第11章一元线性回归
11.1 变量间关系的度量
11.1.1 变量间的关系
函数关系:确定关系
相关关系: 一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定
大量数据:确实存在一定的客观规律
----------------------------------分析方法:相关与回归11.1.2 相关关系的描述与测度
1 散点图
完全线性正相关完全线性负相关
线性正相关 线性负相关
非线性相关 不相关 2 相关系数
(1)皮尔逊相关系数的公式
-x x y y r -=
()-0x x >()-0x x >()-0x x <()-0x x <()0y y ->()0
y y ->()0
y y -<()0
y y -<
常用的变形公式
xy nxy r -=
(2)例：一家大型商业银行在多个地区设有分行，其主要业务主要是进行基础设施建设、国家重点项目建设、固定资产投资等项目的贷款。近年来，该银行的贷款额平稳增长，但不良贷款也有较大比例的提高，这给银行业务的发展带来较大压力。为弄清楚不良贷款形成的原因，管理者希望利用银行业务的有关数据进行定量分析，以便找出控制不良贷款的方法。下表为该银行所属的25家分行2002年的有关业务数据。
分行
编号 不良 贷款 各项贷 款余额 本年累计 应收贷款 贷款项 目个数 本年固定资 产投资额 1 0.9 67.3 6.8 5 51.9 2 1.1 111.3 19.8 16 90.9 3 4.8 173 7.7 17 73.7 4 3.2 80.8 7.2 10 14.5 5 7.8 199.7 16.5 19 63.2 6 2.7 16.2 2.2 1 2.2 7 1.6 107.4 10.7 17 20.2 8 12.5 185.4 27.1 18 43.8 9 1 96.1 1.7 10 55.9 10 2.6 72.8 9.1 14 64.3 11 0.3 64.2 2.1 11 42.7 12 4 132.2 11.2 23 76.7 13 0.8 58.6 6 14 22.8 14 3.5 174.6 12.7 26 117.1 15 10.2 263.5 15.6 34 146.7 16 3 79.3 8.9 15 29.9 17 0.2 14.8 0.6 2 42.1 18 0.4 73.5 5.9 11 25.3 19 1 24.7 5 4 13.4 20 6.8 139.4 7.2 28 64.3 21 11.6 368.2 16.8 32 163.9 22 1.6 95.7 3.8 10 44.5 23 1.2 109.6 10.3 14 67.9 24
7.2
196.2
15.8
16
39.7
散点图
计算相关系数的过程
不良贷款y 各项贷款余额x y2 x2 xy
0.9 67.3 0.81 4529.29 60.57
1.1 111.3 1.21 12387.69 12
2.43
4.8 173 23.04 29929 830.4
3.2 80.8 10.24 6528.64 258.56
7.8 199.7 60.84 39880.09 1557.66
2.7 16.2 7.29 262.44 4
3.74
1.6 107.4
2.56 11534.76 171.84
12.5 185.4 156.25 34373.16 2317.5
1 96.1 1 9235.21 96.1
2.6 72.8 6.76 5299.84 189.28
0.3 64.2 0.09 4121.64 19.26
4 132.2 16 17476.84 528.8
0.8 58.6 0.64 3433.96 46.88
3.5 17
4.6 12.25 3048
5.16 611.1 10.2 263.5 104.04 69432.25 2687.7 3 79.3 9 6288.49 237.9 0.2 14.8 0.04 219.04 2.96 0.4 73.5 0.16 5402.25 29.4 1 24.7 1 610.09 24.7
6.8 139.4 46.24 19432.36 94
7.92 11.6 36
8.2 134.56 135571.2 4271.12 1.6 95.7 2.56 9158.49 153.12 1.2 10
9.6 1.44 12012.16 131.52 7.2 196.2 51.84 38494.44 1412.64 3.2
102.2
10.24 10444.84 327.04 合计
660.1
516543.4
17080.14
222
2120.268, 3.728,
361609.7956,347.4496,11208.9776
516543.37,660.1,17080.14
0.8436
x y nx ny nxy x
y xy xy nxy r ========-==
=∑∑∑
11.1.3相关系数的性质
1 r 的取值范围：11r -≤≤
-x x y y r -=
将01i i y x ββ=+ 01y x ββ=+代入上式
()()
21
2
1
11-----1
010
x x y y r x x x x x x x x x x x x βββββββββ-=
+-+=
-==>=-<∑∑
1r = 完全正相关 y 的取值完全依赖于x 01r <≤ 线性正相关 0r = 不相关 10r -≤< 线性负相关
1r =- 完全负相关 y 的取值完全依赖于x 经验：0.8r ≥ 高度相关 0.50.8r ≤< 中度相关 0.30.5r ≤< 低度相关 0.3r < 极弱 2 r 具有对称性 x y y x
r r = 3 r 的大小与x 、y 的的原点及尺度无关
4 r 仅仅是x 与y 之间线性关系的度量，不能用于描述非线性关系。
5 r 仅仅是x 与y 之间线性关系的度量，不一定意味着x 与y 之间存在因果关系。
11.1.4 相关系数的显著性检验（总体相关系数ρ）
1 r 的抽样分布
影响r 的抽样分布的因素： 总体相关系数ρ 样本容量n 的大小
正态总体 ρ为较大的正值 r 左偏 ρ为较大的负值 r 右偏
n 很大ρ很小→0 r 的抽样分布→正态分布 提示：对r 的抽样分布的正态假设有很大的风险 2 r 的显著性检验
01:0:0
H H ρρ=≠
检验统计量：t =(2)t n - 拒绝域：/2t t α>
例：检验不良贷款与贷款余额之间的相关系数是否显著()0.05α= 解：
01:0:0
H H ρρ=≠
0.84367.5344t r
=== 查表得：/20.025(2)(23) 2.0687t n t α-==
因为7.5344>2.0687，所以拒绝原假设，即认为不良贷款与贷款余额之间存在显著的线性相关关系。
11.2 一元线性回归
回归主要解决以下几个问题：
（1）从一组样本数据出发，确定出变量之间的数学关系式 （2）对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响是显著的，哪些是不显著的。
（3）利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来估计或预测另一个特定变量的取值，并给出这种估计或预测的可靠程度。
11.2.1 一元线性回归模型
1 回归模型
