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同济六版高等数学课后答案全集第一章习题1-1

1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A \B 及A \(A \B )的表达式.

解 A ?B =(-∞, 3)?(5, +∞),

A ?

B =[-10, -5),

A \

B =(-∞, -10)?(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5).

2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B )C =A C ?B C . 证明因为

x ∈(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ∈A C 或x ∈B C ? x ∈A C ?B C , 所以 (A ?B )C =A C ?B C .

3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明

(1)f (A ?B )=f (A )?f (B ); (2)f (A ?B )?f (A )?f (B ). 证明因为

y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y

?(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B )

? y ∈f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )=f (A )?f (B ). (2)因为

y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )? y ∈ f (A )?f (B ),

所以 f (A ?B )?f (A )?f (B ).

4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.

证明因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.

又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)?g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ? x 1=x 2.

因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.

对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射. 5. 设映射f : X →Y , A ?X . 证明:

(1)f -1(f (A ))?A ;

(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .

证明 (1)因为x ∈A ? f (x )=y ∈f (A ) ? f -1(y )=x ∈f -1(f (A )), 所以 f -1(f (A ))?A .

(2)由(1)知f -1(f (A ))?A .

另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))?存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ?f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))?A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;

解由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,3

2[∞+-.

(2)211x

y -=;

解由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)?(-1, 1)?(1, +∞). (3)211x x y --=;

解由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)?(0, 1]. (4)2

41x y -=

; 解由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2). (5)x y sin =;

解由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞). (6) y =tan(x +1);

解由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ? ? ?)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ? ?

?).

(7) y =arcsin(x -3);

解由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4]. (8)x

x y 1arctan 3+-=;

解由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)?(0, 3). (9) y =ln(x +1);

解由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞). (10)

x e y 1=.

解由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)?(0, +∞).

7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？ (1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ; (2) f (x )=x , g (x )=2x ;

(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .

(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x . 解 (1)不同. 因为定义域不同.

(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x . (3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同. (4)不同. 因为定义域不同.

8. 设????

?≥<=3||

03|| |sin |)(ππ?x x x x , 求)6(π?, )4(π?, )4(π?-, ?(-2), 并作出函数y =?(x )的图形.

解 2

1|6sin |)6(==ππ?, 22|4sin |)4(==ππ?, 22|)4sin(|)4(=-=-ππ?, 0)2(=-?. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性: (1)x x y -=1, (-∞, 1);

(2)y =x +ln x , (0, +∞).

证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1

1)(1(11212

1221121<---=---=

-x x x x x x x x y y , 所以函数x x y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的.

(2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1

0ln

)()ln ()ln (2

21221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.

10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.

证明对于?x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1-x 2. 因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以

f (-x 2)f (x 1),

这就证明了对于?x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明: (1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;

(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.

证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ),

所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则

F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.

(2)设F (x )=f (x )?g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )?g (-x )=f (x )?g (x )=F (x ),

所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则

F (-x )=f (-x )?g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )?g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数. 如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则

F (-x )=f (-x )?g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )?g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.

12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？

(1)y =x 2(1-x 2); (2)y =3x 2-x 3;

(3)22

11x

x y +-=;

(4)y =x (x -1)(x +1); (5)y =sin x -cos x +1;

(6)2

x x a a y -+=. 解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数. (2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.

(3)因为()

)(111)(1)(2

22x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.

(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.

(6)因为)(2

2)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数.

13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期: (1)y =cos(x -2);

解是周期函数, 周期为l =2π. (2)y =cos 4x ;

解是周期函数, 周期为2π=l .

(3)y =1+sin πx ;

解是周期函数, 周期为l =2. (4)y =x cos x ;

解不是周期函数.

(5)y =sin 2x .

解是周期函数, 周期为l =π. 14. 求下列函数的反函数:

(1)31+=x y 错误!未指定书签。错误!未指定书签。; 解由31+=x y 得x =y 3-1, 所以31+=x y 的反函数为y =x 3-1. (2)x

x y +-=11错误!未指定书签。;

解由x x y +-=11得y y

x +-=11, 所以x x y +-=11的反函数为x

x y +-=11.

(3)d

cx b ax y ++=(ad -bc ≠0);

解由d cx b ax y ++=得a cy b

dy x -+-=, 所以d cx b ax y ++=的反函数为a

cx b dx y -+-=.

(4) y =2sin3x ;

解由y =2sin 3x 得2arcsin 31y

x =, 所以y =2sin3x 的反函数为2arcsin 31x y =.

(5) y =1+ln(x +2);

解由y =1+ln(x +2)得x =e y -1-2, 所以y =1+ln(x +2)的反函数为y =e x -1-2.

(6)1

22+=x x y . 解由122+=x x y 得y y x -=1log 2, 所以1

22+=x x y 的反函数为x x y -=1log 2

. 15. 设函数f (x )在数集X 上有定义, 试证: 函数f (x )在X 上有界的充分必要条

件是它在X 上既有上界又有下界.

证明先证必要性. 设函数f (x )在X 上有界, 则存在正数M , 使|f (x )|≤M , 即-M ≤f (x )≤M . 这就证明了f (x )在X 上有下界-M 和上界M .

再证充分性. 设函数f (x )在X 上有下界K 1和上界K 2, 即K 1≤f (x )≤ K 2 . 取M =max{|K 1|, |K 2|}, 则 -M ≤ K 1≤f (x )≤ K 2≤M , 即 |f (x )|≤M .

这就证明了f (x )在X 上有界.

16. 在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x 1和x 2的函数值: (1) y =u 2, u =sin x , 61π=x , 3

2π=x ;

解 y =sin 2x , 41)21(6sin 221===πy ,43)23(3sin 222===πy .

(2) y =sin u , u =2x , 81π=x ,4

2π=x ;

解 y =sin2x , 224sin )82sin(1==?=ππy ,12sin )42sin(2==?=ππy . (3)u y =, u =1+x 2, x 1=1, x 2= 2;

解 21x y +=, 21121=+=y , 52122=+=y . (4) y =e u , u =x 2, x 1 =0, x 2=1;

解 2

x e y =, 12

01==e y , e e y ==2

12.

