一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.在正方形ABCD中,BD是一条对角线.点P在射线CD上(与点C,D不重合),连接AP,平移△ADP,使点D移动到点C,得到△BCQ,过点Q作QH⊥BD于点H,连接AH、PH.
(1)若点P在线CD上,如图1,
①依题意补全图1;②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明;
(2)若点P在线CD的延长线上,且∠AHQ=152°,正方形ABCD的边长为1,请写出求DP长的思路.(可以不写出计算结果)
【答案】(1)①如图;②AH=PH,AH⊥PH.证明见解析(2)或
【解析】
试题分析:(1)①如图(1);②(1)法一:轴对称作法,判断:AH=PH,
AH⊥PH.连接CH,根据正方形的每条对角线平分一组对角得:△DHQ等腰Rt△,根据平移的性质得DP=CQ,证得△HDP≌△△HQC,全等三角形的对应边相等得PH=CH,等边对等角得∠HPC=∠HCP,再结合BD是正方形的对称轴得出∠AHP=180°-∠ADP=90°,∴AH=PH且AH⊥PH.四点共圆作法,同上得:∠HPC=∠DAH,∴A、D、P、H共向,∴∠AHP=90°,∠APH=∠ADH=45°,∴△APH等腰Rt△.
(2)轴对称作法同(1)作HR⊥PC于R,∵∠AHQ=152°,∴∠AHB=62°,∴∠DAH=17°
∴∠DCH=17°.设DP=x,则.由代入HR,CR解方程即可得出x的值. 四点共圆作法,A、H、D、P共向,∴∠APD=∠AHB=62°,
∴.
试题解析:(1)①
法一:轴对称作法,判断:AH=PH,AH⊥PH
证:连接CH,得:△DHQ等腰Rt△,又∵DP=CQ,∴△HDP≌△△HQC,∴PH=CH,
∠HPC=∠HCP
BD为正方形ABCD对称轴,∴AH=CH,∠DAH=∠HCP,∴AH=PH,∠DAH=∠HPC,
∴∠AHP=180°-∠ADP=90°,∴AH=PH且AH⊥PH.
法二:四点共圆作法,同上得:∠HPC=∠DAH,∴A、D、P、H共向,∴∠AHP=90°,
∠APH=∠ADH=45°,∴△APH等腰Rt△.
(2)法一:轴对称作法
考虑△DHQ等腰Rt△,PD=CQ,作HR⊥PC于R,∵∠AHQ=152°,∴∠AHB=62°,
∴∠DAH=17°
∴∠DCH=17°.设DP=x,则.
由得:,∴.即PD=
法二:四点共向作法,A、H、D、P共向,∴∠APD=∠AHB=62°,
∴.
考点:全等三角形的判定;解直角三角形;正方形的性质;死电脑共圆
2.如图,抛物线y=﹣x2+3x+4与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,点D在抛物线上且横坐标为3.
(1)求tan∠DBC的值;
(2)点P为抛物线上一点,且∠DBP=45°,求点P的坐标.
【答案】(1)tan∠DBC=;
(2)P(﹣,).
【解析】
试题分析:(1)连接CD,过点D作DE⊥BC于点E.利用抛物线解析式可以求得点A、B、C、D的坐标,则可得CD//AB,OB=OC,所以∠BCO=∠BCD=∠ABC=45°.由直角三角形
的性质、勾股定理和图中相关线段间的关系可得BC=4,BE=BC﹣DE=.由此可知tan∠DBC=;
(2)过点P作PF⊥x轴于点F.由∠DBP=45°及∠ABC=45°可得∠PBF=∠DBC,利用(1)中
的结果得到:tan∠PBF=.设P(x,﹣x2+3x+4),则利用锐角三角函数定义推知=,通过解方程求得点P的坐标为(﹣,).
试题解析:
(1)令y=0,则﹣x2+3x+4=﹣(x+1)(x﹣4)=0,
解得 x1=﹣1,x2=4.
∴A(﹣1,0),B(4,0).
当x=3时,y=﹣32+3×3+4=4,
∴D(3,4).
如图,连接CD,过点D作DE⊥BC于点E.
∵C(0,4),
∴CD//AB,
∴∠BCD=∠ABC=45°.
在直角△OBC中,∵OC=OB=4,
∴BC=4.
在直角△CDE中,CD=3.
∴CE=ED=,
∴BE=BC﹣DE=.
∴tan∠DBC=;
(2)过点P作PF⊥x轴于点F.
∵∠CBF=∠DBP=45°,
∴∠PBF=∠DBC,
∴tan∠PBF=.
设P(x,﹣x2+3x+4),则=,
解得 x1=﹣,x2=4(舍去),
∴P(﹣,).
考点:1、二次函数;2、勾股定理;3、三角函数
3.如图,抛物线C1:y=(x+m)2(m为常数,m>0),平移抛物线y=﹣x2,使其顶点D 在抛物线C1位于y轴右侧的图象上,得到抛物线C2.抛物线C2交x轴于A,B两点(点A 在点B的左侧),交y轴于点C,设点D的横坐标为a.
