一、 事件的关系与运算
1、设A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为（ A ） （A ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”. （B ）“甲种产品滞销”. （C ）“乙种产品畅销”. （D ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”.
8、 设A B C 、、为三个事件，则事件“ A B C 、、都不发生”可表示为 ( C )
(A) ABC ； (B) 1ABC -； (C) A B C ； (D) A B C ??.
1、某地震现场应急工作组对震区三幢楼房开展建筑安全评估与鉴定，设事件i A ={第i 幢楼房经评估鉴定为安全}（i =1，2，3）。事件“恰有一幢楼房经评估鉴定为安全” 用123A A A 、、可表示为
123123123 A A A A A A A A A ++；
二、 五大公式：
3、设X 在1,2,3,4中等可能取值，Y 再从X ,,1 中等可能取一整数，则 ==）（4Y P （A ）
； (A) 1/16 ； (B) 7/48； (C) 13/48； (D) 25/48.
1、已知事件A ，B 有概率4.0)(=A P ，5.0)(=B P ，条件概率3.0)|(=A B P ，则=?)(B A P 0.62 ．
1、已知事件A ，B 有概率4.0)(=A P ，5.0)(=B P ，条件概率3.0)|(=A B P ，则=?)(B A P 0.78 ；
1、已知事件A ，B 有概率4.0)(=A P ，条件概率3.0)|(=A B P ，则=?)(B A P 0.28 ；
1、设A 、B 、C 是三个事件，3/1)()()(===C P B P A P ，0)()(==AC P AB P ，
4/1)(=BC P ，则=??)(C B A P 3/4（或0.75） ；
1、设4/1)(=A P ，3/1)(=A B P ，2/1)(=B A P ，则=)(B A P 1/3 ；
1、设“甲地发生春季旱情=A 、“乙地发生春季旱情”=
B 是两个随机事件，且4/1)(=A P ，3/1)(=A B P ，2/1)(=B A P ，则情”“甲或乙地发生春季旱=
C 发生的概率为 1/3 ；
1、已知4/1)()()(===C P B P A P ，0)(=AB P ， 6/1)()(==BC P AC P ，则
=)( C B A P 5/12 ；
1、已知4/1)()()(===C P B P A P ，0)()(==BC P AB P ，8/1)(=AC P ，则=??)A (C B P 5/8 ；
1、已知2/1)(=A P ，3/1)(=B P ， 10/1)(=AB P ，则=)(B A P 4/15 ； 6、 设A 、B 是两事件，如果满足等式P(AB)=P(A)P(B),则称事件A 、B 相互独立 ；
1、设“甲地房价下跌”=A 、“乙地房价下跌”=
B 是两个随机事件，且4/3)(=A P ，3/2)(=A B P ，2/1)(=B A P ，则“甲或乙地房价下跌”=
C 发生的概率为 ； 1、已知(),(),P B b P AB c ==且b c >，则()P B A -= b-c ；
3、设A 、B 、C 是随机事件，A 与C 互不相容， ()1/2,()1/3,P AB P C ==则(|)P AB C = 3/4 ；
1．设事件A 、B 互不相容，p A P =)(，q B P =)(，则=-)(B A P
（A ）q p )1(-. （B ）pq . （C ）q p -. （D ）p . （ D ） 1、若6.0)(,4.0)(,5.0)(===B A P B P A P ，则=)(A B P （ C ）
(A) 0.2 ； (B) 0.45； (C) 0.6； (D) 0.75；
1、若2/1)(,3/1)(,4/1)(===B A P A B P A P ，则=?)(B A P （ C ） (A) 1/5 ； (B) 1/4； (C) 1/3； (D) 1/2；
9、设()0.8,()0.7,(|)0.8,P A P B P A B ===则下列结论正确的是（ A ）
(A) A 与B 相互独立； (B) A 与B 互斥； (C) B A ?； (D) ()()()P A B P A P B ?=+. 8、对于任意事件A 和B ，有()P A B -=（ C ）
(A) ()()P A P B -; (B) ()()()P A P B P AB -+; (C) ()()P A P AB -; (D) ()()()P A P B P AB +-. 9、设A 、B 为随机事件，且()0,(|)1,P B P A B >=则必有（ C ）
(A) ()()P A B P A ?>; (B) ()()P A B P B ?>; (C) ()()P A B P A ?=; (D) ()()P A B P B ?=.
1、从多年的教学经验可知，一名二年级同学参加英语CET4培训班集中培训后能超过425分的概率为0.8，不参加培训而能超过425分的概率为0.4。假如这次有70%的同学参加了培训。
（1）任取我们班一名同学，求该同学超过425分的概率？
（2）如果一名同学得分超过425分，则他参加过培训的概率有多大？ 解：设事件A =“参加培训”，B =“英语CET4成绩超过425分”，则
8.0)(=A B P 8.0)(=A B P ，4.0)(=A B P ，7.0)(=A P 3.0)(=A P ，所以 （1）68.04.03.08.07.0)()()()()(=?+?=+=A B P A P A B P A P B P 。 （2）823529.068
.08
.07.0)()()()()()(=?===
B P BA P A P B P AB P B A P 。 1、在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占25%、35%、40%，
并且在各自的产品里，不合格品各占5%、4%、2%。 问：（1）全部螺丝钉的不合格品率为多少？（2）若现在从产品中任取一件恰是不合格品，则该不合格品是甲厂生产的概率为多大？
解：设1A 表示“螺丝钉由甲台机器生产”，2A 表示“螺丝钉由乙台机器生产”， 3A 表示“螺丝钉由丙台机器生产”，B 表示“螺丝钉不合格”。
（1）由全概率公式)()()()()()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P ++= =0.25×0.05+0.35×0.04+0.40×0.02=0.0345； （5分） （2）由贝叶斯公式362319.00345
.005
.025.0)
()
()()(11=?=
=
B P A B P A P B A P （3分）
1、金鱼的主人外出，委托朋友换水，设已知如果不换水，金鱼死去的概率为0.8，若换水，则金鱼死去的概率为0.15。有0.9的把握确定朋友会记得换水。 问：（1）主人回来金鱼还活着的概率？（2）若主人回来金鱼已经死去，则朋友忘记换水的概率为多大？
解：设A 表示“朋友换水”，B 表示“金鱼还活着”，则9.0)(=A P ，1.0)(=A P ，
85.015.01)(=-=A B P ，15.0)(=A B P ，2.0)(=A B P ，8.0)(=A B P ， （1）由全概率公式)()()()()(A B P A P A B P A P B P +=
=0.9×0.85+0.1×0.2=0.785； …………………………………（5分） （2）由贝叶斯公式372093.0785
.018
.01.0)
()
()()(=-?=
=
P A B P A P B A P ……（8分）
1、 已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.
解：设A =“任取一产品，经检验认为是合格品” (2)
B =“任取一产品确是合格品”
则（1） ()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+ (3)
0.90.950.10.02=?+?=
（2）
()0.90.95
(|)0.9977()0.857P AB P B A P A ?=
==. (2)
1、有甲、乙、丙三个盒子，其中分别有一个白球和两个黑球、一个黑球和两个白球、三个白球和三个黑球。掷一枚骰子，若出现1，2，3点则选甲盒，若出现4点则选乙盒，否则选丙盒。然后从所选的中盒子中任取一球。求： （1）取出的球是白球的概率；
（2）当取出的球为白球时，此球来自甲盒的概率。
解：设 A =“选中的为甲盒”， A =“选中的为乙盒”， C =“选中的为丙盒”，D =
“取出一球为白球”，已知312
(),(),()666P A P B P C ===
，
123
(|),(|),(|)336P D A P D B P D C ===
……………………………… (3分) （1）由全概率公式 3112234
()6363669
P D =?+?+?=
…………………… (2分)
（2）由Bayes 公式 31363(|)489
P A D ?
