A
《相似三角形中分类讨论思想的运用》
一、温故知新：
1. 已知△ABC 的三边长分别是4、6、8，△DEF 的一条边为24，如果△DEF 与△ABC 相似，则相似比为
2.两个相似三角形的面积之比是9：25，其中一个三角形一边上的高是6，那么另一个三角形对应边上的高为
3.已知线段AB=2,P 是线段AB 的黄金分割点，则AP 的长为 问题：什么是分类讨论？为什么要分类？
二、新知学习： 题组一:
1.例1.如图所示，在ABC ?中，AB=6,AC=4,P 是AC 的中点，过P 点的直线交AB 于点Q ，若使APQ ?与ABC ?相似，则AQ 的长为
2.变式一：如图所示，在
ABC ?中，P 是AC 上一点，过P 点的直线截ABC ?交AB 于点Q ，使截得的三角形与原三角形相似，则满足这样的直线有 条. 3. 变式二：如图所示，在ABC ?中，P 是AC 上一点，过P 点的直线截ABC ?，使截得的三角形与原三角形相似，则满足这样的直线最多有 条.
探究：如果ABC ?是直角三角形，点P 直角边上或点P 在斜边上上述结论还成立吗？等腰三角形呢？
C
B
C
B
C
B
D
C B
A
D
C
B A
C
B
A
C
B
A
题组二:
1.例2: 己知菱形ABCD 的边长是3，点E 在直线AD 上，DE ＝1，联结BE 与对角线AC 相交于点M ，则MC
AM
=
2.变式一: 等腰ABC 中，AB=AC=10,BC=16,点P 在BC 边上，若PA 与腰垂直，则BP= .
3. 变式二: 在△ABC 中∠B=25°，AD 是BC 边上的高，并且AD 2=BD ·DC,则∠BCA= . 题组三
1.在矩形ABCD 中，AB=4，AD=5，P 是射线BC 上的一个动点，作PE ⊥AP ，PE 交射线DC 于点E ，射线AE 交射线BC 于点F ，设BP=x ，CE=y ．求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（点P 与点B 、C 都不重合），
2．已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）．E 是射线BC 上的动点（点E 与点B 不重合），M 是线段DE 的中点．联结BD ，交线段AM 于点N ，如果以A 、N 、D 为顶点的三角形与△BME 相似，求线段BE 的长．
A
C
D
A
C
D
D
C B
A
D
A
三、课后反思：
1. 相似三角形中有哪些几何情境需要分类讨论？分类的原则是什么？
2. 请积累你运用分类讨论思想解决的数学问题.
四、检测反馈:
1．已知在Rt ABC ?中,?=∠90C ,AB=5,AC=3,点D 是射线BC 上的一点，（不与端点B 重合），联结AD ，如果ACD ?与ABC ?相似，则BD= 2．在等腰ABC ?中，AB=AC ，若一条中线长为6厘米，另一条中线为9厘米，则等腰ABC ?的底边长为
3. AD ∥BC,∠D=90°,DC=6,AD=2,BC=
4.若在边DC 上有点P 使△PAD 和△PBC 相似，求DP 的长.
4.如图,4,3,90==?=∠=∠AC BC ABD ACB ，当ABC ?与ADB ?相似时 ，求AD
Q
P
C
B
A C
B A
C
B A
A
B C
D
A B
C
P
的长.
5.拓展题：如图：在⊿ABC 中，∠C=90°,BC=6,AC=8. P 、Q 分别为AC 、BA 上的动点，且BQ=2AP,联结PQ,设AP=x.