(5) y =u 2 , u =e x , x 1=1, x 2=-1.

解 y =e 2x , y 1=e 2?1=e 2, y 2=e 2?(-1)=e -2.

17. 设f (x )的定义域D =[0, 1], 求下列各函数的定义域: (1) f (x 2);

解由0≤x 2≤1得|x |≤1, 所以函数f (x 2)的定义域为[-1, 1]. (2) f (sin x );

解由0≤sin x ≤1得2n π≤x ≤(2n +1)π (n =0, ±1, ±2? ? ?), 所以函数f (sin x )的定义域为

[2n π, (2n +1)π] (n =0, ±1, ±2? ? ?) . (3) f (x +a )(a >0);

解由0≤x +a ≤1得-a ≤x ≤1-a , 所以函数f (x +a )的定义域为[-a , 1-a ]. (4) f (x +a )+f (x -a )(a >0).

解由0≤x +a ≤1且0≤x -a ≤1得: 当210≤

1)(x x x x f , g (x )=e x 错误!未指定书签。, 求f [g (x )]和g [f (x )], 并作出这两个函数的图形.

解 ???

??>-=<=1|| 11||

01|| 1)]([x x x e e e x g f , 即?????>-=<=0 10 00

1)]([x x x x g f . ??

??>=<==-1|| 1||

e 1|| )]([101)(x e x x e e x

g x f , 即?????>=<=-1|| 1|| 11

|| )]([1x e x x e x f g . 19. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角?=40?(图1-37). 当过水断面ABCD

的面积为定值S 0时, 求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式, 并指明其定义域.

40cot 0, 所以 h h S L οο40

sin 40cos 20-+=. 自变量h 的取值范围应由不等式组

h >0, 040cot 0>?-h h S ο

确定, 定义域为ο

40cot 00S h <<.

20. 收敛音机每台售价为90元, 成本为60元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过100台以上的, 每多订购1台, 售价就降低1分, 但最低价为每台75元.

(1)将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数; (2)将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数; (3)某一商行订购了1000台, 厂方可获利润多少？解 (1)当0≤x ≤100时, p =90.

令0.01(x 0-100)=90-75, 得x 0=1600. 因此当x ≥1600时, p =75. 当100

p =90-(x -100)?0.01=91-0. 01x . 综合上述结果得到

??≥<<-≤≤=1600 751600100

01.0911000

90x x x x p . (2)??

≥<<-≤≤=-=1600 151600100 01.0311000 30)60(2x x x x x x x x p P .

(3) P =31?1000-0.01?10002=21000(元).

习题1-2

1. 观察一般项x n 如下的数列{x n }的变化趋势, 写出它们的极限: (1)n

n x 2

1=; 解当n →∞时, n

n x 21=→0, 021lim =∞→n n . (2)n

x n n 1)1(-=;

解当n →∞时, n x n n 1)1(-=→0, 01)1(lim =-∞→n

n n .

(3)212n

x n +=;

解当n →∞时, 212n x n +=→2, 2)12(lim 2

2111+-=+-=n n n x n →0, 111lim =+-∞→n n n .

(5) x n =n (-1)n .

解当n →∞时, x n =n (-1)n 没有极限.

2. 设数列{x n }的一般项n n x n 2cos π

. 问n n x ∞→lim =? 求出N , 使当n >N 时, x n 与其极限之差的绝对值小于正数ε , 当ε =0.001时, 求出数N . 解 0lim =∞

→n n x .

n n n x n 1

|2cos ||0|≤=-π. ?ε >0, 要使|x n -0|<ε , 只要ε

1>n . 取]1[ε

=N ,

则?n >N , 有|x n -0|<ε .

-221|01|n n , 只须ε12>n , 即ε

1>n . 证明因为?ε>0, ?]1[ε

=N , 当n >N 时, 有ε<-|01|2n , 所以01lim 2=∞→n n . (2)2

31213lim =++∞→n n n ;

分析要使ε<<+=-++n n n n 41)12(21|231213|, 只须ε

41, 即ε41>n . 证明因为?ε>0, ?]41[ε=N , 当n >N 时, 有ε<-++|231213|n n , 所以231213lim =++∞→n n n .

a n a n n a n n a n n a n 22222222)(|1|, 只须ε2a n >.

证明因为?ε>0, ?][2ε

a N =, 当?n >N 时, 有ε<-+|1|22n a n , 所以

n n . 分析要使|0.99 ? ? ? 9-1|ε<=-1

101n , 只须1101-n <ε , 即ε1lg

1+>n . 证明因为?ε>0, ?]1lg 1[ε

+=N , 当?n >N 时, 有|0.99 ? ? ? 9-1|<ε , 所以

19 999.0lim =???∞→43

21个

n n . 4. a u n n =∞

→lim , 证明||||lim a u n n =∞

→. 并举例说明: 如果数列{|x n |}有极限, 但数列

{x n }未必有极限.

证明因为a u n n =∞

→lim , 所以?ε>0, ?N ∈N , 当n >N 时, 有ε<-||a u n , 从而

||u n |-|a ||≤|u n -a |<ε .

这就证明了||||lim a u n n =∞

→.

数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限. 例如1|)1(|lim =-∞

→n n , 但n n )1(lim -∞

→不

存在.

5. 设数列{x n }有界, 又0lim =∞

→n n y , 证明: 0lim =∞

→n n n y x .

证明因为数列{x n }有界, 所以存在M , 使?n ∈Z , 有|x n |≤M .

又0lim =∞→n n y , 所以?ε>0, ?N ∈N , 当n >N 时, 有M y n ε<||. 从而当n >N 时, 有

εε=?<≤=-M M y M y x y x n n n n n |||||0|,

所以0lim =∞

→n n n y x .

6. 对于数列{x n }, 若x 2k -1→a (k →∞), x 2k →a (k →∞), 证明: x n →a (n →∞).

证明因为x 2k -1→a (k →∞), x 2k →a (k →∞), 所以?ε>0, ?K 1, 当2k -1>2K 1-1时, 有| x 2k -1-a |<ε ; ?K 2, 当2k >2K 2时, 有|x 2k -a |<ε .

