选修4-4 §1.3.1 圆的极坐标方程教案1

§1.3 简单曲线的极坐标方程

§1.3.1 圆的极坐标方程

三维目标

1.了解认识极坐标方程的意义；

2.掌握几种特殊位置的圆的极坐标方程；

3.能利用极坐标方程解决实际问题；

4.经历几种特殊位置的圆的极坐标方程的推导过程，进一步提高学生分析、解决问题的的

能力，同时培养学生自主学习习惯和团队合作精神.

教学重难点

教学重点：几种特殊位置下的圆的极坐标方程.

教学难点：几种特殊位置圆的极坐标方程的推导与应用.

教学方法

教法：启发诱导、探究合作、讲练结合.

学法：自主探究和团队合作.

教学流程

圆心在C(1, 1)，半径为r 的圆的极坐标方

程是什么？

1

θθ

11(,)

C ρθ(,)P ρθρ

1ρr

x

O

简单曲线的极坐标方程

极坐标方程 简单曲线的极坐标方程 【教学目标】 1.熟练掌握简单曲线的极坐标方程的求法，提高应用极坐标系的概念和极坐标和直角坐标的互化解决问题的能力. 2.自主学习，合作交流，探究并归纳总结简单曲线的极坐标方程的求法. 3.激情投入，高效学习，体验探究、归纳、总结的过程，增强应用数学的能力. 【教学重难点】 简单曲线的极坐标方程的求法 【教学过程】 一、复习、预习自学： 基础知识梳理问题导引 1.极坐标系的概念（P9） 如图，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系 设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为.有序实数对叫做点M 的极坐标记为. 2.极坐标和直角坐标的互化（P11） （1）极坐标化为直角坐标 ， （2）直角坐标化为极坐标 ， 3.曲线和方程（平面直角坐标系中（P12）） 曲线C上的点的坐标都是方程的解； 以方程的解为坐标的点都在曲线C上. （1）极坐标系和以前所学的平面直角坐标系有什么区别和联系？ （2）那些只是是我们应该掌握的？ （3）极坐标系中如何用方程表示曲线？ 【复习、预习自测】 1.极坐标化为直角坐标：________，________ 2. 直角坐标化为极坐标： ________，________ 二、合作探究 探究点一：圆的极坐标方程（P12-13）

如图，半径为a的圆的圆心坐标为C(a0)(a>0).你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标满 足的条件吗？ 探究点1图拓展1图 小结（P13）：一般的，在极坐标系中，如果满足下列两个条件，那么方程叫做曲线C的极 坐标方程： （1） （2） 拓展1（P13）：已知圆O的半径为r，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？并将所得结果与直角坐标方程进行比较. 探究点二：直线的极坐标方程（P13） 如图，直线l经过极点，从极轴到直线l的角是，求直线l的极坐标方程. 探究点2图拓展2图拓展3图 拓展2（P14）：求过点A(a0)(a>0)且垂直于极轴的直线l的极坐标方程. 拓展3（P14）：设P点的极坐标为直线l过点P且与极轴所成的角为，求直线l的极坐标方程. 【课堂小结】 1.知识方面_____________________________________________________________________ 2.数学思想方面_________________________________________________________________ 探究点三：圆锥曲线的极坐标方程 已知椭圆C的焦距为2c，长轴长为2a，离心率为e(0

简单曲线的极坐标方程优秀教学设计

简单曲线的极坐标方程 内容和内容解析 本节课是普通高中新课程标准实验教科书《数学》（选修4-4）中第一讲《坐标系》第三节“简单曲线的极坐标方程”的第一课时。解析几何是数学一个重要的分支,它沟通了数学中数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。牛顿在他的老师沃利斯的影响下，多次运用坐标系，按曲线的方程来描述曲线，而且提出了建立新的坐标系的创建。牛顿坐标系就是现在的极坐标系。极坐标系的创立为数学研究做出了巨大的贡献。简单曲线的极坐标方程这一节是本讲的重点内容，是选修4-4的重点，也是高考选考内容中的考察内容之一。极坐标方程在实际生活中有着较广的应用，同时也是学生锻炼提高数学能力的良好题材，它蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、转化与化归思想等。因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值。 目标和目标解析 1.知识与技能目标： 理解曲线极坐标方程的概念；了解与曲线直角坐标方程的异同；掌握求曲线极坐标方程的步骤；能在极坐标系中给出简单图形（如过极点或圆心在极点的圆）的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义。掌握圆的直角坐标方程和极坐标方程的互化，能根据圆的极坐标方程画出其对应的图形并进行有关计算 2.过程与方法目标： 通过对预习作业中问题的探究体会类比、从已知推测未知、从特殊到一般的数学思想方法；通过对简单曲线的极坐标方程的求解和其几何意义的探讨，培养观察、分析、比较和归纳的能力；通过不同坐标系的选择感受转化与化归的思想方法；通过极坐标方程与其几何图形的对应，体会数形结合的思想方法