① 在点P 、点Q 移动的过程中，⊿APQ 能否与⊿ABC 相似？若能，请求出AP 的长；若不能，请说明理由。
② 当x 为何值时，⊿APQ 是等腰三角形？
五、作业：
1. 在直角坐标系中有两点A （4，0），B （0，2），如果点C 在x 轴上（C 与A 不重合），当
点C 的坐标为 时，使得由点B 、O 、C 组成的三角形与△AOB 相似。 2. 已知：如图，P 是边长为4的正方形ABCD 内一点，且PB=3，BF ⊥BP ，垂足为B ，请在射线BF 上找一点M ，使以B 、M 、C 为顶点的三角形与△ABP 相似。
C
3.已知BD 是矩形ABCD 的对角线，AB=30cm ，BC=40cm ，点P 、Q 同时从A 点出发，分别以2cm/s ，4cm/ s 的速度由A →B →C →D →A 的方向在矩形边上运动，在点Q 回到点A 的整个运动过程中：① PQ 能否与BD 平行？② PQ 能否与BD 垂直？请分别作出判断。如果存在，请分别求出时间t,如果不存在，请说明理由。
4、如图，已知CAB RT ?中，
1BC AC ,90ACB 0
===∠，点P 在斜边AB 上移动（点P 不与点A 、B 重合），以P 为顶点作0
45CPQ =∠,射线PQ 交BC 边与点Q 。
CPQ ?能否是等腰三角形？如果能够，试求出AP 的长，如果不能，试简要说明
理由。
5.已知：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2． （1）如图，P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ．
①求证；△ABP ∽△DPC ②求AP 的长．
（2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；
P
A
第一节：相似形与相似三角形 基本概念： 1.相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，我们称它们互为相似形。 2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。 1．几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理） （1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知a ∥b ∥c, A D a B E b C F c 可得 EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或 等. （2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A D E B C 由DE ∥BC 可得：AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD = ==或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行. （3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线. （4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. （5）①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ②比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即b a ＝d c ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段。 2．比例的有关性质 ①比例的基本性质：如果 d c b a =，那么ad=b c 。如果ad=bc （a ，b ，c ， d 都不等于0），那么 d c b a =。 ②合比性质：如果 d c b a =，那么d d c b b a ±=±。
相似三角形基本类型一、“X”型. B C B C 二、“子母”，“A型”，“斜A ”. B B B （双垂直K型）三、“K”型
C B （三垂直K 型） A C D B C A B D 四、共享型 A B E C D
A B E B B 1.在△ABC 和△ADE 中，∠BAD=∠CAE ，∠ABC=∠ADE. A B E
1.如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证∠ABE=∠ACD. A B D 2. A B P 3.如图，已知C 是线段AB 上的任意一点（端点除外），分别以AC 、BC 为斜边并且在AB 的 同一侧作等腰直角△ACD 和△BCE ，连结AE 交CD 于点M ，连结BD 交CE 于点N ，给出以下三个结论：①MN ∥AB ；②1MN ＝1AC ＋1 BC ；③M N≤14AB ，其中正确结论的个数 是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
F E C B B' C' 4．如图，Rt △AB 'C ' 是由Rt △ABC 绕点A 顺时针旋转得到的，连结CC ' 交斜边于点E ， CC ' 的延长线交BB ' 于点F ． （1）证明：△ACE ∽△FBE ； （2）设∠ABC =α，∠CAC ' =β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE 与△FBE 是全 等三角形，并说明理由． 5.
A D B 6.在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC 的边长为_________. A B C D 7. 0 90A E ∠=∠=°, 1 2 EDB C ∠= ∠. (1)当AB=AC 时,①∠EBF=_________.
D C B A D C B A C B A C B A C B C P 《相似三角形中分类讨论思想的运用》 一、温故知新： 1. 已知△ABC 的三边长分别是4、6、8，△DEF 的一条边为24，如果△DEF 与△ABC 相似，则相似比为 2.两个相似三角形的面积之比是9：25，其中一个三角形一边上的高是6，那么另一个三角形对应边上的高为 3.已知线段AB=2,P 是线段AB 的黄金分割点，则AP 的长为 问题：什么是分类讨论？为什么要分类？ 二、新知学习： 题组一: 1.例1.如图所示，在ABC ?中，AB=6,AC=4,P 是AC 的中点，过P 点的直线交AB 于点Q ，若使APQ ?与ABC ?相似，则AQ 的长为 2.变式一：如图所示， 在ABC ?中，P 是AC 上一点，过P 点的直线截ABC ?交AB 于点Q ，使截得的三角形与原三角形相似，则满足这样的直线有 条. 3. 变式二：如图所示，在ABC ?中，P 是AC 上一点，过P 点的直线截ABC ?，使截得的三角形与原三角形相似，则满足这样的直线最多有 条. 探究：如果ABC ?是直角三角形，点P 直角边上或点P 在斜边上上述结论还成立吗？等腰三角形呢？ 题组二: 1.例2: 己知菱形ABCD 的边长是3，点E 在直线AD 上，DE ＝1，联结BE 与对角 线AC 相交于点M ，则MC AM = C B C B C B
