湖北汽车工业学院2010年大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
参赛队员(姓名，班号，签名) ：
1. 方云生T803-2
2. 董少华T803-1
3. 陈吉文T803-1
日期： 2010 年 5 月 24 日
钢管下料优化模型
摘要：在充分考虑切割模式、切割次数、余料浪费等相关要求下，确立了以总费用最低为目标的优化方向。通过合理假设，建立了整数非线性规划模型一，运用
Lingo软件很准确求得了总费用最优化解为21.5，及其相应下料方案。但考虑到
模型一与实际有一定的差距，为此建立了对所有可能情况的详细优化方案，通过对各优化方案的比较，从中抉择出符合实际零售商与顾客的最优选择方案。最后，从宏观市场实际上进行对模型的改进，充分考虑对顾客与零售商的偏好，运用互补判断矩阵进行决策，得出最优方案。
关键字：整数非线性规划 Lingo 优化
1.问题重述
钢管零售商从钢管厂进得长度均为1850mm 的钢管，钢管需按顾客要求切割予以出售。现有一顾客需要15根290 mm ，28根315 mm ，21根350 mm 和30根455 mm 这4种规格的钢管。为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，以此类推。每种切割模式下的切割次数不能太多（其中一根原钢管最多生产5根产品）。此外，在保证每种切割模式下的余料浪费不能超过100 mm ，应该如何下料使总费用最小？
2.符号说明
（1）i x 表示第(1,2,3,4)i i =种切割模式下的根数；
（2）ij a 表示第(1,2,3,4;)i i =种切割模式下4种规格产品量(1,2,3,4)j =； （3）为方便计算，假设每根原料钢管的价值为单位1； （4）P 为钢管顾客所需总费用（元）。
3.模型假设
(1)零售商从钢管厂所购钢管长度均为1800mm ； (2)所加工的钢管均满足顾客要求； (3)所剩余料不进行循环加工；
(4)忽略钢管切口处产生的废屑对长度加工的影响； (5)为考虑某切割模式的使用频率对顾客费用的影响，假设有1234x x x x >>>； (6)如若考虑有两种或两种以上的切割模式的使用频率相等的情况，在原料钢管的切割费用上以最低增加费用为标准；
(7)假设零售商与顾客的选择方案均只以追求总费用最低为目标，而不考虑个人偏好等心理因素；
(8)总费用不考虑钢管切割编程程序的价值的影响；
(9)总费用不考虑生产人员配置、设备损耗、运输等因素的影响。
4.问题分析
（1）零售商应首先满足顾客的钢管需求，同时保证生产过程简单，余料浪
费最少的情况下，使得生产总费用最低为最终目标。
（2）由于该顾客需4种规格的产品，因此切割模式应有4216=种但按规定所使用的切割模式不得超过4种。
（3）为满足顾客需求，钢管原材料根数应有上下限。
下限值：
仅考虑满足长度要求，有29015315283502145530
18.471850
?+?+?+?=，
即钢管最少为19根。
上限值：
考虑满足一根原钢管最多生产5根产品，单独生产某一种钢管的情况：
总共需要钢管数：3+6+5+8=22根。
（4）每种切割模式下每根钢管的余料浪费不超过100mm ，则有每根钢管余料需用长度范围为[]1850,1850。
（5）考虑费用为最终目标，得到P 关于i x 与价格之间的目标函数。 （6）这些约束条件极大的减少了运算量，但是对于含有众多未知参数的不等式，运算量仍是面临的难题。为此，我们建立了整数非线性规划模型对问题进一步简化，同时借助Lingo 软件进行分析，从能够方便可靠的得到在规定要求下的最优解。最后，我们在把所得最优解代人实际问题，充分验证其可行性与可靠性。
5.模型建立与求解
模型一：
根据上述对问题的分析，我们建立整数非线性规划模型一。 为使总费用最低，我们得目标函数：
(10.1)1(10.2)2(10.3)3(10.4)4 1.11 1.22 1.33 1.44
P x x x x x x x x =+++++++=+++ (1)
为满足顾客对钢管购买的需求，得：
11121231341415121222323424281312323334342114124234344430
x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a +++≥??
+++≥??
+++≥??+++≥? (2)
为保证一根原料钢管最多生产不超过5根产品，得：
111213145212223245
313233345424243445
a a a a a a a a a a a a a a a a +++≤??
+++≤??
+++≤??+++≤? ………………………………………………（3） 由每种切割模式下每根钢管的余料浪费不超过100mm ，得：
1750290113151235013455441850175029021315223502345524185017502903131532350334553418501750
290413154235043455441850
a a a a a a a a a a a a a a a a ≤+++≤??
≤+++≤??
≤+++≤??≤+++≤? (4)
根据钢管原材料根数上下限，得：
19123422x x x x ≤+++≤…………………………………………………（5） 根据假设（5）有1234x x x x >>> ………………………………………（6） 根据实际情况，有,(,1,2,3,4)i ij x a Z i j ∈= ………………………………（7） 基于上述建立的整数非线性规划模型，借助Lingo 软件进行分析，得到在规定要求下，费用的最优解为21.5。对应的下料方案如下所示：
显然模式4不符合实际情况，舍去。
由上述表格得，在保证费用最低的要求下，可供参考的切割模式有3种，共
需原料钢管19根。其中，14根对应290,315,350,455m m m m m m m m 分别为
1,2,0,2；4根对应290,315,m m m m 350,455m m m m 分别为0,0,5,0；1根对应
290,315,350,455m m m m m m m m
分别为2,0,1,2。
模型二：
依据上述模型，可以很清晰地得到满足总费用最低的下料方案。但这个方案依赖于假设1234
>>>，而实际情况下，对32在保持其基本顺序下，可能x x x x
有1234
>=> (1234)
===等8（32）种情况。
x x x x
x x x x
=>>、1234
x x x x
很显然假设1234
>>>具有一定的局限性。
x x x x
为此，我们需要在此基础上对模型进行进一步的优化，考虑切割模式的使用频率对费用的影响，我们得到上述8种情况的切割模式如下表：
根据上述表格，考虑以及切割模式的使用，我们得到：①若考虑切割模式最少，应选择方案Ⅰ；②若考虑总费用最低，应选择方案Ⅶ。
6.模型分析
在充分考虑切割模式、切割次数、余料浪费等相关要求下，我们确立了以总费用最低为目标的优化方向，假设了1234
>>>，从而建立了整数非线性
x x x x
规划模型一，并运用Lingo软件很准确求得了总费用最优化解21.5，共需19根原料钢管。对应切割方案：14根对应290,315,350,455
m m m m m m m m分别为1, 2, 0, 2；4根对应290,315,350,455
