1.3.1第一课时 函数的单调性
1、函数f (x )＝2x 2
－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )为增函数，当x ∈(－∞，－2]时，函数f (x )为减函数，则m 等于( )
A ．－4
B ．－8
C ．8
D ．无法确定
2、函数f (x )在R 上是增函数，若a ＋b ≤0，则有( )
A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )－f (b )
B ．f (a )＋f (b )≥－f (a )－f (b )
C ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )
D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b ) 3．下列四个函数：①y ＝x
x －1；②y ＝x 2＋x ；③y ＝－(x ＋1)2；④y ＝x
1－x ＋2.其中在(－∞，0)上
为减函数的是( )
A ．①
B ．④
C ．①④
D ．①②④
4、函数y ＝－x 2的单调减区间是( )
A ．[0，＋∞) B．(－∞，0] C ．(－∞，0) D ．(－∞，＋∞)
5、若函数f (x )定义在[－1,3]上，且满足f (0) A ．单调递增 B ．单调递减 C ．先减后增 D ．无法判断 6、已知函数y ＝f (x )，x ∈A ，若对任意a ，b ∈A ，当a A ．有且只有一个 B ．可能有两个 C ．至多有一个 D ．有两个以上 7、设函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，则( ) A ．f (a )＞f (2a ) B ．f (a 2)＜f (a ) C ．f (a 2＋a )＜f (a ) D ．f (a 2＋1)＜f (a ) 8、下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是( ) ①y ＝|x |；②y ＝|x |x ；③y ＝－x 2|x |；④y ＝x ＋x |x | . A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 9、下列说法中正确的有( ) ①若x 1，x 2∈I ，当x 1＜x 2时，f (x 1)＜f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数；②函数y ＝x 2在R 上是增 函数； ③函数y ＝－1x 在定义域上是增函数；④y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 10、若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是________． 11、若函数y ＝－b x 在(0，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________． 12、已知函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f (34 )的大小关系为________． 13、y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________． 14、若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0. (1)求b 与c 的值； (2)试证明函数f (x )在区间(2，＋∞)上是增函数． 15、已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －1)＜f (1－3x )，求x 的取值范围． 16、设函数y＝f(x)＝ax＋1 x＋2 在区间(－2，＋∞)上单调递增，求a的取值范围． 17、（1）请根据下图描述某装配线的生产率与生产线上工人数量间的关系. （2）整个上午（8∶00～12∶00）天气越来越暖，中午时分（12∶00～13∶00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多. 暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（18∶00）才又开始转凉. 画出这一天8∶00～20∶00期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间. （3）根据下图说出函数单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数. 18、证明函数f (x) = –2x +1在R上是减函数. 19、证明函数f (x) =1 x 在（0，+∞）上是减函数. 1.3.1函数的单调性与最大（小）值（第一课时） 教学设计 一、教学内容解析： (1)教学内容的内涵、数学思想方法、核心与教学重点； 本课教学内容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学1》（以下简称“新教材”）第一章节。 函数的单调性是研究当自变量x不断增大时，它的函数y增大还是减小的性质．如增函数表现为“随着x增大，y也增大”这一特征．与函数的奇偶性不同，函数的奇偶性是研究x成为相反数时，y是否也成为相反数，即函数的对称性质． 函数的单调性与函数的极值类似，是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有．这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同，它们是函数在整个定义域上的性质． 