第十一章 曲线积分与曲面积分
引入：在上一章中，我们研究了二元函数在平面有界闭区域上的二重积分和三元函数在空间有界闭区域上的三重积分，我们知道：重积分的计算都可以化成定积分来完成.这一章给大家介绍二元函数在平面曲线上的平面曲线积分、三元函数在空间曲线上的空间曲线积分以及三元函数在空间曲面上的曲面积分，这些积分的计算可由定积分或重积分来完成.
第一节 对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的相关概念 1.引例：曲线形构件的质量
假设曲线形细长构件在空间所处的位置在xoy 平面内的一段曲线弧L 上，它的端点为A 、
B ，曲线弧L 上任一点),(y x 的线密度为),(y x μ，求曲线形构件的质量m .
(1). 大化小：在曲线弧L 任取一组点121,,,-n M M M 将L 分成n 个小弧段，
第i 个小弧段i i M M 1-的质量为i m ?，则∑==n
i i m m 1?.
(2). 常代变：记小弧段i i M M 1-的长度为i s ?，在小弧段i i M M 1-上任取一点),(i i ηξ，则有
i i i i s m ?ηξμ?),(≈，
(3). 近似和：∑∑==≈=n
i i i i n
i i s m m 1
1
),(?ηξμ?.
(4). 取极限：令λ为n 个小弧段的长度的最大值，有
∑=→=n
i i i i s m 10
),(lim ?ηξμλ.
抽去这个确定和式极限的具体意义，就得到了数学上的对弧长的曲线积分.
2. 对弧长的曲线积分的定义：设函数),(y x f 在xoy 平面上的一条光滑曲线),(B A L 上有界，在L 上任意插入1-n 个点121,,,-n M M M 将L 分成n 个小弧段，设第i 个小弧段的长度为i s ?，在其上任取一点),(i i ηξ，作乘积i i i s f ?ηξ),(),,2,1(n i =，有和式
∑=n
i i
i
i
s
f 1
),(?ηξ，记
}{m ax 1i n
i s ?λ≤≤=，当0→λ时，若极限∑=→n
i i i i s f 1
),(lim ?ηξλ总存在，则称此极限值为函数),(y x f 在
曲线弧L 对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作?L
ds y x f ),(，即
∑?
=→=n
i i i i L
s f ds y x f 1
),(lim ),(?ηξλ，
其中),(y x f 叫做被积函数，L 叫做积分弧段，ds 叫做弧长微元. 注：
1°.若函数),(y x f 在曲线弧L 上连续，则曲线积分?L
ds y x f ),(存在.
2°.第一类曲线积分与积分弧段的方向无关，即?
?=)
,()
,(),(),(A B L B A L ds y x f ds y x f ，
事实上：∑?
=→=n
i i i i B A L s f ds y x f 1
)
,(),(lim ),(?ηξλ，∑?
=→=n
i i i i A B L s f ds y x f 1
)
,(),(lim ),(?ηξλ.即小弧
段的长i s ?与曲线弧的方向无关，恒为正值.
3°. 定积分?b
a
dx x f )(不是第一类曲线积分的特例，因为??-=a
b
b
a
dx x f dx x f )()(，与积分路径
的方向有关.
4°. 若L 是闭曲线，则),(y x f 在L 上的第一类曲线积分为：?L
ds y x f ),(.
5°. 若1),(≡y x f ，且积分弧段L 的长为l ，则l ds L
=?.
6°. 可推广：三元函数),,(z y x f 在空间曲线Γ上的第一类曲线积分：
∑?=→=n
i i
i
i
i
s f ds z y x f 1
),,(lim ),,(?ζηξλ
Γ.
3. 物理意义：可求长的物质曲线的质量，即在引例中，?=L
ds y x m ),(μ.
二、对弧长的曲线积分的性质：假设各个曲线积分都存在
1. 线性性质：设α、β是常数，则???±=±L
L
L
ds y x g ds y x f ds y x f y x f ),(),()],(),([βαβα.
2.积分弧段的可加性：若积分弧段L 可以分成两段光滑曲线弧1L 和2L ，则
???
+=2
1
),(),(),(L L L
ds y x f ds y x f ds y x f .
3.不等式性质：若在L 上，),(),(y x g y x f ≤，则??≤L
L
ds y x g ds y x f ),(),(. 4. 绝对值不等式性质：??≤L
L
ds y x f ds y x f |),(|),(.
三、对弧长的曲线积分的计算：化曲线积分为定积分.
定理：设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为：)()
()(βαψ?≤≤???==t t y t x ，其中
)(t ?、)(t ψ在],[βα上具有一阶连续导数，
且0)(')('22≠+t t ψ?，则曲线积分?L
ds y x f ),(存在，且??+=β
α
ψ?ψ?dt t t t t f ds y x f L
)(')(')](),([),(22 )(βα<.
注：
1°.若曲线弧L 的方程为)(x y ψ=)(0X x x ≤≤，则L 的方程为：???==)
(x y x
x ψ)(0X x x ≤≤，有
??
+=X
x L
dx x x x f ds y x f 0
)('1)](,[),(2ψψ.
2°
.若曲线弧L 的方程为)(y x ?= )(0Y y y ≤≤，则L 的方程为：?
??==y y y x )
(?)(0Y y y ≤≤，有
?
?
+=Y y L
dy y y y f ds y x f 0
)('1]),([),(2??.
