近世代数基础Ⅱ学习报告
现代数学
现代数学的主要研究方向为结构数学,结构反映事物构成部分之间的关系，部分与整体的关系,或几种事物间的相互组成联系。现代数学的基础是集合，在集合上附加代数结构、分析结构和拓扑结构或集合结构得到数学的各种分支。
本门课程的主要学习内容就是以集合理论为基础而逐步展开的。群论是在集合上赋予运算法则，形成群、环、域等基本的运算系统；流形同样是在集合上赋予相应的结构而形成具有独特性质的数学研究对象。这些抽象的理论往往会在实际系统中得到应用，用集合的思想去解决问题往往会提升效率。
一抽象代数
1.1 群
定义
群是特殊的集合，它是一个包含了二元运算法则并满足一定条件的集合。一般说来，群G是指对于某种运算法则*满足以下四个条件的集合：
(1)封闭性：若,a b G
∈，则存在唯一确定的c G
*=；
∈使得a b c
(2)结合律成立：任意,,
**=**；
a b c a b c
a b c G
∈，有()()
*=*=；
(3)单位元存在：存在e G
∈，满足a e e a a
∈对任意a G
(4)逆元存在：对任意a G
*=*=；
∈，存在唯一确定的b G
∈使得a b b a e 若群还满足交换律，则成为交换群或者阿贝尔群。
若群G中元素个数有限，则G为有限群；否则称为无限群。有限群的元素个数称为有限群的阶。
子群
对于群G，若集合H G
∈对于群G上定义的二元运算构成一个群，则称H是
<。
G的子群，记做H G
小结
在群论的研究中，我们需要关心的是个元素之间的运算关系，即群的结构，而不用去管某个元素的具体含义是什么。
1.2 环
当在一个集合上附加两种代数运算，而这两种运算是有机集合，可得到所谓的环。
定义
设R是一个非空集合，其上定义了两种二元运算，通常表示为加法+和乘法?，若(1) (,)
R+是交换群
(2) (,)
R?是半群
(3) 乘法对加法满足分配律
则称R为一个环。环也是一种群。
子环
环R的一个非空子集S，若对于R的两种运算构成一个环，则称S为R的子环。
整环
设R为含单位的环，且10
≠。若R为没有零因子的交换环，则称R为整环。
1.3 域
域也是一种环，要求?要满足交换律，除了有+的单位元还要有?的单位元(二者不等)，除了+的单位元外其他元素都有?的逆元。
1.4 群的应用
群是刻画事物对称性的有效工具，比如图形的对称、函数的对称等。
二微分几何
微分几何学是运用数学分析的理论研究曲线或曲面上一点的邻域的性质，即研究一般曲线或曲面在小范围上的性质。它主要包含曲线论和曲面论。曲线论主要就是Frenet公式，曲面论主要是从曲面上曲线的弧长公式推出曲面的第一基本形式（等距变换，保角变换，内蕴量的性质），从曲面与切平面间的有向距离推出第二基本形式，而曲率的推导顺序是：曲面上曲线的曲率、法曲率、主曲率、高斯曲率和平均曲率。微分几何有两个十分重要的基础：坐标变换和求导的技巧。在学习微分几何之前需要熟练运用这两个部分。
标架
标架，这一概念在张量分析的学习中曾经涉及到。张量可以看作一个实体（几何体，几何量），这个实体由这组分量和分量所对应的基共同构成。通常说的张量是不依赖于坐标系的，而观察者和标架是等同的。用一个坐标系来充当观察者，再配上时间坐标，标架成为四维的。
坐标系和标架（或者观察者）是不同的，同一个标架下可以观察到多个“坐标系”。测地线
曲面上测地曲率恒等于零的曲线，称为测地线。平面上的测地线就是直线；测地线的概念就是平面上直线的概念在曲面上的推广。曲面上的曲线，当且仅当它是直线或者它的主法向量处处是曲线的法向量时，它才是测地线。旋转面上的经线是测地线，球面上的大圆周是测地线。
距离最短的曲线在相对论中的专业术语是测地线，事实上，相应于速度小于C、等于c、大于c 的三种测地线分别称为类时测地线，类光测地线和类空测地线。
三微分流形
3.1微分流形的数学定义
n 维流形就是一个Hausdorff 空间，它的每一点有开邻域与n 维欧式空间的开集同胚。微分流形是一类重要的拓扑空间，它除了具有通常的拓扑结构外，还添加上了微分结构，因而可以应用微积分学，从而就能建立一些微分几何的性质。
3.2流形描述
流形（Manifold），是局部具有欧几里得空间性质的空间。流形在数学中用于描述几何形体，它们提供了研究可微性的自然的舞台。物理上，经典力学的相空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例。
3.3 流形的应用
可以把经典数学分析中的几个著名公式，如格林公式、高斯公式、斯托克司公式等在高维的流形上，利用外微分，统一为一个形式。
空间最最本质的东西就是有关测度的概念。测度不同，导致空间定义，空间结构和形式的不同。欧氏空间和黎曼空间的区别也在于此，有了测度的概念，任何空间的构型就可以被决定，对空间的研究也就不再成问题。那么我们怎样来度量空间，显然欧氏空间已经不再十分凑效，我们只能选择黎曼流形。这就是光在宇宙中为什么沿着一条测地线前进，而不是直线。
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）
近世代数知识点
近世代数知识点 第一章基本概念 1.1集合 ●A的全体子集所组成的集合称为A的幂集，记作2A. 1.2映射 ●证明映射： ●单射：元不同，像不同；或者像相同，元相同。 ●满射：像集合中每个元素都有原像。 Remark：映射满足结合律！ 1.3卡氏积与代数运算 ●{（a,b）∣a∈A,b∈B }此集合称为卡氏积，其中（a,b）为有序元素对，所以一般 A*B不等于B*A. ●集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。 1.4等价关系与集合的分类 ★等价关系：1 自反性：?a∈A,a a; 2 对称性：?a,b∈R, a b=>b a∈R; 3 传递性：?a,b,c∈R,a b,b c =>a c∈R. Remark：对称+传递≠自反 ★一个等价关系决定一个分类，反之，一个分类决定一个等价关系 ★不同的等价类互不相交，一般等价类用[a]表示。 第二章群 2.1 半群 1.半群=代数运算+结合律，记作（S,） Remark: i.证明代数运算：任意选取集合中的两个元素，让两元素间做此运算，观察运算后的结果是否还在定义的集合中。 ii.若半群中的元素可交换，即a b=b a,则称为交换半群。 2.单位元 i.半群中左右单位元不一定都存在，即使存在也可能不唯一，甚至可能都 不存在；若都存在，则左单位元=右单位元=单位元。 ii.单位元具有唯一性，且在交换半群中：左单位元=右单位元=单位元。 iii.在有单位元的半群中，规定a0=e. 3.逆元