因变量（dependent variable ）：在回归分析中，被预测或被解释的变量，用y 表示
自变量（independent variable ）：用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量，用x 表示。
在回归中，假定自变量x 是可控制的，而因变量y 是随机的。
描述因变量y 是如何依赖于自变量x 与误差项ε的方程称为回归模型（regression model ）
一元线性回归模型：01y x ββε=++
01x ββ+：反映由于x 的变化引起的y 的线性变化
ε：
反映出了x 和y 之间的线性关系外的随机因素对y 的影响，是不能
由x 和y 之间的线性关系解释的变异性。 2 假设：
（1）因变量y 与自变量x 之间具有线性关系
（2）在重复抽样中，自变量x 的取值是固定的，即假设x 是非随机的。 在上述两个假定下：
对于任何一个给定的x 的值，y 的取值都对应着一个分布；
01()E y x ββ=+代表一条直线，单个的数据是从y 的分布中抽取出来的，可能不在这条直线上；
需要一个误差项ε来描述数据的这种偏离 （3）ε~2(0,)N σ，且相互独立
ε期望为0，所以01()E y x ββ=+
ε
的方差2σ是相同的， y 的方差也是2σ，即y ~201(,)N x ββσ+
独立：
x
对于一个特定x 的值，它所对应的ε与其他x 所对应的ε是不相关的 对于一个特定x 的值，它所对应的y 与其他x 所对应的y 是不相关的 即()E y 的值随x 的不同而变化，但无论x 如何变化，ε和y 的概率分布都是正态分布且具有相同的方差。 3
回归方程：01()E y x ββ=+
估计的回归方程：0??y β=1
?x β+ 1
?β表示x 每变动一个单位，y 的平均变动值 11.2.2 参数的最小二乘法
求使得2?()(i i i Q y y y =-=-∑∑0?β-21?)x β最小的0?,β1
?β的值 根据微积分的极值定理
((00
11?10
?11
22n
i i n i i i Q
y Q
x y ββββββ====??=--??????=--???∑∑0
0??β
β))
2
12
1?0
?0
i i
x x ββ-=-=
解得：
1
2
2
?xy nxy
x
nx
β-=-∑∑
0?β1
?y x β=-
例：求不良贷款对贷款余额的估计方程
122
17080.1411208.9776?0.0378********.37361609.7956xy nxy x nx β--===--∑∑
0?β1
? 3.7280.037895120.2680.8295y x β=-=-?=- 即不良贷款对贷款余额的估计方程为?0.82950.037895y
x =-+ 1
?0.037895β=表明贷款余额每增加1亿元，不良贷款平均增加0.037895亿元。
对0
?β通常不做实际意义上的解释。
11.2.3 回归直线的拟合优度
拟合优度：回归直线与各观测点的接近程度
1 判定系数
变差：y 的取值的波动y y -
变差的原因：自变量x 的不同取值造成的?y
y - 除x 外的其他因素造成的?y y
- 对总变差的度量：总的离差平方和——总平方和：2()i SST y y =-∑ 对总平方和的分解：
2?()i SSR y
y =-∑。?()i y y -可以看做是自变量x 的变化引起的y 的变化，2
?()i
y y -∑则反映了y 的总变差中由x 与y 之间的线性关系引起的y 的x
y
变化部分，即是可以由回归直线解释的y 的变差部分。
2?()i i SSE y y
=-∑，是剔除了x 对y 的影响外，其他因素对y 的变差作用
SST SSR SSE =+
2SSR R SST
=
[]20,1R ∈
越接近于1，回归直线对数据的拟合越好。
例：计算不良贷款对贷款余额回归方程的判定系数，并解释其意义 解：
2222()660.125 3.728312.6504i SST y y y ny =-=-=-?=∑∑
(
2
0??()i SSR y
y β=-=+∑∑1?i
x β(
0?β-))2
1?x β+
()21?i x x β=-=∑()221?i x x β-=∑()221?i
x nx β-∑ ()20.0378********.3725120.268222.4860=?-?=
2222.48600.711671.16%312.6504
SSR R SST =
=== 即，在不良贷款取值的变差中，有71.16%可以由不良贷款与贷款余额之间的线性关系解释。或者说，在不良贷款取值的变差中，有71.16%是由不良贷款与贷款余额决定的。
()()()()(
)
221222
2
2222
22
22
2
2
2
?=
==
==i
i i
x nx SSR R SST y ny xy nxy x nx x nx y ny xy nxy x nx y ny xy nxy r β-=-??
-- ? ?-??----??
-∑∑∑∑∑∑∑∑∑
可见，一元线性回归中，判定系数是相关系数的平方。 2 估计标准误差
是对误差项ε的标准差σ的估计。
度量各实际观测点在回归直线周围的散布状况
反映了用估计的回归方程预测因变量y 时预测误差的大小。
e s ===
可以证明，e s 是σ的无偏估计。
例：计算不良贷款对贷款余额回归方程的估计标准误差，并解释其意义 解：
312.6504222.486090.1644SSE SST SSR =-=-=
代入公式得：
1.9799e s ==
==（亿元） 即，根据贷款余额对不良贷款进行估计时，平均的估计误差为1.9799亿元。
11.2.4 显著性检验
1 线性关系的检验
01:0H β= 两个变量之间的线性关系不显著
11:0H β≠ 两个变量之间的线性关系显著
定理 0?(,β1?)β与SSE 相互独立，且2
SSE σ
~2(2)n χ- 当10β=成立时，
2
SSR
σ
~2(1)χ
（SSR 的自由度为自变量x 的个数k SSE 的自由度为n-k -1）
/2
SSR
F SSE n =
-~(1,2)F n -
检验统计量：/2SSR
F SSE n =-~(1,2)F n -
决策：F F α>时，拒绝原假设，认为变量之间的线性关系显著。
例：检验不良贷款与贷款余额之间线性关系的显著性。()0.05α= 解：01:0H β= 不良贷款与贷款余额之间的线性关系不显著
11:0H β≠ 不良贷款与贷款余额之间的线性关系显著
222.4860
56.7539/290.1644/23
SSR F SSE n =
==-
查表得：0.05(1,2)(1,23) 4.28F n F α-==
因为56.7539>4.28，所以拒绝原假设，即认为不良贷款与贷款余额之间的线性关系显著。
2 回归系数的检验
可以证明，1?β服从正态分布，11?()E ββ= 可见，1
?β是1β的无偏估计
1
?βσ=
σ未知，用σ的估计量e s
代替，得1
?s β=
=
正态总体方差未知的对均值的检验
(1)x x Z t t n ??==- ???
1
11?
?t s βββ-= ~(2)t n -
01:0H β= 11:0H β≠
检验统计量简化为1
1?
?t s ββ=
进一步整理：
1
2
2
?xy nxy
x
nx
β-=-∑∑
1
?s β=
=
1
1?
