本科毕业论文（
设计）
O13 0806014237 分类号 学号 密级 10722 公 开
题 目
（中英文） 数学建模在经济领域中的应用 The application of mathematical modeling in the economic field 作者姓名 指导教师 学科门类 提交论文日期
专业名称 学校代码
成绩评定 卢昭 数学与应用数学 杨雪梅 2012年5月
理学
本文全面系统地总结了数学经济模型的研究背景、目的、意义及其研究历史，从数学模型在经济领域中的典型例子、诺贝尔经济学奖中的数学建模、构建数学经济模型的基本步骤、典型数学经济模型的经济效益等四个方面，阐述了数学建模在经济领域中的应用现状和前景。证明了一个重要结论：数学建模方法在经济领域中的使用不仅在现在，也必将在未来对经济学的研究方法及经济效益实现带来前所未有积极推进作用。
关键词：数学建模；经济；诺贝尔经济学奖
Abstract
In this paper, the research background,purpose,significance and history of economic mathematics model are summarized comprehensively and generally. The application status and prospect of mathematical economic model are elaborated by the following: the typical examples of mathematical economic model, the mathematical model in Prize of Nobel in Economic, the basic steps of mathematical economic model, and the economic benefits of mathematical economic model. An important conclusion is proved: Not only at present, but also in the future, the application of mathematical economic model will promote the development of the method and the realization of economic benefits in economic field.
Keywords: mathematical model ;economic ; Prize of Nobel in Economic
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摘要...................................................... 错误！未定义书签。Abstract.................................................... 错误！未定义书签。目录...................................................... 错误！未定义书签。前言...................................................... 错误！未定义书签。
1 课题概述................................................. 错误！未定义书签。
1.1 研究课题的背景及目的............................... 错误！未定义书签。
1.2 研究课题的意义..................................... 错误！未定义书签。
1.3 课题的研究历史..................................... 错误！未定义书签。
2 数学经济模型概述......................................... 错误！未定义书签。
2.1 数学模型........................................... 错误！未定义书签。
2.1.1 数学模型的内涵................................ 错误！未定义书签。
2.1.2 经济学及数学经济建模.......................... 错误！未定义书签。
2.1.3 数学模型解决经济问题的优势.................... 错误！未定义书签。
2.2 数学经济建模的价值................................. 错误！未定义书签。
2.2.1 经济科学的发展需要数学建模方法的应用.......... 错误！未定义书签。
2.2.2 数学建模的应用使经济研究方法更加严密.......... 错误！未定义书签。
2.3 从诺贝尔经济学奖看数学建模......................... 错误！未定义书签。
2.3.1 诺贝尔经济学奖................................ 错误！未定义书签。
2.3.2 Klein的宏观经济模型......................... 错误！未定义书签。
2.3.3 Stigler文献引证模型......................... 错误！未定义书签。
2.3.4 从诺贝尔经济学奖看数学经济建模的价值.......... 错误！未定义书签。
2.4 构建数学经济模型的基本步骤......................... 错误！未定义书签。
2.4.1 数学经济模型建立的基本步骤.................... 错误！未定义书签。
2.4.2 数学建模的过程还可以用流程图来表示：.......... 错误！未定义书签。
2.5 数学经济模型的类型................................. 错误！未定义书签。
3 典型数学经济模型及其经济效益分析......................... 错误！未定义书签。
3.1 生产计划问题模型................................... 错误！未定义书签。
3.2 养老保险模型....................................... 错误！未定义书签。
4 前景展望................................................. 错误！未定义书签。谢辞...................................................... 错误！未定义书签。参考文献................................................... 错误！未定义书签。
II
咸阳师范学院2012届本科毕业毕业论文
前言
当今时代是一个信息高度丰富的时代，其显著特点之一就是数学的应用向一切领域渗透，进而产生了许多与数学相结合的新学科或边缘学科，如：生物数学、经济数学和地质数学等。而数学建模就是为了解决各种复杂问题而诞生的一种十分有效的数学手段。当代西方经济就认为，经济学的基本研究方法，是分析经济变量之间的函数关系，建立有效的经济模型，从中引申出新的经济原则和理论进行决策和形势预测。运用数学建模方法更好的解决经济问题、获得最佳经济效益，就是我研究这个课题的意义。
近几年来，世界各国在经济方面取得的许多成就都证明：数学经济建模会促进经济的发展，带来现实的生产效益，并对经济决策科学化、定量化起到重要的影响作用。如果把经济学研究中应用数学的程度分为四个等级：特强、强、一般和弱。则可以对获得诺贝尔经济学奖得主进行划分：其中有56%的人可以被评为“特强”，占全体获奖者一半以上；有29%的人被评为“强”；被评为“一般”和“弱”的人共占全体获奖者的15%。这也从一个侧面反映出数学学科于经济领域的紧密结合促使经济学研究更加发展，也反映出数学建模方法确实在实际的应用领域取得了十分丰硕的成果。可以预测，数学向经济领域的逐渐渗透，必将使得经济研究更加深入，经济活动的目的更加容易实现。
1 课题概述
1.1 研究课题的背景及目的
运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似描述和解决经济活动中的实际问题，这种解决经济问题的强有力的数学手段就是数学经济建模。它是对客观经济事物间的空间形式和数量关系的一个近似反映。它对经济世界的实际问题加以提炼，抽象为数学经济模型，并求出模型的解，验证模型的合理性，最终达到运用模型解释现实经济问题的目的。
从经济世界的现实来看，使用数学模型是经济问题的描述变得清晰，语言精炼；逻辑推理严密精确，可以防止漏洞和谬误，避免研究者被表面现象所蒙蔽；证明数据的数量化使得实际证明更具一般性和系统性；数学经济建模方法的使用是经济学研究者从已经有的数据中最大程度的获取有用的信息。
可以使经济研究得到以前仅靠知觉和言语描述无法或不易得到的新结论；也使得国际间对数学经济建模的交流和沟通更加便捷。
1.2 研究课题的意义
将数学建模方法应用于经济领域，就是要将经济现实尽可能的简单化，其前提就是在
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数学建模在经济领域中的应用
经济理论的指导下进行，它在分析研究经济学研究变量之间的关系中是非常重的研究工具，也是经济现实和经济理论的中间环节。数学经济建模在经济学中可以达到计算求解、分析和解决经济问题、验证理论、加工信息、明确思路的目的。有了数学经济模型的加入，对于错综复杂的数量关系，量大面广、相互联系的经济变量间联系的分析研究就变得更加简单化、清晰化。
数学模型的研究，为经济学的研究开辟了一条宽广的大道，与此同时也促使经济学研究从定性研究向定量研究飞越，是经济学研究更富于理性，更加具有发散思维。而数学与经济学的结合也更多地为社会创造了巨大的物质财富，使得社会科学的发展增添了动力。在不久的将来，数学建模必将为经济学的研究及经济的发展提供更加宽广的空间。
1.3 课题的研究历史