2.变式一: 等腰ABC 中，AB=AC=10,BC=16,点P 在BC 边上，若PA 与腰垂直，则BP= . 3. 变式二: 在△ABC 中∠B=25°，AD 是BC 边上的高，并且AD 2=BD ·DC,则∠BCA= . 题组三 1.在矩形ABCD 中，AB=4，AD=5，P 是射线BC 上的一个动点，作PE ⊥AP ，PE 交射线DC 于点E ，射线AE 交射线BC 于点F ，设BP=x ，CE=y ．求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（点P 与点B 、C 都不重合）， 2．已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）．E 是射线BC 上的动点（点E 与点B 不重合），M 是线段DE 的中点．联结BD ，交线段AM 于点N ，如果以A 、N 、D 为顶点的三角形与△BME 相似，求线段BE 的长． 三、课后反思： 1. 相似三角形中有哪些几何情境需要分类讨论？分类的原则是什么？ 2. 请积累你运用分类讨论思想解决的数学问题. A C D A C D
知识梳理 相似三角形的概念 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”． 相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)． 相似三角形对应角相等，对应边成比例． 注意： ①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易 找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对 应边成比例． 相似三角形的基本定理 定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原 三角形相似． 定理的基本图形： 用数学语言表述是：
BC DE // ， ADE ∽ABC ． 相似三角形的等价关系 (1)反身性：对于任一ABC 有ABC ∽ABC ． (2)对称性：若ABC ∽'''C B A ，则'''C B A ∽ABC ． (3)传递性：若ABC ∽C B A ''，且C B A ''∽C B A ，则ABC ∽C B A ． 三角形相似的判定方法 1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似． 2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似． 3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似． 4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．（在遇到两个三角形的三边都知道的情况优先考虑，把边长分别从小到大排列，然后分别计算他们的比值是否相等来判断是否相似） 6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用． (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． (3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式 如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则有射影定理如下： （1）（AD ）2=BD ·DC ， （2）（AB ）2=BD ·BC ， （3）（AC ）2=CD ·BC 。 证明：在 △BAD 与△ACD 中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC ，又∵∠ BDA=∠ADC=90°，∴△BAD ∽△ACD 相似，∴ AD/BD ＝CD/AD ，即 （AD ）2=BD ·DC 。其余类似可证。 注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式（2）+（3）得： （AB ）2+（AC ）2=BD ·BC+CD ·BC =（BD+CD)·BC=（BC ）2， 即 （AB ）2+（AC ）2=（BC ）2。 这就是勾股定理的结论。 判断相似三角形的几条思路： 1 条件中若有平行线，可采用相似三角形的基本定理 2 条件中如果有一对等角，可再找一对等角（用判定1）或再找夹边成比例。（用判定2）3条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等（直角可以直接得出相似）4条件中若有一对直角，可考虑在找一对等角或证明斜边，直角边对应成比例。5条件中若
相似三角形分类整理 (超全)
第一节：相似形与相似三角形 基本概念： 1.相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，我们称它们互为相似形。 相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。 1．几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理） （1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知a ∥b ∥c, A D a B E b C F c 可得EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB = ====或或或或 等. （2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A D E B C 由DE ∥BC 可得： AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行. （3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线. （4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. （5）①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ②比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即b a ＝d c ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段。 2．比例的有关性质 ①比例的基本性质：如果 d c b a =，那么ad=b c 。如果ad=bc （a ，b ，c ， d 都不等于0），那么 d c b a =。
相似三角形的基本类型总结 类型一 平行线型 相关定理 平行于三角形一边的直线,和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似. 平行相似可分为“A”型平行相似和“X”型平行相似两种. 如图（1）（2）所示,由BC DE //可直接证得:△ADE ∽△ABC . E D C B A 图（1） E D C B A 图（2） 1. 如图（3）所示,已知BC DE //,8:1:=?DBCE ADE S S 四边形,则 =AC AE 【 】 （A ）91 （B ）31 （C ）81 （D ）2 1 2. 如图（4）所示,已知,//CD AB AD 与BC 相交于点O .若3 2 =OC BO ,10=AD ,则 =AO _________. 图（3） E D C B A 图（4） O D C B A F E D C B A 图（5） 3. 如图（5）所示,已知AC DF AB DE //,//. 求证:△DEF ∽△ABC .