3.情感、态度与价值观目标： 通过不同坐标系的选择与变换理解事物的多样性及其中必然的内在的联系性，可以多角度、多层次地分析问题.；通过练习体验小组探究合作学习，体会团结协作精神；通过阿基米德螺线，四叶玫瑰线，双曲螺线，心脏线，双纽线，星形线，三叶玫瑰线的绘制感受数学与生活的联系，欣赏和感受数学中的美，渗透数学文化，激发学习兴趣 教学重点：圆的极坐标方程的求法 教学问题诊断分析 高二学生，知识经验正逐步成熟，形成了适合自己的一套学习方法，有较强的演绎推理能力和数形结合的能力，具有较好自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，学生之前已经学习了极坐标系，现在基本会极坐标和直角坐标的互化，也会求曲线轨迹方程的步骤，具备了数形结合思想。在圆的极坐标方程推导中，要用到三角函数知识，关键是利用直角三角形边角关系建立起坐标变量间的关系，如何合理作图构造恰当的三角形是关键，因此在这部分内容的研究中，鼓励学生小组讨论, 尽多的给学生动手的机会，让学生在实践中体验作图的关键，另外，特殊点极坐标的选择和检验也是理解难点。本节课需要学生小组合作探究学习，因此之前的学习小组分配很关键，小组间的配合也有影响课堂进度，教师分组时引起注意。 教学难点：对不同位置的圆的极坐标方程的理解 教学支持条件分析 课堂上需要学生小组讨论，合作学习。配合班级管理把班上同学分成六个学习小组，围桌而坐，组建原则是：“组间同质、组内异质”, 根据学习能力、兴趣倾向、交往技能、守纪情况、性别比例及座位的安排等合理搭配 根据本节内容的特点，教学过程中可充分发挥信息技术的作用： 利用多媒体播放短片引起兴趣，利用动态作图优势为学生的数学探究与数学思维提供支持；利用实物投影仪，直接投影学生小组讨论的解题思路、解题过程，学生上台分析时也可直接投影自己的答题过程不用板书节约时间

极坐标与参数方程基本题型-2018年高考一轮复习资料极坐标与直角坐标普通方程与参数方程 的互相转化

极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的转化 一、直角坐标的伸缩 设点P(x ，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：???>='>='）（）（ 0,0,μμλλy y x x 的作用下，点P(x ，y)对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩 变换，简称伸缩变换．平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换????? x ′＝λ·x ，λ>0y ′＝μ·y ，μ>0 下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆 可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆（重点考察）． 【强化理解】 1．曲线C 经过伸缩变换 后，对应曲线的方程为：x 2+y 2=1，则曲线C 的方程为（ ） A ． B ． C ． D ．4x 2+9y 2=1 【解答】解：曲线C 经过伸缩变换①后，对应曲线的方程为：x ′2+y ′2=1②， 把①代入②得到： 故选：A 2、在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x 2＋9y 2＝36变成曲线x ′2＋y ′ 2＝1． 【解答】解：设变换为φ：?????x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0）， 可将其代入x ′2＋y ′2＝1，得λ2x 2＋μ2y 2＝1． 将4x 2＋9y 2＝36变形为x 29＋y 2 4＝1， 比较系数得λ＝1 3，μ＝1 2 ． 所以?????x ′＝13 x ， y ′＝1 2 y ．将椭圆4x 2 ＋9y 2 ＝36上的所有点的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的1 2， 可得到圆x ′2＋y ′2＝1．

亦可利用配凑法将4x 2 ＋9y 2 ＝36化为? ?????x 32＋? ?? ?? ?y 22 ＝1，与x ′2 ＋y ′2 ＝1对应项比较即可得?????x ′＝x 3，y ′＝y 2 ． 3、（2015春?浮山县校级期中）曲线x 2+y 2=1经过伸缩变换后，变成的曲线方程是（ ） A ．25x 2+9y 2=1 B ．9x 2+25y 2=1 C ．25x+9y=1 D ．+=1 【解答】解：由伸缩变换，化为，代入曲线x 2+y 2=1可得25（x ′）2+9（y ′）2=1， 故选：A ． 二、极坐标 1.公式： （1）极坐标与直角坐标的互化公式如下表： 点M 直角坐标(),x y 极坐标(),ρθ 互化公式 cos sin x y ρθ ρθ =?? =? ()222tan 0x y y x x ρθ?=+? ?=≠?? 已知极坐标化成直角坐标 已知直角坐标化成极坐标 2.极坐标与直角坐标的转化 （1）点：有关点的极坐标与直角转化的思路 A ：直角坐标(),x y 化为极坐标(),ρθ的步骤 ①运用()222 tan 0x y y x x ρθ?=+? ?=≠?? ②在[)0,2π内由()tan 0y x x θ= ≠求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限． B::极坐标(),ρθ化为直角坐标(),x y 的步骤，运用cos sin x y ρθ ρθ =??=?

