二次函数导学案 26.1 二次函数及其图像
26.1.1 二次函数 九年级下册 编号01
【学习目标】
1. 了解二次函数的有关概念．
2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。
3. 确定实际问题中二次函数的关系式。 【学法指导】
类比一次函数，反比例函数来学习二次函数，注意知识结构的建立。 【学习过程】 一、知识链接：
1.若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。
2. 形如
___________y =0)k ≠（的函数是一次函数，当______0=时，它是 函数；形如
0)k ≠（的函数是反比例函数。
二、自主学习：
1．用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。
分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x 米，则宽为 米，如果将面积记为y 平方
米，那么
y 与x 之间的函数关系式为y = ，整理为y = .
2.n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________．
3.用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积S 与它的半径r 之间的函数关系式是 。
4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？
。
5.归纳：一般地，形如 ，（,,a b c a 是常数，且 ）的函数为二次函数。其中x 是自变量，a 是__________，b 是___________，c 是_____________．
三、合作交流：
（1）二次项系数a 为什么不等于0？
答： 。
（2）一次项系数b 和常数项c 可以为0吗？
答： . 四、跟踪练习 1．观察：①
2
6y x =；②
235y x =-+；③y ＝200x 2＋400x ＋200；④32y x x =-；⑤
213y x x
=-
+；⑥()2
21y x x =+-．这六个式子中二次函数有 。
（只填序号） 2.
2(1)31m m
y m x x -=+-+ 是二次函数，则m 的值为______________．
3.若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为252s t t =+，则当t ＝4秒时，该物体所经
过的路程为 。 4.二次函数
23y x bx =-++．当x ＝2时，y ＝3，则这个二次函数解析式为 ．
5.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上
修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．
26.1.2二次函数
2y ax =的图象
九年级下册 编号02
【学习目标】
1．知道二次函数的图象是一条抛物线；
2．会画二次函数y ＝ax 2的图象；
3．掌握二次函数y ＝ax 2的性质，并会灵活应用．（重点） 【学法指导】
数形结合是学习函数图象的精髓所在，一定要善于从图象上学习认识函数. 【学习过程】 一、知识链接：
1.画一个函数图象的一般过程是① ；② ；③ 。
2.一次函数图象的形状是 ；反比例函数图象的形状是 . 二、自主学习
（一）画二次函数y ＝x 2的图象． 列表：
在图（3）中描点，并连线
1.思考：图（1）和图（2）中的连线正确吗？为什么？连线中我们应该注意什么？ 答：
2.归纳：
① 由图象可知二次函数
2x y =的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，
即抛出物体所经过的路线，所以这条曲线叫做 线； ②抛物线2x y =是轴对称图形，对称轴是 ；
③
2x y =的图象开口_______；
④ 与 的交点叫做抛物线的顶点。抛物线
2x y =的顶点坐标是 ；
它是抛物线的最 点（填“高”或“低”），即当x=0时，y 有最 值等于0.
⑤在对称轴的左侧，图象从左往右呈 趋势，在对称轴的右侧，图象从左往右呈 趋势；即
x <0时，y 随x 的增大而 ，x >0时，y 随x 的增大而 。
（二）例1在图（4）中，画出函数22
1x y =，2x y =，2
2x y =的图象．
解：列表：
2
x 2，
三、合作交流：
归纳： 抛物线2ax y =的性质
0的增大而 ；在对称轴的右侧，
即x 0时
y 随x 的增大而 。
3．在前面图（4）中，关于x 轴对称的抛物线有 对，它们分别是哪些？
答： 。由此可知和抛物线
2ax y =关于
x 轴对称的抛物线是 。
4．当
a ＞0时，a 越大，抛物线的开口越___________；当a ＜0时，a
越大，抛物线的开口越
_________；因此，a
越大，抛物线的开口越________。
四、课堂训练
1．函数
2
7
3x y =
的图象顶点是__________，对称轴是________，开口向_______，当x ＝___________时，有最_________值是_________． 2. 函数
26x y -=的图象顶点是__________，对称轴是________，开口向_______，当x ＝___________
时，有最_________值是_________． 3. 二次函数
()23x m y -=的图象开口向下，则m___________．
4. 二次函数y ＝mx 2
2-m 有最高点，则m ＝___________．
5. 二次函数y ＝(k ＋1)x 2的图象如图所示，则k 的取值范围为___________． 6．若二次函数
2ax y =的图象过点（1，－2），则a 的值是___________．
7．如图，抛物线①
2
5x y -=②
2
2x y -= ③
25x y =④27x y =
开口从小到大排列是
___________________________________；（只填序号）其中关于x
轴对称的两条抛物线是
和 。
8．点A （2
1，b ）是抛物线2
x y =上的一点，则b= ；过点A 作x 轴的
平行线交抛物线另一点B 的坐标是 。 9．如图，A 、B 分别为
2ax y =上两点，且线段AB ⊥y 轴于点（0,6），若AB=6，
则该抛物线的表达式为 。 10. 当m= 时，抛物线m
m
x m y --=2
)1(开口向下．
11.二次函数
2ax y =与直线32-=x y 交于点P （1，b ）．
（1）求a 、b 的值；
（2）写出二次函数的关系式，并指出x 取何值时，该函数的y 随x 的增大而减小．
26.1.3
二次函数
()k h x a y +-=2
的图象（一）
九年级下册 编号03
【学习目标】
1．知道二次函数
k ax y +=2与2ax y =的联系．
2.掌握二次函数k ax y +=2的性质，并会应用；
【学法指导】
类比一次函数的平移和二次函数2ax y =的性质学习，要构建一个知识体系。
【学习过程】 一、知识链接：直线
12+=x y 可以看做是由直线x y 2= 得到的。
练：若一个一次函数的图象是由x y 2-=平移得到，并且过点（-1,3）
，求这个函数的解析式。 解：
由此你能推测二次函数
2x y =与22-=x y 的图象之间又有何关系吗？
猜想： 。 二、自主学习
（一）在同一直角坐标系中，画出二次函数
2
x y =，
12+=x y ，12-=x y 的
图象．
2．可以发现，把抛物线
2x y =向______平移______个单位，就得到
抛物线
12+=x y ；把抛物线2x y =向_______平移______个单
位，就得到抛物线12
-=x y .
3．抛物线
2x y =，12+=x y ，12-=x y 的形状_____________．开口大小相同。
三、知识梳理：（一）抛物线
k ax y +=2特点：
1.当0a >时，开口向 ；当0a <时，开口 ；
2. 顶点坐标是 ；
3. 对称轴是 。 （二）抛物线
k ax y +=2与2y ax =形状相同，位置不同，k ax y +=2是由2y ax =
平移得到的。（填上下或左右） 二次函数图象的平移规律：上 下 。
（三）a 的正负决定开口的 ；a 决定开口的 ，即
a
不变，则抛物线的形状 。
因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线a 值 。 三、跟踪练习： 1.抛物线22x y =向上平移3个单位，就得到抛物线__________________；
抛物线
22x y =向下平移4个单位，就得到抛物线__________________．
2．抛物线
232+-=x y 向上平移3个单位后的解析式为 ，它们的形状__________，当
x = 时，y 有最 值是 。
3．由抛物线
352-=x y 平移，且经过（1,7）点的抛物线的解析式是 ，是把原抛物线向
平移 个单位得到的。
4. 写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线2x y -=的方向相反，形状相同的抛物线解析
式____________________________． 5. 抛物线
142+=x y 关于x 轴对称的抛物线解析式为______________________． 6.二次函数
k ax y +=2()0≠a 的经过点A （1，-1）、B （2，5）.