函数单调性的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法：加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般．首先借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数字特征，从而进一步用数学符号刻画． 函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用（内部）；在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用（外部）．可见，不论在函数内部还是在外部，函数的单调性都有重要应用，因而在数学中具有核心地位． 教学的重点是：引导学生对函数定义域I的给定区间D上“随着x增大，y也增大（或减小）”这一特征进行抽象的符号描述：在区间D上任意取x1，x2，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)（或f(x1)＞f(x2)），则称函数f（x）在区间D上是增函数（或减函数）． (2)教学内容的知识类型； 在本课教学内容中，包含了四种知识类型。函数单调性的相关概念属于概念性知识，函数单调性的符号语言表述属于事实性知识，利用函数单调性的定义证明函数单调性的步骤属于程序性知识，发现问题----提出问题----解决问题的研究模式，以及从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明等研究问题的一般方法，属于元认知知识. (3)教学内容的上位知识与下位知识； 在本课教学内容中，函数的单调性，是文字语言、图形语言、符号语言的上位知识.图象法、作差法是判断证明函数单调性的下位知识. (4)思维教学资源与价值观教育资源； 生活常见数据曲线图例子，能引发观察发现思维；函数f(x)= +1和函数 1 y x x =+，能引发 提出问题---分析问题----解决问题的研究思维，不等关系等价转化为作差定号，是转化化归思维的好资源，是树立辩证唯物主义价值观的好契机；创设熟悉的二次函数探究背景，是引发从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明思维的好材料，树立了“事物是普遍联系的”价值观. 二、教学目标设置： 本课教学以《普通高中数学课程标准（实验）》（以下统称为“课标”）为基本依据，以“数学育人”作为根本目标设置。 “课标”数学1模块内容要求是：不仅把函数看成变量之间的依赖关系，还要用集合与对应的语言刻画函数，体会函数的思想方法与研究方法，结合实际问题，体会函数在数学和其他学科中的重要性。 “课标”对本课课堂教学内容要求是：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性.(第一课时) 为尽好达到以上要求，结合学生实际，本课课堂教学目标设置如下： (1)知识与技能： 理解函数单调性的概念，让学生能清晰表述函数单调性的定义与相关概念； 能利用图象法直观判断函数的单调性； 课题：§1.3.1函数的单调性 教学目的：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义； （2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质； （3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性． 教学重点：函数的单调性及其几何意义． 教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性． 教学过程： 一、引入课题 1．观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○1随x的增大，y的值有什么变化？ ○2能否看出函数的最大、最小值？ ○3函数图象是否具有某种对称性？ 2．画出下列函数的图象，观察其变化规律：1．f(x) = x ○1从左至右图象上升还是下降 ______? ○2在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ． 2．f(x) = -2x+1 ○1从左至右图象上升还是下降 ______? ○2在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ． 3．f(x) = x2 ○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ． ○2在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ． 二、新课教学 （一）函数单调性定义 1．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 一、选择题 1．若),(b a 是)(x f 的单调增区间，()b a x x ,,21∈，且21x x <，则有（ ） A ． ()()21x f x f < B ． ()()21x f x f = C ． ()()21x f x f > D ． ()()021>x f x f 2．函数()2 2-=x y 的单调递减区间为（ ） A ．[)+∞,0 B ．(]0,∞+ C ．),2[+∞ D ．]2,(-∞ 3．下列函数中，在区间)2,0(上递增的是（ ） A ．x y 1= B ．x y -= C ．1-=x y D ．122++=x x y 4. 若函数1 2)(-= x a x f 在()0,∞-上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,∞- B ．