== ……………………………… (2分)
1、发报台分别以0.6和0.4的概率发出信号“·”和“—”，由于通信系统受到干扰，当发出信号“·”时，收报台未必收到“·”，而是分别以概率0.8和0.2收到信号“·”和“—”，同样当发出信号“—”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“—”和“·”，求：（1）收报台收到信号“·”的概率；（2）当收报台收到信号“·”时，发报台是发出信号“·”的概率。
解：设 A =“发出信号‘’”， B =“发出信号‘—’”， C =“收到信号‘·’”，已知
6.0)(=A P ，4.0)(=B P ，8.0)(=A C P ，1.0)(=B C P …………… (3分) （1）由全概率公式
52.01.04.08.06.0)()()()()(=?+?=+=B C P B P A C P A P C P ……… (2分) （2）由Bayes 公式 13
12
52.08.06.0)
()()()(=?=
=
C P A C P A P C A P …… (2分) 1、某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的。根据以往的记录有以下
的数据：
设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。 (1)在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；
(2)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，试分析此次品出自何厂的概率
最大。
解：设A =“取到的一只元件是次品”，i B =“所取到的产品是由第i 家工厂提供的”，i=1,2,3. 则
12312015080005002 001 ().,().,().,().,().,P B P B P B P A B P A B =====
3003()..P A B = ……………………（2分） 于是(1) 由全概率公式得
11223300125()()()()()()()..P A P A B P B P A B P B P A B P B =++=
……………………（2分） (2) 由贝叶斯公式得
111002015
02400125
()()
..().,()
.P A B P B P B A P A ′=
=
=
222064()()
().,()
P A B P B P B A P A =
= 333012()()
()..()
P A B P B P B A P A =
=
故这只次品来自于第二家工厂的概率最大。……………………（3分）
1、在某工厂里有甲、乙、丙三条流水线生产灯泡，它们的产量各占25%、35%、40%，并且各流水线生产灯泡中不合格品率分别为5%、4%、2%。问：
（1）质检员现任取一只该厂灯泡，则该灯泡是不合格品的概率为多少？ （2）若现在检出该只灯泡是不合格品，则该灯泡是甲厂生产的概率为多大？
解：设1A 表示“灯泡由甲台机器生产”，2A 表示“灯泡由乙台机器生产”， 3A 表示“灯泡由丙台机器生产”，B 表示“灯泡是不合格品”，…………（2分） （1）由全概率公式)()()()()()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P ++= =0.25×0.05+0.35×0.04+0.40×0.02=0.0345； …………（3分） （2）由贝叶斯公式362319.00345
.005
.025.0)
()
()()(11=?=
=
B P A B P A P B A P …（2分）
15、据美国的一份资料报导，在美国总的来说患肺癌的概率约为0.1%，在人群中约有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，试求： (1)不吸烟者患肺癌的概率是多少？
(2)如果某人查出患有肺癌，那么他是吸烟者的可能性有多大？
解：设A =“吸烟”，C=“患肺癌”，则 P()0.001,()0.2,(|)0.004C P A P C A === ……………………（2分） 于是(1) 由全概率公式得
P C P C A P A P C A P A ()()()(|)()=+ 即 0.001
0.0040.2(|)0.8P C A =?+? ……………………（
2分） 得(|)0.00025P C A = ……………………（1分） (2) 由贝叶斯公式得
020004
080001
P C A P A P A C P C ()(..().()
.′=
=
= ……………………（2分）
三、 三大概型(古典、几何、伯努利)
2、设10件中有3件是次品。今从中随机地取3件，则这三件产品中至少有1件是次品
的概率为)24/17(/131037
或C C -； 2、已知10件产品中由2件次品，在其中任取2次，每次任取一件，作不放回抽样，则
其中一件是正品，一件是次品的概率为 16/45 ；
2、10张彩票中有5张是有奖彩票。从中任意抽取5张，其中至少有两张中奖的概率为
126113
C C C C 1510
45155105505或C C --； 2、10张彩票中有5张是有奖彩票。从中每次取一张，作不放回抽样，前3次都中奖的
概率为 1/12 ； 2、一部4卷的文集随机地排放在书架上，卷号恰好是自左向右或自右向左的呈1、2、3、4排列的概率是 1/12 ；
2、同时抛掷3枚匀称的硬币，则恰好有两枚正面朝上的概率为 0.375 ； 2、袋中有10个球（3个红球，7个白球），每次取1个，无放回地抽取两次，则第二次取到红球的概率为 0.3 ;
1、同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有两枚硬币正面向上的概率为（ C ）
(A) 1/8 (B) 2/8 (C) 3/8 (D) 4/8； 1、某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p ，则在第4次射击时恰好第2次命中目标的概率为（ B ）
(A) 22)1(4p p -； (B) 22)1(3p p -； (C) 22)1(2p p -； (D) 3)1(p p -；
1、袋中有5个球（3个红球，2个白球），每次取1个，无放回地抽取两次，则第二次取到红球的概率为（ A ） (A)
53； (B) 43； (C) 21； (D) 10
3； 1、 一学生接连参加同一资格证的两次考试。第一次及格的概率为1/2.如果第一次及格那么他第二次考试及格的概率也为1/2。如果第一次不及格那么他第二次及格的概率为
1/4.如果两次中至少有一次及格他就能取得该资格证，则他取得该资格证的概率为 ( C )
(A) 1/8 ； (B) 3/8； (C) 5/8； (D) 7/8.
解：（1）因为当10≤x 时，00)(==?∞
-x dx x F ，当10>x 时，
?????≤>-=.10,
0,
10,101)(x x x x F （4分） （2）因为任意一只器件寿命X 大于15天的概率为3
2)15(1=
-=F p ， 又各器件损坏与否相互独立，所以Y 服从)3
2
,10(b ，概率分布律为
.10,,2,1,0,313210}{10 =??
?
????? ?????? ??==-k k k X P k
k ………………（8分）
解：（1）因为 当0≤x 时，00)(==?∞
-x dx x F ，当π≤≤x 0时，
当π>x ， 1)(=x F ，故
??
??
???>≤≤<=.1
0,2s i n ,
0,0)(ππx x x x x F ，，
……………………（4分）
（2）因为X 大于6/π的概率为)12/sin(1)6/(1ππ-=-=F p ，所以Y 服从))12/sin(1,4(π-b ，概率分布律为
()()
.4,3,2,1,0,)12/sin()12/sin(14}{4=-???
? ??==-k k k X P k
k
ππ ………………（4分）
四、 一维随机变量的分布及性质
5．设随机变量)2,1(~-U X ，令???<-≥=.0,1,
0,1X X Y ，则Y
4、随机变量X 的分布函数是????
???≤<≤<≤--<=x
x x x x F 3,131,6.011,4.01
,0)(，则X 的分布律是
9、设随机变量X 的概率密度为?????<≥=.1,0,
1,1
)(2x x x x f ，令???≥<=.4,2,4,1X X Y ，则Y 的分布律为
4
14
3
2
1k
p Y ；
4、随机变量X 的分布函数是????
???≤<≤<≤--<=x
x x x x F 3,131,8.011,6.01,0)(，则≤<-)31(X P
3、设离散型随机变量X 的概率分布为
2
14181812,1,0,1，，，-P X ，则)23
1(≤≤X P = 1/4 ；
3、设X 的分布函数是??????