i.在有单位元e的半群中，存在b,使得ab=ba=e,则a为可逆元。 ii.逆元具有唯一性，记作a-1且在交换半群中，左逆元=右逆元=可逆元。 iii.若一个元素a既有左逆元a1，又有右逆元a2，则a1=a2,且为a的逆元。 4.子半群 i.设S是半群，≠T S,若T对S的运算做成半群，则T为S的一个 子半群 ii.T是S的子半群a,b T,有ab T 2.2 群 1．群=半群+单位元+逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元 Remark：i. 若代数运算满足交换律，则称为交换群或Abel群. ii. 加群=代数运算为加法+交换群 iii.单位根群Um={m=1},数域P上全体n阶可逆（满秩）矩 阵集合GL(n,P),数域P上全体n阶的行列式为1的矩阵集合 SL(n,p). 2. 群=代数运算+结合律+左（右）单位元+左（右）逆元 =代数运算+结合律+单位元+逆元 =代数运算+结合律+?a,b G,ax=b,ya=b有解 3. 群的性质 i. 群满足左右消去律 ii.设G是群，则?a,b G,ax=b,ya=b在G中有唯一解 iii.e是G单位元? e2=e iv.若G是有限半群，满足左右消去律，则G是一个群 4. 群的阶 群G的阶，即群G中的元素个数，用表示。若为无限群，则=。 Remark：i.克莱因四元群是一个Abel群 ii.四阶群只有克莱因四元群和模4的剩余类群 2.3元素的阶
高等代数知识点 第一章 多项式 1． 数域的定义、常见数域 2． （系数在）数域P 上的多项式的定义 3． 多项式相等 4． 多项式的次数、零多项式和零次多项式 5． 一元多项式的运算（加减乘）、运算律、多项式环、次数定理 6． 整除的定义：()()g x f x ?()()()f x g x h x =（证明，不整除则用反证法）、因式和倍式 7． 整除的性质： （1） 一些特殊的整除性（0，常数，自身） （2） 整除的反身性 （3） 整除的传递性 （4） 整除的组合性 8． 带余除法()()()()f x q x g x r x =+、综合除法 9． 整除的判定法则：余式为零 10． 整除不受数域的影响 11． 公因式及最大公因式的定义、()()(),f x g x ，()0,()()g x g x =，()0,00= 12． 最大公因式的求法（辗转相除法）P44：5 13． 最大公因式可以表示为()(),f x g x 的一个组合()()()()()d x u x f x v x g x =+——Ｐ45：8 14． 互素的定义 15． 互素的相关定理（证明）P45：12、14 （1） ()()(),11()()()()f x g x u x f x v x g x =?=+ （2） ()()()()()()()(),1,f x g x f x g x h x f x h x =? （3） ()()()()()()() ()()()121212,,,1,f x g x f x g x f x f x f x f x g x =? 16． 不可约多项式的定义（次数大于等于1） 17． 平凡因式、不可约等价于只有平凡因式 18． 可约性与数域有关 19． 不可约多项式的性质： （1） ()p x 不可约，则()cp x 也不可约 （2） ()p x 不可约，()[],f x P x ?∈ ()()|(),(),()1p x f x or f x p x ?= （3） ()p x 不可约，()()()p x f x g x ()()()|(),p x f x or p x g x ? 20． 标准分解式1212()()()()s r r r s f x cp x p x p x =
1122,, 0,.i j i j in jn A i j a A a A a A i j ?=?++=?≠?? L = =()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O * = =* *=-1 (1)2 1121 21 1211 1 ()n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1 范德蒙德行列式： ()12222 1211 1112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 分块对角阵相乘：11 112222,A B A B A B ???? == ? ???? ??11112222A B AB A B ??= ???,1122n n n A A A ?? = ??? 分块矩阵的转置矩阵：T T T T T A B A C C D B D ?? ??= ? ????? () 1121112 222* 12n T n ij n n nn A A A A A A A A A A A ?? ? ? == ? ??? L L M M M L ，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. **AA A A A E ==,1*n A A -=, 1 1A A --=. 分块对角阵的伴随矩阵：* * *A BA B AB ?? ??= ? ???? ?
