常用数据插值方法的实际应用
任务下达书
一、实验目的
科学计算的很多问题和函数有关，但除少数代数多项式和有理分式之外，绝大多数函数都不能在计算机上直接进行求解，因此需要用计算机上可直接求解的函数插值已知函数。数据插值的基本出发点是根据函数f(x)的一组数据{x i,f(x i)}(i=0,1,…,n),按照插值条件构造简单易算的函数P(x)去近似f(x)。但对于实际问题所对应的函数，并不是插值点越多、插值多项式的次数越高，就越能获得高的精度。
通过本实验，试图达到如下目的：
(1) 了解插值的基本原理和Lagrange插值、Newton插值、分段线性插值、样条插值的基本思想；
(2) 验证数据插值中的Runge现象，掌握避免Runge现象的方法；
(3) 掌握将数值方法转换为计算机程序的方法；掌握用高级程序设计语言实现
Lagrange插值、Newton插值、分段线性插值、样条插值的方法；培养学生上机操作和实际动手的能力；
(4) 通过范例展现求解实际问题的初步建模过程；提高探索和解决问题的能力。
(5) 通过撰写实验报告，促使自己提炼思想，按逻辑顺序进行整理，并以他人能
领会的方式表达自己思想形成的过程和理由。
二、实验内容
假设两物体的运行轨迹满足如下方程：
物体1：y1 =x / (1+x2)，x∈[-5,5]
物体2：y2 =1 / (1+25x2)，x∈[-5,5]
其图形如图1所示。
图1 函数y1 =x / (1+x 2)和方程y2 =1 / (1+25x 2)在区间[-5,5]上的图形
但是在实际应用中，一般并不能确知物体的运动轨迹方程，只能通过测量一些x 坐标点的值，然后通过数据插值的方法来求其他未知点的函数值。设已测量到不同x 点的函数值如下表1所示，试采用Lagrange 插值、Newton 插值、分段线性插值、样条插值等方法进行插值，并绘制插值函数的图形，在对不同插值方法结果比较的基础上，确定一种最好的插值方法。
表1 不同x 点处物体的函数值
x -5.0 -4.5 -4.0 -3.5 -3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0 y1 -0.1923 -0.2118 -0.2353 -0.2642 -0.3000 -0.3448 -0.4000 -0.4615 -0.5000 -0.4000 0 y2
0.0016
0.0020
0.0025
0.0033
0.0044
0.0064
0.0099
0.0175
0.0385
0.1379
1.0000
不同插值方法的结果比较可以采用如下方式：将计算结果参考表2的形式排列，对照函数的准确值，观察同一方案、不同的插值节点数n 的计算结果的变化状态，不同方案结果的精度比较，有无Runge （龙格）现象发生。取4位小数计算。
x 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 y1 0.4000 0.5000 0.4615 0.4000 0.3448 0.3000 0.2642 0.2353 0.2118 0.1923 y2
0.1379
0.0385
0.0175
0.0099
0.0064
0.0044
0.0033
0.0025
0.0020
0.0016
表2 不同插值方法的比较
x i f (x i)拉格朗日插值L
n
(x)分段线性插值P
n
(x)三次样条插S n(x) n =10n =20n =10n =20n =10n =20
……
……
……
……
……
……
……
……
三、实验要求
本实验要求学生在掌握Lagrange插值、分段线性插值、三次样条插值等方法的基本原理以及误差分析理论的基础上，建立给定问题的数学模型，设计并实现固定区间上的特定函数的最优插值算法；实验过程中要求学生针对特定函数的性质，通过对不同的插值方法的分析比较，确定最优的插值方式，并基于等距离划分确定插值区间中合适的插值点数目，给出最优插值策略并进行编程实现。
具体要求如下：
(1)通过分析问题，建立求解问题的数学模型，撰写实验设计方案；
(2)用高级程序设计语言实现Lagrange插值、Newton插值、分段插值和样条插值
等的程序；
(3)采用不同插值方法求解实际问题，并对实验结果进行比较；
(4)总结实验过程，撰写实验报告和心得体会；
(5)实验完成后，需提交实验设计方案，实验报告，实验心得体会以及程序源代码、
使用说明等材料。
空间插值算法： 1、距离倒数乘方法 (Inverse Distanee to a Power ) 距离倒数乘方格网 化方法是一个加权平均插值法，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。方次参数控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。对于 一个较大的方次，较近的数据点被给定一个较高的权重份额，对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距离倒数成比例。当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1.0。当一个观测点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为1.0的权重，所有其它观测点被给予一个几乎为0.0的权重。换 言之，该结点被赋给与观测点一致的值。这就是一个准确插值。距离倒数法的特征之一是要在格网区域内产生围绕观测点位置的"牛眼"。用距离倒 数格网化时可以指定一个圆滑参数。大于零的圆滑参数保证，对于一个特定的结点，没有哪个观测点被赋予全部的权值，即使观测点与该结点重合也是如此。圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低"牛眼"影响。 2、克里金法 (Kriging)克里金法是一种在许多领域都很有用的地质统计格网化方法。克里金法试图那样表示隐含在你的数据中的趋势，例如，高点会是沿一个脊连接，而不是被牛眼形等值线所孤立。克里金法中包含了几个因子：变化图模型，漂移类型和矿块效应。 3、最小曲率法 (Minimum Curvature )最小曲率法广泛用于地球科学。 用最小曲率法生成的插值面类似于一个通过各个数据值的，具有最小弯曲量的