m m m m m m m m分别为0, 0, 5, 0；1根对应m m m m m m m m分别为2,0,1,2，很好的解决了下料问题。
290,315,350,455
在考虑到模型一与实际有一定的差距的情况下，建立了对所有可能情况的详细优化方案，从中抉择出符合实际零售商与顾客的最优选择方案，得出从零售商与顾客两方面考虑的最优解，即零售商最优方案仍为14根对应m m m m m m m m分别为1, 2, 0, 2；4根对应290,315,350,45
m m m m m m m m分别为0, 0, 5, 0；1根对应290,315,350,455
m m m m m m m m分别为2,0,1,2；顾客最优方案如下：
290,315,350,455
故可供参考的切割模式有4种，共需原料钢管30根。其中，9根对应m m m m m m m m分别为1,2,0,2；9根对应290,315,350,455
分别为0,0,0,4；1根对应
m m m m
290,3
m m m m
350,
分别为0,1,3,1。显然这两种方案的得出，均有其290,315,
m m m m m m m m
假设前提，模型一假设为1234
>>>，模型二假设为有两种或两种以上的
x x x x
切割模式的使用频率相等的情况，在原料钢管的切割费用上以最低增加费用为标准。因此，此两种模型在一定的假设下均能够得到符合条件的最优解。但是，实际上这些假设的成立仍需立足于解决好顾客与零售商的合作问题。作为零售商，以追求工作简单（切割模式少，且能满足顾客需求），用料最少且能获得最大利润为目标，会倾向于选择方案一；而作为顾客，追求总费用最低，会倾向于选择方案二。
因此，这仍需结合实际情况，充分考虑顾客与零售商的偏好，在进行最终抉
择选择方案问题。
7.模型改进
综合上述两种模型，我们均可得到顾客与零售商的最优选择方案，但以总费用为目标进行优化，零售商在切割模式、每根钢管的加工价值、余料等便占住主导地位，而作为顾客只能在总费用上拥有选择权。这便需结合实际情况，充分考虑顾客与零售商的偏好，在进行最终抉择选择方案问题。
为此，为更好解决此问题，我们可以采取两个方面的改进措施：（Ⅰ）由顾客与零售商的对选择方案有一定的偏好程度，我们可以采取不确定数互补判断矩阵对其赋权值来对各变量进行约束，达到零售商与顾客的平衡。（Ⅱ）通过查阅相关资料，进行市场调研，了解更多钢管市场的交易的规律，进而从实际市场角度考虑此问题，便会得出更加有舒服力的选择方案。
8.模型评价
（1）在考虑不同的假设前提下，得出多种下料方案，进而通过比较得出从顾客与零售商两方的最优选择方案，有一定的区分度；
（2）建立的整数非线性模型，适于用软件实现，具有极大的可操作性，以及灵敏度分析。
（3）模型的解决最重要在于做出合理的假设，进而从数学角度能够予以解决，但上述两个模型均涉及一定的偏好决策，未能通过市场的调研等措施进行互补判断矩阵的确立。
（4）该模型采用软件解决，因此具有易操作、易推广等优点，面对不同的顾客便能够从容应对，轻松决策。
（5）该模型具有极强的逻辑连接性，易于在短时间内弄清其本质特征，从而易于推广，服务于实际生产。
参考文献
[1]杨振凯等译，运筹学应用范例与解法.北京：清华大学出版社,2006年.
[2]韩中庚，数学建模竞赛——获奖论文精选与点评.北京：科学出版社，2007年
[3]文凤华等，基于风险价值偏好的最优投资决策分析，https://www.doczj.com/doc/fc15190584.html,/Article/CJFDTotal-ZGGK200205004.htm，2010年5月20日.
[4]清华大学，大学数学实验. https://www.doczj.com/doc/fc15190584.html,/view/aefafbb069dc5022aaea0005.html，2010年5月18日.
附录：
模型一程序：
Min=1.1*x1+1.2*x2+1.3*x3+1.4*x4;
a11+a21+a31+a41<=5;
a12+a22+a32+a42<=5;
a13+a23+a33+a43<=5;
a14+a24+a34+a44<=5;
x1*a11+x2*a12+x3*a13+x4*a14>=15;
x1*a21+x2*a22+x3*a23+x4*a24>=28;
x1*a31+x2*a32+x3*a33+x4*a34>=21;
x1*a41+x2*a42+x3*a43+x4*a44>=30;
290*a11+315*a21+350*a31+455*a41>=1750; 290*a11+315*a21+350*a31+455*a41<=1850; 290*a12+315*a22+350*a32+455*a42>=1750; 290*a12+315*a22+350*a32+455*a42<=1850; 290*a13+315*a23+350*a33+455*a43>=1750; 290*a13+315*a23+350*a33+455*a43<=1850; 290*a14+315*a24+350*a34+455*a44>=1750; 290*a14+315*a24+350*a34+455*a44<=1850;
x1+x2+x3+x4>=19;
x1+x2+x3+x4<=22;
x1>x2;
x2>x3;
x3>x4;
@gin(x1);
@gin(x2);
@gin(x3);
@gin(x4);
@gin(a11);@gin(a12);@gin(a13);@gin(a14); @gin(a21);@gin(a22);@gin(a23);@gin(a24); @gin(a31);@gin(a32);@gin(a33);@gin(a34); @gin (a41);@gin(a42);@gin(a43);@gin(a44);
模型二程序（其一）：
Min=1.1*x1+1.1*x2+1.2*x3+1.3*x4;
a11+a21+a31+a41<=5;
a12+a22+a32+a42<=5;
a13+a23+a33+a43<=5;
a14+a24+a34+a44<=5;
x1*a11+x2*a12+x3*a13+x4*a14>=15;
x1*a21+x2*a22+x3*a23+x4*a24>=28;
x1*a31+x2*a32+x3*a33+x4*a34>=21;
x1*a41+x2*a42+x3*a43+x4*a44>=30;
290*a11+315*a21+350*a31+455*a41>=1750; 290*a11+315*a21+350*a31+455*a41<=1850; 290*a12+315*a22+350*a32+455*a42>=1750; 290*a12+315*a22+350*a32+455*a42<=1850; 290*a13+315*a23+350*a33+455*a43>=1750; 290*a13+315*a23+350*a33+455*a43<=1850; 290*a14+315*a24+350*a34+455*a44>=1750; 290*a14+315*a24+350*a34+455*a44<=1850;
x1+x2+x3+x4>=19;
x1+x2+x3+x4<=22;
x1=x2;
x2>x3;
x3=x4;
@gin(x1);
@gin(x2);
@gin(x3);
@gin(x4);