⑴求该函数的表达式；
⑵若点C(-2，m ),D （n ，7）也在函数的上，求m 、n 的值。
26.1.3
二次函数
()k h x a y +-=2
的图象（二）
九年级下册 编号04
【学习目标】
1．会画二次函数2)(h x a y -=的图象；
2.知道二次函数
2)(h x a y -=与2ax y =的联系．
3.掌握二次函数2)(h x a y -=的性质，并会应用；
【学习过程】 一、知识链接： 1.将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 。
2.将抛物线
142+-=x y 的图象向下平移3个单位后的抛物线的解析式为 。
二、自主学习
画出二次函数
2)1(+=x y ，2)1(-=x y 的图象；先列表：
归纳：（1）
2)1(+=x y 的开口向 ，对称轴
是直线 ，顶点坐标是 。
图象有最 点，即x = 时，y 有最
值是 ；
在对称轴的左侧，即x 时，
y 随x 的增大
而 ；在对称轴的右侧，即x 时
y 随x 的增大而 。
2
)1(+=x y 可以看作由
2
x y =向 平移
个单位形成的。 （2）
2)1(-=x y 的开口向 ，对称轴是直
线 ，顶点坐标是 ， 图象有最 点，即x = 时，y 有最 值是 ； 在对称轴的左侧，即x 时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 时
y 随x 的增大而 。
2)1(+=x y 可以看作由2x y =向 平移 个单位形成的。
三、知识梳理 （一）抛物线2)(h x a y -=特点：
1.当0a
>时，开口向 ；当0a <时，开口 ；
x
2. 顶点坐标是 ；
3. 对称轴是直线 。 （二）抛物线
2)(h x a y -=与2y ax =形状相同，位置不同，2)(h x a y -=是由2y ax =
平移得到的。（填上下或左右）
结合学案和课本第8页可知二次函数图象的平移规律：左 右 ，上 下 。 （三）a 的正负决定开口的 ；
a
决定开口的 ，即
a
不变，则抛物线的形状 。因为平移
没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线a 值 。 四、课堂训练 1．抛物线()
2
23y x =+的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是直线_______；当
x
时，
y 随x 的增大而减小；当x 时，y 随x 的增大而增大。
2. 抛物线22(1)y x =--的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是直线_______；当x
时，
y 随x 的增大而减小；当x 时，y 随x 的增大而增大。
3. 抛物线221y x =-的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是_______；
4.抛物线
25y x =向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为______________． 5. 抛物线
24y x =-向左平移3个单位后，得到的抛物线的表达式为______________．
6．将抛物线()2
123
y x =-
-向右平移1个单位后，得到的抛物线解析式为__________． 7．抛物线
()
2
42y x =-与y 轴的交点坐标是_______，与x 轴的交点坐标为________．
8. 写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线2
2y x =-都相同的二次函数解析式
_______________．
26.1.3二次函数
()k h x a y +-=2
的图象（三）
九年级下册 编号05
【学习目标】1．会画二次函数的顶点式
()k h x a y +-=2
的图象；
2．掌握二次函数
()k h x a y +-=2
的性质；
【学习过程】 一、知识链接：
1.将二次函数2-5y x =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 。
2.将抛物线
2y x =-的图象向左平移
3个单位后的抛物线的解
析式为 。 二、自主学习 在右图中做出
()2
12y x =--的图象：
观察：1. 抛物线
()2
12y x =--开口向 ；
顶点坐标是 ；对称轴是直线 。 2. 抛物线
()2
12y x =--和2
y x =的形状 ，位
置 。（填“相同”或“不同”） 3. 抛物线
()2
12y x =--是由2
y x
=如何平移得到的？答：
。 三、合作交流
平移前后的两条抛物线a 值变化吗？为什么？
答： 。 四、知识梳理
结合上图和课本第9页例3归纳： （一）抛物线2()+y a x h k =-的特点：
1.当0a
>时，开口向 ；当0a <时，开口 ；
2. 顶点坐标是 ；
3. 对称轴是直线 。 （二）抛物线
2()+y a x h k =-与2y ax =形状 ，位置不同，2()+y a x h k =-是由2
y ax
=平移得到的。
二次函数图象的平移规律：左 右 ，上 下 。 （三）平移前后的两条抛物线a 值 。 五、跟踪训练 1.二次函数
2)1(212+-=
x y 的图象可由22
1
x y =的图象（ ） A.向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到 B.向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到 C.向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到 D.向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到
2.抛物线()2
1653
y x =-
-+开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x ＝ 时，y 有最 值为 。 3.填表：
4.函数
()2
231y x =--的图象可由函数2
2y x
=的图象沿x 轴向 平移 个单位，再沿y
轴向 平移 个单位得到。 5.若把函数
()2
523y x =-+的图象分别向下、向左移动
2个单位，则得到的函数解析式
为 。
6. 顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线
2
12
y x =
相同的解析式为（ ） A ．
()2
1232y x =
-+ B ．()2
1232y x =
+- C ．()2
1232
y x =++
D ．()2
1232y x =-++
7.一条抛物线的形状、开口方向与抛物线22y x =相同，对称轴和抛物线()22y x =-相同，且顶
点纵坐标为0，求此抛物线的解析式.
26.1.3二次函数
()k h x a y +-=2
的图象（四）
九年级下册 编号06
【学习目标】 会用二次函数
()k h x a y +-=2
的性质解决问题；
【学习过程】 一、知识链接： 1.抛物线
22(+1)3y x =--开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当
x ＝
时，y 有最 值为 。当x 时，y 随x 的增大而增大.
2. 抛物线
22(+1)3y x =--是由22y x =-如何平移得到的？答：
。 二、自主学习
1.抛物线的顶点坐标为（2，-3），且经过点（3,2）求该函数的解析式？ 分析：如何设函数解析式？写出完整的解题过程。
2.仔细阅读课本第10页例4：
分析：由题意可知：池中心是 ，水管是 ，点 是喷头，线段 的长度是1米，线段 的长度是3米。
由已知条件可设抛物线的解析式为 。抛物线的解析式中有一个待定系数，所以只需再确定 个点的坐标即可，这个点是 。
求水管的长就是通过求点 的 坐标。
二、跟踪练习：
如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米. AO= 3米，现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系.