类型二 相交型 如图（6）所示,由D B ∠=∠或 AE AC AD AB = ,可得△ABC ∽△ADE ; 如图（7）所示,由ADE B ∠=∠或AED C ∠=∠或AE AC AD AB = ,可得△ABC ∽△ADE ; 如图（8）所示,由D B ∠=∠或E C ∠=∠或AE AC AD AB = ,可得△ABC ∽△ADE . 像以上三种情况,若两个三角形有一个公共角,且公共角的对边相交,若另有一组对应角相等或夹公共角的两边对应成比例,则这两个三角形相似.这就是相交型相似. 图（6） E D C B A E D C B A 图（7） 图（8） E D C B A 4. 如图（9）所示,在△ABC 中,点D 、E 分别在边AB 、AC 上,B AED ∠=∠,射线AG 分别交线段DE 、BC 于点F 、G ,且CG DF AC AD = . （1）求证:△ADF ∽△ACG ; （2）若 21=AC AD ,求 FG AF 的值. G F E D C B A 图（9）
第一节 第二节 第九节：相似形与相似三角形基本概念： 1.相似形：对应角相等，对应边成比 例的两个多边形，我们称它们互为相似形。 2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。 1．几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理） （1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知a ∥b ∥c, A D a B E b C F c 可得 EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或 等. （2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A D E B C 由DE ∥BC 可得： AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行. （3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线. （4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. （5）①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ②比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即b a ＝d c ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段。 2．比例的有关性质 ①比例的基本性质：如果 d c b a =，那么ad=b c 。如果ad=bc （a ，b ，c ， d 都不等于0），
WORD 格式可编辑 相似三角形经典模型总结 经典模型 平移旋转 180° ∽ 平行型 平行型 翻折 180° 翻折 180° 一般 特殊 翻折 180° 斜交型 斜交型 特殊一边平移 一般 平移 特殊 双垂直 斜交型 双垂直 一般 【精选例题】 “平行型” 【例 1】如图，EE1∥FF1∥MM1，若AE EF FM MB ， 则S AEE : S四边形EE FF : S四边形FF M M : S四边形 MM C B _________ 1 1 1 1 1 1 A E E1 F F 1 M M1 B C
WORD 格式可编辑 【例 2】如图，AD∥EF∥MN∥BC，若AD 9，BC 18 ， AE:EM :MB 2:3:4,则EF _____ ， MN _____ A D E F M N B C 【例 3】已知，P为平行四边形ABCD 对角线， AC 上一点，过点P 的直线与 AD ， BC ， CD 的延长线， AB 的延长线分别相交于点 E ， F ， G ， H 求证： PE PH PF PG G D C E P F A B H 【例 4】已知：在ABC 中， D 为 AB 中点， E 为 AC 上一点，且 AE 2, BE、 CD相交于点 F ， 求BF 的 值 EC EF A D F E B C 【例 5】已知：在ABC 中， AD 1 AB，延长 BC到F ,使CF 1 BC,连接 FD交 AC于点 E 2 3 求证：① DE EF ② AE 2CE A D E B
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【例 6】已知：D，E为三角形ABC 中 AB 、BC 边上的点，连接 DE 并延长交 AC 的延长线于点 F ，BD: DE AB: AC 求证：CEF 为等腰三角形 A C D E B F 【例7】如图，已知 AB / / EF / /CD ，若 AB a ， CD b ， EF c ，求证：1 1 1 . c a b A C E B F D 【例 8】如图，找出S ABD、 S BED、 S BCD之间的关系，并证明你的结论. C A E B F D 【例 9】如图，四边形ABCD 中， B D90M 是 AC 上一点， ME AD 于点 EMF BC ，， 于点 F 求证：MF ME 1 AB CD D E M A C F B
第一节 第二节 第十一节：相似形与相似三角形基本概念： 1.相似形：对应角相等，对应边成 比例的两个多边形，我们称它们互为相似形。 2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。 1．几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理） （1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知a ∥b ∥c, A D a B E b C F c 可得 EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或 等. （2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A D E B C 由DE ∥BC 可得： AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行. （3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线. （4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. （5）①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ②比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即b a ＝d c ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段。 2．比例的有关性质 ①比例的基本性质：如果 d c b a =，那么ad=b c 。如果ad=bc （a ，b ，c ， d 都不等于0），
相似三角形基本类型 一、“ X”型 . A A B B O J C D D C 二、“子母”，“ A 型”，“斜 A” . A A D D E E B C B C A A D D B C C （双垂直 K 型） 三、“ K”型
A E C B D （三垂直K 型） A E C B D A E C D B 四、共享型 A B E C D
A B C D F E A E F G B C A E D B C 1.在△ ABC 和△ ADE中，∠ BAD=∠ CAE，∠ ABC=∠ ADE. A E D B C
1.如图，已知∠ 1=∠ 2，∠ 3=∠ 4，求证∠ ABE=∠ ACD. A 1 2 E F 3 D B 2. O 4 C T E G F A B P 3.如图，已知 C 是线段 AB 上的任意一点（端点除外），分别以AC、 BC 为斜边并且在AB 的 同一侧作等腰直角△ACD和△ BCE，连结 AE 交 CD于点 M ，连结 BD 交 CE于点 N，给出 以下三个结论：①MN ∥AB；② 1 ＝ 1 ＋ 1 ；③ M N≤ 1 AB，其中正确结论的个数MN AC BC 4 是（） A． 0B． 1C．2D．3
4．如图，Rt△AB C是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC交斜边于点E，CC的延长线交 BB 于点 F． （1）证明：△ACE∽△FBE； （ 2）设∠ABC= ，∠CAC = ，试探索、满足什么关系时，△ACE与△ FBE是全 等三角形，并说明理由． B F C' B' E C A 5.
