规律1
如果平面上有n(n≥2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出n(n－1)条。
规律2
平面上的n条直线最多可把平面分成〔n(n+1)/2+1〕个部分。
规律3
如果一条直线上有n个点，那么在这个图形中共有线段的条数为n(n－1)条。
规律4
线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半。
规律5
有公共端点的n条射线所构成的角的个数一共有n(n－1)个。
规律6
如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n （n－1）个。
规律7
如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成n（n－1）对对顶角。规律8
平面上若有n（n≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出n(n－1)(n－2）个。
规律9
互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90°。
规律10
平面上有n条直线相交，最多交点的个数为n(n－1)个。
规律11
互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半。
规律12
当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直。
规律13
在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法：
（1）当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可。
（2）如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长即可。
规律14
成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半。
规律15
在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题。
注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题。规律16
三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半。
规律17
三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于90o加上第三个内角的一半。
规律18
三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于90o减去第三个内角的一半。
规律19
从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角差（的绝对值）的一半。
注意：同学们在学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变换，从而使自己通过解一道题掌握一类题，提高自己举一反三、灵活应变的能力。规律20
在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题。
规律21
有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形。
规律22
有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形。
规律23
在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形。
规律24
截长补短作辅助线的方法
截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；
补短法：延长较短线段和较长线段相等。
这两种方法统称截长补短法。
当已知或求证中涉及到线段a、b、c、d有下列情况之一时用此种方法：①a＞b②a±b=c③a±b=c±d
规律25
证明两条线段相等的步骤：
①观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。
②若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们所在的三角形全等。
③如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形。
规律26
在一个图形中，有多个垂直关系时，常用同角（等角）的余角相等来证明两个角相等。
规律27
三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等。
规律28
条件不足时延长已知边构造三角形。
规律29
连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问题。
规律30
有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。可归结为“角分垂等腰归”。
当证题有困难时，可结合已知条件，把图形中的某两点连接起来构造全等三角形。
规律32
当证题缺少线段相等的条件时，可取某条线段中点，为证题提供条件。规律33
有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，利用角平分线上的点到角两边距离相等证题。
规律34
有等腰三角形时常用的辅助线
（1）作顶角的平分线，底边中线，底边高线
（2）有底边中点时，常作底边中线
（3）将腰延长一倍，构造直角三角形解题
（4）常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线
（5）常过一腰上的某一已知点做底的平行线
（6）常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形--等边三角形
规律35
有二倍角时常用的辅助线
（1）构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角
（2）平分二倍角
（3）加倍小角
规律36
有垂直平分线时常把垂直平分线上的点与线段两端点连结起来。
规律37
有垂直时常构造垂直平分线。
规律38
有中点时常构造垂直平分线。
规律39
当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形，利用勾股定理证题。
条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中。
规律41
平行四边形的两邻边之和等于平行四边形周长的一半。
规律42
平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差。
规律43
有平行线时常作平行线构造平行四边形。
规律44
有以平行四边形一边中点为端点的线段时常延长此线段。
规律45
平行四边形对角线的交点到一组对边距离相等。
规律46
平行四边形一边（或这边所在的直线）上的任意一点与对边的两个端点的连线所构成的三角形的面积等于平行四边形面积的一半。
