直线与方程知识点总结
一、直线基本知识
1直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角
①直线与方程知识点总结
i .与x轴相交；ii .X轴正向；iii.直线向上方向.
②直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
③倾斜角〉的范围0°汀：：：1800.
④0 「90 ,k _0 ；90 :- 180 ,k 0
(2)直线的斜率
①直线与方程知识点总结值，而倾斜角为900的直线斜率不存在
②经过两点P (x1, y i), P2(x2, y2) ( x^ x2)的直线的斜率公式是k= ―力(x^ x2)
x2— x1
③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。
2、两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线1(2,其斜率分别为k i,k2,则有I1//I2二k i二k2。
特别地，当直线ht的斜率都不存在时，h与I2的关系为平行。
(2)两条直线垂直
如果两条直线h,l2斜率存在，设为k1,k2,则h_l2二kLk2 - -1
注：两条直线m垂直的充要条件是斜率之积为-1,这句话不正确；由两直线的斜率之
积为-1,可以得出两直线垂直，反过来,两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果h,l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，I1与I2互相垂直。
、直线的方程
注：过两点R(x“ yj, P 2(X 2, y 2)的直线是否一定可用两点式方程表示？(不一定。 (1) 若为=x 2且y 1 = y 2,直线垂直于x 轴,方程为x =人；
(2) 若x i - X 2且y i 二y ,直线垂直于y 轴,方程为y = y i ； (3) ( 3)若x 1 x 2且y 1〒y 2,直线方程可用两点式表示) 2、线段的中点坐标公式
若两点R (X 1, yj, P 2(X 2，y 2),且线段P 1,P 2的中点M 的坐标为(x, y)
3.
过定点的直线系
①斜率为k 且过定点(x o ’y 。)的直线系方程为y-y ° =k(x-x °)；
②过两条直线h ： Ax * By * G =0 , l 2 : A 2x B 2y C^Q 的交点的直线系方程为
A 1x
B 1y C< (A 2x B ?y (2) =0(-为参数),其中直线l 2不在直线系中?
三、直线的交点坐标与距离公式 1. 两条直线的交点
设两条直线的方程是h ： Ax ? By * G = 0 , I 2 : A 2x B 2y C^ 0两条直线的交点坐标 就是方程组J A X + B^+G =0的解,
Ax + B 2y +C 2 =0
若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；
% x 2 2 y y 2
若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。
2. 几种距离
(1)两点间的距离
平面上的两点只氐，yj, P2&2, y2)间的距离公式RF2| =农X匚X而77^7?
特别地,原点0(0,0)与任一点P(x,y)的距离OP| =Jx2+ y2
(2)点到直线的距离
点P (x 0, y0)到直线丨：Ax + By +C = 0的距离+B o +C A2+ B2
(3)两条平行线间的距离
C _ C 两条平行线l1 :
Ax +By +G = 0,丨2 : Ax + By +C2 = 0间的距离d = , 2 1
& A2+ B2 (注意:
①求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；
②求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。)
补充：
1、直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角
(2).已知斜率k的范围,求倾斜角〉的范围时,若k为正数,则〉的范围为(0/ )的
2
子集，且k=tan ：-为增函数；若k为负数，则〉的范围为(…，二)的子集，且k=tan〉为增函数。
2
若k的范围有正有负，则可所范围按大于等于0或小于0分为两部分,针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角范围。
2、利用斜率证明三点共线的方法：
已知A(X1, yj B(X2, y2),C(X3, y3),若为=X3 或k AB^k ac,则有A、B C 三点共线。
注：斜率变化分成两段，90°是分界线,遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。
3. 两条直线位置关系的判定：
已知h：Ax By G=0, I2 : Ax By C^0,贝U:
(1) h _ 丨2= A,A2 BB2=0
(2) 丨1〃丨2= A1B2-A2B1 =0，AC2 -A2& =0；
(3) I l与12重合二AB2-A2B1 =0, AC2 -人20 =0；
(4) I1与I2 相交二A I B2-A2B I=0
如果AAC2 =0时，贝U：
⑴h」2二A1上一1
B i B2
A i
B i
C i 丫
⑵ I i〃l2 1 1 L（A2,B2,C2不为0）；
A2 B2 C2
（3）I l 与l2 重合--1（ A2, B2,C2 不为0）
A? B2 C 2
⑷ h 与l2 相交=—1（ A2, B2不为0）
A2B2
4. 有关对称冋题
常见的对称问题：
（1）中心对称
x — 2a — x
①若点M（X i, yj及N（X2, y2）关于P（a,b）对称，则由中点坐标公式得」1
y = 2b- y1
②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用I1//I2,由点斜式得到所求直线方程。
（2）轴对称
①点关于直线的对称
若两点R（X1,yJ与P2（X2,y2）关于直线l : Ax By ^0对称，则线段PQ的中点在对称
轴I上,而且连接P F2的直线垂直于对称轴I上,由方程组
A（厶）畑亠）弋=0 「
2 2X2 =
< 二* ?（占=$ 』2 =
X2 -X1 B
可得到点R关于I对称的点P2的坐标（X2, y2）（其中A = 0,X1 = X2）
②直线关于直线的对称
此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行。
注：①曲线、直线关于一直线y二x b对称的解法：y换x, x换y.例：曲线f（x, y） = 0
关于直线y=x-2对称曲线方程是f（y，2,x-2）=0
②曲线C: f （x,y ） =0关于点（a,b ）的对称曲线方程是f （2a — x,2b — y ） = 0
5. 两条直线的交角 ①直线11到12的角（方向角）；直线11到12的角，是指直线11绕交点依逆时针方向旋转 ②两条相交直线11与12的夹角：两条相交直线11与12的夹角，是指由11与12相交所成的 四个角中最小的正角e ,又称为“和幔所成的角，它的取值范围是闻，当。窗则有
