初中几何辅助线做法
初中几何辅助线做法
辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。三角形
图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。四边形
平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。
圆
半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。一、见中点引中位线，见中线延长一倍
在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。
二、在比例线段证明中，常作平行线。
作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。
三、对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有
1、过上底的两端点向下底作垂线
2、过上底的一个端点作一腰的平行线
3、过上底的一个端点作一对角线的平行线
4、过一腰的中点作另一腰的平行线
5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交
6、作梯形的中位线
7、延长两腰使之相交
四、在解决圆的问题中
1、两圆相交连公共弦。
2、两圆相切，过切点引公切线。
3、见直径想直角
4、遇切线问题，连结过切点的半径是常用辅助线
5、解决有关弦的问题时，常常作弦心距。
九年级数学《二次函数》测试卷
一．选择题（每题3分，共30分）
1．下列各式中，y是x的二次函数的是
( )
A ． 21xy x +=
B ． 220x y +-=
C ． 22y ax -=-
D ． 2210x y -+=
2．在同一坐标系中，作22y x =+2、22y x =--1、212y x =
的图象，则它们 ( )
A ．都是关于y 轴对称
B ．顶点都在原点
C ．都是抛物线开口向上
D ．以上都不对
3、把抛物线23x y =向上平移2个单位, 在向右平移3个单位，则所得的抛物线是（ ）
A.2)3(32-+=x y
B. 2)3(32++=x y
C. 2)3(32--=x y
D. 2)3(32+-=x y
4．若二次函数)2(2-++=m m x mx y 的图象经过原点，则m 的值必为
( )
A ． 0或2
B ． 0
C ． 2
D ． 无法确定
5．已知原点是抛物线2(1)y m x =+的最高点，则m 的范围是
( )
A ． 1- B ． 1 C ． 1->m D ． 2->m 6．关于02=--n x x 没有实数根，则n x x y --=2的图象的顶点在 （ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 7．在同一直角坐标系中，函数b ax y -=2与)0(≠+=ab b ax y 的图象大致如图 （ ） 8．抛物线122+-=x x y 则图象与x 轴交点为 （ ） A ． 二个交点 B ． 一个交点 C ． 无交点 D ． 不能确定 9．)0(≠+=ab b ax y 不经过第三象限，那么bx ax y +=2的图象大致为 （ ） 10．对于2)3(22+-=x y 的图象下列叙述正确的是 （ ） A 顶点作标为 (－3，2) B 对称轴为y=3 C 当3≥x 时y 随x 增大而增大 D 当3≥x 时y 随x 增大而减小 11、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，下列结论： ①0<++c b a ;② 0>+-c b a ; ③0 正确的个数是A 4 个 B 3个 C 2 个 D 1个 12．已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过原点和第一、二、三象限，那么( ) A.a>0,b>0,c>0 B.a<0,b<0,c=0 C.a<0,b<0,c>0 D.a>0,b>0,c=0 13、二次函数y=x 2＋4x ＋a 的最大值是2，则a 的值是（ ） A 、4 B 、5 C 、6 D 、7 二．填空题：（每题3分，共15分） 1．当_____=m 时，函数21(1)m y m x +=-是二次函数； 2． 写出一个开口向上，顶点坐标是（2，-3）的函数解析式 ； 3．函数,0(2≠++=a c bx ax y a 、b 、c 为常数）的对称轴是 ；顶点坐标是 ； 4．抛物线23x y =的图象向右移动两个单位，再向下移动一个单位，它的顶点坐标是 ，对称轴是 解析式是 ； 5．如果抛物线b ax y +=2和直线y x b =+都经过点P(2，6)，则a _______，b =_______，抛物线不经过第_______象限 6.若抛物线y = x 2+(k-1)x+(k+3)经过原点，则k= . 7.如果函数y = ax 2+4x-16 的图像的顶点的横坐标为l ，则a 的值为 . 8、把二次函数y=－2x 2＋4x+3化成y=a （x+h ）2+k 的形式是 其开口方向是 9、直线y=3与抛物线y =－x 2+8x －12的两个交点坐标分别是A （ ）、B （ ），若抛物线y =－x 2+8x －12的顶点是P ，与X 轴的两个交点是C 、D 两点，则三角形PCD 的面积是 三．解答题(共105分) 16．（8分）若抛物线322--=x x y 经过点A （m ，0）和点B （-2，n ），求点A 、B 的坐标。 17．（7分）请设计一个开口向下，与x 轴交于（-1，0）、（3，0）的二次函数解析式，并指出它的对称轴。 18．（8分）已知抛物线m x x y +-=42的顶点在x 轴上，求这函数的解析式及其顶点坐标。 19．（8分）若二次函数的图象x x m y 2)1(2+-=与直线1-=x y 没有交点，求m 的取值范围。 20．（12分）已知二次函数的图象的顶点坐本标为（3，-2）且与y 轴交与（0，2 5） （1）求函数的解析式，并画于它的图象；（2）当x 为何值时，y 随x 增大而增大。 21．