在科学技术不断发展的今天，数学建模方法在经济领域中的应用已经为经济的发展提供了一种十分得心应手的解决问题的手段。到目前为止，数学建模已经广泛的应用于经济领域中，并且开拓和发展了许多的交叉学科，如数理经济学、计量经济学、统计经济学等，实现了数学建模在经济领域的一次大的跨越。因为这个原因，现代经济为题的研究更加注重分析经济变量之间的函数关系，建立数学经济模型，并且从中引申出经济理论和原则，最后据此作出经济决策和预测。就像劳埃德·雷诺兹所说：“理论研究，简单说来，就是形成模型，从中得出逻辑预测。”事实上，数学建模在经济领域中的应用这个课题，发展到今天已经成为一种比较完备的、能够有效解决经济问题的手段。建立模型时，不仅要求我们去粗取精、去伪存真，找出事物内部的主要矛盾，而且要求我们在找出事物内部联系的同时，确定相应模型系统的约束条件，利用适当的数学工具刻划事物内部的数学联系，它包括概念、变量以及它们之间的数学联系。
2 数学经济模型概述
2.1 数学模型
2.1.1数学模型的内涵
数学模型，是对实际问题一种数学表述，是对于一个特定对象为了一个特定的目标，根据特有的内在规律，做出的一些必要的简化假设，适当的运用数学工具，得到的一个数学结构。这个数学结构可以是数学公式、表格、算法、图表等。建立数学模型，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化，建立起能近似刻划并解决实际问题的一种强有力的数学手段。
这就是数学模型，它是一种分析的方法，可以极其简单的描述现实世界的各种情况。现实世界是有非常错综复杂的各种主要变量和次要变量构成的。因而通过使用数学建模方
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法，把次要的因素排除在外，试分析更加严格更加清晰。
数学建模，就是这样把现实世界的问题加以提炼，抽象出数学模型，求出模型的解，然后验证模型的合理性，并利用该数学模型所提供的解答来解决现实问题，把这个过程叫做数学建模。
进入20世纪以来，作为数学的一种重要应用，数学建模越来越受到人们的重视。数学在经济领域运用的首要问题是适应性或者是实践性的问题，即能否用所建立的数学模型去概括某个经济现象或者说明某个经济问题。这样，运用数学模型就可以研究经济变量之间的变化关系，探寻其中的经济规律，用可以控制的变量得出必要的结果，从而概括出相应的经济理论假说。
2.1.2经济学及数学经济建模
经济学，是一门研究如何有效配置与管理稀缺资源的理论。本文所涉及到的经济学是指广义的经济学，包括宏观经济学、微观经济学、金融学、市场经济学等。
所谓的数学经济建模，是指用来描述与所研究的经济现象有关的经济变量之间的依存关系的理分析方法。简单地说，就是数学模型在经济领域中的应用。
2.1.3数学模型解决经济问题的优势
现实性，数学模型能客观地反映原型中的经济变量之间的关系；普遍性，数学模型的结构能运用于其他许多原型；简洁性，数学模型能够突出原型的主要矛盾及特征，同时忽略次要矛盾及特征；精确性，数学模型能够比较准确的刻画原型在数量方面的特征；有效性，数学模型可以多方面的刻画经济原型或可以派生出比较多的信息，而且具有多种多样的功能。
总之，数学模型在解决经济问题时发挥了数学的逻辑严谨性和思维的严密性，是经济问题的解决更加便捷和准确。
2.2 数学经济建模的价值
2.2.1经济科学的发展需要数学建模方法的应用
在《经济分析基础》的中文版序言中，萨缪尔森说，不使用数理经济学方法是“不能使人超越经济科学的幼儿园的”。在现代，经济理论工作者越来越清晰地认识到，经济理论研究中级仅靠过去普遍使用的语言文字描述方法进行思辨式推理和分析，很难保证所研究的问题的规范性和推理逻辑的统一性和严密性，自然也就很难保证研究结果的准确性、易证性和理论体系的严密性。这就很不利于经济科学知识准确地交流和传播。而数学建模方法的使用，能使经济学研究对象准确具体、经济变量间的关系的数量化和确保逻辑推理过程的严密性，并最终在理论上保证所得结果准确具体。从而使所研究的经济理论建立在坚实的数学科学基础上，进而促进经济科学的不断发展。
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数学建模在经济领域中的应用
经济年来，数学建模方法在经济领域中得到广泛的应用和发展，而且对经济学的的长足发展产生了深远的影响。例如投入产出模型、经济控制模型、经济增长模型、博弈论模型等都是利用数学建模方法来解决或解释实际的经济问题的，它们对现代经济科学的发展做出了十分重要的贡献。
2.2.2数学建模的应用使经济研究方法更加严密
纵观经济学发展，会清楚的发现经济学的每一次重大突破，都与数学有着密切的关系。投入与产出模型的应用，使国民经济各部门在生产过程中相互依存、相互制约的经济技术联系更加明确；最优化经济模型，是现代经济管理者在作出计划安排、资源分配和最优组合等决策时最常用到的数学工具；计量经济模型的应，使经济理论的研究有了重要的突破；在运用了博弈论之后，对不去认定性问题的分析就有了突破性的进展。数学建模方法不断的应用于经济学的过程，强化了经济学与数学的联系。与此同时，也在不断改变着经济理论研究者的思维方式和行为习惯，使人们的思维和行为更具严谨和定量的特性。因为数学是最严谨的一种逻辑形式，而又有一些人在运用语言是容易逻辑不清。这就要求经济理论工作者在论述和交流中，从以往使用语言文字描述转变为使用数学语言描述。就是应为数学语言比较简练，表达概念时比较准确，听的人也比较容易明白。并且数学语言具有逻辑严谨、没有歧义和容易证明的优点。
2.3 从诺贝尔经济学奖看数学建模
2.3.1诺贝尔经济学奖
诺贝尔经济学奖是1968瑞典银行为庆祝建行300周年，决定从1969年起同样以诺贝尔的名义，颁发经济学奖。这个项奖的全称是“瑞典银行为纪念阿尔弗雷德·诺贝尔的经济学奖(The Central Bank of Sweden Prize of Nobel in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel )”。除奖金来源不同外，诺贝尔经济学奖的整个程序与其他诺贝尔奖的设置完全相同。
从诺贝尔经济学奖得主的工作看来，经济学奖的发展趋势：日益朝着用数学表达经济内容和统计学定量化的方向发展。并且经济科学在经济行为的数学规范和统计定量化的方向上已经越来越发展，用来解释经济增长、商情周期经济波动及各种复杂经济现象的分析工具也越来越强大。经济学家对有关经济战略的经济关系构造数学模型的做法，已经被证明是成功的并且是有效的。
2.3.2Klein的宏观经济模型
1980年诺贝尔经济学奖授予Lawrence R Klein（克莱因），以奖励他创立的宏观经济模型，并把它应用于经济波动以及经济政策的分析。
克莱因与哥德伯格（Arthur Goldberg）两人合作完成了一套新的美国经济模型，并称
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其为克莱因-哥德伯格模型（Klein-Goldberg ）。
克莱因在1950年发表的美国经济模型有以下六个方程：
(ⅰ) 消费函数 t t t t t u p W W p C 11320)'(++++=-βββ，
(ⅱ) 投资函数 t t t t u K p 2171654I ++++=--ββββ，
(ⅲ) 劳动需求 t t t t u t W T Y W T Y W 311110'98)'()(++-++-++=-ββββ，
(ⅳ) 恒等式 t t t t t G I C T Y ++=+，
(ⅴ) 恒等式 t t t t P W W Y ++='，
(ⅵ) 恒等式 t t t I K K +=-1，
其中C 是消费支出，I 是投资支出，G 是政府支出，P 是利润，W 是个人收入，'W 是政府支出，K 是资本储备，T 是税收，Y 是税后收入，t 是时间，1u ，2u 和3u 是随机干扰项。C ，I ，W ，Y ，P 和K 是相互依赖的内生变量，其他变量是预定的外生变量，其中方包括P t-1，K t-1和Y t-1。由此根据上述六个方程导出变量之间的关系。克莱因依据的是1921-1941年的美国数据。克莱因的早期论文主要是方法论性质的，比如他的第一个美国经济模型，只有六个变量，而后来他又提出变量数目多于六个的模型。
克莱因于1980年同中国社会科学院合办了一次计量经济的暑期研习会，从这以后，中国的访问学者也就来到费城。尽管其进展非常有限，但为LINK 建构中国模型，并维持其运作，这也算有了一个好的开始。原来已有的中国模型，是有斯坦福大学的刘遵义（Laurence La ）建立的。1984年，克莱因再度造访中国，并继续讲授计量经济方法。克莱因在中国台湾地区就建构了和LINK 相容模型进行过类似的工作。
2.3.3 Stigler 文献引证模型
1982年诺贝尔经济学奖授予George Joseph Stigler ，以奖励他对行业结构、市场功能和公共监管的起因和效应的系统研究。
Stigler 被认为是“信息经济学”与“监管经济学”的创始人。研究市场信息在市场中的作用，就是信息经济学的主题。比如人在购买房屋、家用电器、汽车一类的耐用品时，会广泛收集信息，以便是自己买到最适合的商品。Stigler 就把这样的问题模型化为效用函数，这一数学观念很快就得到广泛的应用。
Stigler 及其合作者对经济学家在其论文中的引证作了详细的统计分析。其中还对1886-1925年间和1925-1969年间的数据分别做了回归分析，结果对前一时期得到
25,50525,505'0047.0640.0070.0200.029.2C A A B B to to ++++=
（1.68） （0.60） （1.05） （0.05）
数学建模在经济领域中的应用
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R 2=0.23， n=53 。
其中圆括号中的数是t 检验值，B 是代表书的数量，A 代表文章的数量，下标to05表示1905年以前，下标5,25表示1905-1925年间。
根据这个模型，Stigler 得到一个结论：从早起来看，书的重要性是文章的3倍。而且R 2的值很低，这说明出版物的质量所起的作用要比它的数量所起的作用大得多。 对于1925-1969年间的分析结果为
69,5050,252569,5050,2525'263.0046.0028.00081.0162.0066.030.3A A A B B B C to to ++++++=
R 2=0.398， n=126。
根据这个模型，Stigler 得到的结论是：从早期看来文章的影响会更大，而近期的书的影响力则远远不如前者，但近期文章的影响力却在逐年上升。