6. 直线I 上一动点P 到两个定点A B 的距离“最值问题”： （1）在直线1上求一点P,使PA+|PB 取得最小值，
① 若点A 、B 位于直线I 的同侧时，作点A （或点B ）关于I 的对称点A 或B / , 连接A /B （或AB /）交1于P ,则点P 即为所求点.
② 若点A 、B 位于直线的异侧时，连接AB 交于I 点P,则P 为所求点。
可简记为“同侧对称异侧连” ?即两点位于直线的同侧时，作其中一个点的对称点；两点位 于直线的异侧时，直接连接两点即可?
（2）在直线I 上求一点P 使PA - PB 取得最大值， 方法与（1）恰好相反，即“异侧对称同侧连”
① 若点A 、B 位于直线I 的同侧时，连接AB 交于I 点P,则P 为所求点。 ② 若点A 、B 位于直线的异侧时，作点A （或点B ）关于I 的对称点A 或B / , 连接A /B （或AB /）交1于P ,则点P 即为所求点.
⑶|PA 2+|PB 2的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”
7. 直线过定点问题：
①含有一个未知参数，
y = （a -1）x 2a -1
= y = a （x 2） - x 1 （ 1）
令 x 2 二 0= x = -2 ,
将x —2代入（1）式，得y =3,从而该直线过定点（-2,3）
②含有两个未知参数 '3x + y = 0
■=
厂x +2y _1
到与12重合时所转动的角 m 它的范围是（0,二）,当” =90时tanv =
1 k i k 2
tanv =
k 2 -k 1 1 k 1k 2
直线与方程 1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. 2、倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα ⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. 4、直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率： 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，
如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即
直线的点斜式方程 1、 直线的点斜式方程：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k )(00x x k y y -=- 2、、直线的斜截式方程：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b b kx y += 3.2.2 直线的两点式方程 1、直线的两点式方程：已知两点),(),,(222211 y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠ y-y1/y-y2=x-x1/x-x2 2、直线的截距式方程：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a 3.2.3 直线的一般式方程 1、直线的一般式方程：关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0） 2、各种直线方程之间的互化。 3.3直线的交点坐标与距离公式 3.3.1两直线的交点坐标 1、给出例题：两直线交点坐标 L1 ：3x+4y-2=0 L1：2x+y +2=0 解：解方程组 3420 2220x y x y +-=??++=? 得 x=-2，y=2
高一数学必修 2 直线与方程知识点总结 (一)高一数学必修2 直线与方程知识点总结一、直线与方程 (1)直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0 度。因此，倾斜角的取值范围是0180 (2)直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90 的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即。斜 率反映直线与轴的倾斜程度。 当时，; 当时，; 当时，不存在。②过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1) 当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90 (2)k 与P1、P2 的顺序无关;(3) 以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 (3)直线方程 ①点斜式：直线斜率k，且过点注意：当直线的斜率为0 时，k=0 ，直线的方程是y=y1 。 当直线的斜率为90 时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示. 但因l 上每一点的横坐标都
等于x1 ，所以它的方程是x=x1 。 ②斜截式：，直线斜率为k，直线在y 轴上的截距为b ③两点式：（）直线两点，④截矩式： 其中直线与轴交于点, 与轴交于点, 即与轴、轴的截距分别为。 ⑤ 一般式：（A ，B 不全为0） 注意：各式的适用范围特殊的方程如： 平行于x 轴的直线：（b 为常数）; 平行于y 轴的直线：（a 为常数）; （5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系 平行于已知直线（是不全为0 的常数）的直线系：（C 为常数） （二）垂直直线系 垂直于已知直线（是不全为0 的常数）的直线系：（C 为常数） （三）过定点的直线系 （ⅰ ）斜率为k 的直线系：，直线过定点; （ⅱ ）过两条直线，的交点的直线系方程为 （为参数），其中直线不在直线系中。 (6)两直线平行与垂直
第三章：直线与方程的知识点 一、基础知识 倾斜角与斜率 1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<或),0[πα∈ 2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上两点 1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式2 1 21y y k x x -=-. 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0. 注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α?<，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α?<