?t s ββ
=
?=
2?()i y y MSR SSR F MSE MSE MSE -===∑221
?()i
x x MSE
β-=∑ 21
2
?/()i MSE x x β=
-∑221
22
?/i t MSE x nx β=
=-∑
一元线性回归中，F 检验与t 检验是等价的。
11.3 利用回归方程进行估计和预测 11.3.1 点估计
（1）平均值的点估计
对于x 的一个特定值0x ，求出y 的平均值的一个估计值0()E y 例：请估计贷款余额为100亿元时，所有分行不良贷款的平均值为多少？
解：已知不良贷款与贷款余额的估计方程为：?0.82950.037895y
x =-+ 所以
000?()0.82950.0378950.82950.037895100 2.96E y y
x ==-+=-+?=（亿元） （2）个别值的点估计
对于x 的一个特定值0x ，求出y 的一个个别值的估计值0?y
例：请估计贷款余额为72.8亿元的那个分行的不良贷款为多少？ 解：已知已知不良贷款与贷款余额的估计方程为：
?0.82950.037895y
x =-+ 所以
?0.82950.03789572.8 1.93y
=-+?=（亿元） 注:在点估计情况下，对于同一个0x ，平均值的点估计与个别值的点估计在数值上是一样的。
11.3.2 区间估计
1 y 的平均值的置信区间估计
对于x 的一个特定值0x ，求出y 的平均值的区间估计。
当0x x =，00??y β=10
?x β+ 0?y 的标准差的估计量0?y s 为：
0?y s s =所以，对于给定的0x ，0()E y 的1α-的置信水平下的置信区间为
0/2?y
t s α±例：请求解0100x =时，不良贷款95%的置信区间。 解：根据前面的计算结果：25, 1.9799e n s ==
000?()0.82950.0378950.82950.037895100 2.96E y y
x ==-+=-+?= 查表得：()()/20.0252252 2.0687t n t α-=-= 所以，0()E y 的置信区间为：
0/2?2.96 2.0687 1.9799 1.960.8459e y
t s α±=±?=±
即02.1141() 3.8059E y ≤≤，说明当贷款余额为100亿元时，不良贷款的平均值在2.1141~3.8059亿元之间。 当0x x =时，
0?y e
s s s ==
达到最小，此时的估计最准确；0x 偏离x 越远，y 的平均值的置信区间越宽，估计的效果越不好。 2 y 的个别值的预测区间估计
对于x 的一个特定值0x ，求出y 的一个个别值0y 的区间估计。
y 的一个个别值0y 的标准差的估计量ind s
ind
s s =
对于x 的一个特定值0x ，求出y 的一个个别值0y 的1α-的置信水平下的预测区间为
0/2?e y
t s α±
注：对于同一个0x ，预测区间要比置信区间宽一些。
例：请建立贷款余额为72.8亿元的那个分行不良贷款的95%的预测区间。 解：
根据前面的计算结果：25, 1.9799e n s ==
?0.82950.03789572.8 1.93y
=-+?= 查表得：()()/20.0252252 2.0687t n t α-=-=
不良贷款的95%的预测区间为：
0/2?1.93 2.0687 1.97991.93 4.2066
e y t s α±=±?=±
即0?2.2766 6.1366y
-≤≤，说明当贷款余额为72.8亿元的那个分行，其不良贷款的预测区间在-2.2766~6.1366亿元之间。
预测上限置信上限
预测下限
置信下限
注：在利用回归方程进行估计与预测时，一般不要用样本数据之外的
x 值去预测相对应的y 值。否则，得到的估计值与预测值的误差会非
常大。
x
y
x
p
x
第十一章一元线性回归 11.1从某一行业中随机抽取12家企业，所得产量与生产费用的数据如下： 要求： （1）绘制产量与生产费用的散点图，判断二者之间的关系形态。 （2）计算产量与生产费用之间的线性相关系数。 （3）对相关系数的显著性进行检验（α = 0.05），并说明二者之间的关系强度。 解：(1)利用Excel的散点图绘制功能，绘制的散点图如下： 从散点图的形态可知，产量与生产费用之间存在正的线性相关。 （2）利用Excel的数据分析中的相关系数功能，得到产量与生产费用的线性相关系数r = 0.920232。 （3）计算t统计量，得到t = 7.435453，在α = 0.05的显著性水平下，临界值为2.6337，统计量远大于临界值，拒绝原假设，产量与生产费用之间存在显著
的正线性相关关系。r大于0.8，高度相关。 11.2 学生在期末考试之前用于复习的时间（单位：h）和考试分数（单位：分）之间是否有关系？为研究这一问题，以为研究者抽取了由8名学生构成的一个随机样本，得到的数据如下： 要求： （1）绘制复习时间和考试分数的散点图，判断二者之间的关系形态。 （2）计算相关系数，说明两个变量之间的关系强度。 解：(1)利用Excel的散点图绘制功能，绘制的散点图如下： 从散点图的形态来看，考试分数与复习时间之间似乎存在正的线性相关关系。 （2）r = 0.862109，大于0.8，高度相关。 11.3根据一组数据建立的线性回归方程为?100.5 =-。 y x
要求： ?β的意义。 （1）解释截距 ?β意义。 （2）解释斜率 1 （3）计算当x = 6时的E(y)。 解：（1）在回归模型中，一般不能对截距项赋予意义。 ?β的意义为：当x增加1时，y减小0.5。 （2）斜率 1 （3）当x = 6时，E(y) = 10 – 0.5 * 6 = 7。 11.4 设SSR = 36，SSE = 4，n = 18。 要求： （1）计算判定系数R2并解释其意义。 （2）计算估计标准误差s e并解释其意义。 解：SST = SSR+SSE = 36+4 = 40， R2 = SSR / SST = 36 /40 = 0.9，意义为自变量可解释因变量变异的90%，自因变量与自变量之间存在很高的线性相关关系。 s== 0.5，这是随机项的标准误差的估计值。 （2） e 11.5一家物流公司的管理人员想研究货物的运送距离和运送时间的关系，因此，他抽出了公司最近10辆卡车运货记录的随机样本，得到运送距离（单位：km）和运送时间（单位：天）的数据如下：
统计学论文(回归分析)
◆统计小论文11财一金一凡 11060513 指数回归分析 ●摘要：指数，根据某些采样股票或债券的价格所设计并计算出来的统计数 据，用来衡量股票市场或债券市场的价格波动情形。 ●经济学概念：从指数的定义上看，广义地讲，任何两个数值对 指数函数图像 比形成的相对数都可以称为指数；狭义地讲，指数是用于测定多个项目在不同场合下综合变动的一种特殊相对数。 指数的应用和理论不断发展，逐步扩展到工业生产、进出口贸易、铁路运输、工资、成本、生活费用、股票证券等各个方面。其中，有些指数，如零售商品价格指数、生活消费价格指数，同人们的日常生活休戚相关；有些指数，如生产资料价格指数、股票价格指数等，则直接影响人们的投资活动，成为社会经济的晴雨表。至今，指数不仅是分析社会经济的景气预测的