?≤<≤<≤--<=x
x x x x F 3,131,7.011,3.01,0)(，则X 4、设随机变量X 的分布函数为,1.1,11,arcsin ,
1,0)(<
???≥-+-≤=x x x B A x x F 则A = 1/2 ,B =1/π ；
3、设离散型随机变量X 的分布律为k k X P β==}{， ,2,1=k ，则参数=β1/2 ; 2．设离散型随机变量X 的分布律为k k X P αβ==}{， ,2,1=k 且0>α，则参数=β （A ）11-=
αβ （B ）1+=αβ （C ）1
1
+=αβ （D ）不能确定 （ C ）
2、设离散型随机变量X 的分布律为k k X P β==}{， ,2,1=k ，则参数=β（ D ） (A) 1/5 ； (B) 1/4； (C) 1/3； (D) 1/2；
3、设连续型随机变量X 的概率密度为∞<<-∞+=
x x
A
x f ,1)(2
，则参数=A （ D ） (A) 0 ； (B) 1； (C) π； (D) π/1；
2、设随机变量X 的概率分布律为 ,2,1,0,}{=>==k b b k X P k λ，则参数=λ（ C ） (A) 0>λ的任意实数； (B) 1+=b λ； (C) 11+=
b λ；(D) 1
1-=b λ； 2、设随机变量X 的概率分布律为 ,2,1,3}{===k k X P k λ，则参数=λ（ C ） (A) 0>λ的任意实数； (B) 4=λ； (C) 41=
λ； (D) 2
1=λ. 2、设离散型随机变量X 的分布律为k k X P λ==}{， ,2,1=k ，则参数=λ（ D ）
(A) 1/5 ； (B) 1/4； (C) 1/3； (D) 1/2.
4、假设某潜在震源区年地震发生数X 服从参数为2=λ的泊松分布，则未来一年该震源区发生至少一次地震的概率为2
1--e ；
五、 连续型概率密度与分布函数的相关计算
5、连续型随机变量的分布函数为?
??≤>-=-000
,1)(x x e x F x λ，则概率密度函数为
?
??≤>=-000
,)(x x e x f x λλ；
4、随机变量X 的分布函数是??
?
??≥<≤<=.1,1,10,,
0,0)(2x x x x x F ，则随机变量X 的概率密度函数为
?
??<<=.,0,10,2)(其他x x x f ；
4、随机变量X 的分布函数是??
?
??≥<≤<=.1,1,10,,
0,0)(x x x x x F ，则随机变量X 的概率密度函数为
???<<=.
,0,10),2/(1)(其他x x x f ；
5、设随机变量的概率密度为???<<=.
,0,
10,4)(3其他x x x f ，若}{}{a X P a X P <=>，则
=a 42/1；
7、随机变量K 在)5,0(内服从均匀分布，则关于x 的方程02442=+++K Kx x 有实根的概率为_____3/5（或0.6）__；
4、设随机变量A 在]6,1[上服从均匀分布，则方程012=++x x A 有实根的概率为 4/5或0.8 ；
3、随机变量X 的概率密度为
1,02,()0,
.ax x f x +≤≤?=?
?其它 求（1）常数a ； （2）X 的分布函数)(x F ； （3）)31(< =+=+=??∞∞ -a dx ax dx x f ，所以2/1-=a . （3分） （2 （3）因 或 32 1 11 (13)()(1)24x P x f x dx dx <<==-= ? ? （4分） 2、随机变量X 的概率密度为 +∞<<-∞=-x Ae x f x ,)(， )x 。 解：（1 ∴ 2 = A ………………………………（2分） （2）.2 121}10{110---= =< ……………………（2分） （3）当0 21)()(===??∞-∞-，当0≥x 时，x x t t x t t x e e e dt e dt e dt t f x F --∞--∞-∞ --=??? ???-+??????=+==??? 21121212121)()(0 00 ， X 的分布函数为?????≥-<=-. 0,1,0, )(2121x e x e x F x x ………………………………（3分） 2、设连续型随机变量X 的分布函数为 ,1.1,11,arcsin , 1,0)(< ? ??≥-+-≤=x x x B A x x F 求 （1）A 和B ；（2）}2/1{ 解：（1）???+==+=---==-+=+-)01(1)1arcsin()01()01(0)1arcsin()01(F A F F A F ，π1 ,21==B A . ……(2分) (2) 5.0)2/1()2/1(}2/1{=--= （3） ?? ??? ≥<-=.1,0,1,11)(2 x x x x f π………(2分)（4）011)(112 =-=?-dx x x X E π………(2分) 2、设随机变量X 具有概率密度 0323420,,(),,, .kx x x f x x ì??????=-＃í??????其它 (1)确定常数k ；（2）求X 的分布函数()F x ；（3）求7 12 ().P X 解：,1d )()1(?∞ ∞ -=x x f 由,1d )22(d 3 04 3=-+??x x x kx 得 1 6 .k =解之得…（2分） 126()k X =由知的概率密度03623420,, (),,, .x x x f x x ì?????????=-＃í?????????其它()()d x F x f x x -? = ò 由得 202 3 03000003036 12 2343234624 1414,,,,d ,,,, ()d ()d ,, ,,,. , . x x x x x x x x x F x x x x x x x x x x x ìì (3) 7741112248 {}()()P X F F -= ……（2分） 16、设随机变量X 的分布函数为 011x F x x x e A x e ,,()ln ,,, .ì ?=?í??3??? 试求： (1)常数A ；（2）X 的概率密度f x ()；（3）522032 P X P X P X (),(),().< 解：（1）()1F +∞= 得1A = ……………………（2分） （2）110x x e f x ,,(),.其他ì< ……………………（2分） (3)(2)(2)(2)ln 2P X P X F <=≤==； (03)(3)(0)1P X F F <≤=-= 555 224(2)()(2)ln P X F F <<=-= ……………………（3分） 六、 一维随机变量的函数的分布求法 6、 已知随机变量X 的分布律是 3 .05.02.01 1 k p X -，则2Y X =的分布律为 5 .05.01 0Y k p ； 3、设随机变量X 的分布函数为()F x ，则31Y X =+的分布函数为（ A ） （A ）11()33F y -；（B ） (31)F y +；（C ） 3()1F y +；（D 11()33F y -； 3、设随机变量X 的概率密度为+∞<<-∞+=x x x f ,) 1(1 )(2 π，则X Y 2=的概率密度为（ B ） （A ） )41(12y +π；（B ）；)4(22y +π（C ） )1(1 2 y +π；（D ） y arctan 1π ； 4、设圆的半径)1,0(~U R ，求圆的面积2R S π=的分布密度。 解：因为)1,0(~U R ，???<<=.,0, 10,1)(其它r r f 当0≤s ，0}{)(=≤=s S P s F ；当π≤ π π π π ππ s dr s R P s R s P s R P s S P s F s = =≤ ≤=≤ ≤- =≤=≤=? 2 1}0{}{}{}{)(；当 π>s ，1}{)(=≤=s S P s F 所以?? ???≤≤==.,0. 0,21 )(')(其它ππs s s F s f 1、设长方形的长)1,0(~U X ，已知长方形的周长为2，求长方形面积的数学期望和方差。 解：因)1,0(~U X ，故???<<=其他；,0, 10,1)(x x f ……………………（1分） 面积为)1(X X A -=，所以 6 1 )1()()1())1(()(1 = -=-=-=?? ∞+∞ -dx x x dx x f x x X X E A E …………（2分） 30 1)1()()1())1(()(1 2222222= -=-=-=??∞+∞ -dx x x dx x f x x X X E A E ， 180 1361301)()()(22=-= -=A E A E A D …………………………（3分） 2、若)1,0(~N X ，X e Y =，求Y 的概率密度函数。 解：因为当0≤y 时，y e Y X ≤=是不可能事件，所以0}{)(=≤=y Y P y F Y ； 又当0>y 时，)(ln }ln {}{}{)(y F y X P y e P y Y P y F X X Y =≤=≤=≤=（5分） 所以Y 的概率密度函数? ?? ??≤>?==-.0,, 0,0,1 21)(')(2)(ln 2 y y y e y F y f y Y Y π（3分） 1、设)1,0(~N X ，求X Y =的概率密度。 解：设随机变量X 和Y 的分布函数分别为)(x F X 、)(y F Y ，先求Y 的分布函数)(y F Y 。由于0≥=X Y ，故当0≤y 时，0)(=y F Y ……………………（1分） 当0>y 时，有)()(}{}{}{)(y F y F y X y P y X P y Y P y F X X Y --=≤≤-=≤=≤=， 将)(y F Y 关于y 求导数，即得Y 的概率密度为 ?? ???≤>=???≤>-+=-.0,0, 0,2.0,0,0)],()([2)(22 y y e y y y f y f y f y X X Y π ……………（4分） 1、设)1,0(~N X ，求2X Y =的概率密度。 解：设随机变量X 和Y 的分布函数分别为)(x F X 、)(y F Y ，先求Y 的分布函数)(y F Y 。