3°.可推广：若空间曲线弧Γ的参数方程为??
?
??===)()()
(t z t y t x ωψ? )(βα≤≤t ，则
??++=β
α
Γ
ωψ?ωψ?dt t t t t t t f ds z y x f )(')(')(')](),(),([),,(222.
例1.计算?
L
ds y ，其中L 是抛物线2x y =上点)0,0(O 与点)1,1(B 之间的一段弧.
解：由于曲线弧L 的参数方程为?
??==2
x y x
x )10(≤≤x ， 因此 ??
?
+=+=1
210
22241)'(1dx x x dx x x ds y L
)155(12
1)41(121)41(4181
1
02
3
21
22-=??????+=++=
?x x d x
例2. 计算半径为R 、中心角为α2的圆弧L 对于它的对称轴的转动惯量I (设线密度1=μ). 解：建立坐标系如图，则所求转动惯量?=L
ds y I μ2.
取L 的参数方程为?
?
?==θθ
sin cos R y R x )(αθα≤≤-，于是 ??-+-==α
α
θθθθμd R R R ds y I L
22222
)cos ()sin (sin
??-
--=
=α
α
α
α
θθθθd R
d R )2cos 1(2
sin 3
23a
a R -??? ?
?-=
22sin 2
3
θθ
)cos sin ()2sin 2(2
33
a a a R a a R -=-=.
例3.计算曲线积分?++Γ
ds z y x )(222，其中Γ为螺旋线t a x cos =、t a y sin =、kt z =上相应
于t 从0到π2的一段弧. 解：?++Γ
ds z y x )(222
?++-++=π
20
222222)cos ()sin (])()sin ()cos [(dt k t a t a kt t a t a
?
++=π20
2
2222)(dt k a t k a π
20
322223???? ??-+=t k t a k a
)43(3
2
22222k a k a ππ++=.
第二节 对坐标的曲线积分
一、 对坐标的曲线积分的相关概念 1. 引例: 变力沿曲线所作的功.
设一质点受变力)),(,),((),(y x Q y x P y x F =的作用,在xoy 平面内从点A 沿光滑曲线弧L 移动到点B , 其中),(y x P 和),(y x Q 在L 上连续，求移动过程中变力),(y x 所作的的功. (1). 大化小：在曲线弧L 任取一组点121,,,-n M M M 将L 分成n 个小弧段，
变力),(y x 沿第i 个小弧段i i M M 1-所作的功为i W ?，则∑==n
i i W W 1?.
(2). 常代变：有向小弧段i i M M 1-可用有向线段),(1i i i i y x M M ??=-来代替.
在小弧段i i M M 1-上任取一点),(i i ηξ，则有
)),(),(),(1i i i i i i i i i i i y Q x P M M F W ?ηξ?ηξηξ?+=?≈-，
(3). 近似和：]),(),([1
1
∑∑==+≈=n
i i i i i i i n
i i y Q x P W W ?ηξ?ηξ?.
(4). 取极限：令λ为n 个小弧段的长度的最大值，有
]),(),([lim 10
∑=→+=n
i i i i i i i y Q x P W ?ηξ?ηξλ.
抽取这个确定和式极限的具体意义，就得到了数学上的对坐标的曲线积分.
2. 对坐标的曲线积分的定义：设函数),(y x P 、),(y x Q 在xoy 平面内的从点A 到点B 的一条有向光滑曲线弧L 上有界，在L 上沿L 的方向任意插入1-n 个点 ),,(),,(222111y x M y x M ，
),(111---n n n y x M 将L 分成n 个有向小弧段i i M M 1-(B M A M n i n ===,;,,2,10 )，记
1--=i i i x x x ?，1--=i i i y y y ?，在其上任取一点),(i i ηξ，作乘积i i i x P ?ηξ),(与i i i y Q ?ηξ),(，有
和式∑=n
i i i i x P 1
),(?ηξ与∑=n
i i i i y Q 1
),(?ηξ，当n 个小弧段的直径最大值0→λ时，
(1). 若极限∑=→n
i i i i x P 1
),(lim ?ηξλ总存在，则称此极限值为函数),(y x P 在有向曲线弧L 上对坐标
x 的曲线积分，记作∑?=→=n
i i i i L
x P dx y x P 1
),(lim ),(?ηξλ.
(2). 若极限∑=→n
i i i i y Q 1
),(lim ?ηξλ总存在，则称此极限值为函数),(y x Q 在有向曲线弧L 上对坐标
y 的曲线积分，记作∑?=→=n
i i i i L
y Q dy y x Q 1
),(lim ),(?ηξλ.
其中),(y x P 、),(y x Q 叫做被积函数，L 叫做积分弧段. 以上两个积分也称为第二类曲线积分，有时也写成
dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P L
L
L
),(),(),(),(???
+=+.
注：
1°.若),(y x P 、),(y x Q 在L 上都连续，则对坐标的曲线积分?L
dx y x P ),(、?L
dy y x Q ),(都存在.
2°.若Γ为空间曲线弧 , 则有dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(++?Γ
.
3°.对坐标的曲线积分的物理意义：变力沿曲线所做的功 dy y x Q dx y x P W L
),(),(?+=.
二、对坐标的曲线积分的性质 1. 线性性质：设α、β是常数，则
???
+±+=±+±L
L
L
dy Q dx P dy Q dx P dy Q Q dx P P 22112121][][βαβαβα.