（10分）若直线3+=x y 与二次函数的图象322++-=x x y 与交A 、B 两点，求以A 、B 及原点O 为顶点的三角形的面积。 22．（6分）一台机器原价为60万元，如果每年的折旧率为x ，两年后这台机器的价格为y 万元，求与函数关系式，若折旧率以10%计算，那么两年后的该机器价值为多少？ 23．（12分）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价一元，日销售量将减少20千克。 （1）现要保证每天盈利6000元，同时又要让顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ （2）若该商场单纯从经济角度看，那么每千克应涨价多少元，能使商场获利最多。 24．（16分）某市人民广场上要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP ，柱子顶端P 处装上喷头，由P 处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所示）。若已知OP ＝3米，喷出的水流的最高点A 距水平面的高度是4米，离柱子OP 的距离为1米。 （1）求这条抛物线的解析式； 几何常见辅助线口诀三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 线段和差及倍半，延长缩短可试验。 线段和差不等式，移到同一三角去。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，倍长中线得全等。 四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形问题巧转换，变为三角或平四。 平移腰，移对角，两腰延长作出高。 如果出现腰中点，细心连上中位线。 上述方法不奏效，过腰中点全等造。 证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。 直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。 圆形 半径与弦长计算，弦心距来中间站。 圆上若有一切线，切点圆心半径联。 切线长度的计算，勾股定理最方便。 要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。 弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。 弦切角边切线弦，同弧对角等找完。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。 还要作个内接圆，内角平分线梦圆。 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。 内外相切的两圆，经过切点公切线。 若是添上连心线，切点肯定在上面。 要作等角添个圆，证明题目少困难。 由角平分线想到的辅助线 一、截取构全等： 如图，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。 分析：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。自己试一试。 二、角分线上点向两边作垂线构全等： 如图，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证：∠ADC+∠B=180 分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。近而证∠ADC与∠B之和为平角。 三、三线合一构造等腰三角形： 如图，AB=AC，∠BAC=90 ，AD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证：BD=2CE。 分析：延长此垂线与另外一边相交，得到等腰三角形，随后全等。四、角平分线+平行线： 如图，AB>AC, ∠1=∠2，求证：AB－AC>BD－CD。 初中几何辅助线技巧大全 一初中几何常见辅助线口诀 人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。 线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为△和□。 平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。 上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。 圆形 半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。 切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。 若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。 注意点 辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。 基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。 虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。 二 由角平分线想到的辅助线 口诀： 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线； ②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线 （一）、截取构全等 几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地 去猜想，按一定的规律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。 