概率论基本公式

概率论与数理统计基本公式

第一部分 概率论基本公式

1、)(;A B A B A AB A B A B A -?=?-==--

2、对偶率：.-

-

-

-

?=??=?B A B A B A B A ；

3、概率性率：

)

()();()()(),()()(B P A P B P A P B A P A B AB P A P B A P ≥-=-?-=-时有：特别，

)

()()(212121A P A P A A P A A +=?为不相容事件，则、有限可加：)()()()(AB P B P A P B A P -+=?对任意两个事件有：

4、古典概型

222

n

2!)(n ,22)-n 2)!n 2(22n

C n A P C

A n n n ==！，则自成一双为：！！（解：分堆法：每堆自成一双鞋的概率只，事件堆，每堆为只，分为双鞋总共例：

5、条件概率

称为无条件概率。的条件概率，条件下，事件称为在事件)(,)

()

()|(B P B A A P AB P A B P =

B)|P(B)P(A P(AB) A)|P(A)P(B P(AB)==乘法公式：

)|()()(i i A B P A P B P i

∑=全概率公式：

)|()()

|()()

()

()|(j

j j

i i i A B P A P A B P A P B P B A P B A P i ∑==

贝叶斯公式：

例：有三个罐子，1号装有2红1黑共3个球，2号装有3红1黑4个球，3号装有2红2

黑4个球，某人随机从其中一罐，再从该罐中任取一个球，（1）求取得红球的概率；（2）如果取得是红球，那么是从第一个罐中取出的概率为多少？

.

348.0)

()

()|()|()2(.

639.0)(3

1

)()()(.2

1

)|(;43)|(;32)|()|()()(}{3,2,1i }{)1(111321321i i 321≈=≈∴======

====∑A P B P B A P A B P A P B P B P B P B A P B A P B A P A B P A P B P B B B A i B i

i 由贝叶斯公式：，，依题意，有：由全概率公式是一个完备事件、、，由题知取得是红球。，号罐球取自设解：6、独立事件

（1）P(AB)=P(A)P(B),则称A 、B 独立。 (2)伯努利概型

如果随机试验只有两种可能结果：事件A 发生或事件A 不发生，则称为伯努利试验，即： P(A)=p,q p A P =-=-

1)( (0

相同条件独立重复n 次，称之为n 重伯努利试验，简称伯努利概型。

伯努利定理：k

n k k n

p p C p n k b --=)1(),;( （k=0,1,2……） 事件A 首次发生概率为：1

)1(--k p p

例：设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号，

（1）进行5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2）进行了7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率。

353

.0)()1(1)

1()(7)2(163

.0)()1()(512

777

37

55

35=--=-===-==-=-=-=∑∑∑C P p p C p p C C P C B P p p C B P B k n k i k k

k

i k

k k i k ，代入数据，得：号”，则由题意有：次独立试验发出指示信“设，代入数据得：号”，则由题意有：次独立试验发出指示信“）设解：（

第二章

7、常用离散型分布

（1）两点分布：若一个随机变量X 只有两个可能的取值，且其分布为：

p x X P p x X P -====1}{;}{21 （0

（2）二项分布：若一个随机变量X 的概率分布由k

n k

k

n p p C k X P -==)

-1(}{

（k=0,1,2……）给出，则称X 服从参数为n ，p 的二项分布，记为：X~b(n,p)（或B(n ，p) 其中

∑===n

k k X P 0

1}{，当n=1时为0—1分布。 其期望E （X ）=np ，方差D(X)=np(1-p)

（3）泊松分布：若一个随机变量X 概率分布为：?

=>==-2,1,00,!

}{k k e

k X P k

，λλλ

则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为：)(~)((~λπλX P X 或,其中

∑∞

===0

1}{k k X P .

泊松定理：在n 重伯努利试验中，事件A 在每次试验中发生的概率为n P ,如果∞→n 时，

的常数）0(>→λλn nP ，则对任意给定的k ，

有

λλ--∞

→∞

←=

-=e k p p C p n k b k

k

n n k n

k

n

n n !

)

1(),;(lim lim ，这表明，当n 很大时，p 接近0或1

时，有λλ--≈

-e k p p C k

k

n n k n

k n !

)

1(（np =λ）。 N ≥20，p ≤0.05时用泊松分布。其期望方

差相等，即：E(X)=D(X)= λ。

8、常用连续型分布

（1）均匀分布：若连续随机变量X 的概率密度为

{

b x a a b x f <<-=),/(1,0)(其他

则称X 在区间

（a ，b ）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)。其中

?

+∞

∞

=-1)(dx x f ，分布函数为：

??

?

??

≥<≤--<=.,1.),/()(,0)(b x b x a a b a x a x x F

其期望E （X ）=2

b

a +，方差D(X)=12)(2a

b -。

（2）指数分布：若随机变量的概率为

0,00,)(>???>=-λλλ，其他

x e x f x ，则称X 服从参数

为λ的指数分布，简记为X~e(λ).其分布函数：0,00

,1)(>?

?