(1) 直接写出点A 及抛物线顶点P 的坐标； (2) 求出这条抛物线的函数解析式；
三、能力拓展 1.知识准备 如图抛物线
()2
14y x =--与x 轴交于A,B 两点，交y 轴于点D
线的顶点为点C
（1） 求△ABD 的面积。 （2） 求△ABC 的面积。
（3） 点P 是抛物线上一动点，当△ABP 的面积为4的点P 的坐标。
（4） 点P 是抛物线上一动点，当△ABP 的面积为8时，求所有符合条件的点P 的坐标。 （5） 点P 是抛物线上一动点，当△ABP 的面积为10时，求所有符合条件的点P 的坐标。
2.如图，在平面直角坐标系中，圆M 经过原点O ，且与轴、
轴分别相交于
两点．
（1）求出直线AB 的函数解析式； （2）若有一抛物线的对称轴平行于轴且经过点M ，顶点C 在⊙M 上，开口向下，且经过点B ，
求此抛物线的函数解析式； （3）设（2）中的抛物线交
轴于D 、E 两点，在抛物线上是否存在点P ，使得
？
若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
26.1.4二次函数
2y ax bx c =++的图象
九年级下册 编号07
【学习目标】
1.能通过配方把二次函数
c
bx ax y ++=2化成
2
()+y a x
h k
=-的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标。
2．熟记二次函数
c bx ax y ++=2的顶点坐标公式；
3．会画二次函数一般式c bx ax y ++=2的图象．
【学习过程】 一、知识链接：
（2）
1.抛物线
()2
231y x =+-的顶点坐标是 ；对称轴是直线 ；当x = 时y 有最
值是 ；当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小。
2. 二次函数解析式
2()+y a x h k =-中，很容易确定抛物线的顶点坐标为 ，所以这种形式
被称作二次函数的顶点式。 二、自主学习：
（一）、问题：（1）你能直接说出函数222++=x x y 的图像的对称轴和顶点坐标吗？
（2）你有办法解决问题（1）吗？
解：
222++=x x y 的顶点坐标是 ，对称轴是 .
（3）像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转化为 式从而直接得到它的图像性质.
（4）用配方法把下列二次函数化成顶点式：
①222+-=x x y ②522
12++=x x y ③
c bx ax y ++=2
（5）归纳：二次函数的一般形式
c
bx ax y ++=2可以用配方法转化成顶点
式： ，因此抛物线c
bx ax y ++=2的顶点坐标
是 ；对称轴是 ，
（6）用顶点坐标和对称轴公式也可以直接求出抛物线的顶点坐标和对称轴，这种方法叫做公式法。 用公式法写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。
①4322+-=x x y ②222++-=x x y ③x x y 42--=
（二）、用描点法画出
122
12
-+=
x x y 的图像. （1）顶点坐标为 ；
（2）列表：顶点坐标填在 ；（列表时一般以对称轴为中心，对称取值．）
（3）描点，并连线：
（4）观察：①图象有最 点，即x =
时，y 有最 值是 ；
②x 时，y 随x 的增大而增大；x 时y 随x 的增大而减小。
③该抛物线与
y 轴交于点 。
④该抛物线与x 轴有 个交点.
三、合作交流 求出
122
12
-+=
x x y 顶点的横坐标2-=x 后，可以用哪些方法计算顶点的纵坐标？计算并比较。
26.1.5用待定系数法求二次函数的解析
式
九年级下册 编号08
【学习目标】
1.能根据已知条件选择合适的二次函数解析式；
2.会用待定系数法求二次函数的解析式。 【学习过程】 一、知识链接：
已知抛物线的顶点坐标为（-1，2），且经过点（0,4）求该函数的解析式. 解：
二、自主学习 1.一次函数
b kx y +=经过点A(-1,2)和点B(2,5),求该一次函数的解析式。
分析：要求出函数解析式，需求出b k ,的值，因为有两个待定系数，所以需要知道两个点的坐标，列出
关于b k ,的二元一次方程组即可。 解：
2. 已知一个二次函数的图象过（1，5）、（1,1--）、（2，11）三点，求这个二次函数的解析式。
分析：如何设函数解析式？顶点式还是一般式？答： ；所设解析式中有 个待定系数，它们分别是 ，所以一般需要 个点的坐标；请你写出完整的解题过程。 解：
三、知识梳理
用待定系数法求二次函数的解析式通常用以下2种方法：设顶点式
()k h x a y +-=2
和一般式
2y ax bx c =++。
1．已知抛物线过三点，通常设函数解析式为 ；
2．已知抛物线顶点坐标及其余一点，通常设函数解析式为 。 四、跟踪练习：
1．已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－1），求这个二次函数的解析式．
2.已知二次函数
m x x y ++=2的图象过点（1，2），则m 的值为________________．
3.一个二次函数的图象过（0，1）、（1,0）、（2，3）三点，求这个二次函数的解析式。
4. 已知双曲线
x
k y =
与抛物线2
y ax bx c =++交于A(2,3)、B (m ,2)、c (－3, n )三点.
(1)求双曲线与抛物线的解析式;
(2)在平面直角坐标系中描出点A 、点B 、点C,并求出△ABC 的面积,
5.如图，直线
33+=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，过A,B 两点的抛物线交x 轴于另一点C （3,0）
， （1）求该抛物线的解析式；
⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由.
26.2用函数观点看一元二次方程（一）
九年级下册 编号09
【学习目标】
1、 体会二次函数与方程之间的联系。
2、 理解二次函数图象与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系， 【学习过程】 一、知识链接： 1.直线
42-=x y 与y 轴交于点 ，与x 轴交于点 。
2.一元二次方程02
=++c bx ax ，当Δ 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ 时，
方程有两个相等的实数根；当Δ 时，方程没有实数根； 二、自主学习 1.解下列方程 （1）0322
=--x x （2）0962=+-x x （3）0322=+-x x
3.对比第1题各方程的解，你发现什么？ 三、知识梳理： ⑴一元二次方程02
=++c bx ax
的实数根就是对应的二次函数c bx ax y ++=2与x 轴交点
的 .（即把
0=y 代入c bx ax y ++=2）
⑵二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为⑶二次函数c bx ax y ++=2与y 轴交点坐标是 .
四、跟踪练习 1. 二次函数
232+-=x x y ，当x ＝1时，y ＝______；当y ＝0时，x ＝______．
2．抛物线
342+-=x x y 与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 ； 3.二次函数
642+-=x x y ，当x ＝________时，y ＝3．
4.如图，一元二次方程02=++c bx ax 的解为 。
5.如图，一元二次方程32
=++c bx ax 的解为 。
6. 已知抛物线922+-=kx x y 的顶点在x 轴上，则k ＝____________．
7．已知抛物线
122-+=x kx y 与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是_________．
26.2用函数观点看一元二次方程（二）
九年级下册 编号10
【学习目标】
1. 能根据图象判断二次函数c b a 、、的符号；
2.能根据图象判断一些特殊方程或不等式是否成立。 【学习过程】 一、知识链接： 根据
c bx ax y ++=2的图象和性质填表：（02
=++c bx ax 的实数根记为21x x 、）
（1）抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点?ac b 42- 0； （2）抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有一个交点?ac b 42- 0； （3）抛物线
c bx ax y ++=2与x 轴没有交点?ac b 42- 0.
