第12周 《确定一次函数表达式》
例1 已知一次函数4)36(-++=n x m y ,求;
(1)m 为何值时,y 随x 增大而减小;
(2)n 为何值时,函数图像与y 轴的交点在x 轴下方; (3)m ,n 分别取何值时,函数图像经过原点;
(4)若3
1
=m ,5=n ,求这个一次函数的图像与两个坐标轴交点的坐标; (5)若图像经过一、二、三象限,求m ,n 的取值范围.
例2 设一次函数)0(≠+=k b kx y ,当2=x 时,3-=y ,当1-=x 时,4=y 。
(1)求这个一次函数的解析式;
(2)求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积。
例3(1)已知一次函数图像经过点(0,2)和(2,1).求此一次函数解析式. (2)已知一次函数图像平行于正比例函数x y 2
1
-=的图像,且经过点(4,3).求此一次函数的
解析式.
例4求下列一次函数的解析式: (1)图像过点(1,-1)且与直线52=+
y x 平行;
(2)图像和直线23+-=x y 在y 轴上相交于同一点,且过(2,-3)点.
例5 已知一次函数b kx y +=的图像与另一个一次函数23+=x y 的图像相交于y 轴上的点A ,且x 轴下方的一点),3(n B 在一次函数b kx y +=的图像上,n 满足关系式n
n 16
-
=,求这个一次函数的解析式。
例6 已知一次函数的图象交正比例函数图象于M 点,交x 轴于点N(-6,0),又知点M 位于第二象限,其横坐标为-4,若△MON 面积为15,求正比例函数和一次函数的解析式.
例7 求直线012=++y x 关于x 轴成轴对称的图形的解析式。
例8 如图,ABC ?是边长为4的等边三角形,求直线AB 和BC 的解析式.
例9 如图,直线y=x +3的图象与x 轴、y 轴交于A 、B 两点.直线l 经过原点,与线段AB 交于点C ,把△AOB 的面积分为2:1两部分.求直线l 的解析式.
即学即练:
1、下面图像中,不可能是关于x 的一次函数)3(--=m mx y 的图像的是( )
2、已知:
)0(≠++=+=+=+c b a k c
b
a b c a a c b ,那么k kx y +=的图像一定不经过( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限
3、已知直线)0(≠+=k b kx y 与x 轴的交点在x 轴的正半轴,下列结论:①0,0>>b k ;②
0,0<>b k ;③0,0>
A .1
B .2
C .3
D .4
4、正比例函数的图像如图所示,则这个函数的解析式是( )
A .x y =
B .x y -=
C .x y 2-=
D .x y
2
1
-=
5、已知直线m x y +-=2与两坐标轴围成的三角形面积为4,求这条直线的函数解析式.
6、已知直线b kx y +=过点(
25,0),且与坐标轴所围成的三角形的面积为4
25,求该直线的函数解析式.
小专题:图像的平移规律
1. 直线y=5x-3向左平移2个单位得到直线 。
2. 直线y=22
3
+-
x 向左平移2个单位得到直线 3. 直线y=2x+1向上平移4个单位得到直线 4. 直线y=-3x+5向下平移6个单位得到直线
5. 直线
x y 31
=
向上平移1个单位,再向右平移1个单位得到直线 。 6. 直线14
3
+-=x y 向下平移2个单位,再向左平移1个单位得到直线 。
7. 过点(2,-3)且平行于直线y=2x 的直线是 。 8. 过点(2,-3)且平行于直线y=-3x+1的直线是 .
9.把函数y=3x+1的图像向右平移2个单位再向上平移3个单位,可得到的图像表示的函数是____________; 10.直线m:y=2x+2是直线n 向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的,而(2a,7)在直线n 上,则a=____________;
过手练习
1、已知直线12)31(-+-=k x k y
1) 当k__________________时,直线过原点;
2) 当k__________________时,直线与y 轴的交点坐标是(0,-2); 3) 当k__________________时,直线与x 轴交于点(
)0,4
3
4) 当k__________________时,y 随x 的增大而增大; 5)
当k__________________时,该直线与直线
53--=x y 平行。
2、已知点A )1,2(a a -+在函数12+=x y 的图像上,则a=____________。
3、一次函数
k kx y -=,若y 随x 的增大而减小,则该函数的图像经过 象限。
4、已知一次函数y=kx+b,y 随着x 的增大而减小,且kb<0,则在直角坐标系内它的大致图象是( )
A B C D 5、一次函数y=ax+b 与y=ax+c (a>0)在同一坐标系中的图象可能是( )
A B C D 6、已知直线m x y +-=2与两坐标轴围成的三角形面积为4,求这条直线的函数解析式.
