重心插值配点法及其应用
摘要：重心Lagrange插值具有数值稳定性好、计算精度高的优点。采用重心Lagrange插值近似未知函数，建立未知函数各阶导数的微分矩阵。采用微分矩阵近似未知函数的导数，利用配点法将控制方程和边界条件离散为代数方程组，通过求解代数方程组，从而可求解偏微分方程。数值算例表明，重心插值配点法具有原理简单，易于程序实现和数值计算精度高的优点。
关键词：重心Lagrange插值；微分矩阵；配点法
Barycentric Lagrange interpolation collocation Method and its Application
Abstract：Barycentric Lagrange interpolation collocation method has excellent numerical stability and high accuracy. this paper presents the Barycentric Lagrange interpolation collocation method to get the differentiation Matrix of unknown function. So the control equation can be expressed as linear systems by the collocation method. According to those formulas, differential equations can be soluted. The principle of this method is simple and easy to programming. The accuracy and the numerical stability are very excellent.
Key words: Barycentric Lagrange interpolation, differentiation Matrix, collocation method,
0 引言
具有初、边值条件的常、偏微分方程的解析解常无法通过理论推导获得，一种有效的途径是采用数值求解方法获得具有一定数值精度的近似解，这些数值方法包括：有限差分法、有限单元法、边界单元法、无网格法及一些杂交使用的方法等数值求解方法。其中，有限差分法、有限单元法这两种方法要对求解区域划分单元，计算精度依赖于单元的大小。采用配点法求解边值问题不需要划分单元，公式简单，不需要积分，易于编程。目前用于求解工程中的常微分方程边值问题的配点法主要有拟谱法和微分求积法。拟谱法是根据谱方法发展出来的一种方法，虽然这种方法的理论研究已经有进一步的发展，但是工程技术人员对这种方法不是很了解。微分求积法的基本原理是将未知函数在区间上所有离散点的函数值的加权和来逼近该函数在某一离散点的偏导数或者积分，这种方
法中的权系数的确定通常是根据Lagrange多项式在网点处的导数值给出。但是这种方法的局限性是离散点不能取得太多，否则Lagrange多项式表示的曲线随多项式次数的升高而出现Runge现象，从而产生计算的不稳定性。重心Lagrange插值具有极好的数值稳定性和极高的近似精度，同时重心Lagrange插值公式具有紧凑的各阶导数的计算公式。
本文所采用的重心插值配点法就是用重心Lagrange插值多项式求出某一函
插值法 引言 许多实际问题都有用函数来表示某种内在规律的数量关系，其中相当一部分函数是通过实验或观测得到的．虽然某个区间上是存在的，有的 还是连续的，但却只能给出上一系列点的函数值， 这只是一张函数表．有的函数虽有解析表达式，但由于计算复杂，使用不方便，通常也造一个函数表，如大家熟悉的三角函数表、对数表、平方根和立方根表等等．为了研究函数的变化规律，往往需要求出不在表上的函数值．因此，我们希 望根据给定的函数表做一个既能反映函数的特性，又便于计算的简单函数 ，用近似．通常选一类较简单的函数（如代数多项式或分段代数 多项式）作为，并使对成立．这样确定的就是我们希望得到的插值函数．例如，在现代机械工业中用计算机等程序控制加工机 械零件，根据设计可给出零件个形曲线的某些型值点（,）（）， 加工时为近年第步走刀方向步数，就要算出零件外形曲线其他点的函数值，才能加工出外表光滑的零件，这就是求插值函数的问题。下面我们给出有关插值法的定义。 设函数在区间上有定义，且已知在点上的值，若存在一简单函数，使 () (1.1) 成立，就称为的插值函数，点称为插值节点，包含插值节 点的区间称为插值区间，求插值函数的方法称为插值法。若是次数不超过的代数多项式，即
， (1.2) 其中为实数，就称为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值，若 为分段的多项多，就称为分段插值。若为三角多项式，就称为三角插值。本章只讨论多项式插值与分段插值。 从几何上看，插值法就是求曲线,使其通过给定的＋１个点， ，并用它近似已知曲线,见图2-1。 由已知的离散因变量的值来估计未知的中间插值的方法。 插值法又称“内插法”。 利用函数f （x）在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f （x）的近似值，这里的方法称为插值法。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。