2.积分曲线的可加性：若有向曲线弧段L 可以分成两段光滑的有向曲线弧1L 和2L ，则
???
+++=+2
1
L L L
Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx .
3.方向性： 记-L 表示L 的反向弧，则??+-=+-L
L
Qdy Pdx Qdy Pdx . 注：定积分是对坐标的曲线积分的特例.
三、对坐标的曲线积分的计算：化曲线积分为定积分.
定理：设函数),(y x P 、),(y x Q 在有向曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为：???==)()
(t y t x ψ?，
当参数t 单调的由α变到β时，点),(y x M 从L 的起点A 运动到终点B .)(t ?、)(t ψ在],[βα或],[αβ上具有一阶连续导数，
且0)(')('22≠+t t ψ?，则曲线积分??+L
L
dy y x Q dx y x P ),(),(存在，且
{}??+=+β
α
ψψ??ψ?dt t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P L
)(')](),([)(')](),([),(),( .
注：
1°.与β的大小不定，与积分曲线弧的方向有关.
2°.若曲线弧L 的方程为)(x y ψ=，则L 的参数方程为：???==)
(x y x
x ψ，有
{}??
+=+β
α
ψψψdx x x x Q x x P dy y x Q dx y x P L
)(')](,[)](,[),(),(.
其中参数α对应L 的起点，β对应L 的终点.
3°.若曲线弧L 的方程为)(y x ?=，则L 的参数方程为：???==y
y y x )
(?，有
{}??
+=+β
α
???dy y y Q y y y P dy y x Q dx y x P L
]),([)(']),([),(),(.
其中参数α对应L 的起点，β对应L 的终点.
4°.可推广：若空间有向曲线弧Γ的参数方程为??
?
??===)()()(t z t y t x ωψ?，则
dz y x R dy y x Q dx y x P ),(),(),(++?Γ
{}?++=β
αωωψ??ωψ??ωψ?dt t t t t R t t t t Q t t t t P )(')](),(),([)(')](),(),([)(')](),(),([，
其中α对应Γ的起点，β对应Γ的终点. 四、两类曲线积分之间的联系
设函数),(y x P 、),(y x Q 在有向曲线弧L 上连续，L 的参数方程为：???==)()
(t y t x ψ?，起点A 和
终点B 分别对应参数a 和b ，假设b a <.)(t ?、)(t ψ在],[b a 上具有一阶连续导数，且
0)(')('22≠+t t ψ?，则对坐标的曲线积分与对弧长的曲线积分之间的联系为：
ds y x Q y x P dy y x Q dx y x P L
L
]cos ),(cos ),([),(),(βα+=+??，
其中αcos 、βcos 是曲线弧L 的切向量))('),('(t t T ψ?=的方向余弦. 推导：由对坐标的曲线积分的计算公式，有
{}??
+=+b
a
L
dt t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P )(')](),([)(')](),([),(),(ψψ??ψ?，
又曲线弧L 的切向量))('),('(t t ψ?=的方向余弦为
)
(')(')('cos 2
2
t t t ψ??α+=
，)
(')(')('cos 2
2
t t t ψ?ψβ+=
，
由对弧长的曲线积分的计算公式，有
ds y x Q y x P L
]cos ),(cos ),([βα+?
dt t t t t t t t Q t t t t t P b
a
)(')(')(')(')(')](),([)(')(')(')](),([222222ψ?ψ?ψψ?ψ??ψ?+???
?
???????+++=? {}dt t t t Q t t t P b
a
?+=)(')](),([(')](),([ψψ??ψ?，
从而有
ds y x Q y x P dy y x Q dx y x P L
L
]cos ),(cos ),([),(),(βα+=+??
.
注：可推广到两类空间曲线积分之间的联系：
()s d R Q P dz R dy Q dx P γβαΓΓcos cos cos ++=++??.
例1.计算?L
xydx ，其中L 为抛物线x y =2上从点)1,1(-A 到点)1,1(B 的一段弧.
解法(一)：取x 为参数，则OB AO L ?:，
x y AO -=:，01:→x ；x y =:，10:→x , 于是
?
?
?
+=OB
AO
L
xydx xydx xydx ??+-=10
01
)(dx x x dx x x 5
421
2
3=
=?dx x . 解法(二)：取y 为参数，则2:y x L =，11:→-y ,于是?L
xydx ??--=
==11
41
1
222)'(dy y dy y y y 5
4. 例2.计算?L
dx y 2，其中L 为：
(1).半径为a 、圆心为原点、按逆时针方向绕行的上半圆周； (2).从点)0,(a A 沿x 轴到点)0,(a B -的直线. 解：
(1). 取L 的参数方程为：θθsin ,cos a y a x ==，πθ→0:，于是
?
L
dx y 2?
?-==π
πθθθθθ0
2
30
22cos )cos 1()'cos (sin d a d a a 3033343cos cos a a -=???? ?
?-=π
θθ. (2). L 的方程为：0=y ，a a x -→:，于是002==??-a a
L
dx dx y .
注：相同的函数在同一起点沿不同路径到同一终点的第二类曲线积分值可以不同.
