课题：15.1.1同底数幂的乘法
一、教学目标
1.经历同底数幂乘法法则的形成过程，会进
行同底数幂的乘法运算.
2.培养归纳概括能力.
二、教学重点和难点
1.重点：同底数幂的乘法运算.
2.难点：归纳概括同底数幂的乘法法则.
三、教学过程
1、说出下列各式分别表示什么运算
(2x2-3x)+5x ；（两个整式相加）
(2x2-3x)-5x ；（两个整式相减）
(2x2-3x)×5x ；（两个整式相乘）
(2x2-3x)÷5x （两个整式相除）
在初一的时候，我们已经学过整式的加减，第十五章要学整式的乘除.
2、出示下图
23：2的3次方的意思是3个2相乘
a4：a的4次方的意思是4个a相乘
即a4=a·a·a·a.
○1填空：
(1)24= ×××；
(2)103= ××；
(3)3×3×3×3×3=3（）；
(4)a·a·a·a·a·a=a( ).
○2.填空：
(1)68的底数是，指数是，幂是；
(2)86的底数是，指数是，幂是；
(3)x4的底数是，指数是，幂是；
(4)x的底数是，指数是，幂是 .
3、思考
（1）25与22这两个幂有什么共同点？
（2）如何计算 25×22？
2的5次方与2的2次方是同底数幂. 25=2×2×2×2×2，22=2×2.于是
25×22=（2×2×2×2×2）×（2×2）
=2×2×2×2×2×2×2=27=25+2.
a的3次方与a的2次方是同底数幂.
a3= a×a×a， a2=a×a. 于是
a3×a2=（ a×a×a）×（a×a）
= a×a×a×a×a= a5= a3+2.
（4）观察25×22=25+2. a3×a2=a3+2.你发现了
什么？
4、同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
公式表示. a m·a n=a m+n。（m,n都是正整数）.
5、例计算：（课本第142页）
(1)x2·x5；
(2)a·a6；
(3)2×24×23；
(4)x m·x3m+1.
6、练习
○1直接写出结果：
(1)65×64= ； (2)103×102= (3)a7·a6= ； (4)x3·x=
(5)a n·a n+1= ； (6)x5-m·x m= (7)x3·x7·x2= ；(8)2m·2·22m-1= ○2.填空：
(1)b5·b( )=b8；；(2)y( )·y3=y6；
(3)10×10( )=106；(4)5( )×58=59. ○3判断正误：对的画“√”，错的画“×”.
(1)b5·b5=2b5；（）
(2)b5+b5=b10；（）
(3)b5·b5=b25；（）
(4)b·b5=b5；（）
(5)b5·b5=b10. （）
○4填空：某台电子计算机每秒可进行1014次运算，它工作103秒进行次运算.
7、小结布置作业（作业：P
142
练习）
本节课我们学习了同底数幂的乘法法则。“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”。
即，a m·a n=a m+n。（m,n都是整数）
课题：15.1.2幂的乘方
一、教学目标
1.经历幂的乘方法则的形成过程，会进行幂
的乘方运算.
2.培养归纳概括能力和运算能力.
二、教学重点和难点
1.重点：幂的乘方运算.
2.难点：归纳概括幂的乘方法则.
三、教学过程
1、巩固旧知
○1填空：同底数幂相乘，底数，指数，即a m·a n= （m，n都是整数）.
○2判断正误：对的画“√”，错的画“×”.
(1)53+53=56；（）
(2)a3·a4=a12；（）
(3)b5·b5=2b5；（）
(4)c·c3=c3；（）
(5)m3·n2=m5. （）
○3直接写出结果：
(1)33×35=
(2)105×106=
(3)x2·x4=
(4)y2·y=
(5)a m·a2=
(6)2n-1×2n+1=
(7)42×42×42=
(8)a3·a3·a3·a3=
2、我们已经知道，32是一个幂，那么(32)3
这个式子表示这个幂的3次方，也就是幂的乘方.一般地，把(a m)n叫做“幂的乘方”
3、由于32表示2个3相乘，那么(32)3这个式子表示3个32相乘。
(32)3＝32×32×32=32+2+2=36，又32×3＝36，
所以(32)3＝32×3。
同理，(a3)4表示4个a3相乘。
(a3)4＝a3·a3·a3·a3=a3+3+3+3=a12，又a3×4=a12，所以(a3)4＝a3×4。
通过对(32)3＝32×3，(a3)4＝a3×4的观察，请猜想(a m)n= 。
4、幂的乘方，底数不变，指数相乘。
5、例1 计算：
(1)(103)5；
(2)(a4)4；
(3)(a m)2；
(4)-(x4)3.
6、练习：
(1)(102)3=
(2)(y6)2=
(3)-(x3)5 =
(4)(a n)6=
(5)a2·a3=
(6)(x n)4=
(7)x n+x n=
(8)(a2)3=
(5)x n·x4=
(10)a3+a3=
7、例2计算
(1) (x2)8·(x3)4；
解：=x2×8·x3×4
=x16·x12
=x16+12
=x28
(2) (y3)4+(y2)6；
解：=y3×4+y2×6
=y12+y12
=2y12
8、练习，计算：
(1)(x2)3·(x3)2 =
=
=
=
(2)(a2)8-(a4)4=
=
=
9、小结布置作业（作业：P
143
练习）本节课我们学习了幂的乘方法则。“幂的乘方，底数不变，指数相乘”。
即，(a m)n=a mn.（m，n都是整数）
课题：15.1.3积的乘方
一、教学目标
1.经历积的乘方法则的形成过程，会进行积
的乘方运算.
2.培养归纳概括能力和运算能力.
二、教学重点和难点
1.重点：积的乘方运算.
2.难点：归纳概括积的乘方法则.
三、教学过程
1、巩固旧知
○1填空：
同底数幂相乘，底数不变，指数
幂的乘方，底数不变，指数 .
○2判断正误：对的画“√”，错的画“×”.
(1)(a3)3=a6；（）
(2)x3+x3=x6；（）
(3)x3·x4=x12；（）
(4)(x4)2=x8；（）
(5)a6·a4=a10；（）
(6)a5+a5=2a5. （）
○3直接写出结果：
(1)7×76＝
(2)(33)5=
(3)y2+y2＝
(4)t2·t6=
(5)-(a4)6＝
(6)(x2)5·x4=
2、我们已经知道，ab表示a与b的积，那么(ab)3表示a与b积的3次方，也就是积的乘方.一般地，把(ab)n叫做“积的乘方”。
3、由于ab=a·b，(ab)3表示3个ab相乘. 所以(ab)3＝(ab)·(ab)·(ab)…乘方的意义 =a·b·a·b·a·b…乘法的意义 =（a·a·a）·（b·b·b）
…乘法交换律、结合律
= a3b3…乘方的意义
同理(ab)4＝(ab)·(ab)·(ab)·(ab)
=a·b·a·b·a·b·a·b
=（a·a·a·a）·（b·b·b·b） = a4b4
通过对 (ab)3= a3b3，(ab)4＝a4b4的观察请猜想(ab)n
4、积的乘方等于每个因式分别乘方的积.
公式表示：(ab)n=a n b n 5、例计算：
(1) (2a)3
解：=23·a3
=8a3
(2) (-5b)3
解：=(-5)3·b3
=-125b3
(3) (xy2)2
解：=x2·(y2)2
=x2·y4
=x2y4
(4) (-2x3)4
解：=(-2)4·(x3)4
=16·x12
=16x12
6、练习
○1计算：
(1)(3x)2=
(2)(-2y)3=
(3)(2ab)3=
(4)(-xy)4=
○2计算：
(1)(bc3)2=
(2)(2x2)3=
(3)(-2a2b)3=
(4)(-3x2y3)2=
○3判断正误：对的画“√”，错的画“×”.
(1)b3·b3=2b3；（）
(2)x4·x4=x16；（）
(3)(a5)2=a7；（）
(4)(a3)2·a4=a9；（）
(5)(ab2)3=ab6；（）
(6)(-2a)2=-4a2. （）
7、小结布置作业（P
144
练习，P
148
习题2.）本节课我们学习了积的乘方法则。
“积的乘方等于每个因式分别乘方的积”。
课题：15.1.4整式的乘法（第1课时）
一、教学目标
1.经历单项式乘单项式法则形成的过程，会
进行单项式乘单项式的运算.
2.培养归纳概括能力和运算能力.
二、教学重点和难点
1.重点：单项式乘单项式.
2.难点：归纳概括单项式乘单项式的法则.
三、教学过程
1、巩固旧知
○1直接写出结果：
(1)(-3x)2=
(2)(-b2)3=
(3)a3·a=
(4)(y2)2·y3=
○2填空：
(1)像3a，xy2这样，数字和字母乘积的式子叫做式；
(2)像2x-3，x+5y2这样，几个单项式的和叫做式；
(3)单项式与多项式统称式.
○3判断正误：对的画“√”，错的画“×”.
(1)-4x是单项式；（）
(2)-4x＋1是单项式；（）
(3)2xy2是多项式；（）
(4)x2-2x+1是多项式；（）
(5)单项式-3ab的系数是-3；（）
(6)单项式a2b的系数是0. （）2、我们已经知道，整式包括单项式和多项式.所以整式的乘法可以分为三种.
（1）单项式乘单项式
（2）单项式乘多项
（3）多项式乘多项式
3、在3x2·4xy中,3x2是一个单项式，4xy也
是一个单项式，这两个单项式怎么乘呢？
利用乘法交换律和结合律，我们可以把系数3和系数4写在一起乘，把x2和x写在一起乘，y照抄，这样就得到。
3x2·4xy =(3×4)·(x2·x)·y
=(3×4)·(x2·x)·y
=12·x3·y
=12x3y
在-2ac5·6bc2中，-2ac5是一个单项式，6bc2也是一个单项式，这两个单项式又怎么
利用乘法交换律和结合律，我们可以把系数-2和6写在一起乘，把c5和c2写在一起乘，a、b照抄，这样就得到。
-2ac5·6bc2 =(-2×6) ·a·b·(c5·c2)
=(-2×6)·a·b·(c5·c2)）.
=-12abc7.
从这两个例子，你能概括出单项式乘单项式的法则吗？（让学生发表看法）
4、单项式与单项式相乘，系数相乘，相同字母相乘，剩下的照抄.
5、例计算：(先让生尝试，再边讲边板演) (1) (-5a2b)(-3a)；
解：=[-5×(-3)]· (a2·a)·b
=15a3b
(2) (2x3)(-5xy3).
解：=[2×(-5)]·(x3·x)·y3
=-10x4y3
6、练习
○1计算：
(1)3x2·5x3=
(2)4y·(-2xy2)=
(3)(2m2n)·(mn)=
(4)(-a2b)·(5b2)=
○2计算：
(1)(3x2y)3·(-4x)=
(2)(-2a)3·(-3a)2=
○3判断正误：对的画“√”，错的画“×”.