由于02≥=X Y ，故当0≤y 时，0)(=y F Y ……………………（2分） 当0>y 时，有 )()(}{}{}{)(2y F y F y X y P y X P y Y P y F X X Y --=≤≤-=≤=≤=， 将)(y F Y 关于y 求导数，即得Y 的概率密度为 ?????≤>=??? ??≤>-+=-.0, 0,0,21.0,0,0)],()([21 )(2y y e y y y y f y f y y f y X X Y π……………（4分） 1、设随机变量)1,0(~U X ，求X e Y 2=的分布密度函数)(y f Y 。 解：因)1,0(~U X ，故???<<=其他； ,0, 10,1)(x x f X ……………………（1分） ?? ?????≥<≤<=??? ????≥<≤<=≤=≤=?.,1,1,ln 21,1,0.,1,1,)(,1,0}ln 21{}{)(2 222 ln 2102e y e y y y e y e y dx x f y y X P y e P y F y X X Y ……（3 分） ??? ????≥<≤<==.,1,1,21 , 1,0)(')(22e y e y y y y F y f Y Y …………………（2分） 3、设随机变量X 具有概率密度???? ?<<=其它 , 040, 8)(x x x f X ， 求随机变量Y=2X+8的概率密度。 解： ?-∞-=-≤ =≤+=≤=28 )()2 8 ()82()()(y X Y dx x f y X P y X P y Y P y F …（3分） ??? ??<<-=?????<-< -='--=.0168,328 0428 0,2 1 )28( 81)28)(28()(其它， ，其它， ， ，y y y y y y f y f X Y …（3分） 17、设随机变量X 具有概率密度???? ?? ?? ?<≤<<-=.,,,,,)(其他0204 10121 x x x f X 令2Y X =,求随机变量Y 的概率密度()Y f y . 解： 2()()()Y F y P Y y P X y =≤=≤ …………………（1分） 当0y <时，()0Y F y = ………………（1分） 当01y ≤< 时，0 14 ()(Y F y P X dy =≤=+= ? 1分） 当14y ≤< 时，12()(Y F y P X =≤=；…………………（1分） 当4y ≤时，()1Y F y =； ………………………（1分） 所以，0,0,,01, ()1,14,214.Y y y F y y y ??≤ ?,01, ()(),14,0,. Y Y y f y F y y < 其他……（2分） 注：能写出()Y F y 即可给分，分布函数求解过程中步骤不全可酌情给分。 七、常见随机变量的分布与数字特征 2．设),(~p n b X ，4.2)(=X E ，44.1)(=X D ，则=n __6___，=p __0.4___。 2、设),(~1p n b X ，),(~2p n b Y 则~Y X +),(21p n n b +； 1．设离散型随机变量),1(~p b X ，}1{4}0{===X P X P ，则==}0{X P __0.8___。 3、若)(~λπX 且)2(3)1(===X P X P ，则=λ 2/3 ； 3、若)2(~πX ，则=)(2X E 6 ； 3、设)(~λπX ，且}2{}1{===X P X P ，则=λ___2________； 4、设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则==)}({2X E X P e 21 ； 3、设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则==}{k X P e k !1 ； 6、设X 和Y 相互独立，且分别服从参数为3和5的泊松分布，则Y X +服从参数为 8 的泊松分布； 5、设随机变量X 服从区间()b a ,上的均匀分布，且()3=X E ，()3 4 =X D ，则a = 1 与b = 5 ； 5、若)3(~πX ，则=)(2X E 12 ； 4、根据历史地震资料分析，某地连续两次强震之间时间间隔的年数X 是一随机变量， 其分布函数为0.11,0, ()0,0. x e x F x x -?-≥=? 5、本次考试共有7个选择题，每题有四个选项，其中只有一个为正确选项。同学甲一题都不会，遂决定采取随便“蒙”的方法选答案。若以X 表示该同学“蒙”对答案的题数，则()E X = 7/4 ； 5、某同学进行三分球投篮练习，直到首次投中三分球为止共投篮球X 次。已知每次投中三分球的概率为0.25，则E()X = 4 ，()D X = 12 ； 2、设随机变量X 的概率分布律为 ,2,1,0,! }{== =k k A k X P ，则参数=A （ D ） (A) 0 ； (B) 1； (C) e ； (D) 1-e ； 4、设()2,~σμN X ，b aX Y -=，其中a 、b 为常数，且0≠a ，则~Y （D ） ()A .()222,b a b a N +-σμ； ()B .() 222,b a b a N -+σμ； ()C .()2 2 ,σμa b a N +； ()D .()2 2 ,σμa b a N -. 4、设()2 ,~σμN X ，b aX Y +=，其中a 、b 为常数，且0≠a ，则~Y （ C ） ()A .()222,b a b a N +-σμ； ()B .( ) 222,b a b a N -+σμ； ()C .()2 2, σμa b a N +； ()D .() 22, σμa b a N -． 5、设随机变量X 服从区间()b a ,上的均匀分布，并且()3=X E ，()3 4 = X D ，试常数a 与b 为 （ B ） （A ）0=a ，6=b ；（B ）1=a ，5=b ；（C ）2=a ，4=b ；（D ）5=a ，1=b . 4、某地警察每晚查获机动车醉驾的人数X 服从参数为20=λ泊松分布，则今晚某地警察查获至少一人醉驾的概率为201--e ； 3、尽管一再强调考试不要作弊，但每次考试往往总有一些人作弊。假设某校以往每学期期末考试中作弊同学人数X 服从参数为10的泊松分布，则本次期末考试中无同学作弊的概率为 10-e ； 5某地每天发生交通事故的次数X 服从参数为10=λ泊松分布，则明天至少发生一次交通事故的概率为101--e ； 5、设随机变量X 在]6,1[上服从均匀分布，则方程012=++Xx x 有实根的概率为 4/5或0.8 ； 3．设随机变量)1,0(~N X ，X 的分布函数为)(x Φ，则)2(>X P 的值为 （A ）)]2(1[2Φ-. （B ）1)2(2-Φ. （C ）)2(2Φ-. （D ）)2(21Φ-. （ A ） 4、若)1,0(~N X ，则2|(|>X P )=（ A ） （A ）)]2(1[2Φ-；（B ）1)2(2-Φ；（C ）)2(2Φ-；（D ）)2(21Φ-。 4、若X 服从标准正态分布)1,0(N ，则)1|(|>X P =（ B ） （A ）1)1(2-Φ；（B ）)]1(1[2Φ-；（C ）)1(2Φ-；（D ）)1(21Φ-； 6、若)2,1(~),4,2(~N Y N X 且X 与Y 相互独立，则~2Y X -)12,0(N ； 8、已知)4,2(~N X ，)2,1(~-N Y ，则~2Y X +)12,0(N ； 2、某人射击直到中靶为止,已知每次射击中靶的概率为0.75. 则射击次数的数 学期望与方差分别为 （ D ） ) (A 4934与； )(B 16934与； )(C 4941与； (D) 9 434与． 2、已知某同学投篮球时的命中概率为)10(< 3、设某批电子元件的正品率为5/4，次品率为5/1，现对这批电子元件进行测试，只要 测得一个正品就停止测试工作，则测试次数的分布律为 ,2,1,5 4 51}{1 =? ? ? ??==-k k X P k ； 6、一射手朝一目标独立重复地射击指导击中目标为止，设每次击中目标的概率为p ，X 为首次击中目标时的射击次数，则X 的数学期望为 1/p ； 4、设连续型随机变量X 的概率密度为???<≥=-.0,0, 0,)(x x e x f x λλ， 则=≥})({X D X P （ D ） (A) 0 ； (B) 1； (C) 1-e ； (D) e ； 12、将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 分别表示正面朝上和反面朝上的次数，则X 和 Y 的相关系数为 （ A ） (A) -1 ； (B) 0； (C) 1/2； (D) 1 . 4、已知某种型号电子器件的寿命X (以小时计)的概率密度函数为 ?????≤>=.100 ,0,100 ,100 )(2x x x x f （1）求X 的分布函数).(x F （2）现有一大批此种器件(设各器件损坏与否相互独立)，任取10只，以Y 表示寿命大于150小时的器件的只数，求Y 的分布律。 解：（1）因为 当100≤x 时，00)(==?∞-x dx x F ，当100>x 时， x x dx x dx x F x x 10011001000)(100 1002100-=??? ???-=+=?? ∞ -， 所以?????≤>- =.100, 0,100,100 1)(x x x x F …………（4分） （2）因为任意一只器件寿命X 大于150小时的概率为3 2 )150(1= -=F p ， 又各器件损坏与否相互独立，所以Y 服从)3 2 ,10(b ，概率分布律为 .10,,2,1,0,313210}{10 =?? ? ????? ?????? ??==-k k k X P k k ………………（8分） 1、某地区人口寿命X 服从80=θ的寿命分布，求该地区人口的平均寿命和40岁以前死亡的概率。 解：因X 服从80=θ的寿命分布，故?????<≥=-00 0801)(80 1x x e x f x ………（1分） （1）人的平均寿命80801)(801 0===-+∞+∞∞-??dx e x dx x xf EX x ； …………(2分) （2）该地区人40岁以前死亡的概率 21 40 0801 40 801 1|)80(801801}40{----=-== 八、 二维离散型随机变量的概率分布 5、从1,2,3中任取一个数，记为X ，再从X ,,1 任取一个数，记为Y ，则 ==}2{Y P 5/18 ； 6．