取N =max{2K 1-1, 2K 2}, 只要n >N , 就有|x n -a |<ε . 因此x n →a (n →∞).

习题1-3

1. 根据函数极限的定义证明: (1)8)13(lim 3

=-→x x ;

分析因为

|(3x -1)-8|=|3x -9|=3|x -3|, 所以要使|(3x -1)-8|<ε , 只须ε3

1|3|<-x .

证明因为?ε>0, ?εδ3

1=, 当0<|x -3|<δ时, 有

|(3x -1)-8|<ε , 所以8)13(lim 3

|(5x +2)-12|=|5x -10|=5|x -2|, 所以要使|(5x +2)-12|<ε , 只须ε51|2|<-x .

证明因为?ε >0, ?εδ5

=, 当0<|x -2|<δ时, 有 |(5x +2)-12|<ε , 所以12)25(lim 2

|)2(||2|244)4(2422--=+=+++=--+-x x x x x x x , 所以要使ε<--+-)4(2

x x , 只须ε<--|)2(|x .

证明因为?ε >0, ?εδ=, 当0<|x -(-2)|<δ时, 有

ε<--+-)4(242x x , 所以424lim

证明因为?ε >0, ?εδ21=, 当δ<--<|)2

→x x x . 2. 根据函数极限的定义证明:

||21212121x x x x x x =-+=-+, 所以要使ε<-+212133x x , 只须ε<3||21x , 即321||ε

>x . 证明因为?ε >0, ?321ε

=X , 当|x |>X 时, 有

ε<-+212133x x , 所以2

121lim 33

+∞→x x x . (2)0sin lim =+∞→x

所以要使ε<-0sin x x , 只须ε

4. 问δ等于多少, 使当|x -2|<δ时, |y -4|<0.001？解由于当x →2时, |x -2|→0, 故可设|x -2|<1, 即1

|x 2-4|=|x +2||x -2|<5|x -2|<0.001, 只要0002.05

001.0|2|=<-x .

取δ=0.0002, 则当0<|x -2|<δ时, 就有|x 2-4|<0. 001.

4. 当x →∞时, 13

122

→+-=x x y , 问X 等于多少, 使当|x |>X 时, |y -1|<0.01?

解要使01.03

4131222

<+=-+-x x x , 只要397301.04||=->x , 故397=X .

5. 证明函数f (x )=|x |当x →0时极限为零.

证明因为

|f (x )-0|=||x |-0|=|x |=|x -0|, 所以要使|f (x )-0|<ε, 只须|x |<ε.

因为对?ε>0, ?δ=ε, 使当0<|x -0|<δ, 时有 |f (x )-0|=||x |-0|<ε, 所以0||lim 0

=→x x .

6. 求,)(x

x x f = x x x |

|)(=?当x →0时的左﹑右极限, 并说明它们在x →0时的极

限是否存在. 证明因为

11lim lim )(lim 0

00===---→→→x x x x x x f ,

11lim lim )(lim 0

00===+++→→→x x x x x x f ,

|lim )(lim 000-=-==--

-→→→x

x x x x x x x ?,

1lim |

|lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x x x ?,

7. 证明: 若x →+∞及x →-∞时, 函数f (x )的极限都存在且都等于A , 则

→)(lim , 所以?ε>0, ?X 1>0, 使当x <-X 1时, 有|f (x )-A |<ε ;

?X 2>0, 使当x >X 2时, 有|f (x )-A |<ε .

取X =max{X 1, X 2}, 则当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε , 即A x f x =∞

→)(lim .

8. 根据极限的定义证明: 函数f (x )当x →x 0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.

证明先证明必要性. 设f (x )→A (x →x 0), 则?ε>0, ?δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ 时, 有

|f (x )-A |<ε .

因此当x 0-δ

这说明f (x )当x →x 0时左右极限都存在并且都等于A . 再证明充分性. 设f (x 0-0)=f (x 0+0)=A , 则?ε>0, ?δ1>0, 使当x 0-δ10, 使当x 0

取δ=min{δ1, δ2}, 则当0<|x -x 0|<δ 时, 有x 0-δ1

即f (x )→A (x →x 0).

9. 试给出x →∞时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.

解 x →∞时函数极限的局部有界性的定理: 如果f (x )当x →∞时的极限存在, 则存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|

证明设f (x )→A (x →∞), 则对于ε =1, ?X >0, 当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε =1. 所以 |f (x )|=|f (x )-A +A |≤|f (x )-A |+|A |<1+|A |.

这就是说存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|

1. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之. 解不一定.

例如, 当x →0时, α(x )=2x , β(x )=3x 都是无穷小, 但32)()(lim

92+-=x x y 当x →3时为无穷小; (2)x

x y 1sin =当x →0时为无穷小.

证明 (1)当x ≠3时|3|3

9||2

-=+-=x x x y . 因为?ε>0, ?δ=ε , 当0<|x -3|<δ时, 有

(2)当x ≠0时|0||1sin |||||-≤=x x

x y . 因为?ε>0, ?δ=ε , 当0<|x -0|<δ时, 有

εδ=<-≤=|0||1sin |||||x x

x y 21+=为当x →0时的无穷大. 问x 应满足什么条件,

能使|y |>104？

证明分析2||11221||-≥+=+=x x x x y , 要使|y |>M , 只须M x >-2|

M δ, 使当0<|x -0|<δ时, 有M x x >+21,

所以当x →0时, 函数x

x y 21+=是无穷大.

取M =104, 则21014+=δ. 当2

101|0|04+<-104. 4. 求下列极限并说明理由: (1)x

x x 12lim +∞→;

(2)x

x x --→11lim 20. 解 (1)因为x

x x 1212+=+, 而当x →∞ 时x 1是无穷小, 所以212lim =+∞→x x x .

(2)因为x x

x +=--1112(x ≠1), 而当x →0时x 为无穷小, 所以111lim 20=--→x x x .

6. 函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内是否有界？这个函数是否为当x →+∞ 时的无穷大？为什么？

解函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内无界.

这是因为?M >0, 在(-∞, +∞)内总能找到这样的x , 使得|y (x )|>M . 例如

y (2k π)=2k π cos2k π=2k π (k =0, 1, 2, ? ? ?),

当k 充分大时, 就有| y (2k π)|>M .