例3.计算?+L
dy x xydx 22，其中L 为：
(1).抛物线2x y =上从)0,0(O 到)1,1(B 的一段弧； (2).抛物线2y x =上从)0,0(O 到)1,1(B 的一段弧；
(3).有向折线OAB ，这里O 、A 、B 依次是点)0,0(，)0,1(，)1,1(. 解：
(1). L 的方程为：2x y =，10:→x ，于是
14])'(2[21
32210
22==?+?=+???dx x dx x x x x dy x xydx L
.
(2). L 的方程为：2y x =，10:→y ，于是
15])'(2[21
44
21
22
==+?=+???
dx y dy y y y y dy x xydx L
.
(3). AB OA L ?:，0:=y ，10:→x ；1:=x ，10:→y , 于是
???
+++=+AB
OA
L
dy x xydx dy x xydx dy x xydx 222222
11001
10
10
==+=???dy dx dx .
注：相同的函数在同一起点沿不同路径到同一终点的第二类曲线积分值可以相同. 例4.计算dz y x dy zy dx x 2233-+?Γ
，其中Γ是从点)1,2,3(A 到点)0,0,0(B 的直线段AB .
解：直线段AB 的方程为
1
23z
y x ==，化为常数方程得t z t y t x ===,2,3，01:→t ，于是 dz y x dy zy dx x 2233-+?Γ
4
87
87]2)3(2)2(33)3[(01301223-==?-?+?=??dt t dt t t t t t .
第三节 格林公式及其应用
引入：在一元函数积分学中，我们知道牛顿—莱布尼兹公式)()()('a F b F dx x F b
a -=?将定积
分和原函数(不定积分)联系起来，这节课我们来学习联系二元函数分的公式—格林公式，通过它可以把平面有界闭区域D 上的二重积分和区域D 的边界曲线L 上的曲线积分联系起来. 一、格林公式
1.单连通区域：若平面区域D 内任一闭曲线所围成的部分都属于D ，则称D 为平面单连通
区域，否则称为复连通区域.
注：单连通区域就是不含洞或点洞的区域，复连通区域就是含洞或点洞的区域. 2.闭曲线L 的正向：若观察者沿平面区域D 的边界曲线L 的某一方向行走时， 区域D 在他近处的那部分总在他左侧，则称这一方向为曲线L 的正向. 3.格林公式：
定理：设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，若函数),(y x P 及),(y x Q 在D 上具有一阶连续
偏导数，则有???+=????
????-??L D Qdy Pdx dxdy y P x Q ，其中L 是D 的取正向的边界曲线.
注：
1°.对于复连通区域D ，格林公式右端曲线积分应为沿区域D 的全部边界的曲线积分，且边界的方向对区域D 来说都是正向.
2°.若x Q y P =-=,，则有平面闭区域D 的面积公式?-=
L ydx xdy A 2
1
.这是因为 ???+=L
D
Qdy Pdx dxdy 2.
3°.若L 取负向，则有???????
????-??-=+D L
dxdy y P x Q Qdy Pdx . 例1.求椭圆θθsin ,cos a y a x ==所围成图形的面积A . 解：由格林公式有ab d ab d ab ab ydx xdy A L πθθθθππ==+=-=
???20
202
221)sin cos (2121. 例2.设L 是任意一条分段光滑的闭曲线，证明022=+?L
dy x xydx .
证明：令2,2x Q xy P ==，则
022=-=??-??x x y
P x Q ，于是 0022=±=+???
D
L
dxdy dy x xydx .
例3.计算??-D
y dxdy e 2
，其中D 是以)0,0(O ，)1,1(A ，)1,0(B 为顶点的三角形闭区域.
解：令2
,0y xe Q P -==，则有
2y e y
P
x Q -=??-??，于是 ????-++--==OA
y BO
AB OA y D
y dy xe dy xe dxdy e 2
2
2
)1(2
1)(211
1021
22
----=--
==??e x d e dx xe x x . 例4. 计算?
+-L y x ydx
xdy 2
2，其中L 是一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，L 的
方向为逆时针方向.
解：记闭曲线L 所围成的区域为D ，当022≠+y x 时，有22y x y P +-=
，2
2y
x x
Q +=， y
P
y x x y x Q ??=+-=??2
222. (1).当D ?)0,0(时，由格林公式得002
2==+-???
D
L dxdy y x ydx
xdy .
(2).当D ∈)0,0(时，以原点为心、以适当小的0>r 作位于D 内的圆周222:r y x l =+.记L 和l 所围成的闭区域为1D .
对复连通区域1D 应用格林公式，有022=+-?-
+l L y x ydx xdy ，即02222=+--+-??l L y
x y d x
x d y y x y d x x d y ， 从而有??
+-=+-l L y x ydx
xdy y x ydx xdy 222
2,其中l 的方向为逆时针方向. 设l 的参数方程为θθsin ,cos r y r x ==，参数θ从0到π2，于是
πθθθπ2sin cos 20
22
2222222=+=+-=+-???d r
r r y x ydx
xdy y x ydx xdy l L . 二、平面上曲线积分与路径无关的条件
定理2.若函数),(y x P 、),(y x Q 在单连通区域G 内具有一阶连续偏导数，则下面四个命题相
互等价：
(1).沿区域G 内任意光滑或逐段光滑闭曲线L ，有0=+?L
Qdy Pdx .
(2).曲线积分?+L
Qdy Pdx 与路径无关，只与位于G 内的起点A 和终点B 有关.