()+∞,0 C ．()0,1- D ．()+∞,1 5. 设函数x a y )12(-=在R 上是减函数，则有（ ） A ．2 1≥ a B ．2 1≤ a C ．2 1> a D ．2 1< a 6. 如果函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间(]2,∞-上是减函数，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．3≤a B ．3≥a C ．3-≥a D ．3-≤a 二、填空题 7．函数1-=x y 的单调递增区间是____________. 8．已知函数)(x f 在()+∞,0是增函数，则)2(f a =,)2(π f b =,)2 3 (f c =的大小关系是__________________________. 9．函数32)(2 +--= x x x f 的单调递增区间是_______. 10．若二次函数45)(2 ++=mx x x f 在区间]1,(--∞是减函数，在区间),1(+∞- 上是增函数，则=)1(f ________. 三、解答题 11. 证明函数x x f 11)(-=在 )0,(-∞ 上是增函数. 12．判断函数x x y 1+ =在区间),1[+∞上的单调性，并给出证明． 《函数的单调性》说课稿 各位评委老师，上午好，我是号考生叶新颖。今天我的说课题目是函数的单调性。首先我们来进行教材分析。 一、教材分析 本课是苏教版新课标普通高中数学必修一第二章第1节《函数的简单性质》的内容，该节中内容包括：函数的单调性、函数的最值、函数的奇偶性。 函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均有着广泛的应用；在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。 利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性一个难点，也是对函数单调性概念的深层理解，且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握。 学生刚刚接触这种证明方法，给出一定的步骤是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助。另外，这也是以后要学习的不等式证明的比较法的基本思路，现在提出来对今后的教学也有了一定的铺垫。 二、教学目标： 根据新课标的要求，以及对教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，制定如下教学目标： 1、知识目标： （1）使学生理解函数单调性的概念，能判断并证明一些简单函数在给定区间上的单调性。 （2）通过函数单调性的教学，逐步培养学生观察、分析、概括与合作能力；2、能力目标： （1）通过本节课的学习，通过“数与形”之间的转换，渗透数形结合的数学思想。 （2）通过探究活动，明白考虑问题要细致、缜密，说理要严密、明确。 3、情感目标：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作与 高考数学函数的单调性复习教案 考纲要求：了解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法 。 函数单调性可以从三个方面理解 （1）图形刻画：对于给定区间上的函数()f x ，函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减。 （2）定性刻画：对于给定区间上的函数()f x ，如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减。 （3）定量刻画，即定义。 上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径 判断增函数、减函数的方法： ①定义法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值1x 、2x ，当21x x <时，都有()()21x f x f <〔或都有()()21x f x f >〕，那么就说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。 与之相等价的定义：⑴()()02121>--x x x f x f ，〔或都有()()02 121<--x x x f x f 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。其几何意义为：增（减）函数图象上的任意两点()()()()2211,,,x f x x f x 连线的斜率都大于（或小于）0。 ⑵()()()[]02121>--x f x f x x ，〔或都有()()()[]02121<--x f x f x x 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。 ②导数法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果()0`>x f 那么就说()f x 在这个区间上是增函数；如果()0` 高中数学必修一函数——单调性 考纲解读： 了解单调函数及单调区间的意义，掌握判断函数单调性的方法；掌握增，减函数的意义，理解函数单调函数的性质。 能力解读：函数单调性的判断和函数单调性的应用。利用函数单调性判断方法来判断函数的单调性，利用函数的单调性求解函数的最值问题。掌握并熟悉抽象函数以及符合函数的单调性判断方法。 知识要点： 1．函数单调性的定义， 2．证明函数单调性； 3．求函数的单调区间 4．利用函数单调性解决一些问题； 5．