第二章行列式知识点总结 一行列式定义 1、n 级行列式1112121 22 212 n n ij n n n nn a a a a a a a a a a = （1）等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积1212n j j nj a a a （2）的代 数和，这里12n j j j 是一个n 级排列。当12 n j j j 是偶排列时，该项前面带正号；当12 n j j j 是奇排列时，该项前 面带负号，即： 12 1212 1112121222() 1212 (1)n n n n n j j j ij j j nj n j j j n n nn a a a a a a a a a a a a a τ= = -∑ 。 2、等价定义 121212() 12(1)n n n i i i ij i i i n n i i i a a a a τ = -∑和12 1211221212 ()() (1)n n n n n n i i i j j j ij i j i j i j n i i i j j j a a a a ττ+= -∑ 和 3、由n 级排列的性质可知，n 级行列式共有!n 项，其中冠以正号的项和冠以负号的项（不算元素本身所带的负号）各占一半。 4、常见的行列式 1）上三角、下三角、对角行列式 11 11 11 222222 112200nn nn nn nn a a a a a a a a a a a a *===* 2）副对角方向的行列式 111(1)21 2,1 2,1 2 12,111 1 1 0(1) n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----* ===-* 3）范德蒙行列式： 1222212 11 1112 111() (2) n n i j j i n n n n n a a a a a a a a a a a n ≤<≤---= -≥∏ 二、行列式性质 1、行列式与它的转置行列式相等。
近世代数复习提纲 群论部分 一、基本概念 1、群的定义（四个等价定义） 2、基本性质 （1）单位元的唯一性； （2）逆元的唯一性； （3）11111(),()ab b a a a -----==； （4）ab ac b c =?=； （5）1ax b x a b -=?=；1ya b y ba -=?=。 3、元素的阶 使m a e =成立的最小正整数m 叫做元素a 的阶，记作||a m =；若这样的正整数不存在，则称a 的阶是无限的，记作||a =∞。 （1）11|,||||()|||a g ag g G a a --=?∈=。 （2）若m a e =，则 ①||a m ≤； ②||a m =?由n a e =可得|m n 。 （3）当群G 是有限群时，a G ?∈，有||a <∞且||||a G 。 （4）||||r n a n a d =?= ，其中(,)d r n =。 证明 设|||r a k =。因为()()n r r n d d a a e ==，所以n k d 。 另一方面，因为()r k rk a a e ==，所以n rk ，从而 n r k d d ，又(,)1r n d d =，所以 n k d ，故n k d =。
注：1? ||||||ab a b ≠，但若ab ba =，且(||,||)1a b =，则有||||||ab a b =（P70.3）。 2? ||,||G a G a <∞??∈<∞；但,||||a G a G ?∈<∞?<∞/。 例1 令{|,1}n G a C n Z a =∈?∈?=，则G 关于普通乘法作成群。显然，1是G 的单位元，所以a G ?∈，有||a <∞，但||G =∞。 二、群的几种基本类型 1、有限群：元素个数（即阶）有限的群，叫做有限群。 2、无限群：元素个数（即阶）无限的群，叫做无限群。 3、变换群：集合A 上若干一一变换关于变换乘法作成的群，叫做集合A 上的变换群。 （1）变换群的单位元是A 的恒等变换。 （2）A 的所有一一变换的集合关于变换的乘法作成A 上最大的变换群。 （3）一般地，变换群不是交换群。 （4）任一个群都与一个变换群同构。 4、置换群：有限集合A 上的一一变换叫做置换，若干置换作成的变换群叫做置换群。即有限集合上的变换群叫做置换群。 例2 设(123),(13)(24)αβ==是5S 中元素，求αβ。 解 12345123451234512345(123)(13)(24)(142)23145321451432541325αβ????????==== ????? ????????? （1）n 元集合A 的所有置换作成的置换群，叫做n 次对称群，记作n S 。 （2）||!n S n =。 （3）每个n 元置换都可表示为若干个没有公共数字的循环置换的乘积。 （4）11221()()k k i i i i i i -=L L 。 （5）任一有限群都与一个置换群同构。 5、循环群：若群G 中存在元素a ，使得(){|}n G a a n Z ==∈，则称G 是循环群。 （1）循环群是交换群（P61.1）。 （2）素数阶群是循环群（P70.1）。