?>-=-λλ，其他，x e x F x 其期望E(X)=

λ1,方差D(X)=21

λ

. (3)正态分布：若随机变量X 的概率密度为+∞<<-∞=

--

x e

x f x ,21)(2

22)(σμσ

π，则称X

服从参数为μ和2

σ的正态分布，记为X~N(μ, 2

σ),其中μ和σ（σ>0）都是常数。分布

函数为：.,21

)(2

22)(?∞

---

+∞<<-∞=

x

t x dt e

x F σμσ

π。当时，1,0==σμ称为标准正态分

布，概率密度函数为：,21)

2

2

x e

x -=

π?（分布函数为：.21

)(2

2

dt e x x t ?∞

--

=

Φπ

定理：设)1,0(~),,(~2

N X Y N X σ

μ

σμ-=则

其期望E(X)= μ,D(X)= 2

σ。

9、随机变量函数的分布（1）离散型随机变量函数分布一般方法：先根据自变量X 的所有可能取值确定因变量Y 的所有可能值，然后通过Y 的每一个可能的取值i y (i=1,2,……)来确定Y 的概率分布。

（2）连续型随机变量函数分布方法：设已知X 的分布函数)(x F X 或者概率密度)(x f X ，则随机变量Y=g(X)的分布函数}{})({}{)(Y Y C X P y X g P y Y P y F ∈=≤=≤=,其中

})(|{y x g x C y ≤=，dx x f C X P y F y

C X Y Y )(}{)

(?=∈=，进而可通过Y 的分

布函数)(y F Y ，求出Y 的密度函数。

例：设随机变量X 的密度函数为?

?

?<<--=其他,01

1|,|1)(x x x f X ，求随机变量

。的分布函数和密度函数

12+=X Y ??

?

??<≤--==??

???

≥<<---≤==+-+

=≤+=≤=≥---=-+

+=-=-≤≤--=≤+=≤=<<==≤+=≤=<<<<<-????

?

?

-∞+∞

------其他所以，时，当时，得：

当时那么当得：函数，则由的分布函数和概率密度分别是随机变量和解：设,021,11

1

)'()(2,1,21),1(121,0)(,10|)|1(0}1{}{)(2y ),1(12)1()1(|)|1(11{}1{}{)(21,0)(}1{}{)(1,2111)()(111

1

-21

1

1

1

2

2y y y F x f y y y y y y F dx dx x dx y X P y Y P y F y y dx x dx x dx x y x y P y X P y Y P y y P y X P y Y P y F y y x Y y f y F Y X Y Y y y y y Y Y Y Y φ10、设随机变量

X~N(),2

σμ,Y=b aX +也服从正态分布.即

))(,(~2σμa b a N b aX Y ++=。

11、联合概率分布(1)离散型联合分布：1i

=∑∑j

ij

P

(2)连续型随机变量函数的分布：

例：设随机变量（X ，Y ）的密度函数1

(),02,02

(,)80,x y x y f x y ?+≤≤≤≤?=???其他

求(),(),(),(),cov(,)f x f y E X E Y X Y ，XY ρ，D(X+Y).

解：①当0≤x ≤2时由dy x f X ）y x (8/1[)(x

0+=?，得：x f

X

4/11/8x x (2+=），当x <0

或x >2时，由000)(0

2

=+=

?

?

∞

-∞dy dy x f X ，所以，

{

20,4/11/8x ,02)(≤≤+=

x x X x f 其他

同理可求得:

{

2

y 0,4/11/8y 02)(≤≤+=

y Y y f ，其他

； ② E(X)=

7/6dx x (2

=?

）X xf ,由对称性同理可求得，E(Y)=7/6。

③因为E(XY)=

4/3.y)dx dy 1/8x y(x ),(x y 2

2

2

20=+=?

?

?

?dxdy y x f

所以，cov （X,Y ）= E(XY)- E(X) E(Y)=4/3-(7/6)2

=-1/36。 ④36

11

)67()y ()]([)()(220

22

2

2

=

-=-=??

dxdy x f x X E X E X D ， 同理得D(Y)=

3611

,所以，XY ρ=

111)

()(),cov(-=Y D X D Y X ⑤D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)=

9

5

12、条件分布：若

的条件分布函数

发生条件下，

为在称X A A x F A P A x X P A x X P A x F )|(,}

{}

,{}|{)|(≤=≤= 13、随机变量的独立性：由条件分布设A={Y ≤y},且P{Y ≤y}>0,则：

)

()

,(}{},{}|(y F y x F y Y P y Y x X P y Y x F Y =

≤≤≤=

≤，设随机变量（X,Y ）的联合分布概率为F （x,y ），边缘分布概率为)()(y F x F Y X 、，若对于任意x 、y 有：

}{}{},{y Y P x X P y Y x X P ≤≤=≤≤，即：)()(),(y F x F y x F Y X =，则称X 和Y 独立。 14、连续型随机变量的条件密度函数：设二维连续型随机变量（X,Y ）的概率密度为),(y x f ,边缘概率密度函数为)()(y f x f Y X 、，则对于一切使)(x f X >0的x,定义在X=x 的条件下Y 的条件密度函数为：)

()

,()|(|x f y x f x y f X X Y =

，同理得到定义在Y=y 条件下X 的条件概率密

度函数为：)

()

,()|(|y f y x f y x f Y Y X =

，若),(y x f =)()(y f x f Y X 几乎处处成立，则称X,Y 相互

独立。

例：设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度函数为：

?

??>>=+-其它,00

,0,),()2(y x ce y x f y x ，求（1）确定常数c ；（2）X,Y 的边缘概率密

度函数；（3）联合分布函数F(x,y);(4)P{Y ≤X};

(5)条件概率密度函数)|(|y x f Y X ；（6）P{X<2|Y<1}

.

1)

1()1,2(1}P{Y 1}Y 2,P{X 1}Y |2P{X 1)()6(.

00,02)|(2)(),()|(0,0)5(;

3

122(2X}P{Y )4(.

,00

,0),1)(1(),(,00),(0,0)

1)(1(22(2),(0,0)3(.

,00,)(,2)(0,00,2)(22)(0,00

,0,2),(2)2(2,12

1

),()1(40

2|2|3020x 0)

2(2002)2(0

2)2(0

)2(22)2(0)2(0

20

)2(0

------∞+-∞++--------+---∞++---+-∞++-+∞

-+∞

+∞

+-+∞

+∞

-==<<<=

<<∴-==>???>=∴==>>=-==≤?