高中数学选修4--4简单曲线的极坐标方程教案

三 简单曲线的极坐标方程 课 题: 1、圆的极坐标方程 教学目标： 1、掌握极坐标方程的意义 2、能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程 教学重点、极坐标方程的意义 教学难点：极坐标方程的意义 教学方法：启发诱导，讲练结合。 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 问题情境 1、直角坐标系建立可以描述点的位置极坐标也有同样作用？ 2、直角坐标系的建立可以求曲线的方程 极坐标系的建立是否可以求曲线方程？ 学生回顾 1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？ 2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义 3、求曲线方程的步骤 4、极坐标与直角坐标的互化关系式: 二、讲解新课： 1、引例．如图，在极坐标系下半径为a 的圆的圆心坐标为 (a ,0)(a >0)，你能用一个等式表示圆上任意一点， 的极坐标(ρ,θ)满足的条件？ 解：设M (ρ,θ)是圆上O 、A 以外的任意一点，连接AM ， 则有：OM=OAcos θ，即：ρ＝2acos θ ①， 2、提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？ 可以验证点O(0,π/2)、A(2a ,0)满足①式. 等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条件. 反之，适合等式①的点都在这个圆上. 3、定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程 0),(=θρf 的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。 例1、已知圆O 的半径为r ，建立怎样的坐标系， 可以使圆的极坐标方程更简单？ ①建系； ②设点；M （ρ，θ） ③列式；OM ＝r ， 即：ρ＝r

④证明或说明. 变式练习：求下列圆的极坐标方程 (１)中心在Ｃ(a ,0)，半径为a ； (２)中心在(a,π/2)，半径为a ； (３)中心在Ｃ(a ,θ０)，半径为a 答案：(1)ρ＝2acos θ (2) ρ＝2asin θ (3)0cos()a ρθθ-＝２ 例2．（1）化在直角坐标方程0822=-+y y x 为极坐标方程， （2）化极坐标方程)3cos(6π θρ-= 为直角坐标方程。 三、课堂练习： 1.以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是 (C) ()() .2cos .2sin 44.2cos 1.2sin 1A B C D ππρθρθρθρθ????=-=- ? ?? ?? ?=-=- 2.极坐标方程分别是ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是多少？ 2 sin (4)π πρθρθρθρ3．说明下列极坐标方程表示什么曲线 (1)＝２cos(-) (2)＝cos(-)4 3 (3)＝3 ＝６ 2222423020x y x y x y x y x +-+==+==．填空： 　(1)直角坐标方程的　极坐标方程为＿＿＿＿＿＿＿ (2)直角坐标方程－＋１的极坐标方程为＿＿＿＿＿＿＿ (3)直角坐标方程９的极坐标方程为＿＿＿＿＿ (4)直角坐标方程３的极坐标方程为＿＿＿＿＿＿＿ 四、课堂小结： 1．曲线的极坐标方程的概念． 2．求曲线的极坐标方程的一般步骤． 五、课外作业：教材28P 1，2 1．在极坐标系中，已知圆C 的圆心)6 ,3(π C ，半径3=r ， （1）求圆C 的极坐标方程。 （2）若Q 点在圆C 上运动，P 在OQ 的延长线上，且2:3:=OP OQ ，求动点P 的轨迹方程。

圆的极坐标方程

圆的极坐标方程 1.曲线的极坐标方程 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f (p, 0) =0,并且坐标适合方程f (p, 0) =0的点都在曲线C上，那么方程f (p, 0) =0叫做曲线C的极坐标方程. 2.圆的极坐标方程 (1)特殊情形如下表 (2) 一般情形：设圆心C ( po, 0o),半径为r, M (p, 0)为圆上任意一点，则| CM|=r, https://www.doczj.com/doc/fb7479139.html,= | 0— 0o| ,根据余弦定理可得圆C的极坐标方程为p — 2popcos (0 — 00) + po— r2 = 0.

o

1. 极坐标方程p = 4表示的曲线是（） A.过（4, 0）点，且垂直于极轴的直銭 ?过（2, 0）点，且垂直于极轴的直线 C.以（4, 0）为圆心，半径为4的圆D ?以极点为圆心，半径为4的圆 解析：选 D.由极 坐标方程的定义可知，极坐标方暗4表示以极点为圆心，以4为 半径的圆. 2. 圆心在（1, 0）且过极点的圆的极坐标（） A. p= 1 B p= cos 0 C p=2cos°D ? p=2sin8 解析：选C.经过极点0且半径为3的圆的极坐标方程为p=2acos0,因圆心在 （1 , 0）,所以半径为1,所以极坐标方程为p-2cos0,故选C. 2 所以 P 2= 22p COS 0+ 22 p sin 0, 即 x 2 + y^=2 2x+ 2y ? 2 2 2 2 ］ _ 化简整理得X — 2 + y — 2 =,表不圆.选D ? 4 4 4 4.极坐标方程p=2cos8表示的曲线所围成的面积为 __________ ? 解析：由p = 2cos 8 = 2xlxcos 8知，曲线表示圆，且圆的半径r 为1, 所以面积S=irr =冗? 答案：u 圆的极坐标方程 3TT 求圆心在C 2, 2处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点 是否在这个圆上. ［解］如图，由题意知，圆经过极点0, 0A 为其一条直径，设M （p, 0）为圆上 除点0, A 以外的任意一点，贝IJ | 0A| -2r ,连接AM,则0M 丄MA. 3.极坐标方p=cos4 —°表示的曲线是（） -rr-i ?椭 A.双曲线 B 闾 C.抛物线 解析：选D.p TT cos K 4 —0 IT =cos cos 0+sin A D ?圆 K 4 sin 0 = 2 2 COS 0 + 2 2 sin 0, 5TT —2, sin 6