I直线方程知识点总结 一、基础知识梳理 知识点 1：直线的倾斜角与斜率 （ 1）倾斜角：一条直线向上的方向与X 轴的所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为 （ 2）斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称倾斜角的为该直线的斜率，即k=tan 注记：所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率.（当=90 0时，k 不存在）（3）过两点 p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1≠ x2)的直线的斜率公式： k=tan y 2 y 1（当x 1＝x2时，k不存在，此时直线的倾斜角为900） . x2x1 知识点 2：直线的方程名称方程 斜截式y=kx+b 点斜式y-y0=k( x-x0) 两点式y y 1 =y y1 y2y1y2y1 截距式x y +=1 a b 一般式Ax+By+C=0已知条件局限性 k——斜率 b——纵截距 (x0， y0)——直线上 已知点， k——斜率 (x1，y1) ，(x2，y2)是直线上 两个已知点 a——直线的横截距 b——直线的纵截距 A C C ，，分别为 B A B A、 B 不能同时为零斜率、横截距和纵截距 直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。 二、规律方法提炼 1、斜率的求法一般有两种方式 （ 1）已知倾斜角,利用k tan ；（2）已知直线上两点，利用 k y2y 1 ( x1 x 2 ) x2x1 2、求直线的一般方法 （1）直接法：根据已知条件选择适当的直线方程，选择时应注意方程表示直线的局限性； （2）待定系数法：先设直线方程，根据已知条件求出待定系数，最后先出直线方程； 3、与直线方程有关的最值问题的求解策略： ○1 首先，应根据问题的条件和结论，选取适当的直线方程形式，同时引进参数； ○2 然后，可以通过建立目标函数，利用函数知识求最值；或通过数形结合思想求最值. II两直线的位置关系
高中数学直线与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析) 知识点： 一、直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 tan k α=当时，； 当时，； 当时，不存[) 90,0∈α0≥k () 180,90∈α0 高一数学总复习学案 必修2第三章：直线与方程 一、知识点 倾斜角与斜率 1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<. 2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上两 点1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式21 21 y y k x x -=-. 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直， 斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0. 注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α?<，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α?< 高二数学会考知识点总结大全(必修) 第1章空间几何体1 1 .1柱、锥、台、球的结构特征 1. 2空间几何体的三视图和直观图 11 三视图： 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 22 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 33直观图：斜二测画法 44斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变； （3）.画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 （一）空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2r rl Sπ π+ = 4 圆台的表面积2 2R Rl r rl Sπ π π π+ + + = 5 球的表面积2 4R Sπ = （二）空间几何体的体积 1柱体的体积h S V? = 底 2锥体的体积h S V? = 底 3 1 3台体的体积h S S S S V? + + =) 3 1 下 下 上 上 （ 4球体的体积3 3 4 R Vπ = 第二章直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 2 2 2r rl Sπ π+ = 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质 D C B A α L A · α C B · A · α α 共面 =>a ∥c 直线与方程知识点总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 直线与方程知识点总结 1、 直线的斜率与倾斜角 (1)斜率 ①两点的斜率公式：1122(,),(,)P x y Q x y ，则21 2121 ()PQ y y k x x x x -=≠- ②斜率的范围：k R ∈ (2)直线的倾斜角范围：)0,180?? （3）斜率与倾斜角的关系：tan (90)k αα=≠ 注：（1）每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率； （2）特别地，倾斜角为0的直线斜率为0；倾斜角为90的直线斜率不存在。 2、直线方程 (1)点斜式：00()y y k x x -=-；适用于斜率存在的直线 （2）斜截式：y kx b =+；适用于斜率存在的直线 注：b 为直线在y 轴上的截距，截距不是距离，截距可正，可负，可为零 （3）两点式： 11 12122121 (,)x x y y x x y y x x y y --=≠≠--；适用于斜率存在且不为零的直线 （4）截距式：1x y a b +=；适用于斜率存在，且不为零且不过原点的直线 （5）一般式：0Ax By C ++=（,A B 不同时为0） （6）特殊直线方程 ①斜率不存在的直线（与y 轴垂直）：0x x =；特别地，y 轴：0x = ②斜率为0的直线（与x 轴垂直）：0y y =；特别地，x 轴：0y = ③在两轴上截距相等的直线：（Ⅰ）y x b =-+；（Ⅱ）y kx = 在两轴上截距相反的直线：（Ⅰ）y x b =+；（Ⅱ）y kx = 在两轴上截距的绝对值相等的直线：（Ⅰ）y x b =-+；（Ⅱ）y x b =+；（Ⅲ）y kx = 3、平面上两直线的位置关系及判断方法 （1）111222:;:l y k x b l y k x b =+=+ 必修二 第三章 直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向 或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是（2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用tan k α=。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当直线l 与x , α=0°, k = tan0°=0; 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 当[ ) ο ο90,0∈α时，0≥k ； 当( )ο ο180,90∈α时，0 交点坐标即方程组?? ?