设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为 (,) (1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3) 1111 69183X Y P αβ 若Y X ,独立，则βα,的值为 （A ）91,92==βα. （B ）92 ,91==βα. （C ） 6 1,61==βα （D ）181 ,185==βα. （ A ） 7．设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布分别为 010.40.6X P 01 0.40.6Y P 则有 （A ）()0.P X Y == （B ）()0.5.P X Y == （C ）()0.52.P X Y == （D ）() 1.P X Y == （ C ） 3、二维随机变量),(Y X 的联合分布律为1 .03 .02 .01 2.01.01 .00101-Y X 则)1(=+Y X P =（C ） (A) 0.2； (B) 0.3； (C) 0.5； (D) 1. 11、设二维离散型随机变量(,)X Y 的联合概率分布为 则c= （ A ） (A) 0 ； (B) 16； (C) 112； (D) 124 . 1、二维随机变量),(Y X 的联合分布律为 1 .01.02.012 .03.01.00 1 01-Y X （1）求Y X ,的边缘分布律；（2）求)0(=+Y X P 。 解：.（1）3.02.01.0)1(=+=-=X P ，4.01.03.0}0{=+==X P ， 3.01.02.0}1{=+==X P ，6.02.03.01.0}0{=++==Y P ， 4.01.01.02.0}1{=++==Y P 。 （5分） （2）5.0}1,1{}0,0{)0(==-=+====+Y X P Y X P Y X P 。 （3分） 2、二维随机变量),(Y X 的联合分布律为 1 .03.02.012 .01.01.00 1 01-Y X （1）求Y X ,的边缘分布律；（2）求)1(=+Y X P ；（3）Y X ,是否相互独立。 解：（1）3.02.01.0)1(=+=-=X P ，4.01.03.0}0{=+==X P ， 3 .01.02.0}1{=+==X P ， 4 .02.01.01.0}0{=++==Y P ， 6.01.03.02.0}1{=++==Y P 。…………………………………（4分） （2）5.0}0,1{}1,0{)1(===+====+Y X P Y X P Y X P ………………（7分） （3）因为}0{}0{1.0}0,0{==≠===Y P X P Y X P ，Y X ,不相互独立。 概率论与数理统计期末复习资料 一 填空 1．设A ，B 为两个随机事件，若A 发生必然导致B 发生，且P (A )=0.6，则P (AB ) =______． 2．设随机事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.7，P (A -B )=0.3，则P (B ) = ______． 3．己知10件产品中有2件次品，从该产品中任意取3件，则恰好取到一件次品的概率等于______． 4．已知某地区的人群吸烟的概率是0.2，不吸烟的概率是0.8，若吸烟使人患某种疾病的概率为0.008，不吸烟使人患该种疾病的概率是0.001，则该人群患这种疾病的概率等于______． 5．设连续型随机变量X 的概率密度为? ??≤≤=,,0; 10,1)(其他x x f 则当10≤≤x 时，X 的分布函数F (x )= ______． 6．设随机变量X ～N (1，32 )，则P{-2≤ X ≤4}=______．(附：)1(Φ=0.8413) 7．设二维随机变量(X ，Y )的分布律为 则P {X <1,Y 2≤}=______． 8．设随机变量X 的期望E (X )=2，方差D (X )=4，随机变量Y 的期望E (Y )=4，方差D (Y )=9，又E (XY )=10，则X ，Y 的相关系数ρ= ______． 9．设随机变量X 服从二项分布)3 1,3(B ，则E (X 2 )= ______． 10．中心极限定理证明了在很一般条件下，无论随机变量Xi 服从什么分布，当n →∞时，∑=n i i X 1 的极限分布是 _________________ 11．设总体X ～N (1，4)，x 1，x 2，…，x 10为来自该总体的样本，∑== 10 110 1 i i x x ，则)(x D = ______.· 12．设总体X ～N (0，1)，x 1，x 2，…，x 5为来自该总体的样本，则 ∑=5 1 2i i x 服从自由度为______ 的2χ分布． 15．对假设检验问题H 0：μ=μ0，H 1：μ≠μ0，若给定显著水平0.05，则该检验犯第一类错误的概率为______． 16．设A ，B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P （A ）=0.3，P （B ）=0.4，则P （A B ）=__________. 17．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的 概率为_________. 18．设随机变量X 的概率密度?? ???≤≤=,,0; 10 ,A )(2其他x x x f 则常数A=_________. 07试题 一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，总计18分） 1. 设,A B 为随机事件,()()0.7P A P B +=,()0.3P AB =,则() () P AB P AB += 2．10件产品中有4件次品,从中任意取2件,则第2件为次品的概率为 3．设随机变量X 在区间[0,2]上服从均匀分布,则2Y X =的概率密度函数为 4．设随机变量X 的期望()3E X =,方差()5D X =,则期望()2 4E X ??+=? ? 5. 设随机变量X 服从参数为2的泊松分布,则应用切比雪夫不等式估计得 {} 22P X -≥≤ . 6. 设1234,,,X X X X 是来自正态总体X ~()0,4N 的样本,则当a = 时, ()()22 123422Y a X X a X X =++-~()22χ. 二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题 共6个小题，每小题3分，总计18分） 1．设,A B 为对立事件, ()01P B <<, 则下列概率值为1的是( ) ~ (A) ()|P A B ; (B) ()|P B A ; (C) () |P A B ; (D) ()P AB 2. 设随机变量X ~()1,1N ,概率密度为()f x ,分布函数()F x ,则下列正确的是( ) (A) {0}{0}P X P X ≤=≥; (B) {1}{1}P X P X ≤=≥; (C) ()()f x f x =-, x R ∈; (D) ()()1F x F x =--, x R ∈ 3. 设()f x 是随机变量X 的概率密度,则一定成立的是( ) (A) ()f x 定义域为[0,1]; (B) ()f x 非负; (C) ()f x 的值域为[0,1]; (D) ()f x 连续 4. 设4{1,1}9P X Y ≤≤= ,5 {1}{1}9 P X P Y ≤=≤=,则{min{,}1}P X Y ≤=( ) (A) 23; (B) 2081; (C) 49; (D) 13 5. 设随机变量(),X Y 的方差()4D X =,()1D Y =,相关系数0.6XY ρ=,则方差 ()32D X Y -= ( ) - (A) 40; (B) 34; (C) ; (D) 6. 设12,,,n X X X 是正态总体X ~() 2,N μσ的样本,其中σ已知,μ未知,则下列不是 统计量的是( ) (A) 1max k k n X ≤≤; (B) 1min k k n X ≤≤; (C) X μ-; (D) 1 n k k X σ =∑ 三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，共计60分） 1．甲乙丙三个同学同时独立参加考试,不及格的概率分别为: ,,, (1) 求恰有2位同学不及格的概率； (2) 若已知3位同学中有2位不及格,求其中1位是同学乙的概率. * 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 1 全国2018年7月高等教育自学考试 概率论与数理统计（二）试题 课程代码：02197 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设事件A 与B 互不相容，且P(A)>0,P(B)>0,则有（ ） A.P(A ?B)=P(A)+P(B) B.P(AB)=P(A)P(B) C.A=B D.P(A|B)=P(A) 2.某人独立射击三次，其命中率为0.8，则三次中至多击中一次的概率为（ ） A.0.002 B.0.008 C.0.08 D.0.104 3.设事件{X=K}表示在n 次独立重复试验中恰好成功K 次，则称随机变量X 服从（ ） A.两点分布 B.二项分布 C.泊松分布 D.均匀分布 4.设随机变量X 的概率密度为f(x)=???<<-其它,02 x 1),x 2x 4(K 2 则K=（ ） A.165 B.21 C.43 D.54 5. 则F(1,1) =（ ） A.0.2 B.0.3 C.0.6 D.0.7 6.设随机向量（X ，Y ）的联合概率密度为f(x,y)=????? <<<<--; ,0,4y 2,2x 0),y x 6(81 其它 则P （X<1,Y<3）=（ ） 2 A.8 3 B.8 4 C.8 5 D.87 7.