(1)如图1,若m=.
①当OC=2时,求抛物线C2的解析式;
②是否存在a,使得线段BC上有一点P,满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由;
(2)如图2,当OB=2﹣m(0<m<)时,请直接写出到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标(用含m的式子表示).
【答案】(1) ①y=﹣x2+x+2.②.(2)P1(﹣m,1),P2(﹣m,﹣3),P3(﹣﹣m,3),P4(3﹣m,3).
【解析】
试题分析:(1)①首先写出平移后抛物线C2的解析式(含有未知数a),然后利用点C
(0,2)在C2上,求出抛物线C2的解析式;
②认真审题,题中条件“AP=BP”意味着点P在对称轴上,“点B与点C到直线OP的距离之和最大”意味着OP⊥BC.画出图形,如图1所示,利用三角函数(或相似),求出a的值;
(2)解题要点有3个:
i)判定△ABD为等边三角形;
ii)理论依据是角平分线的性质,即角平分线上的点到角两边的距离相等;
iii)满足条件的点有4个,即△ABD形内1个(内心),形外3个.不要漏解.
试题解析:(1)当m=时,抛物线C1:y=(x+)2.
∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上,且横坐标为a,
∴D(a,(a+)2).
∴抛物线C2:y=﹣(x﹣a)2+(a+)2(I).
①∵OC=2,∴C(0,2).
∵点C在抛物线C2上,
∴﹣(0﹣a)2+(a+)2=2,
解得:a=,代入(I)式,
得抛物线C2的解析式为:y=﹣x2+x+2.
②在(I)式中,
令y=0,即:﹣(x﹣a)2+(a+)2=0,解得x=2a+或x=﹣,∴B(2a+,0);
令x=0,得:y=a+,∴C(0,a+).
设直线BC的解析式为y=kx+b,则有:
,解得,
∴直线BC的解析式为:y=﹣x+(a+).
假设存在满足条件的a值.
∵AP=BP,
∴点P在AB的垂直平分线上,即点P在C2的对称轴上;
∵点B与点C到直线OP的距离之和≤BC,只有OP⊥BC时等号成立,
∴OP⊥BC.
如图1所示,设C2对称轴x=a(a>0)与BC交于点P,与x轴交于点E,
则OP⊥BC,OE=a.
∵点P在直线BC上,
∴P(a,a+),PE=a+.
∵tan∠EOP=tan∠BCO=,
∴,
解得:a=.
∴存在a=,使得线段BC上有一点P,满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP="BP"
(3)∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上,且横坐标为a,
∴D(a,(a+m)2).
∴抛物线C2:y=﹣(x﹣a)2+(a+m)2.
令y=0,即﹣(x﹣a)2+(a+m)2=0,解得:x1=2a+m,x2=﹣m,∴B(2a+m,0).∵OB=2﹣m,
∴2a+m=2﹣m,
∴a=﹣m.
∴D(﹣m,3).
AB=OB+OA=2﹣m+m=2.
如图2所示,设对称轴与x轴交于点E,则DE=3,BE=AB=,OE=OB﹣BE=﹣m.
∵tan∠ABD=,
∴∠ABD=60°.
又∵AD=BD,∴△ABD为等边三角形.
作∠ABD的平分线,交DE于点P1,则P1E=BE?tan30°=×=1,
∴P1(﹣m,1);
在△ABD形外,依次作各个外角的平分线,它们相交于点P2、P3、P4.
在Rt△BEP2中,P2E=BE?tan60°=?=3,
∴P2(﹣m,﹣3);
易知△ADP3、△BDP4均为等边三角形,∴DP3=DP4=AB=2,且P3P4∥x轴.
∴P3(﹣﹣m,3)、P4(3﹣m,3).
综上所述,到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点有4个,
其坐标为:P1(﹣m,1),P2(﹣m,﹣3),P3(﹣﹣m,3),P4(3﹣m,3).
【考点】二次函数综合题.
4.如图,矩形OABC中,A(6,0)、C(0,23)、D(0,33),射线l过点D且与x轴平行,点P、Q分别是l和x轴的正半轴上的动点,满足∠PQO=60o.
(1)点B的坐标是,∠CAO= o,当点Q与点A重合时,点P的坐标
为;
(2)设点P的横坐标为x,△OPQ与矩形OABC重叠部分的面积为S,试求S与x的函数关系
式和相应的自变量x 的取值范围.