(1)3a3·2a2=6a6；（）
(2)2x2·3x2=6x4；（）
(3)3x2·4x2=12x2；（）
(4)5y3·3y5=15y15. （）
○4填空：光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，地球与太阳的距离约为
千米.
7、小结布置作业（P
149
习题3.）
（1）整式乘法分为单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式。
（2）本节课我们学习了整式乘法的一种——单项式乘单项式。
单项式与单项式相乘，系数相乘，相同字母相乘，剩下的照抄.
课题：15.1.4整式的乘法（第2课时）
一、教学目标
1.知道单项式乘多项式的法则，会运用法则
进行单项式乘多项式的运算.
2.培养运算能力，渗透转化思想.
二、教学重点和难点
1.重点：单项式乘多项式.
2.难点：单项式乘多项式法则的运用.
三、教学过程
1、巩固旧知
○1直接写出结果：
(1)4a2·2a=
(2)x·(-5)=
(3)(2xy)·(-3x)=
(4)(ab2)·(-6b)=
(5)(2x)·(3
2
x)=
(6)(
1
4
ab)·(2a)=
○2填空：几个式的和叫做多项式，其中，每个式叫做多项式的项. ○3填空：
(1)多项式3x＋4y有2项，
它们是、；
(2)多项式2x-3有2项，
它们是、；
(3)多项式2
3
ab2-2ab有2项，
它们是、；
(4)多项式2x2-3x＋4有3项，
它们是、、 .
2、我们已经知道，整式的乘法可以分为单项
式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式.上节课我们学习了单项式乘单项式，本节课我们将学习单项式乘多项式.
3、m(a+b+c)=ma+mb+mc，这是我们学过的分
配率。在这个式子中，m是一个单项式，a+b+c是一个多项式，实际上是一个单项式乘多项式。可见，单项式乘多项式直接应用分配律m(a+b+c)=ma+mb+mc计算。4、单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘5、例1 计算：
(1) (-4x2)·(3x+1)
解：=(-4x2)·3x+ (-4x2)·1
=(-4×3)·（x2·x）+(-4×1)·x2
=-12x3-4x2
(2) (
2
3
ab2-2ab)·
1
2
ab
解：=（
2
3
ab2·
1
2
ab）+（-2ab·
1
2
ab）
=（
2
3
×1
2
）·（a·a）·（b2·b）+
（-2×
1
2
）·（a·a）·（b·b）
=1
3
a2b3-a2b2
6、练习，计算：
(1)3a(5a-b)=
(2)(x-3y)(-6x)=
(3)-2x(x2-x+1)=
7、例2化简
x(x+3)-2x(x-1).（生尝试，再讲解）解：=x2+3x-（2x2-2x）
= x2+3x-2x2+2x
=（x2-2x2）+（3x +2x）
=-x2+5x2
8、练习，化简：
(1)-3x(x+2)+2x(x+1)=
(2)x(x-1)-3x(2x-5)=
9、小结布置作业（P
149
习题4，P
146
练习2）本节课我们学习了单项式乘多项式。
“单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘
多项式的每一项，再把所得的积相加”。
单项式乘多项式的根据是“乘法分配律”。
单项式乘多项式的关键是“把单项式乘
多项式转化为单项式乘单项式”。
课题：15.1.4整式的乘法（第3课时）
一、教学目标
1.知道多项式乘多项式的法则，会运用法则
进行多项式乘多项式的运算.
2.培养运算能力，渗透转化思想.
二、教学重点和难点
1.重点：多项式乘多项式.
2.难点：多项式乘多项式法则的运用.
三、教学过程
1、巩固旧知
○1填空：
(1)单项式与单项式相乘，相乘，相同相乘，剩下的照抄；
(2)单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的，再把所得的积相加. ○2直接写出结果：
(1)(5x3)·(2x2y)=
(2)(-3ab)·(-4b2)=
(3)(xy)·(-2xy3)=
(4)(2×103)·(8×108)=
○3计算：
(1)5x(2x2-3x+4)=
(2)-6a(a-3b)=
2、我们讲过，整式的乘法可分为三种。（1）单项式乘单项式
（2）单项式乘多项式
（3）多项式乘多项式
前面我们学习了单项式乘单项式、单项式乘多项式，这节课我们学习多项式乘多项式.
3、在(a+b)(m+n)中，a+b是一个多项式，m+n 也是一个多项式，这两个多项式相乘，怎么乘呢？（生尝试，师巡视）
在 (a+b)(m+n)中，我们可以先把m+n看成是一个单项式，利用单项式乘多项式的法则来乘，能得到a(m+n)+b(m+n)，再利用单项式乘多项式法则，得到am+an+bm+bn。即，(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
4、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即
5、例1 计算：
（1）(3x+1)(x+2)
解：
=3x2+7x+2
(2)(3x+y)(x-2y).(学生先尝试)
解：=(3x)·x+(3x)·(-2y)+y·x+y·(-2y) =3x2-6xy+xy-2y2
=3x2-5xy-2y2
6、练习，填空：
(1) (2x+1)(x+3)
= + + +
=
= ；
(2) (m+2n)(m-3n)
= + + +
=
= .
7、例2 计算：(课本148页)
(1) (x-8y)(x-y)
解：=x2-xy-8xy+8y2
= x2-9xy+8y2
(2) (x+y)(x2-xy+y2).（先让学生尝试）解：=x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3
=x3+y3
说明：多项式乘以多项式，实际上就是“去括号、合并同类项”。第一步运用法则，第二步单项式乘单项式，第三步合并同类项.在这三步中，运用法则这一步写起来比较麻烦，为了减少麻烦，我们可以把第一步第二步合成一步.
8、练习，计算：
(1) (x+3)(2x+5) (2) (a+3b)(a-3b)
= =
= =
(3) (2x2-1)(x-4) (4) (a-1)(a-1)
= =
= =
9、小结布置作业
本节课我们学习了多项式乘多项式。“多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加”。即(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n)
= am+an+bm+bn 实质是“去括号、合并同类项”。
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
(3x+1)(x+2)=3x2+6x +x+2
一、教学目标
1.会比较熟练地进行多项式乘多项式的运算.
2.会进行简单的整式加减乘混合运算.
3.培养运算能力.
二、教学重点和难点
1.重点：进行多项式乘多项式的运算.
2.难点：整式混合运算.
三、教学过程
1、巩固旧知
○1口答：
(1)2x·3y； (2)(-x)·3x；
(3)(-3y)·(-5x)； (4)y·2y；(5)(-2)·2x； (6)(3y)·4；(7)2x·4x2； (8)2x·(-2xy)；
(9)(-y)·(4x2)； (10)(-3y)·2xy；
(11)y2·2x； (12)(-y)·y2.
○2直接写出结果：
(1)2x(x2+2)=
(2)(-b)·(-5b+3)=
(3)(4y2-3y)·2y=
(4)(3-a)(-2a)=
○3计算：
(1)(2x+3)(x+3)
=
=
(2) (x-2)(x+5)
=
= (2)(-x+4y)(x+4y)
=
=
(4) (2a+b)(2a-b)
=
=
(5) (3a+b)2
=(3a+b)(3a+b)
=
= =(3a-b)(3a-b)
=
=
2、例1 计算：（先让生尝试，再讲解）
5x(2x+1)-(2x+3)(x-5).
解：5x(2x+1)-(2x+3)(x-5)
=10x2+5x-(2x2-10x+3x-15)
=10x2+5x-(2x2-7x-15)
=10x2+5x-2x2+7x+15
=8x2+12x+15
3、练习，计算：
(x+3)(2x-5)-(x-1)(x-2) 解：原式=
=
=
=
4、例2 求值：（先让生尝试，再讲解）
(2x+3)2-(x-1)(4x-5),其中x=100.
解：(2x+3)2-(x-1)(4x-5)
=(2x+3)(2x+3)-(4x2-5x-4x+5)
=(4x2+6x+6x+9)-(4x2-9x+5)
=4x2+6x+6x+9-4x2+9x-5
=21x+4
当x=100，原式=21x+4=21×100+4=2104.
5、练习，求值：
(2x+1)(2x-3)-(2x-3)2，其中
1
x
6
解：原式=
=
=
=
当x= 时
原式=
6、小结布置作业（P
149
习题6.7.）
（1）在进行整式加、减、乘的混合运算时，先根据“单项式乘以单项式、单项式乘以多项式，多项式乘以多项式的法则”计算乘法；再根据“合并同类项”的法则“计算加减法。（2）求整式的值时，先进行整式的计算，化简后再把字母的取值代入化简的式子中。
课题：15.2.1平方差公式
6
1
一、教学目标
1.经历发现平方差公式的过程，会运用平方差公式进行计算.
2.培养概括能力，发展符号感.
二、教学重点和难点
1.重点：运用平方差公式进行计算.
2.难点：先交换项的位置，再运用平方差公式.
三、教学过程
1.计算：
(1)(x+3)(x-3)=
(2)(m+2)(m-2)=
(3)(2x+1)(2x-1)=
2、我们知道，整式的乘法有三种，即：
单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式.在这几种整式乘法中，多项式乘多项式比较麻烦，那么我们自然会想到多项式乘多项式有没有简单一点的方法？
3、（出示下面的板书）
(x+3)(x-3)=x2-9
(m+2)(m-2)=m2-4
(2x+1)(2x-1)=4x2-1
观察、归纳：
从这些等式我们发现了一个规律：
(a+b)(a-b)=a2-b2。即“两个数的和乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差.”
4、我们把(a+b)(a-b)=a2-b2这个公式叫做平方差公式.
有了平方差公式，以后再碰到两个数的和乘以这两个数的差这样的多项式乘多项式，我们就不需要一项一项乘了，只要用平方差公式就行了.
5、例运用平方差公式计算：
(1)(3x+2)(3x-2)；
(2)(-x-2y)(-x+2y)；
(3)(b+2a)(2a-b)；
(4)(x-4)(-x-4).
解：（1）
(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22=9x2-4
(a +b)( a-b)= a2 -b2
（2） (-x-2y)(-x+2y)=(-x)2-(2y)2
( a- b)( a+ b)= a2 - b2 (3)(b+2a)(2a-b)=(2a+b)(2a-b) (4)(x-4)(-x-4)=(-4+x)(-4-x)
=(-4)2-x2
注意：第(3)与第(4)小题不能直接用平方差公式，需要交换两项的位置.
6、练习
○1用平方差公式计算：
(1) (a+3b)(a-3b) (2) (1+2y)(1-2y)
= =
= =
(3) (4x-5)(4x+5) (4) (
1
2
-+2m)(
1
2
--2m)
= =
= =
○2用平方差公式计算：
(1) (3b+a)(a-3b) (2) (3m-4n)(4n+3m)
= =
= =
= =
(3) (3+2a)(-3+2a) (4) (7-2a)(-7-2a)
= =
= =
= =
○3计算：
(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)
=
=
=
=
说明： (y-1)(y+5)只能用多项式乘多项式法则计算。
7、小结，布置作业
本节课我们学习了平方差公式。
(a+b)(a-b)=a2-b2。
即“两个数的和乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差.”