抽象函数与函数单调性结合运用 一、单调性的定义 （1）设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ? 如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说 )(x f y =在区间I 上是单调增函数，I 称为)(x f y =的单调增区间 如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说 )(x f y =在区间I 上是单调减函数，I 称为)(x f y =的单调减区间 （2）设函数)(x f y =的定义域为A 如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≤恒成立，那么称)(0x f 为 )(x f y =的最大值； 如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≥恒成立，那么称)(0x f 为 )(x f y =的最小值。 二、函数单调性的证明 重点：函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须 先求函数的定义域； （1）定义法求单调性 函数单调性定义中的1x ，2x 有三个特征：一是任意性；二是大小，即 )(2121x x x x <<；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可； 函数的单调性 1.函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2] D ．[2，＋∞) 2.已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( ) A ．(－∞，1] B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－1] D ．[1，＋∞) 3.函数f (x )＝x 1－x 在( ) A ．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数 B ．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数 C ．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数 D ．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数 4.下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A.y ＝x ＋1 B.y ＝(x －1)2 C.y ＝2－x D.y ＝log 0.5(x ＋1) 5.下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )·f (y )”的单调递增函数是( ) A.f (x )＝x 12 B.f (x )＝x 3 C.f (x )＝? ????12x D.f (x )＝3x 6.已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2 －x 1)<0恒成立，设a ＝f ? ?? ??－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >b D ．b >a >c 7.已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________. 8.已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________． 9.函数()f x 的定义域为Ｒ，(1)2f -=，对任意的x R ∈，'()f x 2>，则不等式()24f x x >+的解集为（ ） Ａ()1,1- Ｂ()1,-+∞ Ｃ(),1-∞- Ｄ(),-∞+∞ 10.函数()f x ()x ∈R 满足(1)1f =，1()2 f x '<，则不等式221()22x f x <+的解集为____ 11.函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13 ，则a ＋b ＝ 高一数学函数单调性 一、函数单调性知识结构 【知识网络】 1．函数单调性的定义，2．证明函数单调性；3．求函数的单调区间 4．利用函数单调性解决一些问题；5．抽象函数与函数单调性结合运用 二、重点叙述 1. 函数单调性定义 (一)函数单调性概念 (1)增减函数定义 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2 : 如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＜f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是增函数; 如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＞f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是减函数。 如果函数在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做的单调区间。 (2)函数单调性的内涵与外延 ⑴函数的单调性也叫函数的增减性。函数的单调性是对某个区间而言的,是一个局部概念。 ⑵由函数增减性的定义可知:任意的x1、x2∈D, ① x1＜x2 ,且f(x1 ) ＜f(x2 ),y=f(x)在区间D上是增函数;(可用于判断或证明函数的增减性) ② y=f(x)在区间D上是增函数,且x1＜x2 , f(x1 ) ＜f(x2 ) ;(可用于比较函数值的大小) ③ y=f(x)在区间D上是增函数,且f(x1 ) ＜f(x2 ), x1＜x2。(可用于比较自变量值的大小) 2. 函数单调性证明方法 证明函数单调性的方法有:定义法(即比较法);导数法。 实际上,用导数方法证明一般函数单调性是很便捷的方法,定义法是基本方法,常用来证明解决抽象函数或不易求导的函数的单调性。 (1)定义法:利用增减函数的定义证明。在证明过程中,把数式的大小比较转化为求差比较(或求商比 选修2-21.3.1函数的单调性与导数 一、选择题 1.设f（x)=ax3+bx2+cｘ+d(ａ>0),则f(x)为R上增函数的充要条件是（） A.ｂ2-4aｃ>0 ?Ｂ．b>0，c＞０ C.b=0,c>0 ??D．ｂ2-３ac<０ [答案] D [解析］∵a>0，f(x）为增函数， ∴ｆ′（ｘ)＝3ax2＋2bx+c>0恒成立， ∴Δ＝(2ｂ）2－4×3a×ｃ=4b2-1２ａｃ<0,∴b2-3ａｃ＜0． 2．(20０9·广东文,8)函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是() A.（－∞,2) ?B．(0，3) Ｃ.(1,4)???Ｄ．(２，+∞) ［答案]Ｄ ［解析] 考查导数的简单应用. ｆ′(x）＝（x-３)′eｘ+（ｘ-3)(ｅx)′=(x-２)e x, 令ｆ′（x)>0,解得x＞2，故选D. 3.已知函数ｙ=f（ｘ)（x∈R）上任一点(x0,f(x0))处的切线斜率k=(x 2）(ｘ0+１)2,则该函数的单调递减区间为( ) ０－ A.［－1,＋∞)???B．（-∞，2] Ｃ．(-∞,-１)和(1,2)??D.［2，+∞) [答案］ B [解析] 令k≤0得ｘ0≤2，由导数的几何意义可知，函数的单调 减区间为(-∞,2]. 4.已知函数ｙ=xf′(ｘ)的图象如图(１)所示(其中f′（x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是(） [答案] Ｃ [解析]当０ 利用导数研究函数的单调性、极值、最值 一、选择题 1.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T12)若函数f (x )=x-1 3sin2x+asinx 在(-∞,+∞)上单调递增,则a 的取值范围是 ( ) A.[-1,1] B.11,3 ? ? -??? ? C.11,33??- ???? D.11,3? ? --???? 【解析】选C.方法一:用特殊值法: 取a=-1,f (x )=x-1 3 sin2x-sinx , f'(x )=1-23 cos2x-cosx , 但f'(0)=1-23-1=-23 <0,不具备在(-∞,+∞)上单调递增,排除A ,B ,D. 方法二:f'(x )=1-23 cos2x+acosx ≥0对x ∈R 恒成立, 故1-23 (2cos 2x-1)+acosx ≥0, 即acosx-43cos 2 x+53 ≥0恒成立, 令t=cosx ,所以-43t 2+at+53 ≥0对t ∈[-1,1]恒成立, 构造函数f (t )=- 43 t 2 +at+53 , 开口向下的二次函数f (t )的最小值的可能值为端点值, 故只需()()1f 1a 0,31f 1a 0,3 ?-=-≥????=+≥?? 解得-13≤a ≤13 . 2.(2016·四川高考理科·T9)设直线l 1,l 2分别是函数f (x )=lnx,0x 1,lnx,x 1, ?-<?图象上点P 1,P 2处的切 线,l 1与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是 ( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 【解题指南】设出两切点的坐标,两切线方程,从而求出点P 的坐标,表示出三角形的面积,进而求出取值范围. 【解析】选A.由题设知:不妨设P 1,P 2点的坐标分别为: P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),其中0 函数的单调性教学设计 一．教学内容解析： 1．教材内容及地位 本节课是北师大版《数学》（必修1）第二章第3节函数单调性的第一课时，主要学习用符号语言（不等式）刻画函数的变化趋势（上升或下降）及简单应用．它是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，为后继学习奠定了理性思维基础．如研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质，包括导函数内容等；在对函数定性分析、求最值和极值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及与其他知识的综合问题上都有重要的应用．因此，它是高中数学核心知识之一，是函数教学的战略要地． 2．教学重点函数单调性的概念，判断和证明简单函数的单调性．3．教学难点函数单调性概念的生成，证明单调性的代数推理论证．二．教学目标设置 1．理解函数单调性的相关概念．掌握证明简单函数单调性的方法．2．通过实例让学生亲历函数单调性从直观感受、定性描述到定量刻画的自然跨越，体会数形结合、分类讨论和类比等思想方法． 3．通过探究函数单调性，让学生感悟从具体到抽象、从特殊到一般、从局部到整体、从有限到无限、从感性到理性的认知过程，体验数学的理性精神和力量． 4．引导学生参与课堂学习，进一步养成思辨和严谨的思维习惯，锻炼探究、概括和交流的学习能力． 三．学生学情分析 1．教学有利因素学生在初中阶段，通过学习一次函数、二次函数和反比例函数，已经对函数的单调性有了“形”的直观认识，了解用“y随x的增大而增大（减小）”描述函数图象的上升（下降）的趋势．