二、自主学习： 1.抛物线
2242y x x =-+和抛物线223y x x =-+-与y 轴的交点坐标分别是
和 。 抛物线c bx ax y ++=2与y 轴的交点坐标分别是 .
2.
抛物线
c bx ax y ++=2
（4）
（5）
29.3 课题学习制作立体模型 一、导学 1.课题导入 问题：怎样由视图转化为立体图形？ 这节课我们通过动手实践来体会这个过程. 2.学习目标 (1)体验平面图形向立体图形转化的过程. (2)体会用三视图表示立体图形的作用. (3)进一步感受平面图形与立体图形之间的关系. 3.学习重、难点 重点：根据三视图制作立体模型. 难点：具体操作. 4.自学指导 （1）自学内容：教材P105~P106. （2）自学时间：30分钟. （3）自学方法：准备刻度尺、剪刀、小刀、胶水、硬纸板、马铃薯等参与活动. （4）课题活动参考提纲： ①以硬纸板为主要材料，分别做出下面的两组三视图所表示的立体模型. 图1 图2 ②按照下面给出的两组三视图，用马铃薯做出相应的实物模型. 图3 图4
③下面每组平面图形都是由四个等边三角形组成. a.其中哪些可以折叠成多面体，把上面的图形描在纸上，剪下来，叠一叠，验证你的答案； b.画出由上面图形能折叠成的多面体的三视图，并指出图中是怎样体现“长对正，高平齐，宽相等”的； c.如果上图中小三角形的边长都是1，那么对应的多面体的表面积是多少？ cm2） ④下面的图形由一个扇形和一个圆组成. a.把上面的图形描在纸上，剪下来，围成一个圆锥. b.画出由上面图形围成的圆锥的三视图. c.如果上图中扇形的半径为13 cm，圆的半径为5 cm，那么对应的圆锥的体积是多少？ 1 ×π×52cm3). 3 ⑤结合具体实例，写一篇介绍三视图、展开图的应用的短文. 二、自学 学生结合自学指导进行自学. 三、助学 1.师助生： （1）明了学情：观察学生具体操作中的情况. （2）差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导. 2.生助生：小组内相互交流、研讨、总结、归纳. 四、强化 1.由三视图想象实物形状.
27.2.3 相似三角形的应用举例青海一中李清 〔学习设计〕
例 5：已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和 CD=12m，两树的根部的距离BD=5m，一个身高1．6m的人沿 着正对这两棵树的一条水平直路L从左向右前进，当他与 左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的 树的顶端点C？ 分析：, AB l CD l ⊥⊥?AB∥CD，?AFH∽?CFK。 ? FH AH FK CK =，即 8 1.6 6.4 512 1.610.4 FH FH - == +- ，解得FH=8。 数学建模的关键 是生活中的实际 问题转化为数学 问题，转化的方法 之一是画数学示 意图，在画图的过 程中可以逐渐明 问题中的数量关 系与位置关系，进 而形成解题思路。
【素材积累】 1、不求与人相比，但求超越自己，要哭旧哭出激动的泪水，要笑旧笑出成长的性格。倘若你想达成目标，便得摘心中描绘出目标达成后的景象；那么，梦想必会成真。求人不如求己；贫穷志不移；吃得苦中苦；方为人上人；失意不灰心；得意莫忘形。桂冠上的飘带，不是用天才纤维捻制而成的，而是用痛苦，磨难的丝缕纺织出来的。你的脸是为了呈现上帝赐给人类最贵重的礼物——微笑，一定要成为你工作醉大的资产。 ２、不求与人相比，但求超越自己，要哭旧哭出激动的泪水，要笑旧笑出成长的性格。倘若你想达成目标，便得摘心中描绘出目标达成后的景象；那么，梦想必会成真。求人不如求己；贫穷志不移；吃得苦中苦；方为人上人；失意不灰心；得意莫忘形。桂冠上的飘带，不是用天才纤维捻制而成的，而是用痛苦，磨难的丝缕纺织出来的。你的脸是为了呈现上帝赐给人类最贵重的礼物——微笑，一定要成为你工作醉大的资产。
课题：一元一次方程导学案 实际问题与一元一次方程（三） 编写教师： 学生姓名： 导学目标： 1、 掌握应用方程解决实际问题的方法步骤，提高分析问题、解决问题的能力。 2、 通过探索球赛积分表中数量关系的过程，进一步体会方程是解决实际问题的数学模型， 并且明确用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的 解是否符合问题的实际意义。 3、 鼓励学生自主探究，合作交流，养成自觉反思的良好习惯。 重点：把实际问题转化为数学问题，不仅会列方程求出问题的解，还会进行推理判断。 难点：把实际问题转化为数学问题。 教学过程： 一、引入新课 请同学们看课本P106中“某次篮球联赛积分榜”。 学生观察积分榜，并思考下列问题： （1） 用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系； （2） 某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？ 在学生充分思考、合作交流后，教师引导学生分析。 要解决问题（1）必须求出胜一场积几分，负一场积几分，你能从积分榜中得到负一场积 几分吗？你选择其中哪一行最能说明负一场积几分？ 通过观察积分榜，从最下面一行数据可以发现，负一场积1分，那么胜一场积几分呢？ 解：设胜一场积x 分，从表中其他任何一行可以列方程，求出x 的值。 例如从第三行的方程：23159=?+x ，解得x=2. 用表中其他行可以验证，得出结论：负一场积1分，胜一场积2分. （1） 如果一个队胜m 场，则负(14-m)场，胜场积分为2m ，负场积分为14-m ， 总积分为2m+(14-m)=m+14。 （2） 如果设一个队胜了x 场，则负了（14-x ）场，若这个队的胜场总积分等于负场总积 分，那么列方程为：x x -=142，解得3 14=x . 想一想，x 表示什么量？它可以是分数吗？由此你能得出什么结论？ 这里x 表示一个队所胜得场数，它是一个整数，所以314= x 不符合实际意义。由此可以判定没有哪个队的胜场总积分等于负场总积分。 拓展延伸： 如果删去积分榜的最后一行，你还能用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系 吗？ 设胜一场积x 分，则前进队胜场积分为10x ，负场积分为（24 -10x ）分，他负了4场，
人教版数学九年级下册全册课堂同步导学案 第二十六章反比例函数 26.1 反比例函数 26.1.1 反比例函数 一、课前预习 1.什么是函数？ 2.什么是一次函数？ 3.什么是正比例函数？ 4.乘法表中乘积为12的两个因数之间存在什么关系？ 二、创设情境 1.问题1 京沪线铁路全程为 1463 km，某次列车的平均速度v（单位：km/h） 随此次列车的全程运行时间t（单位：h）的变化而变化． 问题2 某住宅小区要种植一块面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长 y（单位：m）随宽x（单位：m）的变化而变化. 问题3 已知北京市的总面积为1.68×104km2，人均占有面积 S（单位:km2/人）随全市总人口n（单位：人）的变化而变化． 三、形成概念 反比例函数定义： 四、概念辨析 下列函数中哪些是反比例函数?并说出它的k。哪些是一次函数? ;; ; ; ;;
; ;. 五、例题探究 例1.当m ＝时，关于x的函数y=(m+1)是反比例函数？ 例2.已知y是x的反比例函数，并且当x=2时,y=6． （1）写出y关于x的函数解析式；（2）当x=4时,求y的值. （3）当y =8 时，求x的值. 例3.画出的图像.（思考：画出的图像）
六、拓展练习 1．已知y与x2成反比例，并且当x=3时，y=4． （1）写出y关于x的函数解析式； （2）当x=1.5时，求y的值； （3）当y=6时，求x的值. 2.已知y-1与成反比例，且当x=1时y=4，求y与x的函数表达式，并判断是哪类函数？ 26.1.2 反比例函数的图象和性质 第1课时反比例函数的图象和性质 学习目标： 1.能用描点法画出反比例函数的图象. 2.掌握反比例函数的图象和性质，并会用性质解决问题. 学习重难点： 重点：反比例函数的图象和性质 难点：理解反比例函数的性质，并能灵活运用 学习过程： 一、温故知新 1．反比例函数的反比例函数的表达式是 ____________ _______；解析式中自变量x的取值能为0吗？为什么？_______________ _______。 2．一次函数和二次函数的图象分别是，它们性质分别是： 。 3. 画函数图象的一般步骤是（1）；（2）；（3）。
数学活动 ——利用测角仪测量物高 一、导学 1.活动导入 请同学们准备如下学具：半圆形量角器一个，细线一根，小挂件(或其他小重物)，软尺一个. 这节课我们利用测角仪测量物高. 2.活动目标 （1）能自制测角仪，根据实际情况设计测量物高的方案. （2）能运用解直角三角形的知识根据测量的数据计算物高. 3.活动重、难点 重点：自制测角仪，测量物高. 难点：测量活动. 二、活动过程 1.活动指导 （1）活动内容：教材P81活动1、2：制作测角仪，测量树的高度；利用测角仪测量塔高. （2）活动时间：45分钟. （3）活动方法：完成活动参考提纲. （4）活动参考提纲： ①自制测角仪： 把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小挂件，如图1、2所示，制成的一个简单测角仪. 图1 图2 图3 ②探索测角仪的使用方法：如图3所示，仰角的度数是多少？ ③测量原理探讨:
a.测量底部可以到达的物体的高度，如图4： b.测量底部不可以直接到达的物体的高度，如图5： ④探讨测量方案，设计活动报告: a.测量树高 (底部可以到达的物高)，如图6： b.测量塔高(底部不可到达的物高)，如图7： 图6 图7 ⑤活动实施: a.设计测量方案. b.实际测量，记录数据. c.整理数据计算物高. d.填写活动报告. 课题 测量示意图 测量数据 测量项目第一次第二次平均值 计算过程 结论 3.助学
（1）师助生： ①明了学情：了解学生是否能制作测角仪、设计测量方案，并积极参与活动. ②差异指导：全班学生每6人一组分组活动，指导学生制作测角仪、设计测量方案，督促学生认真完成活动. （2）生助生：小组内互相交流. 4.强化 （1）底部可以到达的物高的测量原理. （2）底部不可到达的物高的测量原理. 三、评价 1.学生学习的自我评价：这节课你有什么收获？有哪些不足？ 2.教师对学生的评价： （1）表现性评价：从学生参与活动的积极性、动手操作能力等方面进行评价. （2）纸笔评价：活动报告评价检测. 3.教师的自我评价（教学反思）. 本课时的数学活动是利用测角仪测量物高.整个活动过程应充分发挥学生的主动性，指导学生利用半圆形量角器、细线、小挂件制作一个简单的测角仪，对于在活动过程中有问题的学生及时给予帮助，增强与学生的互动和交流，将实际问题转化为数学模型，利用解直角三角形的知识进行解答. 一、基础巩固（60分） 1. (20分)某校九年级四个数学活动小组参加测量操场旗杆高度的综合实践活动，如图是四个小组在不同位置测量后绘制的示意图，用测角仪测得旗杆顶端A的仰角记为α，CD为测角仪的高，测角仪CD的底部C处与旗杆的底部B处之间的距离记为CB，四个小组测量和记录数据如下表所示：
第二十一章 一元二次方程 21．1 一元二次方程 1. 了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题． 2．掌握一元二次方程的一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)及有关概念． 3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念． 重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索． 难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项． 一、自学指导．(10分钟) 问题1： 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm ，宽50 cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm 2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为__(100－2x)cm __，宽为__(50－2x)cm __．列方程__(100－2x)·(50－2x)＝3600__，化简整理，得__x 2－75x ＋350＝0__．① 问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 分析：全部比赛的场数为__4×7＝28__． 设应邀请x 个队参赛，每个队要与其他__(x －1)__个队各赛1场，所以全部比赛共x （x －1）2__场．列方程__x （x －1） 2＝28__，化简整理，得__x 2－x －56＝0__．② 探究： (1)方程①②中未知数的个数各是多少？__1个__． (2)它们最高次数分别是几次？__2次__． 归纳：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__的方程． 1．一元二次方程的定义 等号两边都是__整式__ ，只含有__一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式： ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)． 这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中__ax 2__是二次项，__a__是二次项系数，__bx__是一次项，__b__是一次项系数，__c__是常数项． 点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a ≠0是一个重要条件，不能漏掉． 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)
29.1 投影 李度一中陈海思 第1课时平行投影与中心投影 【学习目标】 （一）知识技能： 1.了解投影的有关概念，能根据光线的方向辨认物体的投影。 2.了解平行投影和中心投影的区别。 3.了解物体正投影的含义，能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影。（二）数学思考：在探究物体与其投影关系的活动中，体会立体图形与平面图形的相互转化关系，发展学生的空间观念。 （三）解决问题：通过对物体投影的学习，使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识。 （四）情感态度：通过学习，培养学生积极主动参与数学活动的意识，增强学好数学的信心。 【学习重点】 了解正投影的含义，能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影。 【学习难点】 归纳正投影的性质，正确画出简单平面图形的正投影。 【学习准备】手电筒、三角尺、作图工具等。 【学习过程】 【情境引入】 活动1 设问：你注意观察过周围物体在日光或灯光下的影子吗？影子与物体有着怎样的联系呢？教师展示实物及图片，学生观察、思考，感知物体与投影之间的关系。
学生讨论、发表观点；教师归纳。 总结出投影、投影线、投影面的概念。 总结：一般地，用光线照射物体，在上，得到的叫做物体的投影，叫做投影线，投影所在的叫做投影面。【自主探究】 活动2 教师给学生展示一组阳光下的投影图片，设问：下列投影中，投影线、投影面分别是什么？这些投影线有何共同特征？学生观察、思考、归纳，教师指导。 归纳总结：由形成的投影叫做平行投影。 试举出平行投影在生活中的应用实 例。。 活动3 出示一组灯光下的投影，学生观察投影线、投影面分别是什么？这些投影线有何共同特征？学生分析、回答。 归纳总结：由发出的光线形成的投影叫做中心投影。 试举出中心投影在生活中的应用实 例。。 活动4 出示教材88页练习：将物体与它们的投影用连接起来。 【合作探究】 活动5： 问题1
1.1 锐角三角函数 第1课时正切与坡度 学习目标: 1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系. 2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算. 学习重点: 1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系. 2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系. 学习难点: 理解正切的意义，并用它来表示两边的比. 学习方法: 引导—探索法. 学习过程: 一、生活中的数学问题: 1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ 2、生活问题数学化： ⑴如图：梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ ⑵以下三组中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题） ⑴Rt △AB 1C 1和Rt△AB 2C 2有什么关系? ⑵ 2 2 2111B AC C B AC C 和有什么关系？ ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢? ⑷由此你得出什么结论? 三、例题： 例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡? 例2、在△ABC 中，∠C=90°，BC=12cm ，AB=20cm ，求tanA 和tanB 的值. 四、随堂练习： 1、如图，△ABC 是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC 吗?