对两数和乘以这两数差这种特殊形式的多项式乘法，利用平方差公式进行计算.比用多项式乘多项式的法则进行计算更简单。
用平方差公式时，要注意是否符合“两个数的和乘以这两个数的差”这一条件。
（作业：P
156
习题1(1)(2)(3)(4),P
153
练习1.2(4)）
课题：完全平方公式（第1课时）
一、教学目标
1.经历推导完全平方公式的过程，会运用完全平方公式进行计算.
2.培养数学语言表达能力和运算能力，发展符号感.
二、教学重点和难点
1.重点：运用完全平方公式进行计算.
2.难点：完全平方公式的运用.
三、教学过程
1、巩固旧知
○1填空：两个数的和乘以这两个数的差，等于这两个数的。
即(a+b)(a-b)= 。
这个公式叫做公式.
○2用平方差公式计算
(1) (-m+5n)(-m-5n) (2) (3x-1)(3x+1)
= =
= =
(3) (y+3x)(3x-y) (4) (-2+ab)(2+ab)
= =
= =
= =
○3判断正误：对的画“√”，错的画“×”.
(1)(a-b)(a+b)=a2-b2；（）
(2)(b+a)(a-b)=a2-b2；（）
(3)(b+a)(-b+a)=a2-b2；（）
(4)(b-a)(a+b)=a2-b2；（）
(5)(a-b)(a-b)=a2-b2. （）2、用多项式乘多项式法则计算：
(1) (a+b)2 (2) (a-b)2
=(a+b)(a+b) =(a-b)(a-b) =a2+ab+ab+b2 =a2-ab-ab+b2 =a2+2ab+b2 =a2-2ab+b2（生计算，师巡视，要给学生充足的时间）3、观察、归纳：
(a+b)2=a2+2ab+b2即“两数和的平方，等于它们的平方和，加它们的积的2倍.”
(a-b)2=a2-2ab+b2即“两数差的平方，等于它们的平方和，减它们的积的2倍.”
4、我们把
(a+b)2=a2+2ab+b2叫做完全平方和公式。
(a-b)2=a2-2ab+b2叫做完全平方差公式。
统称为“完全平方公式”
5、例运用完全平方公式计算：
(1)(4m+n)2；
(a +b)2= a2 + 2 a b+b2
=16m2+8mn+n2
(2)(y-
1
2
)2.
解：(y-
1
2
)2=y2-2·y·
1
2
+(1
2
)2
(a- b)=a2-2 a b+ b2
= y2-y+
1
4
6、练习
○1运用完全平方公式计算：
(1) (x+6)2 (2) (y-5)2
= =
= =
(3) (-2x+5)2 (4) (
3
4
x-
2
3
y)2
= =
= =
○2计算：
(x+1)(x-3)-(x+2)2+(x+2)(x-2)
=
=
=
○3选做题：如图，利用图形你能得到公式
(a+b)2=a2+2ab+b2吗？
7、小结，布置作业（P
156
习题2(1)(2)(3)(4)4）本节课我们学习了完全平方公式。
(a+b)2=a2+2ab+b2叫做完全平方和公式。
即“两数和的平方，等于它们的平方和，加它们的积的2倍”
(a-b)2=a2-2ab+b2叫做完全平方差公式。
即“两数差的平方，等于它们的平方和，减它们的积的2倍“
”
课题：完全平方公式（第2课时）
一、教学目标
1.知道添括号法则，会添括号.
2.会先添括号再运用乘法公式.
3.培养学生的运算能力，发展符号感.
二、教学重点和难点
1.重点：先添括号再运用乘法公式.
2.难点：先添括号再运用乘法公式.
三、教学过程
（一）基本训练，巩固旧知
1.填空：
(1)平方差公式(a+b)(a-b)= ；
(2)完全平方公式(a+b)2= ，(a-b)2= .
2.运用公式计算：
(1) (2x-3)2 (2)
(-2x+3y)(-2x-3y)
= =
= =
(3) (1
2
m-3)(
1
2
m+3) (4) (
1
3
x+6y)2
= =
= =
3.判断正误：对的画“√”，错的画“×”.
(1)(a+b)2=a2+b2；（）
(2)(a-b)2=a2-b2；（）
(3)(a+b)2=(-a-b)2；（）
(4)(a-b)2=(b-a)2. （）
4.去括号：
(1)(a+b)-c=
(2)-(a-b)+c=
(3)a+(b-c)=
(4)a-(b+c)=
5、在七年级的时候我们学过去括号，括号可以去掉，反过来也可以添上。如，
a+(b+c)=a+b+c这是去括号；反过来
a+b+c=a+(b+c) 这是添括号.
a-(b+c)=a-b-c这是去括号；反过来
a-b-c=a-(b+c) 这是添括号.
6、我们已经知道，去括号的法则是：
如果括号前面是正号，去括号后括号内各项都不变符号；
如果括号前面是负号，去括号后括号内各项都改变符号.
7、与去括号类似，添括号的法则是：都不变符号；
如果括号前面是负号，去括号后括号内各项都改变符号.
8、练习，填空：
(1)a+b+c=( )+c；
(2)a-b+c=( )+c；
(3)-a+b-c=-( )-c；
(4)-a-b+c=-( )+c；
(5)a+b-c=a+( )；
(6)a-b+c=a-( )；
(7)a-b-c=a-( )；
(8)a+b+c=a-( ).
（用去括号检查添括号是否正确）
9、例1.用乘法公式计算(x+2y-3)(x-2y+3)）这里所说的乘法公式就是平方差公式和完全平方公式.解题过程如课本第155页所示10、例2 运用乘法公式计算(a+b+c)2.
（先让生尝试，然后师边讲解边板演，解题过程如课本第155页所示）
11、练习，运用乘法公式计算：
(1) (a+2b-1)2
=
=
=
=
(2) (2x+y+z)(2x-y-z)
=
=
=
=
12、小结，布置作业（P
156
习题3）
本节课我们学习了：
（1）添括号的法则。
如果括号前面是正号，去括号后括号
内各项都不变符号；
如果括号前面是负号，去括号后括号
内各项都改变符号.
（2）用公式计算的一种技巧。
在进行多项式乘以多项式的计算时，
可以通过添括号把它转化为能用公式
计算，使计算变得简单。
如：例1.例2。
课题：15.3.1同底数幂的除法
一、教学目标
1.经历同底数幂除法法则的形成过程，会进
行同底数幂的除法运算.
2.知道任何不等于0的数的0次方都等于1.
二、教学重点和难点
1.重点：同底数幂的除法运算.
2.难点：任何不等于0的数的0次方都等于
1.
三、教学过程
1、复习巩固·
○1填空：
(1)同底数幂相乘，不变，相加，即a m·a n= ；
(2)幂的乘方，不变，相乘，即(a m)n= ；
(3)积的乘方，等于把积的每一个因式分别
的积，即(ab)n= .
○2直接写出结果：
(1)-b·b2= (2)a·a3·a5= (3)(x4)2= (4)(y2)3·y=
(5)(-2b)3= (6)(-3xy3)2=
○3填空：
(1)a5· =a7； (2)m3· =m8；(3) ·x8=x12；(4) ·(-6)3=(-6)5.
2、由105·102=107可得107÷105=102。
又107-5=102，所以107÷105=107-5=102。
由a3·a6=a9可得a9÷a3=a6.
又a9-3=a6,所以a9÷a3= a9-3=a6
从这两个例子，我们发现这样一个规律，同底数幂相除，底数不变，指数相减.
即，a m÷a n=a m-n，（m，n都是正整数，a≠0））. 思考：为什么要求a≠0？
如果a=0，那么a n=0，这样除数为0没有意义，所以要求a≠0.
3、例计算：
(1)x8÷x2；
解： =x8-2
=x6
(2)a4÷a；
解： =a4-1
=a3
(3)(ab)5÷(ab)2.
解： =（ab）5-2
=(ab)3=a3b3
（生尝试，解题格式如课本第160页所示）○1直接写出结果：
(1)x7÷x5= (2)107÷104=
(3)x3÷x= (4)y5÷y4=
(5)y n+2÷y2= (6)m8÷m8=
○2计算：
(1)(-a)10÷(-a)7=
(2)(xy)5÷(xy)3=
(3)(-2y)3÷(-2y)=
(4)(x2)4÷(x3)2=
○3判断正误：对的画“√”，错的画“×”.
(1)a4÷a3=a7；（）
(2)x4·x2=x6；（）
(3)x6÷x2=x3；（）
(4)64÷64=6；（）
(5)a3÷a=a3；（）
(6)(-c)4÷(-c)2=-c2. （）
5、根据“同底数幂的除法法则”得
23÷23=3-3=20
又根据“两个相同的数相除等于1”得
23÷23=1
所以20=1.
同理，33÷33=33-3=30,33÷33=1，
所以30=1.
a3÷a3=a3-3=a0,a3÷a3=1,
所以a0=1.(a≠0)
a m÷a m=a m-m a0,a m÷a m=1,
所以a0=1. (a≠0)
6、任何不等于0的数的0次方等于1.
7、小结，布置作业（P
164
习题1）
本节课我们学习了。
同底数幂的除法法则：“同底数幂相除，底数不变，指数相减.”
用这个法则，我们还可以得到：“任何不等于0的数的0次方都等于1.”
即，a0=1. (a≠0)
课题：整式的除法（第1课时）
一、教学目标
1.经历单项式除以单项式法则的形成过程，
会进行单项式除以单项式的运算.
2.培养归纳概括能力和运算能力.
二、教学重点和难点
1.重点：单项式除以单项式.
2.难点：先进行乘方运算，再进行除法运算.
三、教学过程
1、巩固旧知·
○1直接写出结果：
(1)a5÷a2= (2)109÷103= (3)x3÷x= (4)y3÷y2=
(5)m4÷m4= (6)(b4)2÷(b2)3= (7)(-xy)3÷(-xy)= (8)(ab2)4÷(ab2)2=
○2填空：单项式与单项式相乘，系数，相同字母，剩下的照抄.
○3直接写出结果：
(1)(4×105)·(5×104)=
(2)(-2a2b3)·(-3a)=
(3)(2xy2)·(1
3
xy)=
(4)(2
5
x2y)·(-
5
8
xyz)=
○4填空：
(1)2ab· =6a2b3；
(2) ·4x2y=-8x2y3z.