B F Q2 D E C A 6.在等边△ ABC中， D 为 BC边上一点， E 为 AC 边上一点，且∠ ADE=60°， BD=3，CE=2，则△ABC 的边长为 _________. A E B D C 7. AE 900°, EDB 1 C . 2 (1)当 AB=AC时 ,①∠ EBF=_________.
第一节：相似形与相似三角形 基本概念: 1.相似形:对应角相等,对应边成比例的两个多边形,我们称它们互为相似形。 ２．相似三角形:对应角相等，对应边成比例的两个三角形,叫做相似三角形。 1．几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理） （1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知a ∥b ∥c, A D a B E ｂ C Ｆ c 可得EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或 等. (２）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. Ａ D E Ｂ C 由DE ∥ＢC 可得：AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛，条件是平行. (3）推论的逆定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线）所得的对应线段成比 例．那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线. (4)定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形 三边对应成比例. （5)①平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。 ②比例线段：四条线段a ，ｂ,c ，d 中，如果a 与ｂ的比等于ｃ与ｄ的比，即 b a ＝d c ,那么这四条线段ａ,ｂ,c ， d 叫做成比例线段，简称比例线段。 2.比例的有关性质 ①比例的基本性质:如果 d c b a =，那么a ｄ=bc 。如果ａd=bc （ａ,b ，c ，d 都不等于0）,那么d c b a =。 ②合比性质：如果 d c b a =,那么d d c b b a ±=±。
构造相似三角形解题的几种类型 ⑴构造相似三角形求值；⑵构造相似三角形证角相等；⑶构造相似三角形证明等积式；⑷构造相似三角形证明线段的平方和、差、积；⑸构造相似三角形证明两线垂直 例1、（构造相似三角形求值）如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC=3AD ，E 是腰AB 上一点.若△BCE 和四边形AECD 的面积分别为1S 和2S ，并且21S =32S ，求 AE BE 的值 （延长两腰，构造相似三角形） 例2、（构造相似三角形证角相等）如图，在等边△ABC 的边BC 上取点D ，使DC BD =2 1，作CH ⊥AD ，H 为垂足，连接BH.求证：∠DBH=∠DAB 构造相似三角形证明等积式 （作BC 边上的高，由“三线合一”得到垂足即为中点.构造相似三角形；对△BDH 和△ADB ，有一个公共角，只需证夹它的两边对应成比例） 例3、（构造相似三角形证明等积式）在△ABC 中，已知AB=AC ，BD 为AC 边上的高.求证：CD AC BC ?=22
（提示：法一 出现 2AC 法三 利用三线合一，构造双直角图形 例4、（构造相似三角形证明线段的平方和、差、积）如图，在△ABC 中， ∠B=2∠C ，求证：BC AB AB AC ?=-22 例5、（构造相似三角形证明两线垂直）如图，△ABC 和△111C B A 均为正三角形，BC 和11C B 的中点均为点D.求证：AA ?⊥CC ? 法二 出现2CD 两个等腰三角形 相似
例6、⑴确定最值；⑵探索图形相似 如图①，在△ABC中，∠A=90°，BC=10，△ABC的面积为25.点D为AB 边上的任意一点（D不与A、B重合），过点D作DE∥BC，交AC于点E.设DE=x，以DE为折痕将△ADE翻折，使△ADE落在四边形BDCE所在平面内，所得的△A′DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y. ⑴用x表示△ADE的面积； ⑵当0＜x≤5时，求y与x的函数关系式； ⑶当5＜x＜10时，求y与x的函数关系式； ⑷当x取何值时，y的值最大？最大值时多少？
相似三角形中分类讨论的数学思想(汤杰) 讨论标志一：当两个三角形不用相似符号对应联立的问题 1?在直角三角形ABC中，/ B=90。，点D在边BC上，过点D的直线将直角三角形 ABC分成一个三角形和一个四边形，得 到的小三角形与原三角形相似，这样的直线可以画几条并画出示意图。 2. (2013，永州)如图，已知AB BD , CD BD (1 )若AB=9 , CD=4 , BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、的三 角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似若存在，求BP的长；若理由； (2)若AB=9 , CD=4 , BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、点的三角形与以P、C、D三点 为顶点的三角形相似并求BP的长； (3)若AB=9 , CD=4 , BD=15，请问在BD上存在多少个P点，使以P、点的三角形与以P、C、D三点为顶 点的三角形相似并求BP的长； (4)若AB= m , CD= n , BD= l，请问m, n,丨满足什么关系时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点两个P点三个P点 3 (2014?