@gin(a11);@gin(a12);@gin(a13);@gin(a14); @gin(a21);@gin(a22);@gin(a23);@gin(a24); @gin(a31);@gin(a32);@gin(a33);@gin(a34); @gin(a41);@gin(a42);@gin(a43);@gin(a44);
一、问题陈述 (下料问题)某工厂要做150套钢架，每套钢架分别需要长度为米、米和米的圆钢各一套。已知原料每根长10米，问应如何下料，可使所用原料最省 二、问题分析 该问题是运筹学在实际运用中比较经典的“线材下料问题”，从第一部分问题陈述中可以看出，该问题的一般提法是，要做N套产品，需要用规格不同的M种线材，各种规格的长度分别为l1，l2，l3，...，l m，每一套产品需要不同规格的原料分别为m1，m2，m3，...，m m根，已知原材料的长度为一定的长度，问应该如何下料，从而使原材料的耗用最省。 因此，在解决此类问题时应分两步考虑：1、确定可行的切割模式：即按照客户需要在原材料钢材上安排切割的一种组合；2、确定合理的切割模式：合理的切割模式的预料不应该大于或等于客户需要的钢材的最小尺寸。 对于如上第一分部提出的线材下料问题，可以用运筹学中线性规划的方法求解，通过建立线性规划模型来具体分析。 三、模型建立 建立线性规划模型时，对于约束条件这里为切割要满足客户对钢材数量的最低要求，本题将对标准钢材的切割（米、米、米），从而组合成一套钢架，要求为150套等因素建立约束条件。但是，对于目标函数而言，会有这样两种情况：1、求的钢材原材料总根数最少；2、求的钢材原材料余料最少。在本文的分析中，我们选择前者，即：求解使用的钢材原材料总根数最少。 为了建立模型方便，我们把下料后余下的小于最短用料的钢材称为废弃钢材，把下料得到的长为，，的钢材称为规格钢材，把10米长的原材料钢材称为原钢。因此，所用的原钢可以分解成三部分：1、成套利用的规格钢材；2、剩余的规格钢材；3、废弃钢材。通过分析计算，可以得到原钢的11种下料方式如下：
第一题：生产计划安排 2）产品ABC的利润分别在什么范围内变动时，上述最优方案不变 3）如果劳动力数量不增，材料不足时可从市场购买，每单位元，问该厂要不要购进原材料扩大生产，以购多少为宜 4）如果生产一种新产品D，单件劳动力消耗8个单位，材料消耗2个单位，每件可获利3元，问该种产品是否值得生产 答： max3x1+x2+4x3! 利润最大值目标函数x1,x2,x3分别为甲乙丙的生产数量 st!限制条件 6x1+3x2+5x3<45! 劳动力的限制条件 3x1+4x2+5x3<30! 材料的限制条件 End！结束限制条件 得到以下结果 1.生产产品甲5件，丙3件，可以得到最大利润，27元 2.甲利润在—元之间变动，最优生产计划不变 3. max3x1+x2+4x3 st 6x1+3x2+5x3<45 end 可得到生产产品乙9件时利润最大，最大利润为36元，应该购入原材料扩大生产，购入15个单位 4. max3x1+x2+4x3+3x4 st 6x1+3x2+5x3+8x4<45 3x1+4x2+5x3+2x4<30 end ginx1 ginx2 ginx3 ginx4 利润没有增加，不值得生产 第二题：工程进度问题 某城市在未来的五年内将启动四个城市住房改造工程，每项工程有不同的开始时间，工程周期也不一样，下表提供了这些项目的基本数据。
工程1和工程4必须在规定的周期内全部完成，必要时，其余的二项工程可以在预算的限制内完成部分。然而，每个工程在他的规定时间内必须至少完成25%。每年底，工程完成的部分立刻入住，并且实现一定比例的收入。例如，如果工程1在第一年完成40%，在第三年完成剩下的60%，在五年计划范围内的相应收入是*50（第二年）+*50（第三年）+（+）*50（第四年）+（+）*50（第五年）=（4*+2*）*50（单位：万元）。试为工程确定最优的时间进度表，使得五年内的总收入达到最大。 答： 假设某年某工程的完成量为Xij, i表示工程的代号，i=1,2,3，j表示年数，j=1,2,3，如第一年工程1完成X11，工程3完成X31，到第二年工程已完成X12，工程3完成X32。 另有一个投入与完成的关系，即第一年的投入总费用的40%，该工程在年底就完成40%，工程1利润： 50*X11+50*(X11+X12)+50*(X11+X12+X13)+50*(X11+X12+X13) 工程2利润： 70*X22+70*(X22+X23)+70*(X22+X23+X24) 工程3利润： 20*X31+150*(X31+X32)+150*(X31+X32+X33)+150*(X31+X32+X33+X34) 工程4利润： 20*X43+20*（X43+X44） max(50*X11+50*(x11+x12)+50*(X11+X12+X13)+50*(X11+X12+X13))+(70*X22+70*(X22+X23) )+70*(X22+X23+X24)+(150*X31+150*(X31+X32)+150*(X31+X32+X33)+150*(X31+X32+X33+X34)) +(20*X43+20*(X43+X44)) st 5000*X11+15000*X31=3000 5000*X12+8000*X22+15000*X32=6000 5000*X13+8000*X23+15000*X33+1200*X43=7000 8000*X24+15000*X34+12000*X44=7000 8000*X25+15000*X35=7000 X11+X12+X13=1 X22+X23+X24+X25≥ X22+X23+X24+X25≤1 X31+X32+X33+X34+X35≥ X31+X32+X33+X34+X35≤1 X43+X44=1 全为大于零的数
重庆交通大学 学生实验报告 实验课程名称数学建模 ^ 开课实验室数学实验室 学院信息院11 级软件专业班 1 班 学生姓名 学号 ￥ 开课时间2013 至2014 学年第 1 学期
！ 】 )
/ 实验一 钢管下料问题 摘要 ( 生产中常会遇到通过切割、剪裁、冲压等手段,将原材料加工成规定大小的某种,称为原料下料问题.按照进一步的工艺要求,确定下料方案,使用料最省,或利润最大是典型的优化问题.下面我们采用数学规划模型建立线性规划模型并借助LINGO 来解决这类问题. 关键词线性规划最优解钢管下料 一，问题重述 1、问题的提出 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割出售．从钢管厂进货得到的原材料的钢管的长度都是1850mm ，现在一顾客需要15根290 mm，28根315 mm，21根350 mm和30根455 mm的钢管．为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，以此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原钢管最多生产5根产品），此外为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100 mm，为了使总费用最小，应该如何下料 ` 2、问题的分析 首先确定合理的切割模式，其次对于不同的分别进行计算得到加工费用，通