(3).在G 内存在一个函数),(y x u ,它的全微分为Qdy Pdx +，即Qdy Pdx du +=. (4).对G 内任意一点),(y x ，有
x
Q
y P ??=
??. 注：已知Qdy Pdx du +=，则),(y x u 可按如下公式求出：
?
+=),(),(00),(y x y x Qdy Pdx y x u
??+=y y x
x dx y x Q dx y x P 0
0),(),(0
或??+=y
y x
x dx y x Q dx y x P 0
),(),(0.
推导：由于?
+),()
,(00y x y x Qdy Pdx 与路径无关，
取RM M L 01=，有???+++=+=RM
R
M y x y x Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx y x u 000),(),(),(
?
?
+++=),()
,(),(),(0000y x y x y x y x Qdy Pdx Qdy Pdx
??+=y y x
x dx y x Q dx y x P 0
),(),(0.
取SM M L 02=，有???
+++=+=SM
S
M y x y x Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx y x u 000),(),(),(
?
?
+++=),()
,(),(),(0000y x y x y x y x Qdy Pdx Qdy Pdx
??+=x x y
y dx y x P dx y x Q 0
),(),(0.
例5．验证
2
2y
x ydx
xdy +-在右半平面)0(>x 内是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数.
解：令22y x y P +-=，22y x x Q +=， 有 y
P
y x x y x Q ??=+-=??2
222，从而 在右半平面内
22y
x ydx xdy +-是某一函数的全微分，且曲线积分?+-L y x ydx
xdy 22 与路径无关.取积分路径如图，则
?
+++-=),()
0,1(2
222),(y x dy y
x x dx y x y y x u
??
+++-++++-=),()0,(2222)
0,()0,1(2222y x x x dy y
x x
dx y x y dy y x x dx y x y ???+=++=y y
x
x y d x y dy y x x dx 020221)/()/(11
0x y x y y
arctan arctan 0==. 例6.验证：在整个xoy 面内，ydy x dx xy 22+是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数. 解：令2xy P =，y x Q 2=， 有
y
P
xy x Q ??=
=??2，从而在整个xoy 平面内 ydy x dx xy 22+是某一函数的全微分.
求法(一)：由于曲线积分?+L
ydy x dx xy 22与路径无关.取积分路径如图，则
?
+=),()
0,0(22),(y x ydy x dx xy y x u
?
?
+++=),()
0,(22)0,()0,0(22y x x x ydy x dx xy ydy x dx xy
??+=y x
ydy x dx 02
00220
2221
21y x y x y
==. 求法(二)：因为),(y x u 满足2xy x u =??，从而有)(2
1
222y y x dx xy u ?+==?，其中)(y ?是y 的待定函数，从而有
)('2y y x y u ?+=??，又已知y x y
u
2=??面，故0)('=y ?，即C y =)(?，于是， C y x y x u +=
2
22
1),(.
第四节 对面积的曲面积分
一、对面积的曲面积分的相关概念 1.引例：曲面形构件的质量
假设曲面形构件在空间所处的位置是一张有界光滑曲面∑上，其上任一点),,(z y x 的面密度为),,(z y x μ，求这曲面形构件的质量m .
(1). 大化小：将曲面片∑任意分成n 个小曲面块n S S ??,,1 ，第i 个小曲面块i S ?的质量为
i m ?，则∑==n
i i m m 1
?.
(2). 常代变：记小曲面块i S ?的面积为i S ?，在小曲面块i S ?上任取一点),,(i i i ζηξ，则有
i i i i i S m ?ζηξμ?),,(≈，
(3). 近似和：∑∑==≈=n
i i i i i n
i i S m m 1
1
),,(?ζηξμ?.
(4). 取极限：令λ为n 个小曲面块的长度的最大值，有
∑=→=n
i i i i i S m 10
),,(lim ?ζηξμλ.
抽去这个确定和式极限的具体意义，就得到了数学上的对面积的曲面积分.
2.光滑曲面：若曲面∑上各点处都有切平面，且当点在曲面上连续移动时，切平面也连续移
动，则称∑为光滑曲面.
3.对面积的曲面积分的定义：设函数),,(z y x f 在空间光滑曲面∑上有界，把∑任意分成n 块小曲面i S ?),,1(n i =，也记i S ?是第i 块小曲面块的面积，在i S ?上任取一点),,(i i i ζηξ，作乘积i i i i S f ?ζηξ),,(，有和式∑=n
i i i i i S f 1),,(?ζηξ，记λ为n 个小曲面块的长度的最大值，若极
限∑=→n
i i i i i S f 1
),,(lim ?ζηξλ总存在，则称此极限值为函数),,(z y x f 在曲面∑上对面积的曲面积分
或第一类曲面积分，记作∑??=→=n
i i i i i S f dS z y x f 1
),,(lim ),,(?ζηξλ∑
，其中),,(z y x f 叫做被积函数，
∑叫做积分曲面.
注：
1°.若),,(z y x f 在光滑曲面∑上连续，则曲面积分??∑
dS z y x f ),,(存在.
2°.对面积的曲面积分与积分曲面的方向无关，因为i S ?总为正数. 3°.对面积的曲面积分的物理意义：物质曲面的质量 ??=∑
μdS z y x m ),,(.