如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 图1-1 O A B D E F C A D E 三角形中作辅助线的常用方法举例 一、延长已知边构造三角形： 例如：如图7-1：已知AC ＝BD ，AD ⊥AC 于A ，BC ⊥BD 于B ， 求证：AD ＝BC 分析：欲证 AD ＝BC ，先证分别含有AD ，BC 的三角形全等，有几种方案：△ADC 与△BCD ，△AOD 与△BOC ，△ABD 与△BAC ，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。 证明：分别延长DA ，CB ，它们的延长交于E 点， ∵AD ⊥AC BC ⊥BD （已知） ∴∠CAE ＝∠DBE ＝90° （垂直的定义） 在△DBE 与△CAE 中 ∵?? ???=∠=∠∠=∠)()() (已知已证公共角AC BD CAE DBE E E ∴△DBE ≌△CAE （AAS ） ∴ED ＝EC EB ＝EA （全等三角形对应边相等） ∴ED －EA ＝EC －EB 即：AD ＝BC 。 （当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。） 二 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。 三、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。 例如：如图9-1：在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∠1＝∠2，CE ⊥BD 的延长于E 。求证：BD ＝2CE 分析：要证BD ＝2CE ，想到要构造线段2CE ，同时CE 与 ∠ABC 的平分线垂直，想到要将其延长。 证明：分别延长BA ，CE 交于点F 。 ∵BE ⊥CF （已知） ∴∠BEF ＝∠BEC ＝90° （垂直的定义） 在△BEF 与△BEC 中， 1 9-图D C B A E F 1 2 A B C D E 1 7-图O 初中几何常见辅助线做法 一、三角形常见辅助线做法 方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍； 含有中点的题目，常常做三角形的中位线，把结论恰当的转移 例1、如图5-1：AD 为△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD 。 【分析】：要证AB ＋AC ＞2AD ，由图想到： AB ＋BD ＞AD,AC ＋CD ＞AD ，所以有AB ＋AC ＋ BD ＋CD ＞AD ＋AD ＝2AD ，左边比要证结论多BD ＋CD ，故不能直接证出此题，而由2AD 想到 要构造2AD ，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。 证明：延长AD 至E ，使DE=AD ，连接BE ，则AE ＝2AD ∵AD 为△ABC 的中线 （已知） ∴BD ＝CD （中线定义） 在△ACD 和△EBD 中 ?? ???=∠=∠=)()()(辅助线的作法对顶角相等已证ED AD EDB ADC CD BD ∴△ACD ≌△EBD （SAS ） ∴BE ＝CA （全等三角形对应边相等） ∵在△ABE 中有：AB ＋BE ＞AE （三角形两边之和大于第三边） ∴AB ＋AC ＞2AD 。 例2、如图4-1：AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE ＋CF ＞EF 证明：延长ED 至M ，使DM=DE ，连接 CM ，MF 。在△BDE 和△CDM 中， ∵?? ???=∠=∠=)()(1)(辅助线的作法对顶角相等中点的定义MD ED CDM CD BD ∴△BDE ≌△CDM （SAS ） 又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4 （已知） ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°（平角的定义） ∴∠3＋∠2=90°，即：∠EDF ＝90° 1 4-图A B C D E F M 123 4A B C D E 1 5-图 学生姓名学生年级学校 上课时间辅导老师科目 教学重点中点模型的构造（倍长中线法；构造中位线法;构造斜边中线法） 教学目标系统有序掌握几何求证思路，掌握何时该用何种方法做辅助线 开场:1.行礼;2.晨读；3.检查作业;4.填写表格 新 课 导 入 知识点归纳 1.已知任意三角形(或者其他图形)一边上的中点,可以考虑：倍长中线法（构造全等三角形)；2．已 知任意三角形两边的中点，可以考虑：连接两中点形成中位线； ３．已知直角三角形斜边中点，可以考虑：构造斜边中线； 4．已知等腰三角形底边中点，可以考虑:连接顶点和底边中点利用“三线合一”性质. 新 课 内 容 做辅助线思路一：倍长中线法 经典例题1:如图所示，在△AＢC中,AB＝20，ＡC=12,求ＢC边上的中线AＤ的取值范围． 【课堂训练】 1.如图，已知CB、ＣＤ分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且ＡＣ=AB,给出下列结论： ①AＥ=2AC；②CE=２CD；③∠ACＤ=∠BＣE；④CB平分∠DCＥ，则以上结论正确的是 ( ） A．①②④ B．①③④ C.①②③ D.①②③④ 第1题图第２题图 2.如图,在正方形ABCD中，Ｅ为AB边的中点,G、F分别为ＡD，BC边上的点，若AG＝1， BF＝2，∠GEＦ＝90°，则GＦ的长为（) Ａ. ２ B. 3 C. 4 D. 5 3.如图，在△ABC中,点D、E为边BC的三等分点,则下列说法正确的有( ） ①BD=DE=EC;②ＡＢ+AE＞2AＤ；③ＡD＋AＣ>2AE;④AB＋AC>AＤ＋AE。 A. 1个Ｂ. 2个 C. 3个 D. 4个 4.如图,在△ＡBC 中,A Ｂ＞BC,E 为BC 边的中点，ＡＤ为∠BAC 的平分线,过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交C Ａ的延长线于G,求证：BF=ＣＧ． ５.如图所示,已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点,连接BE 并延长交ＡC 于点Ｆ，AE ＝ＥF ，求证：AC ＝B Ｆ. 6.