第六讲 三角函数单调性及最值
[学习目标] 1. 掌握y ＝sin x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值. 2.
掌握y ＝sin x 的单调性，并能利用单调性比较大小.
3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间． [知识链接]
1．怎样求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期？
答 由诱导公式一知：对任意x ∈R ，都有A sin[(ωx ＋φ)＋2π]＝A sin(ωx ＋φ)，
所以A sin ??????
ω? ????x ＋2πω＋φ＝A sin(ωx ＋φ)，
即f ?
?
???x ＋2πω＝f (x )，
所以f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是周期函数，2π
ω
就是它的一个周期． 由于x 至少要增加
2π|ω|个单位，f (x )的函数值才会重复出现，因此，2π
|ω|
是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期．
2．观察正弦曲线，正弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？
答 正弦函数存在最大值和最小值，分别是1和－1. [预习导引]
正弦函数的图象和性质
定义域 (－∞，＋∞)或R
经典例题
要点一 求函数的单调区间
例1 求函数y ＝2sin ? ????
π4－x 的单调递增区间．
解 y ＝2sin ? ????π4－x ＝－2sin ? ?
???x －π4，
令z ＝x －π
4，则y ＝－2sin z .
因为z 是x 的一次函数，
所以要求y ＝－2sin z 的递增区间， 即求sin z 的递减区间， 即2k π＋
π2≤z ≤2k π＋3π2(k ∈Z )． 所以2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π
2
(k ∈Z )， 2k π＋
3π4≤x ≤2k π＋7π4
(k ∈Z )， 所以函数y ＝2sin ? ??
??
π4－x 的递增区间为
?
??
???2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z )．
规律方法 用整体替换法求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间．再将最终结果写成区间形式．
跟踪演练1 求下列函数的单调递增区间： (1)y ＝1＋2sin ? ????
π6－x ；
(2)y ＝log 1
2
sin x .
解 (1)y ＝1＋2sin ? ????π6－x ＝1－2sin ? ?
???x －π6.
令u ＝x －
π
6
，则根据复合函数的单调性知，所给函数的单调递增区间就是y ＝sin u 的单调递减区间， 即2k π＋
π2≤u ≤2k π＋3
2π(k ∈Z )， 亦即2k π＋
π2≤x －π6≤2k π＋3π
2
(k ∈Z )． 亦即2k π＋23π≤x ≤2k π＋5
3
π(k ∈Z )，
故函数y ＝1＋2sin ? ????
π6－x 的单调递增区间是2k π＋23π，2k π＋53π(k ∈Z )．
(2)由sin x >0，得2k π 2 sin x 的单调递增区间即为 u ＝sin x 的递减区间， ∴2k π＋ π 2 ≤x <2k π＋π，k ∈Z . 故函数y ＝log 1 2sin x 的单调递增区间为 ???? ?? 2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z )． 要点二 函数的单调性的应用 例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小： (1)sin ? ????－π18与sin ? ????－π10； (2)sin 196°与cos 156°. 解 (1)∵－ π2<－π10<－π18<π 2 ， ∴sin ? ????－π18>sin ? ?? ??－π10. (2)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°， cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°， ∵0°<16°<66°<90°，∴sin 16° 规律方法 用正弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小． 跟踪演练2 比较下列各组数的大小． (1)sin ? ????－376π与sin ? ???? 493π； (2)cos 870°与sin 980°. 