??>>--=∴==≤≤--=-==>>???>=∴==>???>=∴==>???>>===∴==

==???????

?

?????

?

?

?

e F F e dy e y F y x e y x

f e y f y x f y x f y x dx e e dxdy e y x e e y x F dxdy y x F y x e e dx e e dxdy e y x F y x y e y f e dx e y f y x e x f e dy e x f x y x e y x f c c c dx e c dxdy ce dxdy y x f Y y

y

y Y x Y X x

Y Y X x x y x y x x

y

y x y x x

y

x

x y x y Y y

y x Y x X x

y x X y x x y x ，其它

，，时，当其它时，当时，当其它

时，，当其它时，，则：当其它得到：由由解：15、数学期望：（1）离散型：i

i i

p x X E ∑∞

==

1

)(

（2）连续型：?

+∞

∞

-=dx x xf X E )()(，因为并不是每一个函数都能积分，所以并非所有随机

变量都有数学期望。

数学期望的性质：① E(CX)=CE(X) ①)()()(2121X E X E X X E +=+ ③设X,Y 独立，则E(XY)=E(X)E(Y).

例：10个人随机进入15个房间，每个房间容纳的人数不限，设X 表示有人的房间数，求E(X)(设每个人进入房间是等可能的，且各人是否进入房间相互独立)

附：二项分布b(n,p)和两点分布b(1,p)的另一个关系，仍设一个实验只有两个结果：

-

A A 和,且P(A)=p,现在将试验独立进行n 次，记为n 次试验中结果A 出现的次数，则),(~p n b X ，

若记???=不出现

次试验，第出现次试验，第出现的次数，即：次试验中结果为第A A i X A i X i i i 01

其中：i X X X X +??++=21

48

.7]15

14-1[15)()()()()(.

15,3,2,1,15

14-1)(15

3,2,1,1514-1}1{,1514}0{15

14-11514101514.

15,3,2,1i 0,110

151152110

10

1010

10

15

21≈=+??++=+??++=∴??==∴??=====+??++=??=?

??=）（，）（，，）（）（，即：

）（号房间有人的概率为那么在第，

）号房间的概率为：（个人都不在第，则人的概率为由题意，任意房间没有易知号房间没人；，第号房间有人；

第解：引入随机变量X E X E X E X X X E X E i x E i x P x P i i X X X X i i x i i i i 16、方差：(1)2

2

2

)]([)()]([)(X E X E X E X E X D -=-=

(2)方差性质：①D(CX)=C 2

D(X);②若X.Y 相互独立，则：)()()(Y D X D Y X D +=± 17、协方差：(1)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y),特别，X,Y 独立时，有：cov(X,Y)=0.

（2）协方差性质：①cov(X,X)=D(X);②cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);③cov(C,Y)=0;④cov(21X X +,Y)=)cov ),cov(21Y X Y X ，（+⑤随机变量和的方差与协方差的关系

),cov(2)()()(Y X Y D X D Y X D ±+=±.

(3)相关系数)

()(),cov(Y D X D Y X XY =

ρ,性质：①1||≤XY ρ;②若X 和Y 相互独立，则XY ρ=0，

即X 和Y 不相关。③若D(X)>0，D(Y)>0，则当且仅当存在常数a ，b （0≠a ），使：

.10;101||1}{-=<=>==+=XY XY XY a a b aX Y P ρρρ时，当时，，而且时，

附注：

独立。

与从而不能推注可能有其他函数关系，

之间不是线性关系，但与时，只能说明X Y X Y XY 0=ρ

④设e=E[Y-(2

)]b aX +,称为用b aX +来近似Y 的均方差，则：设D(X)>0，D(Y)>0,有：

),()(,)

()

,cov(000X E a Y E b X D Y X a -==

使均方误差达到最小。

18、切比雪夫不等式：设随机变量X 的期望E(X)=μ,方差D(X)=2

σ,则对于给定任意正数ε，

有：.1}|{|}|{|2222ε

σεμεσεμ-≥<-≤≥-X P X P ，或者为：

19、大数定理：设随机变量X 1,X 2,……X n ……相互独立，且具有相同的期望和方差：

2

)(,)(σμ==i i X D X E ，i=1,2,3……，∑==n

i i n X n Y 1

1记，则对于任意ε>0,有：

为概率。

发生的次数，重伯努利中

为其中推论p A n n p n

n P Y P A A

n n n (1}|{|

,1}|{|lim lim

=<-=<-∞

→∞

→εεμ 20、中心极限定理；（1）设随机变量X 1,X 2,……X n ……相互独立，服从同一分布，且

2)(,)(σμ==i i X D X E ， i=1,2,3……，则：

.21}{

2

/1

2lim dt e

x n

n X

P t x

n

i i

n -∞

-=∞

→?

∑=≤-π

σμ

(2)棣莫佛—拉普拉斯定理：设随机变量X 1,X 2,……X n ……相互独立，并且都服从参数为p

的两点分布，则对任意实数x ，有：）x dt e x p np np

X

P t x n

i i

n (21})1({2

/12lim

Φ==≤---∞

-=∞

→?∑π

第二部分 数理统计

，

分布。的服从自由度为的样本，称统计量

是取自总体分布：设）（n D n E n X X X N n

2)(,)()1,0(X , X , X 22

2

2

222

2

1

2

n 212==+??++=??χχχχχ

24、点估计常用方法（1）矩估计法：先求E （X ）,得到一个E(X)与未知参数的式子，用E(X)表示未知参数，再把E(X)用-

X 代替即可。

例：已知总体X 的概率分布为,2,1,0,)1(}{22=-==-k C k X P k

k

k

θ

θ求参数θ的矩估计。

。的矩估计为：得到代替用样本均值，）（）（解：2

-

1)(2

)

(-12-2-12-12x 1x 0}{)(2

21

-

∧

-===∴=++===∑X

X E X X E k X P x X E n

i i θθθθθθθθ

（2）最大似然估计：一般方法：a 、写出最大似然函数

L();,,21θn x x x ??;0)

(b =θθd dL 令

或

求出驻点；,0)(ln =θ

θd L d c 、判断并求出最大值点，在最大值点得表达式中，用样本均值代入即得到参数的最大释然估计值。

估计量。

的矩估计量和最大似然为一个样本，试求参数，，设是未知参数，

（，其中其它的概率密度为例：设总体θθθθθn X X X x x x f ??>?