重要工具，而且被应用于经济效益、生活质量、综合国力和社会发展水平的综合评价研究。 引言：在这个市场经济发达的年代，企业的发展尤为突出，针对年度销售额进行的指数回归分析，能够有效的对企业进行监管和提高发展水平。通过对标准误差、残差、观测值等的回归分析，减少决策失误，使企业更好的发展。销售额是企业的命脉，也是企业在经营过程中的最重要的参考指标，针对年度销售额的指数回归分析，切实保障了企业在当今竞争中的地位与经济形势。 一、一元线性回归模型的基本理论 首先是对线性回归模型基本指数介绍：随机变量y与一般变量x的理一元线性回归模型表示如下： yt = b0 + b1 xt +ut（1）上式表示变量yt 和xt之间的真实关系。其中yt 称作被解释变量（或相依变量、因变量），xt称作解释变量（或独立变量、自变量），ut称作随机误差项，b0称作常数项（截距项），b1称作回归系数。 在模型 (1) 中，xt是影响yt变化的重要解释变量。b0和b1也称作回归参数。这两个量通常是未知的，需要估计。t表示序数。当t表示时间序数时，xt和yt称为时间序列数据。当t表示非时间序数时，xt和yt称为截面数据。ut则包括了除xt以外的影响yt变化的众多微小因素。ut的变化是不可控的。上述模型可以分为两部分。（1）b0 +b1 xt是非随机部分；（2）ut是随机部分。 二、回归模型初步建立与检验
第十一章一元线性回归练习题答案 二．填空题 1. 不能；因为该相关系数为样本计算出的相关系数，它的大小受样本数据波动的影响，它是否显著尚需 检验；t 检验; 2. 图1；不能；因为图1反映的是线性相关关系，图2反映的是非线性性相关关系，相关系数只能反映 线性相关变量间的相关性的强弱，不能反映非线性相关性的强弱。 三．计算题 1.（1） SSR 的自由度是1，SSE 的自由度是18。 （2）2418 /6080220/1/==-= SSE SSR F (3)判定系数%14.57140 802 === SST SSR R 在y 的总变差中，由57.14％的变差是由于x 的变动说引起的。 (4)7559.05714.02-=-=-=R r 相关系数为-0.7559。 (5)线性关系显著和：线性关系不显著 和y x y x H 10H : 因为414.424=>=αF F ，所以拒绝原假设，x 与y 之间的线性关系显著。 2.（1） 方差分析表 df SS MS F Significance F 回归分析 1 425 425 85 0.017 残差 15 75 5 － － 总计 16 500 － － － （2）判定系数%8585.0500 425 2 ==== SST SSR R 表明在维护费用的变差中，有85％的变差可由使用年限来解释。 （3）9220.085.02===R r 二者相关系数为0.9220，属于高度相关 （4） x y 248.1388.6?+= 分布；显著。 的自由度为t n r n r t 2);12 ||2 ---=
回归系数为1.248，表示每增加一个单位的产量，该行业的生产费用将平均增长1.248个单位。 （5）线性关系显著性检验： 线性关系显著 ：生产费用和产量之间性关系不显著生产费用和产量之间线10:H H 因为Significance F=0.017<05.0＝α,所以线性关系显著。 （6） 348.3120248.1388.6248.1388.6?＝＝?++=x y 当产量为10时，生产费用为31.348万元。
《统计学》练习题（3） 第9章 1．下面的陈述错误的是（D）。 A．相关系数是度量两个变量之间线性关系强度的统计量 B．相关系数是一个随机变量 C．相关系数的绝对值不会大于1 D．相关系数不会取负值 2．根据你的判断，下面的相关系数取值错误的是（C）。 A．-0.86 B．0.78 C．1.25 D．0 3．下面关于相关系数的陈述中错误的是（A）。 A．数值越大说明两个变量之间的关系就越强 B．仅仅是两个变量之间线性关系的一个度量，不能用于描述非线性关系 C．只是两个变量之间线性关系的一个度量，不一定意味着两个变量之间存在因果关系D．绝对值不会大于1 4．如果相关系数r=0，则表明两个变量之间（C）。 A．相关程度很低B．不存在任何关系 C．不存在线性相关关系D．存在非线性相关关系 5．在回归模型y＝β0＋β1x＋ε中，ε反映的是（C）。 A．由于x的变化引起的y的线性变化部分 B．由于y的变化引起的x的线性变化部分 C．除x和y的线性关系之外的随机因素对y的影响 D．由于x和y的线性关系对y的影响 6．在回归分析中，F检验主要是用来检验（C）。 A．相关系数的显著性B．回归系数的显著性 C．线性关系的显著性D．估计标准误差的显著性 7．说明回归方程拟合优度的统计量主要是（C）。 A．相关系数B．回归系数 C．判定系数D．估计标准误差 8．回归平方和占总平方和的比例称为（C）。 A．相关系数B．回归系数 C．判定系数D．估计标准误差 9．下面关于判定系数的陈述中不正确的是（B）。 A．回归平方和占总平方和的比例B．取值范围是［-1，1］ C．取值范围是［0，1］D．评价回归方程拟合优度的一个统计量10．下面关于估计标准误差的陈述中不正确的是（D）。
问题：已知多元线性回归模型的经验方程为21111.3602.7103.8?x x y +-= ，且15=n ，923.02=R ，则修正可绝系数为( ). 选项一：0.852 选项二：0.910 选项三：0.886 选项四：0.923 选项五： 正确答案：2 第2-1029题 问题：在多元线性回归模型中，n 为观测值的个数，p 为自变量的个数；则回归平方和的自由度为( ). 选项一：p -1 选项二：n-1 选项三：n-p-1 选项四：p 正确答案：4 第3-1030题 问题：下列关于Pearson 相关系数的说法，正确的是( ). 选项一：Pearson 相关系数r 就是总体相关系数 选项二：Pearson 相关系数是根据样本观察值计算的，随着取样的不同，相关系数的值也会有所变化 选项三：Pearson 相关系数r 无法根据样本进行计算 选项四：Pearson 相关系数r 不是随机变量 选项五： 正确答案：2 第4-1031题
问题：在一元线性回归模型中，残差平方和的自由度为( )；其中n为观测值的个数. 选项一：n-2 选项二：n-1 选项三：n 选项四：1 选项五： 正确答案：1 第5-1032题 问题：若一元线性回归模型的可决系数为0.81，则自变量和因变量之间的相关系数可能为( ). 选项一：0.81 选项二：-0.9 选项三：0.96 选项四：0.41 选项五： 正确答案：2 问题：在用EXCEL进行一元线性回归分析时，输出的结果中，回归统计部分，Multiple R的数值是( ). 选项一：Pearson相关系数 选项二：Pearson相关系数的绝对值 选项三：可决系数 选项四：总体相关系数 选项五： 正确答案：2 第7-1034题 问题：在一元线性回归模型中，已知观测值的个数是50，回归平方和为29860，
第11章一元线性回归 1.具有相关关系的两个变量的特点是（） A．一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定 B．一个变量的取值由另一个变量唯一确定 C．一个变量的取值增大时，另一个变量的取值也一定增大 D．一个变量的取值增大时，另一个变量的取值肯定变小 2.下面的各问题中，哪个不是相关分析要解决的问题（） A．判断变量之间是否存在关系 B．判断一个变量数值的变化对另一个变量的影响 C．描述变量之间的关系强度 D．判断样本所反映的变量之间的关系能否代表总体变量之间的关系 3.下面的假定中，哪个属于相关分析中的假定（）
A．两个变量之间是非线性关系 B．两个变量都是随机变量 C．自变量是随机变量，因变量不是随机变量 D．一个变量的数值增大，另一个变量的数值也应增大 4.如果变量之间的关系近似地表现为一条直线，则称两个变量之间为（）A．正线性相关关系 B．负线性相关关系 C．线性相关关系 D．非线性相关关系 5.如果一个变量的取值完全依赖于另一个变量，各观测点落在一条直线上，称为两个变量之间为（） A．完全相关关系 B．正线性相关关系 C．非线性相关关系 D．负线性相关关系 6.下面的陈述哪一个是错误的（） A．相关系数是度量两个变量之间线性关系强度的统计量