2、我们知道，整式的乘法分单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式。上节课又学习了同底数幂的除法法则。类似的，整式的除法也可以分为单项式除以单项式、多项式除以单项式、多项式除以多项式等.本节课我们先学习单项式除以单项式。
3、3、根据单项式乘以单项式的法则得
3ab2·4a2x3=12a3b2x3
根据除法是乘法的逆运算得
12a3b2x3÷3ab2=4a2x3
又12÷3=4，a3÷a=a3-1=a2,b2÷b2=b2-2=b0=1, 剩下x3照抄。
4、单项式除以单项式的法则：
“单项式与单项式相除，系数相除，相同字母相除，剩下的照抄.”
4、例计算：
(2)-5a5b3c÷15a4b3.
（解题格式如课本第161页所示，）
5、练习
○1计算：
(1)10ab3÷(-5ab)
=
=
(2) -8a2b3÷6ab2
=
=
(2)-21x2y4÷(-3x2y3)
=
=
(4) (6×108)÷(3×105)
=
= (5)6x2y4÷3x2y3
=
=
(6) –a2bc÷
1
3
ac
=
=
○2计算：
(1) (-2xy2)3÷4x2y5
=
=
=
(2) (3ab3c)2÷(-ab2)2
=
=
= ○3填空：已知1米＝109纳米，某种病毒直径为100纳米，个这种病毒能排成1米长.
5、小结，布置作业（P
164
习题2.4.）
本节课我们学习了。
单项式除以单项式的法则：
“单项式与单项式相除，系数相除，相同字母相除，剩下的照抄.”
课题：整式的除法（第2课时）
一、教学目标
1.知道多项式除以单项式的法则，会运用法则进行多项式除以单项式的运算.
2.培养运算能力，渗透转化思想.
二、教学重点和难点
1.重点：多项式除以单项式.
2.难点：多项式除以单项式法则的运用.
三、教学过程
1、巩固旧知·
○1直接写出结果：
(1)8m2n2÷2m2n=
(2)10a4b3c2÷(-5a3b)=
(3)-a4b2÷3a2b=
(4)(-2x2y)2÷(4xy2)=
○2填空：多项式乘以单项式，先把这个多项式的每一项这个单项式，再把所得的积相加.
○3填空：
(1) (3x2-2x+1)·3x
= + +
= ；
(2) (2
3
x2y-6x)·(
1
2
xy2)
= +
= .
2、上节课我们学习了单项式除以单项式，本节课我们将学习多项式除以单项式。
3、根据单项式乘以多项式的法则得
m(a+b+c)= am+bm+cm
根据除法是乘法的逆运算得
(am+bm+cm)÷m= a+b+c
又am÷m=a,bm÷m=b,cm÷m=c
即am÷m+bm÷m+cm÷m=a+b+c
所以(am+bm+cm)÷m
= am÷m+bm÷m+cm÷m
= a+b+c
4、多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
5、例1 计算：
(1)(12a3-6a2+3a)÷3a；
解：=12a3÷3a+(-6a2)÷3a+3a÷3a
=4a2-2a+1.
(2)(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y).
÷(-7x2y)
=-3x2y+5xy-y.
6、练习
○1填空：
(1) (6a3+4a)÷2a
= +
= ；
(2) (12x3-8x2+16x)÷(-4x)
= + + = .
○2直接写出结果：
(1)(6xy+5x)÷x=
(2)(15x2y-10xy2)÷5xy=
(3)(8a2-4ab)÷(-4a)=
(4)(25x3+15x2-20x)÷(-5x)=
7、例2（解题格式如课本第163页所示）
计算［(x+y)2-y(2x+y)-8x］÷2x.
解：=[x2+2xy+y2-2xy-y2-8x]÷2x
=(x2-8x) ÷2x
= x2÷2x -8x÷2x
=
1
2
x-4
8、练习，计算：
［(x+y)(x-y)-(x-y)2］÷2y
=
=
=
=
9、小结，布置作业（作业：P
164
习题3.）本节课我们学习了。
多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的
每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
课题：提公因式法（第1课时）
一、教学目标
1.通过与整式乘法比较，经历因式分解概念的形成过程，知道因式分解的意义.
2.公因式是单项式，会用提公因式法分解因式.
二、教学重点和难点
1.重点：用提公因式法分解因式.
2.难点：找公因式.
三、教学过程
1、前面我们学习了整式的乘法和除法，从这节课开始，我们要学习一个新的内容，因式分解.什么是因式分解？或者说，因式分解是什么意思？因式分解的意思与整式乘法的意思正好相反.
2、例如，x(x+1)=x2+x，这是整式乘法，
反过来，x2+x=x(x+1)，这是因式分解.
我们把多项式x2+x分解成了因式x和
x+1积的形式，所以叫做因式分解.
又如，(x+1)(x-1)=x2-1，这是整式乘法，反过来， x2-1=(x+1)(x-1)，这是因式分解.
我们把多项式x2-1分解成了因式x+1和x-1积的形式，所以也是因式分解.
通过上面两个例子，同学们会用自己的语言来概括什么是因式分解？（多让几名同学说）
3、把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解.
4、练习，下面各题，是因式分解的画“√”，不是的画“×”.
(1)x(a-b)=xa-xb；（）
(2)xa-xb=x(a-b)；（）
(3)(x+2)(x-2)=x2-4；（）
(4)x2-4=(x+2)(x-2)；（）
(5)m(a+b+c)=ma+mb+mc；（）
(6)ma+mb+mc=m(a+b+c)；（）
(7)ma+mb+mc=m(a+b)+mc. （）5、通过上面的学习，我们知道，因式分解是把一个多项式化成几个因式积的形式，而且我们还知道，因式分解过程与整式乘法正好相反.那么，怎么进行因式分解呢？因式分解的方法很多，本节课我们先学习因式分解的一种方法，叫做提公因式法.
6、观察多项式ma+mb+mc，这个多项式每项都有一个相同的因式m，ma这一项中有因式m，mb这一项中也有因式m。因式.确定公因式的方法是：
对于系数：取各项系数的最大公约数。
相同字母：取次数最低的。
8、例1.确定下列多项式的公因式
(1)a3+ac；（公因式：a）
(2)8a3+12ac；（公因式：4a）
(3)8a3b2+12ab3c. （公因式：4ab2）
9、所谓提公因式法，就是把多项式中每一项的公因式提到括号外面，括号内的每一项等于原多项式的每一项除以公因式。步骤如下：第一步：找公因式。（这是关键）
第二步：提公因式。
10、例2. 把下列多项式分解因式：
(1)a3+ac；
解：=a（a2+c）
(2)8a3+12ac；
解：=4a（2a2+3c）
(3)8a3b2+12ab3c.
解：=4ab2（2a2+3bc）
11、练习
○1填空：
(1)多项式ax+ay各项的公因式是；
(2)多项式3mx-6my各项的公因式是；
(3)多项式4a2+10ab各项的公因式是；
(4)多项式15a2+5a各项的公因式是；
(5)多项式x2y+xy2各项的公因式是；
(6)多项式12xyz-9x2y2各项的公因式是
4.把下列各式分解因式：
(1) 4x3-6x2 (2) 4a3b+2a2b2
= =
= =
(3) 6x2yz-9xz2 (4)12m3n2-18m2n3 = =
= =
12、小结，布置作业
通过本节课的学习，我们知道了。
（1）什么是因式分解。
（2）因式分解与整式乘法的关系。
（3）什么叫公因式。
（4）如何确定公因式。
（5）什么叫提取公因式法。
（6）提取公因式法的步骤。
（作业：P
167
练习1(1)(2)，P
170
习题1(1)(2)）课题：提公因式法（第2课时）
一、教学目标
1.公因式是二项式，会用提公因式法分解因式.
2.培养式的变形能力，发展符号感.
二、教学重点和难点
1.重点：用提公因式法分解因式.
2.难点：先进行式的变形，再提公因式.
三、教学过程
1、巩固旧知
○1填空：
(1)把一个多项式化成几个因式的形式，叫做因式分解；
(2)用提公因式法分解因式有两步，
第一步：公因式，第二步：公因式. ○2直接写出因式分解的结果：
(1)mx+my
=
(2)3x3+6x2
=
(3)7a2-21a
=
(4)15a2+25ab2
=
(6)x2+x
=
(6)8a3-8a2
=
(7)4x2+10x
=
(8)9a4b2-6a3b3
=
(9)x2y+xy2-xy
=
(10)15a2b-5ab+10b
=
3、例把下列各式分解因式：
（让学生思考一会儿，再叫学生尝试回答） (1)2a(b+c)-3(b+c)；
解：=（b+c）（2a-3）
(2)6(x-2)+x(2-x).
解：=6(x-2)-x(x-2)
=（x-2）（6-x）
注意：○12-x=-（x-2）
○2公因式可以是多项式
○3提取公因式法的关键是确定公因式○1直接写出因式分解的结果：
(1)a(x+y)+b(x+y)=
(2)6m(p-3)-5n(p-3)=
(3)x(a+3)-y(3+a)=
(4)m(x2-y2)+n(x2-y2)=
(5)(a+b)2+c(a+b)=
○2把下列式子分解因式：
(1)m(a-b)+n(b-a)
=
=
(2) x(a-3)-2(3-a)
=
=
○3判断正误：下列因式分解，对的画“√”，错的画“×”.
(1)x(a+b)-y(b+a)=(a+b)(x+y)；
（）
(2)x(a-b)+y(b-a)=(a-b)(x+y)；
（）
(3)x(a-b)-y(b-a)=(x+y)(a-b)；
（）
(4)m2(a+b)+m(a+b)=(a+b)(m2+m).
（）
5、小结，布置作业
通过两节课的学习，我们知道了。
（1）把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解.
（2）因式分解过程与整式乘法正好相反.（3）我们把多项式中每项都有的因式，叫做公因式.确定公因式的方法是：
对于系数：取各项系数的最大公约数。
相同字母：取次数最低的。
（4）所谓提公因式法，就是把多项式中每一项的公因式提到括号外面，括号内
的每一项等于原多项式的每一项除以
公因式。步骤如下：
第一步：找公因式。（这是关键）
第二步：提公因式。
（5）注意：○12-x=-（x-2）
○2公因式可以是多项式
○3提取公因式法的关键是确定公因式
（作业：P
167
练习1(3)(4)，P
170
习题1(3)(4)）课题：15.4.2公式法（第1课时）
一、教学目标
1.知道因式分解的平方差公式，会运用公式分解因式.
2.会两次运用平方差公式分解因式，知道因式分解必须进行到不能分解为止.
二、教学重点和难点
1.重点：运用平方差公式分解因式.
2.难点：平方差公式的运用.
三、教学过程
1、复习巩固。直接写出因式分解的结果：
(1)2a2b+4ab2=
(2)12x2yz-8xz2=
(3)2a(x+y)-3b(x+y)=
(4)x(m-n)-y(n-m)=
2、我们以前学过的“平方差公式”
(a+b)(a-b)= a2-b2从左到右是整式乘法。而因式分解与整式乘法正好相反，即
a2-b2=(a+b)(a-b)从左到右是因式分解。本节课我们学习用平方差公式来分解因式.