长条形薄弹性片。最小曲率法，试图在尽可能严格地尊重数据的同时生成尽可能圆滑的曲面。使用最小曲率法时要涉及到两个参数：最大残差参数和最大循环次数参数来控制最小曲率的收敛标准 4、多元回归法(Polynomial Regression )多元回归被用来确定你的数据 的大规模的趋势和图案。你可以用几个选项来确定你需要的趋势面类型。 多元回归实际上不是插值器，因为它并不试图预测未知的Z值。它实际上是一个趋势面分析作图程序。使用多元回归法时要涉及到曲面定义和指定XY的最高方次设置，曲面定义是选择采用的数据的多项式类型，这些类型分别是简单平面、双线性鞍、二次曲面、三次曲面和用户定义的多项式。参数设置是指定多项式方程中X和Y 组元的最高方次。 5、径向基本函数法 (Radial Basis Function )径向基本函数法是多个数据 插值方法的组合。根据适应你的数据和生成一个圆滑曲面的能力，其中的 复二次函数被许多人认为是最好的方法。所有径向基本函数法都是准确的插值器，它们都要为尊重你的数据而努力。为了试图生成一个更圆滑的曲面，对所有这些方法你都可以引入一个圆滑系数。你可以指定的函数类似于克里金中的变化图。当对一个格网结点插值时，这些个函数给数据点规定了一套最佳权重。 6谢别德法(Shepard's Method )谢别德法使用距离倒数加权的最小 乘方的方法。因此，它与距离倒数乘方插值器相似，但它利用了局部最小二乘方来消除或减少所生成等值线的"牛眼"外观。谢别德法可以是一个准确或圆滑插值器。在用谢别德法作为格网化方法时要涉及到圆滑参数的设置。圆滑参数是使谢别德法能够象一个圆滑插值器那样工作。当你增加圆滑参数的值时，圆滑的效果越好。
空间插值方法汇总 Inverse Distance to a Power（反距离加权插值法） Kriging（克里金插值法） Minimum Curvature（最小曲率） Modified Shepard's Method（改进谢别德法） Natural Neighbor（自然邻点插值法） Nearest Neighbor（最近邻点插值法） Polynomial Regression（多元回归法） Radial Basis Function（径向基函数法） Triangulation with Linear Interpolation（线性插值三角网法） Moving Average（移动平均法） Local Polynomial（局部多项式法） 1、距离倒数乘方法 距离倒数乘方格网化方法是一个加权平均插值法，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。方次参数控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。对于一个较大的方次，较近的数据点被给定一个较高的权重份额，对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距离倒数成比例。当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1.0。当一个观测点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为 1.0 的权重，所有其它观测点被给予一个几乎为 0.0 的权重。换言之，该结点被赋给与观测点一致的值。这就是一个准确插值。距离倒数法的特征之一是要在格网区域内产生围绕观测点位置的"牛眼"。用距离倒数格网化时可以指定一个圆滑参数。大于零的圆滑参数保证，对于一个特定的结点，没有哪个观测点被赋予全部的权值，即使观测点与该结点重合也是如此。圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低"牛眼"影响。 2、克里金法 克里金法是一种在许多领域都很有用的地质统计格网化方法。克里金法试图那样表示隐含在你的数据中的趋势，例如，高点会是沿一个脊连接，而不是被牛眼形等值线所孤立。克里金法中包含了几个因子：变化图模型，漂移类型和矿块效应。 3、最小曲率法 最小曲率法广泛用于地球科学。用最小曲率法生成的插值面类似于一个通过各个数据值的，具有最小弯曲量的长条形薄弹性片。最小曲率法，试图在尽可能严格地尊重数据的同时，生成尽可能圆滑的曲面。使用最小曲率法时要涉及到两个参数：最大残差参数和最大循环次数参数来控制最小曲率的收敛标准。 4、多元回归法 多元回归被用来确定你的数据的大规模的趋势和图案。你可以用几个选项来确定你需要的趋势面类型。多元回归实际上不是插值器，因为它并不试图预测未知的 Z 值。它实际上是一个趋势面分析作图程序。使用多元回归法时要涉及到曲
几种常用的插值方法 数学系 信息与计算科学1班 李平 指导老师：唐振先 摘要:插值在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科学研究中有许多直接的应用,在很多领域都要用插值的办法找出表格和中间值,插值还是数值积分微分方程数值解等数值计算的基础。本文归纳了几种常用的插值方法,并简单分析了其各自的优缺点。 关键词:任意阶多项式插值,分段多项式插值。 引言:所谓插值,通俗地说就是在若干以知的函数值之间插入一些未知函数值,而插值函数的类型最简单的选取是代数多项式。用多项式建立插值函数的方法主要用两种：一种是任意阶的插值多项式,它主要有三种基本的插值公式：单项式,拉格朗日和牛顿插值；另一种是分段多项式插值,它有Hermite 和spine 插值和分段线性插值。 一．任意阶多项式插值： 1.用单项式基本插值公式进行多项式插值： 多项式插值是求通过几个已知数据点的那个n-1阶多项式,即P n-1(X)=A 1+A 2X+…A n X n-1,它是一个单项式基本函数X 0,X 1…X n-1的集合来定义多项式,由已知n 个点（X,Y ）构成的集合,可以使多项式通过没数据点,并为n 个未知系数Ai 写出n 个方程,这n 个方程组成的方程组的系数矩阵为Vandermonde 矩阵。 虽然这个过程直观易懂,但它都不是建立插值多项式最好的办法,因为Vandermonde 方程组有可能是病态的,这样会导致单项式系数不确定。另外,单项式中的各项可能在大小上有很大的差异,这就导致了多项式计算中的舍入误差。 2.拉格朗日基本插值公式进行插值： 先构造一组插值函数L i （x ） =011011()()()() ()()()() i i n i i i i i i n x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+--------L L L L ，其中i=0，… n.容易看出n 次多项式L i （x ）满足L i （x ）=1，（i=j ）；L i （x ）=0，（i ≠j ），其中