??<<+=2,1)1,01

0,)1()(X ∑∑∑∏?=∧=+

=-

-

∧

-==++=++=??++=??+=+=????=

--=++=+=n

i i

n

i i n

i i n n n n

i n n x n x n

d L d x n x x x n L x x x x L X X X x x x X X

X E X X E X E dx x x X E 1121211

21211

0ln -1-,0ln 1)(ln ,ln )1ln()

ln()1ln()(ln ,)()1()1()(,,,1

-2-1)(,1

)()(21,21)1()(θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ

的最大似然估计值：

从而解得取取对数似然函数为：的一组观察值，则最大，是相应样本设，

得到矩估计为：即

代替用样本均值解：

概率统计公式、符号汇总表

《概率统计》公式、符号汇总表及各章要点 （共3页） 第一章 第二、三章 一维随机变量及分布：X ， i P ， )(x f X ， )(x F X 二维随机变量及分布：),(Y X ， ij P ， ),(y x f ， ),(y x F *注意分布的非负性、规范性 （1）边缘分布：∑=j ij i p P ，? +∞ ∞ -=dy y x f x f X ),()( （2）独立关系：J I IJ P P P Y X =?独立与 或)()()(y f x f y x f Y X =， ),,(11n X X Λ与),,(21n Y Y Λ独立),,(11n X X f Λ?与),,(21n Y Y g Λ独立 （3）随机变量函数的分布（离散型用列表法） 一维问题：已知X 的分布以及)(X g Y =，求Y 的分布-------连续型用分布函数法 二维问题：已知),(Y X 的分布，求Y X Z +=、{}Y X M ,m ax =、{}Y X N ,m in =的分布- M 、N 的分布---------连续型用分布函数法 第四章 （1）期望定义：离散：∑=i i i p x X E )( 连续：???+∞∞-+∞ ∞-+∞∞-==dxdy y x xf dx x xf X E ),()()( 方差定义：)()(]))([()(222X E X E X E X E X D -=-= 离散：∑-=i i i p X E x X D 2))(()( 连续：?+∞ ∞--=dx x f X E x X D X )())(()(2 协方差定义：)()()())]())(([(),(Y E X E XY E Y E Y X E X E V X COV -=--= 相关系数定义：) ()(),(Y D X D Y X COV XY = ρ

概率论与数理统计公式大全

第1章 随机事件及其概率 例1.16 设某人从一副扑克中(52张)任取13张，设A 为“至少有一张红桃”，B 为“恰有2张红桃”，C 为“恰有5张方块”，求条件概率P (B |A )，P (B |C )解 13 52 1339 1352135213391)(1)(C C C C C A P A P -=-=-=13 52 11 39 213)(C C C AB P ?=13 39 135211392131352 13 39135213521139 213)() ()(C C C C C C C C C C A P AB P A B P -=-==1352 839 513)(C C C C P =13 52626213513)(C C C C BC P =8 39 6262131352 8395131352626 213513)() ()(C C C C C C C C C C C P BC P C B P === 某种动物出生后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率. 解设A 表示事件“活到20岁以上”，B 表示事件“活到25岁以上”，显然A B ?7.0)(=A P 56.0)(=B P 56 .0)()(==B P AB P 8.07 .056 .0)()()(=== A P A B P A B P

例1.21 某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品最多不 超过4件，且具有如下的概率：一批产品中的次品数0 1 2 3 4 概率0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 现进行抽样检验，从每批中随机抽取10件来检验，若发现其中有次品，则认 为该批产品不合格。求一批产品通过检验的概率。4 ()()() k k k P B P A P B A == ∑解设B 表示事件“一批产品通过检验”，A i (i =0,1,2,3,4)表示“一批产品含有i 件次品”，则A 0,A 1, A 2, A 3, A 4组成样本空间的一个划分， 00()0.1,()1 P A P B A ==1099 1110100 ()0.2,()0.900 C P A P B A C ===1098 2210100 ()0.4,()0.809 C P A P B A C ===1097 3310100 ()0.2,()0.727 C P A P B A C ===1096 4410100 ()0.1,()0.652 C P A P B A C ===814.0652 .01.0727.02.0809.04.0900.0.021.0≈?+?+?+?+=顾客买到的一批合格品中，含次品数为0的概率是 0004 ()(|) 0.11(|)0.123 0.814 ()(| ) i i i P A P B A P A B P A P B A =??= = ≈?∑类似可以计算顾客买到的一批合格品中，含次品数为1、2、3、4件的概率分别约 为0.221、0.398、0.179、0.080。 贝叶斯公式(Bayes) 1 ()() ()1,2,,()() k k k n i i i P A P B A P A B k n P A P B A =?= =∑L 第二章 随机变量及其分布 1离散型 随机变量 P(X=x k )=p k ，k=1,2,…， （1）0≥k p ， （2）∑∞ ==1 1 k k p 2连续 型随机变量概 ? ∞-=x dx x f x F )()( (1)0)(≥x f ;(2) ? +∞ ∞ -=1 )(dx x f 。 ()=()F x f x '? =-=≤

概率统计公式大全(复习重点)