2.3.4 从诺贝尔经济学奖看数学经济建模的价值
从以上两位诺贝尔经济学奖得主的成绩我们可以看出，数学建模方法应用于经济领域，已经对经济领域的各个方面产生了不可估量的影响，尤其是在经济理论证明和指导实践方面取得了跨越式的发展。将数学建模方法应用于经济领域已经是不可阻挡的趋势，并且其作用和影响也越来越受到人们的热切关注。
2.4 构建数学经济模型的基本步骤
2.4.1 数学经济模型建立的基本步骤
一般来说，要解决一个经济问题，建构一个合理有效的数学模型主要有一下几个步骤：
（1）分析问题
对问题所给的条件和数据进行分析，明确要解决的问题。通过对问题的分析，明确所给的信息与那些知识有关联，判断可能用到的方法和工具，最好是能确定要解决问题的重点和关键所在。
（2）模型假设
根据问题的复杂程度、建立与求解模型所使用的条件和方法，对研究的问题进行一些必要的合理的假设。在数学建模中，进行一些合理的假设不但能够简化问题，还可以限制求解方法和使用范围。这也是评价一个模型的好坏的重要方法之一。提出的模型假设，既要起到是问题简化和突出主要因素的作用，又要是问题不能过分简单或特殊，必要时需要在建立模型的过程中对已经做好的假设进行不断的修改和补充。
（3）建立模型
通过假设对要研究的问题进行简化、抽象，明确影响模型的诸因素，并找出主要因素，用数量和参数来表示这些因素。运用相关数学知识来描述问题中变量与参数之间的数学规律，列出数学表达式、表格或图形。对上述表达式、表格或图形进行数学处理，初步确定
（1.28） （2.09） （0.10） （1.89） （3.37） （2.67）
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数学模型。
（4）模型求解
利用数学相关知识和方法，使用已知数据以及观测数据，求解模型中参数的近似值，从而初步确立模型。在求解过程中掌握一两个数学软件（如Matlab ）会使运算更加简便。
（5）模型的分析、检验和应用
对所确定的模型参数在数学上进行误差分析、模型对数据的灵敏性分析等。还需要把所得解及其分析结果翻译回到实际问题，包括解是否合理适用，数学模型的解在实际问题中是否具有一般意义。若误差较大或灵敏性不高，模型就必须进行调整修改，重复前面的建模过程，直到建立一个符合实际的合理有效的数学模型。
2.4.2 数学建模的过程还可以用流程图来表示：
2.5 数学经济模型的类型
经济模型的分类可以从不同的方面来考虑。从方法论的角度可以划分为投入产出模型、计量经济模型、最优化经济模型和数理经济模型。按照模型的表现形式特征，可以划分为数学模型、网络模型、仿真模型、语言模型和图形模型。还可以按照时间跨度来划分，可以分为横截面数据模型、面板数据模型、年度模型、季度模型和月份模型。从应用的角度出发，可以划分为区域经济模型、微观经济模型、宏观经济模型、贸易模型、金融模型、能源模型和人口模型等。
由于数学的分支较多，加上各分支之间又相互渗透，又会派生出许多新的分支，所以实际问题的分析
依据问题进行假设
初步确立模型 模型参数求解
分析、检验模型
投入其他领域使用
（正确）
（
修
改）
图1
数学建模在经济领域中的应用
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一个给定的经济问题通常都用一个以上的数学方法对其进行描述和解释。所及具体简历什么类型的模型，既要视问题而定，又要因人而异。要了解自己比较熟悉和精通那些学科，这样才可以充分发挥自己的特长，也可以使建立的模型更加贴近实际。
3 典型数学经济模型及其经济效益分析
3.1 生产计划问题模型
一家公司计划制造两种计算机产品：两种计算机使用相同的未处理芯片，但是其中一种使用27英寸的显示器，而另一种使用的是31英寸的显示器，除了40万元的固定费用外，每台使用27英寸显示器的计算机花费1950元 ，而使用31英寸显示器的计算机需要花费2250元。制造商建议每台使用27英寸显示器的计算机零售价定为3390元，而使用31英寸的零售价为3990元。据营销人员估计，在这些计算机的销售市场上，一种类型的计算机每多销售出一台，每台的价格就下降0.1元。此外，两种类型的计算机的销售会互相影响：每销售一台使用31英寸显示器的计算机，估计使用27英寸显示器的计算机的零售价会下降0.03元；每销售一台使用27英寸显示器的计算机，估计使用31英寸显示器的计算机的销售价格会下降0.04元。现假设所有的计算机都可以销售出去，那么应该公司安排生产计划，才能时期生产利润达到最大？
（1）模型分析
这是一个优化问题，其目标是使利润最大化，要做的决策是如何安排生产计划。即使用31英寸显示器的计算机应该生产多少台，使用27英寸显示器的计算机应该生产多少台。有两个条件限制决策：一种类型的计算机每多销售出一台，它的价格就会下降0.1元；一台类型的计算机的销售也会影响另一种类型计算机的销售。
（2）模型假设
①设使用27英寸显示器的计算机生产x 1台，使用31英寸显示器的计算机生产x 2台。 ② p i 为x i 的零售价格，R 为两种计算机的零售收入，C 为计算机制造成本，P 为计算机零
售的总利润。
③制造的所有计算机都可以售出。
④每种类型的计算机的零售价都受自身台数以及另一种类型台数的影响，当两种类型的计算机的台数已经确定时，则两种计算机的零售价格也相应的被确定。
（3）建立模型
约束条件：21103.01.03390x x p --= ，
2121.004.03990x x p --= ，
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两种计算机总的零售收入：2211x p x p R += ，
两种计算机总的的制造成本：2122501950400000x x C ++= ，
于是，所求的使获利最大的目标函数为：
400000
07.01.017401.0144021222211---+-=-=x x x x x x C R P 。 （4）求解模型
由于目标函数是一个非线性方程，故可以将该模型输入相关软件求解。输出结果为：7063,473621==x x ，即生产4736台使用27英寸显示器的计算机，7063台使用31英寸显示器的计算机时可以使获利最大。
3.2 养老保险模型
众所周知，养老保险是保险中一个非常重要的险种，一般情况下保险公司将提供不同的保险方案供投保人选择，或分析保险品种的实际投资价值。换句话说，就是分析如果所交保险费和保险收入，按年或者按月计算实际的利率是多少？
（1）模型假设
因为缴费是按月进行的，所以这个过程可以按月进行划分。假设投保人到第k 月止所缴保费及收益的累计总额为k F ,每月收益为r ，用p ，q 分别表示60岁之前和之后每月缴费数和领取数，N 表示停交保险费的月份，M 表示停止领取保险费的月份。
（2）模型建立
在这个阶段，离散变量k F 的变化规律满足一下式子：
,
)r 1(,
)1(F 11q F F p r F k k k k -+=++=++ M N N k N k ,1,1,,1,0+=-=, 在这里k F 表示从投保人开始缴纳保险费以后，投保人账户上的资金数，需注意我们关心的是在第M 个月时，M F 能否为非负数。如果为正，则表明保险公司获得收益；否则，表明保险公司出现亏损。当它为零时，表示保险公司既没有获得收益也没有出现亏损，即所有的收益全归投保人，把它作为投保人的实际收益。由此可以看出，引入的变量k F 能够很好的刻画整个过程中资金的变化关系。尤其是引入的收益率变量r,虽然它不是要求的投保人的收益率，但是在问题系统中必须要考虑引入另外一个对象，即保险公司的经营效益。以此作为整个过程中各个变量变化的表现基础。
（3）模型计算
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现以25岁起投保为例。假设男性平均寿命为75岁，则有p=200，q=2282，初始值为0F 0=，可以得到： ,
/]1)1[()1(,
/]1)1[()1(F 0k r r q r F F r r p r F N k N k N k k k -+-+=-+++=-- M 1N k N 1,0k ，，，+==, 在上述式子中，分别取k=N 和k=M ，并利用0F M =可以求出：
0)1)(1()1(=+++-+-p
q r p q r N M M , 利用数学软件可以求出方程的根：r=0.00485。这里M=50×12，N=35×12。
4 前景展望
数学经济建模在经济领域中的应用已经取得了丰硕的成果，经济学研究方法不断改进更新，不断贴近实际，不断为使用者带来可观的经济效益。在这样的现实世界的经济大背景下，数学建模方法的应用在经济领域中已经占有相当重要的影响地位，并且在未来这种趋势将更加明显。数学建模方法在经济领域中的使用不仅在现在，也必将在未来对经济学的研究方法及经济效益实现带来前所未有积极推进作用。
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谢辞
四年的大学生活转瞬即逝，入校时的情景仿佛还在昨天，今日就已经是咸阳师范学院的一名毕业生了。四年的勤劳刻苦让我的大学生活充实而精彩。毕业论文是检验大学学习最终成果试金石，对它我倾注了大半个学期的时间和精力，期间
还有很多的老师的同学给予了我很多的支持和帮助，谨在此表达我的衷心的感谢！
首先，我要感谢我的论文指导老师：杨雪梅老师。杨老师严谨的治学态度、孜孜不倦的求索精神和高度的敬业精神都让我深深的为之折服，更对我产生了重要影响。从论文最初的选题、定题到最后的修改、定稿，杨老师在专业知识和论文修改方面给了我很大的帮助。在杨老师的严格要求下，我的理论文终于完成了，真的非常感谢杨老师！
然后，我要感谢的各科代课老师。大学四年，各科的代课老师在专业知识教授和学科引领方面都让我受益匪浅，他们渊博的知识、敏锐的思维和开阔的视野更给了我深深的启迪。在此表达我对各科老师真挚的谢意！
最后，感谢我的同学们。在论文的撰写过程中遇到了很多问题，是我的同学们给了我支持很帮助，我的论文才能顺利完成，谢谢他们！
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数学建模在经济领域中的应用
参考文献
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[7] 薛毅.数学建模基础(第二版)[M].北京：科学出版社，2011:3～5.