圆的极坐标方程教案

三 简单曲线的极坐标方程 课 题: 1、圆的极坐标方程 教学目标： 1、掌握极坐标方程的意义 2、能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程 教学重点、极坐标方程的意义 教学难点：极坐标方程的意义 教学方法：启发诱导，讲练结合。 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 问题情境 1、直角坐标系建立可以描述点的位置极坐标也有同样作用？ 2、直角坐标系的建立可以求曲线的方程 极坐标系的建立是否可以求曲线方程？ 学生回顾 1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？ 2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义 3、求曲线方程的步骤 4、极坐标与直角坐标的互化关系式: 二、讲解新课： 1、引例．如图，在极坐标系下半径为a 的圆的圆心坐标为 (a ,0)(a >0)，你能用一个等式表示圆上任意一点， 的极坐标(ρ,θ)满足的条件？ 解：设M (ρ,θ)是圆上O 、A 以外的任意一点，连接AM ， 则有：OM=OAcos θ，即：ρ＝2acos θ ①， 2、提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？ 可以验证点O(0,π/2)、A(2a ,0)满足①式. 等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条件. 反之，适合等式①的点都在这个圆上. 3、定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程 0),(=θρf 的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。 例1、已知圆O 的半径为r ，建立怎样的坐标系， 可以使圆的极坐标方程更简单？ ①建系； ②设点；M （ρ，θ） ③列式；OM ＝r ， 即：ρ＝r ④证明或说明. 变式练习：求下列圆的极坐标方程

4常见曲线的极坐标方程

第4课时：常见曲线极坐标方程 教学目标 （1）了解曲线的极坐标方程的求法， （2）了解简单图形（过极点的直线、过极点的圆、圆心在极点的圆）的极坐标方程。 教学重难点：曲线的极坐标方程的求法 教学过程： 一、新课讲解 1、直线的极坐标方程 若直线l 经过点00(,)M ρθ，且极轴到此直线的角为α，则直线l 的极坐标方程为00sin()sin()ρθαρθα-=- 2、圆心是A （0ρ，0θ），半径r 的圆的极坐标方程为2220002cos()-0r ρρρθθρ--+＝ 二、例题选讲： 例1、按下列条件写出直线的极坐标方程： （1）经过极点，且倾斜角是π6的直线； （2）经过点 A(2, π4 ),且垂直于极轴的直线； （3）经过点 B(3, - π3),且平行于极轴的直线； （4）经过点C(4，0),且倾斜角是3π4 的直线. 例2、按下列条件写出圆的极坐标方程. （1）以（2,0）为圆心，2为半径的圆； （2）以（4，π2 ）为圆心，4为半径的圆；

（3）以（5，π）为圆心，且过极点的圆； （4）以（2，π4 ）为圆心，1为半径的圆。 例3、在圆心的极坐标为点A （4,0），半径为4的圆中，求过极点的O 的弦的中点的轨迹方 程。 例4. 已知曲线:C 3cos 2sin x y θθ =??=?，直线:l (cos 2sin )12ρθθ-=． ⑴．将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程； ⑵．设点P 在曲线C 上，求P 点到直线l 距离的最小值． 例5在极坐标系中，已知圆C 的圆心)6, 3(πC ，半径1=r ，Q 点在圆C 上运动. （1）求圆C 的极坐标方程； （2）若P 在直线OQ 上运动，且3:2:=QP OQ ，求动点P 的轨迹方程. 课堂反馈： 1．两圆θρcos 2=和θρsin 4=的圆心距是 . 2.极坐标方程cos()4π ρθ=-所表示的曲线是 . 3．极坐标方程分别是θρcos =和θρsin =的两个圆的圆心距是 . 4、 直线αθ=和直线1)sin(=-αθρ的位置关系是 ． 三、课堂小结：

极坐标系与参数方程一轮复习

极坐标系与参数方程 ?知识梳理 、极坐标 在象限确定. 二、常见曲线的极坐标方程 1、圆的极坐标方程 （1） 圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程是 _____ ； （2） ______________________________________________________________ 圆心在极轴上的点（a,0）处，且过极点0的圆的极坐标方程是 _________________________ （3）圆心在点（a,处且过极点的圆0的极坐标方程是 ___________ 。 2、直线的极坐标方程 （1） 过极点且倾斜角为 的直线的极坐标方程是 __________ ； （2） _______________________________________________________ 过点（a,0），且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ___________________________________ 三、常见曲线的参数方程 1、极坐标定义：M 是平面上一点, 表示0M 的长度, 是MOx ，则有序实数实数对 （,）,叫极径，叫极角；一般地, 2、极坐标和直角坐标互化公式: COS 2 2 x 2 y sin 或 t tan y （x 0） 的象限由点（x, y ）所 [0,2 ）， 0 x y