B．相关系数是一个随机变量 C．相关系数的绝对值不会大于1 D．相关系数不会取负值 7.如果相关系数r=0，则表明两个变量之间（） A．相关程度很低 B．不存在任何关系 C．不存在线性相关关系 D．存在非线性相关关系 8.在回归分析中,被预测或被解释的变量称为（） A．自变量 B．因变量 C．随机变量 D．非随机变量 9.在回归分析中,描述因变量y如何依赖于自变量x和误差项的方程称为（）A．回归方程 B．估计的回归方程 C．回归模型 D．经验回归方程 中，ε反映的是10. 在一元回归模型ε β β+ + y =x 1
多元线性回归分析 在数量分析中，经常会看到变量与变量之间存在着一定的联系。要了解变量之间如何发生相互影响的，就需要利用相关分析和回归分析。回归分析的主要类型：一元线性回归分析、多元线性回归分析、非线性回归分析、曲线估计、时间序列的曲线估计、含虚拟自变量的回归分析以及逻辑回归分析等。 1.1 回归分析基本概念 相关分析和回归分析都是研究变量间关系的统计学课题。在应用中，两种分析方法经常相互结合和渗透，但它们研究的侧重点和应用面不同。 在回归分析中，变量y称为因变量，处于被解释的特殊地位；而在相关分析中，变量y与变量x处于平等的地位，研究变量y与变量x的密切程度和研究变量x与变量y的密切程度是一样的。 在回归分析中，因变量y是随机变量，自变量x可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量；而在相关分析中，变量x和变量y都是随机变量。 相关分析是测定变量之间的关系密切程度，所使用的工具是相关系数；而回归分析则是侧重于考察变量之间的数量变化规律，并通过一定的数学表达式来描述变量之间的关系，进而确定一个或者几个变量的变化对另一个特定变量的影响程度。 具体地说，回归分析主要解决以下几方面的问题。 （1）通过分析大量的样本数据，确定变量之间的数学关系式。
（2）对所确定的数学关系式的可信程度进行各种统计检验，并区分出对某一特定变量影响较为显著的变量和影响不显著的变量。 （3）利用所确定的数学关系式，根据一个或几个变量的值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确度。 作为处理变量之间关系的一种统计方法和技术，回归分析的基本思想和方法以及“回归（Regression）”名称的由来都要归功于英国统计学F·Galton（1822～1911）。 在实际中，根据变量的个数、变量的类型以及变量之间的相关关系，回归分析通常分为一元线性回归分析、多元线性回归分析、非线性回归分析、曲线估计、时间序列的曲线估计、含虚拟自变量的回归分析和逻辑回归分析等类型。 1.2 多元线性回归 1.2.1 多元线性回归的定义 一元线性回归分析是在排除其他影响因素或假定其他影响因素确定的条件下，分析某一个因素（自变量）是如何影响另一事物（因变量）的过程，所进行的分析是比较理想化的。其实，在现实社会生活中，任何一个事物（因变量）总是受到其他多种事物（多个自变量）的影响。 一元线性回归分析讨论的回归问题只涉及了一个自变量，但在实际问题中，影响因变量的因素往往有多个。例如，商品的需求除了受自身价格的影响外，还要受到消费者收入、其他商品的价格、消费者偏好等因素的影响；影响水果产量的外界因素有平均气温、平均日照
第九章多元统计分析简介 多元统计分析主要研究多个变量之间的关系以及具有这些变量的个体之间的关系。无论是自然科学还是社会科学，无论是理论研究还是应用决策，多元统计分析都有较广泛的应用。近年来，随着计算机的普及和广泛应用，多元统计分析的应用越来越广泛，越来越深入。生物学研究中，有许多问题要考虑样本与样本之间的关系、性状与性状之间的关系，也要考虑样本与性状之间的关系，为了能够正确处理这些错综复杂的关系，就需要借助于多元统计分析方法来解决这些问题。 从应用的观点看，多元统计分析就是要研究多个变量之间的关系，但哪些问题才是多元统计的内容，并无严格的界限。一般认为，典型的多元统计分析主要可以归结为两类问题：第一类是决定某一样本的归属问题：根据某样品的多个性状（特征）判定其所属的总体。如判别分析、聚类分析即属于此类内容。第二类问题是设法降低变量维数，同时将变量变为独立变量，以便更好地说明多变量之间的关系。主成分分析、因子分析和典型相关分析均属于此类问题。此外，多因素方差分析、多元回归与多元相关分析和时间序列分析，均是研究一个变量和多个变量之间的关系的，也是多元统计分析的内容。 第一节聚类分析(Cluster Analysis) 聚类分析是研究分类问题的一种多元统计方法，聚类分析方法比较粗糙，但由于这种方法能解决许多实际问题，应用比较方便，因此越来越受到人们的重视。近年来聚类分析发展较快，内容也越来越多。常见的有系统聚类、模糊聚类、灰色聚类、信息聚类、图论聚类、动态聚类、最优分割、概率聚类等方法，本节重点介绍系统聚类法。 系统聚类法是目前应用较多的聚类分析方法，这种聚类方法从一批样本的多个观测指标(变量)中，找出能度量样本之间相似程度的统计数，构成一个相似矩阵，在此基础上计算出样本(或变量)之间或样本组合之间的相似程度或距离，按相似程度或距离大小将样本(或变量)逐一归类，关系密切的归类聚集到一个小分类单位，关系疏远的聚集到一个大的分类单位，直到把所有样本(或变量)都聚集完毕，形成一个亲疏关系谱系图，直观地显示分类对象的差异和联系。 第二节判别分析(Discriminant Analysis) 判别分析是多元统计分析中较为成熟的一类分类方法，它是根据两个或多个总体的观测结果，按照一定的判别准则和相应的判别函数，来判断某一样本属于哪一类总体。判别分析的内容很多，常见的有距离判别、贝叶斯判别、费歇判别、逐步判别、序贯判别等方法。 第三节主成分分析（Principal components analysis）
第11章一元线性回归（相关与回归）学习指导 一、本章基本知识梳理 基本知识点 含义或公式 相关关系 客观现象之间确实存在的、但在数量表现上不是严格对应的依存关系。 函数关系 客观现象之间确实存在的、而且数量表现上是严格对应的依存关系。 因果关系 有相关关系的现象中能够明确其中一种现象(变量)是引起另一种现象(变量)变化的原因，另一种现象是这种现象变化的结果。起影响作用的现象(变量)称为“自变量”；而受自变量影响发生变动的现象(变量)称为“因变量”。 因果关系?相关关系，但相关关系中还包括互为因果关系的情况。 相关关系的种类 按涉及变量多少分为单相关、复相关；按相关方向分为正相关、负相关；按 相关形态分为线性相关、非线性相关等。 线性(直线) 相关系数 简称相关系数，反映具有直线相关关系的两个变量关系的密切程度。 () () ∑∑∑∑∑∑∑ - - -= = 2 2 2 2 y y n x x n y x xy n S S S r y x xy 相关系数的 显著性检验 ——t 检验 ()(). 2;,212:0 :,0:0 2 02 2 1 H n t t H n t t r n r t H H ，拒绝 不能拒绝 检验统计量-?-?--= ≠=α α ρρ 回归方程中的 参数β0和β1 为回归直线的截距、起始值，表示在没有自变量x 的影响(即x =0)时， 其他各种因素对因变量y 的平均影响； β1为回归系数、斜率，表示自变量x 每变动一个单位，因变量y 的平均变动 量。 β1的最小平方估计：∑∑∑∑∑ ?? ? ??--= 2 2 1 x x n y x xy n β 估计标准误差 反映因变量实际值与其估计值之间的平均差异程度，表明其估计值对实际值的代表性强弱。其值越大，实际值与估计值之间的平均差异程度越大，估计值的代表性越差。 ()代替。用大样本条件下，分母可 ；n n y y S e 2 ?2 --= ∑ 总离差平方和S S T 反映因变量的n 个观察值与其均值的总离差。 回归离差平方和S S R 反映自变量x 的变化对因变量y 取值变化的影响；或者说，是由于x 与y 之间的线性关系引起的y 取值的变化，也称为可解释的平方和。 残差平方和（剩余）S S E 反映除x 以外的其他因素对y 取值的影响，也称为不可解释的平方和或残差平方和。