3、a2-b2=(a+b)(a-b)的意思是“两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.”有了这个公式，以后凡是可以写成a2-b2样子的式子，都可以用这个公式来分解因式.
4、例1 分解因式：
(1)4x2-9；
解：=(2x)2-33
=(2x+3)(2x-3)
(2)(x+p)2－(x+q)2.
解：=[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)]
=(x+p+x+q)(x+p-x-q)
=(2x+p+q)(p-q)
5、练习，回授调节
○1分解因式：
(1)x2-25
=
=
(2) 9-y2
=
=
(3) 1-a2
=
(4) 4x2-y2
=
=
(5) 9a2-4b2
=
(6) 0.81m2-16n2
=
= （7）a2?125b2
=
=
(8) 4x2y2-9z2
=
=
○2分解因式：
(1) (a+b)2-a2
=
=
(2) (x+y)2-(x-y)2
=
= 5、例2
分解因式：x4-y4.
解:= (x2)2?(y2)2
= (x z+y2)(x2?y2)
= (x2+y2)(x+y)(x?y)
注意：分解因式必须分解到每一步都不能再分解为止。
6、练习，分解因式：
(1) x4-1
=
=
=
(2) -a4+16
=
=
=
7、小结，布置作业
本节课我们学习了用平方差公式分解因式.把整式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)=
a2-b2反过来，就成了因式分解的平方差公式. a2-b2=(a+b)(a-b)，它的意思是“两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.”。用平方差公式分解因式，先要把式子写成a2-b2的形式，然后套公式.
（作业：P
171
习题2(1)(3)(4)）
课题：15.4.2公式法（第2课时）
一、教学目标
1.知道因式分解的完全平方公式，会运用公
式分解因式.
2.培养式子的变形能力，发展符号感.
二、教学重点和难点
1.重点：运用完全平方公式分解因式.
2.难点：完全平方公式的运用.
三、教学过程
1、巩固旧知
○1填空：两个数的平方差，等于这两个数
的与这两个数的的积。
即a2-b2= ，
这个公式叫做因式分解的公式. ○2填空：在x2+y2，x2-y2，-x2+y2，-x2-y2中，能用平方差公式来分解因式的是
.
○3直接写出因式分解的结果：
(1)4a2-9y2=
(2)16x2-1=
(3)(a+b)2-c2=
(4)x4-y2=
2、上节课我们学习了用平方差公式分解因式，这节课我们要学习用完全平方公式分解因式。完全平方公式有两个，这两个公式我们以前
就学过. (a+b)2=a2+2ab+b2.另一个公式是
(a-b)2=a2-2ab+b2
把这两个公式反过来，我们可以得到
a2+2ab+b2=(a+b)2.a2-2ab+b2=(a-b)2.
a2+2ab+b2=(a+b)2的意思是“两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和的平方.”
a2-2ab+b2=(a-b)2的意思是“两个数的平方和减去这两个数的积的2倍，等于这两个数的差的平方.”
凡是可以写成a2+2ab+b2或者a2-2ab+b2
这样的式子，都可以用这两个公式来分解因式.
3、例1 分解因式：
(1)16x2+24x+9；
解：=(4x)2+2×4x×3+32
=(4x+3)2
(2)m2+25n2-10mn.
解：=m2-2×m×5n+n2
=(m+5n)2
4、练习，运用完全平方公式分解因式： =
=
(2) x2-6x+9
=
=
(3)4x2-20xy+25y2
=
=
(4) x2+36+12x
=
= 5、例2因式分解：
（解题格式如课本第169－170页所示）
(1)-x2+4xy-4y2；
解：=-（x2-4xy+4y2）
=-[x2-2×x×2y+(2y)2]
=-(x-2y)2
(2)(a+b)2+12(a+b)+36.
=(a+b)2+2×(a+b)×6+62
=(a+b+6)2
6、练习，运用完全平方公式分解因式：
(1) -2xy-x2-y2
解：=
=
(2) (a+b)2-4(a+b)b+4b2
=
=
=
7、思考：x2+6x+16这个多项式，能用完全平方公式来分解吗？
8、小结，布置作业（P
171
习题3）
本节课我们学习了用完全平方公式来分
解因式.用完全平方公式分解一个多项式，前提是这个多项式可以写成a2+2ab+b2或者
a2-2ab+b2的样子. 如果可以写成，这个多项式就能用完全平方公式来分解；如果不可以
写成，这个多项式就不能用完全平方公式来
分解.
a2+2ab+b2=(a+b)2的意思是：
“两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和的平方.”
a2-2ab+b2=(a-b)2的意思是：
“两个数的平方和减去这两个数的积的2倍，等于这两个数的差的平方.”
课题：15.4.2公式法（第3课时）
一、教学目标
1.会比较熟练地用提公因式法、公式法分解因式.
2.知道因式分解的一般步骤，会按两步分解因式.
二、教学重点和难点
1.重点：按两步分解因式.
2.难点：按两步分解因式.
三、教学过程
1、巩固旧知
○1用提公因式法分解因式：
(1)3ay-3by
=
(2)4a2bc+6a3b
=
(3)4x3-8x2-4x
=
(4)x(a-b)+y(b-a)
=
○2用平方差公式分解因式：
(1) 1-4x2
=
=
(2) 9a2-
1 16
= =
(5)(x+y)2-4x2
=
=
(4) a2b2-c2d2
= = ○3用完全平方公式分解因式：
(1)9x2+6x+1
=
=
(2) a2+16b2-8ab
= =
（3）X2+xy+y2
4
=
(4) a2-2a(b+c)+(b+c)2
=
= 2、因式分解的步骤：
第一步：如果有公因式，那么先提公因式；
第二步：如果没有公因式，那么看能不能用公式法分解.
3、例分解因式：
(1)a3b-ab；
解：=ab(a2-1)
=ab(a+1)(a-1)
(2)3ax2+6axy+3ay2.
解：=3a（x2+2xy+y2）
=3a(x+y)2
4、练习
○1分解因式：
(1)xy2-4y
=
(2) 12x2-3y2
=
=
(2)ax2+2a2x+a2
=
=
(4) -3x2+6xy-3y2
=
=
○2选做题：
分解因式：x5-2x3+x.
=
=
=
=
5、小结，布置作业
本节课我们我们学习了因式分解的一般步骤.
首先看这个多项式的各项有没有公因式，如果有，不管三七二十一，先提公因式；
提了公因式以后，再看能不能用公式法继续分解，而且一直要分解到每一个多项式因式都不能再分解为止.
2、同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
a m·a n=a m+n。
(a m)n=a mn。
4、积的乘方等于每个因式分别乘方的积。(ab)n=a n b n.
5、同底数幂相除，底数不变，指数相减.
a m÷a n=a m-n.
6、任何不等于0的数的0次方都等于1.
a0=1 (a≠0).
7、单项式与单项式相乘，系数相乘，相同字母相乘，剩下的照抄.
8、单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
9、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得
的积相加.
10、乘法公式。
（1）平方差公式。(a+b)(a-b)=a2-b2。
（2）完全平方公式。(a±b)2=a2±2ab+b2。11、单项式与单项式相除，系数相除，相同
字母相除，剩下的照抄.
12、多项式除以单项式，先把这个多项式的
每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
13、把一个多项式化成几个因式积的形式叫
做因式分解.因式分解的过程与整式乘法的
过程正好相反.即，把整式乘法反过来就是因式分解，把因式分解反过去就是整式乘法. 14、因式分解的两种方法，一种是提公因式法，一种是公式法.
15、多项式中每项都有的因式，叫做公因式.
16、确定公因式的方法是：
对于系数：取各项系数的最大公约数。
相同字母：取次数最低的。
17、提公因式法，就是把多项式中每一项的
公因式提到括号外面，括号内的每一项等于
原多项式的每一项除以公因式。
18、提公因式的步骤：
第一步：找公因式。（这是关键）
第二步：提公因式。
19公式法就是把整式乘法的两个公式反过来，（1）平方差公式。a2-b2=(a+b)(a-b)。
（2）完全平方公式。a2±2ab+b2=(a±b)2）.
提公因式法和公式法是因式分解的两种
方法，这两种方法在分解因式的过程中常常
是配合使用的.
20、因式分解的步骤。
首先要看有没有公因式，如果有，就先用提然后再看能不能用公式，如果能，再用公式
法分解，而且一直要分解到不能再分解为止.
简单地说，分解因式的步骤是，先提公
因式，再用公式法.
23、典型例题
例1 利用乘法公式计算：
(1)102×98； (2)1022； (3)992.
(4)999×1001； (5)1982；
(6)5x2(x+1)(x-1)； (7)(2x+y-1)2；
(8)4(x+1)2-(x+5)(x-5)-(x+4)(3x+7).
例2 一家住房的结构如图所示，这家房
子的主人打算把卧室以外的部分都铺上地砖，
至少需要多少平方米的地砖？.
例3、分解因式：
(1)(2a-b)2+8ab； (2)x2-1+y2+2xy.
(3)(a+2)(a+8)-2a； (4)x3-9x；
(5)16x4-1； (6)6xy2-9x2y-y3.
例4、计算图中阴影部分的面积（单位：m）.
例5
、如图，一块直径为a+b的圆形钢板，
从中挖去直径分别为a与b的两个圆，求剩
下的钢板的面积.