第一节 平面直角坐标系中的伸缩、平移变换 知识点】 点P(x,y)的对应点为P'(x',y')。称 为平面直角坐标系中的伸缩变换 定义 2： 在平面内，将图形 F 上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为 图形F 的平移。若以向量a 表示移动的方向和长度，我们也称图形 F 按向量a 平移. F 上任意一点P 的坐标为(x, y)，向量a (h, k)，平移后 因为平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状和大小．所以，在 平移变换作用下，曲线上任意两点间的距离保持不变。 【典例1】(2014年高考辽宁卷(文))将圆x 2 + /= 1上每一点的横坐标保持不变，纵坐 标变为原来的 2 倍，得曲线 C. (I) 写出 C 的参数方程； (II )设直线1: 2x + y - 2二0与C 的交点为P i ，P 2,以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系，求过线段 P i P 2的中点且与I 垂直的直线的极坐标方程. 练习: 定义 1：设 P(x, y) 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 x' x( y' y( 00) )的作用下， 在平面直角坐标系中，设图形 的对应点为P(x, y )则有: 即有: x x h ， y y k 在平面直角坐标系中，由 (x,y) (h,k) (x,y) xh x h 所确定的变换是一个平移变换。 yk

常见曲线的极坐标方程3

常见曲线的极坐标方程（3） 学习目标： 1、进一步体会求简单曲线的极坐标方程的基本方法； 2、了解圆锥曲线的方程； 3、通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面 图形时选择适当坐标系的意义。 活动过程： 活动一：知识回顾 1、若圆心的坐标为),(00θρM ，圆的半径为r ，则圆的极坐标方程为 ； 2、（1）当圆心位于)0,(r M 时，圆的极坐标方程是： ； （2）当圆心位于),(2π r M 时，圆的极坐标方程是： 。 3、圆锥曲线统一定义： 活动二：圆锥曲线的极坐标方程 探究：设定点F 到定直线l 的距离为p ，求到定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的 轨迹的极坐标方程。

活动三：圆锥曲线的极坐标方程的简单应用 例1：2003年10月15—17日，我国自主研制的神舟五号载人航天飞船成功发射并按预定方 案安全、准确的返回地球，它的运行轨道先是以地球中心为一个焦点的椭圆，椭圆的近地点（离地面最近的点）和远地点（离地面最远的点）距离地面分别为200km 和350km ，然后进入距地面约343km 的圆形轨道。若地球半径取6378km ，试写出神舟五号航天飞船运行的椭圆轨道的极坐标方程。 例2：求证：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数。 例3：已知抛物线的极坐标方程为θρcos 14-= ，求此抛物线的准线的极坐标方程。

活动四：课堂小结与自主检测 1、按些列条件写出椭圆的极坐标方程： （1）离心率为0.5，焦点到准线的距离为6； （2）长轴为10，短轴为8。 2、圆心在极轴上，半径为a 的圆经过极点，求此圆过极点的弦的三等分点的轨迹方程。 3、自极点O 作射线与直线4cos =θρ相交于点M ，在OM 上取一点P ，使得12=?OP OM ，求点P 的轨迹方程。

高考文科数学复习第轮极坐标与参数方程

高考文科数学 一轮复习（极坐标与参数方程）

第二讲极坐标与参数方程 目标认知 考试大纲要求： 1. 理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况； 2. 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示 点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化； 3. 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方 程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时 选择适当坐标系的意义； 4. 了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表 示点的位置的方法相比较，了解它们的区别； 5. 了解参数方程，了解参数的意义，能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参 数方程； 6. 了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程，了解其他摆线的生 成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用。 重点、难点： 1．理解参数方程的概念，了解常用参数方程中参数的意义，掌握参数方程与普通方程 的互化。 2．理解极坐标的概念，掌握极坐标与直角坐标的互化；直线和圆的极坐标方程。 【知识要点梳理】: 知识点一：极坐标 1．极坐标系 平面内的一条规定有单位长度的射线，为极点，为极轴，选定一个长度单位和角的正方向（通常取逆时针方向），这就构成了极坐标系。 2．极坐标系内一点的极坐标 平面上一点到极点的距离称为极径，与轴的夹角称为极角，有序实数对 就叫做点的极坐标。 （1）一般情况下，不特别加以说明时表示非负数；

当时表示极点； 当时，点的位置这样确定：作射线， 使，在的反向延长线上取一点，使得，点即为所 求的点。 （2）点与点（）所表示的是同一个点，即角与的 终边是相同的。 综上所述，在极坐标系中，点与其点的极坐标之间不是一一对应而是一对多的对 应， 即，, 均表示同一个点. 3. 极坐标与直角坐标的互化 当极坐标系与直角坐标系在特定条件下（①极点与原点重合；②极轴与轴正半轴重合； ③长度单位相同），平面上一个点的极坐标和直角坐标有如下 关系： 直角坐标化极坐标：； 极坐标化直角坐标：. 此即在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系. 4. 直线的极坐标方程： （1）过极点倾斜角为的直线：或写成及. （2）过垂直于极轴的直线： 5. 圆的极坐标方程： （1）以极点为圆心，为半径的圆：. （2）若，，以为直径的圆： 知识点二：柱坐标系与球坐标系：