第九章 相关与回归分析 1．从某一行业中随机抽取12家企业，所得产量与其单位成本数据如下： 企业编号 产量（台） 单位成本（台/元） 企业编号 产量（台） 单位成本（台/元） 1 40 185 7 84 156 2 42 175 8 100 142 3 50 172 9 116 140 4 5 5 170 10 125 135 5 65 169 11 130 130 6 78 164 12 140 124 （1）绘制产量与单位成本的散点图，判断二者之间的关系形态。 关系形态：线性负相关 （2）计算产量与单位成本之间的线性相关系数，并对相关系数的显著性进行检验（05.0=α），说明二者之间的关系强度。 设产量为x 台，单位成本y 台/元，由Excel 的回归分析工具计算得 线性相关系数R=0.987244 检验统计量t=19.608669 t α/2(n-2)= 2.228138852 t> t α/2(n-2)，说明相关系数是显著的。关系强度为高度线性相关。 （3）以产量为自变量，单位成本为因变量，拟合直线回归方程，并对方程和系数进行显著性检验。 由Excel 的回归分析工具计算得 y = -0.5524x + 202.35 R2 = 0.9747 检验统计量t=19.608669 t α/2(n-2)= 2.228138852 t> t α/2(n-2)，说明回归方程和相关系数是显著的。
2．下面是某年7个地区的人均GDP 和人均消费水平的统计数据： 地区 人均GDP （元）X 人均消费水平（元） Y 1 22460 7326 2 11226 4490 3 34547 11546 4 4851 2396 5 5444 2208 6 2662 1608 7 4549 2035 （1）画出相关图，并判断人均GDP 与人均消费水平之间对相关方向； 线性正相关 （2）计算相关系数，指出人均GDP 与人均消费水平之间的相关方向和相关程度； （3）以人均GDP 为自变量，人均消费水平作因变量，拟合直线回归方程； （4）计算估计标准误差 yx S ； （5）对回归系数进行检验(显著性水平取0.05)； （6）在95%的概率保证下，求当人均GDP 为5000元时，人均消费水平的置信区间。
第十一章一元线性回归练习题 一． 选择题 1．具有相关关系的两个变量的特点是（ ） A ．一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定 B ．一个变量的取值由另一个变量唯一确定 C ．一个变量的取值增大时另一个变量的取值也一定增大 D ．一个变量的取值增大时另一个变量的取值肯定变小 2．下面的各问题中，哪个不是相关分析要解决的问题 A ．判断变量之间是否存在关系 B ．判断一个变量数值的变化对另一个变量的影响 C ．描述变量之间的关系强度 D.判断样本所反映的变量之间的关系能否代表总体变量之间的关系 3.根据下面的散点图，可以判断两个变量之间存在（ ） A. 正线性相关关系 B. 负线性相关关系 C. 非线性关系 D. 函数关系 4.下面的陈述哪一个是错误的（ ） A.相关关系是度量两个变量之间线性关系强度的统计量 B ．相关系数是一个随机变量 C ．相关系数的绝对值不会大于1 D ．相关系数不会取负值 5.根据你的判断，下面的相关系数取值哪一个是错误的（ ） A. -0.86 B. 0.78 C. 1.25 D. 0 6.如果相关系数r=0,则表明两个变量之间（ ） A.相关程度很低 B. 不存在任何关系 C ．不存在线性相关关系 D.存在非线性关系 7. 下列不属于相关关系的现象是（ ） A. 银行的年利息率与贷款总额 B.居民收入与储蓄存款 C.电视机的产量与鸡蛋产量 D.某种商品的销售额与销售价格 8.设产品产量与产品单位成本之间的线性相关系数为-0.87，这说明二者之间存在着（ ） A. 高度相关 B.中度相关 C.低度相关 D.极弱相关 9.在回归分析中，被预测或被解释的变量称为（ ） A.自变量 B.因变量 C.随机变量 D.非随机变量 10. 对两变量的散点图拟合最好的回归线，必须满足一个基本的条件是（ ） A. 2?()y y ∑-最小 B. 2 )(y y ∑-最大 C. 2?()y y ∑-最大 D. 2 )(?y y ∑-最小 11. 下列哪个不属于一元回归中的基本假定（ ） A.误差项i ε服从正态分布 B. 误差项i ε的期望值为0
统计学基础第八章相关与回归分析 【教学目的】 1.掌握相关系数的测定和性质 2.明确相关分析与回归分析的特点 3.建立回归直线方程，掌握估计标准误差的计算 【教学重点】 1.相关关系、相关分析和回归分析的概念 2.相关系数计算 3.回归方程的建立和依此进行估计和预测 【教学难点】 1.相关分析和回归分析的区别 2.相关系数的计算 3.回归系数的计算 4.估计标准误的计算 【教学时数】 教学学时为8课时 【教学内容参考】 第一节相关关系 一、相关关系的含义 宇宙中任何现象都不是孤立地存在的，而是普遍联系和相互制约的。这种现象间的相互联系、相互制约的关系即为相关关系。 相关关系因其依存程度的不同而表现出相关程度的差别。有些现象间存在着严格的数据依存关系，比如，在价格不变的条件下销售额量之间的关系，圆的面积与半径之间的关系等等，均具有显著的一一对应关系。这些关系可由数学中的函数关系来确切的描述，因而也可以认为是一种
完全相关关系。有些现象间的依存关系则没有那么严格。当一种现象的数量发生变化时，另一种现象的数量却在一定的范围内发生变化，比如身高与体重的关系就是如此。一般来说，身高越高，体重越重，但二者之间的关系并非严格意义上的对应关系，身高1.75米的人，对应的体重会有多个数值，因为影响体重的因素不只身高而已，它还会受遗传、饮食习惯等因素的制约和影响。社会经济现象中大多存在这种非确定的相关关系。 在统计学中，这些在社会经济现象之间普遍存在的数量依存关系，都成为相关关系。在本章，我们主要介绍那些能用函数关系来描述的具有经济统计意义的相关关系。 二、相关关系的特点 1.现象之间确实存在数量上的依存关系 如果一个现象发生数量上的变化，则另一个现象也会发生数量上的变化。在相互依存的两个变量中，可以根据研究目的，把其中的一个变量确定为自变量，把另一个对应变量确定为因变量。例如，把身高作为自变量，则体重就是因变量。 2.现象之间数量上的关系是不确定的 相关关系的全称是统计相关关系，它属于变量之间的一种不完全确定的关系。这意味着一个变量虽然受另一个（或一组）变量的影响，却并不由这一个（或一组）变量完全确定。例如，前面提到的身高和体重之间的关系就是这样一种关系。 三、相关关系的种类 现象之间的相互关系很复杂，它们涉及的变动因素多少不同，作用方向不同，表现出来的形态也不同。相关关系大体有以下几种分类： (一)正相关与负相关 按相关关系的方向分，可分为正相关和负相关。当两个因素（或变量）的变动方向相同时，即自变量x值增加（或减少），因变量y值也相应地增加（或减少），这样的关系就是正相关。如