2a
2a
2a a
a
2.5a
1.5a
b a
2x
x
整式的乘除（习题） 例题示范 例1：计算328322(2)(2)(84)(2)x y y x y x x ?-+-+÷-． 【操作步骤】 （1）观察结构划部分：328322(2)(2)(84)(2)x y y x y x x ?-+-+÷- ① ② （2）有序操作依法则：辨识运算类型，依据对应的法则运算． 第一部分：先算积的乘方，然后是单项式相乘； 第二部分：多项式除以单项式的运算． （3）每步推进一点点． 【过程书写】 解：原式62634(2)(42)x y y x y =?-+- 6363842x y x y =-+- 6342x y =-- 巩固练习 1. ①3225()a b ab -?-=________________； ②322()(2)m m n -?-=________________； ③2332(2)(3)x x y -?-； ④323(2)(2)b ac ab ?-?-． 2. ①2223(23)xy xz x y ?+=_____________________； ②31422xy y ??-?-= ??? _______________________； ③2241334 ab c a b abc ??-?= ???___________________； ④222(2)(2)ab a b ?-=________________________； ⑤32(3231)a a a a -?+--=____________________． 3. ①(3)(3)x y x y +-； ②(2)(21)a b a b -++；
③(23)(24)m n m n ---； ④2(2)x y +； ⑤()()a b c a b c -+++． 4. 若长方形的长为2(421)a a -+，宽为(21)a +，则这个长方形的面积为（ ） A ．328421a a a -+- B ．381a - C ．328421a a a +-- D ．381a + 5. 若圆形的半径为(21)a +，则这个圆形的面积为（ ） A ．42a π+π B ．2441a a π+π+ C ．244a a π+π+π D ．2441a a ++ 6. ①32223x yz xy ?? ÷= ???__________________； ②3232()(2)a b a b -÷-=________________； ③232(2)()x y xy ÷=___________； ④2332(2)(__________)2x y x y -÷=； ⑤23632()(6)(12)m n m n mn -÷?-=_________． 7. ①32(32)(3)x yz x y xy -÷-=____________； ②2332421 12322a b a b a b a b ???? -+÷-= ? ?????_______________； ③24422(48)(2)m n m n mn --÷=_______________；
人教版初中数学因式分解知识点训练及答案 一、选择题 1．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A ．m （a +b ）＝ma +mb B ．a 2+4a ﹣21＝a （a +4）﹣21 C ．x 2﹣1＝（x +1）（x ﹣1） D ．x 2+16﹣y 2＝（x +y ）（x ﹣y ）+16 【答案】C 【解析】 【分析】 根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】 A 、是整式的乘法，故A 不符合题意； B 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B 不符合题意； C 、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C 符合题意； D 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D 不符合题意； 故选C ． 【点睛】 本题考查了因式分解的意义，判断因式分解的标准是把一个多项式转化成几个整式积的形式． 2．已知实数a 、b 满足等式x=a 2+b 2+20，y =a(2b －a )，则x 、y 的大小关系是（ ）． A ．x ≤ y B ．x ≥ y C ．x < y D ．x > y 【答案】D 【解析】 【分析】 判断x 、y 的大小关系，把x y -进行整理，判断结果的符号可得x 、y 的大小关系． 【详解】 解：22222202()x y a b ab a a b a -=++-+=-++20， 2()0a b -≥Q ，20a ≥，200>, 0x y ∴->， x y ∴>， 故选:D ． 【点睛】 本题考查了作差法比较大小、配方法的应用；进行计算比较式子的大小；通常是让两个式子相减，若为正数，则被减数大；反之减数大. 3．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）． A ．()x a b ax bx -=- B ．()()222 111x y x x y -+=-++
因式分解 【知识梳理】 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。 即：多项式→几个整式的积 例：111 ()333 ax bx x a b += + 因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。 (1)整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式； (2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘； (3)因式分解的最后结果应当是“积”的形式。 【例题】判断下面哪项是因式分解： 因式分解的方法 提公因式法： 定义：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，从而将多项式化成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。 公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。 【例题】333234221286a b c a b c a b c -+的公因式是 ． 【解析】从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、－8、6，它们的最大公约 数为2；字母部分33323422,,a b c a b c a b c 都含有因式32a b c ，故多项式的公因式是232 a b c ． 小结提公因式的步骤： 第一步：找出公因式； 第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。 注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项式中第一项有负号的，要先提取符号。 【基础练习】 1．ax 、ay 、－ax 的公因式是__________；6mn 2 、－2m 2n 3 、4mn 的公因式是__________． 2．下列各式变形中，是因式分解的是（ ） A ．a 2－2ab ＋b 2－1＝（a －b ）2－1 B ．)1 1(22222x x x x +=+
单项式 ?系数：单项式前面的_________ ?次数：所有字母的________ 整式 ? ? _______ ?项：组成多项式的每个单项式? ?? ?次数：___________项的次数 2 整式的乘除（讲义） ? 课前预习 1. 整式的分类： ? ?定义：数字与字母的乘积组成的代数式 ? ? ? ? ? ? ? ?定义：几个单项式的和 ? ? 2. ________________________________________________叫做同类项；把同类 项 合 并 成 一 项 叫 做 合 并 同 类 项 ； 合 并 同 类 项 时 ， ________________________________________________． 3. 乘法分配律： a(b + c) = _______________． 4. 类比迁移： 老师出了一道题，让学生计算 x 5 y ÷ x 2 ． 小聪是这么做的： x 5 y ÷ x 2 = x 5 y x ? x ? x ? x ? x ? y = = x 3 y x x ? x 请你类比小聪的做法计算： 8m 2n 2 ÷ 2m 2n ． ? 知识点睛
③ - x 2 y ? ? (-4 y 3 ) = ______； ② ab 2c - 2ab ? ? ab = ____________________； ③ (-2a) ? a 3 - 1? = _________________； 1. 单×单：_______乘以________，_________乘以________． 2. 单×多：根据________________，转化为单×单． 3. 多×多：握手原则． 4. 单÷单：系数除以系数，字母除以字母． 5. 多÷单：借用乘法分配律． 精讲精练 1. ①■4 x y ? 2 x y 3 z = _______； ? 1 ? ? 2 ? ② 3x 2 y ? (-2 x 3 y 2 ) = _______； “■”在不引起歧义的情况 下，单项式和其他单项式或 多项式运算时，本身可以不 加括号． ④ (-3a 3 )2 ? (-2a 2 ) ； ⑤ 2 x 3 ? (-2 x y) ? (-2 x y)3 ． 2. ① 2ab ? (5ab 2 + 3a 2b ) ______________________； ? 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? 1 ? ? 4 ? ④ ( x 2 - 2 y) ? ( x y 2 )2 = _________________________； ⑤ -2( x + y 2 z - 3x 2 ) ? x 2 y = _________________________． 3. 计算： ① (3x + 4 y) ? (3x - 4 y) ； ② (m - n) ? (3m - 2n + 1) ； ③ (-2m - n) ? (3m - 2n) ； ④ (2 x - y)2 ； ⑤ (a + b - c) ? (a - b + c) ．
初中数学因式分解难题汇编及答案 一、选择题 1．若实数a 、b 满足a+b=5，a 2b+ab 2=-10，则ab 的值是（ ） A ．-2 B ．2 C ．-50 D ．50 【答案】A 【解析】 试题分析：先提取公因式ab ，整理后再把a+b 的值代入计算即可． 当a+b=5时，a 2b+ab 2=ab （a+b ）=5ab=-10，解得：ab=-2． 考点：因式分解的应用． 2．若()()21553x kx x x --=-+，则k 的值为（ ） A ．-2 B ．2 C ．8 D ．-8 【答案】B 【解析】 【分析】 利用十字相乘法化简()()253215x x x x -+=--，即可求出k 的值． 【详解】 ∵()()253215x x x x -+=-- ∴2k -=- 解得2k = 故答案为：B ． 【点睛】 本题考查了因式分解的问题，掌握十字相乘法是解题的关键． 3．已知12,23x y xy -==，则43342x y x y -的值为( ) A ．23 B ．2 C ．83 D ．163 【答案】C 【解析】 【分析】 利用因式分解以及积的乘方的逆用将43342x y x y -变形为(xy)3(2x-y)，然后代入相关数值进 行计算即可． 【详解】 ∵12,23 x y xy -==， ∴43342x y x y - =x 3y 3(2x-y)
=(xy)3(2x-y) =23×1 3 =8 3 ， 故选C． 【点睛】 本题考查了因式分解的应用，代数式求值，涉及了提公因式法，积的乘方的逆用，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 4．下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（） A．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2B．a（a+1）（a﹣1）＝a3﹣a C．6x2y3＝2x2?3y3D．mx﹣my+1＝m（x﹣y）+1 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用因式分解的定义分析得出答案． 【详解】 解：A、a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，从左到右的变形属于因式分解，符合题意； B、a（a+1）（a﹣1）＝a3﹣a，从左到右的变形是整式乘法，不合题意； C、6x2y3＝2x2?3y3，不符合因式分解的定义，不合题意； D、mx﹣my+1＝m（x﹣y）+1不符合因式分解的定义，不合题意； 故选：A． 【点睛】 本题考查因式分解的意义，解题关键是熟练掌握因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，注意因式分解与整式的乘法的区别． 5．下列各式中不能用平方差公式进行计算的是( ) A．(m－n)(m＋n) B．(－x－y)(－x－y) C．(x4－y4)(x4＋y4) D．(a3－b3)(b3＋a3) 【答案】B 【解析】 A.(m－n)(m＋n)，能用平方差公式计算； B.(－x－y)(－x－y)，不能用平方差公式计算； C.(x4－y4)(x4＋y4)，能用平方差公式计算； D. (a3－b3)(b3＋a3)，能用平方差公式计算. 故选B. 6．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）
第四章因式分解 ●教学目标 （一）教学知识点 1.复习因式分解的概念，以及提公因式法，运用公式法分解因式的方法，使学生进一步理解有关概念，能灵活运用上述方法分解因式. 2.熟悉本章的知识结构图. （二）能力训练要求 通过知识结构图的教学,培养学生归纳总结能力,在例题的教学过程中培养学生分析问题和解决问题的能力. （三）情感与价值观要求 通过因式分解综合练习,提高学生观察、分析能力；通过应用因式分解方法进行简便运算，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识. ●教学重点 复习综合应用提公因式法,运用公式法分解因式. ●教学难点 利用分解因式进行计算及讨论. ●教学方法 引导学生自觉进行归纳总结. ●教具准备 投影片三张 第一张（记作§4.6 A） 第二张（记作§4.6 B） 第三张（记作§4.6 C） ●教学过程 Ⅰ.创设问题情境,引入新课 ［师］前面我们已学习了因式分解概念,提公因式法分解因式,运用公式法分解因式的方法,并做了一些练习.今天,我们来综合总结一下. Ⅱ.新课讲解 （一）讨论推导本章知识结构图 ［师］请大家先回忆一下我们这一章所学的内容有哪些?