直线与圆的极坐标方程教学案

§1.3 直线与圆的极坐标方程 撰稿人：李林源 审稿人：马 龙 授课人：__________ 授课时间:__________学生编号：____________ 姓名：_______________ 【学习目标】 1.知识与技能：能在极坐标中表示直线和圆的极坐标方程； 2.过程与方法：掌握极坐标系点的正确表示，理解极坐标方程的意义； 3.情感态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 【重点难点】 重点：直线和圆的极坐标方程的求法 难点：对不同位置的直线和圆的极坐标方程的理解 【自主探究】 探究1:直角坐标系建立可以描述点的位置；极坐标也有同样作用？ 探究2:直角坐标系的建立可以求曲线的方程； 极坐标系的建立是否可以求曲线的方程？ 学生回顾 1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？ 2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义; 3、求曲线方程的步骤; 【合作探究】 探究1：以极点O 为圆心5为半径的圆上任意一点极径为5，反过来，极径为5的点都在这个圆上。 因此，以极点为圆心，5为半径的圆可以用方程5=ρ来表示。 探究2：过极点，倾斜角是6π的射线和直线的极坐标方程？ 探究3：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？ 定义：一般地，如果一条曲线可以用含这两个变量θρ,的方程来表示，同时曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程0),(=θρf ，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。

例1、【课本P13页例5】求经过点)0,3(A 且与极轴垂直的直线l 的极坐标方程。 教师分析：设动点的极坐标抓住几何图形特征建立关系式。 变式训练：已知点P 的极坐标为),1(π，那么过点P 且垂直于极轴的直线极坐标方程。 答案：cos 1ρθ=- 例2、【课本P13页例6】求经过点A(2,0)、倾斜角为6π的直线的极坐标方程。 分析：设动点的极坐标，在三角形OAM 中利用正弦定理可解。 反思归纳：以上题目均为求直线的极坐标方程，方法是设动点的极坐标，抓住几何图形特征建立ρ与θ的关系式。 例3、【课本P14页例8】求圆心在（a,0）(a>0)、半径为a 的圆的极坐标方程。 学生练习，准对问题讲评。 变式训练：求圆心在)2 ,3(π A 且过极点的圆A 的极坐标方程。 【运用探究】 课本P13页练习中1、2、3 小结：本节课学习了以下内容： 1．如何求直线和圆的极坐标方程 。 2．极坐标系中曲线与方程的关系和直角坐标系中曲线与方程的关系是一致的。 3、掌握求直线和圆的极坐标方程的方法和步骤。 【延伸探究】 课本P18页A 组 4、8 B 组1 【教学反思】

极坐标的几种常见题型p

极坐标的几种常见题型 一、极坐标方程与直角坐标方程的互化 互化条件：极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，长度单位相同. 互化公式：???==θρθρsin cos y x 或 ? ? ? ??≠=+=)0(tan 2 22x x y y x θρ θ的象限由点(x,y)所在的象限确定. 例1(2007海南宁夏)⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为θρcos 4=，θρsin 4-=． (I)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (II)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程． 解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位． (I)θρcos =x ，θρsin =y ，由θρcos 4=得θρρcos 42=．所以x y x 42 2=+． 即042 2 =-+x y x 为⊙O 1的直角坐标方程． 同理042 2 =++y y x 为⊙O 2的直角坐标方程． (II)解法一:由? ??=++=-+04042 222y y x x y x 解得???==0011y x ，???-==22 22y x 即⊙O 1，⊙O 2交于点(0,0)和(2,－2)．过交点的直线的直角坐标方程为y=－x ． 解法二: 由???=++=-+0 40 42 222y y x x y x ,两式相减得－4x-4y=0,即过交点的直线的直角坐标方程为y=－x ． 评述:本题主要考查曲线的极坐标方程化为直角坐标方程的方法及两圆公共弦所在直线方程的求法. 例2(2003全国)圆锥曲线θ θ ρ2cos sin 8= 的准线方程是 (A)2cos -=θρ (B)2cos =θρ (C) 2sin -=θρ (D) 2sin =θρ 解: 由θ θρ2 cos sin 8= 去分母后两边同时乘以ρ得:θρθρsin 8cos 22=,所以x 2 =8y ,其准线方程为y=2-,在极坐标系中方程为2sin -=θρ,故选C. 例3(1998年上海)以直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若椭圆两焦点的极坐标分别是(1, 2 π),(1,23π),长轴长是4,则此椭圆的直角坐标方程是_______________. 解：由已知条件知椭圆两焦点的直角坐标为(0,1),(0,-1).c=1,a=2,b 2=a 2-c 2=3, 故所求椭圆的直角坐标方程为4 32 2y x +=1 类题:1(1995年上海)把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并且在两种坐标系中取相同的长度单位.若曲线的极坐标方程是1 cos 4122 -= θρ,则它的直角坐标方程是___________. (答案:3x 2-y 2=1) 2(1998年全国)曲线的极坐标方程ρ=4sin θ化成直角坐标方程为 (A) x 2+(y+2)2=4 (B) x 2+(y-2)2=4