如图所示,在△ABC 中，分别以ＡB 、ＡＣ为直角边向外做等腰直角三角形△ABD 和△ＡCE,F 为BC 边上中点，FA 的延长线交DE 于点G ，求证：①DE=２AF ；②ＦG ⊥DE ． F G E D B C A F D B C A E G F B C A D E 初中几何常见辅助线作法口诀 人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。 圆 半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。 作辅助线的常用方法 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出 来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如： 例1、 已知如图1-1：D 、E 为△ABC 内两点, 求证:AB+AC>BD+DE+CE. 证明：（法一） 将DE 两边延长分别交AB 、AC 于M 、N ， 在△AMN 中，AM+AN > MD+DE+NE;（1） 在△BDM 中，MB+MD>BD ； （2） 在△CEN 中，CN+NE>CE ； （3） 由（1）+（2）+（3）得： AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE ∴AB+AC>BD+DE+EC （法二：图1-2） 延长BD 交 AC 于F ，廷长CE 交BF 于G ， 在△ABF 和△GFC 和△GDE 中有： AB+AF> BD+DG+GF （三角形两边之和大于第三边）…（1） GF+FC>GE+CE （同上）………………………………..（2） DG+GE>DE （同上）…………………………………….（3） 由（1）+（2）+（3）得： AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE ∴AB+AC>BD+DE+EC 。 一、 在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两 点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理： 例如：如图2-1：已知D 为△ABC 内的任一点，求证：∠BDC>∠BAC 。 因为∠BDC 与∠BAC 不在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠BDC 处于在外角的位置，∠BAC 处于 在内角的位置； 证法一：延长BD 交AC 于点E ，这时∠BDC 是△EDC 的外角， A B C D E N M 1 1-图A B C D E F G 2 1-图A B C D E F G 1 2-图 三角形作辅助性方法大全 1.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题. 例：已知D 为△ABC 内任一点，求证：∠BDC ＞∠BAC 证法（一）：延长BD 交AC 于E ， ∵∠BDC 是△EDC 的外角， ∴∠BDC ＞∠DEC 同理：∠DEC ＞∠BAC ∴∠BDC ＞∠BAC 证法（二）：连结AD ，并延长交BC 于F ∵∠BDF 是△ABD 的外角， ∴∠BDF ＞∠BAD 同理∠CDF ＞∠CAD ∴∠BDF ＋∠CDF ＞∠BAD ＋∠CAD 即：∠BDC ＞∠BAC 2.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形. 例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4， 求证：BE ＋CF ＞EF 证明：在DA 上截取DN = DB ，连结NE 、NF ，则DN = DC 在△BDE 和△NDE 中， DN = DB ∠1 = ∠2 ED = ED ∴△BDE ≌△NDE ∴BE = NE 同理可证：CF = NF 在△EFN 中，EN ＋FN ＞EF ∴BE ＋CF ＞EF 3. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形. 例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线，且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE ＋CF ＞EF 证明：延长ED 到M ，使DM = DE ，连结CM 、FM △BDE 和△CDM 中， BD = CD ∠1 = ∠5 ED = MD ∴△BDE ≌△CDM ∴CM = BE 又∵∠1 = ∠2，∠3 = ∠4 ∠1＋∠2＋∠3 ＋ ∠4 = 180o F A B C D E D C B A 43 21N F E D C B A 中考数学几何辅助线秘籍 等腰三角形 1.作底边上的高，构成两个全等的直角三角形，这是用得最多的一种方法； 2.作一腰上的高； 3.过底边的一个端点作底边的垂线，与另一腰的延长线相交，构成直角三角形。 梯形 1.垂直于平行边 2.垂直于下底，延长上底作一腰的平行线 3.平行于两条斜边 4.作两条垂直于下底的垂线 5.延长两条斜边做成一个三角形 菱形 1.连接两对角 2.做高 平行四边形 1.垂直于平行边 2.作对角线--把一个平行四边形分成两个三角形 3.做高--形内形外都要注意 矩形 1.对角线 2.作垂线 很简单。无论什么题目，第一位应该考虑到题目要求，比如AB=AC+BD....这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段，再证全等说明AC+BD=另一条AB,就好了。还有一些关于平方的考虑勾股，A字形等。 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线（垂线段相等）。