一种新的复合重心有理Hermite插值方法 本文用切触插值连分式对重心有理Hermite插值进行复合，构造出了一种新的复合重心有理Hermite插值方法。与传统的切触插值连分式相比，该方法具有更好的灵活性。 标签：重心有理Hermite插值复合逼近 0 引言 有理插值和逼近是非线性逼近的一种典型方法，重心有理插值的研究始于lagrange插值多项式，把有理插值改为重心形式具有许多显著的优点，如无极点、数值稳定性好等等。切触有理插值是Hermite插值的一种推广，1984年W.Werner 第一次给出了重心有理插值方法[1，3]，1991年C.Schneider和W.Werner 提出了重心有理Hermite插值方法[2]。重心形式的有理插值方法的独有优点使得重心有理插值和重心有理Hermite插值成为当前插值问题中的一个研究热点[4-5]。 1 重心有理Hermite插值 设有理函数r（x）r（x）∈Rn，n，Rn，n为一有理函数集合，其元素是由分子和分母次数不超过n次的多项式构成。给定重心有理Hermite插值公式如下： 对于有序实数对（xi，fi （j）），j=0，1，2…si-1，i=0，1，2…n，当i≠j时，xi≠xj。 2 一种新的复合重心有理Hermite插值方法 2.1 基于切触插值连分式的复合重心有理Hermite插值方法 设已知x0＜x1＜…＜xn，f （j）（xi）=fi （j），（j=0，1，…，si-1；i=0，1，…，n），为了构造满足插值条件的复合重心有理Hermite插值公式，我们首先介绍一下文献[6]中的切触插值连分式方法： 设x0＜x1＜…＜xn，f （k）（xi）=fi （k），（k=0，1，…，si-1；i=0，1，…，n），则Thiele型切触插值连分式 满足Ii(s -1)(k)(xi)=fi(k)，(k=0，1，…，si-1)。其中ai0，ai1，…ai （s -1），（i=0，1，…n）可由Viscovatov算法确定，记cik=f （k）(xi)/k!，该算法可表示如下 ai0=ci0，ai1=1/ci1，aij=ci1 /ci1，（j=2，…，si-1），cik=-，（k=1，…，si-1），cik=c(j-2) -aijc(j-1) ，（k=1，…，si-1），（j=2，…，si-1）。
重心插值配点法及其应用 摘要：重心Lagrange插值具有数值稳定性好、计算精度高的优点。采用重心Lagrange插值近似未知函数，建立未知函数各阶导数的微分矩阵。采用微分矩阵近似未知函数的导数，利用配点法将控制方程和边界条件离散为代数方程组，通过求解代数方程组，从而可求解偏微分方程。数值算例表明，重心插值配点法具有原理简单，易于程序实现和数值计算精度高的优点。 关键词：重心Lagrange插值；微分矩阵；配点法 Barycentric Lagrange interpolation collocation Method and its Application Abstract：Barycentric Lagrange interpolation collocation method has excellent numerical stability and high accuracy. this paper presents the Barycentric Lagrange interpolation collocation method to get the differentiation Matrix of unknown function. So the control equation can be expressed as linear systems by the collocation method. According to those formulas, differential equations can be soluted. The principle of this method is simple and easy to programming. The accuracy and the numerical stability are very excellent. Key words: Barycentric Lagrange interpolation, differentiation Matrix, collocation method, 0 引言 具有初、边值条件的常、偏微分方程的解析解常无法通过理论推导获得，一种有效的途径是采用数值求解方法获得具有一定数值精度的近似解，这些数值方法包括：有限差分法、有限单元法、边界单元法、无网格法及一些杂交使用的方法等数值求解方法。其中，有限差分法、有限单元法这两种方法要对求解区域划分单元，计算精度依赖于单元的大小。采用配点法求解边值问题不需要划分单元，公式简单，不需要积分，易于编程。目前用于求解工程中的常微分方程边值问题的配点法主要有拟谱法和微分求积法。拟谱法是根据谱方法发展出来的一种方法，虽然这种方法的理论研究已经有进一步的发展，但是工程技术人员对这种方法不是很了解。微分求积法的基本原理是将未知函数在区间上所有离散点的函数值的加权和来逼近该函数在某一离散点的偏导数或者积分，这种方 法中的权系数的确定通常是根据Lagrange多项式在网点处的导数值给出。但是这种方法的局限性是离散点不能取得太多，否则Lagrange多项式表示的曲线随多项式次数的升高而出现Runge现象，从而产生计算的不稳定性。重心Lagrange插值具有极好的数值稳定性和极高的近似精度，同时重心Lagrange插值公式具有紧凑的各阶导数的计算公式。 本文所采用的重心插值配点法就是用重心Lagrange插值多项式求出某一函