2、如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为55m，求山的坡度.(结果精确到0.001) 3、若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置 升高________米. 4、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则 tanθ＝______. 5、如图，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12 m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD，求DB的长.(结果保留根号) 五、课后练习：
宜宾县课改联盟学校九年级数学科导学案 一、学习目标 1.掌握利用图形的相似测量物体的高度，并画出实际问题的平面示意图。 二、学习重点 重点：用相似三角形的知识解决旗杆等物体的测量问题。 三、自主预习 1.旧知回顾 (1)什么是相似三角形？. (2)相似三角形的性质是什么？ (3)相似三角形判定方法有哪些？ 四、合作探究 1.请你想办法测量一下学校操场旗杆有多高？ (1)如何利用太阳光照射的影子来测？能画出具体示意图吗？ (2)需要哪些测量工具？ (3)应测量哪些数据？ (4).小组合作，看看还有哪些方法？ 2.拿一根高 3.5米的竹竿立在离旗杆底部B27米的C处（如图）然后沿BC的方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A与竹杆顶部E恰好在同一直线上，又测得C,D两点间的距离为3米，小芳的目高1.5米这样便可知道旗杆的高度。 你认为这种测量方法可行吗？请说明理由？ A E F B C D
3.如图，小明在地面上放置了一个平面镜E 来测量旗杆AB 的高度，镜子与旗杆的距离EB=20米，镜子于小明的距离ED=2米，小明刚好从镜中看到旗杆的顶端A 。已知小明眼睛的高度CD=1.5米，则旗杆AB 的高度是多少米? 五、巩固反馈 1.某建筑物在地面的影长为36米，同时高为1.2米的侧杆影长为2米，那么该建筑物的高为_________米。 2.垂直于地面的竹竿的影长为12米，其顶端到期影子顶端的距离为13米，如果此时测得某小树的影长为6米，则树高___________米。 3．在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？ 4．在一棵树的10米高B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A 处．另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高度． 5.在河的两岸有对应的A 、B 两点，请你利用相似三角形的知识设计一个方案测量并求出AB 的距离。并说明理由。 C D E A B
骄子教育年级册学科导学案主备人授课时间___________审批人 课题平行线的性质及平移 课型学习小授课组评分教师 导学方法先经历自主探究总结的过程，并独立完成自主学习部分，然后小组交流讨论，形成结论，最后完成当堂训练题。 学习目标 重点难点1.经历探索直线平行的性质的过程, 掌握平行线的三条性质。 2.能运用三条性质进行简单的推理和计算。 3会利用平行线的性质解决一些实际问题。 掌握平行线的性质，并且会运用它们进行简单推理和计算。 精要知识点 平行线的性质 1: 两条直线被第三条直线所截，如果 角相等。 课独简记为 ________________。 前自 表示为 : ∵______ ∴_________ 尝平行线的性质 2: 两条直线被第三条直线所截，如试果相等， 那么内错角相等。 简记为， _______________表示为 :∵________ ∴a b 1. 提前两天发 ，那么同位给学生完成。 2. 上课前教师 认真批阅，查看 学生完成情况 3. 给予评分 （全对的 3 分） 4. 教师上课前 提问检测学生 掌握情况对于 大部分学生不1明白的地方予 2以讲评（ 5~8 分 钟）
平行线的性质 3: 两条直线被第三条直线所截， 如果 2a ，那么同旁内角1 互补。 b 简记为，__________________ 表示为 :∵ __________ ∴ 【点将题】 合 作 探 究课1. 如图所示， AB∥EF∥DC，EG∥DB， 则图中与∠ 1相等的角（∠ 1除外）共有（）1、5 分钟独立做 题， 5 分钟后小 组分工讨论不 会的题目，教师 参与其中指导 2、寻找帮助： A ． 6个 B ．5个 C ．4个 D ．2个对于小组讨论 无法完成的题 目可请求别的 小组同学解答，2．如图，已知 AB∥CD，则图中与∠ 1互补的角共有 （）帮助解答问题 的小组讲解正 确予以加 5 分奖 励，或者寻求老 师帮助，但加分 要减半 3、通过以上两A．5个 B ．4个 C ． 3个 D ． 2个步能够全部理 解正确的小组 每人加 2 分 中3．如图， l 1∥12，l 为11、 12的截线，∠ 1=70°，则下列结论中不正确的个数有：①∠ 5=70°；②∠ 3=∠6； ③∠ 2+∠6=220°；④∠ 4+∠7=180°（）
29.1 投影 杭信一中何逸冬 第2课时正投影 【学习目标】 （一）知识技能： 1.进一步了解投影的有关概念。 2.能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影。 （二）数学思考：在探究物体与其投影关系的活动中，体会立体图形与平面图形的相互转化关系，发展学生的空间观念。 （三）解决问题：通过对物体投影的学习，使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识。 （四）情感态度：通过学习，培养学生积极主动参与数学活动的意识，增强学好数学的信心。 【学习重点】 能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影。 【学习难点】 归纳正投影的性质，正确画出简单平面图形的正投影。 【学习准备】手电筒、三角尺、作图工具等。 【学习过程】 【知识回顾】 正投影的概念：投影线于投影面产生的投影叫正投影。 【自主探究】 活动1 出示探究1 如图29.1—7中，把一根直的细铁丝（记为线段AB）放在三个不同位置：（1）铁丝平行于投影面； （2）铁丝倾斜于投影面： （3）铁丝垂直于投影面（铁丝不一定要与投影面有公共点）。
三种情形下铁丝的正投影各是什么形状？ 通过观察、讨论可知： （1）当线段AB 平行于投影面P 时，它的正投影是线段A1B1,线段与它的投影的大小关系为AB A1B1； （2）当线段AB 倾斜于投影面P 时，它的正投影是线段A2B2,线段与它的投影的大小关系为AB A2B2； （3）当线段AB 垂直于投影面P 时，它的正投影是 。 设计意图：用细铁丝表示一条线段，通过实验观察，分析它的正投影简单直观，易于发现结论。 活动2 如图，把一块正方形硬纸板P （记为正方形ABCD ）放在三个不同位置： (1)纸板平行于投影面； (2)纸板倾斜于投影面； (3) 纸板垂直于投影面。 三种情形下纸板的正投影各是什么形状？ 通过观察、讨论可知： (1)当纸板P 平行于投影面时，P 的正投影与纸板P 的 一样; (2)当纸板P 倾斜于投影面时，P 的正投影与纸板P 的 ; (3)当纸板P 垂直于投影面时，P 的正投影成为 。 归纳总结：通过活动1、活动2你发现了什么？ 正投影的性
最新人教版九年级数学下册全册导学案 26.1 二次函数及其图像 26.1.1 二次函数 【学习目标】 1. 了解二次函数的有关概念． 2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。 3. 确定实际问题中二次函数的关系式。 【学法指导】 类比一次函数，反比例函数来学习二次函数，注意知识结构的建立。 【学习过程】 一、知识链接： 1.若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。 2. 形如 ___________y =0)k ≠（的函数是一次函数，当______0=时，它是 函数；形如 0)k ≠（的函数是反比例函数。 二、自主学习： 1．用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。 分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x 米，则宽为 米，如果将面积记为y 平方 米，那么 y 与x 之间的函数关系式为y = ，整理为y = . 2.n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________． 3.用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积S 与它的半径r 之间的函数关系式是 。 4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？ 。 5.归纳：一般地，形如 ，（,,a b c a 是常数，且 ）的函数为二次函数。其中x 是自变量，a 是__________，b 是___________，c 是_____________． 三、合作交流： （1）二次项系数a 为什么不等于0？ 答： 。
5.1反比例函数