设随机变量X 与Y 相互独立，且它们分别在区间[-1，3]和[2，4]上服从均匀分布，则E （XY ）=（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 8.设X 1, X 2, …,X n ，…为独立同分布的随机变量序列，且都服从参数为 21的指数分布，则当n 充分大时，随机变量Y n =∑=n 1i i X n 1的概率分布近似服从（ ） A.N （2，4） B.N （2，n 4） C.N （n 41,21） D.N （2n,4n ） 9.设X 1,X 2,…，X n (n ≥2)为来自正态总体N （0，1）的简单随机样本，X 为样本均值，S 2为样本方差，则有（ ） A.)1,0(N ~X n B.nS 2~χ2(n) C.)1n (t ~S X )1n (-- D.)1n ,1(F ~X X )1n (n 2i 2i 21 --∑= 10.若θ)为未知参数θ的估计量，且满足E （θ)）=θ，则称θ)是θ的（ ） A.无偏估计量 B.有偏估计量 C.渐近无偏估计量 D.一致估计量 二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.设P （A ）=0.4，P （B ）=0.5，若A 、B 互不相容，则P （AB ）=___________. 12．某厂产品的次品率为5%，而正品中有80%为一等品，如果从该厂的产品中任取一件来检验，则检验结果是一等品的概率为___________. 13．设随机变量X~B （n,p ），则P （X=0）=___________. 概率论与数理统计练习题 一、填空题 1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=，P (B)=，P (B A)=，则P (A+B)=__ __。 2、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量，若)? ()?(21θθD D <，则称1?θ比2?θ有效。 3、设A 、B 为随机事件，且P (A )=, P (B )=, P (A ∪B )=，则P (B A )=。 4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。 5. 设随机变量X 的概率密度是： ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ，且{}784 .0=≥αX P ，则α= 。 6. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ，则 E (Y )= 3/4 。 7. 若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝X －Y ＋3，则Z ～ N (2, 13) 。 * 8. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=，P (A －B)=，则=?)(B A P 。 9. 设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ=，Φ=，则{}=<2X P 。 10. 随机变量X 的概率密度函数1 22 1 )(-+-= x x e x f π ，则E (X )= 1 。 11. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?? ?≤≤≤≤=其他 , 010,20, ),(y x xy y x f ，则 E (X )= 4/3 。 12. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 。 13. 设随机变量),(~2σμN X ，其密度函数6 4 4261)(+-- = x x e x f π ，则μ= 2 。 14. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在，令DX EX X Y /)(-=，则D Y= 1 。 15. 随机变量X 与Y 相互独立，且D (X )=4，D (Y )=2，则D (3X －2Y )＝ 44。 16. 三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为3 1 ,41,51，则目标能被击中 的概率是3/5 。 17. 设随机变量X ～N (2，2σ)，且P {2 < X <4}＝，则P {X < 0}＝ 。 ！ 18. 设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ，则X 的期望 第1章 概率论的基本概念 1.1 随机试验 称满足以下三个条件的试验为随机试验： （1）在相同条件下可以重复进行； （2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果； （3）进行试验之前，不能确定哪个结果出现。 1.2 样本点 样本空间 随机事件 随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。 样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。 随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中，试验的目的不同时，样本 空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。 样本空间的子集称为随机事件，简称事件。 在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。 1.3 事件的关系及运算 （1）包含关系 B A ?，即事件A 发生，导致事件B 发生； （2）相等关系 B A =，即B A ?且A B ?； （3）和事件（也叫并事件） B A C ?=，即事件A 与事件B 至少有一个发生； （4）积事件（也叫交事件） B A AB C ?==，即事件A 与事件B 同时发生； （5）差事件 AB A B A C -=-=，即事件A 发生，同时，事件B 不发生； （6）互斥事件（也叫互不相容事件） A 、 B 满足φ=AB ，即事件A 与事件B 不同时发生； （7）对立事件（也叫逆事件） A A -Ω=，即φ=Ω=?A A A A ,。 1.4 事件的运算律 （1）交换律 BA AB A B B A =?=?,； （2）结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =??=??,； （3）分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ??=??=?,； （4）幂等律 A AA A A A ==?, ； （5）差化积 B A AB A B A =-=-； （6）反演律（也叫德·摩根律）B A AB B A B A B A B A ?==?=?=?,。 1.5 概率的公理化定义 设E 是随机试验，Ω为样本空间，对于Ω中的每一个事件A ，赋予一个实数P （A ），称之为A 的概率，P （A ）满足： （1）1)(0≤≤A P ； （2）1)(=ΩP ； （3）若事件 ，，， ，n A A A 21两两互不相容，则有 () ++++=????)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。 1.6 概率的性质 （1）0)(=φP ； （2）若事件n A A A ，， ， 21两两不互相容，则())()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=??? ； （3）)(1)(A P A P -=； （4）)()()(AB P B P A B P -=-。 特别地，若B A ?，则)()(),()()(B P A P A P B P A B P ≤-=-； （5）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?。 2019年4月高等教育自学考试全国统一命题考试 概率论与数理统计(经管类)04183 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。 1.设()0.6P B =，()0.5P A B =，则()P A B -= A. 0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 2.设事件A 与B 相互独立，且()0.6P A =,()0.8P A B =，则()P B = A. 0.2 B.0.4 C.0.5 D.0.6 3.甲袋中有3个红球1个白球，乙袋中有1个红球2个白球，从两袋中分别取出一个球，则两个球颜色相同的概率的概率是 A. 16 B. 14 C. 13 D. 512 4.设随机变量X 则P{X>0}= A. 14 B. 12 C. 34 D. 1 5.设随机变量X 的概率为,02()0,cx x f x ≤≤?=?? 其他，则P{X ≤1}= A. 14 B. 12 C. 23 D. 34 6.已知随机变量X~N(-2,2)，则下列随机变量中，服从N(0,1)分布的是 A. 1(2) 2X - B. 1(2)2X + C. 2)X - D. 2)X + A. 0.1 B.0.4 C.0.5 D.0.7 8.设随机变量X 与Y 相互独立，且D(X)=4，D(Y)=2,则D(3X-2Y)= A. 8 B.16 C.28 D.44 9.设123,,x x x 是来自总体X 的样本，若E(X)=μ(未知)，123132 x ax ax μ=-+是μ的无偏估计，则常数a= A. 16 B. 14 C. 13 D. 12 10.设12,,,(1)n x x x n >为来自正态总体2(,)N μσ的样本，其中2,μσ均未知，x 和2s 分别是样本均值和样本方差，对于检验假设0000=H H μμμμ≠：，：，则显著性水平为α的检验拒绝域为 A. 02(1)x n αμ??->-???? B. 02x αμ??