二、对面积的曲面积分的性质 1.线性性质：设21,k k 为常数，则
??????+=±∑
∑∑dS z y x g k dS z y x f k dS z y x g k z y x f k ),,(),,()],,(),,([2
1
2
1
. 2.积分曲面的可加性：若分片光滑曲面∑分成两片光滑曲面1∑和2∑，则
??????+=2
1
),,(),,(),,(∑
∑∑dS z y x g dS z y x f dS z y x f . 三、对面积的曲面积分的计算
定理：设光滑曲面∑：),(y x z z =在xoy 面上的投影区域为xy D ，且函数),(y x z z =在xy D 上具有一阶连续偏导数，若函数),,(z y x f 在∑上连续，则对面积的曲面积分??∑
dS z y x f ),,(存在，
且dxdy z z y x z y x f dS z y x f y x D xy
2
21)],(,,[),,(++=????∑
.
注：若∑的方程为),(z y x x =，yz D z y ∈),(，
则d y z x x z y z y x f dS z y x f z y D yz
221],),,([),,(++=????∑
.
若∑的方程为),(x z y y =，zx D x z ∈),(，则d x d z y y z x z y x f dS z y x f z x D zx
2
21]),,(,[),,(++=????∑
.
例1.计算??
∑
z
dS
，其中∑是球面2222a z y x =++被平面)0(a h h z <<=截出的顶部. 解：∑的方程为222y x a z --=，∑在xoy 面上的投影区域xy D 为
圆域：}|),{(2222h a y x y x -≤+，又2
2
2
2
21y
x a a z z y x --=
++，于是
??????--=--?--=xy
xy D D dxdy y x a a
dxdy y x a a y x a z dS 2222222221∑， 设θρθρsin ,cos ==y x ，则xy D ：πθρ20,022≤≤-≤≤h a ，故
????--=π∑
ρρ
θ200
2
22
2
1
h a d a d a z dS h
a
a a a h a ln
2)ln(2122
20
22πρπ=??????--=-. 例2.计算??∑
xyzdS ，其中∑是由平面0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围成的四面体的整个边
界曲面.
解：设OAB ?∑=1，OBC ?∑=2，OAC ?∑=3，ABC ?∑=4，则4321∑∑∑∑∑+++=，于是
??????????+++=4
3
2
1
∑
∑∑∑∑xyzdS xyzdS xyzdS xyzdS xyzdS ， 由于在1∑、2∑以及3∑上被积函数0,,==xyz )z y x (f ，故????=4
∑∑
xyzdS xyzdS .
4∑的方程为：y -x -z 1=，
在x o y 面上的投影区域xy D 为：}10,10|),{(x y x y x -≤≤≤≤ ，且3)1()1(11222
2=-+-+=++y x
z z ，于是 ??????--==xy
D dxdy y x xy xyzdS xyzdS )1(34
∑
∑
??
?--???
??
?--=--=1
0103210
10
32)1(3)1(3dx y y x x dy y x y xdx x
x
120
3)33(636)1(3104
231
03=
-+-=-=??dx x x x x dx x x .
第五节 对坐标的曲面积分
一、有向曲面的相关概念
1.双侧曲面：在光滑曲面∑上任取一点0P ，过点0P 的法线有两个方向，选定一个方向为正向，当动点P 在曲面上连续变动时，法线也连续变动.若动点P 从0P 出发沿着曲面上任意一条不越过曲面边界的封闭曲线又回到0P 时，法线的正向与出发时的正向相同，则称∑为双侧曲面，否则称为单侧曲面.
注：单侧曲面的典型例子：莫比乌斯带.
2.有向曲面：称曲面∑的法向量指向的一侧为曲面取定的侧，称取定侧的曲面为有向曲面.
3.方向不同的曲面在坐标面上的投影面积
在有向曲面∑上任取一小块曲面S ?，S ?在xoy 面上的投影区域的面积为0)(≥xy σ?，设
S ?上各点处的法向量n 与z 轴的方向余弦γcos 不变号.规定S ?在xoy 面上的投影
?
??
??=<->=0cos ,
00cos ,)(0
cos ,)()(γγσ?γσ??xy xy xy S .
注：规定曲面∑的上侧、前侧、右侧为正侧. 二、 对坐标的曲面积分的相关概念
1.引例: 稳定流体通过曲面一侧的流量.
设稳定流动且不可压缩的流体(假定密度为1)的流速场为
k z y x R j z y x Q i z y x P z y x v ),,(),,(),,(),,(++=，
∑是流速场中的一片曲面. 函数),,(z y x P 、),,(z y x Q 以及),,(z y x R 在∑上连续，求在单位时间内流向∑指定侧的流体的质量，即流量Φ.
(1).简单情形：∑是以平面区域，面积为A ，流体在∑上各点的流速为常向量.
设n 为∑的单位法向量，则在单位时间内流过这闭区域的流体组成一个底面积为A 、斜高为||v 的斜柱体.
①．当2),(π
θ<=∧v n 时，斜柱体的体积为n v A v A ?=θcos ||，从而通过∑流向所指一侧的
流量为n v A
?=Φ.
②．当2
),(π
θ==∧v n 时，显然通过∑流向所指一侧的流量为0=Φ，即n v A ?=Φ.
③．当2
),(π
θ>=∧v n 时，有0
它是流体通过闭区域A 流向-所指一侧的流量n v A
?-.
因此，无论),(∧v n 为何值，流体通过∑流向n 所指一侧的流量均为n v A
?=Φ.