【学习目标】 1、进一步熟悉作函数图象的步骤，会作反比例函数的图象； 2、体会函数的三种表示方法的相互转化，对函数进行认识上的整合； 【使用说明与学法指导】 1、用l0分钟左右的时间，阅读探索课本的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力，完成“自主预习”。 2、将预习中不能解决的问题标识出来，并填写到后面“我的疑惑”处。 【自主预习】 一、知识梳理（5分钟） 1、反比例函数(0)k y k x =≠的图象是一条双曲线，当k>0时，图象位于第_______象限， 且在每一个象限内，y 随x 的增大而____________；当k<0时，图象位于第________象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而_____________。 2、反比例函数的图象既是中心对称图形，又是_____________图形，对称中心是_________，对称轴有两条：____________________和_____________________.由于0k ≠，则x ，y 都不可能为____________，所以双曲线与坐标轴_________交点，只能无限逼近坐标轴。 3、自学了本节内容，你还有什么疑问？记下来，以备上课时与同学老师探讨。 【课堂导学】 【导入示标】（5分钟） 1．引入 2.汇报预习检查情况。 【合作探究】（10分钟） 探究一： 已知反比例函数的图象经过某点，求反比例函数的表达式 例1、若反比例函数k y x = 的图象经过（-3，2），则k 的值为（ ） A 、-6 B 、6 C 、-5 D 、5 探究二：由待定系数法求解析式 例2、已知反比例函数的图象经过一次函数y=x-1的图象上的点A ，且点A 的横坐标为3， 求反比例函数的解析式。 探究三：双曲线位置的确定 例3、反比例函数，2 y x = ，图象的两支分别在第____________象限。 探究四：根据函数的图象求反比例函数的表达式 例4、如图所示，过双曲线上一点P 作PQ ⊥x 轴，垂足为Q ，已知S △PQO =4。求双的表达式。 探究五：反比例函数关系式中k 的应用 例5、在一个反比例函数图象上任取两点P ，Q ，过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线，与 坐标围成的矩形面积为S 1；过点Q 分别作x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 2。 （1）S 1与S 2有什么关系？为什么？ （2）将反比例函数的图象绕原点旋转180°后，能与原来的图象重合吗？ 【展示交流】（15分钟）
C B C B C B A 课题：28．1锐角三角函数（1） 目标导航： 【学习目标】 ⑴: 经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。 ⑵: 能根据正弦概念正确进行计算 【学习重点】 理解正弦（sinA ）概念，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实． 【学习难点】 当直角三角形的锐角固定时，，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。 【导学过程】 一、自学提纲： 1、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=10m ，?求AB 2、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20m ，?求BC 二、合作交流： 问题： 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，?在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？ 思考1：如果使出水口的高度为50m ，那么需要准备多长的水管？ ； 如果使出水口的高度为a m ，那么需要准备多长的水管？ ； 结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值 思考2：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，∠A 对边与斜边 的比值是一个定值吗？?如果是，是多少？ 结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值 三、教师点拨： 从上面这两个问题的结论中可知，?在一个Rt △ABC 中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠ A 的对边与斜边的比都等于1 2 ，是一个固定值；?当∠A=45°时，∠A 的对边与斜边的比 都等于 2 ，也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A 取其他一定度数的锐角时，?它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？ 探究：任意画Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′，使得∠C=∠C ′=90°，
华博学校九年级数学导学案 第4 周备课教师： 授课教师 授课时间 授课班级 生活中的旋转 一、新知学习：（复习导入新课） 同学们，我们在八年级学习了图形变换的三种方式，分别是______、______、______。那么今天这节课，我们将进一步来学习图形的旋转。 二、学习目标： 1、要理解图形旋转的基本要点。 2、能解决图形旋转的基本题型。 三、（自学指导）自学P56并填空： 把一个平面图形___着平面内某一点O_____一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做_________，转动的角叫做________。 因此，旋转的决定因素是_________和_________。 （三）．自学检测： 1.钟表的分针匀速旋转一周需要60分． (1)指出它的旋转中心；(2)经过20分，分针旋转了多少度？2．如图，如果把钟表的指针看做三角形△OAB，它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中：（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？ （2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？ 3.如图：?ABC是等边三角形，D是BC上一点，?ABD经过旋转后到达?ACE的位置。 （1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？ （3）如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？ 四、典型拓展例题： 如图：P是等边?ABC内的一点，把?ABP按不同的方向通过旋转得到?BQC和?ACR， （1）指出旋转中心、旋转方向和旋转角度？ （2）?ACR是否可以直接通过把?BQC旋转得到？ Ｅ ＤＣ Ｂ Ａ Ｍ A Q R P C B
A' 六、学习小结： 把一个图形绕着某一定点O转动一个角度的图形变换叫做旋转．这个定点O叫旋转中心，转动的 角叫做旋转角． 七、检测与反馈： 1.下列现象中属于旋转的有( )个. ①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动； ④水龙头的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千 A.2 B.3 C.4 D.5 2.作出如图所示的点A绕点O顺时针旋转180o后的B点。 3.作出如图所示的线段AB绕点O逆时针旋转120o后的线段CD，其中C点与A点对应。 4.作出如图所示的?ABC绕点O顺时针旋转180o后的?DEF，其中A点与D点对应。 5.等边三角形至少旋转__________度才能与自身重合。 6.图1可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的则每次旋转的度数可以是（） A．900 B．600 C．450 D．300 7.如图2，图形旋转一定角度后能与自身重合,则旋转的角度可能是( ) A、300 B、600 C、900 D、1200 图1 图2 图3 8.如图3，把△ABC绕着点C顺时针旋转350，得到△A＇B＇C，若∠BCA＇=1000，则∠B/CA的度 数是__________。 9.如图所示，P是等边△ABC内一点，△BMC是由△ 第9题图第10题图 10.如图，O是等边△ABC内一点，将△AOB绕B点逆时针旋转，使得B、O两点的对应点分别为 C、D，则旋转角为________，图中除△ABC外，还有等边三形是__________． 11.如图所示，△ABP是由△ACE绕A点旋转得到的，那么△ABP与△ACE是什么关系？ 若∠BAP＝40°，∠B＝30°，∠PAC＝20°，求旋转角及∠CAE、∠E、∠BAE的度数。 八、畅所欲言：对这节课的内容你有新想法的地方是：_______________________________________ 九、课后反思： 优点： 缺点： B O O A O B