当x →+∞ 时, 函数y =x cos x 不是无穷大.

这是因为?M >0, 找不到这样一个时刻N , 使对一切大于N 的x , 都有|y (x )|>M . 例如

0)2

2cos()22()22(=++=+ππππππk k k y (k =0, 1, 2, ? ? ?),

对任何大的N , 当k 充分大时, 总有N k x >+=2

2ππ, 但|y (x )|=0

7. 证明: 函数x

x y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x →0+时的无穷

大.

证明函数x

x y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界. 这是因为

?M >0, 在(0, 1]中总可以找到点x k , 使y (x k )>M . 例如当

21ππ+=k x k (k =0, 1, 2, ? ? ?)

时, 有

2)(ππ+=k x y k ,

当k 充分大时, y (x k )>M .

当x →0+ 时, 函数x

x y 1sin 1=不是无穷大. 这是因为

?M >0, 对所有的δ>0, 总可以找到这样的点x k , 使0

k x k 21=(k =0, 1, 2, ? ? ?),

当k 充分大时, x k <δ, 但y (x k )=2k πsin2k π=0

习题1-5

1. 计算下列极限:

(1)3

5lim 22-+→x x x ; 解 93

25235lim

222-=-+=-+→x x x . (2)1

3lim 22

3+-→x x x ; 解 01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x . (3)1

12lim 221-+-→x x x x ; 解 02011lim )1)(1()1(lim 1

12lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x .

(4)x

x x x x x 2324lim

2230++-→; 解 2

123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x . (5)h

x h x h 2

20)(lim -+→;

解 x h x h

x h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→. (6))112(lim 2

x x x +-∞→;

解 21lim 1lim

2)112(lim 22

=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x . (7)1

21lim 22---∞→x x x x ; 解 2111211lim 121lim 2222

42--+∞→x x x x x ; 解 01

3lim 2

=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数, 极限为零). 或 01211

1lim 13lim 42322

-+=--+∞→∞→x x x x x x x x x x . (9)4

586lim 22

4+-+-→x x x x x ;

解 3

2142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 442

24=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x .

(10))12)(11(lim 2x

x x -+∞→; 解 221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 2

2=?=-?+

=-+∞→∞→∞→x x x x x x x . (11))21 41211(lim n

n +???+++∞→;

解 221

1)21(1lim )21 41211(lim 1

=--=+???++++∞→∞→n n n n .

解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 2

2=-=-=-+???+++∞→∞→∞→n n n n n n n n n n . (13)3

=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同, 极限为最高次项系数之比).

或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim 3

=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n . (14))1311(lim 31x x x ---→;

解 )

1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(

lim 2122

131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112lim

1-=+++-=→x x x x . 2. 计算下列极限: (1)2

232)2(2lim -+→x x x x ; 解因为016

02)2(lim 2322==+-→x x x x , 所以∞=-+→2232)2(2lim

x x x x . (2)1

2lim 2

+∞→x x x ; 解 ∞=+∞→1

2lim 2x x x (因为分子次数高于分母次数). (3))12(lim 3+-∞

→x x x .

解 ∞=+-∞

→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数).

3. 计算下列极限:

同济大学高等数学习题答案共49页

习题一解答 1.在1,2,3,4,四个数中可重复地先后取两个数，写出这个随机事件的样本空间及事件A=“一个数是另一个数的2倍”，B=“两个数组成既约分数”中的样本点。解Ω={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1)，（3，2），（3，3），（3，4），（4，1）（4，2），（4，3），（4，4）}； A={（1，2），（2，1），（2，4），（4，2）}； B={（1，2），（1，3}，（1，4），（2，1），（2，3），（3，1)，（3，2），（3，4），（4，1）（4，3）} 2. 在数学系学生中任选一名学生．设事件A＝{选出的学生是男生}，B＝{选出的学生是三年级学生}，C＝{选出的学生是科普队的}． (1)叙述事件ABC的含义． (2)在什么条件下，ABC＝C成立？ (3)在什么条件下，C?B成立？解 (1)事件ABC的含义是，选出的学生是三年级的男生，不是科普队员． (2)由于ABC?C，故ABC＝C当且仅当C?ABC．这又当且仅当C?AB，即科普队员都是三年级的男生． (3)当科普队员全是三年级学生时，C是B的子事件，即C?B成立． 3.将下列事件用A，B，C表示出来：（1）只有C发生；

（2）A 发生而B ，C 都不发生；（3）三个事件都不发生；（4）三个事件至少有一个不发生；（5）三个事件至少有一套（二个不发生）发生；（6）三个事件恰有二个不发生；（7）三个事件至多有二个发生；（8）三个事件中不少于一个发生。解（1）ABC ；（2）ABC ：（3）ABC （4）A B C U U ；（5）AB BC AC U U ；（6）ABC ABC ABC U U ；（7）ABC ；（8）A B C U U 。 4.设 A ， B ， C 是三个随机事件，且 =====)()(,4 1)()()(CB P AB P C P B P A p 0，81 )(=AC P ,求A ，B ，C 中至少有一个发生的概率．解设D ＝{A ，B ，C 中至少有一个发生}，则D ＝A ＋B ＋C ，于是 P (D )＝P (A ＋B ＋C ) ＝P (A )＋P (B )＋P (C )－P (AB )－P (BC )－P (AC )＋P (ABC )．又因为

高等数学同济第七版7版下册习题全解

数，故 /, =Jj( x2 + y1)3d(j =2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)：从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意：如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 )JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr +jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，， A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的WK域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n"

jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A

高等数学同济第七版7版下册习题全解

第十章重积分9 5 y 2 D2 -1 O i T -2 图 10 - 1 数，故 /, = Jj( x 2 + y 1 ) 3 d(j = 2jj ( x2 + y 1 )3 dcr. fh i)i 又由于 D 3关于 ; t 轴对称，被积函数 ( / + r2) 3关于 y 是偶函数，故jj( x2 + j2 ) 3dcr = 2j( x2+ y2) 3 da =2/ 2 . Dy 1)：从而得 /, = 4/ 2 . ( 2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意：如果积分区域关于 ^ 轴对称，而被积函数 / ( x, y) 关于 y 是奇函数，即 fix, -y) = -f(x,y) , PJ jf/ ( x, y)da = 0； D 如果积分区域 D 关于： K 轴对称，而被积函数 / ( x， y) 关于： c 是奇函数，即 / ( ~x, y) = - / ( 太， y) ，则 = 0. D ? 3. 利用二重积分定义证明： ( 1 ) jj da = ( 其中 ( 7 为的面积 ) ； IJ (2) JJ/c/( X , y) drr = Aj | y’ (