【答案】(1)(6,
23). 30.(3,33)(2
)
()()()()243
x 430x 33
31333x x 3x 5232
S {23x 1235x 93543
x 9x +≤≤-+-<≤=-+<≤>
【解析】
解:(1)(6,23). 30.(3,33). (2)当0≤x≤3时, 如图1,
OI=x ,IQ=PI?tan60°=3,OQ=OI+IQ=3+x ; 由题意可知直线l ∥BC ∥OA , 可得
EF PE DC 31
==OQ PO DO 333==,∴EF=13
(3+x ), 此时重叠部分是梯形,其面积为:
EFQO 14343S S EF OQ OC 3x x 43233
==+?=+=+梯形()()
当3<x≤5时,如图2,
(
)HAQ EFQO EFQO 221
S S S S AH AQ
2
43331333 x 43x 3=x x 32232
?=-=-??=+---+
-梯形梯形。
当5<x≤9时,如图3,
12S BE OA OC 312x 23
23 =x 123=+?=--+()()
。
当x >9时,如图4,
11183543
S OA AH 622=
?=?. 综上所述,S 与x 的函数关系式为:
))))243
x 430x 33
313333x 5S {23x 1235x 93543
x 9+≤≤+<≤=-+<≤>.
(1)①由四边形OABC 是矩形,根据矩形的性质,即可求得点B 的坐标: ∵四边形OABC 是矩形,∴AB=OC ,OA=BC ,
∵A (6,0)、C (0,3∴点B 的坐标为:(6,3 ②由正切函数,即可求得∠CAO 的度数:
∵OC 233
tan CAO ==
OA 63
∠=
,∴∠CAO=30°. ③由三角函数的性质,即可求得点P 的坐标;如图:当点Q 与点A 重合时,过点P 作PE ⊥OA 于E ,
∵∠PQO=60°,D (0,33),∴PE=33. ∴0
PE AE 3tan 60
=
=.
∴OE=OA ﹣AE=6﹣3=3,∴点P 的坐标为(3,33).
(2)分别从当0≤x≤3时,当3<x≤5时,当5<x≤9时,当x >9时去分析求解即可求得答案.
5.在平面直角坐标系中,四边形OABC 是矩形,点()0,0O ,点()3,0A ,点()0,4C
,
连接OB ,以点A 为中心,顺时针旋转矩形AOCB ,旋转角为()0360αα?<,得到矩形ADEF ,点,,O C B 的对应点分别为,,D E F . (Ⅰ)如图,当点D 落在对角线OB 上时,求点D 的坐标; (Ⅱ)在(Ⅰ)的情况下,AB 与DE 交于点H . ①求证BDE DBA ???; ②求点H 的坐标.
(Ⅲ)α为何值时,FB FA =.(直接写出结果即可).
【答案】(Ⅰ)点D 的坐标为5472
(,)2525;(Ⅱ)①证明见解析;②点H 的坐标为(3,258
);(Ⅲ)60α=?或300?. 【解析】
【分析】
(Ⅰ) 过A D 、分别作,AM OB DN OA ⊥⊥,根据点A 、点C 的坐标可得出OA 、OC 的长,根据矩形的性质可得AB 、OB 的长,在Rt △OAM 中,利用∠BOA 的余弦求出OM 的长,由旋转的性质可得OA=AD ,利用等腰三角形的性质可得OD=2OM ,在Rt △ODN 中,利用∠BOA 的正弦和余弦可求出DN 和ON 的长,即可得答案;(Ⅱ)①由等腰三角形性质可得∠DOA=∠ODA ,根据锐角互余的关系可得ABD BDE ∠∠=,利用SAS 即可证明△DBA ≌△BDE ;②根据△DBA ≌△BDE 可得∠BEH=∠DAH ,BE=AD ,即可证明
△BHE ≌△DHA ,可得DH=BH ,设AH=x ,在Rt △ADH 中,利用勾股定理求出x 的值即可得答案;(Ⅲ)如图,过F 作FO ⊥AB ,由性质性质可得∠BAF=α,分别讨论0<α≤180°时和180°<α<360°时两种情况,根据FB=FA 可得OA=OB ,利用勾股定理求出FO 的长,由余弦的定义即可求出∠BAF 的度数. 【详解】
(Ⅰ)∵点()30A ,
,点()04C ,, ∴3,4OA OC ==. ∵四边形OABC 是矩形, ∴AB=OC=4,
∵矩形DAFE 是由矩形AOBC 旋转得到的 ∴3AD AO ==.
在Rt OAB ?中,5OB =, 过A D 、分别作B,DN OA AM O ⊥⊥ 在Rt ΔOAM 中,OM OA 3
cos BOA OA OB 5
∠===, ∴9OM 5
=
∵AD=OA ,AM ⊥OB , ∴18OD 2OM 5
==
. 在Rt ΔODN 中:DN 4sin BOA OD 5∠==,cos ∠BOA=ON OD =3
5
, ∴72DN 25=
,54ON 25
=
. ∴点D 的坐标为5472,2525??
???
.
(Ⅱ)①∵矩形DAFE 是由矩形AOBC 旋转得到的, ∴OA AD 3,ADE 90,DE AB 4∠===?==. ∴OD AD =.
∴
DOA ODA ∠∠=.
又∵DOA OBA 90∠∠+=?,BDH ADO 90∠∠+=? ∴ABD BDE ∠∠=.
又∵BD BD =, ∴ΔBDE ΔDBA ?.