极坐标与参数方程复习教案

精锐教育学科教师辅导教案 学员编号：年级：高三课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师：刘欢 C-极坐标与参数方程C–极坐标与参数方程C-极坐标与参数方程授课类型 授课日期及时段 教学内容 知识点概括 一、坐标系1．平面直角坐标系的建立：在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定 了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。 2．空间直角坐标系的建立：在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交 点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。 3．极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算 角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。 （其中O称为极点，射线OX称为极轴。） ①设M是平面上的任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线OX ρθ称为点M的极坐 为始边，射线OM为终边所成的角。那么有序数对(,) 标。其中ρ称为极径，θ称为极角。

约定：极点的极坐标是ρ=0，θ可以取任意角。 4．直角坐标与极坐标的互化 以直角坐标系的O 为极点，x 轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度平面内的任一点P 的直角坐标极坐标分别为（x ，y ）和(,)ρθ，则 二、曲线的极坐标方程 1．直线的极坐标方程：若直线过点00(,)M ρθ，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为： 00sin()sin()ρθ-α=ρθ-α 几个特殊位置的直线的极坐标方程 （1）直线过极点 （2）直线过点M(a,0)且垂直于极轴 （3）直线过(,)2M b π 且平行于极轴 2．圆的极坐标方程： 若圆心为00(,)M ρθ，半径为r 的圆方程为： 几个特殊位置的圆的极坐标方程 （1）当圆心位于极点 （2）当圆心位于(,0)M r （3）当圆心位于(,)2M r π 3．直线、圆的直角坐标方程与极坐标方程的互化 利用： x = 2ρ= 三、参数方程

选修4-4曲线极坐标方程-教案

简单曲线的极坐标方程 【教学目标】 1.掌握极坐标方程的意义 2.能在极坐标中求直线和圆的极坐标方程 3.通过观察圆的极坐标方程的推导过程，体会圆的极坐标方程的简介美 【重难点分析】 ; 教学重点：直线和圆的极坐标方程的求法 教学难点：对不同位置的直线和圆的极坐标方程的理解 【教学方法】 引导发现、讲授 【教学过程】 1.导入 问题设置 1、直角坐标系中怎样描述点的位置 # 2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义怎样 3、直角坐标系的建立可以求曲线的方程；极坐标系的建立是否可以求 曲线方程 2、极坐标方程的概念 引例如图，在极坐标系下半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a>0)，你能用一个等式表示圆上任意一点，的极坐标(,)满足的条件 : [解] 设M (,)是圆上O、A以外的任意一点，连接AM，则有， OM=OAcosθ，所以，ρ＝2acosθ. [思考] 曲线上的点的坐标都满足这个方程吗

定义：一般地，在极坐标中，如果一条曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 ) , (= θ ρ f,并且坐标适合0 ) , (= θ ρ f的点都在曲线C上，那么这个方程称为这条 曲线C的极坐标方程，这条曲线C称为这个极坐标方程的曲线。 [注] 1.定义中的所涉及到的两个方面. 2.极坐标系下求曲线方程的步骤： Step1找到曲线上点满足的几何条件； Step2 几何条件坐标化； $ Step3 化简. 例1 已知圆O的半径为r，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单 [分析]建系；设点M（ρ，θ）；列式OM＝r，即：ρ＝r. ) [思考] 和直角坐标方程2 2 2r y x= +相比较，此方程有哪些优点 [变式练习] 求下列圆的极坐标方程 (１)中心在Ｃ(a,0)，半径为a； (２)中心在(a,/2)，半径为a； 答案：(1)＝2acos (2) ＝2asin 例2．（备选）（1）化在直角坐标方程0 8 2 2= - +y y x为极坐标方程， & （2）化极坐标方程) 3 cos( 6 π θ ρ- =为直角坐标方程。 3、直线的极坐标方程 例3．求过极点，倾角为/4， π的射线的极坐标方程。

极坐标与参数方程知识点总结大全72285

1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点P(x,y)对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面 直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作. 一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数. 特别地,当点在极点时,它的极坐标为(0, )(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.

如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是 (),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点直角坐标极坐标 互化公式 在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角.

4.常见曲线的极坐标方程 曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为的圆 圆心为,半径为的圆 圆心为,半径为的圆 过极点,倾斜角为的直线 (1) (2) 过点,与极轴垂直的直线 过点,与极轴平行的直线

2019年高考数学第一轮复习：极坐标与参数方程

高考数学第一轮复习：极坐标与参数方程 第一部分：极坐标知识点讲解 一、极坐标系与极坐标： 1、极坐标系： 如下图所示：一条射线就是一个极坐标系。 其中射线的端点叫做极点，这条射线叫做极轴。 2、极坐标的表示： 如下图所示： 点到极点的距离叫做极径，其中极径用字母ρ表示；极径与极轴之间的夹角叫做极角，极角用θ表示。点P的极坐标为) , (θ ρ。 二、极坐标与直角坐标的转换： 1、极坐标与直角坐标的对应关系： 如下图所示： 2、极坐标转换为直角坐标： θ ρcos = x； θ ρsin = y； 例一：把下列的极坐标转换为直角坐标。