规律47
平行四边形内任意一点与四个顶点的连线所构成的四个三角形中，不相邻的两个三角形的面积之和等于平行四边形面积的一半。
规律48
任意一点与同一平面内的矩形各点的连线中，不相邻的两条线段的平方和相等。
规律49
平行四边形四个内角平分线所围成的四边形为矩形。
规律50
有垂直时可作垂线构造矩形或平行线。
规律51
直角三角形常用辅助线方法：
（1）作斜边上的高
（2）作斜边中线，当有下列情况时常作斜边中线：
①有斜边中点时
②有和斜边倍分关系的线段时
正方形一条对角线上一点到另一条对角线上的两端距离相等。
规律53
有正方形一边中点时常取另一边中点。
规律54
利用正方形进行旋转变换。旋转变换就是当图形具有邻边相等这一特征时，可以把图形的某部分绕相等邻边的公共端点旋转到另一位置的引辅助线方法。旋转变换主要用途是把分散元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件。旋转变换经常用于等腰三角形、等边三角形及正方形中。
规律55
有以正方形一边中点为端点的线段时，常把这条线段延长，构造全等三角形。
规律56
从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形。
规律57
从梯形同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩形和两个三角形。
规律58
从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线，把梯形转化成平行四边形和三角形。
规律59
延长梯形两腰使它们交于一点，把梯形转化成三角形。
规律60
有梯形一腰中点时，常过此中点作另一腰的平行线，把梯形转化成平行四边形。
规律61
有梯形一腰中点时，也常把一底的端点与中点连结并延长与另一底的延长线相交，把梯形转换成三角形。
规律62
梯形有底的中点时，常过中点做两腰的平行线。
任意四边形的对角线互相垂直时，它们的面积都等于对角线乘积的一半。
规律64
有线段中点时，常过中点作平行线，利用平行线等分线段定理的推论证题。
规律65
有下列情况时常作三角形中位线。
（1）有一边中点；
（2）有线段倍分关系；
（3）有两边（或两边以上）中点。
规律66
有下列情况时常构造梯形中位线
（1）有一腰中点
（2）有两腰中点
（3）涉及梯形上、下底和
规律67
连结任意四边形各边中点所得的四边形为平行四边形。
规律68
连结对角线相等的四边形中点所得的四边形为菱形。
规律69
连结对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形为矩形。
规律70
连结对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所得的四边形为正方形。规律71
连结平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形各边中点所得的四边形分别为平行四边形、菱形、矩形、正方形、菱形。
规律72
等腰梯形的对角线互相垂直时，梯形的高等于两底和的一半（或中位线的长）。
规律73
等腰梯形的对角线与底构成的两个三角形为等腰三角形。
规律74
如果矩形对角线相交所成的钝角为120o，则矩形较短边是对角线长的一半。
规律75
梯形的面积等于一腰的中点到另一腰的距离与另一腰的乘积。
规律76
若菱形有一内角为120°，则菱形的周长是较短对角线长的4倍。
规律77
当图形中有叉线（基本图形如下）时，常作平行线。
规律78
有中线时延长中线（有时也可在中线上截取线段）构造平行四边形。
规律79
当已知或求证中，涉及到以下情况时，常构造直角三角形。
（1）有特殊角时，如有30°、45°、60°、120°、135°角时。
（2）涉及有关锐角三角函数值时。
构造直角三角形经常通过作垂线来实现。
规律80
当已知条件中有切线时，常作过切点的半径，利用切线的性质定理证题。规律81
两圆相交时，常连结两圆的公共弦。
规律82
任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
规律83
任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
规律84
三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦之积的一半。
规律85
等腰直角三角形斜边的长等于直角边的√2倍。
规律86
在含有30°角的直角三角形中，60°角所对的直角边是30°角所对的直角边的√3倍。
规律87
直角三角形中，如果较长直角边是较短直角边的2倍，则斜边是较短直角边的√5倍。
规律88
圆中解决有关弦的问题时，常常需要作出圆心到弦的垂线段（即弦心距）这一辅助线，一是利用垂径定理得到平分弦的条件，二是构造直角三角形，利用勾股定理解题。
规律89
有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角。
规律90
有弦中点时常连弦心距。
规律91
证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距。
规律92
有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法：
（1）连结过弧中点的半径
（2）连结等弧所对的弦
（3）连结等弧所对的圆心角
规律93
圆内角的度数等于它所对的弧与它对顶角所对的弧的度数之和的一半。规律94
圆外角的度数等于它所截两条弧的度数之差的一半。
规律95
有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题。
规律96
有垂直弦时也常作直径所对的圆周角。
规律97
有等弧时常作辅助线有以下几种：
（1）作等弧所对的弦
（2）作等弧所对的圆心角
（3）作等弧所对的圆周角
规律98
有弦中点时，常构造三角形中位线。
规律99
圆上有四点时，常构造圆内接四边形。
初中几何辅助线技巧大全 一初中几何常见辅助线口诀 人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。 线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为△和□。 平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。 上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。 圆形 半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。 切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。 若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。 注意点 辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。 虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。 二 由角平分线想到的辅助线 口诀： 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线； ②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线 （一）、截取构全等 几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地 去猜想，按一定的规律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。 如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 图1-1 O A B D E F C A D E