A: ， y) do■ ( 其中 A ：为常数 ) ； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中/) = /)! U /) 2，， A 为两个 I) b \ lh 尤公共内点的 WK 域 . 证 ( 丨 ) 由于被枳函数. / U, y) = 1 , 故山二 t 积分定义得n "

9 6 一、《高等数学》 (第七版 )下册习题全解 jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A

高等数学同济第六版上册课后答案

2018年湖南省怀化市中考物理试卷一、选择区 1. 下图中符合安全用电原则的是（） A. 雷雨时在大树下躲雨 B. 在高压线下钓鱼 C. 在同一插座上同时使用多个大功率用电器 D. 发现有人触电时立即切断电源【答案】D 【解析】A、雷雨时，不可以在大树下避雨，要注意防雷电，故A错误； B、高压线下钓鱼，鱼线很容易接触到高压线，容易发生触电事故，故B错误； C、在同一个插座上同时使用了多个大功率的用电器，由可得，会使干路中的电流过大，容易发生电路火灾，故C错误； D、当发现有人触电时，应该立即采取的措施是：迅速切断电源或用绝缘体挑开电线，因为人体是导体，不能用手拉开电线和触电的人，故D正确。故选：D。点睛：本题考查日常安全用电常识，关键是了解安全用电的基本原则“不接触低压带电体，不靠近高压带电体。” 2. 在北京8分钟的节目中，憨态可掬的大熊猫令人忍俊不禁。这只大熊猫是用一种特制的铝合金材料制成的，它的高度为2.35m，质量却只有10kg，它利用了铝合金的哪一种性质（） A. 质量小 B. 密度小 C. 比热容小 D. 导热性能好【答案】B 【解析】解：由题知，大熊猫是用一种特殊的铝合金材料制成的，它的高为2.35m，质量却只有10kg，也就是说它的体积很大，质量很小，根据ρ=可知，材料的体积相同时，质量越小，密度越小。所以它利用

了铝合金密度小的性质。故ACD错误，B正确。故选：B。点睛：密度是物质的一种特性，不同物质密度一般不同，常用密度来鉴别物质。解答本题时，要紧扣大熊猫高度大，质量小的特点进行分析。 3. 下列事例中不是利用大气压工作的是（） A. 用塑料吸管吸饮料 B. 用抽水机抽水 C. 用注射器将药液注入病人体内 D. 钢笔吸墨水【答案】C 【解析】解：A、用吸管吸饮料时，吸管内的气压小于外界大气压，饮料在外界大气压的作用下，被压入口腔内。利用了大气压。故A不合题意； B、抽水机抽水，通过活塞上移或叶轮转动使抽水机内水面上方的气压减小，水在外界大气压的作用下，被压上来，利用了大气压，故B不合题意。 C、用注射器将药液注入病人体内是利用人的压力将药液注入人体肌肉的，不是利用大气压来工作的，故C 符合题意。 D、用力一按橡皮囊，排出了里面的空气，当其恢复原状时，橡皮囊内部气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下，墨水被压入钢笔内，利用了大气压。故D不合题意。故选：C。点睛：本题考查了大气压的应用，此类问题有一个共性：通过某种方法，使设备内部的气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下出现了这种现象。 4. 自然界中有些能源一旦消耗就很难再生，因此我们要节约能源。在下列能源中，属于不可再生的能源的是 A. 水能 B. 风能 C. 太阳能 D. 煤炭【答案】D D、煤炭属于化石燃料，不能短时期内从自然界得到补充，属于不可再生能源，故D符合题意。

高等数学同济课后答案

总习题一 1、在“充分”、“必要”与“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内: (1)数列{x n }有界就是数列{x n }收敛的________条件、数列{x n }收敛就是数列{x n }有界的________的条件、 (2)f (x )在x 0的某一去心邻域内有界就是 )(lim 0 x f x x →存在的________条件、 )(lim 0 x f x x →存在就是f (x ) 在x 0的某一去心邻域内有界的________条件、 (3) f (x )在x 0的某一去心邻域内无界就是 ∞=→)(lim 0 x f x x 的________条件、 ∞=→)(lim 0 x f x x 就是f (x ) 在x 0的某一去心邻域内无界的________条件、 (4)f (x )当x →x 0时的右极限f (x 0+)及左极限f (x 0-)都存在且相等就是)(lim 0 x f x x →存在的________条件、解 (1) 必要, 充分、 (2) 必要, 充分、 (3) 必要, 充分、 (4) 充分必要、 2、选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论: 设f (x )=2x +3x -2, 则当x →0时, 有( ). (A )f (x )与x 就是等价无穷小; (B )f (x )与x 同阶但非等价无穷小; (C )f (x )就是比x 高阶的无穷小; (D )f (x )就是比x 低阶的无穷小. 解因为x x x x x f x x x x x x x x 13lim 12lim 232lim ) (lim 0000-+-=-+=→→→→ 3ln 2ln ) 1ln(lim 3ln )1ln(lim 2ln 00+=+++=→→u u t t u t (令2x -1=t , 3x -1=u ) . 所以f (x )与x 同阶但非等价无穷小, 故应选B . 3. 设f (x )的定义域就是[0, 1], 求下列函数的定义域: (1) f (e x ); (2) f (ln x ); (3) f (arctan x ); (4) f (cos x )、解 (1)由0≤e x ≤1得x ≤0, 即函数f (e x )的定义域为(-∞, 0]. (2) 由0≤ ln x ≤1得1≤x ≤e , 即函数f (ln x )的定义域为[1, e ]、 (3) 由0≤ arctan x ≤1得0≤x ≤tan 1, 即函数f (arctan x )的定义域为[0, tan 1]、 (4) 由0≤ cos x ≤1得2 222π πππ+≤≤- n x n (n =0, ±1, ±2, ? ? ?), 即函数f (cos x )的定义域为[2 ,2 2ππππ+-n n ], (n =0, ±1, ±2, ? ? ?)、 4、设