武汉)如图，Rt A ABC中，/ ACB=90°, AC=6cm, BC=8cm,动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向 点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为 t秒(0v t V2)，连接PQ.( 1 )若厶BPQ与厶ABC相似，求t的值； (2)连接AQ, CP，若AQ丄CP求t的值； 4. (2014?益阳)如图，在四边形ABCD 中，AB // CD , AD 丄AB ,Z B=60 ° AB=10 , BC=4，点P 沿线 段AB从点A向点B运动，设AP=x. (1 )求AD的长；(2)点P在运动过程中，是否存在以A、P、D 为顶点的三 角形与以P、C、B为顶点的三角形相似若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由； (2013徐州中考) 讨论标志二：利用相似三角形解决等腰三角形的讨论问 题。 1.(2014?黑龙江牡丹江)如图，在Rt△ ABC中，/ ACB=90 ° AC=8 , BC=6 , CD丄AB于点D .点P从点D出发，沿线段DC 向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止?设运动时间为t秒. (1)求线段CD的长； (2)当t为何值时，△ CPQ为等腰三角形 3.讨论标志三：利用相似三角形解决直角三角形的讨论问题 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=4, OC=2 .点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点 A 匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒.将线段CP 的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接 (1)请用含t的代数式表示出点D的坐标； (2)求t为何值时，△ DPA的面积最大，最大为多少 B X0Q A C DP、DA. y* (3)在点P从O向A运动的过程中，△ DPA能否成为直角三角形若能，求若不 能，请说明理由； 4.分类讨论标志四：利用相似三角形解决直线与圆的相切问题 (2013?广安)雅安芦山发生7.0级地震后，某校师生准备了一些等腰直角三角形纸片，从每张纸片中剪出一个半圆制作玩具，寄给灾区的小朋友?已知如图，是腰长为4的等腰直角三角形ABC，要求剪出的半圆的直径在△ ABC的边上, 且半圆的弧与△ ABC的其他两边相切，并求出相应半圆的半径(结果保留根号) (补充平面直角坐标系动圆与坐标轴相切问题) t的值. B三点为顶点不 存在，请说明 A、B三点为顶 A、B三点为顶
相似三角形的判定 知能点1 角角识别法 1．如图1，（1）若∠C=_____，则△OAC∽△OBD，∠A=________． （2）若∠B=________，则△OAC∽△OBD。 （3）请你再写一个条件，_________，使△OAC∽△OBD． 2．如图2，若∠BEF=∠CDF，则△_______∽△________，△______∽△_______． (1) (2) (3) 3．如图3，已知A（3，0），B（0，6），且∠ACO=?∠BAO，?则点C?的坐标为________，?AC=_______． 4．下列各组图形一定相似的是（）． A．有一个角相等的等腰三角形 B．有一个角相等的直角三角形 C．有一个角是100°的等腰三角形 D．有一个角是对顶角的两个三角形 6．如图，在△ABC中，CD，AE是三角形的两条高，写出图中所有相似的三角形，简要说明理由． 7．已知：如图是一束光线射入室内的平面图，?上檐边缘射入的光线照在距窗户 2.5m 处，已知窗户AB高为2m，B点距地面高为1.2m，求下檐光线的落地点N?与窗户的距离NC．8．如图，等腰直角三角形ABC中，顶点为C，∠MCN=45°，试说明△BCM∽△ANC． 9．在ABCD中，M，N为对角线BD的三等分点，连接AM交BC于E，连接EN并延长交AD于F．（1）试说明△AMD∽△EMB；（2）求 FN NE 的值． 10．在△ABC中，M是AB上一点，若过 M的直线所截得的三角形与原三角形相似，?试说明满足条件的直线有几条，画出相应的图形加以说明． 11．高明为了测量一大楼的高度，在地面上放一平面镜，镜子与楼的距离AE=27m，他与镜子的距离是2.1m时，刚好能从镜子中看到楼顶B，已知他的眼睛到地面的高度CD 为1.6m，结果他很快计算出大楼的高度AB，你知道是什么吗？试加以说明． 12．（安徽）如图，△ABC和△DEF均为正三角形，D，E分别在AB，BC上，请找出一个与△DBE相似的三角形并证明．
相似三角形经典模型总结 经典模型 【精选例题】 “平行型” 【例1】 如图，111EE FF MM ∥∥，若AE EF FM MB ===， 则111 1 1 1 :::_________AEE EE F F FF M M MM CB S S S S ?=四边形四边形四边形 M 1F 1E 1M E F A B C