7、已知:函数y = (m+1) x+2 m ﹣6
(1)若函数图象过(﹣1 ,2),求此函数的解析式。
(2)求满足(1)条件的直线与y = ﹣3 x + 1 的交点并求这两条直线 与y 轴所围成的三角形面积
【能力提升训练】
1、已知m 是整数,且一次函数(4)2y m x m =+++的图象不过第二象限,则m 为 .
2、若直线
y x a =-+和直线y x b =+的交点坐标为(,8)m ,则a b += .
3、函数
3
12
y x =
-,如果0y <,那么x 的取值范围是 4、若直线
11y k x =+与24y k x =-的交点在x 轴上,那么
12
k k 等于( )
.4A .4B - 1.
4C 1.4
D - 5、已知关于x 的一次函数
27y mx m =+-在15x -≤≤上的函数值总是正数,则m 的取值范围是( )
A .7m >
B .1m >
C .17m ≤≤
D .都不对 6、如图6,两直线1y kx b =+和2y bx k =+在同一坐标系内图象的位置可能是( )
7、已知一次函数
2y x a =+与y x b =-+的图像都经过(2,0)A -,且与y 轴分别交于点B ,c ,则ABC ?的
面积为( )
A .4
B .5
C .6
D .7
参考答案
例1 分析 (1)已知一次函数图像上两个点的坐标,代入解析式中可以求k 、b 值。(2)求出直线与
x 轴、y 轴两个交点,利用这两个交点与坐标轴所围的三角形是直角三角形可求出面积。
解 (1)由题意,得???+-=+=-.4,23b k b k 解得???
????=-=.
35,3
7b k
∴ 所求一次函数的解析式为
.3
537+-=x y
(2)直线3537+-=x y 与x 轴交于)0,75(,与y 轴交于)3
5
,0(.
∴ 这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积为.42
25
357521=
??
例2 分析 由于23+=x y 与y 轴的交点很容易求出,因此,要求b kx y +=的解析式,只要再求出
b kx y +=上另一点的坐标就可以了,而),3(n B 在x 轴下方,因此0 n 16 - =求出n 的值就知道B 点的坐标了。 解 设点A 的坐标为),0(m ,∵ 点),0(m A 在一次函数23+=x y 的图像上, ∴ 2203=+?=m ,即点A 的坐标为)2,0(. ∵ 点),3(n B 在x 轴下方,∴ 0 2±==-=-n n n n ,,,而0 又点)2,0(A ,)4,3(-B 在一次函数b kx y +=的图像上, ∴ ?? ?-=+=+?. 43, 20b k b k 解得22=-=b k , ∴ 这个一次函数的解析式为.22+-=x y 例3 解 设所求的直线解析式为b kx y +=. ∵ 012=++y x , ∴ .12--=x y 当 0=y 时,21-=x ,即图像过对称轴上)0,2 1 (-点,显然这一点也在b kx y +=上。 在012=++y x 上任取一点P ,如2=x 时,5-=y ,则)5,2(-P 可以知道P 点关于x 轴对称点的坐标为)5,2(P '。 ∴ )5,2()0,21(,-都在所求的直线上,∴ ?????=+=+-. 52,02 1 b k b k ∴ ? ? ?==.1, 2b k ∴ 所求直线的解析式为12+=x y . 例4 分析:要确定一次函数的解析式,必须知道图象的两个已知点的坐标,而要确定正比例函数又 必须知道图象上一个点的坐标,但题设中都缺少条件,它们交点坐标中不知道纵坐标的值.已知条件中给出了△MON 的面积,而△MON 的面积,因底边NO 可以求到,因此实际上需要把△MON 的面积转化为M 点的纵坐标 解:根据题意画示意图,过点M 作MC ⊥ON 于C ∵点N 的坐标为(-6,0) ∴|ON|=6 ∴MC=5 ∵点M 在第二象限 ∴点M 的纵坐标y=5 ∴点M 的坐标为(-4,5) ∵一次函数解析式为y=k 1x+b 正比例函数解析式为y=k 2x 直线y=k 1x+b 经过(-6,0) ∵正比例函数y=k 2x 图象经过(-4,5)点, 例5 解:(1)把52=+ y x 变形为52+-=x y . ∵所求直线与52+-=x y 平行,且过点(1,-1). ∴设所求的直线为b x y +-=2,将1,1-==y x 代入,解得1=b . ∴所求一次函数的解析式为12+-=x y . (2)∵所求的一次函数的图像与直线23+-=x y 在y 轴上的交点相同. ∴可设所求的直线为2+=kx y . 把3,2-==y x 代入,求得25 -=k . ∴所求一次函数的解析式为22 5 +-=x y . 说明:如果两直线2211,b x k y b x k y +=+=平行,则21k k =;如果两直线 2211,b x k y b x k y +=+=在y 轴上的交点相同,则21b b =.掌握以上两点,在求一次函数解析式时, 有时很方便. 例6 解:(1)由A 可得? ? ?>-->,0)3(, 0m m 故30< 由B 可得? ??>=--,0, 0)3(m m 故3=m ,∴B 可能; 由C 可得?? ?<--<, 0)3(, 0m m 此不等式组无解.故C 不可能,答案应选C. (2)由已知得??? ??=+=+=+,,,kc b a kb c a ka c b 三式相加得: 0 ,)()(2≠++?++=++c b a k c b a c b a Θ, ∴2=k ,故直线k kx y +=即为22+=x y . 此直线不经过第四象限,故应选D. (3)直线b kx y +=与x 轴的交点坐标为: 0,0,0,<>-?? ? ??-k b k b k b Θ即b k ,异号,∴②、③正确,故应选B. (4)∵正比例函数)0(≠+=k b kx y 经过点(1,-1), ∴x y k -=∴-= ,1,故应选B. 