插值法的应用与比较 信科1302 万贤浩 13271038 1格朗日插值法 在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名的一种多项式插值方法.许多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律，而不少函数都只能通过实验和观测来了解.如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值.这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式.数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数.拉格朗日插值法最早被英国数学家爱德华·华林于1779年发现，不久后由莱昂哈德·欧拉再次发现.1795年，拉格朗日在其著作《师范学校数学基础教程》中发表了这个插值方法，从此他的名字就和这个方法联系在一起. 1.1拉格朗日插值多项式 图1 已知平面上四个点：(?9, 5), (?4, 2), (?1, ?2), (7, 9)，拉格朗日多项式：)(x L （黑色）穿过所有点.而每个基本多项式：)(00x l y ,)(11x l y , )(22x l y 以及)(x l y ??各穿过对应的一点，并在其它的三个点的x 值上取零. 对于给定的若1+n 个点),(00y x ,),(11y x ,………),(n n y x ，对应于它们的次数不超过n 的拉格朗日多项式L 只有一个.如果计入次数更高的多项式，则有无穷个，因为所有与L 相差 ))((10x x x x --λ……)(n x x -的多项式都满足条件. 对某个多项式函数，已知有给定的1+k 个取值点： ),(00y x ,……,),(k k y x ,
常见插值法 【摘 要】插值方法在数值分析中起着非常重要的作用。在此介绍一些常见的插值方法及 其应用范例。 【关键字】数值分析；插值方法；应用； 1. 插值法定义 插值法又称“内插法”，是利用函数f (x)在某区间中 插入若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些 表(1) 插值点 点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值，这种方法称为插值法。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。 2.常见的插值法及其构造 Lagrange 插值法 （a).公式推导： 表（1）的Lagrange 插值的插值多项式 ∑==n i i i x l x f x 0 n )()()(L ,(j=0,1,2....n)。 其中插值基函数是 ∏ ≠=--=n j i i j i j x x x x x l 0 n ) ()()(,(i,j=0,1 2...n) 。 其插值余项为 其中),b a （∈ ξ，∏≠=+--=n j i i j i j x x x x x 0 1n )() ()(ω (b).matlab 实现方法： Matlab 没有直接求解的相关函数，现编译如下： function yi = Lagarange_chazhi(x,y,xi) % 求拉格朗日插值,并返回一个输入为xi 时的函数值 % x 为插值点向量，至少有三项 % y 为插值点值的向量，项数与x 相同 m = length(x); %求插值个数 m1 = length(y); if m<=2 error('项数不足!'); end if m~=m1 error('!!!y 的项数应与x 相同!!!'); end %对参数的判断 lag_hanshu = 0; syms X ; for (l = 1:m) %构造插值基函数 la = y(l); for a = (1:l-1) la = la*(X-x(a))/(x(l)-x(a)); end for a = (l+1:m) la = la*(X-x(a))/(x(l)-x(a)); end format long lag_hanshu = lag_hanshu+la; %求解出插值函数 end yi = subs( lag_hanshu,'X',xi); %返回插值函数输入为xi 时的值 End (c).方法缺陷：当插值点个数7n ≥时，将产生 龙格现象： 经典例子，对) 251(1 )(2x x f += 进行拉格朗日插 0x 1x 2x ....... 1-n x n x 0y 1y 2y ....... 1-n y n y ), (!)1() ()()()(1)1(x n f x L x f x R n n n n +++=-=ωξ
几种插值法的应用与比较 作者：*** 指导老师：*** 摘要本文主要介绍了几种常用插值法的应用和比较，针对每个插值法，经过详细的论证和讨论，给出了每个插值法的优点和缺点.通过对数学插值法的研究、比较及应用的讨论及总结，从而得出所讨论插值方法的各自优势，以方便用户选择合适的插值法. 关键词拉格朗日插值重心拉格朗日插值分段线性插值 1 引言 在许多实际问题及科学研究中，因素之间往往存在着函数关系，但是这些关系的显示表达式不一定都知道，通常只是由观察或测试得到一些离散数值，所以只能从这些数据构造函数的近似表达式，有时虽然给出了解析表达式，但由于解析表达式过于复杂，计算起来十分麻烦.这就需要建立函数的某种近似表达，而插值法就是构造函数的近似表达式的方法. 由于代数多项式是最简单而又便于计算的函数，所以经常采用多项式作为插值函数，称为多项式插值.多项式插值法有拉格朗日插值法，牛顿插值法、埃尔米特插值法，分段插值法和样条插值法等.其基本思想都是用高次代数多项式或分段的低次多项式作为被插值函数的近似解析表达式. 2拉格朗日插值法 在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名的一种多项式插值方法.许多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律，而不少函数都只能通过实验和观测来了解.如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值.这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式.数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数.拉格朗日插值法最早被英国数学家爱德华·华林于1779年发现，不久后由莱昂哈德·欧拉再次发现.1795年，拉格朗日在其著作《师范学校数学基础教程》中发表了这个插值方法，从此他的名字就和这个方法联系在一起. 2.1 拉格朗日插值多项式