第一章 行列式（ * * * ） 一、复习指导：行列式在高等代数中是十分重要的，它不仅是每年必要的一道大题，而且还是一个基础章节，它与学好后面的章节也有一定的联系，是学习后面重要章节的基础。在首师大真题中，行列式往往会以求数字型n 阶行列式的值作为一道大题出现，分值15分。具体可以参考真题。 二、考点精讲： (一）基本概念 定义1 逆序—设j i ,是一对不等的正整数，若j i >，则称),(j i 为一对逆序。 定义2 逆序数—设n i i i Λ21是n ,,2,1Λ的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数，记为)(21n i i i Λτ，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。 定义3 行列式—称nn n n n n a a a a a a a a a D Λ ΛΛΛΛΛΛ 21 22221112 11 = 称为n 阶行列式，规定 n n n nj j j j j j j j j a a a D ΛΛΛ21212121) ()1(∑-= τ 。 定义4 余子式与代数余子式—把行列式nn n n n n a a a a a a a a a D Λ ΛΛΛΛΛΛ 21 22221112 11 = 中元素ij a 所在的i 行元素和j 列元素去掉，剩下的1-n 行和1-n 列元素按照元素原来的排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称ij j i ij M A +-=) 1(为元素ij a 的代数余子式。 （二）、几个特殊的高阶行列式 1、对角行列式—形如 n a a a Λ ΛO ΛΛΛΛ0 00 02 1 称为对角行列式，n n a a a a a a ΛΛ ΛO ΛΛΛΛ21210 00 0=。
近世代数知识点 第一章基本概念 1.1 集合 A 的全体子集所组成的集合称为A 的幂集，记作2 A. 1.2 映射 证明映射： 单射：元不同，像不同；或者像相同，元相同。 满射：像集合中每个元素都有原像。 Remark ：映射满足结合律！ 1.3 卡氏积与代数运算 { (a,b ) la €A,b €B }此集合称为卡氏积，其中(a,b )为有序元素对，所以一般A*B不等于B*A. 集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。 1.4 等价关系与集合的分类 ★等价关系：1 自反性：? a€A,a~a; 2 对称性：? a,b€R, a~b=>b ~a€R; 3 传递性：? a,b,c€R,a~b,b ~c =>a ~c€R. Remark :对称+传递工自反 ★一个等价关系决定一个分类，反之，一个分类决定一个等价关系 ★不同的等价类互不相交，一般等价类用[a] 表示。
第二章群 2.1 半群 1. 半群=代数运算 +结合律，记作（ S,°） Remark: i. 证明代数运算：任意选取集合中的两个元素，让两元素间做此运算，观察运算后的结果是否还在定义的集合中。 ii. 若半群中的元素可交换，即 a°b=b °a, 则称为交换半群。 2. 单位元 i. 半群中左右单位元不一定都存在，即使存在也可能不唯一，甚至可能都不 存在；若都存在，则左单位元 =右单位元 =单位元。 ii. 单位元具有唯一性，且在交换半群中：左单位元= 右单位元 = 单位元。 iii. 在有单位元的半群中，规定 a0=e. 3. 逆元 i. 在有单位元 e 的半群中，存在 b, 使得 ab=ba=e, 则 a 为可逆元。 ii. 逆元具有唯一性，记作 a-1且在交换半群中，左逆元=右逆元= 可逆元。 iii. 若一个元素a既有左逆元al,又有右逆元a2,则a1=a2,且为a的逆元。 4. 子半群 i. 设S是半群，？ T?S若T对S的运算做成半群，贝U T为S的一个 子半群
高等代数知识结构一、高等代数知识结构图 高等代数线性代数 工具 线性方程组 中心课题 线性典范型 研究范围 线性空间 行列式 矩阵 线性方程组 向量相关性 行列式的计算 行列式的性质 矩阵的秩 矩阵的运算 与逆 矩阵的初等变换 线性方程组的解法及判别定理 线性方程组解的结构 极大线性无关组 线性相关和线性无关 二次型 线性流形 线性函数 若尔当典范性 化为标准型（配方法， 线性方程组法，正交法） 对角化 正定性，合同 单线性函数 对称双线性函数 J矩阵 II-C定理 矩阵的可对角化 线性空间 欧式空间 酉空间 线性空间的性质与同构， 子空间的判定 线性变换 坐标变换与基变换 特征值与特征向量 可对角化及不变子空间 欧式空间的性质 正交化与正交补的求法 正交变换与正交矩阵 酉空间的性质 复数域上的正交变换