解 (1)sin ? ????－376π＝sin ? ????－6π－π6＝sin ? ???? －π6， sin ? ????493π＝sin ? ? ???16π＋π3＝sin π3， ∵y ＝sin x 在?????? －π2 ，π2上是增函数， ∴sin ? ????－π6 ?? －376π (2)cos 870°＝cos(720°＋150°)＝cos 150°＝－sin 60°，sin 980°＝sin(720°＋260°)＝sin 260°＝sin(180°＋80°)＝－sin 80°， ∵0°<60°<80°<90°， ∴sin 80°>sin 60°，∴－sin 60°>－sin 80°， 即cos 870°>sin 980°. 要点三 正弦函数的最值(值域) 例3 (1)求函数y ＝3－2sin x 取得最大值、最小值时的自变量x 的集合，并分别写出最大值、最小值； (2)求函数f (x )＝2sin 2 x ＋2sin x －12，x ∈?????? π6 ，5π6的值域． 解 (1)∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－1，即x ＝2k π＋3π 2，k ∈Z 时，y 取 得最大值5，相应的自变量x 的集合为????? x ? ?? ? ?? ? ?x ＝2k π ＋3π2，k ∈Z . 当sin x ＝1，即x ＝2k π＋ π 2 ，k ∈Z 时，y 取得最小值1，相应的自变量x 的集合为????? x ? ?? ? ?? ? ?x ＝2k π ＋π2，k ∈Z . (2)令t ＝sin x ，y ＝f (t )，∵x ∈?????? π6，5π6， ∴12≤sin x ≤1，即1 2 ≤t ≤1. ∴y ＝2t 2＋2t －12＝2? ? ???t ＋122－1，∴1≤y ≤72， ∴函数f (x )的值域为? ?? ???1，72. 规律方法 (1)形如y ＝a sin x ＋b 的函数的最值或值域问题，利用正弦函数的有界性(－1≤sin x ≤1)求解．求三角函数取最值时相应自变量x 的集合时，要注意考虑三角函数的周期性． (2)求解形如y ＝a sin 2 x ＋b sin x ＋c ，x ∈D 的函数的值域或最值时，通过换元，令t ＝sin x ，将原函数转化为关于t 的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t ＝sin x 的有界性． 跟踪演练3 求函数y ＝sin ? ????π3＋4x ＋cos ? ? ???4x －π6的周期、单调区间及最大、最 小值． 解 ∵? ????π3＋4x ＋? ????π6－4x ＝π 2 ， ∴cos ? ????4x －π6＝cos ? ???? π6－4x ＝cos ???? ??π2－? ????π3＋4x ＝sin ? ????π3＋4x . 从而原式就是y ＝2sin ? ? ???4x ＋π3，这个函数的最小正周期为2π4，即T ＝π2. 当－π2＋2k π≤4x ＋π3≤π 2＋2k π(k ∈Z )时函数单调递增，所以函数的单调递增 区间为?????? － 5π24 ＋k π2，π24＋k π2(k ∈Z )． 当π2＋2k π≤4x ＋π3≤3π 2＋2k π(k ∈Z )时函数单调递减，所以函数的单调递减区间为?????? π24＋k π2， 7π24＋k π2(k ∈Z )． 当x ＝ π24＋k π2(k ∈Z )时，y max ＝2； 当x ＝－ 5π24＋k π 2 (k ∈Z )时，y min ＝－2. 1．函数y ＝2sin x 的单调增区间是( ) A ．[2k π－π2，2k π＋π 2](k ∈Z ) B ．[2k π＋ π2，2k π＋3π2 ](k ∈Z ) C ．[2k π－π，2k π](k ∈Z ) D ．[2k π，2k π＋π](k ∈Z ) 答案 A 解析 函数y ＝2x 为增函数，因此求函数y ＝2sin x 的单调增区间即求函数y ＝sin x 的单调增区间 2．函数y ＝sin ? ????x ＋2π3，x ∈??? ???0，π2的值域是( ) A.??????－32，12 B.???? ?? －12，32 C.??????32，1 D.??????12，1 答案 B 解析 ∵0≤x ≤π2，∴2π3≤x ＋2π3≤7π 6. ∴sin 7π6≤sin ? ? ???x ＋2π3≤sin 2π3，∴－12≤y ≤32. 故选B. 3．下列不等式中成立的是( ) A ．sin ? ????－π8>sin ? ???? －π10 B ．sin 3>sin 2 C ．sin 75π>sin ? ???? －25π D ．sin 2>cos 1 答案 D 解析 ∵sin 2＝sin ()π－2，cos 1＝sin ? ???? π2－1， 且(π－2)－? ????π2－1＝π 2－1>0，∴π2>π－2>π2－1>0， ∴sin(π－2)>sin ? ???? π2－1，即sin 2>cos 1. 