第一章随机事件和概率 （1）排列组合公式 )! ( ! n m m P n m- =从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )! (! ! n m n m C n m- =从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 （2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 （3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。 （5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。 一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。 Ω为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 （6）事件的关系与运算①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：B A? 如果同时有B A?，A B?，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B A，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A B，或者AB。A B=?，则表示A与B不可能同时发生，称 事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 Ω-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的

概率论与数理统计公式定理全总结

第一章 P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB) 特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式 概率的乘法公式 全概率公式：从原因计算结果 Bayes 公式：从结果找原因 第二章 二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p) 泊松分布——X~P(λ) 概率密度函数 怎样计算概率 均匀分布X~U(a,b) 指数分布X~Exp (θ) 分布函数 对离散型随机变量 对连续型随机变量 分布函数与密度函数的重要关系： 二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法 联合密度函数 联合分布函数 联合密度与边缘密度 离散型随机变量的独立性 连续型随机变量的独立性 第三章 数学期望 离散型随机变量，数学期望定义 连续型随机变量，数学期望定义 ● E(a)=a ，其中a 为常数 ● E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数 ● E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量 随机变量g(X)的数学期望 常用公式 ) () ()|(B P AB P B A P =)|()()(B A P B P AB P =) |()(A B P A P =∑ ==n k k k B A P B P A P 1)|()()(∑ ==n k k k i i k B A P B P B A P B P A B P 1 )|()()|()()|() ,...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-，,...) 1,0(! )(== =-k e k k X P k ，λλ 1)(=? +∞ ∞ -dx x f )(b X a P ≤≤?=≤≤b a dx x f b X a P )()() 0(1 )(/≥= -x e x f x θ θ ∑≤==≤=x k k X P x X P x F ) ()()(? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()(? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()() ,(y x f ),(y x F 0 ),(≥y x f 1),(=?? +∞∞-+∞ ∞ -dxdy y x f 1),(0≤≤y x F },{),(y Y x X P y x F ≤≤=?+∞ ∞ -=dy y x f x f X ),()(?+∞ ∞ -=dx y x f y f Y ),()(} {}{},{j Y P i X P j Y i X P =====) ()(),(y f x f y x f Y X =∑+∞ -∞ =?= k k k P x X E )(? +∞ ∞ -?=dx x f x X E )()(∑ =k k k p x g X g E )())((∑∑=i j ij i p x X E )(dxdy y x xf X E ??=),()() (1 )(b x a a b x f ≤≤-= ) ()('x f x F =

(完整版)概率论基本公式

1、 A B AB A AB;A B A (B A) 例： 证明： A B) B A AB AB A B. 第一部分 概率论基本公 式 概率论与数理统计基本公式 证明： 由(A B) B ，知 B 不发生， A 发生，则 AB 不发生，从而 A B) B A AB 成立，也即 A B 成立，也即 A B 成立。得证。 2、对偶率： A B A B ；A B A B. 3、概率性率： (1) 有限可加： A 1、 A 2为不相容事件，则 P(A 1 A 2) P(A 1) P(A 2) P(A B) P(A ) P(B);P(A) P(B) (3) 对任意两个事件有： P(A B) P(A) P(B) P(AB) 例：已知： P(A) 0.5， P(AB) 0.2，P(B) 0.4.求：(1)P(AB);P(A B); P(A 解： AB AB B,且B 、AB 是不相容事件， P(AB) P(AB) P(B) 即P(AB) 0.2.,又 P(A) 0.5, P(A B) P(A) P(AB) 0.3 P(A B) P(A) P(B) P(AB) 0.7, P( AB) PA B 1 P(A B) 0.3. 4、古典概 P(A B) P(A) P(AB),特别， B A 时有： (2) B); P( AB ) 例： n 双鞋总共 2n 只，分为 n 堆，每堆为 2只，事件 A 每堆自成一双鞋的概率 2n (2-n 2))!！ 2！ ,自成一双为： n! C 22 n 解：分堆法： C 22n n ！，则 P(A) 5、条件概率 P(B| A) P(AB) ,称为在事件 A 条件下，事件 B 的条件概 率， P(A) P(B)称为无条件概率。 乘法公式： P(AB) P(A)P(B |A) P(AB) P(B)P(A |B) 全概率公式：P(B) P(A i )P(B| A i ) i 贝叶斯公式： P(A i |B) P(A i B) P(A i )P(B|A i ) i P(B) P(A j )P(B |A j ) j 例：有三个罐子， 1号装有 2红1黑共 3个球， 2号装有 3红1黑 4个球， 3号装有 2红2

最新统计概率知识点归纳总结大全

统计概率知识点归纳总结大全 1．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义． 2．了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率. 3．了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率． 4．会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率． 5． 掌握离散型随机变量的分布列. 6．掌握离散型随机变量的期望与方差. 7．掌握抽样方法与总体分布的估计. 8．掌握正态分布与线性回归. 考点1. 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P (A )＝) ()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤： （1） 计算一次试验的基本事件总数n ; （2） 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; （3） 依公式()m P A n =求值; （4） 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ); 特例：对立事件的概率：P (A )＋P (A )＝P (A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P (A ·B )＝P (A )·P (B ); 特例：独立重复试验的概率：P n (k )＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项.

(4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： ① 求概率的步骤是： 第一步，确定事件性质???? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 考点2离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念 ①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示. ②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 ①离散型随机变量的分布列的概念和性质 一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ，2x ，……，i x ，……，ξ取每一个值i x （=i 1，2，……）的概率P （i x =ξ）=i P ，则称下表.