②由ΔBDE ΔDBA ?,得BEH DAH ∠∠=,BE AD 3==, 又∵
BHE DHA ∠∠=,
∴ΔBHE ΔDHA ?. ∴DH=BH ,
设AH x =,则DH BH 4x ==-, 在Rt ΔADH 中,222AH AD DH =+, 即()2
22x 34x =+-,得25x 8
=, ∴25AH 8
=
. ∴点H 的坐标为253,
8?? ???
. (Ⅲ)如图,过F 作FO ⊥AB , 当0<α≤180°时,
∵点B 与点F 是对应点,A 为旋转中心, ∴∠BAF 为旋转角,即∠BAF=α,AB=AF=4, ∵FA=FB ,FO ⊥AB , ∴OA=
1
2
AB=2, ∴cos ∠BAF=
OA AF =1
2
, ∴∠BAF=60°,即α=60°, 当180°<α<360°时,
同理解得:∠BAF′=60°,
∴旋转角α=360°-60°=300°.
综上所述:α60
=?或300?.
【点睛】
本题考查矩形的性质、旋转变换、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识,正确找出对应边与旋转角并熟记特殊角的三角函数值是解题关键.
6.2018年12月10日,郑州市城乡规划局网站挂出《郑州都市区主城区停车场专项规划》,将停车纳入城市综合交通体系,计划到2030年,在主城区新建停车泊位33.04万个,2019年初,某小区拟修建地下停车库,如图是停车库坡道入口的设计图,其中MN是水平线,MN∥AD,AD⊥DE,CF⊥AB,垂足分别为D,F,坡道AB的坡度为1:3,DE =3米,点C在DE上,CD=0.5米,CD是限高标志屏的高度(标志牌上写有:限高米),如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF的长,则该停车库限高多少米?(结果精确到0.1米,参考数据2≈1.41,3≈1.73)
【答案】该停车库限高约为2.2米.
【解析】
【分析】
据题意得出
3
tan B=,即可得出tan A,在Rt△ADE中,根据勾股定理可求得DE,即可
得出∠1的正切值,再在Rt△CEF中,设EF=x,即可求出x,从而得出CF3的长.【详解】
解:由题意得,
3 tan
3
B=
∵MN∥AD,
∴∠A =∠B ,
∴tan A , ∵DE ⊥AD ,
∴在Rt △ADE 中,tan A =DE
AD
, ∵DE =3, 又∵DC =0.5, ∴CE =2.5, ∵CF ⊥AB ,
∴∠FCE +∠CEF =90°, ∵DE ⊥AD , ∴∠A +∠CEF =90°, ∴∠A =∠FCE ,
∴tan ∠FCE
在Rt △CEF 中,设EF =x ,CF x (x >0),CE =2.5,
代入得(
52
)2=x 2+3x 2, 解得x =1.25,
∴CF
x ≈2.2,
∴该停车库限高约为2.2米. 【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用,坡面坡角问题和勾股定理,解题的关键是坡度等于坡角的正切值.
7.如图①,在菱形ABCD 中,60B ?∠= ,4AB =.点P 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿边AD 向终点D 运动,过点P 作PQ AC ⊥交边AB 于点Q ,过点P 向上作
//PN AC ,且2
PN PQ =
,以PN 、PQ 为边作矩形PQMN .设点P 的运动时间为t (秒),矩形PQMN 与菱形ABCD 重叠部分图形的面积为S . (1)用含t 的代数式表示线段PQ 的长. (2)当点M 落在边BC 上时,求t 的值. (3)当0t 1<<时,求S 与t 之间的函数关系式,
(4)如图②,若点O 是AC 的中点,作直线OM .当直线OM 将矩形PQMN 分成两部分图形的面积比为12:时,直接写出t 的值
【答案】(1)23PQ t =;(2)
45
;(3)2193403163t t -+-;(4) 23t = 或
8
7
t = . 【解析】 【分析】
(1)由菱形性质得∠D=∠B=60°,AD=AB=CD=4,△ACD 是等边三角形,证出△APQ 是等腰三角形,得出PF=QF ,3,即可得出结果;
(2)当点M 落在边BC 上时,由题意得:△PDN 是等边三角形,得出PD=PN ,由已知得3
,得出PD=3t ,由题意得出方程,解方程即可; (3)当0<t≤45时,3t ,PN=
3
2
PQ=3t ,S=矩形PQMN 的面积=PQ×PN ,即可得出结果;当
4
5
<t <1时,△PDN 是等边三角形,得出PE=PD=AD-PA=4-2t ,∠FEN=∠PED=60°,得出NE=PN-PE=5t-4,33(5t-4),S=矩形PQMN 的面积-2△EFN 的面积,即可得出结果;
(4)分两种情况:当0<t≤4
5
时,△ACD 是等边三角形,AC=AD=4,得出OA=2,OG 是△MNH 的中位线,得出OG=4t-2,NH=2OG=8t-4,由面积关系得出方程,解方程即可;
当
4
5
<t≤2时,由平行线得出△OEF ∽△MEQ ,得出EF OF EQ MQ =233t t EF t -=+,解得EF=243232t t t -,得出2
3322
34t t t t -+,由三角形面积关系得出方程,解方
程即可. 【详解】
(1)∵在菱形ABCD 中,∠B=60°,
∴∠D=∠B=60°,AD=AB=CD=4,△ACD 是等边三角形, ∴∠CAD=60°, ∵PQ ⊥AC ,
∴△APQ 是等腰三角形,
∴PF=QF,PF=PA?sin60°=2t×3
2
=3t,
∴PQ=23t;
(2)当点M落在边BC上时,如图2所示:
由题意得:△PDN是等边三角形,
∴PD=PN,
∵PN=3
2PQ=
3
2
×23t=3t,
∴PD=3t,
∵PA+PD=AD,即2t+3t=4,
解得:t=4
5
.