二、高等代数知识结构内容 （一）线性代数： 工具：线性方程组 1.行列式： 1行列式的计算设有2n 个数，排成n 行n 列的数表 nn n n n n a a a a a a a a a 21 2222111211 ，即n 阶行 列式．这个行列式等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积 n 21nj j 2j 1a a a ⑴的代数和，这里n 21j j j 是n 21，，， 的一个排列,每一项⑴都按下列规则带有符号：当n 21j j j 是偶排列时, ⑴带正号；当n 21j j j 是奇排列时, ⑴带负号．即 nn n n n n a a a a a a a a a 2 12222111211 =() ()n 21n 21n 21nj j 2j 1j j j j j j 1a a a τ∑-， 这里∑n 21j j j 表示对所有n 级排列求和. a.行列式的性质： 性质1.行列互换，行列式不变。 性质2.一行的公因子可以提出来（或以一数乘行列式的一行就相当于用这个数 多项式理论 整除理论 因式分解理论 多项式根的理论 多元多项式/ 对称多项式 最大公因式定理 互素与同于 因式分解唯一性 重因式 复数域 实数域 有理数域 求法 判定（爱绅斯坦因） 根的判别式 韦达定理
近世代数的基础知识 初等代数、高等代数和线性代数都称为经典代数（Classical algebra ），它的研究对象主要是代数方程和线性方程组）。近世代数（modern algebra ）又称为抽象代数（abstract algebra ），它的研究对象是代数系，所谓代数系，是由一个集合和定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。近世代数主要包括：群论、环论和域论等几个方面的理论，其中群论是基础。下面，我们首先简要回顾一下集合、映射和整数等方面的基础知识，然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。 3．1 集合、映射、二元运算和整数 3．1．1 集合 集合是指一些对象的总体，这些对象称为集合的元或元素。“元素a 是集合A 的元”记作“A x ∈”，反之，“A a ?”表示“x 不是集合A 的元”。 设有两个集合A 和B ，若对A 中的任意一个元素a （记作A a ∈?）均有B a ∈，则称A 是B 的子集，记作B A ?。若B A ?且A B ?，即A 和B 有完全相同的元素，则称它们相等，记作B A =。若B A ?，但B A ≠，则称A 是B 的真子集，或称B 真包含A ，记作B A ?。 不含任何元素的集合叫空集，空集是任何一个集合的子集。 集合的表示方法通常有两种：一种是直接列出所有的元素，另一种是规定元素所具有的性质。例如： $ {}c b a A ,,=； {})(x p x S =，其中)(x p 表示元素x 具有的性质。 本文中常用的集合及记号有： 整数集合{} ,3,2,1,0±±±=Z ； 非零整数集合{}{} ,3,2,10\±±±==* Z Z ； 正整数（自然数）集合{} ,3,2,1=+ Z ； 有理数集合Q ，实数集合R ，复数集合C 等。 —
定理 同态满射保持运算律（包括结合律、交换律） P21 左右逆元的统一性 P33-34 左右逆元的唯一性 P36 （由此可称为幺元而省掉“左右”） 群的两个定义的等价性 P33 群满足消去律（由逆元的存在性） P38 仅限有限集合的群判定：封闭+结合律+消去律 P39 群的几个分类标准： 1、 有限 / 无限 ——元素个数 2、 交换 / 非交换 ——运算是否满足交换律 3、 循环 / 非循环 ——是否有一元可以遍历其他元 P35 n a ： 次n n a aa a ≡ n 是正整数 （由结合律知其有意义） a 的阶： 对群G 中的元a ，若存在最小正整数m ，使得e a =m ， 则m 称为 a 的阶；否则我们称a 是无限阶的 P37 群中幂形式的元的运算法则： 若规定：e a =0， n n a a )(1--= 则对任意整数m,n 有：m n m n a a a +=， nm m n a a =)( （由结合律易得） 两种循环群： 整数加群 与 剩余类加群 同构定理： 任何一个群 有一个变换群与之同构 任何一个有限群 有一个置换群与之同构 任何一个无限循环群 与整数加群同构 任何一个有限循环群 与剩余类加群同构 子群的左陪集和右陪集的个数，或都为无限，或相等 P68