同济版高数课后习题答案1-9

习题1-9 1. 求函数6 33)(2 2 3-+--+= x x x x x x f 的连续区间, 并求极限)(lim 0 x f x →, )(lim 3 x f x -→及)(lim 2 x f x →. 解 ) 2)(3()1)(1)(3(6 33)(2 2 3 -++-+= -+--+= x x x x x x x x x x x f , 函数在(-∞, +∞)内除点x =2和x =-3外是连续的, 所以函数f (x )的连续区间为(-∞, -3)、(-3, 2)、(2, +∞). 在函数的连续点x =0处, 2 1)0()(lim 0 = =→f x f x . 在函数的间断点x =2和x =-3处, ∞ =-++-+=→→) 2)(3()1)(1)(3(lim )(lim 2 2 x x x x x x f x x , 5 82 ) 1)(1(lim )(lim 3 3 - =-+-=-→-→x x x x f x x . 2. 设函数f (x )与g (x )在点x 0连续, 证明函数 ?(x )=max{f (x ), g (x )}, ψ(x )=min{f (x ), g (x )} 在点x 0也连续. 证明已知)()(lim 00 x f x f x x =→, )()(lim 00 x g x g x x =→. 可以验证 ] |)()(|)()([21 )(x g x f x g x f x -++=?, ] |)()(|)()([2 1 )(x g x f x g x f x --+=ψ. 因此 ] |)()(|)()([2 1 )(00000x g x f x g x f x -++=?, ] |)()(|)()([2 1 )(00000x g x f x g x f x --+=ψ. 因为 ] |)()(|)()([2 1lim )(lim 0 x g x f x g x f x x x x x -++=→→? ] |)(lim )(lim |)(lim )(lim [210 x g x f x g x f x x x x x x x x →→→→-++= ] |)()(|)()([2 1 0000x g x f x g x f -++==?(x 0), 所以?(x )在点x 0也连续. 同理可证明ψ(x )在点x 0也连续. 3. 求下列极限: (1)5 2lim 2 +-→x x x ;

高等数学同济课后答案

总习题一 1. 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格: (1)数列{x n }有界是数列{x n }收敛的________条件. 数列{x n }收敛是数列{x n }有界的________的条件. (2)f (x )在x 0的某一去心邻域有界是)(lim 0 x f x x →存在的________条件. )(lim 0 x f x x →存在是 f (x )在x 0 的某一去心邻域有界的________条件. (3) f (x )在x 0的某一去心邻域无界是∞=→)(lim 0x f x x 的________条件. ∞=→)(lim 0 x f x x 是f (x )在x 0 的某一去心邻域无界的________条件. (4)f (x )当x →x 0时的右极限f (x 0+)及左极限f (x 0-)都存在且相等是)(lim 0 x f x x →存在的________条件. 解 (1) 必要, 充分. (2) 必要, 充分. (3) 必要, 充分. (4) 充分必要. 2. 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论: 设f (x )=2x +3x -2, 则当x →0时, 有( ). (A )f (x )与x 是等价无穷小; (B )f (x )与x 同阶但非等价无穷小; (C )f (x )是比x 高阶的无穷小; (D )f (x )是比x 低阶的无穷小. 解因为x x x x x f x x x x x x x x 13lim 12lim 232lim )(lim 0000-+-=-+=→→→→ 3ln 2ln ) 1ln(lim 3ln )1ln(lim 2ln 00+=+++=→→u u t t u t (令2x -1=t , 3x -1=u ) . 所以f (x )与x 同阶但非等价无穷小, 故应选B . 3. 设f (x )的定义域是[0, 1], 求下列函数的定义域: (1) f (e x ); (2) f (ln x ); (3) f (arctan x ); (4) f (cos x ). 解 (1)由0≤e x ≤1得x ≤0, 即函数f (e x )的定义域为(-∞, 0]. (2) 由0≤ ln x ≤1得1≤x ≤e , 即函数f (ln x )的定义域为[1, e ]. (3) 由0≤ arctan x ≤1得0≤x ≤tan 1, 即函数f (arctan x )的定义域为[0, tan 1]. (4) 由0≤ cos x ≤1得2 222π πππ+≤≤- n x n (n =0, ±1, ±2, ? ? ?), 即函数f (cos x )的定义域为[2 ,2 2ππππ+-n n ], (n =0, ±1, ±2, ? ? ?). 4. 设

同济大学版高等数学课后习题答案第2章

习题2-1 1. 设物体绕定轴旋转, 在时间间隔[0, t ]内转过的角度为θ, 从而转角θ是t 的函数: θ=θ(t ). 如果旋转是匀速的, 那么称t θω=为该物体旋转的角速度, 如果旋转是非匀速的, 应怎样确定该物体在时刻t 0的角速度？解在时间间隔[t 0, t 0+?t ]内的平均角速度ω为 t t t t t ?-?+=??=) ()(00θθθω, 故t 0时刻的角速度为 )() ()(lim lim lim 000000t t t t t t t t t θθθθωω'=?-?+=??==→?→?→?. 2. 当物体的温度高于周围介质的温度时, 物体就不断冷却, 若物体的温度T 与时间t 的函数关系为T =T (t ), 应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？解物体在时间间隔[t 0, t 0+?t ]内, 温度的改变量为 ?T =T (t +?t )-T (t ), 平均冷却速度为 t t T t t T t T ?-?+=??) ()(, 故物体在时刻t 的冷却速度为 )() ()(lim lim 00t T t t T t t T t T t t '=?-?+=??→?→?. 3. 设某工厂生产x 单位产品所花费的成本是f (x )元, 此函数f (x )称为成本函数, 成本函数f (x )的导数f '(x )在经济学中称为边际成本. 试说明边际成本f '(x )的实际意义. 解 f (x +?x )-f (x )表示当产量由x 改变到x +?x 时成本的改变量. x x f x x f ?-?+) ()(表示当产量由x 改变到x +?x 时单位产量的成本. x x f x x f x f x ?-?+='→?) ()(lim )(0表示当产量为x 时单位产量的成本. 4. 设f (x )=10x 2, 试按定义, 求f '(-1). 解 x x x f x f f x x ?--?+-=?--?+-=-'→?→?2 200)1(10)1(10lim )1()1(lim )1( 20)2(lim 102lim 1002 0-=?+-=??+?-=→?→?x x x x x x .