过不同的切割模式进行比较，按照一定的排列组合，得最优的切割模式组，进而使工加工的总费用最少. 二，基本假设与符号说明 1、基本假设 假设每根钢管的长度相等且切割模式理想化.不考虑偶然因素导致的整个切割过程无法进行. 2、定义符号说明 （1）设每根钢管的价格为a ，为简化问题先不进行对a 的计算. （2）四种不同的切割模式：1x 、2x 、3x 、4x . 》 （3）其对应的钢管数量分别为：i r 1、i r 2、i r 3、i r 4（非负整数）. 三、模型的建立 由于不同的模式不能超过四种，可以用i x 表示i 按照第种模式（i =1,2,3,4）切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数.设所使用的第i 种切割模式下 每根原料钢管生产290mm ，315mm,,350mm 和455mm 的钢管数量分别为i r 1，i r 2，i r 3，i r 4（非负整数）. 决策目标 切割钢管总费用最小，目标为： Min=（1x ?+2x ?+3x ?+4x ?）?a (1) 为简化问题先不带入a 约束条件 为满足客户需求应有 11r ?1x +12r ?2x +13r ?3x +14r ?4x ≧15 (2) ( 21r ?1x +22r ?2x +23r ?3x +24r ?4x ≧28 (3) 31r ?1x +32r ?2x +33r ?3x +34r ?4x ≧21 (4) 41r ?1x +42r ?2x +43r ?3x +44r ?4x ≧15 (5) 每一种切割模式必须可行、合理，所以每根钢管的成品量不能大于1850mm 也不能小于1750mm.于是： 1750≦290?11r +315?21r +350?31r +455?41r ≦1850 （6） 1750≦290?12r +315?22r +350?32r +455?42r ≦1850 （7） 1750≦290?13r +315?23r +350?33r +455?43r ≦1850
有交货时间限制的大规模实用下料问题 朱珠,王辉,志敏 指导老师：鲁习文 (华东理工大学理学院数学系,200237) 摘要：本文讨论了有交货时间限制的大规模单一原材料下料问题。对于一维下料问题，本文提出一种新的算法：DP 贪婪算法。在一维的基础上建立了二维的求解模型，运用降维思想结合一维的DP 贪婪算法，给出解决该模型的算法。数值计算结果表明该算法对大规模下料问题是有效的。 关键词：下料问题，DP ，贪婪算法 1、问题描述 单一原材料下料问题. 设这种原材料呈长方形，长度为L ,宽度为W ，现在需要将一批这种长方形原料分割成m 种规格的零件, 所有零件的厚度均与原材料一致，但长度和宽度分别为),(,),,(11m m w l w l ，其中m i W w L l w i i i ,,1,, =<<<。m 种零件的需求量分别为m n n ,,1 。下料时，零件的边必须分别和原材料的边平行。这类问题在工程上通常简称为二维下料问题。特别当所有零件的宽度均与原材料相等，即m i W w i ,,1, ==，则问题称为一维下料问题。 一个好的下料方案是在生产能力容许的条件下，以最少数量的原材料，尽可能按时完成需求任务, 同时下料方式数也尽量地小. 2、一维下料问题 2.1 模型假设 在充分了解并分析了实际情况后，我们对一维下料问题提出如下假设： （1）每天下料的数量受到企业生产能力的限制，在未完成需求任务前，每天下料的数量等于最大 下料能力。 （2）每个切割点处由于锯缝所产生的损耗不可忽略。 （3）增加一种下料方式大致相当于使原材料总损耗增加%08.0。 （4）每种零件有各自的交货时间，若某零件无交货时间，则记该零件交货时间为无穷大。 2.2 一维单一原材料实用下料问题的模型 根据公司要求，目标是既要所用材料最少，也要下料方式少。记m ：零件种类总数,i x ：第i 种下料方式下料的根数，k ：下料方式的种类数，:i δ第i 种下料方式的余料。借助函数 ???=01)(i x signal 00 =>i i x x ，可得所用材料)(1x f 和采用的下料方式)(2x f 分别为： ∑==k i i i x x f 11)(δ，()∑==k i i x signal x f 1 2)( 借助模型假设中假设(3)：增加一种下料方式大致相当于使原材料总损耗增加%08.0。故可将双目标转化为单目标：
题1、[下料问题的优化设计]某车间有一大批长130cm的棒料，根据加工零件的要求，需要从这批棒料中成套截取70cm长的毛坯不少于100根，32cm 长的毛坯不少于100根，35cm长的毛坯不大于100根。要求合理设计下料方案，使剩下的边角料总长最短。 根据题目意义，运用优化设计理论和方法，完成设计全过程;工程问题分析：数学模型建立及特征分析：优化方法选择；优化程序设计（解析优化）；计算结果分析；结论及体会。 基于MATLAB一维优化下料问题分析 0 前言 生产中常会通过切割、剪裁、冲压等手段，将原材料加工成所需大小零件，这种工艺过程，称为原料下料问题。在生产实践中，毛坯下料是中小企业的一个重要工序。怎样减少剩余料头损失是节约钢材、降低产品成本、提高企业经济效益的一个重要途径。在毛坯下料中我们常会遇到毛坯种类多、数量大的情况，如不进行周密计算则因料头而造成的钢材损失是相当可观的。为使料头造成的钢材损失减少到最小程度，我们可依据预定的目标和限制条件统筹安排，以最少的材料完成生产任务。
1 一维优化下料问题的具体模型分析 设原材料长度为L,数量充足。需要切割成n (n≥0)种不同规格的零件,根据既省材料容易操作的原则，人们已经设计好了n 种不同的下料方式，设第j 种下料方式中可下得第i 种零件 ij a 个,又已知第i 种零件得需要量为i b 个, j x 表示第 j B 种下料方式所消耗得零件数目, j c 表示第 j B 种下料方式所得余料(j=1, 2 , ?, n, j x ∈ Z)。满足条件的切割方案有很多种,现在要求既满足需要又使所用原材料数量最少,即最优下料方案满足:μｐ=min (∑j c j x )约束条件:∑ ij a j x =i b , j x ∈Z 。 线性规划数学模型 根据线性规划算法，约束条件包括两部分：一是等式约束条件，二是变量的非负性。出变量的非负要求外，还有其他不等式约束条件，可通过引入松弛变量将不等式约束化成等式约束形式。如果是求最大值的,则松弛模型最优解对应的目标函数值必大于或等于整数规划最优解对应的目标函数值；如果问题是求最小值，则松弛模型最优解对应的目标函数值必于或等于整数规划最优解对应的目标函数值。因此对于最优下料方案模型为： []()1 1 min 1n p j j j n ij j j j j f c x a x b x z μ==+? ==???=???∈??∑∑ 由式(1)的线性规划(LP)引入松弛变量
钢管下料问题 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货时得到的原料钢管都是19m 。 (1）现在一客户需要50根4m 、20根6m 和15根8m 的钢管。应如何下料最节省？ (2) 零售商如果采用的不同切割模式太多，将会导致生产过程的复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该零售商规定采用的不同切割模式不能超过3种。此外，该客户除需要（1）中的三种钢管外，还需要10根5m 的钢管。应如何下料最节省。 问题（1）分析与模型建立 首先分析1根19m 的钢管切割为4m 、6m 、8m 的钢管的模式，所有模式相当于求解不等式方程： 12346819 k k k ++≤ 的整数解。但要求剩余材料12319(468)4r k k k =-++<。 容易得到所有模式见表1。 决策变量 用i x 表示按照第i 种模式(i=1,2,…，7)切割的原料钢管的根数。 以切割原料钢管的总根数最少为目标，则有 1234567min z x x x x x x x =++++++ 约束条件 为满足客户的需求，4米长的钢管至少50根，有