蒲城县尧山中学重点班的学生基础较好，数学思维活跃，具备一定的观察、辨析、抽象概括和归纳类比等学习能力． 2．教学不利因素本节课的最大障碍是如何用数学符号刻画一种运动变化的现象，从直观到抽象、从有限到无限是个很大的跨度．而高一学生的思维正处在从经验型向理论型跨越的阶段，逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强．另外，他们的代数推理论证能力非常薄弱．这些都容易产生思维障碍． 四、教学策略分析 在学生认识函数单调性的过程中会存在两方面的困难：一是如何把“y随x的增大而增大（减小）”这一描述性语言“翻译”为严格的数学符号化语言，尤其抽象概括出用“任意”刻画“无限”现象；二是用定义证明单调性的代数推理论证．对高一学生而言，作差后的变形和因式符号的判断也有一定的难度．为达成课堂教学目标，突出重点，突破难点，我们主要采取以下形式组织学习材料： 1．指导思想．充分发挥多媒体形象、动态的优势，借助函数图象、表格和几何画板直观演示．在学生已有认知基础上，通过师生对话自然生成． 2．在“创设情境”阶段．观察并分析沙漠某天气温变化的趋势，结 如对您有帮助，请购买打赏，谢谢您！ 一、教学内容分析: 函数的单调性是学生在掌握了函数的概念，函数的表示方法等基础知识后，学习的函数的第一个性质，主要刻画了函数在其定义域内某区间上图像（上升或下降）的变化趋势，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据，如在研究函数的值域、最大值、最小值等性质中有着重要应用，而且在解决比较数的大小、解不等式、证明不等式、数列的性质等数学问题时也有重要的应用。同时它又是后续研究指数函数、对数函数以及三角函数性质的基础。所以函数的单调性在高中数学中具有核心知识地位和承上启下的重要作用。 二、教学目标设置: （一）知识与技能： 1.用准确的数学语言归纳、抽象概括增函数和减函数的定义，并能正确理解单调性的定义； 2.利用图像和定义判断函数的单调性，能正确书写单调区间，并能用单调性定义证明函数在给定区间上的单调性； 3.培养学生抽象概括能力、类比化归能力及数形结合思想方法的运用能力。 （二）过程与方法： 1. 通过学生熟悉的现实问题创设情境，引出本节课题函数单调性，同时借助多媒体的直观演示，让学生观察图像（上升？下降？）变化趋势，过渡到在区间上用自变量x和相应函数f(x)的变化进行语言表述； 2.设置问题引导学生自主探究、尝试、归纳、总结，师生互相讨论交流，最终形成严格的数学概念； 3.形成概念后，引导学生自主探究，通过生生互动，师生互动，达到让学生从多种形式认识概念的本质含义，从而加深学生对概念的理解；巩固练习问题（1）为了加深学生对单调性定义中自变量取值“任意”性的理解，是一个很好的问题；问题（2）的变式题体现了“逆向思维”，深化对定义的理解；问题（3）通过教师的引导，针对于数学基础较好、思维较为活跃的一部分学生，对判断方法进行适当的深入和拓展，加深学生对单调性定义的更 高中数学函数单调性的判断方法 单调性是函数的重要性质，它在数学中有许多应用，如我们常用求函数单调性的方法求函数的值域。那么，有哪些求函数单调性的方法呢？ 方法一：定义法 对于函数f(x)的定义域I 内某个区间A 上的任意两个值12,x x （1）当12x x <时，都有12()()f x f x <,则说f(x)在这个区间上是增函数； （2）若当12x x <时，都有12()()f x f x >,则说f(x) 在这个区间上是减函数。 例如：根据函数单调性的定义，证明：函数 在 上是减函数。 要证明函数f （x ）在定义域内是减函数，设任意1212,x x R x x ∈<且，则33221221212121()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++，12x x <因为 210x x ->所以，且在1x 与2x 中至少有一个不为 0，不妨设20x ≠，那么222222121123()24 x x x x x x x ++=++0>，12()()f x f x >所以，故 ()f x 在 (,)-∞+∞上为减函数。 方法二：性质法 除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B 上具有单调性，则在区间B 上有： 1. f(x)与c?f(x)当c ＞0具有相同的单调性，当c ＜0具有相反的单调性； 2.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数； 3.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)?g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数； 例如，已知f （x ）在R 上是减函数，那么-5f （x ）为____函数。 这道题很简单，我们根据单调性的性质，很容易就能判断它是增函数。 