一初中几何常见辅助线口诀 人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。 线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为△和□。 平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。 上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。 圆形 半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。 切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。 若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。 注意点 辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。 基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。 虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
初中几何常见辅助线作法口诀 人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。 圆 半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
作辅助线的常用方法
在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出 来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如： 例1、 已知如图1-1：D 、E 为△ABC 内两点, 求证:AB+AC>BD+DE+CE. 证明：（法一） 将DE 两边延长分别交AB 、AC 于M 、N ， 在△AMN 中，AM+AN > MD+DE+NE;（1） 在△BDM 中，MB+MD>BD ； （2） 在△CEN 中，CN+NE>CE ； （3） 由（1）+（2）+（3）得： AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE ∴AB+AC>BD+DE+EC （法二：图1-2） 延长BD 交 AC 于F ，廷长CE 交BF 于G ， 在△ABF 和△GFC 和△GDE 中有： AB+AF> BD+DG+GF （三角形两边之和大于第三边）…（1） GF+FC>GE+CE （同上）………………………………..（2） DG+GE>DE （同上）…………………………………….（3） 由（1）+（2）+（3）得： AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE ∴AB+AC>BD+DE+EC 。 一、 在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两 点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理： 例如：如图2-1：已知D 为△ABC 内的任一点，求证：∠BDC>∠BAC 。 因为∠BDC 与∠BAC 不在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠BDC 处于在外角的位置，∠BAC 处于 在内角的位置； 证法一：延长BD 交AC 于点E ，这时∠BDC 是△EDC 的外角， A B C D E N M 1 1-图A B C D E F G 2 1-图A B C D E F G 1 2-图
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要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆。 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。 若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。 辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。 基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。 一、见中点引中位线，见中线延长一倍 在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。 二、在比例线段证明中，常作平行线。 作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。 三、对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有 1、过上底的两端点向下底作垂线 2、过上底的一个端点作一腰的平行线 3、过上底的一个端点作一对角线的平行线 4、过一腰的中点作另一腰的平行线 5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交 6、作梯形的中位线 7、延长两腰使之相交 四、在解决圆的问题中 1、两圆相交连公共弦。 2、两圆相切，过切点引公切线。 3、见直径想直角 4、遇切线问题，连结过切点的半径是常用辅助线 5、解决有关弦的问题时，常常作弦心距。
规律1 如果平面上有n(n≥2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出n(n－1)条。 规律2 平面上的n条直线最多可把平面分成〔n(n+1)/2+1〕个部分。 规律3 如果一条直线上有n个点，那么在这个图形中共有线段的条数为n(n－1)条。 规律4 线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半。 规律5 有公共端点的n条射线所构成的角的个数一共有n(n－1)个。 规律6 如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n （n－1）个。 规律7 如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成n（n－1）对对顶角。规律8 平面上若有n（n≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出n(n－1)(n－2）个。 规律9 互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90°。 规律10 平面上有n条直线相交，最多交点的个数为n(n－1)个。 规律11 互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半。 规律12 当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直。 规律13 在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法：