1236743250x x x x x ++++≥ 6米长的钢管至少20根，有 25673220x x x x +++≥ 8米长的钢管至少15根，有 346215x x x ++≥ 因此模型为： 1234567min z x x x x x x x =++++++ 123672567346432503220..215,1,2,,7 i x x x x x x x x x s t x x x x i ++++≥??+++≥??++≥??=? 取整 解得： 12345670,12,0,0,0,15,0x x x x x x x ======= 目标值z=27。 即12根钢管采用切割模式2：3根4m ，1根6m ，余料1m 。 15根钢管采用切割模式6：1根4m ，1根6m ，1根8m ，余料1m 。 切割模式只采用了2种，余料为27m ，使用钢管27根。 LINGO 程序： model: sets: model/1..7/:x; endsets min=x(1)+x(2)+x(3)+x(4)+x(5)+x(6)+x(7); 4*x(1)+3*x(2)+2*x(3)+x(6)+x(7)>=50; x(2)+3*x(5)+x(6)+2*x(7)>=20; x(3)+2*x(4)+x(6)>=15; @for(model(i):@gin(x(i))); end 问题（2）模型建立 首先分析1根19m 的钢管切割为4m 、6m 、8m 、5m 的钢管的模式，所有模式相当
摘要 原材料的切割问题是工业生产中的重要问题，可以直接决定一个工厂的效益大小，是一个很有实际研究价值的问题。 对于一维下料问题，我们主要以整数规划为模型，讨论了钢管数最少和余料最少两种方式，但由于数据较大，后面又通过对变量变化范围的缩减，找到了较优的在大数据时替代穷举法的非线性整数规划来确定较优的几种切割方式，以得到较节省的剪裁方法。后面的成本问题可以转化为一维下料问题的加权问题。 解决二维的下料问题，采用逐级优化的方法，进行下料方案的筛选。首先选用单一下料两个方向排料优选的下料策略，成品料的长在原材料的长和宽两个方向上分别排列，求出最优解；其次采用单一下料中成品料的长和宽在原材料的长、宽两个方向套裁排料优选，算出所需原材料的块数和利用率；最后按照零件需求量，进行几种零件配套优选，用新易优化板材切割软件求出最优的板材切割方法，列以原材料消耗总张数最少为目标函数的数学模型，用LINGO软件编程，求出最佳下料方案。按照原材料的利用率，筛选出最佳的下料方案为按照零件需求量，进行几种零件的配套优选下料方案 关键字：下料问题整数规划逐级优化 1问题重述 如何更大程度的获得合理利润在当今这个以经济发展为核心的社会已经成了工厂实际生产中急需解决的问题，其中原材料利用率低则是每个工厂所关心的重点问题。因此有必要对原材料的利用方式进行讨论，找到更合理的使用方法。 本问题就以生产实践中遇到的材料剪裁问题为基础，以寻找消耗原材料最少的剪裁方式为目的，并通过一维、二维的多维度分析，以及使用频率对原材料价格的影响，通过多种合理的数学模型，找到更符合实际情况的最优剪裁方式。 2问题分析 直接分析问题为为找到最好的几种剪裁方案，使得钢管数最少，余料尽可能少或余料最少，钢管数尽可能少，但在完成的过程中，我发现只要分配好了几种剪裁方案，用整数规划可以较容易的找到最省的下料方案，而遇到的困难是如何选择几种较优的剪裁模式，这就变成了问题的核心；而后面的几问基本上都是该问题的变形或推广，原理相似，价格问题只是切割问题中钢管数最少的加权处理，第二问是改变了衡量的单位，有长度变成了面积，可以由一维的情况推广解决 3问题假设 1.原材料在生产过程中除去剪裁方式造成的损耗外其他损耗为0，且生产后的钢管均符合要求 2.剩余的原材料无法利用 3.原材料中没有不合格品 4.客户中途无退单情况 5.运输过程中没有其它损耗 6.原材料的增加费用只与使用频率有关，模式使用频率相同时，其产生的增加费用相同。 7.生产的总费用只与钢管数有关，本问题不考虑人工工资、厂房用地、管理
数学建模第三次作业 下料问题 摘要 本文是针对如何对钢管进行下料问题，根据题目要求以及下料时有关问题进行建立切割费用最少以及切割总根数最少两个目标函数通过结果分析需要使用何种切割模式。 生产方式所花费的成本价格或多或少有所不同，如何选取合理的生产方式以节约成本成为了很多厂家的急需解决的问题。这不仅仅关系到厂家的利益，也影响到一个国家甚至整个人类星球的可利用资源，人们的生活水平不断提高对物资的需求量也不断上升，制定有效合理的生产方式不仅可以为生产者节约成本也可以为社会节约资源，以达到资源利用最大化。本文以用于切割钢管花费最省及切割总根数最少为优化目标，通过构建多元函数和建立线性整数规划模型，利用数学及相关方面的知识对钢管的切割方式进行优化求解最佳方案。 本文最大的特色在于通过求解出切割钢管花费最省及切割总根数最少时分别得出两种目标函数取最小值时的切割模式。通过结果发现两种目标函数取最小值时所需切割根数都一样。于是选择切割钢管花费最省为目标函数，此时的切割模式达到最少，这样既满足了总根数最小有满足了切割费用最小。 关键词：切割模式LINGO软件线性整数
一、问题的提出 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后出售。从钢管厂进货时得到的原料钢管的长度都是1850mm。现有一客户需要15根290mm、28根315mm、21根350mm和30根455mm的钢管。为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，依次类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根钢管最多生产5根产品）。此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料不能超过100mm。为了使总费用最小，应如何下料？ 二、基本假设 1、假设所研究的每根钢管的长度均为1850mm的钢管。 2、假设每次切割都准确无误。 3、假设切割费用短时间内不会波动为固定值。 5、假设钢管余料价值为0. 6、假设一切运作基本正常不会产生意外事件。 7、每一根钢管的费用都一样，为一常值。 三、符号说明
钢管下料问题的数学模型 组员 一、问题的提出 1、某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的需求切割后售出，从钢管厂进货时，得到原料19米，现有乙客户需要50根4米，20根6米，15根8米，如何下料最省？ 2、摘要：生产中常会遇到通过切割、剪裁、冲压等手段,将原材料加工成规定大小的某种,称为原料下料问题.按照进一步的工艺要求,确定下料方案,使用料最省,或利润最大是典型的优化问题.下面我们采用数学规划模型建立线性规划模型并借助LINGO 9.0来解决这类问题. 二、引言：钢管、钢筋在隧道施工中用途极为广泛,然而,钢铁厂因为大规模生产,出厂的钢管、钢筋大多为半成品,长度极少能满足工程建设的需要。作业队伍要根据图纸所要求的钢管、钢筋长度对半成品的钢管、钢筋进行再加工。加工剩下的废料因为长短不一,往往无法再次利用,只能当作废铁贱卖,白白浪费。建设者长期因为找不到最佳解决方案而苦恼。因此,如何巧妙安排,运筹谋划使下料后的废料达到最小化,是一个非常重要的、值得进行深入研究的课题。数学建模在隧道施工钢管下料中的应用就是研究如何针对不同要求进行统筹分配,