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从几个生活实例看数学建模及其应用 [内容摘要] 本文通过几个生活中的事例，并运用数学建模，来分析问题，以便更方便的得出解决问题的方案。从中通过将数学建模的抽象理论实例化，生动化，我们能够更清楚看出数学在生活中无处不在，无处不用。 [关键词] 数学建模生活数学 数学，作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学，与生活是息息相关的。作为用数学方法解决实际问题的第一步，数学建模自然有着与数学相当的意义。在各种不同的领域中，人们一直在运用数学建模来描绘，刻画某种生活规律或者生活现象，以便找到其中解决问题的最佳方案或得到最佳结论。例如，运用模拟近似法建模的方法，在社会科学，生物学，医学，经济些学等学科的实践中，来建立微分方程模型。在这些领域中的一些现象的规律性仍是未知的，或者问题太过复杂，所以在实际应用中总要通过一些简化，近似的模型来与实际情况比对，从而更加容易的得出规律性。 本文通过数学模型在生活中运用的几个例子，来了解，探讨数学模型的相关知识。 一、数学模型的简介 早在学习初等代数的时候，就已经碰到过数学模型了，例如在三个村庄之间建立一个粮仓，使其到三个村子的距离只和最短。我们可以通过建立方程组以及线性规划来解决该问题。
当然，真实实际问题的数学建模通常要复杂得多，但是建立数学建模的基本内容已经包含在解决这类代数应用题的过程中了。那就是：根据建立模型的目的和问题的背景作出必要的简化假设；用字母表示待求的未知量；利用相应的物理或其他规律，列出数学式子；求出数学上的解答；用这个答案解释问题；最后用实际现象来验证结果。 一般来说，数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。 二、数学模型的意义 1）在一般工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地。 2）在高新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具。 3）数学迅速进入一些新领域，为数学建模开拓了许多新的处女地。 三、数学建模实例 例1、某饲养场每天投入6元资金用于饲养、设备、人力，估计可使一头60kg重的生猪每天增重。目前生猪出售的市场价格为12元/kg，但是预测每天会降低元，问该场应该什么时候出售这样的生猪问题分析投入资金可使生猪体重随时间增长，但售价随时间减少，应该存在一个最佳的出售时机，使获得利润最大。根据给出的条件，可作出如下的简化假设。 模型假设每天投入6元资金使生猪的体重每天增加的常数为r（=）;生猪出售的市场价格每天降低常数g（=元）。
应用一图论算法 图论在计算机处理问题中占有重要地位，现实中的很多问题最终都可以转化成图论问题，或者要借助图结构来存储和处理。但是怎么把一图存入计算机就要涉及到数学建模的知识。 比如下面一图： 如果要求出从节点v1到节点v5的所有路径，就可以借助计算机来很轻松的解决。但前提条件是，必须要把图以一种计算机可以理解的形式存进去，即要把它抽象为数学问题。 在此，我们需要定义一些关于图的概念，以便更好的描述问题。 边与顶点的关系有如下几种典型情况： 简单图：无自回环，无重边的图。
无向图：边没有指向， 1212 e. i i i i i ψ（）={v,v}=v v此时称边e i与顶点12 i i v,v关联，称 顶点 1 i v与顶点 2 i v邻接。 有向图:边有指向， 1212 e. i i i i i ψ u u u u u r （）=（v,v）=v v 下面是具体涉及到图如何存储的问题： 1.图G(V,E)的关联矩阵x R=(r) ij n m ，若G(V,E)为无向图， 1 2 i j ij i j j i j j v e r v e e v e e ? ? =? ? ? 与不关联 与关联,为非自回环 与关联,为自回环 若G(V,E)为有向图， 1 2 i j ij i j i j v e r v e v e ? ? =? ? ? 与不关联 是的起点 是的终点 因此该图可以用关联矩阵表示出来，如下所示 1100000 1010100 0101001 0011010 0000111 R ?? ? ? ? = ? ? ? ?? 这样，我们就可以以矩阵的形式将图存入计算机
第四章动态规划 §1 引言 1.1 动态规划的发展及研究内容 动态规划（dynamic programming）是运筹学的一个分支，是求解决策过程（decision process）最优化的数学方法。20世纪50年代初R. E. Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优性原理（principle of optimality），把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法—动态规划。1957年出版了他的名著《Dynamic Programming》，这是该领域的第一本著作。 动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。 虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划（如线性规划、非线性规划），只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。 应指出，动态规划是求解某类问题的一种方法，是考察问题的一种途径，而不是一种特殊算法（如线性规划是一种算法）。因而，它不象线性规划那样有一个标准的数学表达式和明确定义的一组规则，而必须对具体问题进行具体分析处理。因此，在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，应以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。 例1 最短路线问题 下面是一个线路网，连线上的数字表示两点之间的距离（或费用）。试寻求一条由A 到G距离最短（或费用最省）的路线。 例2 生产计划问题 工厂生产某种产品，每单位（千件）的成本为1（千元），每次开工的固定成本为3（千元），工厂每季度的最大生产能力为6（千件）。经调查，市场对该产品的需求量第一、二、三、四季度分别为2，3，2，4（千件）。如果工厂在第一、二季度将全年的需求都生产出来，自然可以降低成本（少付固定成本费），但是对于第三、四季度才能上市的产品需付存储费，每季每千件的存储费为0.5（千元）。还规定年初和年末这种产品均无库存。试制定一个生产计划，即安排每个季度的产量，使一年的总费用（生产成本和存储费）最少。 1.2 决策过程的分类 根据过程的时间变量是离散的还是连续的，分为离散时间决策过程（discrete-time decision process）和连续时间决策过程（continuous-time decision process）；根据过程的演变是确定的还是随机的，分为确定性决策过程（deterministic decision process）和随
第1章数学建模与误差分析 1.1 数学与科学计算 数学是科学之母，科学技术离不开数学，它通过建立数学模型与数学产生紧密联系，数学又以各种形式应用于科学技术各领域。数学擅长处理各种复杂的依赖关系，精细刻画量的变化以及可能性的评估。它可以帮助人们探讨原因、量化过程、控制风险、优化管理、合理预测。近几十年来由于计算机及科学技术的快速发展，求解各种数学问题的数值方法即计算数学也越来越多地应用于科学技术各领域，相关交叉学科分支纷纷兴起，如计算力学、计算物理、计算化学、计算生物、计算经济学等。 科学计算是指利用计算机来完成科学研究和工程技术中提出的数学问题的计算，是一种使用计算机解释和预测实验中难以验证的、复杂现象的方法。科学计算是伴随着电子计算机的出现而迅速发展并获得广泛应用的新兴交叉学科，是数学及计算机应用于高科技领域的必不可少的纽带和工具。科学计算涉及数学的各分支，研究它们适合于计算机编程的数值计算方法是计算数学的任务，它是各种计算性学科的联系纽带和共性基础，兼有基础性和应用性的数学学科。它面向的是数学问题本身而不是具体的物理模型，但它又是各计算学科共同的基础。 随着计算机技术的飞速发展，科学计算在工程技术中发挥着愈来愈大的作用,已成为继科学实验和理论研究之后科学研究的第三种方法。在实际应用中所建立的数学模型其完备形式往往不能方便地求出精确解，于是只能转化为简化模型，如将复杂的非线性模型忽略一些因素而简化为线性模型，但这样做往往不能满足精度要求。因此，目前使用数值方法来直接求解较少简化的模型，可以得到满足精度要求的结果，使科学计算发挥更大作用。了解和掌握科学计算的基本方法、数学建模方法已成为科技人才必需的技能。因此，科学计算与数学建模的基本知识和方法是工程技术人才必备的数学素质。 1.2 数学建模及其重要意义 数学，作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和人们生活的实际需要密切相关。用数学方法解决工程实际和科学技术中的具体问题时，首先必须将具体问题抽象为数学问题，即建立起能描述并等价代替该实际问题的数学模型，然后将建立起的数学模型，利用数学理论和计算技术进行推演、论证和计算，得到欲求解问题的解析解或数值解，最后用求得的解析解和数值解来解决实际问题。本章主要介绍数学建模基本过程和求解数学问题数值方法的误差传播分析。 1.2.1 数学建模的过程 数学建模过程就是从现实对象到数学模型，再从数学模型回到现实对象的循环，一般通过表述、求解、解释、验证几个阶段完成。数学建模过程如图1.2.1所示，数学模型求解方法可分为解析法和数值方法，如图1.2.2所示。 表述是将现实问题“翻译”成抽象的数学问题，属于归纳。数学模型的求解方法则属于演绎。归纳是依据个别现象推出一般规律；演绎是按照普遍原理考察特定对象，导出结论。演绎利用严格的逻辑推理，对解释现象做出科学预见，具有重要意义，但是它要以归纳的结论作为公理化形式的前提，只有在这个前提下