（1）当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可。 （2）如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长即可。 规律14 成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半。 规律15 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题。 注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题。规律16 三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半。 规律17 三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于90o加上第三个内角的一半。 规律18 三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于90o减去第三个内角的一半。 规律19 从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角差（的绝对值）的一半。 注意：同学们在学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变换，从而使自己通过解一道题掌握一类题，提高自己举一反三、灵活应变的能力。规律20 在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题。 规律21
几何中，同学们最头疼的就是做辅助线了，所以，今天数姐整理了做辅助线的102条规律，从此，再也不怕了！ 规律1.如果平面上有n(n≥2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出n(n－1)条. 规律2.平面上的n条直线最多可把平面分成〔n(n+1)+1〕个部分. 规律3.如果一条直线上有n个点，那么在这个图形中共有线段的条数为n(n－1)条. 规律4.线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半. 规律5.有公共端点的n条射线所构成的交点的个数一共有n(n－1)个. 规律6.如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n（n －1）个. 规律7. 如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成n（n－1）对对顶角. 规律8.平面上若有n（n≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出n(n－1)(n－2）个. 规律9.互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90°. 规律10.平面上有n条直线相交，最多交点的个数为n(n－1)个. 规律11.互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半. 规律12.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直. 规律13.已知AB∥DE,如图⑴～⑹,规律如下：
规律14.成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内 角和的一半. 规律15．在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题. 注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题. 规律16．三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半. 规律17. 三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于90o加上第三个内角的一半. 规律18. 三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于90o减去第三个内角的一半. 规律19. 从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角差（的绝对值）的一半. 注意：同学们在学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变换，从而使自己通过解一道题掌握一类题，提高自己举一反三、灵活应变的能力.
初中几何画辅助线的99条规律 都说几何难，那是你没找到画辅助线的规律，一起来看看这99条规律，对几何做题一定大有帮助。 规律1 如果平面上有n(n≥2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出n(n－1)条。 规律2 平面上的n条直线最多可把平面分成〔n(n+1)/2+1〕个部分。 规律3 如果一条直线上有n个点，那么在这个图形中共有线段的条数为n(n－1)条。 规律4 线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半。 规律5 有公共端点的n条射线所构成的角的个数一共有n(n－1)个。 规律6 如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n（n－1）个。 规律7 如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成n（n－1）对对顶角。 规律8 平面上若有n（n≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出n(n－1)(n－2）个。 规律9 互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90°。 规律10 平面上有n条直线相交，最多交点的个数为n(n－1)个。 规律11 互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半。