ArcGIS 中几种空间插值方法 1. 反距离加权法(IDW) ArcGIS 中最常用的空间内插方法之一，反距离加权法是以插值点与样本点之间的距离为权重的插值方法，插值点越近的样本点赋予的权重越大，其权重贡献与距离成反比。可表示为： 1111() ()n n i p p i i i i Z Z D D ===∑∑ 其中Z 是插值点估计值，Z i (i=1Λn)是实测样本值，n 为参与计算的实测样本数，D i 为插值点与第i 个站点间的距离，p 是距离的幂，它显著影响内插的结果，它的选择标准是最小平均绝对误差。 2.多项式法 多项式内插法(Polynomial Interpolation)是根据全部或局部已知值，按研究区域预测数据的某种特定趋势来进行内插的方法,属统计方法的范畴。在GA 模块中，有二种类型的多项式内插方法，即全局多项式内插和局部多项式内插。前者多用于分析数据的全局趋势；后者则是使用多个平面来拟合整个研究区域，能表现出区域内局部变异的情况。 3.样条函数内插法 样条函数是一个分段函数，进行一次拟合只有少数点拟合，同时保证曲线段连接处连续，这就意味着样条函数可以修改少数数据点配准而不必重新计算整条曲线。样条函数的一些缺点是：样条内插的误差不能直接估算，同时在实践中要
解决的问题是样条块的定义以及如何在三维空间中将这些“块”拼成复杂曲面,又不引入原始曲面中所没有的异常现象等问题。 4.克里格插值法 克里格法是GIS 软件地理统计插值的重要组成部分。这种方法充分吸收了地理统计的思想，认为任何在空间连续性变化的属性是非常不规则的，不能用简单的平滑数学函数进行模拟，可以用随机表面给予较恰当的描述。这种连续性变化的空间属性称为“区域性变量”，可以描述象气压、高程及其它连续性变化的描述指标变量。地理统计方法为空间插值提供了一种优化策略，即在插值过程中根据某种优化准则函数动态的决定变量的数值。Kriging 插值方法着重于权重系数的确定，从而使内插函数处于最佳状态，即对给定点上的变量值提供最好的线性无偏估计。 对于普通克里格法，其一般公式为 01()()n i i i Z x Z x λ==∑，其中，Z(x i )(i=1, Λ,n)为n 个样本点的观测值，Z(x 0)为待定点值，i λ为权重，权重由克立格方程组： 011 (,)(,)1n i i j i i n i i C x y C x x λμλ==?-=????=??∑∑ 决定，其中,C(x i ,x j )为测站样本点之间的协方差，C(x i ,x 0)为测站样本点与插值点之间的协方差，μ为拉格朗日乘子。 插值数据的空间结构特性由半变异函数描述，其表达式为： () 21 1()(()())2()N h i i i h Z x Z x h N h ν==-+∑ 其中，N(h)为被距离区段分割的试验数据对数目，根据试验变异函数的特性，选
线性插值法计算公式解析 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020
线性插值法计算公式解析 2011年招标师考试实务真题第16题：某机电产品国际招标项目采用综合评价法评标。评标办法规定，产能指标评标总分值为10分，产能在100吨/日以上的为10分，80吨/日的为5分，60吨/日以下的为0分，中间产能按插值法计算分值。某投标人产能为95吨/日，应得（）分。A． B．8.75 C． D． 分析：该题的考点属线性插值法又称为直线内插法，是评标办法的一种，很多学员无法理解公式含义，只能靠死记硬背，造成的结果是很快会遗忘，无法应对考试和工作中遇到的问题，对此本人从理论上进行推导，希望对学员有所帮助。 一、线性插值法两种图形及适用情形 F F F2
图一：适用于某项指标越低得分越高的项目 评分计算，如投标报价得分的计算 图二：适用于某项投标因素指标越高，得分越高的 情形，如生产效率等 二、公式推导 对于这个插值法，如何计算和运用呢，我个人认为考生在考试时先试着画一下上面的图，只有图出来了，根据三角函数定义，tana=角的对边比上邻边，从图上可以看出，∠A是始终保持不变的，因此，根据三角函数tana，我们可以得出这样的公式
图一：tana＝（F1-F2）/(D2-D1)=(F-F2)/(D2-D)＝（F1-F）/(D-D1)，通过这个公式，我们可以进行多种推算，得出最终公式如下 F=F2+（F1-F2）*(D2-D)/ (D2-D1) 或者F= F1-（F1-F2）*(D-D1)/(D2-D1) 图二：tana＝（F1-F2）/(D2-D1)＝(F-F2)/ (D-D1)＝（F1-F） /(D2-D) 通过这个公式我们不难得出公式： F= F2+（F1-F2）*(D-D1)/(D2-D1) 或者F=F1-（F1-F2）*(D2-D)/(D2-D1) 三：例题解析 例题一：某招标文件规定有效投标报价最高的得30分，有效投标报价最低的得60分，投标人的报价得分用线性插值法计算，在评审中，评委发现有效的最高报价为300万元，有效最低的报价为240万元，某A企业的有效投标报价为280万元，问他的价格得分为多少 分析，该题属于图一的适用情形，套用公式 计算步骤：F=60+(30-60)/(300-240)*(280-240)=40 例题二：某招标文件规定，水泵工作效率85%的3分，95%的8分，某投标人的水泵工作效率为92%，问工作效率指标得多少分