模糊分析法解足球队排名问题 余科（数理学院122112 ） 苏博飞（数理学院122111） 王有元（数理学院122111） 过思甸（公管学院023112） 摘要：本文解答了93年全国大学生数学建模竞赛B题，运用模糊聚类分析法，讨论了足球队比赛的排名问题。首先，我们将数据进行预处理，求出每队的胜,负,平以及总场数，归一化处理后作为建模的影响因子，然后由相似系数构建模糊相似矩阵，最后构建模糊等价矩阵截取进行排名，并将得到的结果从12支队推广到了N支队的情况。本文中所用的方法经过验证，得到的结果合理，可信。 关键词：模糊分析法，相似系数，比赛排名 一问题分析 根据题目所给的表格，我们能得到的数据是残缺和不整齐对称的，这样就给排名造成了困难。例如在图表中，T1队和T2队打了三场比赛，和T5只打了一场比赛，和T11没打比赛。这样如果只是单纯的利用胜利的场数来进行排名，所得到的结果必定是不完善的，同时也是不准确的。因此为了得到较完善的结果，我们可以先将每个队所参加的比赛中，胜，负和平的场数列表如下，得到每个队实力的大概了解。
表一 场数 队T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11 T12 胜10 5 8 1 2 2 13 6 7 6 1 2 负 5 4 4 12 5 3 1 8 8 5 6 3 平 4 6 3 6 2 0 3 3 2 6 2 4 总19 15 15 19 9 5 17 17 17 17 9 9 接着，我们分析各队在每场比赛中的平均进球数，失球数和进失球数差数，这些数据也有助于我们进一步了解各队的实力。列表如下： 表二 T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11 T12 进球数1.41 2 0.8 1.33 3 0.63 2 1 0.6 2.05 9 0.94 1 0.64 7 0.88 2 0.77 8 0.66 7 失球数0.94 1 0.66 7 0.8 1.68 4 1.44 4 1.2 0.58 8 0.82 4 1 1 1.55 6 1 进失球差0.47 1 0.43 3 0.53 3 -1.05 2 -0.44 4 -0.6 1.47 1 0.11 8 -0.35 3 -0.11 8 -0.77 8 -0.33 3 通过表一，二的分析，我们可以确定T7是最好的，T4是最差的，但是对于其他的球队仅以上述数据还是无法得出准确可信的排名。 为了得出合理可信的排名，我们还应该考虑，Ti与其余各队的比赛成绩，由于有的对和其余的对没有比赛，其成绩难以确定。为了解决这个难题，我们准备先制定一个规则，为各队定义一组特征数据，同时计算各队之间的模糊相似度。最后综合表一二，即可得出合理的排名出来。
数学建模的背景： 人们在观察、分析和研究一个现实对象时经常使用模型，如展览馆里的飞机模型、水坝模型，实际上，照片、玩具、地图、电路图等都是模型，它们能概括地、集中地反映现实对象的某些特征，从而帮助人们迅速、有效地了解并掌握那个对象。数学模型不过是更抽象些的模型。 当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子（称为数学模型），然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个全过程就称为数学建模。 近半个多世纪以来, 随着计算机技术的迅速发展，数学的应用不仅在工程技术、自然科学等领域发挥着越来越重要的作用, 而且以空前的广度和深度向经济、金融、生物、医学、环境、地质、人口、交通等新的领域渗透，所谓数学技术已经成为当代高新技术的重要组成部分。 不论是用数学方法在科技和生产领域解决哪类实际问题，还是与其它学科相结合形成交叉学科，首要的和关键的一步是建立研究对象的数学模型，并计算求解。人们常常把数学建模和计算机技术在知识经济时代的作用比喻为如虎添翼。 数学建模日益显示其重要作用，已成为现代应用数学的一个重要领域。为培养高质量、高层次人才，对理工、经济、金融、管理科学等各专业的大学生都提出“数学建模技能和素质方面的要求”。 数学建模在现代社会的一些作用 (1）在一般工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地。在以声、光、热、力、电这些物理学科为基础的诸如机械、电机、土木、水利等工程技术领域中，数学建模的普遍性和重要性不言而喻，虽然这里的基本模型是已有的，但是由于新技术、新工艺的不断涌现，提出了许多需要用数学方法解决的新问题；高速、大型计算机的飞速发展，使得过去即便有了数学模型也无法求解的课题（如大型水坝的应力计算，中长期天气预报等）迎刃而解；建立在数学模型和计算机模拟基础上的CAD技术，以其快速、经济、方便等优势，大量地替代了传统工程设计中的现场实验、物理模拟等手段。 (2）在高新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具。无论是发展通讯、航天、微电子、自动化等高新技术本身，还是将高新技术用于传统工业去创造新工艺、开发新产品，计算机技术支持下的建模和模拟都是经常使用的有效手段。数学建模、数值计算和计算机图形学等相结合形成的计算机软件，已经被固化于产品中，在许多高新技术领域起着核心作用，被认为是高新技术的特征之一。在这个意义上，数学不再仅仅作为一门科学，它是许多技术的基础，而且直接走向了技术的前台。国际上一位学者提出了“高技术本质上是一种数学技术”的观点。 (3）数学迅速进入一些新领域，为数学建模开拓了许多新的处女地。随着数学向诸如经济、人口、生态、地质等所谓非物理领域的渗透，一些交叉学科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等应运而生。一般地说，不存在作为支配关系的物理定律，当用数学方法研究这些领域中的定量关系时，数学建模就成为首要的、关键的步骤和这些学科发展与应用的基础。在这些领域里建立不同类型、不同方法、不同深浅程度模型的余地相当大，为数学建模提供了广阔的新天地。马克思说过，一门科学只有成功地运用数学时，才
数学建模在生活中的应用 【摘要】 本文通过数学模型在实际生活中应用的讨论，阐述数学建模理论的重要性，研究其在实践中的重要价值，并把抽象的数学知识放到大家看得见、摸得着、听得到的生活情境中，从而让人们感受到生活中处处有数学，生活中处处要用数学。 【关键词】数学建模；生活；应用；重要性 最早的数学建模教材出现在公元1世纪我国古代的《九章算术》一书中，由此可见，数学建模是人才培养和社会发展的需要。同时，数学建模也是教育改革的需要，现代数学教育改革中越来越强调“问题解决”，而“问题解决”恰恰体现了数学在实际生活应用的重要性，由于数学建模是问题解决的主要形式，所以数学建模在实际生活中发挥着重要的作用。 一、数学建模 数学建模是指根据具体问题，在一定的假设下找出解决这个问题的数学框架，求出模型的解，并对它进行验证的全过程。由此可见，数学建模是一个“迭代”的过程，此过程我们可以用下图表示： 二、生活中的数学建模实例 赶火车的策略 现有12名旅客要赶往40千米远的一个火车站去乘火车，离开车时间只有3小时了，他们步行的速度为每小时4千米，靠步行是来不及了，唯一可以用的交通工具是一辆小汽车，但这辆小汽车连司机在内至多只能乘坐5人，汽车的速度为每小时60千米。问这12名旅客能赶上火车吗？ 【分析】 题中没有规定汽车载客的方法，因此针对不同的搭乘方法，答案会不一样，一般有三种情况：（1）不能赶上；（2）勉强赶上；（3）最快赶上 模型准备 模型假设 模型求解 模型建立 模型分析 模型验证 模型应用