目录 一、 A/D卡设计 (1) 1.1 基于PCI总线的A/D卡 (1) 1.2 基于USB总线的A/D卡 (2) 二、非均匀离散傅立叶变换 (4) 三、不同的插值算法 (6) 1. 拉格朗日多项式插值 (6) 2. 三次样条插值 (7) 3. 牛顿插值 (8) 四、主要算法及程序 (10) 1. 拉格朗日算法 (10) 2. 三次样条插值 (10) 3. Newton算法 (12) 五、算法结果及比较分析 (14) 六、心得体会 (19) 七、参考文献 (20)
一、A/D卡设计 1.1 基于PCI总线的A/D卡 1、PCI总线的含义 PCI是由Intel公司1991年推出的一种局部总线。从结构上看，PCI是在CPU和原来的系统总线之间插入的一级总线，具体由一个桥接电路实现对这一层的管理，并实现上下之间的接口以协调数据的传送。管理器提供了信号缓冲，使之能支持10种外设，并能在高时钟频率下保持高性能，它为显卡、声卡、网卡、MODEM等设备提供了连接接口，它的工作频率为33MHz/66MHz。 PCI是Peripheral Component Interconnect(外设部件互连标准）的缩写，它是目前个人电脑中使用最为广泛的接口，几乎所有的主板产品上都带有这种插槽。PCI插槽也是主板带有最多数量的插槽类型，在目前流行的台式机主板上，ATX结构的主板一般带有5～6个PCI插槽，而小一点的MATX主板也都带有2～3个PCI插槽，可见其应用的广泛性。 PCI总线是一种不依附于某个具体处理器的局部总线。管理器提供了信号缓冲，使之能支持10种外设，并能在高时钟频率下保持高性能。PCI总线也支持总线主控技术，允许智能设备在需要时取得总线控制权，以加速数据传送。 图1.1 典型的PCI系统总线构成 2、PCI总线的基本含义 不同于ISA总线，PCI总线的地址总线与数据总线是分时复用的。这样做的好处是，
几种插值法的应用和 比较
插值法的应用与比较 信科1302 万贤浩 13271038 1格朗日插值法 在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名的一种多项式插值方法.许多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律，而不少函数都只能通过实验和观测来了解.如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值.这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式.数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数.拉格朗日插值法最早被英国数学家爱德华·华林于1779年发现，不久后由莱昂哈德·欧拉再次发现.1795年，拉格朗日在其著作《师范学校数学基础教程》中发表了这个插值方法，从此他的名字就和这个方法联系在一起. 1.1拉格朗日插值多项式 图1
已知平面上四个点：(?9, 5), (?4, 2), (?1, ?2), (7, 9)，拉格朗日多项式：)(x L （黑色）穿过所有点.而每个基本多项式：)(00x l y ,)(11x l y , )(22x l y 以及)(x l y ??各穿过对应的一点，并在其它的三个点的x 值上取零. 对于给定的若1+n 个点),(00y x ,),(11y x ,………),(n n y x ，对应于它们的次数不超过n 的拉格朗日多项式L 只有一个.如果计入次数更高的多项式，则有无穷个，因为所有与L 相差))((10x x x x --λ……)(n x x -的多项式都满足条件. 对某个多项式函数，已知有给定的1+k 个取值点： ),(00y x ,……,),(k k y x , 其中i x 对应着自变量的位置，而i y 对应着函数在这个位置的取值. 假设任意两个不同的i x 都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为： )()(0x l y x L j k j j ∑==， 其中每个)(x l j 为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为： )()()()()()()()()(111100,0k j k j j j j j j j k j i i i j i j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l --------=--=++--≠=∏ΛΛ， 拉格朗日基本多项式()x l i 的特点是在j x 上取值为1，在其它的点i x ，j i ≠ 上取值为0. 例：设有某个多项式函数f ，已知它在三个点上的取值为： ? 10)4(=f ， ? 25.5)5(=f ， ? 1)6(=f ， 要求)18(f 的值. 首先写出每个拉格朗日基本多项式：