Surfer软件插值方法 1、距离倒数乘方法距离倒数乘方格网化方法是一个加权平均插值法，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。方次参数控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。对于一个较大的方次，较近的数据点被给定一个较高的权重份额，对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距离倒数成比例。当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1.0。当一个观测点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为1.0 的权重，所有其它观测点被给予一个几乎为0.0 的权重。换言之，该结点被赋给与观测点一致的值。这就是一个准确插值。距离倒数法的特征之一是要在格网区域内产生围绕观测点位置的"牛眼"。用距离倒数格网化时可以指定一个圆滑参数。大于零的圆滑参数保证，对于一个特定的结点，没有哪个观测点被赋予全部的权值，即使观测点与该结点重合也是如此。圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低"牛眼"影响。 2、克里金法克里金法是一种在许多领域都很有用的地质统计格网化方法。克里金法试图那样表示隐含在你的数据中的趋势，例如，高点会是沿一个脊连接，而不是被牛眼形等值线所孤立。克里金法中包含了几个因子：变化图模型，漂移类型和矿块效应。 3、最小曲率法最小曲率法广泛用于地球科学。用最小曲率法生成的插值面类似于一个通过各个数据值的，具有最小弯曲量的长条形薄弹性片。最小曲率法，试图在尽可能严格地尊重数据的同时，生成尽可能圆滑的曲面。使用最小曲率法时要涉及到两个参数：最大残差参数和最大循环次数参数来控制最小曲率的收敛标准。 4、多元回归法多元回归被用来确定你的数据的大规模的趋势和图案。你可以用几个选项来确定你需要的趋势面类型。多元回归实际上不是插值器，因为它并不试图预测未知的Z 值。它实际上是一个趋势面分析作图程序。使用多元回归法时要涉及到曲面定义和指定XY的最高方次设置，曲面定义是选择采用的数据的多项式类型，这些类型分别是简单平面、双线性鞍、二次曲面、三次曲面和用户定义的多项式。参数设置是指定多项式方程中X 和Y组元的最高方次。 5、径向基本函数法径向基本函数法是多个数据插值方法的组合。根据适应你的数据和生成一个圆滑曲面的能力，其中的复二次函数被许多人认为是最好的方法。所有径向基本函数法都是准确的插值器，它们都要为尊重你的数据而努力。为了试图生成一个更圆滑的曲面，对所有这些方法你都可以引入一个圆滑系数。你可以指定的函数类似于克里金中的变化图。当对一个格网结点插值时，这些个函数给数据点规定了一套最佳权重。 6、谢别德法谢别德法使用距离倒数加权的最小二乘方的方法。因此，它与距离倒数乘方插值器相似，但它利用了局部最小二乘方来消除或减少所生成等值线的"牛眼"外观。谢别德法可以是一个准确或圆滑插值器。在用谢别德法作为格网化方法时要涉及到圆滑参数的设置。圆滑参数是使谢别德法能够象一个圆滑插值器那样工作。当你增加圆滑参数的值时，圆滑的效果越好。 7、三角网/线形插值法三角网插值器是一种严密的插值器，它的工作路线与手工绘制等值线相近。这种方法是通过在数据点之间连线以建立起若干个三角形来工作的。原始数据点的连结方法是这样：所有三角形的边都不能与另外的三角形相交。其结果构成了一张覆盖格网范围的，由三角形拼接起来的网。每一个三角形定义了一个覆盖该三角形内格网结点的面。三角形的倾斜和标高由定义这个三角形的三个原始数据点确定。给定三角形内的全部结点都要受到该三角形的表面的限制。因为原始数据点被用来定义各个三角形，所以你的数据是很受到尊重的。8.自然邻点插值法自然邻点插值法(NaturalNeighbor)是Surfer7.0才有的网格化新方法。自然邻点插值法广泛应用于一些研究领域中。其基本原理是对于一组泰
第五章降雨空间插值分析 降雨空间插值分析是系统的中间件，其主要任务是把流域内175个雨量站的资料利用空间插值方法合理地插值到分布式水文模型所应用的空间网格上，以便于利用历史和实时自动测报雨量进行模型的率定和模拟验证，其输出结果以数据库或数据文本方式储存。 该层次的功能主要包括以下三个方面：（1）把175站雨量信息合理地插值到计算网格；（2）雷达降雨与分布式水文模型耦合接口；（2）暴雨数值预报与分布式水文模型耦合接口。 5.1 概述 降雨空间插值分析是本系统的关键技术之一。该部分的功能实现途径如下： （1）建立统一的基础空间数据库，包括统一的网格、单元、区域、子流域划分及编码，实现对同一区域对象的地理、水文、气象综合描述。系统的基本分辨率规定为空间1km×1km； （2）多源降雨信息的同化及整合。无论是自动测报实时雨量，还是历史数据（包括月、日、时等时段），通过该软件都可以生成网格上的空间分布数据。 （3）数值天气预报产品转化为1km网格的空间数据； （4）雷达信息转换为分布式水文模型所用网格的空间数据。
5.2 空间插值方法 空间插值方法的主要思想是：由分布的流域上的各个测站（xi, yi, zi ）（x, y 为坐标值，z 为雨量值），拟合出该时段降雨量在流域上的分布函数f (x, y)，进而求得在该函数在计算网格上的积分： ()??=dA y x f P , 5-1 则网格上的面平均雨量为： A P P = 5-2 在实际操作时，分布函数的拟合是采用加权的最小二乘拟合得出，但是对于复杂的空间分布函数，其求解并不是简单的问题。一般情况下多选用多项式函数来作为数学表达式，另外还要求解上的可行性和便利性，目前趋势面的求解均采用最小二乘法，一般来说只有线性表达式以及可转化为线性的表达式方可求解。 目前流行较多的方法有：算术平均、距离反比加权平均、最短距离法、空间函数拟合插值等。算术平均方法比较简单，如果网格内有雨量站点，则该网格内的平均雨量为网格内站点雨量的平均值，但是小花间网格要4万多个，而雨量站点165个，该方法不能适用。以下重点介绍距离反比加权平均、最短距离法、克里格法和空间函数拟合插值方法。