=++=++0 222111C y B x A C y B x A 的一组解。 方程组无解21//l l ? ； 方程组有无数解?1l 与2l 重合 （8）两点间距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（） 是平面直角坐标系中的两个点， 则222121||()()AB x x y y =-+- （9）点到直线距离公式：一点()00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l 的距离2 200B A C By Ax d +++= （10）两平行直线距离公式 已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ， 2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2 2 21B A C C d +-= 直线的方程 1.设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3 ）、B （b ，b 3 ）、C （c ，c 3 ）在同一直线上，求证：a +b +c =0.证明 ∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB =k AC ， ∴c a c a b a b a --=--3333，化简得a 2+ab +b 2=a 2+a c +c 2 ， ∴b 2-c 2 +ab -ac =0，（b -c ）（a +b +c ）=0， ∵a 、b 、c 互不相等，∴b -c ≠0，∴a +b +c =0. 2.若实数x ,y 满足等式(x -2)2 +y 2 =3，那么 x y 的最大值为 （ ） A .2 1 B . 3 3 C . 2 3 D .3 答案D 3.求经过点A （-5，2）且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程； 解 ①当直线l 在x 、y 轴上的截距都为零时，设所求的直线方程为y =kx , 将（-5，2）代入y =kx 中，得k =-52，此时，直线方程为y =-5 2 x , 即2x +5y =0. ②当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为 a y a x +2=1，将（-5，2）代入所设方程，解得a =-2 1 ， 此时，直线方程为x +2y +1=0.综上所述，所求直线方程为x +2y +1=0或2x +5y =0. 4.直线l 经过点P （3，2）且与x ，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，△OAB 的面积为12，求直线l 的方程. 解 方法一 设直线l 的方程为1=+b y a x （a ＞0, b ＞0）, ∴A (a ,0),B (0,b ), ∴?? ? ??=+=.123, 24b a a b 解得???==.4,6b a 第三章直线与方程 3.1直线的倾斜角和斜率 3.1倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角的概念：当直线l 与x 轴相交时, 取x 轴作为基准, x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. 2、 倾斜角α的取值范围：0°≤α＜180°. 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,也就是 k = tan α ⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l 的倾斜角α一定存在,但是斜率k 不一定存在. 4、 直线的斜率公式: 给定两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),x 1≠x 2,用两点的坐标来表示直线P 1P 2的斜率： 斜率公式: k=y 2-y 1/x 2-x 1 3.1.2两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 （充要条件） 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k 1=k 2, 那么一定有l 1∥l 2 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即12121k k l l =-?⊥（充要条件） 3.2.1 直线的点斜式方程 1、直线的点斜式方程：直线l 经过点) ,(000y x P ，且斜率为k )(00x x k y y -=- 2、、直线的斜截式方程：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b b kx y += 3.2.2 直线的两点式方程 1、直线的两点式方程：已知两点 ) ,(),,(222211y x P x x P 其中 ),(2121y y x x ≠≠y-y 1/y-y 2=x-x 1/x-x 2 2、直线的截距式方程：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a 3.2.3 直线的一般式方程 1、直线的一般式方程：关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0） 2、各种直线方程之间的互化。 专题复习 直线与方程 【基础知识回忆】 1.直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角 ①关于倾斜角的概念要抓住三点：ⅰ.与x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向. ②直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 ③倾斜角α的范围 . （2）直线的斜率 ①直线的倾斜角与斜率是反映直线倾斜程度的两个量，它们的关系是 ②经过两点))(,(),,(21222111x x y x P y x P ≠两点的斜率公式为：=k ③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。倾斜角为 的直线斜率不存在。 2.两直线垂直与平行的判定 （1）对于不重合的两条直线21,l l ，其斜率分别为21,k k ，，则有： ?21//l l ? ； ?⊥21l l ? . （2）当不重合的两条直线的斜率都不存在时，这两条直线 ；当一条直线斜率为0，另一条直线 斜率不存在时，两条直线 . 3.直线方程的几种形式 注意：求直线方程时，要灵活选用多种形式. 4.三个距离公式 （1）两点),(),,(222111y x P y x P 之间的距离公式是：=||21P P . （2）点),(00y x P 到直线0:=++c By Ax l 的距离公式是：=d . （3）两条平行线0:,0:21=++=++c By Ax l c By Ax l 间的距离公式是：=d . 【典型例题】 题型一：直线的倾斜角与斜率问题 例1、已知坐标平面内三点)13,2(),1,1(),1,1(+-C B A . （1）求直线AC BC AB 、、的斜率和倾斜角. （2）若D 为ABC ?