方法三：同增异减法（处理复合函数的单调性问题） 对于复合函数y ＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)， 可令 t ＝g(x)，则三个函数 y ＝f(t)、t ＝g(x)、y ＝f [g(x)]中， 若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数； 函数的单调性 课题2.3.1函数的单调性 授课类型新授课 课时安排1课时 教具多媒体、实物投影仪 教学目标 （1）了解单调函数、单调区间的概念；理解增函数、减函数的概念；掌握利用函数的单调性定义证明简单函数的单调性的基本方法 （2）能用自已的语言表述概念；能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间；能把文字描述、图像特征、数学语言结合起来准确地表述、判断、证明函数的单调性；学 会利用函数的单调性解决诸如不等式、函数最值（值域）的问题（本节课只设置引导目标）（3）通过数形互助培养学生直观判断与严格证明相结合、形象与抽象相结合的思维习惯；渗透联系与变化的认识观 教学重点函数的单调性（增函数、减函数）的概念 教学难点对函数单调的定义中数学语言的准确理解和灵活运用 教材开发点对函数的单调性的应用引导 教材与学情 函数的单调性是函数重要性质之一，也是今后研究函数时涉及最多的性质之一，如函数值域与最值、比较大小与解不等式、函数图像等问题均与函数的单调性相关；同时函数的单调性也是高考考查的重点内容。 学生在初中学过一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数，已有一些具体函数的知识，在学生的现有认知结构中，一方面能用描点法画出简单函数的图像，另一面可以根据函数的图象观察出“图像上升（或下降）”、“随着自变量的增大函数值增大”等 变化趋势，同时在此之前，刚刚学习抽象的函数概念，所以对函数的单调性的认识首先依赖于函数图象的直观性，然后才能逐步过渡抽象的数学语言理解层面。 本节课的教学应以函数的单调性的概念为主线设计材料、设计问题、设计活动，一方面设计几个比较性、思辨性好的问题，另一面要充分利用证明函数单调性的例题加深学生对单调性概念的准确（严谨性）理解。考虑到学生将来还要学习导数的知识，函数单调性的判断会变得比较容易，因此，在教学中，应该适当减少用定义判断证明单调性的问题，注意引导学生主动地应用函数的单调性去解决问题。 教学过程 一、复习引入: 1.复习：我们在初中已经学习了函数图象的画法，也学习了一次函数、二次函数和反比例函数。为了研 高一数学中函数的单调性非常重要，分析函数的单调性方法有：定义法，图像法，性质法,复合法.下边结合例题加以说明： 1.定义法 例题已知函数y=x^3-x在（0，a]上是减函数，在[a,+)上是增函数，求a的值。 解分析函数在R+上的单调性 任取x1>x2>0 Y1-Y2=(X1^3-X2^3)-(X1-X2)=(X1-X2)(X1^2+X1X2+X2^2)-(X1-X2) =(X1-X2)(X1^2+X1X2+X2^2-1) 令y1-y2>0 所以 X1^2+X1X2+X2^2-1>0 因为X1^2+X1X2+X2^2-1>X2^2+X2X2+X2^2-1=3X2^2-1 当3X2^2-1>=0时即X2^2>=1/3 X2>=根号3/3时 y1-y2>0 函数是递增的 同理当3X1^2-1<=0时即X1<=根号3/3时 y1-y2<0 函数是递减的 故函数在R+上的增区间为[根号3/3,+）减区间为（0，根号3/3) 因此 a=根号3/3 一般情况下，用定义求函数的单调区间就是求出使y1-y2>0(<0)的x1,x2的取值范围，要变换不等式，求出x1和x2的范围，就可求出函数的单调区间。 2.图像法 例题求y=x+3/x-1的单调区间 解函数定义域为（-，1）并（1，+) Y=X+3/X-1=X-1+4/X-1=1+4/X-1 由图像可知函数在（-，1）和（1，+0）上递减。 函数的图像是解决这类问题的关键。 3.性质法 性质：增+增=增减+减=减 y=f(x)与y=kf(x) 当k>0 有相同的单调性当k<0有相反的单调性 y=f(x)(y>0)与y=k/f(x) 当k>0 有相反的单调性，当k<0 有相同的单调性 例题求y=x^3+x的单调区间。 解因为y=x是增函数，当x>=0时，y=x^3是递增的，当x<0时，y=x^3是递增的，所以y=x^3是R上的增函数。 由性质可知，函数y=x^3+x的单调区间为R. 4.复合法 u=p(x) y=f(u)复合后的函数为：y=f(p(x））它们的单调性为：同增异减。 例题求y=根号(x-1)(x+1)的单调区间。 解令u=(x-1)(x+1) 则y=根号u 当x>=1时 u=(x-1)(x+1)递增 当x<=-1时 u=(x-1)(x+1)递减 Y=根号u递增 所以原函数的单调增区间为[1,+) 减区间为（-，-1] 《函数的单调性》教学设计 安徽省亳州市第一中学史嘉 一、教学内容解析 1．教材内容及地位 本节课是北师大版《数学》（必修1）第二章第3节函数单调性的第一课时，主要学习用符号语言（不等式）刻画函数的变化趋势（上升或下降）及简单应用．它是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，为后继学习奠定了理性思维基础．如研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质，包括导函数内容等；在对函数定性分析、求最值和极值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及与其他知识的综合问题上都有重要的应用．因此，它是高中数学核心知识之一，是函数教学的战略要地． 2．教学重点 函数单调性的概念，判断和证明简单函数的单调性． 3．教学难点 函数单调性概念的生成，证明单调性的代数推理论证． 二、学生学情分析 1．教学有利因素 学生在初中阶段，通过学习一次函数、二次函数和反比例函数，已经对函数的单调性有了“形”的直观认识，了解用“随的增大而增大（减小）”描述函数图象的上升（下降）的趋势．亳州一中实验班的学生基础较好，数学思维活跃，具备一定的观察、辨析、抽象概括和归纳类比等学习能力． 2．教学不利因素 本节课的最大障碍是如何用数学符号刻画一种运动变化的现象，从直观到抽象、从有限到无限是个很大的跨度．而高一学生的思维正处在从经验型向理论型跨越的阶段，逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强．另外，他们的代数推理论证能力非常薄弱．