子群陪集（左或右算一边）的个数叫做子群的指数 群的阶： 群中元素的个数 对有限群G 而言： G 的子群的阶，与子群陪集的个数（指数），其乘积即为群G 的阶 （即都整除群G 的阶） G 中任意元的阶，都整除群G 的阶（因为任意元可生成循环子群） 子群充要条件： H ab H b a ∈?∈?-1, P63 定理2 子群正规充要条件： N ana N n G a ∈?∈∈?-1, P72 定理2 （首先N 须得是一个子群，然后再有…）
第一章：基本概念 重点：一一映射、代数运算、代数系统、同态、同构、分类。 第二章：群 重点：群的各种等价定义、变换群及其基本定理、置换群、子群。难点：置换群、变换群、陪集。 第三章：正规子群和群的同态与同构 重点：正规子群、商群、同态基本定理 难点：同态基本定理、同构定理、自同构群。 第四章：环与域 重点：环、域、理想 难点：环的同态、同构，极大理想、商域。 第五章：唯一分解整环 重点：唯一分解，主理想环，多项式和多项式的根。 难点：唯一分解环，主理想环、欧氏环。 近世代数练习题（A） 一、填空题（每题3分，共30分）：
1、设 是集合 到 的满射，则 . 2、设群 中元素 的阶为 ，如果 ，那么 与 存在整除关系为. 3、写出三次对称群 的子群 的一切左陪集，，. 4、设 是一个 阶交换群， 是 的一个
（ ）阶元，则商群 的阶等于. 5、设 = 是循环群，则 与整数加群同构的充要条件是. 6、若环 的元素(对加法)有最大阶 , 则称 为环 的. 7、若环 满足左消去律，那么 必定(有或没有)左零因子. 8、若 是一个有单位元的交换环， 是 的一个理想，那么
是一个域当且仅当 是环 的. 9、若域 ，则称 是一个素域. 10、设 是域 的一个扩域, . 如果存在 上非零多项式 使 , 则称 为 上的一个. 二、选择题（每题4分，共20分）： 1、指出下列哪些运算是代数运算（）. A.在整数集 上，
B.在有理数集 上， C.在正实数集 上， D.在集合 上， 2、设 是一个群同态映射(不一定是满射)，那么下列错误的命题是（）. A. 的单位元的象是 的单位元 B. 的元素 的逆元的象是 的象的逆元 C. 的子群的象是 的子群 D.
第九章 欧几里得空间（ * * * ） 一、复习指导：在第九章中，有两个重要的考点：1.标准正交基（施密特正交化）2.实对称矩阵如何相似对角化，如何求标准形。除此之外，欧氏空间的含义，概念，性质也要作为一个比较重要的内容来复习。 二、考点精讲： 三、首师大真题： （一）欧氏空间 1.设V 是是数域R 上一线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记为(,)αβ，特具有一下性质： （1）(,)(,)αββα=； （2）(,)(,)k k αβαβ= （3）(,)(,)(,)αβγαγβγ+=+； （4）(,)0αα≥，当且仅当α=0时(,)αβ=0.这里,,αβγ是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间V 称为欧几里得空间。 2.α的长度，记为α。 3.非零向量的夹角,β规定为(,) ,arccos ,0,ααβαβπαβ =≤≤ 4.如果向量,αβ的内积为零，即(,)0αβ=，那么,αβ称为正交或互相垂直，记为αβ⊥。 5.设V 是一个n 维欧几里得空间，在V 中取一组基1,2,......,n εεε令 (,),(,1,2,....)ij i j a i j n εε==矩阵()ij n n A a ?= 称为基1,2,......,n εεε的度量矩阵。 （1）度量矩阵是正定的； （2）不同基底的度量矩阵是合同的。 6.欧氏空间V 中一组非零向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基。 （1）施密特正交化 这是把线性无关向量组改造为单位正交向量组的方法. 以3个线性无关向量α1,α2,α3为例. ①令β1=α1, β2=α2- 11112) ,() ,(ββββα, β3=α3-11113),(),(ββββα-22223) ,() ,(ββββα. 此时β1,β2,β3是和α1,α2,α3 等价的正交非零向量组. （二）同构 1.实数域R 上欧氏空间V 与' v 称为同构，如果由V 到' v 有一个1-1上的映射σ，适合 （1）()()()σαβσασβ+=+ （2）()()k k σασα=