4．求函数y ＝f (x )＝sin 2x －4sin x ＋5的值域． 解 设t ＝sin x ，则|t |≤1， f (x )＝ g (t )＝t 2－4t ＋5(－1≤t ≤1) g (t )＝t 2－4t ＋5的对称轴为t ＝2. 开口向上，对称轴t ＝2不在研究区间[－1,1]内． g (t )在[－1,1]上是单调递减的， ∴g (t )max ＝g (－1)＝(－1)2－4×(－1)＋5＝10， g (t )min ＝g (1)＝12－4×1＋5＝2， 即g (t )∈[2,10]． 所以y ＝f (x )的值域为[2,10]． 求三角函数的值域(或最值)的方法 三角函数y＝sinx及y＝cosx是有界函数，即当自变量x在R内取一定的值时，因变量y有最大值y max＝1和最小值y min＝－1，这是三角函数y＝sinx及y＝cosx的基本性质之一，利用三角函数的这一基本性质，我们可以使一些比较复杂的三角函数求最值的问题得以简化．虽然这部分内容在教材中出现不多，但是，在我们的日常练习和历年高考试题中却频频出现，学生也往往对这样的问题颇感棘手．笔者根据日常的教学积累，对三角函数求值域或最值的方法，加以归纳总结如下． 1 配方分析法 如果所给的函数是同名不同次或可化为同名不同次及其他能够进行配方的形式，可采用此方法． 例1求函数y＝2cos2x＋5sinx－4的值域． 解原函数可化为 当sinx＝1时，y max＝1； 当sinx＝－1时，y min＝－9， ∴原函数的值域是y∈[－9，1]． 注：此种方法在求三角函数的值域或最值问题中较为常见．但在最后讨论值域时，往往容易忽略自变量(例1中以sinx为自变量)的取值范围而出现错误应该引起注意． “cosx”，再求已知函数的最值 例2求下列函数的最值，并求出相应的x值． y＝asinx＋bcosx或可转化为此种形式的函数，其最大值和最小值分别为y max＝ 3 求反函数法 如果函数的表达式中仅含有某一个三角函数名，我们可考虑此种方法，用因变量y表示出该函数，再利用该函数的值域求对应的原函数的值域． ∴原函数的值域是 4 应用函数的有界性 上面的求反函数法实际上就是在应用函数的有界性求最值，在此只不过是为了更加突出一下． 解由原式可得 (3y－1)sinx＋(2y－2)cosx＝3－y， 则上式即为 利用函数的有界性有 ∴原函数的值域是 三角函数最值问题类型归纳 三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，近几年的高考题中经常出现。其出现的形式，或者是在小题中单纯地考察三角函数的值域问题；或者是隐含在解答题中，作为解决解答题所用的知识点之一；或者在解决某一问题时，应用三角函数有界性会使问题更易于解决（比如参数方程）。题目给出的三角关系式往往比较复杂，进行化简后，再进行归纳，主要有以下几种类型。掌握这几种类型后，几乎所有的三角函数最值问题都可以解决。 1．y=asinx+bcosx型的函数 特点是含有正余弦函数，并且是一次式。解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为 只有一种三角函数。应用课本中现成的公式即可：y=sin(x+φ)，其中tanφ=。 例1．当-≤x≤时，函数f(x)=sinx+cosx的（ D ） A、最大值是1，最小值是-1 B、最大值是1，最小值是- C、最大值是2，最小值是-2 D、最大值是2，最小值是-1 分析：解析式可化为f(x)=2sin(x+)，再根据x的范围来解即可。 2．y=asin2x+bsinxcosx+cos2x型的函数 特点是含有sinx, cosx的二次式，处理方式是降幂，再化为型1的形式来解。 例2．求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并求出y取最小值时的x的集合。 解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x =(sin2x+cos2x)+sin2x+2cos2x =1+sin2x+1+cos2x =2+sin(2x+) 当sin(2x+)=-1时，y取最小值2-，此时x的集合{x|x=kπ-π, k∈Z}。 3．y=asin2x+bcosx+c型的函数 特点是含有sinx, cosx，并且其中一个是二次，处理方式是应用sin2x+cos2x=1,使函数式只含有一种三角函数，再应用换元法，转化成二次函数来求解。 例3．求函数y=cos2x-2asinx-a（a为常数）的最大值M。 1 三角函数单调性题库 9.