规律12 当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直。 规律13 在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法： ⑴当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可。 ⑵如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长即可。 规律14 成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半。 规律15 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题。 注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题。 规律16 三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半。 规律17 三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于90o加上第三个内角的一半。 规律18 三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于90o减去第三个内角的一半。 规律19 从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角差（的绝对值）的一半。 注意：同学们在学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变换，从而使自己通过解一道题掌握一类题，提高自己举一反三、灵活应变的能力。
几何专题——辅助线 平面几何是初中教学的重要组成部分，它的基础知识在生产实践和科学研究中有着广泛的应用，又是继续学习数学和其他学科的基础，但许多初中生对几何证实题感到困难，尤其是对需要添加辅助线的证实题，往往束手无策。 一、辅助线的定义： 为了证实的需要，在原来图形上添画的线叫做辅助线。 二、几种常用的辅助线：连结、作平行线、作垂线、延长等 注意：1）添加辅助线是手段，而不是目的，它是沟通已知和未知的桥梁，不能见到题目，就无目的地添加辅助线。一则没用、二则辅助线越多，图形越乱，反而妨碍思考问题。 2）添加辅助线时，一条辅助线只能提供一个条件 三、正确添加辅助线歌 人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。 证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证实有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。 半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。 切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证实是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆假如碰到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。 若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证实题目少困难。 辅助线，是虚线，画图注重勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。 基本作图很关键，平时把握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。 虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。几何证题难不难，关键常在辅助线； 知中点、作中线，中线处长加倍看；底角倍半角分线，有时也作处长线； 线段和差及倍分，延长截取证全等；公共角、公共边，隐含条件须挖掘； 全等图形多变换，旋转平移加折叠；中位线、常相连，出现平行就好办； 四边形、对角线，比例相似平行线；梯形问题好解决，平移腰、作高线； 两腰处长义一点，亦可平移对角线；正余弦、正余切，有了直角就方便； 非凡角、非凡边，作出垂线就解决；实际问题莫要慌，数学建模帮你忙； 圆中问题也不难，下面我们慢慢谈；弦心距、要垂弦，碰到直径周角连； 切点圆心紧相连，切线常把半径添；两圆相切公共线，两圆相交公共弦； 切割线，连结弦，两圆三圆连心线；基本图形要熟练，复杂图形多分解；以上规律属一般，灵活应用才方便。
平面几何辅助线添加技法总结与例题详解 一．添辅助线有二种情况： 1按定义添辅助线： 如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。 2按基本图形添辅助线： 每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下： （1）平行线是个基本图形： 当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线 （2）等腰三角形是个简单的基本图形： 当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。 （3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形： 出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。 （4）直角三角形斜边上中线基本图形 出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。 （5）三角形中位线基本图形 几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。 （6）全等三角形：
数学几何问题添加辅助线方法大全 规律1.如果平面上有n(n ≥2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画 一条直线，一共可以画出 1 2 n(n －1)条. 规律2.平面上的n 条直线最多可把平面分成〔1 2 n(n+1)+1〕个部分. 规律3.如果一条直线上有n 个点，那么在这个图形中共有线段的条数为 1 2 n(n －1)条. 规律4.线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段 长的一半. 例：如图，B 在线段AC 上，M 是AB 的中点，N 是BC 的中点. 求证：MN = 12 AC 证明：∵M 是AB 的中点，N 是BC 的中点 ∴AM = BM = 12AB ,BN = CN = 12BC ∴MN = MB+BN = 12AB + 12BC = 1 2 (AB + BC) ∴MN = 1 2 AC 练习：1.如图，点C 是线段AB 上的一点，M 是线段BC 的中点. 求证：AM = 1 2 (AB + BC) 2.如图，点B 在线段AC 上，M 是AB 的中点，N 是AC 的中点. 求证：MN = 12 BC 3.如图，点B 在线段AC 上，N 是AC 的中点，M 是BC 的中点. N M C B A M C B A N M C B A