(3)当0<t≤4
5
时,如图1所示:
PQ=23t,PN=
3
2
PQ=
3
2
×23t=3t,
S=矩形PQMN的面积=PQ×PN=23t×3t=63t2;
当4
5
<t<1时,如图3所示:
∵△PDN是等边三角形,
∴PE=PD=AD-PA=4-2t,∠FEN=∠PED=60°,
∴NE=PN-PE=3t-(4-2t)=5t-4,
∴FN=3NE=3(5t-4),
∴S=矩形PQMN的面积-2△EFN的面积=63t2-2×1
2
×3(5t-4)2=-19t2+403t-163,即S=-19t2+403t-163;
(4)分两种情况:当0<t≤4
5
时,如图4所示:
∵△ACD是等边三角形,
∴AC=AD=4,
∵O是AC的中点,
∴OA=2,OG是△MNH的中位线,
∴OG=3t-(2-t)=4t-2,NH=2OG=8t-4,
∴△MNH的面积=1
2MN×NH=
1
2
×23t×(8t-4)=
1
3
×63t2,
解得:t=2
3
;
当4
5
<t≤2时,如图5所示:
∵AC∥QM,
∴△OEF∽△MEQ,
∴EF OF
EQ MQ
=
2
3
3
t
t
EF t
-
=
+
,
解得:
2
33
2t t
-
,
∴EQ=2
3322
34t t t t --+,
∴△MEQ 的面积=12×3t×(2
3323t t t -+)=13×63t 2,
解得:t=
87
; 综上所述,当直线OM 将矩形PQMN 分成两部分图形的面积比为1:2时,t 的值为
23
或87
. 【点睛】
本题是四边形综合题目,考查了菱形的性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识;本题综合性强,难度较大,熟练掌握菱形和矩形的性质,综合运用知识,进行分类讨论是解题的关键.
8.如图,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y =﹣
14x 2+bx +c 与直线y =1
2
x ﹣3分别交x 轴、y 轴上的B 、C 两点,设该抛物线与x 轴的另一个交点为点A ,顶点为点D ,连接CD 交x 轴于点E .
(1)求该抛物线的表达式及点D 的坐标; (2)求∠DCB 的正切值;
(3)如果点F 在y 轴上,且∠FBC =∠DBA +∠DCB ,求点F 的坐标.
【答案】(1)21y 234x x =-+-,D (4,1);(2)1
3
;(3)点F 坐标为(0,1)或(0,﹣18). 【解析】 【分析】 (1)y =
1
2
x ﹣3,令y =0,则x =6,令x =0,则y =﹣3,求出点B 、C 的坐标,将点B 、C 坐标代入抛物线y =﹣
14
x 2
+bx+c ,即可求解; (2)求出则点E (3,0),EH =EB?sin ∠OBC 5CE =2,则CH 5
解;
(3)分点F在y轴负半轴和在y轴正半轴两种情况,分别求解即可.【详解】
(1)y=1
2
x﹣3,令y=0,则x=6,令x=0,则y=﹣3,
则点B、C的坐标分别为(6,0)、(0,﹣3),则c=﹣3,
将点B坐标代入抛物线y=﹣1
4
x2+bx﹣3得:0=﹣
1
4
×36+6b﹣3,解得:b=2,
故抛物线的表达式为:y=﹣1
4
x2+2x﹣3,令y=0,则x=6或2,
即点A(2,0),则点D(4,1);
(2)过点E作EH⊥BC交于点H,
C、D的坐标分别为:(0,﹣3)、(4,1),
直线CD的表达式为:y=x﹣3,则点E(3,0),
tan∠OBC=
31
62
OC
OB
==,则sin∠OBC
5
,
则EH=EB?sin∠OBC
5
CE=2CH
5
则tan∠DCB=
1
3 EH
CH
=;
(3)点A、B、C、D、E的坐标分别为(2,0)、(6,0)、(0,﹣3)、(4,1)、(3,0),
则BC=5
∵OE=OC,∴∠AEC=45°,
tan∠DBE=
1
64
-
=
1
2
,
故:∠DBE=∠OBC,
则∠FBC=∠DBA+∠DCB=∠AEC=45°,①当点F在y轴负半轴时,
过点F作FG⊥BG交BC的延长线与点G,
则∠GFC=∠OBC=α,
设:GF=2m,则CG=GFtanα=m,
∵∠CBF=45°,∴BG=GF,
即:35+m=2m,解得:m=35,
CF=22
GF CG
=5m=15,
故点F(0,﹣18);
②当点F在y轴正半轴时,
同理可得:点F(0,1);
故:点F坐标为(0,1)或(0,﹣18).