概率论与数量统计-公式

第1章随机事件及其概率 （1）排列组合公式 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 （2）加法和乘法原理 加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题 （4）随机试验和随机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 （5）基本事件、样本空间和事件 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。 一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。（6）事件的关系与运算 ①关系： 如果事件A 的组成部分也是事件B 的组成部分，（A 发生必有事件B 发生）：如果同时有， ，则称事件A 与事件B 等价，或称A 等于B ： A=B 。 A、B 中至少有一个发生的事件：A B ，或者A +B 。 属于A 而不属于B 的部分所构成的事件，称为A 与B 的差，记为A-B ，也 可表示为A-AB 或者 ，它表示A 发生而B 不发生的事件。 A、B 同时发生：A B ，或者AB 。A B=?，则表示A 与B 不可能同时发 生，称事件A 与事件B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。

概率计算公式

概率计算公式 加法法则 P(A ∪ B)=P(A)+P(B) －P(AB 条件概率 当P(A)>0 ，P(B|A)=P(AB)/P(A) 乘法公式 P(AB)=P(A)×P(B|A)=P(B)P(A|B)× 计算方法 “排列组合”的方法计算 记法 P(A)=A 加法法则 定理 :设 A 、 B 是互不相容事件(AB=φ)， P(AB)=0. 则 P(A ∪ B)=P(A)+P(B)-P(AB)=p(A)+P(B) 推论 1:设 A1 、 A2 、?、 An 互不相容，则:P(A1+A2+...+ An)= P(A1) +P(A2) +?+P(An)推论 2:设 A1 、 A2 、?、 An 构成完备事件组，则:P(A1+A2+...+An)=1 推论 3: P(A)=1-P(A') 推论 4:若 B 包含 A ，则 P(B-A)= P(B)-P(A) 推论 5(广义加法公式): 对任意两个事件 A 与 B，有 P(A∪ B)=P(A)+P(B)-P(AB) 折叠条件概率 条件概率 :已知事件 B 出现的条件下 A 出现的概率，称为条件概率，记作:P(A|B) 条件概率计算公式: 当P(A)>0 ，P(B|A)=P(AB)/P(A) 当P(B)>0 ，P(A|B)=P(AB)/P(B) 折叠乘法公式 P(AB)=P(A)×P(B|A)=P(B)P(A|B)× 推广 :P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) 折叠全概率公式 设: 若事件 A1 ， A2 ，?， An 互不相容，且 A1+A2+?+An=Ω，则称 A1 ，A2 ，?， An 构成一个完备事件组。 全概率公式的形式如下 : 以上公式就被称为全概率公式。

概率统计公式大全汇总

第一章
n Pm ?
随机事件和概率
（1）排列 组合公式
n Cm ?
m! (m ? n)!
从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。
m! 从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。 n!(m ? n)!
（2）加法 和乘法原 理
加法原理（两种方法均能完成此事） ：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种 方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事） ：m×n 某件事由两个步骤来完成， 第一个步骤可由 m 种方法完成， 第二个步骤可由 n 种 方法来完成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。 重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但 在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如 下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 ? 来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 ? 表示。 一个事件就是由 ? 中的部分点（基本事件 ? ）组成的集合。通常用大写字母 A， B，C，…表示事件，它们是 ? 的子集。 ? 为必然事件，? 为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理， 必然事件（Ω ）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。 ①关系： 如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分， （A 发生必有事件 B 发生） ：
（3）一些 常见排列 （4）随机 试验和随 机事件
（5）基本 事件、样本 空间和事 件
（6）事件 的关系与 运算
A? B
如果同时有 A ? B ， B ? A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B：A=B。 A、B 中至少有一个发生的事件：A ? B，或者 A+B。 属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为 A-B，也可表 示为 A-AB 或者 A B ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。
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《概率统计》公式符号汇总表及复习策略

《概率统计》公式、符号汇总表及各章要点及复习策略 （共4页） 第一章均独立。 与与与此时独立与B A B A B A B P A P AB P B A B P AB P B A P ,,);()()( )()()( (1)?=?= )() ()()( ) ()()()()( )3() (1)( ) ()( A B )()()( ) ()()()()( ) ()()()( )2(11A P B P B A P A B P B P B A P B P B A P A P A P A P B P A P AB P A P B A P A P A B P B P B A P AB P AB P B P A P B A P i i i n n ?=?++?=-=-?-=-?=?=-+= 第二、三章 一维随机变量及分布：X ， i P ， )(x f X ， )(x F X 二维随机变量及分布：),(Y X ， ij P ， ),(y x f ， ),(y x F *注意分布的非负性、规范性 （1）边缘分布：如：∑=j ij i p P ，?+∞ ∞-=dy y x f x f X ),()( （2）独立关系：J I IJ P P P Y X =?独立与 或)()()(y f x f y x f Y X =， ),,(11n X X 与),,(21n Y Y 独立),,(11n X X f ?与),,(21n Y Y g 独立 （3）随机变量函数的分布（离散型用点点对应法、连续型用分布函数法） 一维问题：已知X 的分布以及)(X g Y =，求Y 的分布 二维问题：已知),(Y X 的分布，求Y X Z +=、{}Y X M ,m ax =、{}Y X N ,m in =的分布- *??+∞∞-+∞ ∞--=-=dy y y z f dx x z x f z f Z ),(),()( M 、N 的分布--------离散型用点点对应法、连续型用分布函数法 第四章 （1）期望定义：离散：∑= i i i p x X E )( 连续：? ??+∞∞-+∞∞-+∞ ∞-==dxdy y x xf dx x xf X E ),()()( 方差定义：)()(]))([()(222X E X E X E X E X D -=-= 离散：∑-= i i i p X E x X D 2))(()( 连续：?+∞ ∞--=dx x f X E x X D X )())(()(2 协方差定义：)()()())]())(([(),(Y E X E XY E Y E Y X E X E V X COV -=--=