【例2】 如图，A D E F M N B C ∥∥∥，若9AD =，18BC =，::2:3:4AE EM MB =,则 _____EF =，_____MN = M N A B C D E F 【例3】 已知，P 为平行四边形ABCD 对角线，AC 上一点，过点P 的直线与AD ，BC ，CD 的延 长线，AB 的延长线分别相交于点E ，F ，G ，H 求证： PE PH PF PG = P H G F E D C B A 【例4】 已知：在ABC ?中，D 为AB 中点，E 为AC 上一点，且 2AE EC =,BE 、CD 相交于点F ， 求 BF EF 的值 【例5】 已知：在ABC ?中，12AD AB = ，延长BC 到F ,使1 3 CF BC =,连接FD 交AC 于点E 求证：①DE EF = ②2AE CE = A B C D F E F E D C B A
【例6】 已知：D ，E 为三角形ABC 中AB 、BC 边上的点，连接DE 并延长交AC 的延长线于点F ， ::BD DE AB AC = 求证：CEF ?为等腰三角形 F E D C B A 【例7】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111 c a b =+. F E D C B A 【例8】 如图，找出ABD S ?、BED S ?、BCD S ?之间的关系，并证明你的结论. F E D C B A 【例9】 如图，四边形ABCD 中，90B D ∠=∠=?，M 是AC 上一点，ME AD ⊥于点E ，MF BC ⊥于点F 求证： 1MF ME AB CD += A B C D E F M
相似三角形的判定的习题分类编选 一、利用“两角对应相等的两个三角形相似”证明三角形相似. 1．如图，（1）当∠C=_________时，△OAC∽△OBD．（2）当∠B=_________时，△OAC∽△ODB。 (3）当∠A=_____________，△OAC与△OBD相似． 2．如图2，若∠BEF=∠CDF，则△ _____,_∽△_______，△_____∽△______． 3．下列各组图形一定相似的是（）．A．有一个角相等的等腰三角形B．有一个角相等的直角三角形C．有一个角是100°的等腰三角形D．有一个角是对顶角的两个三角形 4．如图3，已知A（2，0），B（0，4），且∠ACO=?∠BAO，?则点C?的坐标为________ 5．如图4，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，DE∥BC，那么与△ABC相似的三角形有______个 图1 图2 图3 图4 图5 图6 6在△ABC中，M是AB上一点，若过M的直线所截得的三角形与原三角形相似，则满足条件的直线最多有_____条．7．如图5，在△ABC中，CD，AE是三角形的两条高，则图中的相似三角形有_______对． 8．如图6，等腰直角三角形ABC中，顶点为C，∠MCN=45°，图中有______对相似三角形 9．如图，△ABC和△DEF均为正三角形，D，E分别在AB，BC上， 则图中与△DBE相似的三角形是________． 10、如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE． 写出图中两对相似三角形（不得添加辅助线）；并证明这两对三角形相似．
11、如图,⊿ABC是等边三角形,点D,E分别在BC,AC上,且BD=CE,AD与BE相交于点F. (1)求证：⊿ABD≌⊿BCE。(2)求证：⊿AEF∽⊿BEA (3)求证：BD2=AD·DF。 12、如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B. （1）求证：△ADF∽△DEC。（2）若AB＝4,AD＝33,AE＝3,求AF的长. 13如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连接CF交AD?于点E． 求证：△CDE∽△FAE． 14、四边形ABCD、DEFG都是正方形连接AE,CG相交于点M，与AD交于点N， 求证:△AMN∽△CDN
相似三角形中的分类讨论 一、旧题新做，感知分类 引例： 如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点。请你添加一个条件，使△ABC和△ADE 相似，你添加的条件可以是。 二、动手操作，体验分类 如图，在Rt△ABC的斜边AB上有一点P，过点P作直线PQ 截△ABC，点Q在△ABC的边上，使截得的三角形与原三角形相 似。满足条件的直线有几条？并画出来。 三、例题解析，应用分类 例1.如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B、C，且AB=8，DC=6，BC=14，BC上是否存在点P，使△ABP与△DCP相似？若存在，有几个？并求出此时BP的长。若不存在，请说明理由。
例2. 在直角坐标系中有两点，A（4,0），B（0,2）。若点C在x轴上（点C与点A不重合），当点C的坐标为时，使得由点B、O、C为顶点的三角形与△AOB相似。 例3. 在平面直角坐标系中，已知点A（0,6），B（8,0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动；同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位的速度向点A移动。设P、Q移动的时间为t秒。 （1）求直线AB的表达式；（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
例4.如图，矩形ABCD的边长AB=3，BC=6，某一时刻，动点M从点A出发，沿AB方向以1个单位的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发，沿DA方向以2个单位的速度向A点匀速运动。问： （1）经过多少时间，△AMN是等腰直角三角形？ （2）经过多少时间，△AMN的面积与矩形ABCD的面积比是1:9？ （3）是否存在时间t，使以点A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在求出t的值，若不存在，请说明理由。