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识,其中(3),确定∠FBC=∠DBA+∠DCB=∠AEC=45°,是本题的突破口.
9.已知:在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,BE:AB=3:5,若CE= 2,cos∠ACD= 4
5
,求tan∠AEC的值及CD的长.
【答案】tan∠12
12 5
【解析】
解:在RT△ACD与RT△ABC中
函数与几何综合专题 解答题 1.已知抛物线y=ax2+bx+c(b<0)与x轴只有一个公共点. (1)若抛物线与x轴的公共点坐标为(2,0),求a、c满足的关系式; (2)设A为抛物线上的一定点,直线l:y=kx+1﹣k与抛物线交于点B、C,直线BD垂直于直线y=﹣1,垂足为点D.当k=0时,直线l与抛物线的一个交点在y轴上,且△ABC为等腰直角三角形. ①求点A的坐标和抛物线的解析式; ②证明:对于每个给定的实数k,都有A、D、C三点共线. 2.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx﹣与y轴交于点A,将点A向右平移2个单位长度,得到点B,点B在抛物线上. (1)求点B的坐标(用含a的式子表示); (2)求抛物线的对称轴; (3)已知点P(,﹣),Q(2,2).若抛物线与线段PQ恰有一个公共点,结合函数图象,求a 的取值范围. 3.在平面直角坐标系xOy中(如图),已知抛物线y=x2﹣2x,其顶点为A. (1)写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标,并说明它的变化情况; (2)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”. ①试求抛物线y=x2﹣2x的“不动点”的坐标; ②平移抛物线y=x2﹣2x,使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”,其对称轴与x轴交 于点C,且四边形OABC是梯形,求新抛物线的表达式.
4.已知抛物线y=x2﹣bx+c(b,c为常数,b>0)经过点A(﹣1,0),点M(m,0)是x轴正半轴上的动点. (Ⅰ)当b=2时,求抛物线的顶点坐标; (Ⅱ)点D(b,y D)在抛物线上,当AM=AD,m=5时,求b的值; (Ⅲ)点Q(b+,y Q)在抛物线上,当AM+2QM的最小值为时,求b的值. 5.如图,已知抛物线y=ax2+bx+5经过A(﹣5,0),B(﹣4,﹣3)两点,与x轴的另一个交点为C,顶点为D,连结CD. (1)求该抛物线的表达式; (2)点P为该抛物线上一动点(与点B、C不重合),设点P的横坐标为t. ①当点P在直线BC的下方运动时,求△PBC的面积的最大值; ②该抛物线上是否存在点P,使得∠PBC=∠BCD?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说 明理由. 6.将直角三角板ABC按如图1放置,直角顶点C与坐标原点重合,直角边AC、BC分别与x轴和y轴重合,其中∠ABC=30°.将此三角板沿y轴向下平移,当点B平移到原点O时运动停止.设平移的距离为m,平移过程中三角板落在第一象限部分的面积为s,s关于m的函数图象(如图2所示)与m轴相交于点P(,0),与s轴相交于点Q. (1)试确定三角板ABC的面积; (2)求平移前AB边所在直线的解析式; (3)求s关于m的函数关系式,并写出Q点的坐标.
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知:如图,在四边形 ABCD 中, AB ∥CD , ∠ACB =90°, AB=10cm , BC=8cm , OD 垂直平分 A C .点 P 从点 B 出发,沿 BA 方向匀速运动,速度为 1cm/s ;同时,点 Q 从点 D 出发,沿 DC 方向匀速运动,速度为 1cm/s ;当一个点停止运动,另一个点也停止运动.过点 P 作 PE ⊥AB ,交 BC 于点 E ,过点 Q 作 QF ∥AC ,分别交 AD , OD 于点 F , G .连接 OP ,EG .设运动时间为 t ( s )(0<t <5) ,解答下列问题: (1)当 t 为何值时,点 E 在 BAC 的平分线上? (2)设四边形 PEGO 的面积为 S(cm 2) ,求 S 与 t 的函数关系式; (3)在运动过程中,是否存在某一时刻 t ,使四边形 PEGO 的面积最大?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由; (4)连接 OE , OQ ,在运动过程中,是否存在某一时刻 t ,使 OE ⊥OQ ?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)4s t =;(2)PEGO S 四边形2 31568 8 t t =-+ + ,(05)t <<;(3)5 2t =时, PEGO S 四边形取得最大值;(4)16 5 t = 时,OE OQ ⊥. 【解析】 【分析】 (1)当点E 在∠BAC 的平分线上时,因为EP ⊥AB ,EC ⊥AC ,可得PE=EC ,由此构建方程即可解决问题. (2)根据S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +(S △OPC +S △PCE -S △OEC )构建函数关系式即可. (3)利用二次函数的性质解决问题即可. (4)证明∠EOC=∠QOG ,可得tan ∠EOC=tan ∠QOG ,推出EC GQ OC OG =,由此构建方程即可解决问题. 【详解】 (1)在Rt △ABC 中,∵∠ACB=90°,AB=10cm ,BC=8cm , ∴22108-=6(cm ), ∵OD 垂直平分线段AC , ∴OC=OA=3(cm ),∠DOC=90°, ∵CD ∥AB ,