高等数学同济第七版上册课后答案

习题1-10 1.证明方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间. 证明设f(x)=x5-3x-1,则f(x)是闭区间[1, 2]上的连续函数. 因为f(1)=-3,f(2)=25,f(1)f(2)<0,所以由零点定理,在(1, 2)内至少有一点ξ(1<ξ<2),使f(ξ)=0,即x=ξ是方程x5-3x=1的介于1和2之间的根. 因此方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间. 2.证明方程x=a sin x+b,其中a>0,b>0,至少有一个正根,并且它不超过a+b. 证明设f(x)=a sin x+b-x,则f(x)是[0,a+b]上的连续函数. f(0)=b,f(a+b)=a sin (a+b)+b-(a+b)=a[sin(a+b)-1]≤0. 若f(a+b)=0,则说明x=a+b就是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根; 若f(a+b)<0,则f(0)f(a+b)<0,由零点定理,至少存在一点ξ∈(0,a+b),使f(ξ)=0,这说明x=ξ也是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根. 总之,方程x=a sin x+b至少有一个正根,并且它不超过a+b. 3.设函数f(x)对于闭区间[a,b]上的任意两点x、y,恒有 |f(x)-f(y)|≤L|x-y|,其中L为正常数,且f(a)?f(b)<0.证明:至少有一点ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0. 证明设x0为(a,b)内任意一点.因为

0||lim |)()(|lim 0000 0=-≤-≤→→x x L x f x f x x x x , 所以 0|)()(|lim 00 =-→x f x f x x , 即 )()(lim 00 x f x f x x =→. 因此f (x )在(a , b )内连续. 同理可证f (x )在点a 处左连续, 在点b 处右连续, 所以f (x )在[a , b ]上连续. 因为f (x )在[a , b ]上连续, 且f (a )?f (b )<0, 由零点定理, 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 4. 若f (x )在[a , b ]上连续, a

同济六版高等数学课后答案

同济六版高等数学课后答案高等数学是理工类专业重要的基础课程，也是硕士研究生入学考试的重点科目。同济大学数学系主编的《高等数学》是套深受读者欢迎并多次获奖的优秀作品。2007年同济大学数学系推出了《高等数学》第六版，该教材保持了原来的优点、特点，进一步强调提高学生的综合素质并激发学生的创新能力。第一章习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A\B 及A\(A\B)的表达式. 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B)C =AC ?BC . . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f(A ?B)=f(A)?f(B); (2)f(A ?B)?f(A)?f(B). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中IX 、IY 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有IX x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有IY y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 5. 设映射f : X →Y , A ?X . 证明: (1)f -1(f(A))?A ; (2)当f 是单射时, 有f -1(f(A))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;. (2)211x y -=; (3)211x x y --=;(4)241x y -=;(5)x y sin =; (6) y =tan(x +1);(7) y =arcsin(x -3); (8) x x y 1 arctan 3+-=;. (9) y =ln(x +1);

同济版高等数学课后习题解析

书后部分习题解答 P21页 3．（3）n n n b b b a a a ++++++++∞→ 2211lim （1,1<x ，)(211n n n x a x x += + 证：由题意，0>n x ，a x a x x a x x n n n n n =??≥+= +221)(211（数列有下界）又02)(212 1≤-=-+=-+n n n n n n n x x a x x a x x x （因a x n ≥+1）（数列单调减少）由单调有界定理，此数列收敛；记b x n n =∞ →lim ，对)(211n n n x a x x += +两边取极限，得)(21b a b b +=，解得a b =（负的舍去），故此数列的极限为a . P35页4.（8）极限=-++-+→211)1()1(lim x n x n x n x 211) 1()1()]1(1[lim -++--++→x n x n x n x 21 221111)1()1()1()1()1(1lim -++--+-+-+=+++→x n x n x x C x C n n n x 2 ) 1(21+= =+n n C n (若以后学了洛必达法则（00型未定型），则211) 1()1(lim -++-+→x n x n x n x 2 ) 1(2)1(lim )1(2)1())1(lim 111+= +=-+-+=-→→n n nx n x n x n n x n x ）书后部分习题解答2 P36页 8.已知当0→x 时，1cos ~1)1(3 12--+x ax ，求常数a .

同济版高数课后习题答案.doc

习题 1 9 1. 求函数 f ( x) x3 3x 2 x 3 的连续区间 , 并求极限 lim f ( x) , lim f ( x) 及 lim f (x) . x2 x 6 x 0 x 3 x 2 解 f ( x) x 3 3x 2 x 3 (x 3)( x 1)( x 1) 函数在 ( , ) 内除点x 2 和x3 x 2 x 6 ( x 3)( x 2) , 外是连续的 , 所以函数 f ( x)的连续区间为( , 3) 、( 3, 2) 、 (2, ). 在函数的连续点x 0 处, lim f ( x) f (0) 1 . x 0 2 在函数的间断点x 2 和x 3 处, lim f (x) lim (x 3)( x 1)( x 1) , lim f ( x) lim ( x 1)( x 1) 8 . x 2 x 2 ( x 3)(x 2) x 3 x 3 x 2 5 2.设函数 f ( x)与 g( x)在点 x0连续,证明函数 ( x) max{f ( x),g( x)},( x) min{ f ( x),g( x)} 在点 x0也连续. 证明已知 lim f ( x) f ( x0 ) , lim g (x) g( x0 ) . x x0 x x0 可以验证 ( x) ( x) 1 [ f ( x) 2 1 [ f (x) 2 g( x) | f (x)g( x) |] , g( x) | f (x)g ( x)|] . 因此( x0 ) 1 [ f ( x0 ) g (x0 ) 2 ( x ) 1 [ f ( x ) g (x ) 0 0 2 因为| f ( x0 )g (x0 ) | ] , | f ( x ) g (x )|] . lim ( x) lim 1 [ f (x) g( x) | f (x) g (x)| ] x x0 x x0 2 1 f ( x) lim g( x) | lim f ( x) lim g (x)|] [ lim 2 x x0 x x0 x x0 x x0 1 [ f ( x0 ) g ( x0 ) | f ( x0 ) g ( x0 )| ] 0 2 ( x ), 所以( x) 在点x0也连续 . 同理可证明( x) 在点x0也连续 . 3.求下列极限 : (1) lim x 2 2x 5 ; x 0