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 解几何题时如何画辅助线? ①见中点引中位线，见中线延长一倍 在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关 问题。 ②在比例线段证明中，常作平行线。 作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。 ③对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有 1、过上底的两端点向下底作垂线 2、过上底的一个端点作一腰的平行线 3、过上底的一个端点作一对角线的平行线 4、过一腰的中点作另一腰的平行线 5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交 6、作梯形的中位线 7、延长两腰使之相交 四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形里面作高线，平移一腰试试看。 平行移动对角线，补成三角形常见。 证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。 直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线。 规律1 如果平面上有n(n≥2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出n(n－1)条。 规律2 平面上的n条直线最多可把平面分成〔n(n+1)/2+1〕个部分。 规律3 如果一条直线上有n个点，那么在这个图形中共有线段的条数为n(n－1)条。 规律4 线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半。 规律5 有公共端点的n条射线所构成的角的个数一共有n(n－1)个。 规律6 如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n （n－1）个。 规律7 如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成n（n－1）对对顶角。规律8 平面上若有n（n≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出n(n－1)(n－2）个。 规律9 互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90°。 规律10 平面上有n条直线相交，最多交点的个数为n(n－1)个。 规律11 互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半。 规律12 当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直。 规律13 在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法： （1）当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可。 （2）如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长即可。 规律14 成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半。 规律15 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题。 注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题。规律16 三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半。 规律17 三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于90o加上第三个内角的一半。 规律18 三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于90o减去第三个内角的一半。 规律19 从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角差（的绝对值）的一半。 注意：同学们在学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变换，从而使自己通过解一道题掌握一类题，提高自己举一反三、灵活应变的能力。规律20 在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题。 规律21 初中几何辅助线—克胜秘籍等腰三角形 1. 作底边上的高，构成两个全等的直角三角形，这是用得最多的一种方法； 2. 作一腰上的高； 3 . 过底边的一个端点作底边的垂线，与另一腰的延长线相交，构成直角三角形梯形 1. 垂直于平行边 2. 垂直于下底，延长上底作一腰的平行线 3. 平行于两条斜边 4. 作两条垂直于下底的垂线 5. 延长两条斜边做成一个三角形 菱形 1. 连接两对角 2. 做高 平行四边形 1. 垂直于平行边 2. 作对角线——把一个平行四边形分成两个三角形 3. 做高——形内形外都要注意 矩形 1. 对角线 2. 作垂线 很简单。无论什么题目，第一位应该考虑到题目要求，比如AB=AC+BD .................... 这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段，再证全等说明AC+BD另= 一条AB,就好了。还有一些关于平方的考虑勾股，A 字形等。 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线（垂线段相等）。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 解几何题时如何画辅助线? ①见中点引中位线，见中线延长一倍在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。 ②在比例线段证明中，常作平行线。 作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。 ③对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有 1、过上底的两端点向下底作垂线 2、过上底的一个端点作一腰的平行线 3、过上底的一个端点作一对角线的平行线 4、过一腰的中点作另一腰的平行线 5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交 6、作梯形的中位线 7、延长两腰使之相交 四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形里面作高线，平移一腰试试看 平行移动对角线，补成三角形常见。 证相似，比线段，添线平行成习惯。 精品文档 学生姓名上课时间 学生年级 辅导老师 学校 科目 教学重点教学目标中点模型的构造（倍长中线法；构造中位线法；构造斜边中线法）系统有序掌握几何求证思路，掌握何时该用何种方法做辅助线 开场：1.行礼；2.晨读；3.检查作业；4.填写表格 新课导入知识点归纳 1.已知任意三角形（或者其他图形）一边上的中点，可以考虑：倍长中线法（构造全等三角形）； 2.已知任意三角形两边的中点，可以考虑：连接两中点形成中位线； 3.已知直角三角形斜边中点，可以考虑：构造斜边中线； 4.已知等腰三角形底边中点，可以考虑：连接顶点和底边中点利用“三线合一”性质. 做辅助线思路一：倍长中线法 经典例题1：如图所示，在△ABC中，AB＝20，AC＝12，求BC边上的中线AD的取值范围. 【课堂训练】 1.如图，已知CB、CD分别是钝△角AEC和锐角△ABC的中线，且AC＝AB，给出下列结论： ①AE＝2AC；②CE＝2CD；③∠ACD＝∠BCE；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是（） A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.①②③④ 新 课 内 容 第1题图第2题图 2.如图，在正方形A BCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若A G＝1， BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3.如图，在△ABC中，点D、E为边BC的三等分点，则下列说法正确的有（） ①BD＝DE＝EC；②AB＋AE＞2AD；③AD＋AC＞2AE；④AB＋AC＞AD＋AE。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4.如图，在△ABC中，AB＞BC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G，求证：BF＝CG． G B A F E D C 5.如图所示，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上的一点，连接BE并延长交AC 于点F，AE＝EF，求证：AC＝BF. A E F B D C 6.如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC为直角边向外做等腰直角三角△形ABD和△ACE，F 为BC边上中点，FA的延长线交DE于点G，求证：①DE＝2AF；②FG⊥DE． D G E A B F C 初中数学证明题常见辅助线作法规律 初中数学证明题常见辅助线作法记忆歌诀；及几何规律汇编；人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，；初中几何常见辅助线作法歌诀；人说几何很困难，难点就在辅助线；辅助线，如何添？把握定理和概念；还要刻苦加钻研，找出规律凭经验；三角形；图中有角平分线，可向两边作垂线；也可将图对折看，对称以后关系现；角平分线平行线，等腰三角形来添；角平分线加垂线，三线合一试试 初中数学证明题常见辅助线作法记忆歌诀 及几何规律汇编 人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。 初中几何常见辅助线作法歌诀 人说几何很困难，难点就在辅助线。 辅助线，如何添？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。圆 半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。 初中常见辅助线作法 任何几何题目都需分析题目条件和结论找到解题思路，本讲从常见的条件和结论出发说明50种辅助线作法，分三角形部分、四边形部分、解直角三角形部分、圆。每种辅助线作法均配备了例题和练习。 三角形部分 1．在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某 边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题. 例：如图，已知D 、E 为△ABC 内两点，求证：AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE . 证法（一）：将DE 向两边延长，分别交AB 、AC 于M 、N 在△AMN 中， AM ＋ AN ＞MD ＋DE ＋NE ① 在△BDM 中，MB ＋MD ＞BD ② 在△CEN 中，CN ＋NE ＞CE ③ ①＋②＋③得 AM ＋AN ＋MB ＋MD ＋CN ＋NE ＞MD ＋DE ＋NE ＋BD ＋CE ∴AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE 证法（二）延长BD 交AC 于F ，延长CE 交BF 于G , 在△ABF 和△GFC 和△GDE 中有， ①AB ＋AF ＞BD ＋DG ＋GF ②GF ＋FC ＞GE ＋CE ③DG ＋GE ＞DE ∴①＋②＋③有 AB ＋AF ＋GF ＋FC ＋DG ＋GE ＞BD ＋DG ＋GF ＋GE ＋CE ＋DE ∴AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE 注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证 有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题. 