（1）、)3,2(π （2）、)32,3(π （3）、)2,4(π （4）、)23,3(π （5）、),4(π 【解析】：（1）、12 1 23 cos 2=? =?=π x ；32323sin 2=? =?=πy ； 所以：极坐标)3,2(π 转换为直角坐标)3,1(。 （2）、2 3 )21(332cos 3-=-?=?=πx ；23323332sin 3=?=?=πy ； 所以：极坐标)3 2, 3(π 转换为直角坐标)233,23(-。 （3）、因为：极角2π θ= ；所以：点)2,4(π 在y 轴正半轴上，对应的直角坐标为)4,0(； （4）、因为：极角23πθ=；所以：点)23,3(π 在y 轴负半轴上，对应的直角坐标为)3,0(-； （5）、因为：极角),4(π；所以：点),4(π在x 轴的负半轴上，对应的直角坐标为)0,4(-； 3、直角坐标转换为极坐标坐标： 22y x +=ρ； 2 2 sin y x y += θ； 2 2 cos y x x +=θ； x y = θtan 例二：把下列的直角坐标转换为极坐标。 （1）、)3,3( （2）、)3,1(- （3）、)2,2(- （4）、)2,6(- （5）、)0,2(- （6）、)6,0( （7）、)3,0(- （8）、)0,2( 【解析】：（1）、32)3(322=+=ρ，33tan = θ，点)3,3(为第一象限角，6 π θ=。 所以：直角坐标)3,3(对应的极坐标为)6,32(π 。 （2）、2)3()1(22=+-=ρ，tan = θ)3,1(-为第二象限角，3 2πθ=。 所以：直角坐标)3,1(-

简单曲线的极坐标方程

第 周 第 课时教案 时间： 教学主题 简单曲线的极坐标方程 一、教学目标 1、掌握极坐标方程的意义，掌握直线的极坐标方程 2、能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程，会求直线的极坐标方程及与直角坐标之间的互化 3、过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二、教学重点、极坐标方程的意义，理解直线的极坐标方程，直角坐标方程与极坐标方程 的互化 教学难点：极坐标方程的意义 ，直线的极坐标方程的掌握 三、教学方法 讲练结合 四、教学工具 无 五、教学流程设计 教学 环节 教师活动 学生活动 圆的极坐标方程 一、复习引入： 问题情境 1、直角坐标系建立可以描述点的位置极坐标也有同样作用？ 2、直角坐标系的建立可以求曲线的方程 极坐标系的建立是否可以求曲线方程？ 学生回顾 1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？ 2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义 3、求曲线方程的步骤 4、极坐标与直角坐标的互化关系式: 二、讲解新课： 1、引例．如图，在极坐标系下半径为a 的圆的圆心坐标为 (a ,0)(a >0)，你能用一个等式表示圆上任意一点， 的极坐标(ρ,θ)满足的条件？ 解：设M (ρ,θ)是圆上O 、A 以外的任意一点，连接AM ， 则有：OM=OAcos θ，即：ρ＝2acos θ ①， 2、提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？ 可以验证点O(0,π/2)、A(2a ,0)满足①式. 等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条件. 反之，适合等式①的点都在这个圆上. 3、定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐 标适合方程0),(=θρf 的点在曲线上，那么这个

极坐标系与参数方程一轮复习

极坐标系与参数方程 ◆ 知识梳理 一、极坐标 1、极坐标定义：M 是平面上一点，ρ表示OM 的长度，θ是MOx ∠，则有序实数实数对 (,)ρθ,ρ叫极径，θ叫极角；一般地，[0,2)θπ∈，0ρ≥。 2、极坐标和直角坐标互化公式：cos sin x y ρθρθ=??=? 或2 2 2 tan (0)x y y x x ρθ?=+? ? =≠?? ，θ的象限由点(,)x y 所 在象限确定. 二、常见曲线的极坐标方程 1、圆的极坐标方程 （1）圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程是 ； （2）圆心在极轴上的点)0,(a 处，且过极点O 的圆的极坐标方程是 ； （3）圆心在点)2,(π a 处且过极点的圆O 的极坐标方程是 。 2、直线的极坐标方程 （1）过极点且倾斜角为α的直线的极坐标方程是 ； （2）过点)0,(a ，且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ； 三、常见曲线的参数方程

第一节 平面直角坐标系中的伸缩、平移变换 【知识点】 定义1：设(,)P x y 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换'(0) :'(0)x x y y λλ?μμ=>??=>?的作用下， 点(,)P x y 的对应点为'(',')P x y 。称?为平面直角坐标系中的伸缩变换。 定义2： 在平面内，将图形F 上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为 图形F 的平移。若以向量a ρ表示移动的方向和长度，我们也称图形F 按向量a ρ 平移． 在平面直角坐标系中，设图形F 上任意一点P 的坐标为),(y x ，向量),(k h a =ρ ，平移后的对应点为),(y x P '''.则有：),(),(),(y x k h y x ''=+ 即有： x x h y y k '=+??'=+? ， 在平面直角坐标系中，由x x h y y k '=+??'=+?所确定的变换是一个平移变换。 因为平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状和大小．所以，在 平移变换作用下，曲线上任意两点间的距离保持不变。 【典例1】（2014年高考辽宁卷（文））将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (I)写出C 的参数方程； （II ）设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程． 练习：