近世代数复习提纲 群论部分 一、基本概念 1、群的定义（四个等价定义） 2、基本性质 （1）单位元的唯一性； （2）逆元的唯一性； （3）11111(),()ab b a a a -----==； （4）ab ac b c =?=； （5）1ax b x a b -=?=；1ya b y ba -=?=。 3、元素的阶 使m a e =成立的最小正整数m 叫做元素a 的阶，记作||a m =；若这样的正整数不存在，则称a 的阶是无限的，记作||a =∞。 （1）11|,||||()|||a g ag g G a a --=?∈=。 （2）若m a e =，则 ①||a m ≤； ②||a m =?由n a e =可得|m n 。 （3）当群G 是有限群时，a G ?∈，有||a <∞且||||a G 。 （4）||||r n a n a d =?= ，其中(,)d r n =。 证明 设|||r a k =。因为()()n r r n d d a a e ==，所以n k d 。 另一方面，因为()r k rk a a e ==，所以n rk ，从而 n r k d d ，又(,)1r n d d =，所以 n k d ，故n k d =。
注：1? ||||||ab a b ≠，但若ab ba =，且(||,||)1a b =，则有||||||ab a b =（P70.3）。 2? ||,||G a G a <∞??∈<∞；但,||||a G a G ?∈<∞?<∞/。 例1 令{|,1}n G a C n Z a =∈?∈?=，则G 关于普通乘法作成群。显然，1是G 的单位元，所以a G ?∈，有||a <∞，但||G =∞。 二、群的几种基本类型 1、有限群：元素个数（即阶）有限的群，叫做有限群。 2、无限群：元素个数（即阶）无限的群，叫做无限群。 3、变换群：集合A 上若干一一变换关于变换乘法作成的群，叫做集合A 上的变换群。 （1）变换群的单位元是A 的恒等变换。 （2）A 的所有一一变换的集合关于变换的乘法作成A 上最大的变换群。 （3）一般地，变换群不是交换群。 （4）任一个群都与一个变换群同构。 4、置换群：有限集合A 上的一一变换叫做置换，若干置换作成的变换群叫做置换群。即有限集合上的变换群叫做置换群。 例2 设(123),(13)(24)αβ==是5S 中元素，求αβ。 解 12345123451234512345(123)(13)(24)(142)23145321451432541325αβ????????==== ????? ????????? （1）n 元集合A 的所有置换作成的置换群，叫做n 次对称群，记作n S 。 （2）||!n S n =。 （3）每个n 元置换都可表示为若干个没有公共数字的循环置换的乘积。 （4）11221()()k k i i i i i i -=L L 。 （5）任一有限群都与一个置换群同构。 5、循环群：若群G 中存在元素a ，使得(){|}n G a a n Z ==∈，则称G 是循环群。 （1）循环群是交换群（P61.1）。 （2）素数阶群是循环群（P70.1）。
第一章 定义1 数域 定义2 数域P上的一元多项式 定义3 多项式相等 定义4 一元多项式环 带余除法 定义5 整除 定理1 r（x）=0 定义 6 最大公因式 定理 2 d（x）=u（x）f（x）+v（x）g(x); (f(x),g(x))= u（x）f（x）+v（x）g(x) 定义7 互素(f(x),g(x))=1 定理 3 u（x）f（x）+v（x）g(x)=1 定理4 f ，g互素且f|gh，则f|h 推论f1|g，f2|g，且f1，f2互素，则f1f2|g， 定义8 不可约多项式 定理5 一个不可约多项式p，能够表达成P|fg， 则p|f或者p|g 因式分解及其唯一性定理数域P上的一个多项式f，都可以唯一的分解成数域P上的一些不可约多项式的乘积。
第四章 1 转轴----坐标系（x1，y1，z1）到（x2，y2，z2）的坐标变换矩阵是A，如果令X1=（x1，y1，z1）的转置，X2=（x2，y2，z2）的转置，则X1=AX2。 2单位矩阵E=数量矩阵为kE= 如：AE=A，EA=A 3矩阵的加法，乘法，减法，结合律，交换律，零矩阵 4 秩（A+B）秩A+秩B 5 如：A=则矩阵的数量乘积 kA= 6 矩阵的转置记作A的转置为A’。例如A= 则A’= 注意：转置的性质(A’)’=A (A+B)’=A’+B’( AB)’=B’A’ (kA)’=kA’ 定理1 假设A B是数域P上的两个n n矩阵，那么|AB|=|A||B| 即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积 推论1 |A1A2An|=|A 1||A 2||An|