方案1 不能赶上 用汽车来回送12名旅客要分3趟，汽车往返就是3+2=5趟，汽车走的总路程为 5×40=200（千米）， 所需的时间为 200÷60=10/3（小时）>3（小时） 因此，单靠汽车来回接送旅客是无法让12名旅客全部赶上火车的。 方案2 勉强赶上的方案 如果汽车来回接送一趟旅客的同时，让其他旅客先步行，则可以节省一点时间。 第一趟，设汽车来回共用了X小时，这时汽车和其他旅客的总路程为一个来回，所以 4X+60X=40×2 解得X=1.25（小时）。此时，剩下的8名旅客与车站的距离为 40-1.25×4=35（千米） 第二趟，设汽车来回共用了Y小时，那么 4Y+60Y=35×2 解得Y=35/32≈1.09（小时） 此时剩下的4名旅客与车站的距离为 35-35/32×4=245/8≈30.63（千米） 第三趟，汽车用了30.63÷60~0.51（小时） 因此，总共需要的时间约为 1.25+1.09+0.51= 2.85（小时） 用这种方法，在最后4名旅客赶到火车站时离开车还有9分钟的时间，从理论上说，可以赶得上。但是，我们在计算时忽略了旅客上下车以及汽车调头等所用的时间，因此，赶上火车是很勉强的。 方案3 最快方案 先让汽车把4名旅客送到中途某处，再让这4名旅客步行（此时其他8名旅客也在步行）；接着汽车回来再送4名旅客，追上前面的4名旅客后也让他们下车一起步行，最后回来接剩下的4名旅客到火车站，为了省时，必须适当选取第一批旅客的下车地点，使得送最后一批旅客的汽车与前面8名旅客同时到达火车站。 解法1 设汽车送第一批旅客行驶X千米后让他们下车步行，此时其他旅客步行的路程为 4×X/60=X/15（千米） 在以后的时间里，由于步行旅客的速度都一样，所以两批步行旅客之间始终相差14/15X千米，而汽车要在这段时间里来回行驶两趟，每来回一趟所用的时间为 由于汽车来回两趟所用的时间恰好是第一批旅客步行（40-X）千米的时间， 故 2×X/32=40-X/4 解得X=32（千米） 所需的总时间为 32/60+（40-32）/4≈2.53（小时） 这个方案可以挤出大约28分钟的空余时间，足以弥补我们计算时间所忽略的一些时间。
数学建模在经济学中的应用 摘要：高校的经济学教学中经常会融入一些数学模型的思想，实际上数学模型的建立与经济学的教学和研究有着很大的内在联系，两者之间有着必然的关系，文本笔者将会从数学与经济学的关系出发，具体的介绍数学经济模型及其重要性，并对构建数学经济模型以及一些实例进行具体的论述。 关键词：数学模型；经济学；高校教学；应用 现如今的高校教学当中可以说数学建模与经济学之间有着密切的关系，任何一项经济学的研究和计算都离不开数学模型的建立，采用数学模型来辅助经济学的发展可以更加直观的让人们从中看出经济的发展形势。例如在经济学的宏观控制和价格控制中，都有数学建模的融入，利用数学建模可以有助于经济学实验的宏观经济分析，在一些实验和价格控制当中，都经常会涉及到数学问题在微观经济中数理统计的实验设计，这时候就体现出了数学建模对于经济学的促进性作用。下面笔者将会针对数学建模对于经济学的重要作用进行具体的分析。 1.数学经济模型对于经济学研究的重要性： 一般情况下，单独的依靠数学模型是不够解决所有的经济学问题，很多经济领域中的问题是需要从微观角度进行细致的分析才能够总结出其中的规律。要想利用数学知识来
解决经济学中所出现的问题，就一定要建立适当的经济学模型。运用数学建模来解决经济学中的问题并不是没有道理的，很多时候从经济学的角度仅仅能够知道问题的方向和目的，至于其中的过程并不能有着详细的分析，而利用数学模型就可以彻底的解决这一问题。数学建模可以通过自身在数字、图像以及框图等形式来更加真实地反映出现有经济的实际状况。 2.构建经济数学模型的一般步骤： 要想利用数学模型来更好的解决现有的经济学问题，主要分为两个步骤，第一先要分清楚问题发生的背景并且熟悉问题，然后要通过假设的形式来完善现有的经济学问题，通过抽象以及形象化的方式来构建一些合理的数学模型。运用数学知识和技巧来描述问题中变量参数之间的关系。这样可以得出一些有关经济类的数据，进而将建模中得到的数据与实际情况进行对比和分析，最终得出结果。 3.应用实例： 商品提价问题的数学模型： 3.1问题： 现如今经济学在很多的商场中都有所运用，例如同样的商品要想获得最大的经济效益，既要考虑到规定的售价，又要考虑到销售的数量，如果定价过低，则销售数量较多，如果定价较高，利润是大了，但是却影响了销售数量。怎样
数学模型按照不同的分类标准有许多种类： 1.按照模型的数学方法分，有几何模型，图论模型，微分方程模型。概率模型，最优控制模型，规划论模型，马氏链模型。 2.按模型的特征分，有静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线性模型和非线性模型。 3.按模型的应用领域分，有人口模型，交通模型，经济模型，生态模型，资源模型。环境模型。 4.按建模的目的分，有预测模型，优化模型，决策模型，控制模型等。 5.按对模型结构的了解程度分，有白箱模型，灰箱模型，黑箱模型。 数学建模的十大算法： 蒙特卡洛算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法。） 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用matlab作为工具。） 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用lingo、lingdo软件实现）图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。） 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中） 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题时用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需谨慎使用） 网格算法和穷举法（当重点讨论模型本身而情史算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具） 一些连续离散化方法（很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认得是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。） 图像处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用matlab来处理问题。） 数学建模方法 统计：1.预测与预报2.评价与决策3.分类与判别4.关联与因果 优化：5.优化与控制 预测与预报 ①灰色预测模型（必须掌握） 满足两个条件可用： a数据样本点个数少，6-15个 b数据呈现指数或曲线的形式 ②微分方程预测（备用） 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/fb4402721.html, 初中数学建模方法及应用 作者：肖永刚 来源：《新课程·中学》2017年第03期 摘要：在新课标中要求培养学生的创新能力，在初中数学教学中培养学生的建模能力， 是培养数学创新能力的重要方法，也能增强学生利用数学知识解决问题的能力。对培养初中生数学建模方法及应用进行了论述。 关键词：初中数学；建模思想；数学应用 利用数学建模的方法是学习初中数学的新方法，是素质教育和新课标的要求，能为学生的数学能力发展提供全新途径，提高学生运用数学工具解决问题的能力，让学生在用数学工具解决问题中体会到数学学习的意义，从而提高数学学习兴趣。 一、数学建模的概念 数学建模就是对具体问题分析并简化后，运用数学知识，找出解决方法并利用数学式子来求解，从而使问题得以解决。数学建模方法有以下几个步骤：一是对具体问题分析并简化，然后用数学知识建立关系式（模型），二是求解数学式子，三是根据实际情况检验并选出正确答案。初中阶段数学建模常用方法有：函数模型、不等式模型、方程模型、几何模型等。 二、数学建模的方法步骤 要培养学生的数学建模方法，可按以下方法步骤进行： 1.分析问题题意为建模做准备。对具体问题包含的已知条件和数量关系进行分析，根据问题的特点，选择使用数学知识建立模型。 2.简化实际问题假设数学模型。对实际问题进行一定的简化，再根据问题的特征和要求以及解题的目的，对模型进行假设，要找出起关键作用的因素和主要变量。 3.利用恰当工具建立数学模型。通过建立恰当的数学式子，来建立模型中各变量之间的关系式，以此来完成数学模型的 建立。 4.解答数学问题找出问题答案。通过对模型中的数学问题进行解答，找出实际问题的答案。