［生］（1）有因式分解的意义,提公因式法和运用公式法的概念. （2）分解因式与整式乘法的关系. （3）分解因式的方法. ［师］很好.请大家互相讨论,能否把本章的知识结构图绘出来呢?（若学生有困难,教师可给予帮助） ［生］ （二）重点知识讲解 ［师］下面请大家把重点知识回顾一下. 1.举例说明什么是分解因式. ［生］如15x3y2+5x2y－20x2y3=5x2y（3xy+1－4y2） 把多项式15x3y2+5x2y－20x2y3分解成为因式5x2y与3xy+1－4y2的乘积的形式,就是把多项式15x3y2+5x2y－20x2y3分解因式. ［师］学习因式分解的概念应注意以下几点: （1）因式分解是一种恒等变形,即变形前后的两式恒等. （2）把一个多项式分解因式应分解到每一个多项式都不能再分解为止. 2.分解因式与整式乘法有什么关系? ［生］分解因式与整式乘法是两种方向相反的变形. 如:ma+mb+mc=m（a+b+c） 从左到右是因式分解,从右到左是整式乘法. 3.分解因式常用的方法有哪些? ［生］提公因式法和运用公式法.可以分别用式子表示为: ma+mb+mc=m（a+b+c） a2－b2=（a+b）（a－b） a2±2ab+b2=（a±b）2 4.例题讲解
2 整式的乘除计算题专项练习 80 题 22 1、 4(a+b)+2(a+b)-5(a+b) 2 、( 3mn ＋1)(3mn-1)-8m 2n 2 3、 [(xy-2)(xy+2)-2x y +4] ÷ (xy) 4、 化简求值 : (2a 1)2 (2a 1)(a 4) ，其中 a 2 5、 x 2 x 3 x 1 x 2 6 、 2xy 2 1 xy 4 1 xy 4 7、( 9a 4b 3c )÷( 2a 2b 3)·(- 3 a 3bc 2) 4 8 、计算： 2 ( x y)(x y) (x y) 9、 2 2 2 3 2 (15x 2y 2-12x 2y 3-3x 2) ÷ (-3x)
14、化简求值： 当 x 2，y 5 2 时， 求[ 2x y 2 2x y 2x y 4xy] 2x 的值 15、先化简，再求值 3x 2y 4xy 2 5xy 2 6xy 2 ，其中 x 2, y 1 2 2 2 2 3 a b a ab b b b a a , 其中 a 10、 (2a b)4 (2a b)2 11 、1232-124×122（利用乘法公式计算） 12、 (x 1)(x 2) 2 ( x) 13 2 3 2 4 3 、(2x 2y) 3· (-7xy 2) ÷ (14x 4y 3 ) 16、先化简再求 值： 2 2 2 a b a 2 ab b 2 b 2 b a 3 a 3 , 其中 a 4 ,b 17、先化简再求值： 14 ,b
2 1 18、化简求值 (x 2y) 2 (x y)(x y)，其中 x 2, y 2 (a 2) 2 (2a 1)(a 4) ，其中 a 2 a b 2a b 20、已知 x a 3,x b 2,求 x 2a b 2 2 2 2 21、 m ( m) 3 ( m)2 22、 6)3 23、 ( 2 103)3 (4 104)2 844 24、 x x x 2 2 2 25、 ( a b a) ( ab) 26、 2 xy 23 ( x y) 2 xy 2 ) 27、 ( x 2 y 3z) (3x 2y) 19、先化简再求值：
初二数学因式分解精选100题
提升课堂托辅中心 初二数学因式分解精选100题 2013年1月25日 一、选择题 1.下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A (a +3)(a -3)=a 2-9 B x 2+x -5=(x -2)(x +3)+1 C a 2 b +ab 2=ab (a +b ) (D)x 2+1=x (x +x 1) 2.下列各式的因式分解中正确的是（ ） A -a 2+ab -ac = -a (a +b -c ) B 9xyz -6x 2y 2=3xyz (3-2xy ) C 3a 2x -6bx +3x =3x (a 2-2b ) D 21xy 2+21x 2y =2 1xy (x +y ) 3.把多项式m 2(a -2)+m (2-a )分解因式等于（ ） (A)(a -2)(m 2+m ) (B)(a -2)(m 2-m ) (C)m (a -2)(m -1) (D)m (a -2)(m+1) 4.下列多项式能分解因式的是（ ） (A)x 2-y (B)x 2+1 (C)x 2+y +y 2 (D)x 2-4x +4 5.下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是 （ ） (A) 412m m ++ (B)222y xy x -+- (C)224914b ab a ++- (D) 13292+-n n
6.多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是（） (A)4x(B)-4x(C)4x4(D)-4x4 7.下列分解因式错误的是（） (A)15a2+5a=5a(3a+1) (B)-x2-y2= -(x2-y2)= -(x+y)(x-y)(C)k(x+y)+x+y=(k+1)(x+y) (D)a3-2a2+a=a(a-1)2 8.下列多项式中不能用平方差公式分解的是（） (A)-a2+b2(B)-x2-y2(C)49x2y2-z2 (D)16m4-25n2p2 9.下列多项式：①16x5-x；②(x-1)2-4(x-1)+4；③(x+1)4-4x(x+1)+4x2；④-4x2-1+4x，分解因式后，结果含有相同因式的是（）(A)①②(B)②④ (C)③④(D)②③ 10.两个连续的奇数的平方差总可以被k整除，则k等于（） (A)4 (B)8 (C)4或-4 (D)8的倍数 11下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是（） A a(a＋b－1)=a2＋ab－a B a2 –a－2=a(a－1)－2C－ 4 a2＋9b2=(－2a＋3b)(2a＋3b) D．2x＋1=x(2＋1/x) 12下列各式分解因是正确的是（）
华师大版八年级上学期 “整式的乘除”单元测试 一、填空题：（每空3分，共36分） 1．计算：._______53=?a a 2．计算：._____)2(23=-a 3．计算：._______2142=÷-a b a 4．计算：._________________)12(2=-x 5．计算：.___________________)3)(2(=+-x x 6．因式分解：.______________252=-x x 7．因式分解：.__________42=-x 8．因式分解：.___________________442=+-x x 9．计算：._______)1098.5()109.1(2427≈?÷?（保留三个有效数字） 10．有三个连续的自然数，中间一个是x ，则它们的积是____________。 11．若多项式442++kx x 恰好是另一个多项式的平方，则k=___________。 12．一块边长为a 米的正方形广场，扩建后的正方形边长比原来长2米，问扩建后的广场面积增大了______________平方米。 二、选择题：（每小题4分，共24分） 13．下列运算中正确的是（ ） A ．43x x x =+ B ．43x x x =? C ．532)(x x = D ．236x x x =÷
14．计算：)3 4()3(42y x y x -?的结果是（ ） A ．26y x B ．y x 64- C ．264y x - D ．y x 835 15．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A ．1)1)(1(2-=-+x x x B ．1)2(122+-=+-x x x x C ．)4)(4(422y x y x y x -+=- D ．)3)(2(62-+=--x x x x 16．下列多项式，能用公式法分解因式的有（ ） ① 22y x + ② 22y x +- ③ 22y x -- ④ 22y xy x ++ ⑤ 222y xy x -+ ⑥ 2244y xy x -+- A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 17．若（x +t ）（x +6）的积中不含有x 的一次项，则t 的值是（ ） A ．6 B ．－6 C ．0 D ．6或－6 18．长方形的长增加50%，宽减少50%，那么长方形的面积（ ） A ．不变 B ．增加75% C ．减少25% D ．不能确定 三、解答题：（共90分） 19．计算题：（每小题6分，共24分） （1）3324)101).(2.(21x xy y x - - （2）)7)(5()1(2+-+-a a a a
14．3因式分解 第1课时提公因式法 教学目标 1．了解因式分解公因式等相关的概念及与整式乘法的关系． 2．能找出多项式的公因式，会用提公因式法分解简单的多项式． 教学重点 会用提公因式法分解因式． 教学难点 正确理解因式分解的概念，准确找出公因式． 教学设计一师一优课一课一名师(设计者：) 教学过程设计 一、创设情景，明确目标 同学们，我们先来看下面两个问题： 1．630能被哪些数整除，说说你是怎么想的？ (2，3，5，7，9，10等) 2．当a＝101，b＝99时，求a2－b2的值． 对于问题1我们必须对630进行质因数分解，对于问题2，虽然可以直接代值进行计算，但有没有简单的方法使计算变得简单呢？这就是我们这节课要解决的问题． 二、自主学习，指向目标 自学教材第114页至115页，思考下列问题： 1．把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解 2．因式分解与整式的乘法之间的关系是互逆变形的关系． 3．公因式确定的方法是：①系数是各项系数的最大公约数，②因式的字母取各项都含有的字母；③因式的指数取最低次数． 三、合作探究，达成目标 探究点一因式分解的定义 活动一：填空并观察： (1)计算： x(x＋1)＝________； (x＋1)(x－1)＝________. (2)请你将下列各式写成乘积的形式： ①x2＋x＝________； ②x2－1＝________； ③am＋bm＋cm＝________. 展示点评：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫
做把这个多项式分解因式． 小组讨论：因式分解与整式乘法有什么关系？ 反思小结：因式分解是由一个多项式到几个整式积的变形，整式乘法是几个整式的积到一个多项式的变形，它们之间是互逆变形． 针对训练：见《学生用书》相应部分 探究点二公因式 活动二：填空： ①6与9的最大公约数是________； ②多项式ma＋mb＋mc的公因式是________． 展示点评：公因式的定义：组成多项式的各项都有一个公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式． 小组讨论：归纳确定公因式的方法 【反思小结】确定公因式的方法：(1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数；(2)因式取各项相同的因式；(3)因式的指数取次数最低的 针对训练：见《学生用书》相应部分 探究点三提取公因式法分解因式 活动三：1.把多项式ma＋mb＋mc写成两个整式积的形式是： ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)，其中m是组成多项式各项的公因式，另一个因式a＋b＋c是ma＋mb＋mc除以m所得的商2．一般的，如果多项式的各项都有公因式，可以先把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法．3．分解因式： (1)8a3b2＋12ab3c； (2) 2a(b＋c)－3(b＋c) 小组讨论：应用提取公因式法分解因式时，其关键是什么？另一个因式如何确定？ 展示点评：关键是确定公因式；另一个因式就是所要分解的多项式除以公因式所得的商解答过程见课本P115例1，例2 【反思小结】(1)应特别强调确定公因式的三个条件，以免漏取，即系数、所有相同的字母、指数；(2)当多项式的某一项恰好是公因式时，这项应看成它与1的乘积，提取公因式后剩下的应是1，1作为项的系数时可以省略，但如果单独成一项时不能漏掉．提取公因式后的项数应与原多项式的项数相等，这样可以检查是否漏项．(3)提取公因式时应先观察第一项系数的符号，或是负号时应用添括号法则提出负号，此时一定要把每一项都变号，然后再提取公因式． 针对训练：见《学生用书》相应部分 四、总结梳理，内化目标 1．因式分解与整式乘法之间的关系：整式乘法互逆变形因式分解； 2．确定公因式的方法． 3．提取公因式法分解因式应注意：①找公因式，提公因式，注意符号及不要漏项；②分解结果到每个因式不能再分解为止． 五、达标检测，反思目标 1．下列各式从左到右的变形为因式分解的是( C ) A．(a－2)(a＋2)＝a2－4 B．m2－1＋n2＝(m＋1)(n－1) C．8x－8＝8(x－1) D．x2－2x＋1＝x(x－2)＋1 2．多项式8a3b2－12ab3c＋16ab的公因式是__4ab__．
整式的乘除（讲义） ? 课前预习 1. 整式的分类： ___________________________________????????????????????? 定义：数字与字母的乘积组成的代数式单项式系数：单项式前面的次数：所有字母的整式定义：几个单项式的和项：组成多项式的每个单项式次数：项的次数 2. ________________________________________________叫做同类项；把同类 项合并成一项叫做合并同类项；合并同类项时，________________________________________________． 3. 乘法分配律：()a b c +=_______________． 4. 类比迁移： 老师出了一道题，让学生计算52x y x ÷． 小聪是这么做的： 552 32x y x x x x x y x y x x y x x x ?????÷===? 请你类比小聪的做法计算：22282m n m n ÷．