已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[0,]4 π上出现两次最大值2，则ω的范围 1218ω≤< （1）为了使函数)0(sin >=ωωx y 在区间[0，1]上至少出现50次最大值1，则ω的最小值是 答案：π2 197 （2）已知函数)0(tan >=w wx y 的图像与直线1y =的交点间的最小距离是3π，求w 的值 解析：函数tan y x =的图像与直线1y =的交点间的最小距离是一个周期T ，所以函数wx y tan =最小正周期3T π=，,3ππ==w T .31,0=∴>w w Θw 的值13 。 （3）ω是正实数，函数x x f ωsin 2)(=在]4 ,3[ππ-上是增函数，那么（ ） A ．230≤<ω B ．20≤<ω C ．7240≤<ω D ．2≥ω 解析: 研究特殊的函数y=2sin α,它的一个单调增区间是,22ππ??-??? ?，函数x x f ωsin 2)(=在]4,3[ππ-上是增函数，则α=,34x πωπωω??∈-???? 。因此，,34πωπω??-?????,22ππ??-???? 。所以，正确答案230≤<ω。 （4）已知函数]4 ,3[)0(sin 2)(ππωω->=在区间 x x f 上的最大值是2，则ω的最小值等于 2 2 （5）已知()2sin (0)f x x ωω=>在[,]34 ππ-上的最小值是2-，最大值不是2，则ω的范围 322 ω≤≤ （6）已知ω是正实数，x x f ωsin 2)(=在]4 ,3[ππ-上是增函数，那么则实数ω的取值范围是 230≤<ω。 （7）（2012年高考（新课标理））已知0ω>,函数()sin()4f x x πω=+在(,)2π π上单调递减.则ω的取值范围是 ()22πωππω-≤?≤,3()[,][,]424422 x ππππππωωπω+∈++? 得:315,2424224 π π π π πωπωω+≥+≤?≤≤ （8）已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ??????=+>= ? ? ???????，，且()f x 在区间63ππ?? ???，有最小值，无最大值，则ω＝__________．143 第二章 第7节 三角函数的最值及应用 主备人： 审核人： . 班级 姓名 . 【教学目标】 1掌握求三角函数最值的常用方法：①配方法（主要利用二次函数理论及三角函数的有界性）；②化为一个角的三角函数（主要利用和差角公式及三角函数的有界性）；③数形结合法（常用到直线的斜率关系）；④换元法（将三角问题转化为代数问题）；⑤基本不等式法等 2三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的区间 （1）求三角函数最值时，一般要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件及弦函数的有界性 （2）含参数函数的最值问题，要注意参数的作用和影响 【重点难点】 1.重点：三角函数最值的常用方法 2.难点：选择求三角函数最值的方法 【教学过程】 一.知识梳理 三角函数的最值问题 (1) 用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式 ① y ＝asinx ＋bcosx ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2 . ② y ＝asin 2x ＋bsinxcosx ＋ccos 2x 可先降次，整理转化为上一种形式． ③ y ＝asinx ＋b csinx ＋d ? ?? ??或y ＝acosx ＋b ccosx ＋d 可转化为只有分母含sinx 或cosx 的函数式或sinx ＝f(y) (cosx ＝f(y))的形式，由正、余弦函数的有界性求解． (2) 用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式 ① y ＝asin 2x ＋bcosx ＋c 可转化为cosx 的二次函数式． ② y ＝asinx ＋c bsinx (a 、b 、c>0)，令sinx ＝t ，则转化为求y ＝at ＋c bt (－1≤t ≤1)的最值，一般可用基本不等式或单调性求解． 二.基础自测： 1．函数y =a cos x +b （a 、b 为常数），若－7≤y ≤1，求b sin x +a cos x 的最大值 2．已知函数)(1cos sin 2 3cos 212R x x x x y ∈++= (1)求函数y 的最大值，并求此时x 的值 (2)该函数的图象可由)(sin R x x y ∈=的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 三.典型例题 三角函数的定义域、值 域和最值 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1求三角函数的值域(或最值)的方法
三角函数最大值问题
高中数学：三角函数单调性题库
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