数学建模背景： 数学技术 近半个多世纪以来，随着计算机技术的迅速发展，数学的应用不仅在工程技术、自然科学等领域发挥着越来越重要的作用，而且以空前的广度和深度向经济、管理、金融、生物、医学、环境、地质、人口、交通等新的领域渗透，所谓数学技术已经成为当代高新技术的重要组成部分。 数学模型（Mathematical Model）是一种模拟，是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它的建立常常既需要人们对现实问题深入细微的观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。这种应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模（Mathematical Modeling）。[1] 不论是用数学方法在科技和生产领域解决哪类实际问题，还是与其它学科相结合形成交叉学科，首要的和关键的一步是建立研究对象的数学模型，并加以计算求解（通常借助计算机）。数学建模和计算机技术在知识经济时代的作用可谓是如虎添翼。 建模应用 数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和各种各样的应用问题紧密相关的。数学的特点不仅在于概念的抽象性、逻辑的严密性，结论的明确性和体系的完整性，而且在于它应用的广泛性，自从20世纪以来，随着科学技术的迅速发展和计算机的日益普及，人们对各种问题的要求越来越精确，使得数学的应用越来越广泛和深入，特别是在21世纪这个知识经济时代，数学科学的地位会发生巨大的变化，它正在从国家经济和科技的后备走到了前沿。经济发展的全球化、计算机的迅猛发展，数理论与方法的不断扩充使得数学已经成为当代高科技的一个重要组成部分和思想库，数学已经成为一种能够普遍实施的技术。培养学生应用数学的意识和能力已经成为数学教学的一个重要方面。 2建模过程 模型准备 了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。以数学思想来包容问题的精髓，数学思路贯穿问题的全过程，进而用数学语言来描述问题。要求符合数学理论，符合数学习惯，清晰准确。 模型假设 根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。 模型建立 在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量常量之间的数学关系，建立相应的数学结构（尽量用简单的数学工具）。 模型求解 利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（或近似计算）。 模型分析 对所要建立模型的思路进行阐述，对所得的结果进行数学上的分析。 模型检验 将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差，则应该修改假设，再次重复建模过程。
数学建模 数模作业（第一章） P21 第一章 6、利用节药物中毒施救模型确定对于孩子(血液容量为2000ml)以及成人(血液容量为 4000ml)服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小剂量。 解：设孩子服用氨茶碱能引起严重中毒的最小剂量为1A ，则由节中的药物中毒施救模型可知: 在胃肠道中药物的量为 0.13861()t x t A e -=，而在血液系统中药物的量为 0.11550.13861()6() t t y t A e e --=-，再令0.11550.13861()()/6()t t y t y t A e e --==-再做出()y t 的图像如下： 《 ; 由图可知()y t 具有最大值，设在这个最大值max ()y t 在孩子血液中容量的比例为严重中 毒的比例100/g ml μ以及致命的比例200/g ml μ即为孩子服用氨茶碱的最小剂量。于是可以去求这个最小剂量。由上图可知最大值位于8t h =左右, 利用Mathematics 去找出这个最大值。求得max ()=0.0669y t ，而7.892t h =。于是孩子服用氨茶碱引起严重中毒的最小剂
量1A 有式子1max 6()/2000100/A y t ml g ml μ=，从而得此时1498256.1A g μ=同理可以求的孩子服用氨茶碱致命的最小剂量为996512.2g μ。而成人服用氨茶碱严重中毒与致命的最小剂量分别为996512.21993024.4g g μμ、。 7、对于节的模型，如果采用的是体外血液透析的办法，求解药物中毒施救模型的血液中药量的变化并作图。 解：由题可算得： t=0:2:20 y=275*exp*t)+*exp*t) plot(t,y,'b:') 第二章 3、根据节中的流量数据(表2)和(2)式作插值的数值积分，按照连续模型考虑均流池的容量(用到微积分的极值条件)。 解：可以将表2中的数据建立散点图以及平均值，如下： h=0:1:23 ， y=[,,,,,,,,,,,,,,,279,,,,,,,,] x1=0::23; t=sum(y)/24; plot(h,y,'-',x1,t) hold on 02468101214161820 50100150200250300350 400
第六章排队论模型 排队论起源于1909年丹麦电话工程师A. K．爱尔朗的工作，他对电话通话拥挤问题进行了研究。1917年，爱尔朗发表了他的著名的文章—“自动电话交换中的概率理论的几个问题的解决”。排队论已广泛应用于解决军事、运输、维修、生产、服务、库存、医疗卫生、教育、水利灌溉之类的排队系统的问题，显示了强大的生命力。 排队是在日常生活中经常遇到的现象，如顾客到商店购买物品、病人到医院看病常常要排队。此时要求服务的数量超过服务机构（服务台、服务员等）的容量。也就是说，到达的顾客不能立即得到服务，因而出现了排队现象。这种现象不仅在个人日常生活中出现，电话局的占线问题，车站、码头等交通枢纽的车船堵塞和疏导，故障机器的停机待修，水库的存贮调节等都是有形或无形的排队现象。由于顾客到达和服务时间的随机性。可以说排队现象几乎是不可避免的。 排队论（Queuing Theory）也称随机服务系统理论，就是为解决上述问题而发展的一门学科。它研究的内容有下列三部分： （i）性态问题，即研究各种排队系统的概率规律性，主要是研究队长分布、等待时间分布和忙期分布等，包括了瞬态和稳态两种情形。 （ii）最优化问题，又分静态最优和动态最优，前者指最优设计。后者指现有排队系统的最优运营。 （iii）排队系统的统计推断，即判断一个给定的排队系统符合于那种模型，以便根据排队理论进行分析研究。 这里将介绍排队论的一些基本知识，分析几个常见的排队模型。 §1 基本概念 1.1 排队过程的一般表示 下图是排队论的一般模型。 凡要求服务的对象统称为顾客，为顾客服务的人或物称为服务员，由顾客和服务员组成服务系统。对于一个服务系统来说，如果服务机构过小，以致不能满足要求服务的众多顾客的需要，那么就会产生拥挤现象而使服务质量降低。因此，顾客总希望服务机构越大越好，但是，如果服务机构过大，人力和物力方面的开支也就相应增加，从而会造成浪费，因此研究排队模型的目的就是要在顾客需要和服务机构的规模之间进行权衡决策，使其达到合理的平衡。 1.2 排队系统的组成和特征 一般的排队过程都由输入过程、排队规则、服务过程三部分组成，现分述如下： 1.2.1 输入过程 输入过程是指顾客到来时间的规律性，可能有下列不同情况： （i）顾客的组成可能是有限的，也可能是无限的。 （ii）顾客到达的方式可能是一个—个的，也可能是成批的。 （iii）顾客到达可以是相互独立的，即以前的到达情况对以后的到达没有影响；否则是相关的。 （iv）输入过程可以是平稳的，即相继到达的间隔时间分布及其数学期望、方差等数字特征都与时间无关，否则是非平稳的。
Mathematica软件常用功能 【实验目的】 1. 用Mathematica软件进行各种数学处理; 2. 用Mathematica软件进行作图; 3. 用Mathematica软件编写程序. 【注意事项】 Mathematica中大写小写是有区别的，如Name、name、NAME等是不同的变量名或函数名。 系统所提供的功能大部分以系统函数的形式给出，内部函数一般写全称，而且一定是以大写英文字母开头，如Sin[x],Conjugate[z]等。 乘法即可以用*，又可以用空格表示，如2 3＝2*3＝6 ,x y,2 Sin[x]等；乘幂可以用“^”表示，如x^0.5,Tan[x]^y。 自定义的变量可以取几乎任意的名称，长度不限，但不可以数字开头。当你赋予变量任何一个值，除非你明显地改变该值或使用Clear[变量名]或“变量名=.”取消该值为止，它将始终保持原值不变。 一定要注意四种括号的用法：()圆括号表示项的结合顺序，如 (x+(y^x+1/(2x)));[]方括号表示函数，如Log[x],BesselJ[x,1]；{}大括号表示一个“表”(一组数字、任意表达式、函数等的集合)，如 {2x,Sin[12 Pi],{1+A,y*x}}；[[]]双方括号表示“表”或“表达式”的下标，如a[[2,3]]、{1,2,3}[[1]]=1。 Mathematica的语句书写十分方便，一个语句可以分为多行写，同一行可以写多个语句（但要以分号间隔）。当语句以分号结束时，语句计算后不做输出（输出语句除外），否则将输出计算的结果。 命令行“Shift+Enter”才是执行这个命令。