练习：已知：如图P 为△ABC 内任一点， 求证： 1 2 (AB ＋BC ＋AC )＜P A ＋PB ＋PC ＜AB ＋BC ＋AC 2.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来， 可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题. 例：已知D 为△ABC 内任一点，求证：∠BDC ＞∠BAC 证法（一）：延长BD 交AC 于E ， F G N M E D C B A 初中几何辅助线—克胜秘籍 等腰三角形 1. 作底边上的高，构成两个全等的直角三角形，这是用得最多的一种方法； 2. 作一腰上的高； 3 .过底边的一个端点作底边的垂线，与另一腰的延长线相交，构成直角三角形。梯形 1. 垂直于平行边 2. 垂直于下底，延长上底作一腰的平行线 3. 平行于两条斜边 4. 作两条垂直于下底的垂线 5. 延长两条斜边做成一个三角形 菱形 1. 连接两对角 2. 做高 平行四边形 1. 垂直于平行边 2. 作对角线——把一个平行四边形分成两个三角形 3. 做高——形内形外都要注意 矩形 1. 对角线 2. 作垂线 很简单。无论什么题目，第一位应该考虑到题目要求，比如AB=AC+BD....这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段，再证全等说明AC+BD=另一条AB,就好了。还有一些关于平方的考虑勾股，A字形等。 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线（垂线段相等）。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 解几何题时如何画辅助线? ①见中点引中位线，见中线延长一倍 在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。 ②在比例线段证明中，常作平行线。 作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。 ③对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有 1、过上底的两端点向下底作垂线 超有效的初中数学几何解题套路秘籍 几何的学习主要在于培养空间抽象能力的基础上，发展学生的逻辑思维能力和空间想象能力。立体几何是中学数学的一个难点，学生普遍反映“几何比代数难学”。但很多学好这部分的同学，又觉得这部分很简单。这不，从学霸手里拿到的解题秘籍！大家快来学习吧！ 证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。 10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。 11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。 12.两圆的内（外）公切线的长相等。 13.等于同一线段的两条线段相等。 证明两个角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。 3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。 4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。 5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。 6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。 7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 8.相似三角形的对应角相等。 9.圆的内接四边形的外角等于内对角。10.等于同一角的两个角相等 几何常见辅助线口诀 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，倍长中线得全等。四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为三角或平四。平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。圆形 半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径联。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。 由角平分线想到的辅助线 一、截取构全等 如图，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。 分析：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。自已试一试。 二、角分线上点向两边作垂线构全等 如图，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证：∠ADC+∠B=180 分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。近而证∠ADC与∠B之和为平角。 三、三线合一构造等腰三角形 如图，AB=AC，∠BAC=90 ，AD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证： BD=2CE。 装…………○…………………○………姓名：___ _ __ ___ _ _班级：__ ___ _ ___ _ ：_ _____ __ ___ 装 … … … …○ … … … … … … … ○ … ……双等腰旋转 1．