使在保证需求数量的情况下,达到最佳效果的一种运筹学方法。下面将通过介绍高速公路隧道钢管下料中如何应用这一研究方法和技术,并应用LINDO 软件求解,来达到在条件限制下的总体废料最小化 三、问题的分析： 首先确定合理的切割模式，其次对于不同的分别进行计算得到加工费用，通过不同的切割模式进行比较，按照一定的排列组合，得最优的切割模式组，进而使工加工的总费用最少. 1、问题一： 某钢管零售商以钢管厂进货，将钢管按顾客的需求切割后售出，从钢管厂进货时得到原料19m 建立模型 引入决策变量，x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 目标函数 1 钢管数最少：=Z min 7654321x x x x x x x ++++++ 2 余下的钢管最少76543213333m in x x x x x x x Z ?+++?+?++?= 经过以上分析，可转化为下述线性规划问题 约束条件： 1、??? ??≥?++≥?++?+≥++? +?+?++++++=15 2203250234min 753 6542543217654321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Z 问题一： 2、 76543213333m in x x x x x x x Z ++++++= ??? ??≥++≥+++≥++++15 220 3250 234753 654254321x x x x x x x x x x x x
3.下料问题 班级：计科0901班姓名：徐松林学号：2009115010130 摘要： 本文建立模型，以最少数量的原材料以及最少的余料浪费来满足客户的需求。主要考虑到两方面的问题。钢管零售商是短时间内出售钢管，则应该以最少原材料根数为目标函数来建模模型；钢管零售商是长时间内出售钢管，则应该以最少余料浪费为目标函数。有效地使用背包问题及线性规划、非线性规划等算法，算出最优解。特别是钢管零售商是短时间内出售钢管，需要分析切割模式的种类1到4种的各个情况的整数最优解，再依次比较每个情况的最优解得出总的最优解。 关键词：余料、原材料、加工费、总费用。 一、问题背景 工厂在实际生产中需要对标准尺寸的原材料进行切割，以满足进一步加工的需要，成为下料问题。 相关数据表明，原材料成本占总生产成本的百分比可以高达45%～60%，而下料方案的优劣直接影响原材料的利用率，进而影响原材料成本。因此需要建立优化的下料方案，以最少数量的原材料以及最少的余料浪费，尽可能按时完成需求任务。 二．问题描述及提出 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出.从钢管厂进货时得到的原料钢管长度都是1850mm.现有一客户需要15根290mm、28根315mm、21根350mm 和30根455mm的钢管.为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，依此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原料钢管最多生产5根产品）。此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100mm.为了使总费用最小，应如何下料？ 在该目标下要求考虑下面两个问题： 1.若钢管零售商是短时间内出售钢管（即每次将钢管按照顾客的要求切割后售 出，多余的零件不准备下次售出），则每次应该以最少原材料根数为目标函数。
钢管下料问题 摘要: 如何建立整数规划模型并得出整数规划模型的求解方法是本实验要点, 本题建立最常见的线性整数规划,利用分支定界法和Lingo 软件进行求解原料下料类问题，即生产中通过切割、剪裁、冲压等手段，将原材料加工成所需大小；按照工艺要求，确定下料方案，使所用材料最省，或利润最大。分支定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题，此方法灵活且便于用计算机求解，所以现在它已是解整数规划的重要方法。Lingo 软件的功能是可以求解非线性规划(也可以做线性规划,整数规划等)，特点是运算速度快，允许使用集合来描述大规模的优化问题。 大规模数学规划的描述分为四个部分： model: 1．集合部分（如没有，可省略） SETS: 集合名/元素1，元素2，…，元素n/：属性1，属性2，… ENDSETS 2．目标函数与约束部分 3．数据部分（如没有，可省略） 4．初始化部分（如不需要初始值，可省略） end 关键字：材料 Lingo 软件 整数规划 问题描述： 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货时得到的原料都是19米。 （1）现有一顾客需要50根4米、20根6米和15根8 米的钢管。应如何下料最节省？ （2）零售商如果采用的不同切割模式太多，将会导致生产过程的复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该零售商规定采用的不同切割模式不能超过3种。此外，该客户除需要（1）中的三种钢管外，还需要10根5米的钢管。应如何下料最节省。 （1）问题简化： 问题1. 如何下料最节省 ? 节省的标准是什么？ 原料钢管:每根19米 4米50根 6米20根 8米15根
优化下料方法节约钢筋材料 一、下料方法节约钢筋 钢筋材料的节约首先要，做好第一步下料管理工作，特别是钢筋下料单的组合整理。项目部在对图纸和下料单对照无误后，再对各种规格的钢筋总量进行材料采购。在下料过程中把所有同强度等级同直径的钢筋依长度，由长到短的顺序进行一次组合排列，从中去发现一些规律：相加下料规律、相乘下料规律、混合下料规律等等从而节约钢材。 （一）、钢筋进料的选择 钢筋的长度不是越长越好，实际工程中，需要的钢筋长度千差万别，在南楼、北楼工程中灵活的选择进场钢筋的长短得到了体现。在采购钢筋时，针对下料单组合排列和根据现场实际情况，对钢筋的长度进行选择，使钢筋下料后短头最少或者为零。 1、北楼工程中，梁需要用Ф25钢筋，料长8.83m 因此这部分梁钢筋，选择进9m长的钢筋短头最少。 2、北楼地下室板钢筋需要Ф18钢筋，料长2.23m。 用9米钢筋：9m/2.23m=4.035（根） 4.035 - 4 = 0.035 用12米钢筋：12m/2.23m=5.381（根） 5.381 - 5 = 0.381 对比知：选用9m钢筋更节约。