高等数学(同济第七版下)课后习题及解答

1.设u =a -b +2c ，v =-a +3b -c .试用a ，b ，c 表示2u -3v . 解2u -3v =2（a -b +2c ）-3（-a +3b -c ） =5a -11b +7c . 2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形. 证如图8-1，设四边形ABCD 中AC 与BD 交于M ，已知 AM =MC ，MB DM . 故 DC DM MC MB AM AB . 即DC AB //且｜AB |=|DC |，因此四边形 ABCD 是平行四边形． 3.把△ABC 的BC 边五等分，设分点依次为D 1，D 2，D 3，D 4，再把各分点与点A 连接.试以AB =c,BC =a 表向量 A D 1,A D 2,A D 3,A D 4 .证如图8-2，根据题意知 5 11 BD a, 5 12 1D D a, 5 13 2D D a, 5 14 3D D a, 故A D 1=-（ 1BD AB ）=-5 1 a-c

A D 2=-（2BD A B ）=-52 a-c A D 3=-（3BD A B ）=-53 a-c A D 4 =-（4BD AB ）=-5 4 a-c. 4.已知两点M 1（0，1，2）和M 2（1，-1，0）.试用坐标表示式表示向量 21M M 及-221M M . 解 21M M =（1-0，-1-1，0-2）=（1，-2，-2）. -221M M =-2（1，-2，-2）=（-2，4，4）. 5.求平行于向量a =（6，7，-6）的单位向量. 解向量a 的单位向量为 a a ，故平行向量a 的单位向量为 a a = 11 1（6，7，-6）= 11 6,117,116，其中 11)6(7 6 2 2 2 a . 6.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （2，3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3，1）. 解A 点在第四卦限，B 点在第五卦限，C 点在第八卦限，D 点在第三卦限. 7.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （3，4，0）， B （0，4，3）， C （3，0，0）， D （0，

微积分习题答案上海同济大学数学

微积分习题答案Chapter-3_上海同济大学数学三 1．解：(1) 2 00000()12()lim lim lim .2t t t t s t t t t t v v g v gt t t t ?→?→?→???+?==-=-??? (2)由 00t v v gt =-=有0;v t g = (3)由0t v v gt =-有01(2).2 T v g t v ==。 3．求曲线y =x (1-x )在横坐标为1处的切线的斜率。解：由y '=1-2x 可知当x =1时，y '=-1。 5．解：(1) 220000(0)lim 0,(0)lim 0(0)0;00 -+-+→→---'''====?=--x x x x y y y x x (2)11000000(0)lim lim ,(0)lim lim ,00 αααα--++++-+→→→→---''==-==--x x x x x x y x y x x x 因此，只有当α为有理数且2α≠n m 时0(0)lim 0α→'==x y x 成立。 6．解：由于得f (x )在x =0和x =1点处可导，则必然在x =0和x =1点处连续，因此 (1) 00(0)(0),lim (e 1)lim ()0;-+-+→→=-=+?=x x x f f x a a 即 (2) 111sin(1)11(1)(1),lim lim 1.11 - +-+→→--+-''==?=--x x x b x f f b x x 即 7．设f (x )在x =0点连续，且0()1lim 1x f x x →-=-，(1)求f (0); (2) 问f (x )在x =0点是否可导？解：由于得f (x )在x =0点连续，则0 lim ()(0).→=x f x f 由0()1lim 1x f x x →-=-有： (1) []00000()1()1lim lim lim 0lim ()10lim ()1→→→→→--?=?=?-=?=x x x x x f x f x x x f x f x x x ，即f (0)=1; (2) 00()1()(0)lim lim 1(0) 1.0 →→--'==?=-x x f x f x f f x x 8．解:函数g (x )在x =0点连续,则当x →0时, 存在某个领域U δ(0),在此领域内g (x )是有界量。因此 000()(0)()sin (0)sin0()sin (0)lim lim lim (0).0→→→--'====-x x x f x f g x x g g x x f g x x x 9．设(0)1,(1)2,(0)1,(1)2,f g f g ''===-=-求 (1)00cos ()(cos 1)(()1)lim lim →→----=x x x f x x f x x x

同济版高等数学新编课后习题解析完整版

同济版高等数学新编课后习题解析 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

书后部分习题解答 P21页 3．（3）n n n b b b a a a ++++++++∞→ 2211lim （1,1<x ，)(211n n n x a x x += + 证：由题意，0>n x ，a x a x x a x x n n n n n =??≥+= +221)(211（数列有下界）又02)(212 1≤-=-+=-+n n n n n n n x x a x x a x x x （因a x n ≥+1）（数列单调减少）由单调有界定理，此数列收敛；记b x n n =∞ →lim ，对)(211n n n x a x x += +两边取极限，得)(21b a b b += ，解得a b =（负的舍去），故此数列的极限为a . P35页4.（8）极限=-++-+→211)1()1(lim x n x n x n x 2 11)1()1()]1(1[lim -++--++→x n x n x n x (若以后学了洛必达法则（00型未定型），则211) 1()1(lim -++-+→x n x n x n x 2 ) 1(2)1(lim )1(2)1())1(lim 111+=+=-+-+=-→→n n nx n x n x n n x n x ）书后部分习题解答2 P36页 8.已知当0→x 时，1cos ~1)1(3 1 2 --+x ax ，求常数a . 知识点：1）等价无穷小的概念； 2）熟记常用的等价无穷小，求极限时可用等价无穷小的替换定理。

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