝ f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． (1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间； (3)设g (x )＝xf ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数，证明：对任意x ＞0，g (x )＜1＋e － 2. 解 (1)由f (x )＝ln x ＋k e x ， 得f ′(x )＝1－k x －xln x xe x ，x ∈(0，＋∞)， 由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． 所以f ′(1)＝0，因此k ＝1. @ (2)由(1)得f ′(x )＝1 xe x (1－x －xln x )，x ∈(0，＋∞)， 令h(x )＝1－x －xln x ，x ∈(0，＋∞)， 当x ∈(0,1)时，h(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，h(x )＜0. 又e x ＞0，所以x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0； x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0. 因此f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (3)因为g(x )＝xf ′(x )， 所以g(x )＝1 e x (1－x －xln x )，x ∈(0，＋∞)， 由(2)得，h(x )＝1－x －xln x ， 求导得h′(x )＝－ln x －2＝－(ln x －ln e － 2)． ] 所以当x ∈(0，e － 2)时，h′(x )＞0，函数h(x )单调递增； 当x ∈(e － 2，＋∞)时，h′(x )＜0，函数h(x )单调递减． 所以当x ∈(0，＋∞)时，h(x )≤h(e － 2)＝1＋e － 2. 又当x ∈(0，＋∞)时，0＜1 e x ＜1， 所以当x ∈(0，＋∞)时，1e x h(x )＜1＋e －2，即g(x )＜1＋e － 2. 综上所述结论成立． 函数导数不等式 一、考试范围与要求 1. 了解导数概念的实际背景. 2. 通过函数图像直观理解导数的几何意义. 要点通解： 鲜见单独以1为知识背景的试题. 以2为知识背景的题仅限于选择题、填空题或解答题的某个环节，主要形式为求过某点的切线的方程. 3. 能根据导数的定义求函数x y x y x y x y x y C C y ======,,,1,,(32为常数）的导数. 4. 能利用以下给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数（仅限于形如y=f (ax+b ) 的复合函数）的导数. ·常见的基本初等函数的导数公式： ·常用的导数运算法则： )()()(0)(1+-∈='='N n nx x C C n n ；为常数； ).10(log 1)(log 1)(ln )10(ln )()(sin )(cos cos )(sin ≠='='≠='='-='='a a e x x x x a a a a a e e x x x x a a x x x x ，且＞；； ，且＞；； ； 要点通解： 鲜见单独以3或4为知识背景的试题. 但在用导数研究函数的过程中首要的步骤就是求函数的导数，因而对4理解和掌握十分重要. 5. 了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数不超过三次）. 6. 了解函数在某点去取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数不超过三次）. 要点通解： 此处历年常考，且常和其他知识有机整合. 此题属于压轴题，解题过程中往往首先构造函数，再运用导数法探究函数的单调性、极值或最值，常有较大难度. 7. 会用导数解决实际问题. 要点通解： 尚没有考及，但应关注. 8. 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念. 9. 了解微积分基本定理的含义. 要点通解： 基本命题形式为计算定积分，题型为选择题或填空题. 考向预测： 选择题、填空题、解答题皆有出现，但以解答题为主，作为必考的最后一题，有较大的难度，主要考查利用导数求曲线在（过）某点的切线方程，利用导数研究函数的单调性，极值与最).0)(()()()()()()()(3).()()()(])()([2).()(])()([12≠'-'='?? ????'+'=''±'='±x v x v x v x u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x u ：法则：法则：法则构造函数法证明导数不等式的八种方法Word版
3 用导数证明函数不等式的四种常用方法
函数导数不等式(含答案)
2-3-23函数、导数与不等式、解析几何、数列型解答题
导数与函数零点、不等式证明、恒成立问题
函数导数与不等式综合题
集合、函数与导数、不等式
导数的应用利用导数证明不等式
函数导数与不等式专题
(完整版)常见导数不等式构造新函数
专题：函数与导数不等式
5用导数证明函数不等式的四种常用方法
专题1：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数(文)
专题1函数导数与不等式
导数与函数不等式综合应用
专题函数导数与不等式
函数导数与不等式专题(可编辑修改word版)
最新高考数学解题技巧大揭秘 专题5 函数、导数、不等式的综合问题
函数导数不等式
相关主题
文本预览