如图，△ABC 中，AB△AC△1△△BAC△45°△△AEF 是由△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转得到的，连接BE△CF 相交于点D, △1）求证：BE△CF △ △2）当四边形ACDE 为菱形时，求BD 的长△ 2．如图，在ABC ?中，ABC ∠为锐角，点D 为直线BC 上一动点，以AD 为直角边且在AD 的右侧作等腰直角三角形ADE ，90DAE ∠=?，AD AE =. （1）如果AB AC =，90BAC ∠=?. ①当点D 在线段BC 上时，如图1，线段CE 、BD 的位置关系为___________，数量关系为_____________ ②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由. （2）如图3，如果AB AC ≠，90BAC ∠≠?，点D 在线段BC 上运动。探究：当ACB ∠多少度时，CE BC ⊥？小明通过（1）的探究，猜想45ACB ∠=?时，CE BC ⊥.他想过点A 做AC 的垂线，与CB 的延长线相交，构建图2的基本图案，寻找解决此问题的方法。小明的想法对吗？如不对写出你的结论；如对按此方法解决问题并写出理由. 3．如图，APB 中，AB 2=△APB 90∠=，在AB 的同侧作正ABD 、正APE 和正BPC ，求四边形PCDE 面积的最大值． ○…………外……………○…………订……………………○……※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※○…………内……………○…………订……………………○…… 4．已知在矩形ABCD 中，∠ADC 的平分线DE 与BC 边所在的直线交于点E ，点P 是线段DE 上一定点（其中EP 中考数学圆的辅助线 在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本文只通过分析探索归纳几种圆中常见的辅助线的作法。下面以几道题目为例加以说明。 1.有弦，可作弦心距 在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。 例1 如图1, ⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ， 且AC=BD 。求证：PO 平分∠APD 。 分析1：由等弦AC=BD 可得出等弧 = 进一步得出 = ，从而可证等弦AB=CD ，由同圆中 等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，易证△OPE ≌△OPF ，得出PO 平分∠APD 。 证法1：作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F AC=BD => = => = => AB=CD => OE=OF ∠OEP=∠OFP=90° => △OPE ≌△OPF 0OP=OP =>∠OPE=∠OPF => PO 平分∠APD 分析2：如图1-1，欲证PO 平分∠APD ，即证 AB ( BD ， ( CD ( D C B P O A E F P B 图 1 AC ( AC ( BD ( AB ( CD ( ∠OPA=∠OPD ，可把∠OPA 与∠OPD 构造在两个 三角形中，证三角形全等，于是不妨作辅助线 即半径OA ，OD ，因此易证△ACP ≌△DBP ，得AP=DP ，从而易证△OPA ≌△OPD 。 证法2：连结OA ，OD 。 ∠CAP=∠BDP ∠APC=∠DPB =>△ACP ≌△DBP AC=BD =>AP=DP OA=OD =>△OPA ≌△OPD =>∠OPA=∠OPD =>PO 平分∠APD OP=OP 2.有直径，可作直径上的圆周角 对于关系到直径的有关问题时，可作直径上的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角这个性质。 例2 如图2，在△ABC 中，AB=AC ， 以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过D 作⊙O 的切线DM 交AC 于M 。求证 DM ⊥AC 。 分析：由AB 是直径，很自然想到其所 B D C M A O . A 2 1 图 2 D C B P O A P B 图1-1 初中数学几何图形辅助线做法秘籍（中考必备） 前言 辅助线是解决几何问题的一种常用手段，是没有条件时创造条件解决问题的方法，辅助线就像桥梁，是本来分散的已知条件集中而清晰，从而达到解题的目的，这就是辅助线的意义！ （一）初中几何基本图形 每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”。这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。 （1）平行线是个基本图形： 当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的第三条直线（2）等腰三角形是个简单的基本图形： 当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。 （3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形： 出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。 （4）直角三角形斜边上中线基本图形 出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。 （5）三角形中位线基本图形 几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。 （6）全等三角形： 全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称初中数学几何辅助线技巧
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