->??? ? C. 02(1)x n αμ??-≤-???? D. 02x αμ??-≤??? ? 二、填空题：本大题共15小题，每小题2分，共30分。 11.设A,B,C 是随机事件，则“A,B,C 至少有一个发生”可以表示为 . 12.设P(A)=0.3,P(B)=0.6,P(A|B)=0.4,则P(B|A)= . 13.袋中有3个黄球和2个白球，今有2人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第2个人取得黄球的概率为 . 14.已知随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2}，则λ= . 15.设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则P{X ≥1}= . P{X=Y}= . 17.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为,01,02,(,)0,, c x y f x y ≤≤≤≤?=??其他 则常数c= . 18.设随机变量X 服从区间[1,3]上的均匀分布，Y 服从参数为2的指数分布，X,Y 相互独立，f(x,y)是(X,Y)的概率密度，则f(2,1)= . 19.设随机变量X,Y 相互独立，且X~B(12,0.5),Y 服从参数为2的泊松分布，则E(XY)= . 20.设X~B(100,0.2), 204 X Y -=，由中心极限定理知Y 近似服从的分布是 . 21.已知总体X 的方差D(X)=6, 123,,x x x 为来自总体X 的样本，x 是样本均值，则D(x )= . 22.设总体X 服从参数是λ的指数分布，12,, ,n x x x 为来自总体X 的样本，x 为样本 均值，则E(x )= . 23.设1216,, ,x x x 为来自正态总体N(0,1)的样本，则2221216x x x +++服从的分布是 . 第一阶段在线作业 第1题 您的答案:B 题目分数：0.５ 此题得分：0.5 批注：对立不是独立。两个集合互补。第２题 您的答案:D 题目分数：0．5 此题得分:0.5 批注:A发生，必然导致和事件发生。第３题 您的答案：B 题目分数:0.5 此题得分:0.５ 批注：分布函数的取值最大为1,最小为0. 第4题 您的答案:A 题目分数:０.５ 此题得分:0.5 批注：密度函数在【-1，1】区间积分。第5题 您的答案：Ａ 题目分数:0.5 此题得分：0.5 批注：A答案，包括了ＢC两种情况。 第６题 您的答案：A 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注:古典概型,等可能概型,16种总共的投法。第7题 您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:几何概型,前两次没有命中，且第三次命中,三次相互独立,概率相乘。 第８题 您的答案:D 题目分数:０.5 此题得分：0.5 批注：利用随机变量单调性函数的概率密度求解公式公式。中间有反函数求导数，加绝对值。第9题 您的答案：C 题目分数：0.５ 此题得分:0.5 批注：利用概率密度的性质，概率密度在相应范围上的积分值为1.验证四个区间。 第10题 您的答案：B 题目分数:０.5 此题得分:0.5 批注：利用分布函数的性质，包括分布函数的值域[0，1]当自变量趋向无穷时，分布函数取值应该是1.排除答案。 第1１题 您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注：利用上分位点的定义。 第12题 您的答案：B 题目分数：0.5 此题得分：0.５ 批注：利用和事件的公式,还有概率小于等于1.P（AB)小于等于P（C）。第13题 一、选 择 题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) (1)设A 、B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则必有( ) (A)0)(>A B P (B))()(A P B A P = (C)0)(=B A P (D))()()(B P A P AB P = (2)将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（ ） 3311() () () ()32 8 168 A B C D (3)),4,(~2 μN X ),5,(~2 μN Y }5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则( ) (A)对任意实数21,p p =μ （B ）对任意实数21,p p <μ (C)只对μ的个别值，才有21p p = （D ）对任意实数μ，都有21p p > (4)设随机变量X 的密度函数为)(x f ，且),()(x f x f =-)(x F 是X 的分布函数，则对任意 实数a 成立的是( ) （A ）? - =-a dx x f a F 0 )(1)( （B ）?-= -a dx x f a F 0 )(21)( （C ）)()(a F a F =- （D ）1)(2)(-=-a F a F (5)已知1250,,,X X X L 为来自总体()2,4X N :的样本，记50 11,50i i X X ==∑ 则 50 21 1()4i i X X =-∑服从分布为( ) （A ）4(2, )50N (B) 2 (,4)50 N （C ）()250χ (D) ()249χ 二、填 空 题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分) (1) 4.0)(=A P ,3.0)(=B P ,4.0)(=?B A P ,则___________)(=B A P (2) 设随机变量X 有密度? ??<<=其它01 0,4)(3x x x f , 则使)()(a X P a X P <=> 的常数a = (3) 设随机变量),2(~2 σN X ，若3.0}40{=< 第一章随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间： （1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标； （3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数； （4）测量一汽车通过给定点的速度. 解所求的样本空间如下 （1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x2+y2<1} （3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0} 2. 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件： （1）A发生，B和C不发生； （2）A与B都发生，而C不发生； （3）A、B、C都发生； （4）A、B、C都不发生； （5）A、B、C不都发生； （6）A、B、C至少有一个发生； （7）A、B、C不多于一个发生； （8）A、B、C至少有两个发生. 解所求的事件表示如下 3．在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运动员，则 （1）事件AB表示什么？ （2）在什么条件下ABC=C成立？ ?是正确的？ （3）在什么条件下关系式C B （4）在什么条件下A B =成立？ 解所求的事件表示如下 （1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立. ?是正确的. （3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B （4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立. 4．设P (A )＝，P (A －B )＝，试求()P AB 解 由于 A ?B = A – AB , P (A )= 所以 P (A ?B ) = P (A ?AB ) = P (A )??P (AB ) = , 所以 P (AB )=, 故 ()P AB = 1? = . 5. 对事件A 、B 和C ，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝1 4 ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 1 8 求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于,()0,?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0 则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A ＝{两球颜色相同}， B ＝{两球颜色不同}. 解 由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为2 2a b A A +，有利于B 的事件数为111111 2a b b a a b A A A A A A +=, 则 2 2 11 2 22()()a b a b a b a b A A A A P A P B A A +++== 《概率论与数理统计》 试卷A （考试时间：90分钟； 考试形式：闭卷） （注意：请将答案填写在答题专用纸上，并注明题号。