这些都容易产生思维障碍． 三、课堂教学目标 1．理解函数单调性的相关概念．掌握证明简单函数单调性的方法． 2．通过实例让学生亲历函数单调性从直观感受、定性描述到定量刻画的自然跨越，体会数形结合、分类讨论和类比等思想方法． 3．通过探究函数单调性，让学生感悟从具体到抽象、从特殊到一般、从局部到整体、从有限到无限、从感性到理性的认知过程，体验数学的理性精神和力量． 4．引导学生参与课堂学习，进一步养成思辨和严谨的思维习惯，锻炼探究、概括和交流的学习能力． 四、教学策略分析 在学生认识函数单调性的过程中会存在两方面的困难：一是如何把“随的增大而增大（减小）”这一描述性语言“翻译”为严格的数学符号化语言，尤其抽象概括出用“任意”刻画“无限”现象；二是用定义证明单调性的代数推理论证．对高一学生而言，作差后的变形和因式符号的判断也有一定的难度． 为达成课堂教学目标，突出重点，突破难点，我们主要采取以下形式组织学习材料： 1．指导思想．充分发挥多媒体形象、动态的优势，借助函数图象、表格和几何画板直观演示．在学生已有认知基础上，通过师生对话自然生成．2．在“创设情境”阶段．观察并分析沙漠某天气温变化的趋势，结合初中已学函数的图象，让学生直观感受函数单调性，明确相关概念． 3．在“引导探索”阶段．首先创设认知冲突，让学生意识到继续学习的必要性；然后设置递进式“问题串”，借助多媒体引导学生对“随的增大而增大”进行探究、辨析、尝试、归纳和总结，并回顾已有知识经验，实现函数单调性从“直观性”到“描述性”再到“严谨性”的跨越． 4．在“学以致用”阶段．首先通过3个判断题帮助学生从正、反两方面辨析，逐步形成对概念正确、全面而深刻的认识．然后教师示范用定义证明函数单调性的方法，一起提炼基本步骤，强化变形的方向和符号判定方法．接着请学生板演实践． 五、教学过程 （一）创设情境，引入课题 实例科考队对沙漠气候进行科学考察，下图是某天气温随时间的变化曲线．请 高中数学教师资格面试《函数的单调性》教案： 函数的单调性 课题：函数的单调性 课时：一课时 课型：新授课 一、教学目标 1.知识与技能： （1）从形与数两方面理解单调性的概念。 （2）绝大多数学生初步学会利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法。 2.过程与方法： （1）通过对函数单调性定义的探究，提高观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高推理论证能力。 （2）通过对函数单调性定义的探究，体验数形结合思想方法。 （3）经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程，体会从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。 3.情感态度价值观： 通过知识的探究过程养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；感受用辩证的观点思考问题。 二、教学重点 函数单调性的概念形成和初步运用。 三、教学难点 函数单调性的概念形成。 四、教学关键 通过定义及数形结合的思想，理解函数的单调性。 五、教学过程 （一）创设情境，导入新课 教师活动：分别作出函数y=2x，y=-2x和y=x2+1的图象，并且观察函数变化规律，描述前两个图象后，明确这两种变化规律分别称为增函数和减函数。然后提出两个问题：问题一：二次函数是增函数还是减函数问题二：能否用自己的理解说说什么是增函数，什么是减函数 学生活动：观察图象，利用初中的函数增减性质进行描述，y=2x的图象自变量x在实数集变化时，y随x增大而增大，y=-2x的图象自变量x在实数集变化时，y随x增大而减小。在此基础上描述y=x2+1在（-∞，0]上y随x增大而减小，在 （0，+∞）上y随x增大而增大。理解单调性是函数的局部性质，在一个区间里，y随x增大而增大，则是增函数；y随x增大而减小就是减函数。 设计意图：数学课程标准中提出“通过已学过的函数特别是二次函数理解函数的单调性”，因此在本环节的设计上，从学生熟知的一次函数和二次函数入手，从初中对函数增减性的认识过渡到对函数单调性的直观感受。通过一次函数认识单调性，再通过二次函数认识单调性是局部性质，进而完善感性认识。 （二）初步探索，形成概念 教师活动：（以y=x2+1在（0，+∞）上单调性为例）让学生理解如何用精确的数学语言（随着、增大、任取）来描述函数的单调性，进而得到增（减）函数的定义。并进一步提出如何判断的问题。 学生活动：通过交流、提出见解，提出质疑，相互补充理解函数定义的解释，讨论表示大小关系时，理解如何取值，明白任取的意义。 设计意图：通过启发式提问，实现学生从“图形语言”到“文字语言”到“符号语言”认识函数的单调性，实现“形”到“数”的转换。 （三）概念深化，延伸扩展 教师活动：提出下面这个问题：能否说f（x）=在它的定义域上是减函数从这个例子能得到什么结论并给出例子进行说明： 进一步提问：函数在定义域内的两个区间A，B上都是增（减）函数，何时函数在A∪B上也是增（减）函数，最后再一次回归定义，强调任意性。人教版高中数学《函数的单调性与最值》教学设计全国一等奖
高中数学必修一教案-函数的单调性
高中数学函数的单调性
高中数学《函数的单调性》教案
高考数学专题：函数的单调性
高一数学 函数单调性讲解
2020高考数学《函数的单调性》
高一数学函数的单调性知识点
高二数学函数的单调性与导数测试题
高考数学：利用导数研究函数的单调性、极值、最值
高中数学《函数的单调性》公开课优秀教学设计三
高中数学函数的单调性公开课优秀教学设计
高中数学函数单调性的判断方法
高中数学必修一《函数的单调性》优秀教学设计
高一数学中函数的单调性4种求法
函数的单调性教学设计(优秀)
高中数学教师资格面试《函数的单调性》教案
相关主题
文本预览