的边AB 上一动点，求直线CD 斜率k 的变化范围. 例2、图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则： A ．k 1＜k 2＜k 3 B ．k 3＜k 1＜k 2 C ．k 3＜k 2＜k 1 D ．k 1＜k 3＜k 2 例3、利用斜率证明三点共线的方法： 若Ａ（－２，３），Ｂ（３，－２），Ｃ（0，ｍ）三点共线，则ｍ的值为 . 总结：已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。 例4、直线l 方程为02)1(=-+++a y x a ，直线l 不过第二象限，求a 的取值范围。 变式：若0 高中数学必修直线与方 程知识点总结与练习 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】 第八章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 [知识能否忆起] 一、直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 (1)定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)倾斜角的范围为[0，π)_． 2．直线的斜率 (1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率． (2)过两点的直线的斜率公式： 经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 1－y 2 x 1－x 2 . 二、直线方程的形式及适用条件 名称 几何条件 方 程 局限性 点斜式 过点(x 0，y 0)，斜率为k y －y 0＝k (x －x 0) 不含垂直于x 轴的直线 斜截式 斜率为k ，纵截距为b y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线 两点式 过两点(x 1，y 1)，(x 2， y 2)，(x 1≠x 2，y 1≠y 2) y －y 1y 2－y 1＝x －x 1 x 2－x 1 不包括垂直于坐标轴的直线 截距式 在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b (a ，b ≠0) x a ＋y b ＝1 不包括垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不 全为0) [小题能否全取] 第三章：直线与方程的知识点 倾斜角与斜率 1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<. 2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上两点1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式2121 y y k x x -=-. 特别地是，当12x x =， 12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直， 斜率k =0. 注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α?<，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α?< 最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 高一数学总复习学案 必修2第三章：直线与方程 一、知识点 倾斜角与斜率 1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<. 2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上两点1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式21 21 y y k x x -= -. 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0. 注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α?<，随着α的增大，斜率k 也增大；当 90180α?< 第三章 直线与方程知识点及典型例题 1. 直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° 2. 直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。 直线的斜率常用k 表示。即k=tan α。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当() 180,90∈α时，0 第三章 直线与方程 1、直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角 ① 关于倾斜角的概念要抓住三点： ⅰ.与x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向. ② 直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00. ③ ^ ④ ⑤ 倾斜角α的范围000180α≤<. ⑥ 0,900≥?≤?k α； 0,18090 k ??α （2）直线的斜率 ①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在。 ②经过两点),(),,(222111y x P y x P （21x x ≠）的直线的斜率公式是1 21 2x x y y k --=（21x x ≠） ③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。 2、两条直线平行与垂直的判定 ] （1）两条直线平行 对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ?=。 特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。 （2）两条直线垂直 如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥?=- 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直 线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。 二、直线的方程 … 1、直线方程的几种形式 注：过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定。（1）若2121y y x x ≠=且，直线垂直于x 轴，方程为1x x =； （2） （3） 若2121y y x x =≠且，直线垂直于y 轴，方程为1y y =；高中数学必修二第三章直线与方程知识点总结
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