大学概率论与数理统计公式全集

大学概率论与数理统计公式全集 一、随机事件和概率 1、随机事件及其概率 运算律名称 表达式 交换律 A B B A +=+ BA AB = 结合律 C B A C B A C B A ++=++=++)()( ABC BC A C AB ==)()( 分配律 AC AB C B A ±=±)( ) )(()(C A B A BC A ++=+ 德摩根律 B A B A =+ B A A B += 2、概率的定义及其计算 公式名称 公式表达式 求逆公式 ) (1)(A P A P -= 加法公式 ) ()()()(AB P B P A P B A P -+=+ 条件概率公式 ) () ()(A P AB P A B P = 乘法公式 ) ()()(A B P A P AB P = )()()(B A P B P AB P = 全概率公式 ∑== n i i i A B P A P B P 1 )()()( 贝叶斯公式 （逆概率公式） ∑∞ == 1 ) ()() ()()(i i j j j j A B P A P A B P A P B A P 伯努利概型公式 n k p p C k P k n k k n n ,1,0,)1()(=-=- 两件事件相互独立相 应公式 ) ()()(B P A P AB P =；)()(B P A B P =；)()(A B P A B P =；1)()(=+A B P A B P ； 1)()(=+A B P A B P

二、随机变量及其分布 1、分布函数性质 )()(b F b X P =≤ )()()(a F b F b X a P -=≤< 2、离散型随机变量 分布名称 分布律 0–1分布),1(p B 1 ,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k 二项分布),(p n B n k p p C k X P k n k k n ,,1,0,)1()( =-==- 泊松分布)(λP ,2,1,0,! )(===-k k e k X P k λλ 几何分布)(p G ,2,1,0, )1()(1=-==-k p p k X P k 超几何分布),,(n M N H ) ,min(,,1,,)(M n l l k C C C k X P n N k n M N k M +== =-- 3、连续型随机变量 分布名称 密度函数 分布函数 均匀分布),(b a U ?? ???<<-=其他,0,1 )(b x a a b x f ?? ? ????≥<≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,1,,0)( 指数分布)(λE ???? ?>=-其他, 00 ,)(x e x f x λλ ? ??≥-<=-0,10, 0)(x e x x F x λ 正态分布),(2σμN +∞<<∞-= -- x e x f x 2 2 2)(21)(σμσ π ?∞ --- = x t t e x F d 21 )(2 22)(σμσπ 标准正态分布)1,0(N +∞<<∞-=- x e x x 2 221)(π ? ?∞ --- = x t t e x F d 21)(2 22)(σμσπ

概率计算方法总结3

概率计算方法总结 在新课标实施以来，中考数学试题中加大了统计与概率部分的考查，体现了“学以致用”这一理念. 计算简单事件发生的概率是重点，现对概率计算方法阐述如下: 一.公式法 P(随机事件)= 的结果数 随机事件所有可能出现果数 随机事件可能出现的结.其中P(必然事件)=1,P （不可能事 件）=0；0

概率论基本公式

概率论基本公式 Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998

概率论与数理统计基本公式 第一部分概率论基本公式 1、)(;A B A B A AB A B A B A -?=?-==-- 例：证明： 2、对偶率：.- - - - ?=??=?B A B A B A B A ； 3、概率性率： (1) )()()(212121A P A P A A P A A +=?为不相容事件，则、有限可加：(2 ) ) ()();()()(),()()(B P A P B P A P B A P A B AB P A P B A P ≥-=-?-=-时有： 特别， （3）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?对任意两个事件有： 4、古典概型 5、条件概率 例：有三个罐子，1号装有2红1黑共3个球，2号装有3红1黑4个球，3号装有2红2黑4个球，某人随机从其中一罐，再从该罐中任取一个球，（1）求取得红球的概率；（2）如果取得是红球，那么是从第一个罐中取出的概率为多少 . 348.0) () ()|()|()2(. 639.0)(3 1 )()()(.2 1 )|(;43)|(;32)|()|()()(}{3,2,1i }{)1(111321321i i 321≈=≈∴====== ====∑A P B P B A P A B P A P B P B P B P B A P B A P B A P A B P A P B P B B B A i B i i 由贝叶斯公式：，，依题意，有：由全概率公式是一个完备事件、、，由题知取得是红球。，号罐球取自设解：6、独立事件

概率论公式总结

概率论公式总结 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.

第一章 P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB) 特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式 概率的乘法公式 全概率公式：从原因计算结果 Bayes 公式：从结果找原因 第二章 二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p) 泊松分布——X~P(λ) 概率密度函数 怎样计算概率 均匀分布X~U(a,b) 指数分布X~Exp (θ) 分布函数 对离散型随机 变量 对连续型随机变量 分布函数与密度函数的重要关系： 二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法 联合密度 函数 联合分布函数 联合密度与边缘密度 )(b X a P ≤≤∑≤==≤=x k k X P x X P x F )()()(?∞-=≤=x dt t f x X P x F )()()(),(y x f ),(y x F 1),(0≤≤y x F

离散型随机变量的独立性 连续型随机变量的独立性 第三章 数学期望 离散型随机变量，数学期望定义 连续型随机变量，数学期望定义 E(a)=a ，其中a 为常数 E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数 E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量 随机变量g(X)的数学期望 常用公式 方差 定义式 常用计算 式 常用公式 当X 、Y 相互独立时： 方差的性质 D(a)=0，其中a 为常数 D(a+bX)=b2D(X)，其中a 、b 为常数 当X 、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y) 协方差与相关系数 协方差的性质 独立与相关 独立必定不相关 ∑+∞-∞=?=k k k P x X E )([]22)()()(X E X E X D -=