（二）、钢筋长短料组合搭配下料 1、钢筋制作过程中，同一种规格钢筋往往有多种下料尺寸。不应该按下料单中的先后顺序下料。而是应该根据组合排列的规律先截长料，再做断料，这是钢筋下料节省钢筋的一项原则。 1、北楼框架梁需要用有两种尺寸钢筋，现场当时有9m长的Ф25钢筋。①号钢筋：4.2m ②号钢筋4.7m 如果按下料单下料的顺序分别下料，先截①号钢筋时会有600mm短头出现。而如果先截②号钢筋时，剩余4.3m钢筋。用搭配法先做②后做①，这样只会产生10cm短头出现。 所以按组合排列的规律先截长料，后做短料。 （三）、相剩计算钢筋下料 在我们工程中，标准层主梁须要用Ф10箍筋2000个，单个箍筋料长2.35m。 在调直机调直前，先计算2.35m X 4 = 9.4m，把调直后的钢筋截成500根9.4m长的钢筋，然后再截成2.35m长的箍筋，这样不会有短头出现。 （四）、相加计算节约钢筋。 基础大梁需要以下两种长度的Ф25钢筋，其长度相近。选用现场有的12m钢筋。 ①Ф28 5.7m ②Ф28 6.2m 5.7m + 6.2m = 11.9m
钢管下料问题 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货时得到的原料钢管都是19m 。 (1）现在一客户需要50根4m 、20根6m 和15根8m 的钢管。应如何下料最节省？ (2) 零售商如果采用的不同切割模式太多，将会导致生产过程的复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该零售商规定采用的不同切割模式不能超过3种。此外，该客户除需要（1）中的三种钢管外，还需要10根5m 的钢管。应如何下料最节省。 问题（1）分析与模型建立 首先分析1根19m 的钢管切割为4m 、6m 、8m 的钢管的模式，所有模式相当于求解不等式方程： 12346819k k k ++≤ 的整数解。但要求剩余材料12319(468)4r k k k =-++<。 容易得到所有模式见表1。 决策变量 用i x 表示按照第i 种模式(i=1,2,…，7)切割的原料钢管的根数。 以切割原料钢管的总根数最少为目标，则有 1234567min z x x x x x x x =++++++ 约束条件 为满足客户的需求，4米长的钢管至少50根，有 1236743250x x x x x ++++≥ 6米长的钢管至少20根，有 25673220x x x x +++≥ 8米长的钢管至少15根，有 346215x x x ++≥ 因此模型为： 1234567min z x x x x x x x =++++++
123672567 346432503220..215,1,2,,7 i x x x x x x x x x s t x x x x i ++++≥??+++≥?? ++≥??=?L 取整 解得： 12345670,12,0,0,0,15,0x x x x x x x ======= 目标值z=27。 即12根钢管采用切割模式2：3根4m ，1根6m ，余料1m 。 15根钢管采用切割模式6：1根4m ，1根6m ，1根8m ，余料1m 。 切割模式只采用了2种，余料为27m ，使用钢管27根。 LINGO 程序： model: sets: model/1..7/:x; endsets min=x(1)+x(2)+x(3)+x(4)+x(5)+x(6)+x(7); 4*x(1)+3*x(2)+2*x(3)+x(6)+x(7)>=50; x(2)+3*x(5)+x(6)+2*x(7)>=20; x(3)+2*x(4)+x(6)>=15; @for(model(i):@gin(x(i))); end 问题（2）模型建立 首先分析1根19m 的钢管切割为4m 、6m 、8m 、5m 的钢管的模式，所有模式相当于求解不等式方程： 1234468519k k k k +++≤ 的整数解。但要求剩余材料12319(468)4r k k k =-++<。 利用Matlab 程序求出所有模式见表2。 求出所有模式的Matlab 程序： number=0; for k1=0:4 for k2=0:3 for k3=0:2 for k4=0:3 r=19-(4*k1+6*k2+8*k3+5*k4); if(r>=0)&(r<4) number=number+1; fprintf('%2d %2d %2d %2d %2d %2d\n',number,k1,k2,k3,k4,r); end
板材优化下料方案研究 下料问题(Cutting Stock Problem)是一个应用范围很广的热门研究问题，它的特殊情况是装箱问题。 人造板材下料方案影响着产品生产成本、报价和和材料采购。特别对于同规格、大批量的产品来说，企业总要花大量人力核算下料方案，微小的调整就有可能节约可观的原材料费用。无论是人工经验排料，还是计算机辅助排料都难以达到一个最优的程度，小批量生产中需要多种规格家具混合计算，加之下料存在的主要问题是计算时间和空间呈指数增长，并且假定供排料的矩形件总数是无限的，这使市场上现有行业软件也黯然失色。 如何结合板式家具的结构和加工工艺，通过计算机辅助得到更优解呢？本文针对这个展开论述。 1.板式家具的结构分析 下料中难度最大的为实心压板部件和覆面空心结构板等异形部件，对于骨料、尺寸过小的部件在下料时往往要经过尺寸上的合并处理。下面按实际生产中各种因素进一步细分，讨论家具结构对下料方案的影响。 1.1板材分类 排料方案所需数据是根据板材的规格分批处理的，不能将不同材料的零件放在一起排序，每个零件必须标明所用材料规格。排料前首先要对不同品种、不同规格的板材进行分类，然后按各个不同类别单独计算用量。 中密度纤维板常用作骨架材料，由于其没有方向性，细小板条都可以用来做骨架，故中纤板的利用率极高。 有纹理的胶合板和二次加工板价格较贵，用于外表显著的部位，其利用率相对较低，这是板材下料中需要重点解决的问题。 对于没有纹理的加工板，常用于隐蔽的零部件。由于大多二次加工板表面有光滑的保丽纸或者华丽纸，其在厚度方面上是不能用来压板的，一般情况下，用作骨架的中纤板允许存在一定偏差，饰面
B题钢管下料问题 摘要 应客户要求，某钢厂用两类同规格但不同长度的钢管切割出四种不同长度的成品钢管。故该原料下料问题为典型的优化模型。钢厂在切割钢管时，又要求每种钢管的切割模式都不能超过5种，故我们先分别列出两种原料钢管出现频率较高的切割模式，每一问都需要针对不同钢管节约要求分别求出5种切割模式的最佳组合。 第一问要求余料最少，在切割模式的选择方面，我们尽量要求余料为零，并在此基础上要求切割得成品钢管除满足客户要求外，多余客户要求的钢管数也要尽可能的少，运用Lingo软件求出余料最少时，需要65根A类钢管采用4种切割模式切割，需要40根B类钢管采用2种切割模式切割，总余料为20米。 第二问要求总根数最少，故我们只要求总根数最少，在这里我们分了两种情况：有余料时，需A类钢管65根，采用5种切割模式，需B类钢管38根，采用4种切割模式，余料各为2米；无余料时，需A类钢管75根，采用3种切割模式，需B类钢管39根，采用4种切割模式。 第三问我们运用Lingo软件求出较优解为当m=0.4时最大收益h=a-159，具体切割模式见模型求解部分。为了找到替代比例与最大收益的关系，我们分别给m赋值为0、10%、20%、30%、40%时，用Lingo解得各自的最大收益，并用四次拟合的方法大致算出了最大收益z和替代比例m的关系，为432 3 1 3 8 1 5 . 7 m = +-+-- m m h a m 6 6 . 1 1 3 8 2 4 3 1 . 7 9 . 7 2 （a为总售出额）。 第四问就是将钢厂下料问题一般化，将本文中模型进行推广，得出了可普遍应用的一般化模型。 关键词：优化模型、整数规划模型、线性规划模型、非线性规划模型、Lingo、四次拟合