13. 数据插值与拟合 实际中，通常需要处理实验或测量得到的离散数据（点）。插值与拟合方法就是要通过离散数据去确定一个近似函数（曲线或曲面），使其与已知数据有较高的拟合精度。 1.如果要求近似函数经过所已知的所有数据点，此时称为插值问 题（不需要函数表达式）。 2.如果不要求近似函数经过所有数据点，而是要求它能较好地反 映数据变化规律，称为数据拟合（必须有函数表达式）。 插值与拟合都是根据实际中一组已知数据来构造一个能够反映数据变化规律的近似函数。区别是：【插值】不一定得到近似函数的表达形式，仅通过插值方法找到未知点对应的值。【拟合】要求得到一个具体的近似函数的表达式。 因此，当数据量不够，但已知已有数据可信，需要补充数据，此时用【插值】。当数据基本够用，需要寻找因果变量之间的数量关系（推断出表达式），进而对未知的情形作预测，此时用【拟合】。
一、数据插值 根据选用不同类型的插值函数，逼近的效果就不同，一般有：（1）拉格朗日插值（lagrange插值） （2）分段线性插值 （3）Hermite （4）三次样条插值 Matlab 插值函数实现： （1）interp1( ) 一维插值 （2）intep2( ) 二维插值 （3）interp3( ) 三维插值 （4）intern( ) n维插值 1.一维插值（自变量是1维数据） 语法：yi = interp1(x0, y0, xi, ‘method’) 其中，x0, y0为原离散数据（x0为自变量，y0为因变量）；xi为需要插值的节点，method为插值方法。 注：（1）要求x0是单调的，xi不超过x0的范围； （2）插值方法有‘nearest’——最邻近插值；‘linear’——线性插值；‘spline’——三次样条插值；‘cubic’——三次插值；
实验名称：插值计算 1引言 在生产和科研中出现的函数是多种多样的。常常会遇到这样的情况：在某个实际问题中，虽然可以断定所考虑的函数f（x）在区间[a,b]上存在且连续，但却难以找到它的解析表达式，只能通过实验和观测得到在有限个点上的函数值。用这张函数表来直接求出其他点的函数值是非常困难的，在有些情况下，虽然可以写出f(x)的解析表达式，但由于结构十分复杂，使用起来很不方便。面对这些情况，构造函数P(x)作为f(x)的近似，插值法是解决此类问题比较古老却目前常用的方法，不仅直接广泛地应用与生产实际和科学研究中，而且是进一步学习数值计算方法的基础。 设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且在n+1个不同的点a≤x0,x1……,xn≤b上分别取值y0,y1……,yn. 插值的目的就是要在一个性质优良、便于计算的函数φ中，求一简单函数P(x),使P(xi)=yi(i=0,1…,n)而在其他点x≠xi上，作为f(x)的近似。 通常，称区间[a,b]为插值区间，称点x0,x1,…,xn为插值节点，上式为插值条件，称函数类φ为插值函数类，称P(x)为函数f(x)在节点x0,x1,…,xn处的插值函数，求插值函数P(x)的方法称为插值法。 2实验目的和要求 用matlab定义分段线性插值函数、分段二次插值函数、拉格朗日插值函数，输入所给函 数表，并利用计算机选择在插值计算中所需的节点，计算f(0.15),f(0.31),f(0.47)的近似值。
3算法描述 1.分段线性插值流程图
2.分段二次插值流程图
3.拉格朗日插值流程图
4程序代码及注释 1.分段线性插值
空间插值算法： 1、距离倒数乘方法（Inverse Distance to a Power）距离倒数乘方格网化方法是一个加权平均插值法，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。方次参数控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。对于一个较大的方次，较近的数据点被给定一个较高的权重份额，对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距离倒数成比例。当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1.0。当一个观测点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为 1.0 的权重，所有其它观测点被给予一个几乎为0.0 的权重。换言之，该结点被赋给与观测点一致的值。这就是一个准确插值。距离倒数法的特征之一是要在格网区域内产生围绕观测点位置的"牛眼"。用距离倒数格网化时可以指定一个圆滑参数。大于零的圆滑参数保证，对于一个特定的结点，没有哪个观测点被赋予全部的权值，即使观测点与该结点重合也是如此。圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低"牛眼"影响。 2、克里金法（Kriging）克里金法是一种在许多领域都很有用的地质统计格网化方法。克里金法试图那样表示隐含在你的数据中的趋势，例如，高点会是沿一个脊连接，而不是被牛眼形等值线所孤立。克里金法中包含了几个因子：变化图模型，漂移类型和矿块效应。 3、最小曲率法（Minimum Curvature）最小曲率法广泛用于地球科学。用最小曲率法生成的插值面类似于一个通过各个数据值的，具有最小弯曲量的长条形薄弹性片。最小曲率法，试图在尽可能严格地尊重数据的同时，生成尽可能圆滑的曲面。使用最小曲率法时要涉及到两个参数：最大残差参数和最大循环次数参数来控制最小曲率的收敛标准。 4、多元回归法（Polynomial Regression）多元回归被用来确定你的数据的大规模的趋势和图案。你可以用几个选项来确定你需要的趋势面类型。多元
专题五数据分析与多项式计算5.3 数据插值 ?引例-零件加工问题 ?数据插值的计算机制 ?数据插值的实现方法 ?应用案例-粮储仓的通风控制问题
x 035791112131415 y0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6 机翼下轮廓线 在飞机制造中，机翼的加工是一项关键技术。由于机翼尺寸很大，通常在图纸中只能标出一些关键点的数据。下表给出了某型飞机机翼的下缘轮廓线数据，求x每改变0.1时y的值。 引例-零件加工问题