二次函数 【学习目标】 1. 了解二次函数的有关概念． 2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。 3. 确定实际问题中二次函数的关系式。 【学法指导】 类比一次函数，反比例函数来学习二次函数，注意知识结构的建立。 【学习过程】 一、知识链接： 1.若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。 2. 形如___________y =0)k ≠（的函数是一次函数，当______0=时，它是 函数；形如 0)k ≠（的函数是反比例函数。 二、自主学习： 1．用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式 为 。 分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x 米，则宽为 米，如果将面积记为 y 平方米，那么y 与x 之间的函数关系式为y = ，整理为y = . 2.n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式 _______________________． 3.用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积S 与它的半径r 之间的函数关系式 是 。 4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？ 。 5.归纳：一般地，形如 ，（,,a b c a 是常数，且 ）的函数为二次函数。其中x 是自 变量，a 是__________，b 是___________，c 是_____________． 三、合作交流： （1）二次项系数a 为什么不等于0？ 答： 。 （2）一次项系数b 和常数项c 可以为0吗？ 答： . 四、跟踪练习 1．观察：① 26y x =；②235y x =-+；③y ＝200x 2＋400x ＋200；④32y x x =-；⑤213y x x =-+；⑥()2 21y x x =+-．这六个式子中二次函数有 。（只填序号） 2.2(1)31m m y m x x -=+-+ 是二次函数，则m 的值为______________．
新北师大版九年级上册数学导学案
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第二章一元二次方程 第一节 认识一元二次方程(1) 学习目标： 1．探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数，能够从实际问题中抽象出方程知识． 2．在探索问题的过程中使学生感受到方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系． 3．通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用． 学习重点：一元二次方程的概念． 学习难点：如何把实际问题转化为数学方程． 预习案 一、预习教材 二、感知填空 先阅读教材“议一议”前面的内容，然后完成下面问题： 1．在第一个问题中，地毯的长可以表示为_____________，宽可以表示为_____________，由矩形的面积公式可以列出方程为_________________________． 2．在第二个问题中，如果设五个连续整数中间的一个数为x ，你又能列出怎样的方程呢？ 答：设五个连续整数中间的一个数为x ，由题意可列方程，得_________________________. 三、自主提问 探究案 一、探究一：一元二次方程的概念 例1：问题1：有一块矩形铁皮，长100cm ，宽50cm .在它的四个角分别切去一个面积相同的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm 2，那铁皮各角应切去多大的正方形？你能设出未知数，列出相应的方程吗？ 归纳结论：方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax 2＋b x ＋c ＝0(a 、b 、c 为常数，a ≠0)这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax 2是二次项，a 是二次项的系数；b x 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项． 跟踪练习：1．下列方程中，是一元二次方程的是( ) A ．x 2＋2y －1＝0 B ．x ＋2y 2＝5 C ．2x 2＝2x －1 D ．x 2＋1 x －2＝0 2．将方程(x ＋3)2＝8x 化成一般形式为_______，其二次项系数为___，一次项系数是___，常数项是____． 二、探究二：一元二次方程有关概念的应用 例2：关于x 的方程mx 2－3x ＝x 2－mx ＋2是一元二次方程，m 应满足什么条件？
三视图 课题： 29.2三视图（4）序号： 学习目标： 1、知识和技能： 学会根据物体的三视图所提供的数据，分析立体图形的有关数据并计算它的体积。 2、过程和方法： 经历探索简单的几何体的三视图的还原，进一步发展空间想象能力。 3、情感、态度、价值观： 了解将三视图转换成立体图形在生产中的作用，使学生体会到所学知识有重要的实用价值。 学习重点： 学会根据物体的三视图所提供的数据，分析立体图形的有关数据并计算它的体积。 学习难点： 根据三视图描述基本几何体和实物原型及三视图在生产中的作用。 导学方法： 课时： 导学过程 一、课前预习： 预习课本第P114——115例6的有关内容，尝试完成《导学案》的教材导读和自主测评。 二、课堂导学： 1、导入 让学生欣赏事先准备好的机械制图中三视图与对应的立体图片，借助图片信息，让学生体会本章知识的价值。并借此可以讲述一下现在一些中专、中技甚至大学开设的模具和机械制图专业的课程都需要这方面的知识，激发学生学习兴趣，导入本课。 2、出示任务自主学习 阅读课本第P114——115例6的有关内容，并完成下面几个问题： 1）如何由几何体的三视图计算几何体的表面积与体积？ 2）简述三视图的作用。 3、合作探究 见《导学》P123难点探究 三、展示与反馈： 检查自学情况，解释学生疑惑。 四、学习小结： 由三视图想象立体图形，要先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、上面和左面，然后再综合起来考虑整体图形。然后根据物体的三视图所提供的数据，分析立体图形的有关数据并计算它的体积。 五、达标检测 1、课后练习 2、《导学案》自主测评 课后作业： 板书设计： 课题： 29.2三视图（4） 物体的形状、物体的三视图、物体的展开图三者相互联系、相互转化，我们可以由三构造几何原型，进而画出它的展开图，还可求表面积和体积等。 课后反思：
精品“正版”资料系列，由本公司独创。旨在将“人教版”、”苏教版“、”北师 大版“、”华师大版“等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和 检测题分享给需要的朋友。 本资源创作于2020年8月，是当前最新版本的教材资源。包含本课对应 内容，是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最佳选择。 第二十一章 一元二次方程 21．1 一元二次方程 1. 了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题． 2．掌握一元二次方程的一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)及有关概念． 3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念． 重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索． 难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项． 一、自学指导．(10分钟) 问题1： 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm ，宽50 cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm 2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为__(100－2x)cm __，宽为__(50－2x)cm __．列方程__(100－2x)·(50－2x)＝3600__，化简整理，得__x 2－75x ＋350＝0__．① 问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 分析：全部比赛的场数为__4×7＝28__． 设应邀请x 个队参赛，每个队要与其他__(x －1)__个队各赛1场，所以全部比赛共x （x －1）2__场．列方程__x （x －1） 2＝28__，化简整理，得__x 2－x －56＝0__．② 探究： (1)方程①②中未知数的个数各是多少？__1个__． (2)它们最高次数分别是几次？__2次__． 归纳：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__的方程． 1．一元二次方程的定义 等号两边都是__整式__ ，只含有__一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式