答案填写在试卷和草稿纸上无效） 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1、A ，B 为二事件，则A B = U () A 、A B B 、A B C 、A B D 、A B U 2、设A ，B ，C 表示三个事件，则A B C 表示( ) A 、A ， B ， C 中有一个发生 B 、A ，B ，C 中恰有两个发生 C 、A ，B ，C 中不多于一个发生 D 、A ，B ，C 都不发生 3、A 、B 为两事件，若()0.8P A B =U ，()0.2P A =，()0.4P B =， 则( )成立 A 、()0.32P A B = B 、()0.2P A B = C 、()0.4P B A -= D 、()0.48P B A = 4、设A ，B 为任二事件，则( ) A 、()()()P A B P A P B -=- B 、()()()P A B P A P B =+U C 、()()()P AB P A P B = D 、()()()P A P AB P AB =+ 5、设事件A 与B 相互独立，则下列说法错误的是() A 、A 与 B 独立 B 、A 与B 独立 C 、()()()P AB P A P B = D 、A 与B 一定互斥 6、设离散型随机变量X 的分布列为 其分布函数为()F x ，则(3)F =() A 、0 B 、0.3 C 、0.8 D 、1 7、设离散型随机变量X 的密度函数为4,[0,1] ()0, cx x f x ?∈=??其它 ，则常数c = () A 、 15 B 、1 4 C 、4 D 、5 07.4 10.设总体X 服从正态分布N （μ，1），x 1，x 2，…，x n 为来自该总体的样本，x 为样本均值，s 为样本标准差，欲检验假设H 0∶μ=μ0，H 1∶μ≠μ0，则检验用的统计量是（ ） A.n /s x 0μ- B.)(0μ-x n C. 1 0-μ-n /s x D.)(10μ--x n 23.设样本x 1，x 2，…，x n 来自正态总体N （μ，9），假设检验问题为H 0∶μ=0，H 1∶μ≠0，则在显著性水平α下，检验的拒绝域W=___________。 24.设0.05是假设检验中犯第一类错误的概率，H 0为原假设，则P {拒绝H 0｜H 0真}= ___________。 07.7 25．设总体X~N （μ,σ2），X 1，X 2，…，X n 为来自该总体的一个样本.对假设检验问题 2 212020::σσσσ≠?=H H ，在μ未知的情况下，应该选用的检验统计量为___________. 9．在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是（ ） A ．在H 0不成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率 B ．在H 0不成立的条件下，经检验H 0被接受的概率 C ．在H 0成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率 D ．在H 0成立的条件下，经检验H 0被接受的概率 24．设总体X~N （μ,σ2 ）,x 1,x 2,x 3,x 4为来自总体X 的体本，且2 4 1 2 4 1 )(,4 1 σ∑∑==-= i i i i x x x x 则 服 从自由度为____________的2χ分布. 27．假设某校考生数学成绩服从正态分布，随机抽取25位考生的数学成绩，算得平均成绩 61=x 分，标准差s=15分.若在显著性水平0.05下是否可以认为全体考生的数学平均成 绩为70分？（附：t 0.025(24)=2.0639） 08.1 23.当随机变量F~F(m,n )时,对给定的.)),((),10(ααα=>< 概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）． 习题五 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10 【解】令1,,0,i i X ?? ?若第个产品是合格品其他情形. 而至少要生产n 件，则i =1,2,…,n ,且 X 1，X 2，…，X n 独立同分布，p =P {X i =1}=. 现要求n ,使得 1 {0.760.84}0.9.n i i X P n =≤ ≤≥∑ 即 0.80.9n i X n P -≤≤≥∑ 由中心极限定理得 0.9,Φ-Φ≥ 整理得0.95,Φ≥?? 查表 1.64,10≥ n ≥, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能 才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%, 概率论与数理统计（经管类）综合试题一 （课程代码 4183） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.下列选项正确的是 ( B ). A. A B A B +=+ B.()A B B A B +-=- C. (A -B )+B =A D. AB AB = 2.设 ()0,()0 P A P B >>，则下列各式中正确的是 ( D ). A.P (A -B )=P (A )-P (B ) B.P (AB )=P (A )P (B ) C. P (A +B )=P (A )+P (B ) D. P (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB ) 3.同时抛掷3枚硬币，则至多有1枚硬币正面向上的概率是 ( D ). A. 18 B. 16 C. 14 D. 12 4.一套五卷选集随机地放到书架上，则从左到右或从右到左卷号恰为1，2，3，4，5顺序的概率为 ( B ). A. 1120 B. 160 C. 15 D. 12 5.设随机事件A ，B 满足B A ?，则下列选项正确的是 ( A ). A.()()()P A B P A P B -=- B. ()()P A B P B += C.(|)()P B A P B = D.()()P AB P A = 6.设随机变量X 的概率密度函数为f (x )，则f (x )一定满足 ( C ). A. 0()1f x ≤≤ B. f (x )连续 C. ()1f x dx +∞-∞ =? D. ()1f +∞= 7.设离散型随机变量X 的分布律为(),1,2,...2k b P X k k ===，且0b >，则参数b 的 值为 ( D ). A. 12 B. 13 C. 1 5 D. 1 1、甲，乙两人向同一目标独立地各射击一次,命中率分别为2 1 ,31现已知目标被击 中，则它是甲命中的概率为（） A 、1/3 B 、2/5 C 、1/2 D 、2/3 2、设C B A ,,是三个相互独立的随机事件，且1)(0< 概率论与数理统计复习题--带答案 ;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A －B)=（0.3 ）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌 机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求 敌机被击中的概率为（0.94 ）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率 为（0.496 ）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立 射击４次，则击中二次的概率为 （ 0.3456 ）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都 不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不多于一个发生可表示为（AB AC BC I I）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=（0.5 ）； 9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机 的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（0.8 ）； 10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=（0.5 ） 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864 ）。 12.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=（0.3 ）; 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.5 ） 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B= U（S ）15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰 有一个发生可表示为 （ABC ABC ABC ++） 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=，() P A=，()0.2 （ 0.2 ） 17.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB=（S ） 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次 ）。 就能打开保险箱的概率为（1 10000概率论与数理统计期末复习资料(学生)
概率论与数理统计试题
概率论与数理统计习题集及答案
《概率论与数理统计》期末考试试题及解答
7月全国自考概率论与数理统计(二)试题及答案解析
概率论与数理统计练习题
概率论与数理统计期末总结
全国2019年4月高等教育自学考试概率论与数理统计(经管类)试题
《概率论与数理统计》在线作业
(完整word版)概率论与数理统计期末试卷及答案
概率论与数理统计习题解答
概率论与数理统计期末考试卷答案
自考概率论与数理统计第八章真题
概率论与数理统计题库及答案
概率论与数理统计习题答案
(完整版)自考作业答案概率论与数理统计04183
概率论与数理统计题型
概率论与数理统计复习题--带答案
相关主题
文本预览