>> x=[0,3,5,7,9,11,12,13,14,15]; >>y=[0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.0,1.6]; >> x1=0:0.1:15; >> y1=interp1(x,y,x1,'spline'); >> plot(x1,y1)
数据插值的计算机制 x x 1x2…x k…x n y y1y2…y k…y n y=f(x) φ(x)≈f(x)未知函数近似函数 满足φ(x i )=y i(i=1,2,3,…,n) 从数学上来说，数据插值是一种函数逼近的方法。
数据插值的实现方法 在MATLAB中，一维插值函数为interp1()，其调用格式为： Y1=interp1(X,Y,X1,method) 该语句将根据X、Y的值，计算函数在X1处的值。其中，X、Y是两个等长的已知向量，分别表示采样点和采样值。X1是一个向量或标量，表示要插值的点。
method参数用于指定插值方法，常用的取值有以下四种： （1）linear：线性插值，默认方法。将与插值点靠近的两个数据点用直线连接，然后在直线上选取对应插值点的数据。 （2）nearest：最近点插值。选择最近样本点的值作为插值数据。
第十章 插值与拟合方法建模 在生产实际中，常常要处理由实验或测量所得到的一批离散数据，插值与拟合方法就是要通过这些数据去确定某一类已经函数的参数，或寻求某个近似函数使之与已知数据有较高的拟合精度。插值与拟合的方法很多，这里主要介绍线性插值方法、多项式插值方法和样条插值方法，以及最小二乘拟合方法在实际问题中的应用。相应的理论和算法是数值分析的内容，这里不作详细介绍，请参阅有关的书籍。 §1 数据插值方法及应用 在生产实践和科学研究中，常常有这样的问题：由实验或测量得到变量间的一批离散样点，要求由此建立变量之间的函数关系或得到样点之外的数据。与此有关的一类问题是当原始数据 ),(,),,(),,(1100n n y x y x y x 精度较高，要求确定一个初等函数)(x P y =（一般用多项式或分段 多项式函数）通过已知各数据点（节点），即n i x P y i i ,,1,0,)( ==，或要求得函数在另外一些点（插值点）处的数值，这便是插值问题。 1、分段线性插值 这是最通俗的一种方法，直观上就是将各数据点用折线连接起来。如果 b x x x a n =<<<= 10 那么分段线性插值公式为 n i x x x y x x x x y x x x x x P i i i i i i i i i i ,,2,1,,)(11 1 11 =≤<--+--= ----- 可以证明，当分点足够细时，分段线性插值是收敛的。其缺点是不能形成一条光滑曲线。 例1、已知欧洲一个国家的地图，为了算出它的国土面积，对地图作了如下测量：以由西向东方向为x 轴，由南向北方向为y 轴，选择方便的原点，并将从最西边界点到最东边界点在x 轴上的区间适当的分为若干段，在每个分点的y 方向测出南边界点和北边界点的y 坐标y1和y2，这样就得到下表的数据（单位：mm ）。
EX07：空间插值 本实验包含3个任务，任务1是进行趋势面分析（Trend surface analysis）；任务2使用IDW方法进行局部插值；任务3使用普通克里格（Ordinary kriging）方法进行插值。上述任务都可以在地统计分析（Geostatistical analyst）中进行空间插值，此时可以使用交叉有效性统计（如均方根统计）进行模型比较。地统计分析提供了比空间分析（Spatial Analyst）及ArcToolbox中插值工具更多信息及更好的用户界面。 任务1：趋势面模型用于插值 所需数据：stations.shp，包含Idaho州内及附近175个气象站的shapefile；idoutlgd，Idaho 州边界栅格文件。 在任务1中，在进行趋势面分析之前，首先查看stations.shp中的平均年度降水量数据。本任务中7、8、9等步骤涉及到栅格数据运算，为选作内容。 1.运行ArcCatalog，连接到EX07文件夹。运行ArcMap，将数据框架命名为Task1，将 stations.shp和idoutlgd添加到Task1。确保Geostatistical analyst和Spatial Analyst在Tools 菜单下的Extensions中的复选框被设置，且相应的工具条在程序中显示出来。 2.单击Geostatistical analyst中的下拉键头，指向Explorer Data，选择Trend Analysis。在 Trend Analysis对话框的底部，选择数据源的Layer为stations.shp，Attribute为ANN_PREC。 3.将Trend Analysis对话框最大化。对话框中的3D图表达了两种趋势信息：在YZ平面 中由北向南倾斜，在XZ平面中先表现为由西向东倾斜，而后些微上升。南北方向的趋势比东西方向趋势更为明显，即Idaho州降水量由北向南递减。关闭对话框。 4.单击Geostatistical analyst中的下拉键头，选择Geostatistical Wizard。在第1页中进行输 入数据和地统计方法的选择。单击Input Data下拉键头，选择stations。将Attribute选择为ANN_PREC。在Methods框架中，选择Global Polynomial Interpolation。 5.在下一页可以选择趋势面模型采用的阶数（Power）。在Power列表中提供了1-10的选 择。选择1作为阶数。下一页绘制了预测值与观测值、误差与观测值之间的分布图及一次趋势面模型相关统计。RMS是对趋势面模型综合符合度的一种衡量，在此起数值为 6.073。按Back返回且将阶数设置为2，此时RMS变为6.085。重复调整阶数，选择具 有最小RMS数值的趋势面模型即为本本任务最佳综合模型。对于ANN_PREC，最佳阶数设置为5。将阶数设置为5后单击Finish。在Output Layer Information对话框单击OK。Q1：当阶数为5时，RMS统计值是多少？ 