第23卷第1期大 学 数 学Vol.23,№.1 2007年2月COLL EGE MA T H EMA TICS Feb.2007从诺贝尔经济学奖看数学建模的价值 韩 明 (福建工程学院数理系,福州350014) [摘 要]分为三个部分,第一部分,诺贝尔经济学奖的概述;第二部分,数学建模在经济学中的应用情 况;最后一部分,展望经济科学的发展趋势. [关键词]诺贝尔奖;数学建模;经济学 [中图分类号]F224;O213 [文献标识码]C [文章编号]167221454(2007)0120181206 1 诺贝尔经济学奖的概述 1968年瑞典银行为庆祝建行300周年,决定从1969年起同样以诺贝尔的名义,颁发经济学奖.这一奖项的全称是:“瑞典银行为纪念阿尔弗雷德?诺贝尔的经济科学奖(The Central Bank of Sweden Prize of Nobel in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel)”.除了奖金来源不同外,诺贝尔经济学奖的整个程序与其他诺贝尔奖完全相同. 获得当今世界上最具影响力的经济学奖项———诺贝尔经济学奖,几乎是每个经济学家的梦想.诺贝尔经济学奖从1969年第一次颁奖到2004年,已经有55人获此殊荣(同时获奖的人数最多不超过3人).1969年首届授予计量经济学的奠基人Regnar Frisch(挪威,1895-1979)和J an Tinbergen(荷兰, 1903-1994). 正如著名经济学家、后来的瑞典皇家科学院院长Erik L undberg在首届颁奖仪式上的讲话所说:“过去四十年中,经济科学在经济行为的数学规范化和统计定量化的方向上已经越来越发展.沿着这样的路线的科学分析,通常用来解释诸如经济增长、商情周期波动以及为各种目的来对经济资源重新配置那样的复杂经济现象…….然而,经济学家对有关战略性的经济关系构造数学模型的企图,以至借助于时间序列的统计分析来定量地阐明它们,事实上已经被证实是成功的.经济研究的这条路线,也就是数理经济学和计量经济学,已经在最近几十年里刻画了这一宗旨的发展.……”“近二十年来,Frisch教授和Tinbergen教授正在沿着本质上是同样的路线在进行研究.他们的目的是对经济理论赋予数学上的严谨性,并使它具有允许经验定量和统计假设检验的形式.其本质目标之一是要使经济学摆脱模糊的、较为‘文学’的类型.例如在Frischt和Tinbergen的著作中,商情周期波动的原因的任意‘命名’已经被抛弃,代之以陈述经济变量之间相互关系的数学系统.”从Erik L undberg的这段讲话,我们能看出经济科学在1969年前四十年的发展概况. 我们从经济科学的发展概况中,似乎能感觉到数学所起的作用.那么诺贝尔经济学奖得主的工作中数学建模起什么作用呢?它对开展大学生数学建模竞赛活动和我国大学数学教育又有什么启发呢? 2 数学建模在经济学中的应用情况 本文简要地介绍诺贝尔经济学奖得主的主要工作,从中我们能看到数学建模的应用情况和数学建 [收稿日期]2005208210 [基金项目]福建工程学院教育科学基金项目(G B-06-20)
数学建模方法详解--三十四种常用算法 目录 一、主成分分析法 (2) 二、因子分析法 (5) 三、聚类分析 (9) 四、最小二乘法与多项式拟合 (16) 五、回归分析（略） (22) 六、概率分布方法（略） (22) 七、插值与拟合（略） (22) 八、方差分析法 (23) 九、逼近理想点排序法 (28) 十、动态加权法 (29) 十一、灰色关联分析法 (31) 十二、灰色预测法 (33) 十三、模糊综合评价 (35) 十四、隶属函数的刻画（略） (37) 十五、时间序列分析法 (38) 十六、蒙特卡罗(MC)仿真模型 (42) 十七、BP神经网络方法 (44) 十八、数据包络分析法（DEA） (51) 十九、多因素方差分析法（）基于SPSS） (54) 二十、拉格朗日插值 (70) 二十一、回归分析（略） (75) 二十二、概率分布方法（略） (75) 二十三、插值与拟合（略） (75) 二十四、隶属函数的刻画（参考《数学建模及其方法应用》） (75) 二十五、0-1整数规划模型（参看书籍） (75) 二十六、Board评价法（略） (75) 二十七、纳什均衡（参看书籍） (75) 二十八、微分方程方法与差分方程方法（参看书籍） (75) 二十九、莱斯利离散人口模型（参看数据） (75) 三十、一次指数平滑预测法（主要是软件的使用） (75) 三十一、二次曲线回归方程（主要是软件的使用） (75) 三十二、成本-效用分析（略） (75) 三十三、逐步回归法（主要是软件的使用） (75) 三十四、双因子方差分析（略） (75)
一、主成分分析法 一）、主成分分析法介绍： 主成分分析（principal components analysis，PCA）又称：主分量分析，主成分回归分析法。旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标。它是一个线性变换。这个变换把数据变换到一个新的坐标系统中，使得任何数据投影的第一大方差在第一个坐标(称为第一主成分)上，第二大方差在第二个坐标(第二主成分)上，依次类推。主成分分析经常用减少数据集的维数，同时保持数据集的对方差贡献最大的特征。这是通过保留低阶主成分，忽略高阶主成分做到的。这样低阶成分往往能够保留住数据的最重要方面。但是，这也不是一定的，要视具体应用而定。 二）、主成分分析法的基本思想： 在实证问题研究中，为了全面、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。这些涉及的因素一般称为指标，在多元统计分析中也称为变量。因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息，并且指标之间彼此有一定的相关性，因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。在用统计方法研究多变量问题时，变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性，人们希望在进行定量分析的过程中，涉及的变量较少，得到的信息量较多。主成分分析正是适应这一要求产生的，是解决这类题的理想工具。 同样，在科普效果评估的过程中也存在着这样的问题。科普效果是很难具体量化的。在实际评估工作中，我们常常会选用几个有代表性的综合指标，采用打分的方法来进行评估，故综合指标的选取是个重点和难点。如上所述，主成分分析法正是解决这一问题的理想工具。因为评估所涉及的众多变量之间既然有一定的相关性，就必然存在着起支配作用的因素。根据这一点，通过对原始变量相关矩阵内部结构的关系研究，找出影响科普效果某一要素的几个综合指标，使综合指标为原来变量的线性拟合。这样，综合指标不仅保留了原始变量的主要信息，且彼此间不相关，又比原始变量具有某些更优越的性质，就使我们在研究复杂的科普效果评估问题时，容易抓住主要矛盾。上述想法可进一步概述为：设某科普效果评估要素涉及个指标，这指标构成的维随机向量为。对作正交变换，令，其中为正交阵，的各分量是不相关的，使得的各分量在某个评估要素中的作用容易解释，这就使得我们有可能从主分量中选择主要成分，削除对这一要素影响微弱的部分，通过对主分量的重点分析，达到对原始变量进行分析的目的。的各分量是原始变量线性组合，不同的分量表示原始变量之间不同的影响关系。由于这些基本关系很可能与特定的作用过程相联系，主成分分析使我们能从错综复杂的科普评估要素的众多指标中，找出一些主要成分，以便有效地利用大量统计数据，进行科普效果评估分析，使我们在研究科普效果评估问题中，可能得到深层次的一些启发，把科普效果评估研究引向深入。 例如，在对科普产品开发和利用这一要素的评估中，涉及科普创作人数百万人、科普作品发行量百万人、科普产业化（科普示范基地数百万人）等多项指标。经过主成分分析计算，最后确定个或个主成分作为综合评价科普产品利用和开发的综合指标，变量数减少，并达到一定的可信度，就容易进行科普效果的评估。 三）、主成分分析法的数学模型： 其中：