简要回答题： 1. 在多元线性回归分析中，F检验和t检验有何不同？ 答案： 在多元线性回归中，由于有多个自变量，F检验与t检验不是等价的。 F检验主要是检验因变量同多个自变量的整体线性关系是否显著，在k个自变量中，只要有一个自变量同因变量的线性关系显著，F检验就显著，但这不一定意味着每个自变量同因变量的关系都显著。检验则是对每个回归系数分别进行单独的检验，以判断每个自变量对因变量的影响是否显著。 知识点：多元线性回归 难易度：1 2. 在多元线性回归分析中，如果某个回归系数的t检验不显著，是否就意味着这个自变量与因变量之间的线性回归不显著？为什么？当出现这种情况时应如何处理？ 答案： （1）在多元线性回归分析中，当t检验表明某个回归系数不显著时，也不能断定这个自变量与因变量之间线性关系就不显著。因为当多个自变量之间彼此显著相关时，就可能造成某个或某些回归系数通不过检验，这种情况称为模型中存在多重共线性。 （2）当模型中存在多重共线性时，应对自变量有所选择。变量选择的方法主要有向前选择、向后剔除和逐步回归等。 知识点：多元线性回归 难易度：2 计算分析题： 1. 一家餐饮连锁店拥有多家分店。管理者认为，营业额的多少与各分店的营业面积和服务人员的多少有一定关系，并试图建立一个回归模型，通过营业面积和服务人员的多少来预测营业额。为此，收集到10家分店的营业额（万元）、营业面积（平方米）和服务人员数（人）的数据。经回归得到下面的有关结果（a=0.05）。 回归统计
0.91470.83660.789960.7063 方差分析 df SS MS F Significance F 回归2132093.19966046.60017.9220.002 残差725796.8013685.257 总计9157890.000 参数估计和检验 Coefficients标准误差t Stat P-value Intercept-115.288110.568-1.0430.332 X Variable 10.5780.503 1.1490.288 X Variable 23.9350.699 5.6280.001 （1）指出上述回归中的因变量和自变量。 （2）写出多元线性回归方程。 （3）分析回归方程的拟合优度。 （4）对回归模型的线性关系进行显著性检验。 答案： （1）自变量是营业面积和销售人员数，因变量是营业额。 （2）多元线性回归方程为：。 （3）判定系数，表明在营业额的总变差中，有83.66%可由营业额与营业面积和服务人员数之间的线性关系来解释，说明回归方程的拟合程度较高。估计标准误差，表示用营业面积和服务人员数来预测营业额时，平均的预测误差为60.7036万元。 （4）从方差分析表可以看出，，营业额与营业面积和服务人员数之间的线性模型是显著的。
统计学多元回归分析方法
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多元线性回归分析 在数量分析中，经常会看到变量与变量之间存在着一定的联系。要了解变量之间如何发生相互影响的，就需要利用相关分析和回归分析。回归分析的主要类型：一元线性回归分析、多元线性回归分析、非线性回归分析、曲线估计、时间序列的曲线估计、含虚拟自变量的回归分析以及逻辑回归分析等。 1.1 回归分析基本概念 相关分析和回归分析都是研究变量间关系的统计学课题。在应用中，两种分析方法经常相互结合和渗透，但它们研究的侧重点和应用面不同。 在回归分析中，变量y称为因变量，处于被解释的特殊地位；而在相关分析中，变量y与变量x处于平等的地位，研究变量y与变量x的密切程度和研究变量x与变量y的密切程度是一样的。 在回归分析中，因变量y是随机变量，自变量x可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量；而在相关分析中，变量x和变量y都是随机变量。 相关分析是测定变量之间的关系密切程度，所使用的工具是相关系数；而回归分析则是侧重于考察变量之间的数量变化规律，并通过一定的数学表达式来描述变量之间的关系，进而确定一个或者几个变量的变化对另一个特定变量的影响程度。 具体地说，回归分析主要解决以下几方面的问题。 （1）通过分析大量的样本数据，确定变量之间的数学关系式。
（2）对所确定的数学关系式的可信程度进行各种统计检验，并区分出对某一特定变量影响较为显著的变量和影响不显著的变量。 （3）利用所确定的数学关系式，根据一个或几个变量的值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确度。 作为处理变量之间关系的一种统计方法和技术，回归分析的基本思想和方法以及“回归（Regression）”名称的由来都要归功于英国统计学F·Galton（1822～1911）。 在实际中，根据变量的个数、变量的类型以及变量之间的相关关系，回归分析通常分为一元线性回归分析、多元线性回归分析、非线性回归分析、曲线估计、时间序列的曲线估计、含虚拟自变量的回归分析和逻辑回归分析等类型。 1.2 多元线性回归 1.2.1 多元线性回归的定义 一元线性回归分析是在排除其他影响因素或假定其他影响因素确定的条件下，分析某一个因素（自变量）是如何影响另一事物（因变量）的过程，所进行的分析是比较理想化的。其实，在现实社会生活中，任何一个事物（因变量）总是受到其他多种事物（多个自变量）的影响。 一元线性回归分析讨论的回归问题只涉及了一个自变量，但在实际问题中，影响因变量的因素往往有多个。例如，商品的需求除了受自身价格的影响外，还要受到消费者收入、其他商品的价格、消费者偏好等因素的影响；影响水果产量的外界因素有平均气温、平均日照
《统计学》案例——相关回归分析 案例一质量控制中的简单线性回归分析 1、问题的提出 某石油炼厂的催化装置通过高温及催化剂对原料的作用进行反应，生成各种产品，其中液化气用途广泛、易于储存运输，所以，提高液化气收率，降低不凝气体产量，成为提高经济效益的关键问题。 通过因果分析图和排列图的观察，发现回流温度是影响液化气收率的主要原因，因此，只有确定二者之间的相关关系，寻找适当的回流温度，才能达到提高液化气收率的目的。经认真分析仔细研究，确定了在保持原有轻油收率的前提下，液化气收率比去年同期增长1个百分点的目标，即达到12.24%的液化气收率。 2、数据的收集
目标值确定之后，我们收集了某年某季度的回流温度与液化气收率的30组数据（如上表），进行简单直线回归分析。 3.方法的确立 设线性回归模型为εββ++=x y 10，估计回归方程为x b b y 10?+= 将数据输入计算机，输出散点图可见，液化气收率y 具有随着回流温度x 的提高而降低的趋势。因此，建立描述y 与x 之间关系的模型时，首选直线型是
合理的。 从线性回归的计算结果，可以知道回归系数的最小二乘估计值 b 0=21.263和b 1=-0.229，于是最小二乘直线为 x y 229.0263.21?-= 这就表明，回流温度每增加1℃，估计液化气收率将减少0.229%。 （3）残差分析 为了判别简单线性模型的假定是否有效，作出残差图，进行残差分析。
从图中可以看到，残差基本在-0.5—+0.5左右，说明建立回归模型所依赖的假定是恰当的。误差项的估计值s=0.388。 （4）回归模型检验 a.显著性检验 在90%的显著水平下，进行t 检验,拒绝域为︱t ︱=︱b 1/ s b1︱>t α/2=1.7011。 由输出数据可以找到b 1和s b1，t=b 1/ s b1=-0.229/0.022=-10.313，于是拒绝原假设，说明液化气收率与回流温度之间存在线性关系。 b.拟合度检验 判定系数r 2=0.792。这意味着液化气收率的样本变差大约有80%可以由它与回流温度的线性关系来解释。 2r r ==-0.89 这样，r 值为y 与x 之间存在中高度的负线性关系提供了进一步的证据。 由于n ≥30，我们近似确定y 的90%置信区间为： s z y )(?2 α±=21.263-0.229x ±1.282×0.388 = 21.263-0.229x ± 0.497