2018年中考数学专题复习 第一章 数与式 第一讲 实数 【基础知识回顾】 一、实数的分类: 1、按实数的定义分类: 实数 有限小数或无限循环数 2、按实数的正负分类: 实数 【名师提醒:1、正确理解实数的分类。如: 2 π 是 数,不是 数, 7 22 是 数,不是 数。2、0既不是 数,也不是 数,但它是自然数】 二、实数的基本概念和性质 1、数轴:规定了 、 、 的直线叫做数轴, 和数轴上的点是一一对应的,数轴的作用 有 、 、 等。 2、相反数:只有 不同的两个数叫做互为相反数,a 的相反数是 ,0的相反数是 ,a 、b 互为相反数? 3、倒数:实数a 的倒数是 , 没有倒数,a 、b 互为倒数? 4、绝对值:在数轴上表示一个数的点离开 的距离叫做这个数的绝对值。 a = 因为绝对值表示的是距离,所以一个数的绝对值是 数,我们学过的非负数有三个: 、 、 。 【名师提醒:a+b 的相反数是 ,a-b 的相反数是 ,0是唯一一个没有倒数的数,相反数等于本身的数是 ,倒数等于本身的数是 ,绝对值等于本身的数是 】 三、科学记数法、近似数和有效数字。 1、科学记数法:把一个较大或较小的数写成 的形式叫做科学记数法。其中a 的取值范围是 。 2、近似数和有效数字: 一般的,将一个数四舍五入后的到的数称为这个数的近似数,这时,从 数字起到近似数的最后一位 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 正无理数 无理数 负分数 零 正整数 整数 有理数 无限不循环小数 ? ? ????正数正无理数零 负有理数负数 (a >0) (a <0) 0 (a=0)
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.图1是一种折叠式晾衣架.晾衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示,两支脚OC=OD=10分米,展开角∠COD=60°,晾衣臂OA=OB=10分米,晾衣臂支架HG =FE=6分米,且HO=FO=4分米.当∠AOC=90°时,点A离地面的距离AM为_______分米;当OB从水平状态旋转到OB′(在CO延长线上)时,点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处,则B′E′﹣BE为_________分米. 【答案】553 【解析】 【分析】 如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J.解直角三角形求出MQ,AQ即可求出AM,再分别求出BE,B′E′即可. 【详解】 解:如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J. ∵AM⊥CD, ∴∠QMP=∠MPO=∠OQM=90°, ∴四边形OQMP是矩形, ∴QM=OP, ∵OC=OD=10,∠COD=60°, ∴△COD是等边三角形, ∵OP⊥CD, ∠COD=30°, ∴∠COP=1 2 ∴QM=OP=OC?cos30°=3 ∵∠AOC=∠QOP=90°, ∴∠AOQ=∠COP=30°, ∴AQ=1 OA=5(分米), 2 ∴AM=AQ+MQ=5+3 ∵OB∥CD, ∴∠BOD=∠ODC=60°
在Rt△OFK中,KO=OF?cos60°=2(分米),FK=OF?sin60°=23(分米), 在Rt△PKE中,EK=22 -=26(分米), EF FK ∴BE=10?2?26=(8?26)(分米), 在Rt△OFJ中,OJ=OF?cos60°=2(分米),FJ=23(分米), 在Rt△FJE′中,E′J=22 -(2)=26, 63 ∴B′E′=10?(26?2)=12?26, ∴B′E′?BE=4. 故答案为:5+53,4. 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型. 2.在△ABC中,AB=BC,点O是AC的中点,点P是AC上的一个动点(点P不与点A,O,C重合).过点A,点C作直线BP的垂线,垂足分别为点E和点F,连接OE,OF.(1)如图1,请直接写出线段OE与OF的数量关系; (2)如图2,当∠ABC=90°时,请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系,并说明理由 (3)若|CF﹣AE|=2,EF=23,当△POF为等腰三角形时,请直接写出线段OP的长. 【答案】(1)OF =OE;(2)OF⊥EK,OF=OE,理由见解析;(3)OP62 23 . 【解析】 【分析】(1)如图1中,延长EO交CF于K,证明△AOE≌△COK,从而可得OE=OK,再