说明:一次函数)0(≠+=k b kx y 中的b k ,的符号决定着直线的大致位置,题(3)还可以通过 b k ,的符号画草图,来判断各个结论的正确性,这类题型历来都是各地中考中的热点题型,同学们一 定要熟练掌握. 例7 解:(1)因为y 随x 增大而减小, 所以036<+m ,解得:2- 所以当2- 所以???<-≠+,04,036n m 解得? ??<-≠.4,2n m 所以当2-≠m 且4 所以?? ?=-≠+,04,036n m 解得???=-≠. 4, 2n m 所以2-≠m 且4=n ,图像经过原点. (4)把3 1 = m ,5=n 代入)4()36(-++=n x m y 中得, 17+=x y . 令0=x ,解得1=y , 所以图像与y 轴交点为(0,1). 令 0=y ,解得7 1 -=x , 所以图像与x 轴交点为?? ? ??- 0,71. (5)因为图像经过一、二、三象限, 所以?? ?>->+,04,036n m 解得???>->. 4,2n m 所以当2->m 且4>n 时,图像经过一、二、三象限. 说明:主要考查一次函数的知识。 例8 分析:求一次函数 )0(≠+=k b kx y 的解析式,也就是确定k 、b 的值。根据题目已知条件列 出关于k 、b 的二元一次方程组即可. 解:(1)设函数解析式为)0(≠+=k b kx y 因为图像经过(0,2)和(2,1), 所以???+=+?=,21,02b k b k 解得?????=-=. 2,21b k 所以所求函数解析式为 22 1 +-=x y ; (2)设函数解析式为)0(≠+=k b kx y 因为函数图像是平行于 x y 2 1 -=的图像, 所以2 1-=k . 因为直线过(4,3), 所以.42 1 3b +?- =所以5=b , 所以所求函数解析式为52 1 +-=x y . 说明:本题考查一次函数的知识,确定一次函数的解析式,必须确定k 、b 的值,根据题目的已知条件列出关于它们的方程或方程组即可. 例9 解:由图像可知一次函数的图像经过点(-1,0)和(0,-2),可用待定系数法解. 设一次函数的解析式为b kx y +=,则有 ???-==+-,2,0b b k 解得? ? ?-=-=.2, 2b k 所以一次函数的解析式为22--=x y . 故选A. 说明:本题主要考查学生的识图能力。 实用标准 指数函数·例题解析 第一课时 【例1】(基础题)求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 1 2x ===-+---213321x x 解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}.值域{y|y >0且y ≠1}. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥-2},值域为{|y|y ≥0}. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3, ∴值域是≤<.0y 3 1.指数函数Y=ax (a>0且a ≠1)的定义域是R ,值域是(0,+∞) 2. 求定义域的几个原则:①含根式(被开方数不为负)②含分式,分母不为0③形如a0,(a ≠ 0) 3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x ≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围) 【例2】(基础题)指数函数y=a x,y=b x,y=c x,y=d x的图像如图2.6-2所示,则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] A.a<b<1<c<d B.a<b<1<d<c C.b<a<1<d<c D.c<d<1<a<b 解选(c),在x轴上任取一点(x,0),则得b<a<1<d<c. 【例3】(基础题)比较大小: (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是:. 2481632 35894 5 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵,,,,,函数=,>,该函数在-∞,+∞上是增函数,又<<<<,∴<<<<.22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859===== 一次函数经典题一.定义型是一次函数,求其解析式。已知函数1. 例解:由一次函数定义知,。y=-6x+3,故一次函数的解析式为。0≠m-3。如本例中应保证 0≠k解析式时,要保证y=kx+b注意:利用定义求一次函数 . 二点斜型,求这个函数的解析式。(2, -1)的图像过点y=kx-3已知一次函数2. 例,(2, -1)解:一次函数的图像过点。y=x-3。故这个一次函数的解析式为k=1,即,求这个函数的解析式。y=-1时,x=2,当y=kx-3 变式问法:已知一次函数两点型. 三3.例,则这个函数的(0, 4)、(-2, 0)轴的交点坐标分别是y轴、x已知某个一次函数的图像与。_____解析式为,由题意得y=kx+b 解:设一次函数解析式为 y=2x+4 故这个一次函数的解析式为,图像型. 四。__________已知某个一次函数的图像如图所示,则该函数的解析式为4. 例y=kx+b解:设一次函数解析式为(0, 2) 、(1, 0)由图可知一次函数的图像过点 y=-2x+2 故这个一次函数的解析式为有斜截型. 五 ,则直线的解析式为2轴上的截距为y平行,且在y=-2x与直线y=kx+b已知直线5. 