某农场负责人认为早稻收获量（y ：单位为kg/公顷）与春季降雨（x 1：单位为mm ）和春季温度(x 2：单位为℃)有一定的联系，通过7组试验获得了相关的数据。利用Excel 得到下面的回归结果（α=0.1）： 方差分析表 （2）写出早稻收获量与春季降雨量、春季温度的多元线性回归方程，并解释各回归系数的意义。 （3）检验回归方程的线性关系是否显著？ （4）检验各回归系数是否显著？ （5）计算判定系数2 R ，并解释它的实际意义。 （6）计算估计标准误差Se ，并解释它的实际意义。 （每个空格为0.5分） -----3分 2、设总体回归模型为Y ＝1 2 1 2 x x αεββ+ ++ 估计回归方程为y ?＝1 2 1 2 ???x x αββ++，由EXCEL 输出结果可知，y ?＝120.3914.92218.45-++x x ，回归系数1 ?β 的意义指在温度不变的条件下，当降雨量每增加1mm ，早稻收获量平均增加14.92kg/公顷；回归系数 2 ?β 的意义指在降雨量不变的条件下， 当温度增加1℃，早稻收获量平均增加218.45kg/公顷。 ---5分
3、由于p 值=0.000075＜α=0.05，则拒绝原假设，即表明回归方程的线性关系是显著的。 ---2分 4、由于各回归系数的P 值均小于α（0.05），所以各回归系数是显著的。 ---2分 5、 2 13878495.67 0.9914000000 = ==SSR SST R ，表示早稻收获量的总变异中有99%的部分可以由降雨量、温度的联合变动来解释。 ---4分 6、 174.29= ===e S （k 为自变量个数） ，是总体回归模型中随机扰动项ε的标准差的无偏估计量，用来衡量回归方程拟合程度的分析指标，e S 越大， 拟合程度越低；e S 越小，拟合程度越高. ---4分
第十一章 一元线性回归 一、填空题 1、对回归系数的显著性检验，通常采用的是 检验。 2、若回归方程的判定系数R 2=0.81，则两个变量x 与y 之间的相关系数r 为_________________。 3、若变量x 与y 之间的相关系数r=0.8，则回归方程的判定系数R 2为____________。 4、对于直线趋势方程bx a y c +=，已知 ∑=,0x ∑=130xy ，n=9，1692=∑x ， a=b ，则趋势 方程中的b=______。 5、回归直线方程bx a y c +=中的参数b 是_____________。估计待定参数a 和 b 常用的方法是-_________________。 6、相关系数的取值范围_______________。 7、在回归分析中，描述因变量y 如何依赖于自变量x 和误差项的方程称为 。 8、在回归分析中，根据样本数据求出的方程称为 。 9、在回归模型εββ++=x y 10中的ε反映的是 。 10、在回归分析中，F 检验主要用来检验 。 11、说明回归方程拟合优度检验的统计量称为 。 二、单选题 1、年劳动生产率（x ：千元）和工人工资（y ：元）之间的回归方程为1070y x =+，这意味着年劳动生产率没提高1千元，工人工资平均（ ） A 、 增加70元 B 、 减少70元 C 、增加80元 D 、 减少80元 2、两变量具有线形相关，其相关系数r=-0.9，则两变量之间（ ）。 A 、强相关 B 、弱相关 C 、不相关 D 、负的弱相关关系 3、变量的线性相关关系为0，表明两变量之间（ ）。 A 、完全相关 B 、无关系 C 、不完全相关 D 、不存在线性关系 4、相关关系与函数关系之间的联系体现在（ ）。 A 、相关关系普遍存在，函数关系是相关关系的特例 B 、函数关系普遍存在，相关关系是函数关系的特例 C 、相关关系与函数关系是两种完全独立的现象 D 、相关关系与函数关系没有区别 5、已知x 和y 两变量之间存在线形关系，且δx =10, δy =8, δxy 2=-7,n=100,则x 和y 存在着（ ）。 A 、显著正相关 B 、低度正相关 C 、显著负相关 D 、低度负相关 6、对某地区前5年粮食产量进行直线趋势估计为：80.5 5.5y t =+? 这5年的时间代码分别是：-2，-1，0，1，2，据此预测今年的粮食产量是（ ）。 A 、107 B 、102.5 C 、108 D 、113.5 7、两变量的线性相关关系为-1，表明两变量之间（ ）。 A 、完全相关 B 、无关系 C 、不完全相关 D 、不存在线性关系 8、已知x 和y 两变量之间存在线形关系，且δx =10, δy =8, δxy 2 =-7,n=100,则x 和y 存在着（ ）。 A 、显著正相关 B 、低度正相关 C 、显著负相关 D 、低度负相关
1.1多元回归 1、方法概述: 在研究变量之间的相互影响关系模型时候, 用到这类方法, 具体地说:其可以定量地描述某一现象和某些因素之间的函数关系,将各变量的已知值带入回归方程可以求出因变量的估计值,从而可以进行预测等相关研究。 2、分类 分为两类:多元线性回归和非线性线性回归; 其中非线性回归可以通过一定的变化转化为线性回归, 比如:y=lnx 可以转化为 y=u u=lnx来解决;所以这里主要说明多元线性回归应该注意的问题。 3、注意事项 在做回归的时候,一定要注意两件事: (1 回归方程的显著性检验(可以通过 sas 和 spss 来解决 (2 回归系数的显著性检验(可以通过 sas 和 spss 来解决 检验是很多学生在建模中不注意的地方, 好的检验结果可以体现出你模型的优劣, 是完整论文的体现, 所以这点大家一定要注意。 4、使用步骤: (1根据已知条件的数据,通过预处理得出图像的大致趋势或者数据之间的大致关系; (2选取适当的回归方程; (3拟合回归参数; (4回归方程显著性检验及回归系数显著性检验 (5进行后继研究(如:预测等
这种模型的的特点是直观,容易理解。 这体现在:动态聚类图可以很直观地体现出来! 当然,这只是直观的一个方面! 2、分类 聚类有两种类型: (1 Q 型聚类:即对样本聚类; (2 R 型聚类:即对变量聚类; 聚类方法: (1 最短距离法 (2 最长距离法 (3 中间距离法 (4 重心法 (5 类平均法 (6 可变类平均法 (7 可变法 (8 利差平均和法 在具体做题中,适当选取方法; 3、注意事项
在样本量比较大时,要得到聚类结果就显得不是很容易,这时需要根据背景知识和相关的其他方法辅助处理。还需要注意的是:如果总体样本的显著性差异不是特别大的时候,使用的时候也要注意! 4、方法步骤 (1首先把每个样本自成一类; 2选取适当的衡量标准,得到衡量矩阵,比如说:距离矩阵或相似性矩阵,找到矩阵中最小的元素,将该元素对应的两个类归为一类, (4重复第 2步,直到只剩下一个类; (4重复第 2步,直到只剩下一个类; 补充:聚类分析是一种无监督的分类,下面将介绍有监督的“分类” 。 我简单说明下,无监督学习和有监督学习是什么 无监督学习:发现的知识是未知的 而有监督学习:发现的知识是已知的 有监督学习是对一个已知模型做优化,而无监督学习是从数据中挖掘模型 他们在分类中应用比较广泛 (非数值分类 如果是数值分类就是预测了,这点要注意 1.3数据分类 1、方法概述