6.Geostatistical analyst（GA）的输出为Global Polynomial Interpolation Prediction Map，与 stations具有相同的范围。在Global Polynomial Interpolation Prediction Map上单击右键选择Properties，在Symbology页包含4个显示选项：山体阴影（Hillshade）、等高线（Contours）、栅格（Grid）和填充等高线（Filled Contours），选择Filled Contours后单击分类（Classify）。在分类对话框中，选择手工分类，将其分为7类并将分类线设置为 10、15、20、25、30和35。单击OK关闭对话框。等高线（等雨量线）用不同色彩作 分类。 7.要将Global Polynomial Interpolation Prediction Map裁剪至与Idaho州边界相符，首先将 GA数据转化为栅格数据。在Global Polynomial Interpolation Prediction Map上单击右键，指向Data，选择Export to Raster，在弹出的对话框中，设置单元大小为200（米），并将输出命名为trend5_temp。单击OK进行数据输出。将trend5_temp添加到地图，检查trend5_temp中位于州边界外部的数值。
1、距离倒数乘方法 距离倒数乘方格网化方法是一个加权平均插值法，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。方次参数控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。对于一个较大的方次，较近的数据点被给定一个较高的权重份额，对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距离倒数成比例。当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1.0。当一个观测点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为 1.0 的权重，所有其它观测点被给予一个几乎为0.0 的权重。换言之，该结点被赋给与观测点一致的值。这就是一个准确插值。距离倒数法的特征之一是要在格网区域内产生围绕观测点位置的"牛眼"。用距离倒数格网化时可以指定一个圆滑参数。大于零的圆滑参数保证，对于一个特定的结点，没有哪个观测点被赋予全部的权值，即使观测点与该结点重合也是如此。圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低"牛眼"影响。 2、克里金法 克里金法是一种在许多领域都很有用的地质统计格网化方法。克里金法试图那样表示隐含在你的数据中的趋势，例如，高点会是沿一个脊连接，而不是被牛眼形等值线所孤立。克里金法中包含了几个因子：变化图模型，漂移类型和矿块效应。 3、最小曲率法 最小曲率法广泛用于地球科学。用最小曲率法生成的插值面类似于一个通过各个数据值的，具有最小弯曲量的长条形薄弹性片。最小曲率法，试图在尽可能严格地尊重数据的同时，生成尽可能圆滑的曲面。使用最小曲率法时要涉及到两个参数：最大残差参数和最大循环次数参数来控制最小曲率的收敛标准。 4、多元回归法 多元回归被用来确定你的数据的大规模的趋势和图案。你可以用几个选项来确定你需要的趋势面类型。多元回归实际上不是插值器，因为它并不试图预测未知的Z 值。它实际上是一个趋势面分析作图程序。使用多元回归法时要涉及到曲面定义和指定XY的最高方次设置，曲面定义是选择采用的数据的多项式类型，这些类型分别是简单平面、双线性鞍、二次曲面、三次曲面和用户定义的多项式。参数设置是指定多项式方程中X 和Y组元的最高方次。 5、径向基本函数法 径向基本函数法是多个数据插值方法的组合。根据适应你的数据和生成一个圆滑曲面的能力，其中的复二次函数被许多人认为是最好的方法。所有径向基本函数法都是准确的插值器，它们都要为尊重你的数据而努力。为了试图生成一个更圆滑的曲面，对所有这些方法你都可以引入一个圆滑系数。你可以指定的函数类似于克里金中的变化图。当对一个格网结点插值时，这些个函数给数据点规定了一套最佳权重。 6、谢别德法 谢别德法使用距离倒数加权的最小二乘方的方法。因此，它与距离倒数乘方插值器相似，但它利用了局部最小二乘方来消除或减少所生成等值线的"牛眼"外观。谢别德法可以是一个准确或圆滑插值器。在用谢别德法作为格网化方法时要涉及到圆滑参数的设置。圆滑参数是使谢别德法能够象一个圆滑插值器那样工作。当你增加圆滑参数的值时，圆滑的效果越好。 7、三角网/线形插值法 三角网插值器是一种严密的插值器，它的工作路线与手工绘制等值线相近。这种方法是通过在数据点之间连线以建立起若干个三角形来工作的。原始数据点的连结方法是这样：所有三角形的边都不能与另外的三角形相交。其结果构成了一张覆盖格网范围的，由三角形拼接起来的网。每一个三角形定义了一个覆盖该三角形内格网结点的面。三角形的倾斜和标高由定义这个三角形的三个原始数据点确定。给定三角形内的全部结点都要受到该三角形的表面的限制。因为原始数据点被用来定义各个三角形，所以你的数据是很受到尊重的。 8.自然邻点插值法 自然邻点插值法(NaturalNeighbor)是Surfer7.0才有的网格化新方法。自然邻点插值法广泛应用于一