定义6数域P上的一个n n矩阵A，如果|A|0，称为非退化的，否则称为退化的 推论2 假设A B是数域P上的两个n n矩阵，矩阵AB为退化的充要条件是A，B中至少有一个是退化的 定理2 假设A是数域P上的n m矩阵，B是数域P上的m s 矩阵，于是秩（AB）min[秩A，秩B]。即乘积的秩不 超过个因子的秩 推论3 如果A=A1A2An，那么秩A min（秩Ai） 定义7 如果有n级方阵B，使得AB=BA=E，则n级方阵A称为是可逆的 定义8 如果有n级方阵B，使得AB=BA=E，那么B就称为A的逆矩阵，记作A-1 定义9 假设A ij是矩阵A=中a ij的代数余子式，矩阵A*=称为A的伴随矩阵。 A*A=AA*=dE 其中d=|A| 定理3 矩阵A 可逆的充分必要条件是A是非退化的， 而A-1=A* 推论如果A，B可逆，那么AB与Ａ＇也可逆， 且(A’)-1=(A-1)’,(AB)-1=B-1A-1
《高等代数知识体系及解题方法概述》 姓名：*** 学院：理学院 专业：数学与应用数学 学号：20********1 课程：高等代数 2020年6月23日
第一章：多项式 知识体系： 解题方法： 1，判定数域:关于加减乘除封闭。 2，求最大公因式： (1) 多项式分解成标准分解式; (2) 辗转相除法; 3，求多项式的标准分解式： ① 利用辗转相除法求出())(),(x f x f '； ② 把f(x)单因式化 ())()()()(),() (2 1x p x p x cp x f x f x f s Λ='； ③ 得出重因式的次数，将次数加到f(x)的单因式上去。 4，判定多项式整除：带余除法余式为零。 5，判定重因式并求重因式： (1) ()1)(),(≠'x f x f ； (2) 带余除法。 6，求方程的有理根： (1) 带余除法； (2) 整系数多项式的根为r/s;若是s|an,r|a0。根据多项式猜想所有可能根，代入方程验证。 7，判定不可约多项式： (1) 艾森斯坦因判别法； 多项式 一元多项式整除带余除法最大公因式互素 因式分解定理重因式 复、实系数多项式因式分解 有理系数多项 式 多项式函数多元多项式 对称多项式 对称多项式基本定理
(2)反证法，得出矛盾。 8，证明一多项式因某条件而为简单多项式思路： ①设多项式； ②设多项式次数，比较等式两边多项式次数； ③设特殊值，比较等式两边系数。 9，多项式按某一次因式的方幂和展开式:综合除法 第二章：行列式 知识体系： 解题方法： 1，行列式的计算： (1)行列式的定义； (2)降阶法； (3)按某一行或某一列的代数余子式展开（一般是按零较多的行或列展开）， 高阶行列式一般需要进行递推； (4)若每一行或每一列的元素相同，相加到第一行或第一列提取公因数后进 行降级处理； (5)若行列式形似范德蒙德行列式，则构造对应范德蒙德行列式。求出范德 蒙德行列式的多项式系数，要求的行列式一般与多项式的系数密切相关2，解线性方程组：克拉默法则（非齐次） 第三章：线性方程组 知识体系：
高等代数复习提纲 一． 多项式 1. 带余除法—->辗转相除法- 1uf vg +=的运用 2. 不可约多项式，标准分解式，特别是实数域和复数域情形。 3. 根与标准分解式（复数域），重因式判定。 4. 有理根计算。Eisenstein 判别法变形运用。 二． 行列式 基本性质与算法， 行列式仅是后继高代内容的研究工具。 三． 线性方程组 核心内容。线性相关性判定及线性组合方式计算是两个核心概念。 1. 消元法：初等行变换是代数最基本方法。 2. 向量组线性相关性概念，秩的计算，矩阵非零r 级子式计算，极大无关组 的求法。 3. 方程组三种等价形式的运用。 4. 线性方程组有解判别定理与向量组秩关系。 5. 解的结构与极大无关组。 四． 矩阵 1. 矩阵乘积的秩。 2. 逆矩阵计算 3. 初等变换与初等矩阵：左乘变行，右乘变列。 4. 分块的思想：与矩阵乘积，方程组关系等。 五． 二次型 1. 二次型几何意义。 2. 二次型矩阵，标准型计算。合同概念。 3. 规范形几何意义。特别是实二次型。 4. 正定性的判定。与向量内积关系等： 例如： ()();T r A r A A =T A A 正定当且仅当0AX =只有零解，其中A 不必是方阵。 六 线性空间 1. 线性空间定义。 2. 基（维数），坐标，同构.n V P ? 3. 向量组线性相关性判定?同构 坐标向量组相关性? 线性方程组。 4. 子空间的交与和基的计算，维数公式。 5. 直和：交为{0}. 七．线性变换 1. 线性变换矩阵表示：线性变换=矩阵（基固定），这一相等保持线性关系和乘
积，从而一切关于线性变换问题完全等价于一个矩阵问题。 2. 基变换前后矩阵相似。 3. 特征值，特征向量的计算和性质。注意特征向量和特征向量坐标的区别：首先计算的是特征向量坐标！ 4.可对角化判定。 值域与核的基的计算，“维数公式“。 八．λ矩阵 1. 初等变换注意事项。 2. 标准型计算：简便算法。 3. 行列式因子，不变因子，初等因子，Jordan块之间对应关系。 九．欧氏空间 1. 定义和基本性质。 2. 标准正交基。 3. Schmidt正交化方法。 4. 正交矩阵，正交变换。 5. 实对称矩阵标准型 5. 正交补。 6.内射影计算。 7.同构.n ? V R