(2). 一般情形：流体在空间光滑曲面∑上各点的流速v 是变化的. ①．大化小：将曲面片∑任意分成n 个小曲面块n S S ??,,1 ，
也记第i 个小曲面块i S ?的面积为i S ?.
②．常代变：记小曲面块i S ?的面积为i S ?，在小曲面块i S ?上任取
一点),,(i i i ζηξ，用该点处的流速R Q P i i i i i i i i i i i i i i i i ),,(),,(),,(),,(ζηξζηξζηξζηξ++= 代替i S ?上其它各点处的流速，以曲面∑在该点处的单位法向量
k j i n i i i i γβαcos cos cos ++=代替i S ?上其它各点处的单位法向量，从而得到通过i S ?流向指定侧的流量为
i i i i i i i i i i i i i i i i i i i S Q S Q S P S n v ?γζηξ?βζηξ?αζηξ?Φcos ),,(cos ),,(cos ),,(++=?≈.
(3). 近似和：
∑∑==?≈=n
i i i i n i i S 1
1
?ΦΦ
]cos ),,(cos ),,(cos ),,([1∑=++=n
i i i i i i i i i i i i i i i i S Q S Q S P ?γζηξ?βζηξ?αζηξ
]))(,,())(,,())(,,([1
∑=++=n
i xy i i i i zx i i i i yz i i i i S Q S Q S P ?ζηξ?ζηξ?ζηξ.
(4). 取极限：令λ为n 个小曲面块的直径的最大值，有
]))(,,())(,,())(,,([lim 1
∑=→++=n
i xy i i i i zx i i i i yz i i i i S Q S Q S P ?ζηξ?ζηξ?ζηξΦλ.
抽去这个确定和式极限的具体意义，就得到了数学上的对坐标的曲面积分.
2. 对坐标的曲面积分的定义：设函数),,(z y x P 、),,(z y x Q 以及),,(z y x R 在有向光滑曲面∑上有界，把∑任意分成n 个块小曲面块n S S ??,,1 ，也记第i 个小曲面块i S ?的面积为i S ?.记
i S ?在yoz 面上的投影为yz i S )(?；在zox 面上的投影为zx i S )(?；在xoy 面上的投影为xy i S )(?.
在小曲面块i S ?上任取一点),,(i i i ζηξ，作乘积yz i i i i S P ))(,,(?ζηξ、zx i i i i S Q ))(,,(?ζηξ、
xy i i i i S R ))(,,(?ζηξ，有和式∑=n i yz i i i i S P 1
))(,,(?ζηξ、∑=n i zx i i i i S Q 1
))(,,(?ζηξ、∑=n
i xy i i i i S R 1
))(,,(?ζηξ，
当n 个块小曲面块的直径最大值0→λ时，
(1). 若极限∑=→n
i yz i i i i S P 10
))(,,(lim ?ζηξλ总存在，则称此极限值为),,(z y x P 在有向曲面∑上对坐
标y 、z 的曲面积分，记作∑??=→=n
i yz i i i i S P dydz z y x P 1
))(,,(lim ),,(?ζηξλ∑
.
(2). 若极限∑=→n
i zx i i i i S Q 1
))(,,(lim ?ζηξλ总存在，则称此极限值为),,(z y x Q 在有向曲面∑上对坐
标z 、x 的曲面积分，记作∑??=→=n
i zx i i i i S Q dzdx z y x Q 1
))(,,(lim ),,(?ζηξλ∑
.
(3). 若极限∑=→n
i xy i i i i S R 1
))(,,(lim ?ζηξλ总存在，则称此极限值为),,(z y x R 在有向曲面∑上对坐
标x 、y 的曲面积分，记作∑??=→=n
i xy i i i i S R dxdy z y x R 1
))(,,(lim ),,(?ζηξλ∑
.
其中),,(z y x P 、),,(z y x Q 以及),,(z y x R 叫做被积函数，∑叫做积分曲面. 以上三个积分也称为第二类曲面积分，有时也写成
??????++∑∑∑dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(
??++=∑
dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(，
注：
1°.若),,(z y x P 、),,(z y x Q 以及),,(z y x R 在有向光滑曲面∑上连续，则曲面积分
??∑dydz z y x P ),,(、??∑dzdx z y x Q ),,(、??∑
dxdy z y x R ),,( 都存在.
2°. 对坐标的曲面积分的物理意义：流过有向曲面∑的流体的流量：
??++=∑
Φdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(.
三、对坐标的曲面积分的性质
1.对积分曲面的可加性：若有向光滑曲面∑可以分成两片光滑的有向曲线弧1∑和2∑，则
??++∑
Rdxdy Qdzdx Pdydz ????+++++=2
1
∑∑Rdxdy Qdzdx Pdydz Rdxdy Qdzdx Pdydz .
2.积分曲面的方向性：记-∑表示∑的反向曲面，则
????++-=++-
∑
∑Rdxdy Qdzdx Pdydz Rdxdy Qdzdx Pdydz . 四、对坐标的曲面积分的计算：化曲线积分为定积分.
定理：设有向光滑曲面∑：),(y x z z =在xoy 面上投影区域为xy D ，且函数),(y x z z =在xy D 上具有一阶连续偏导数，若函数),,(z y x R 在∑上连续，则对坐标的曲面积分??∑
dxdy z y x R ),,(存
在，且dxdy y x z y x R dxdy z y x R xy
D ????±=)],(,,[),,(∑
，其中""±由曲面∑的正侧外法线与z 轴的方
向余弦γcos 的符号决定，0cos >γ时取+号，0cos <γ时取+号.