空间插值可以有很多种分类方法，插值种类也难以举尽。在网上看到这篇文章，觉得虽然作者没能进行分类，但算法本身介绍地还是不错的。 在科学计算领域中，空间插值是一类常用的重要算法，很多相关软件都内置该算法，其中GodenSoftware 公司的Surfer软件具有很强的代表性，内置有比较全面的空间插值算法，主要包括： Inverse Distance to a Power（反距离加权插值法） Kriging（克里金插值法） Minimum Curvature（最小曲率） Modified Shepard's Method（改进谢别德法） Natural Neighbor（自然邻点插值法） Nearest Neighbor（最近邻点插值法） Polynomial Regression（多元回归法） Radial Basis Function（径向基函数法） Triangulation with Linear Interpolation（线性插值三角网法） Moving Average（移动平均法） Local Polynomial（局部多项式法） 下面简单说明不同算法的特点。 1、距离倒数乘方法 距离倒数乘方格网化方法是一个加权平均插值法，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。方次参数控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。对于一个较大的方次，较近的数据点被给定一个较高的权重份额，对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距离倒数成比例。当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1.0。当一个观测点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为1.0 的权重，所有其它观测点被给予一个几乎为0.0 的权重。换言之，该结点被赋给与观测点一致的值。这就是一个准确插值。距离倒数法的特征之一是要在格网区域内产生围绕观测点位置的"牛眼"。用距离倒数格网化时可以指定一个圆滑参数。大于零的圆滑参数保证，对于一个特定的结点，没有哪个观测点被赋予全部的权值，即使观测点与该结点重合也是如此。圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低"牛眼"影响。 2、克里金法 克里金法是一种在许多领域都很有用的地质统计格网化方法。克里金法试图那样表示隐含在你的数据中的趋势，例如，高点会是沿一个脊连接，而不是被牛眼形等值线所孤立。克里金法中包含了几个因子：变化图模型，漂移类型和矿块效应。 3、最小曲率法 最小曲率法广泛用于地球科学。用最小曲率法生成的插值面类似于一个通过各个数据值的，具有最小弯曲量的长条形薄弹性片。最小曲率法，试图在尽可能严格地尊重数据的同时，生成尽可能圆滑的曲面。使用最小曲率法时要涉及到两个参数：最大残差参数和最大循环次数参数来控制最小曲率的收敛标准。 4、多元回归法 多元回归被用来确定你的数据的大规模的趋势和图案。你可以用几个选项来确定你需要的趋
摘要 本文首先对空间插值的的理论基础包括空间插值的必要性以及目标等几个方面进行了介绍；在此基础上，对空间插值的几种方法包括反距离加权法、克里格法、泰森多边形法、样条函数法等进行了探讨和研究，对方法的适用范围、优缺点、插值精度等方面进行了总结；对反距离加权法和克里格法等的实现方法进行了研究；论文最后对空间内插的方法选择进行了归纳总结,并对空间内插今后有待进一步研究的方面以及发展应用方向进行了展望。 关键词：空间内插克里格反距离加权 Abstract Firstly,theoretical basis,including the necessity of spatial interpolation, aim etc., is specifically introduced in this paper. Beside this, we have done studies and researches on several methods of spatial interpolation, e.g.Inverse Distance Weighted、Kriging、Thiesen、Spline, concluded on the range、merit and shortcoming,interpolation accuracy and so on. The thesis it makes research on the programming process of Inverse Distance Weighted and Kriging etc, The end of the paper gives a summary to the methods selection of spatial interpolation, and outlooks the further research and probable application to be developed in spatial interpolation. Keywords:Spatial Interpolation Kriging Inverse Distance Weighted 0 前言：在地理信息系统(GlS)中，我们获得的空间数据往往是离散点的形式，或者是分区数据的形式。由于观测到的数据往往不能满足要求，最理想的方法就是调查地理空间所有样本的信息，以穷尽样本属性值的方式来获得详尽的地理信息。但这种方法从时间、经济角度上来说是行不通的，也是不现实的。我们可以从离散分布的数据开始来构造一个连续的表面，但是问题在于如何构建一个连续的数据表面。GIS空间内插方法为实现这个目的提供了有效的手段，它利用有限的观测数据，估计合理的空间分布、提高数据密度，获得完整空间信息分布，以填补缺失的数据，得到密集的数据分布。此外，由于数据集的来源、采样点的数据类型不同，如何选择适当的内插方法成为迫切需要解决的问题，如若选择了不适当的内插方法将会直接导致对数据的错误内插，从而造成了对实际情况错误的认识。每种内插方法都有各自的应用范围和优缺点，它们很大程度上依赖于采样数据原始的数学特征，不同的研究目的对内插都有特殊的要求。针对某一特定的数据集，如何来选择最有效的内插方法，是一个重要的、极富挑战性的任务。 本文试图从GIS空间内插方法的理论基础、实际效果两个方面比较几种常用的内插方法的实现原理及其基本的适用条件，并对空间内插今后有待进一步研究的方面进行了展望。 1空间内插方法的划分和分析 空间插值方法可以分为全局方法和局部方法两类。全局方法用研究区每个可利用的控制点来构建一个方程或一个模型，而后该模型可用于估算未知点的数值；局部方法是用控制点的样本来估计未知点的值。