? 知识点睛 1. 单×单：_______乘以________，_________乘以________． 2. 单×多：根据________________，转化为单×单． 3. 多×多：握手原则． 4. 单÷单：系数除以系数，字母除以字母． 5. 多÷单：借用乘法分配律． ? 精讲精练 1. ①■342xy xy z ?=_______； ②2323(2)x y x y ?-=_______； ③231 (4)2x y y ??-?-= ???______； ④322(3)(2)a a -?-； ⑤332(2)(2)x xy xy ?-?-．
人教版初中数学因式分解真题汇编含答案 一、选择题 1．下列分解因式正确的是（ ） A ．24(4)x x x x -+=-+ B ．2()x xy x x x y ++=+ C ．2()()()x x y y y x x y -+-=- D ．244(2)(2)x x x x -+=+- 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解即可求得答案．注意分解要彻底． 【详解】A. ()244x x x x -+=-- ，故A 选项错误； B. ()2 1x xy x x x y ++=++，故B 选项错误； C. ()()()2 x x y y y x x y -+-=- ，故C 选项正确； D. 244x x -+=（x-2）2，故D 选项错误， 故选C. 【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解．注意分解要彻底． 2．已知a 、b 、c 是ABC V 的三条边，且满足22a bc b ac +=+，则ABC V 是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】 已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=b ，即可确定出三角形形状． 【详解】 已知等式变形得：（a+b ）（a-b ）-c （a-b ）=0，即（a-b ）（a+b-c ）=0， ∵a+b-c ≠0， ∴a-b=0，即a=b ， 则△ABC 为等腰三角形． 故选C ． 【点睛】 此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 3．若多项式3212x mx nx ++-含有因式()3x -和()2x +，则n m 的值为 （ ）
小专题(十) 整式的乘除运算 1．计算： (1)(a 3)3·(a 4)3； (2)(213)20×(37)21； (3)(－a 2)3·(b 3)2·(ab)4； (4)(x 4)2＋(x 2)4－x(x 2)2·x 3－(－x)3·(－x 2)2·(－x)． 2．计算： (1)3xy 2·(－2xy)； (2)(－3a 3)2·(－2a 2)3； (3)(－3x 2y)2·(－23xyz )·34xz 2；
3．计算： (1)(－2a 2)·(3ab 2－5ab 3)＋8a 3b 2； (2)(3x －1)(2x ＋1)； (3)(2x ＋5y)(3x －2y)－2x(x －3y)； (4)(x －1)(x 2＋x ＋1)． 4．计算： (1)21x 2y 4÷3x 2y 3； (2)(8x 3y 3z )÷(－2xy 2)； (3)a 2n ＋2b 3c ÷2a n b 2； (4)－9x 6÷13x 2÷(－x 2)．
5．计算： (1)(－2a 2b 3)·(－ab)2÷4a 3b 5； (2)(－5a 2b 4c 2)2÷(－ab 2c)3. 6．计算： (1)[x(x 2y 2－xy)－y(x 2－x 3y )]÷x 2y ； (2)(23a 4b 7－19a 2b 6)÷(－16ab 3)2. 7．计算： (1)(－76a 3b )·65abc ； (2)(－x)5÷(－x)－2÷(－x)3；
(3)6mn 2·(2－ 13mn 4)＋(－12 mn 3)2； (4)5x(x 2＋2x ＋1)－(2x ＋3)(x －5)． 8．先化简，再求值： (1)(－12ab 2)·(14a 2b 4)－(－a 3b 2)·(－b 2)2，其中a ＝－14 ，b ＝4； (2)(a ＋b)(a －2b)－(a ＋2b)(a －b)，其中a ＝－2，b ＝23 ； (3)(－13xy)2[xy(2x －y)－2x(xy －y 2)]，其中x ＝－32 ，y ＝－2；
因式分解 多项式ma+mb+mc 中的每一项都含有一个相同的因式m ，我们称之为公因式，把公因式提出来，ma+mb+mc=m(a+b+c)，这种方法叫做提取公因式法。 2222 2 2 )b a (b ab 2a ) b a (b ab 2a -=+-+=++ )b a )(b a (b a 2 2 -+=- 它们实际上是利用乘法公式对多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法。 （二）典型例题 例1. 把下列多项式分解因式： ab 9a 3)2(a 25a 5)1(22 -+- 222 2 y 4xy 4x )4(y 16x 25)3(++- 解：)5a (a 5a 25a 5)1(2--=+- （2）)b 3a (a 3ab 9a 32 -=- )y 4x 5)(y 4x 5()y 4()x 5(y 16x 25)3(2 2 2 2 -+=-=- 22222)y 2x ()y 2(y 2x 2x y 4xy 4x )4(+=+??+=++
例2. 把下列多项式分解因式： 233 223xy 12x 3)2(xy y x 4y x 4)1(-++ 分析：这两个多项式都较为复杂，因为每个字母的指数都不为1，这种题目首先观察有无公因式，先提公因式，然后再利用公式分解因式。 解：)y xy 4x 4(xy xy y x 4y x 4)1(223223++=++ 2 22) y x 2(xy ]y y x 22)x 2[(xy +=+??+= )y 4x (x 3xy 12x 3)2(2223-=- ) y 2x )(y 2x (x 3] )y 2(x [x 322-+=-= 例3. 对下列多项式进行因式分解： 1m 9 4 )2()x y (b 2)y x (a 4)1(23 2---- 222y )x y (x 4)4(xy 8y 16x )3(--++ 分析：（1）题中(y-x)3 =[-(x-y)]3 =-(x-y)3 ，所以这两项中都有2(x-y)2 ，可先提取公因式。 （2）题观察“1”，1=12 ，故可用平方差公式分解。 （3）题利用加法交换律得x 2+8xy+16y 2 ，符合完全平方公式。 （4）题将多项式展开为4xy-4x 2-y 2=-4x 2+4xy-y 2=-（4x 2-4xy+y 2 ）符合完全平方公式，可用公式分解。 解：3 2 3 2 )y x (b 2)y x (a 4)x y (b 2)y x (a 4)1(-+-=--- ) by bx a 2()y x (2)]y x (b a 2[)y x (22 2-+-=-+-= )1m 3 2 )(1m 32(1)m 32(1m 94) 2(222-+=-=- 2 2 2 2 2 )y 4x (y 16xy 8x xy 8y 16x )3(+=++=++ 2 2 2 2 2 2 )y x 2()y xy 4x 4(y x 4xy 4y )x y (x 4)4(--=+--=--=-- 说明：（1）分解因式前一般不能直接分解的因式按某字母的降幂整理； （2）首项为“－”时可考虑用添括号法则使其变为“＋”； （3）运用公式时，应从项数、符号以及各项是否完全符合公式特征着手，不能滥用公式。 （4）在分解因式时，首先看是否有公因式。 例4. 将下列多项式进行因式分解：
整式的乘除与因式分解 一、填空题（每题2分，共32分） 1．－x 2·（－x ）3·（－x ）2＝__________． 2．分解因式：4mx +6my =_________． 3．=-?-3245)()(a a ___ ____． 4．201()3π+=_________；4101×＝__________． 5．用科学记数法表示－＝___________． 6．①a 2－4a +4，②a 2+a +14，③4a 2－a +14 ，?④4a 2+4a +1，?以上各式中属于完全平方式的有____ __（填序号）． — 7．（4a 2－b 2）÷（b －2a ）=________． 8．若x ＋y ＝8，x 2y 2＝4，则x 2＋y 2＝_________． 9．计算：832+83×34+172=________． 10．=÷-+++++++1214213124)42012(m m m m m m m m b a b a b a b a ＋ ． 11．已知==-=-y x y x y x ，则，21222 ． 12．代数式4x 2＋3mx ＋9是完全平方式，则m ＝___________． 13．若22210a b b -+-+=，则a = ，b ＝ ． 14．已知正方形的面积是2269y xy x ++ （x >0，y >0），利用分解因式，写出表示该正 方形的边长的代数式 ． ] 15．观察下列算式：32—12＝8，52—32＝16，72—52＝24，92—72＝32，…，请将你发 现的规律用式子表示出来：____________________________． 16．已知13x x +=，那么441x x +=_______． 二、解答题（共68分） 17．（12分）计算：（1）（－3xy 2）3·（ 6 1x 3y ）2；
数学因式分解习题： 1、提公因式法因式分解 （） 2226m n mn -＝ (4)9123y 23--y =___________________ (6)x n x m 221624-- 2、利用平方差公式因式分解 29a - ＝ (6)22814y x -=____________________ 3、利用完全平方公式因式分解 （4）24129m m -+＝ （5） ________________102522=+-n mn m 4、利用十字相乘法因式分解 （8）256x x -+= （9）2412x x +-= 5、将下列多项式因式分解 （1）2510a b abc - （2）81182+-a a （5）245a a -- （6）2441a a -+ （7）220m m -- （三）把下列各式分解因式: 3、2244y xy x -+- 4、212x x -- 7、-x x 253+ 8、 322344x y x y xy ++
9、2()10()25x y x y +-++ 10、22(2)(2)x y x y +-+ (四)用适当的方法计算： （3）22300600297297-?+ （4）22231019923?-? （五）把下列各式因式分解 2、 ()()224a b a b +-- 解：原式= 3、 323412x x x +-- 解：原式=
分式练习题 7.若关于x 的方程01 11=----x x x m ，有增根，则m 的值是（ ） A.3 B.2 C.1 D.-1 8.若方程,) 4)(3(1243+-+=++-x x x x B x A 那么A 、B 的值为（ ） A.2，1 B.1，2 C.1，1 D.-1，-1 9.如果,0,1≠≠= b b a x 那么=+-b a b a （ ） A.1-x 1 B.11+-x x C.x x 1- D.1 1+-x x 10.使分式442-x 与6526322+++-+x x x x 的值相等的x 等于（ ） A.-4 B.-3 C.1 D.10 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 满足方程：2 211-=-x x 的x 的值是________. 12. 当x =________时，分式x x ++51的值等于2 1. 13.分式方程02 22=--x x x 的增根是 . 14. 一汽车从甲地开往乙地，每小时行驶v 1千米，t 小时可到达，如果每小时多行驶v 2千米，那么可提前到达________小时. 15. 农机厂职工到距工厂15千米的某地检修农机，一部分人骑自行车先走40分钟后，其余
初二数学因式分解辅导教案 因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1 ) (a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)； (2 ) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ———a2±2ab+b2=(a±b)2； (3 ) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4 ) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充两个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； 例.已知 是 的三边，且
，则 的形状是（） A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形 解： 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式： 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式= = 每组之间还有公因式！ = 例2、分解因式：