第一节：相似形与相似三角形 基本概念：1.相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形， 我们称它们互为相似形。 I 2一1 相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形 1 ?几个重要概念与性质(平行线分线段成比例定理 ) 已知 a // b // c, AB DE AB 或 可得BC EF AC (2) 推论：平行于三角形一边的直线截其它两边 A D E B C (或两边的延长线)所得的对应线段成比例 AD AE 十 BD EC 十 AD 或 或—— 由 DE// BC 可得：DB EC AD EA AB 条件是平行? (3) 推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两 边 (或两边的延长线)所得的对应线段成比 例. 那么这条直线平行于三角形的第三边 ? 此定理给出了一种证明两直线平行方法 ，即：利用比例式证平行线. (4) 定理:平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线 ，所截的三角形的三边与原三角 形三边对应成比例? (5 ［①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ②比例线段：四条线段 a , b , c ,d 中, 如果a 与b 的比等于 c 与d 的比，即-= c b d 那么这四条线段a , b , c , d 叫做成比, 例线段, 简称比例线段。 2 ?比例的有关性质 ①比例的基本性质： 如果 旦 _c ，那么 ad=bc 。如果 ad=bc ( a , b , c , d 都不等于 0), b d 那么旦-。 (1)平行线分线段成比例定理 :三条平行线截两条直线 ,所得的对应线段成比例 DE~BC EF BC 或 或—— DF AB DF AC AE AC .此推论较原定理应用更加广泛 丟或DE 云等.
相似三角形分类练习题（1） 一、填空题 1、如图，DE是△ABC的中位线，那么△ADE面积与△ABC面积之比是________。 2、如图，△ABC中，DE∥BC，，且 ，那么＝________。
3、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，AD＝8cm，DB＝2cm，则CD＝________cm。 4、如图，△ABC中，D、E分别在AC、AB上，且AD:AB＝AE:AC＝1:2，BC＝5cm，则DE＝________ cm。 5、如图，AD、BC相交于点O，AB∥CD，OB＝2cm，OC＝4cm，△AOB面积为4.5cm2，则△DOC面积为___cm2。 6、如图，△ABC中，AB＝7，AD＝4，∠B＝∠ACD，则AC＝_______。 7、如果两个相似三角形对应高之比为4:5，那么它们的面积比为_____。 8、如果两个相似三角形面积之比为1:9，那么它们对应高之比为_____。 9、两个相似三角形周长之比为2:3，面积之差为10cm2，则它们的面积之和为_____cm2。 10、如图，△ABC中，DE∥BC，AD:DB＝2:3，则＝______。 二、选择题 1、两个相似三角形对应边之比是1:5，那么它们的周长比是（）。
（A）；（B）1:25；（C）1:5；（D） 。 2、如果两个相似三角形的相似比为1:4，那么它们的面积比为（）。 （A）1:16；（B）1:8；（C）1:4；（D）1:2。 3、如图，锐角三角形ABC的高CD和高BE相交于O，则与△DOB相似的三角形个数是（）。（A）1；（B）2；（C）3；（D）4。
第一节:相似形与相似三角形 基本概念: １.相似形：对应角相等,对应边成比例的两个多边形,我们称它们互为相似形。 2.相似三角形:对应角相等,对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。 １．几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理） (1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例． 已知a ∥b ∥c, Ａ D a Ｂ E b C Ｆ c 可得EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB = ====或或或或 等. （2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例. A Ｄ Ｅ B C 由DE ∥BC 可得： AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛，条件是平行. (3)推论的逆定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线）所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线． （4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. (5)①平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。 ②比例线段:四条线段ａ,ｂ，ｃ,d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即b a =d c ,那么这四条线段a,b ，c ，d 叫做成比例线段,简称比例线段。 2．比例的有关性质 ①比例的基本性质:如果 d c b a =,那么ａｄ＝b c 。如果ａｄ=bc(a ，b,c, d 都不等于0)，那