例。___________时,b≠b,=kk。当;解析:两条直线2121平行,y=-2x与直线y=kx+b直线。 y=-2x+2 ,故直线的解析式为2轴上的截距为y在y=kx+b直线又平移型. 六。___________个单位得到的图像解析式为2向下平移y=2x+1把直线6. 例,y=kx+b 解析:设函数解析式为 y=2x+1直线平行y=2x+1与直线y=kx+b个单位得到的直线2向下平移,故图像解析式为b=1-2=-1 轴上的截距为y在 y=kx+b直线七实际应用型. (升)Q则油箱中剩油量分钟,/升0.2流速为油从管道中匀速流出,升,20某油箱中存油7. 例。___________(分钟)的函数关系式为t与流出时间 Q=- 0.2t+20 ,即Q=20-0.2t 解:由题意得)(Q=-0.2t+20 故所 高考数学-指数函数图像和性质及经典例题 【基础知识回顾】 一、指数公式部分 有理指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>; (3)s r r a a a b =)( ),0,0(Q r b a ∈>>. 正数的分数指数幂的意义 )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 二、指数函数 1.指数函数的概念:一般地,函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 2.指数函数的图象和性质 1.在同一坐标系中画出下列函数的图象: (1)x )31(y = (2)x )2 1 (y = (3)x 2y = (4)x 3y = (5)x 5y = 【指数函数性质应用经典例题】 例1.设a 是实数, 2 ()()21 x f x a x R =- ∈+,试证明:对于任意,()a f x 在R 上为增函数. 证明:设1212,,x x R x x ∈<,则 12()()f x f x -12 22()()2121 x x a a =- --++ 21222121 x x = - ++ 121 22(22)(21)(21) x x x x -=++, 由于指数函数2x y =在R 上是增函数, 且12x x <, 所以1222x x < 即1 2220x x -<, 又由20x >, 得1 1 20x +>,2120x +>, ∴12()()0f x f x -< 即12()()f x f x <, 所以,对于任意,()a f x 在R 上为增函数. 例2.已知函数2 ()1 x x f x a x -=+ +(1)a >, 求证:(1)函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数;(2)方程()0f x =没有负数根. 指数函数典型例题详细解析 指数函数·例题解析 第一课时 【例1】(基础题)求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 12x ===-+---21 3321 x x 解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}.值域{y|y >0且y ≠1}. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥- 2},值域为{|y|y ≥0}. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3, ∴值域是≤<. 0y 3 1.指数函数Y=ax (a>0且a ≠1)的定义域是R ,值域是(0,+∞) 2. 求定义域的几个原则:①含根式(被开方数不为负)②含分式,分母不为0③形如a0,(a ≠ 0) 3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围) 【例2】(基础题)指数函数y=a x,y=b x,y =c x,y=d x的图像如图2.6-2所示,则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] A.a<b<1<c<d B.a<b<1<d<c C.b<a<1<d<c D.c<d<1<a<b 解 选(c),在x 轴上任取一点(x ,0),则得b <a <1<d <c . 【例3】(基础题)比较大小: (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是:. 2481632 35894 5 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵,,,,,函数=,>,该函数在-∞,+∞上是增函数,又<<<<,∴<<< <.22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859===== 解 (2)0.6110.6∵>,>, ∴>. ---- 45 12 451 232 32 ()() 解 (3)借助数4.53.6打桥,利用指数函数的单调性,4.54.1>4.53.6,作函数y 1=4.5x ,y 2=3.7x 的图像如图2.6-3,取x =3.6,得4.53.6>3.73.6 ∴ 4.54.1>3.73.6. 说明 如何比较两个幂的大小:若不同底先化为同底的幂,再利用指数函数的单调性进行比较,如例2中的(1).若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时,有指数函数典型例题详细解析汇报
一次函数经典题及答案
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