注：若∑的方程为),(z y x x =，yz D z y ∈),(，则dydz z y z y x P dydz z y x P yz
D ????±=],),,([),,(∑
.
若∑的方程为),(x z y y =，zx D x z ∈),(，则dzdx z x z y x Q dzdx z y x Q zx
D ????±=]),,(,[),,(∑
.
五、两类曲面积分之间的联系：
设有向光滑曲面∑：),(y x z z =在xoy 面上投影区域为xy D ，且函数),(y x z z =在xy D 上具有一阶连续偏导数，若函数),,(z y x R 在∑上连续，则两类曲面积分之间的联系为：
????=∑
∑γdS z y x R dxdy z y x R cos ),,(),,(， 同理也有????=∑
∑
αdS z y x P dxdy z y x P cos ),,(),,(，????=∑
∑
βdS z y x Q dxdy z y x Q cos ),,(),,(，
其中αcos 、βcos 、γcos 为有向曲面∑上点),,(z y x 处法向量的方向余弦，因此两类曲面积分之间的联系为：
????++=++∑
∑γβαdS R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz )cos cos cos (. 推导：由对坐标的曲面积分的计算公式，有dxdy y x z y x R dxdy z y x R xy
D ????±=)],(,,[),,(∑
，又有向
曲面的法向量的方向有向为
221cos y
x
x
z
z z ++±=
α，221cos y
x
y
z
z z ++±=
β，2211cos y
x
z
z ++±-=
γ
由第一类曲面积分的计算公式，有
dxdy z z z z y x z y x R dS z y x R y x y
x D xy
2
22
2111
)]
,(,,[cos ),,(++++±-=
????∑
γ
dxdy y x z y x R xy
D ??±=)],(,,[，
从而????=∑
∑
γdS z y x R dxdy z y x R cos ),,(),,(.
同理可证
????=∑∑αdS z y x P dxdy z y x P cos ),,(),,(，????=∑
∑βdS z y x Q dxdy z y x Q cos ),,(),,(， 于是????++=++∑
∑
γβαdS R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz )cos cos cos (.
例1.计算曲面积分??++∑
dxdy z dzdx y dydz x 222，其中是长方体Ω的整个表面的外侧，其中
}0,0,0|),,{(c z b y a x z y x ≤≤≤≤≤≤=Ω. 解：把有向曲面∑分为如下六部分：
)0,0(:1b y a x c z ≤≤≤≤=∑的上侧；)0,0(0:2b y a x z ≤≤≤≤=∑的下侧；
)0,0(:3c z b y a x ≤≤≤≤=∑的前侧；)0,0(0:4c z b y x ≤≤≤≤=∑的后侧；
)0,0(:5c z a x b y ≤≤≤≤=∑的右侧；)0,0(0:6c z a x y ≤≤≤≤=∑的左侧.
先计算??∑
dydz x 2：除了3∑、4∑在yoz 面上的投影为c z b y D yz ≤≤≤≤0,0:外，其余四片曲面
在yoz 面上的投影为零，因此
bc a dydz dydz a dydz x dydz x dydz x yz
yz D D 2
2222204
3
=+=+=??????????∑
∑∑， 同理可得ac b dzdx y 22=??∑
，ab c dxdy z 22=??∑
，于是
abc c b a dxdy z dzdx y dydz x )(2
22++=++??∑
. 例2.计算曲面积分??∑
xyzdxdy ，其中∑是球面1222=++z y x 外侧在0,0≥≥y x 的部分.
解：把∑分成两部分1∑和2∑两部分，其中
)0,0,1(1:222211≥≥≤+--=y x y x y x z ∑的上侧；
)0,0,1(1:222222≥≥≤+---=y x y x y x z ∑的下侧.
且1∑和2∑在xoy 面上的投影区域都是}0,0,1|),{(22≥≥≤+=y x y x y x D xy 从而??????+=2
1
∑∑∑
xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy
????------=
xy
xy
D D dxdy y x xy dxdy y x xy 222211??
--=xy
D dxdy y x xy 2212， 设θρθρsin ,cos ==y x ，则10,2
0:≤≤≤
≤ρπ
θxy D ，于是
????-=xy
D d d xyzdxdy θρρρθθρ∑
2
2
1sin cos 2??
-=1
232
/0
1sin cos 2ρρρθθθπd d ，
令21ρ-=t ，则21t -=ρ，dt t
t d 2
1--=ρ，当0=ρ时，1=t ；1=ρ时，0=t .
从而 ??∑
xyzdxdy ??
--=1
0222
/0
)1()(sin sin 2dt t t d πθθ152
53sin 2
1
21
5322/0
=???? ??-??=t t πθ
.
例3.计算曲面积分??-+∑zdxdy dydz x z )(2，其中∑是旋转抛物面：)(21
22y x z +=介于平面
0=z 及2=z 之间的部分的下侧.
解：由两类曲面积分之间的联系，有
??????+=+=+∑
∑∑γ
α
αdxdy x z dS x z dydz x z cos cos )
(cos )()(2
22. 在曲面)(21:22y x z +=∑上，有221cos y x x ++=α，2211
cos y
x ++-=γ，故
????--+=-+∑
∑
dxdy z x x z zdxdy dydz x z ]))([()(22
.