概率统计公式大全

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第1章随机事件及其概率 （1） 排列组合公式 )! ( ! n m m P n m- =从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )! (! ! n m n m C n m- =从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 （2） 加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 （3） 一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4） 随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 （5） 基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。 一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。 Ω为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 （6） 事件的关系与运算①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：B A? 如果同时有B A?，A B?，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B A，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A B，或者AB。A B=Φ，则表示A与B不可能同时发

概率论基本公式

概率论与数理统计基本公式 第一部分 概率论基本公式 1、)(;A B A B A AB A B A B A -?=?-==-- 2、对偶率：.- ---?=??=?B A B A B A B A ； 3、概率性率：) ()();()()(),()()(B P A P B P A P B A P A B AB P A P B A P ≥-=-?-=-时有： 特别， 4、古典概型 5、条件概率 例：有三个罐子，1号装有2红1黑共3个球，2号装有3红1黑4个球，3号装有2红2黑4个球，某人随机从其中一罐，再从该罐中任取一个球，（1）求取得红球的概率；（2）如果取得是红球，那么是从第一个罐中取出的概率为多少？ . 348.0) () ()|()|()2(. 639.0)(3 1 )()()(. 21)|(;43)|(;32)|()|()()(}{3,2,1i }{)1(111321321i i 321≈=≈∴==========∑A P B P B A P A B P A P B P B P B P B A P B A P B A P A B P A P B P B B B A i B i i 由贝叶斯公式：，，依题意，有：由全概率公式是一个完备事件、、，由题知取得是红球。，号罐球取自设解：6、独立事件 （1）P(AB)=P(A)P(B),则称A 、B 独立。 (2)伯努利概型 如果随机试验只有两种可能结果：事件A 发生或事件A 不发生，则称为伯努利试验，即： P(A)=p,q p A P =-=- 1) ( (0

概率论公式总结

概率公式整理 1．随机事件及其概率吸收律：A AB A A A A =?=??Ω =Ω?)( A B A A A A A =???=??=Ω?)()(AB A B A B A -==- 反演律： B A B A =? B A A B ?= n i i n i i A A 1 1 === n i i n i i A A 1 1 === 2．概率的定义及其计算：)(1)(A P A P -= 若B A ? )()()(A P B P A B P -=-? 对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=- 加法公式：对任意两个事件A , B , 有 )()()()(AB P B P A P B A P -+=? )()()(B P A P B A P +≤? )() 1()()()()(211 111 1 n n n n k j i k j i n j i j i n i i n i i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++ - = ∑∑∑ 3．条件概率 ()=A B P ) ()(A P AB P 乘法公式 ())0)(()()(>=A P A B P A P AB P ()() ) 0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P 全概率公式 ∑ == n i i AB P A P 1 ) ()( ) ()(1 i n i i B A P B P ?= ∑ =Bayes 公式 ) (A B P k ) ()(A P AB P k = ∑== n i i i k k B A P B P B A P B P 1 ) ()() ()( 4．随机变量及其分布 分布函数计算)()() ()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤< 5．离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k (2) 二项分布 ),(p n B 若P ( A ) = p n k p p C k X P k n k k n ,,1,0, ) 1()( =-==- *Possion 定理 0lim >=∞ →λn n np 有 ,2,1,0! ) 1(lim ==---∞ →k k e p p C k k n n k n k n n λ λ (3) Poisson 分布 ) (λP ,2,1,0,! )(===-k k e k X P k λ λ 6．连续型随机变量 (1) 均匀分布 ),(b a U ?? ? ??<<-=其他 ,0,1 )(b x a a b x f ??? ?? ??--=1, ,0)(a b a x x F (2) 指数分布 )(λE ???? ?>=-其他 , 00, )(x e x f x λλ ???≥-<=-0 , 10, 0)(x e x x F x λ (3) 正态分布 N (μ , σ 2 ) +∞ <<∞-= -- x e x f x 22 2)(21)(σ μσ π ? ∞ --- = x t t e x F d 21)(2 2 2)(σ μσ π *N (0,1) — 标准正态分布 +∞ <<∞-= - x e x x 2 2 21)(π ?

概率论公式总结

概率论公式总结

第一章 P(A+B)二P(A)+P(B)- P(AB) 特别地，当A 、B 互斥时，P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式 概率的乘法公式 P(AB) P(B)P(A| B) P(A)P(B| A) 全概率公式：从原因计算结果 n P(A) P(B k )P(A|B k ) k 1 Bayes 公式：从结果找原因 P(B k |A) P(B i )P(A|B i ) n P(B k )P(A|B k ) k 1 第二章 二项分布(Bernoulli 分布) ------- X~B(n,p) P(X k) C k p k (1 p)nk ，(k 01 …n) 泊松分布一一X~P(入) P(A|B) P(AB) P(B) F(x) P(X x) P(X k) k x

概率密度函数 P(a X b) 怎样计算概率 b P(a X b) f (x)dx a 均匀分布 X~U(a,b) f(x) (a x b) 指数分布X~Exp () x 对连续型随机F(x) P(X x) f(t)dt变量 分布函数与密度函数的重要关系： x F(x) P(X x) f (t)dt 二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法联合密度f(x，y)函数联合分F(x,y)布函数 f(x, y) 0 f(x,y)dxdy 1

联合密度与边缘密度 f x (x) f(x,y)dy f Y (y) f(x,y)dx 离散型随机变量的独立性 P{X i,Y j} P{X i}P{Y j} 连续型随机变量的独立性 f(x, y) f x (x)f Y (y) 第三章 数学期望 离散型随机变量，数学期望定义 E(a)=a ，其中a 为常数 E(a+bX)二a+bE(X)，其中 a 、b 为常数 E(X+Y)二E(X)+E(Y) ，X 、丫为任意随机变量 常用公式 E(X) X k P k k 连续型随机变量，数学期望定义 E(X) x f(x)dx 随机变量g(X)的数学期望 E(g(X)) g(xQP k k