下料问题的优化设计 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
题1、[下料问题的优化设计]某车间有一大批长130cm的棒料，根据加工零件的要求，需要从这批棒料中成套截取70cm长的毛坯不少于100根，32cm 长的毛坯不少于100根，35cm长的毛坯不大于100根。要求合理设计下料方案，使剩下的边角料总长最短。 根据题目意义，运用优化设计理论和方法，完成设计全过程;工程问题分析：数学模型建立及特征分析：优化方法选择；优化程序设计（解析优化）；计算结果分析；结论及体会。 基于MATLAB一维优化下料问题分析 0 前言 生产中常会通过切割、剪裁、冲压等手段，将原材料加工成所需大小零件，这种工艺过程，称为原料下料问题。在生产实践中，毛坯下料是中小企业的一个重要工序。怎样减少剩余料头损失是节约钢材、降低产品成本、提高企业经济效益的一个重要途径。在毛坯下料中我们常会遇到毛坯种类多、数量大的情况，如不进行周密计算则因料头而造成的钢材损失是相当可观的。为使料头造成的钢材损失减少到最小程度，我们可依据预定的目标和限制条件统筹安排，以最少的材料完成生产任务。
1 一维优化下料问题的具体模型分析 设原材料长度为L,数量充足。需要切割成n(n≥0)种不同规格的零件,根据既省材料容易操作的原则，人们已经设计好了n种不同的下料方式，设第j种下料方式中可下得第i种零件ij a个,又已知第i种零件得需要量为i b个, j x表示第 B种下料方式所消耗得零件数目, j c表示第j B种下料方式所得余料(j=1, j 2 , , n, j x∈ Z)。满足条件的切割方案有很多种,现在要求既满足需要又使所用原材料数量最少,即最优下料方案满足:μｐ=min (∑j c j x)约束条 件:∑ij a j x=i b,j x∈Z。 线性规划数学模型 根据线性规划算法，约束条件包括两部分：一是等式约束条件，二是变量的非负性。出变量的非负要求外，还有其他不等式约束条件，可通过引入松弛变量将不等式约束化成等式约束形式。如果是求最大值的,则松弛模型最优解对应的目标函数值必大于或等于整数规划最优解对应的目标函数值；如果问题是求最小值，则松弛模型最优解对应的目标函数值必于或等于整数规划最优解对应的目标函数值。因此对于最优下料方案模型为： 由式(1)的线性规划(LP)引入松弛变量 如果得到的最优解是整数,则求解结束。该最优解也是式(1)的最优解。否则,得到的最优解只是式(1)的最优解的一个下界。这样可以把式(1)划分为两个子问题。 再对式(3)和式(4)继续上述过程。若在某一时刻得到了一个全整数解xm,则xm 为式(1)的一个上界。此时 ,若打算从子问题k开始分支,而这一问题的下界为
关于一维下料问题的研究 摘要：“下料问题”是把相同形状的一些原材料分割加工成若干个不同规格大小的零件的问题．此类问题在工程技术和工业生产中有着重要和广泛的应用．在生产实践中通常要求解决用料最省、浪费最少等问题．下料问题即是其一。属最优化研究范畴．一维下料问题是生产实践中常见的问题，优化下料要求最大限度地节约原材料，提高原材料的利用率。本文介绍了两种方法，其一提出分支定界算法优化一维下料问题，并用MATLAB编写程序，通过计算机来完成这一复杂的过程。另一种方法-lingo，针对单一原材料的一维下料问题, 建立了整数规划模型, 然后将模型转化为求解最优下料方式问题; 利用lingo进行编程, 实现循环调用得到一维下料问题的局部最优解。实际上本文就是给出了解决适当规模下料问题的求解方法．该方法既可手工演算又可通过计算机求解。在实践中可以借鉴使用．Abstract： The “℃utting Stock Problem”is a problem of dividing raw materials in the same shape into several parts in different shapes． This kind of problem has important and wide appliance in engineering and industry production．Being living to give birth to in the practice requires use to anticipate to save most usually and Squanders at least and so on ，First of all Immediate future the cutting stock problem is ，The category optimization is researched the category 。For one thing, One—dimensional cutting stock problems can be encountered at the production stage of many areas，the optimization of cutting requests to save raw material at most and improve the use of raw materia1．A branch and bound algorithm for solving one—dimensional cutting stock problems can be completed by computer．For another,Aimed at raw material for a single one-dimensional cutting stock problem, This paper established integer programming model and then transformed into themodel under optimal feeding method for solving the problem;the use of lingo programming to achieve loop calls are one- dimensional cutting stock problem of the locally most optimal solution.Actually, Resolution means that the original is give out ，the proper scale issue may be resolved ，As yet the handwork performs mathematical calculations，But may solve a problem by means of the calculating machine ，Being living in the practice may draw lessons from the use． 关键词：一维下料问题分支定界算法 ILp函数最优化 one—dimensional cutting stock problems branch-and—bound algorithm ILp function Optimization 问题的提出 研究背景 下料问题”是把相同形状的原材料分割加工成若干不同规格大小的零件的问题，根据原材料长度是否相等，一维优化下料可以分为单一型材的优化下料和多型材的优化下料其中