如有帮助欢迎下载支持 锐角三角函数专题 共100分 命题人:王震宇 张洪林 一、选择题(30分) 1、如果∠A 是锐角,且A cos A sin =,那么∠A=_______。 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 2. CD 是Rt △ABC 斜边上的高,AC=4,BC=3,则cos ∠BCD=________。 A. 5 3 B. 4 3 C. 3 4 D. 5 4 3、如果130sin sin 22=?+α,那么锐角α的度数是________。 A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 4、已知Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=2,BC=3,那么下列各式中,正确的是________。 A. 32B sin = B. 32B cos = C. 3 2 B tan = 5、在Rt △AB C 中,如果各边长度都扩大2倍,那么锐角A 的正切值( ) A. 没有变化 B. 扩大2倍 C.缩小2倍 D. 不能确定 6、 在△ABC 中,∠C =90°,AC =BC ,则sin A 的值等于( ) A. 2 1 B. 22 C. 2 3 D. 1 7、已知α为锐角,下列结论 ①1cos sin =+αα ②如果?>45α,那么ααcos sin > ③如果2 1 cos > α,那么?<60α ④ααsin 1)1(sin 2-=- 正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8、 △ABC 中,∠C =90°,53 sin = A ,则BC ∶AC 等于( ) A. 3∶4 B. 4∶3 C. 3∶5 D. 4∶5: 9、 如果α是锐角,且5 4 sin = α,那么)90cos(α-?=( ) A. 54 B. 43 C. 53 D. 5 1. 10、如右图,CD 是平面镜,光线从A 点出发经过CD 上点E 反射后照射到B 点,若入射角为α(入射角等于反射角),AC ⊥CD ,BD ⊥CD ,垂足分别为C 、D ,且AC =3,BD =6,CD =11,则tan α的值为( )
压轴题 1、已知,在平行四边形OABC 中,OA=5,AB=4,∠OCA=90°,动点P 从O 点出发沿射线OA 方向以每秒2个单位的速度移动,同时动点Q 从A 点出发沿射线AB 方向以每秒1个单位的速度移动.设移动的时间为t 秒. (1)求直线AC 的解析式; (2)试求出当t 为何值时,△OAC 与△PAQ 相似; (3)若⊙P 的半径为 58,⊙Q 的半径为2 3 ;当⊙P 与对角线AC 相切时,判断⊙Q 与直线AC 、BC 的位置关系,并求出Q 点坐标。 解:(1)42033 y x =- + (2)①当0≤t≤2.5时,P 在OA 上,若∠OAQ=90°时, 故此时△OAC 与△PAQ 不可能相似. 当t>2.5时,①若∠APQ=90°,则△APQ ∽△OCA , ∵t>2.5,∴ 符合条件. ②若∠AQP=90°,则△APQ ∽△∠OAC , ∵t>2.5,∴ 符合条件.
综上可知,当时,△OAC 与△APQ 相似. (3)⊙Q 与直线AC 、BC 均相切,Q 点坐标为( 10 9 ,5 31) 。 2、如图,以矩形OABC 的顶点O 为原点,OA 所在的直线为x 轴,OC 所在的直线为y 轴,建立平面直角坐标系.已知OA =3,OC =2,点E 是AB 的中点,在OA 上取一点D ,将△BDA 沿BD 翻折,使点A 落在BC 边上的点F 处. (1)直接写出点E 、F 的坐标; (2)设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴...于点P ,且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形,求该抛物线的解析式; (3)在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ,使得四边形MNFE 的周长最小?如果存在,求出周长的最小值;如果不存在,请说明理由. 解:(1)(31)E ,;(12)F ,. (2)在Rt EBF △中,90B ∠=, 2222125EF EB BF ∴=+=+=. 设点P 的坐标为(0)n ,,其中0n >, 顶点(1 2)F ,, ∴设抛物线解析式为2 (1)2(0)y a x a =-+≠. ①如图①,当EF PF =时,22 EF PF =,2 2 1(2)5n ∴+-=. 解得10n =(舍去);24n =.(04)P ∴,.24(01)2a ∴=-+.解得2a =. ∴抛物线的解析式为22(1)2y x =-+ (第2题)
中考数学专题训练(函数综合) 1.如图,一次函数b kx y +=与反比例函数 x y 4 = 的图像交于A 、B 两点,其中点A 的横坐标为1, 又一次函数b kx y +=的图像与x 轴交于点()0,3-C . (1)求一次函数的解析式; (2)求点B 的坐标. 2.已知一次函数y=(1-2x )m+x+3图像不经过第四象限,且函数值y 随自变量x 的减小而减小。 (1)求m 的取值范围; (2)又如果该一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积是 ,求这个一次函数的解析式。 3. 如图,在平面直角坐标系中,点O 为原点,已知点A 的坐标为(2,2), 点B 、C 在x 轴上,BC =8,AB=AC ,直线AC 与y 轴相交于点D . (1)求点C 、D 的坐标; (2)求图象经过B 、D 、A 三点的二次函数解析式及它的顶点坐标. 4.如图四,已知二次函数 2 23y ax ax =-+的图像与x 轴交于点A 与y 轴交于点C ,其顶点为D ,直线DC 的函数关系式为y kx b =+ 又tan 1OBC ∠=. (1)求二次函数的解析式和直线DC 的函数关系式; (2)求ABC △的面积. ( 图四)