求证：MN = 12 AB 规律5.有公共端点的n 条射线所构成的交点的个数一共有 1 2 n(n －1)个. 规律6.如果平面内有n 条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n （n －1） 个. 规律7. 如果平面内有n 条直线都经过同一点，则可构成n （n －1）对对顶角. 规律8.平面上若有n （n ≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角 形一共可作出 1 6 n (n －1)(n －2）个. 规律9.互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90o . 规律10.平面上有n 条直线相交，最多交点的个数为 1 2 n(n －1)个. 规律11.互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半. 规律12.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行， 同旁内角的角平分线互相垂直. 例：如图，以下三种情况请同学们自己证明. 规律13.已知AB ∥DE,如图⑴～⑹,规律如下： 规律14.成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半. 例：已知，BE 、DE 分别平分∠ABC 和∠ ADC ，若∠A = 45o ,∠C = 55o ,求∠E 的度数. 解：∠A ＋∠ABE =∠E ＋∠ADE ① 1()∠ABC+∠BCD+∠CDE=360?E D C B A +=∠CDE ∠ABC ∠BCD 2()E D C B A -=∠CDE ∠ABC ∠BCD 3()E D C B A -=∠CDE ∠AB C ∠BC D 4() E D C B A +=∠CDE ∠AB C ∠BC D 5() E D C B A +=∠CDE ∠ABC ∠BCD 6() E D C B A M B A H G F E D B C A H G F E D B C A H G F E D B C A N M C B A
添线原则： 一把分散的几何元素转化为相对集中的几何元素（如把分散的元素集中在一个三角形或两个全等的三角形中，以使定理能够针对应用）二把不规则的图形转化为规则的图形，把复杂图形转化为简单的基本图形。 常见方法： 1.遇到等腰三角形时，添底边中线，或已知底边中线添两腰，应用等腰三角形三线合一性质； 2.遇到直角三角形时，添斜边中线，应用直角三角形性质解题； 3.遇到三角形中线时，将中线延长一倍； 4.遇到两条线段的和等于第三条线段，可在长的线段上截取，也可延长短的线段； 5.遇到证明圆中的弧、弦、圆心角、弦心距之间的关系时，常添半径或弦心距； 6.遇到一些常见的几何基本图形残缺不全时，利用添线补全基本图形。 例题：如图，已知△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE=AC， 延长BE交AC于点F。求证：AF=EF （4）本阶段涉及的证明类型及方法： ①证明两线段相等方法 1.利用全等三角形性质证明； 2.利用等腰三角形性质及判定证明； 3.利用直角三角形性质及度量关系证明； 4.利用平行四边形性质证明； 5.利用线段的中垂线、角平分线性质证明； 6.利用图形翻折证明； 7.通过计算线段证明； 8.利用第三线段过渡证明。 例1：如图，已知RT△ABC中，∠C=90°，M是AB的中点，AM=AN, MN∥AC. 求证：MN=AC
②证明两角相等方法 1.利用全等三角形性质证明； 2.利用平行四边形性质证明； 3.利用等腰三角形性质证明； 4.利用平行线性质证明； 5.利用计算角度证明； 6.利用常用定理证明（如对顶角相等、同角或等角的余角或补角相等、圆的性质等） 例2：如图：已知在△ABC 中，AB=AC, E 是AB 的中点，以点E 为圆心，EB 为半 径画弧，交BC 于D, 连结ED 并延长ED 到点F, 使DF=DE ，连FC. 求证： 线、角、相交线、平行线 规律1.如果平面上有n (n ≥2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出 12 n (n －1)条. 规律2.平面上的n 条直线最多可把平面分成〔 12 n (n +1)+1〕个部分. 规律3.如果一条直线上有n 个点，那么在这个图形中共有线段的条数为 12 n (n －1)条. 规律4.线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半. 例：如图，B 在线段AC 上，M 是AB 的中点，N 是BC 的中点. 求证：MN = 12 AC 证明：∵M 是AB 的中点，N 是BC 的中点 ∴AM = BM = 12 AB ,BN = CN = 12 BC ∴MN = MB+BN = 12 AB + 12 BC = 12 (AB + BC) ∴MN = 12 AC 练习：1.如图，点C 是线段AB 上的一点，M 是线段BC 的中点. 求证：AM = 12(AB + BC) 2.如图，点B 在线段AC 上，M 是AB 的中点，N 是AC 的中点. 求证：MN = 12BC 3.如图，点B 在线段AC 上，N 是AC 的中点，M 是BC 的中点. 求证：MN = 12 AB 规律5.有公共端点的n 条射线所构成的交点的个数一共有 12 n (n －1)个. 规律6.如果平面内有n 条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n （n －1）个. 规律7. 如果平面内有n 条直线都经过同一点，则可构成n （n －1）对对顶角. 规律8.平面上若有n （n ≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出1 6 n (n －1)(n －2）个. 规律9.互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90o . 规律10.平面上有n 条直线相交，最多交点的个数为 12 n (n －1)个. 规律11.互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半. 规律12.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂 直. 例：如图，以下三种情况请同学们自己证明. 规律13.已知AB ∥DE,如图⑴～⑹,规律如下： H G F E D B C A H G F E D B C A H G F E D B C A N M C B A M C B A N M C B A N M C B A 平面几何中常见的辅助线添加方法 发表时间：2015-09-28T15:55:23.370Z 来源：《中小学教育》2015年9月总第217期供稿作者：李振基[导读] 山东省平度市古岘镇古岘中学证明线段与线段的相互垂直位置关系时，我们可以根据垂直的定义，延长这两线段使其相交，然后证明它们所成的角为90度。 李振基山东省平度市古岘镇古岘中学266742 一、依据定义和性质添加辅助线 1.证明线段与线段的相互垂直位置关系时，我们可以根据垂直的定义，延长这两线段使其相交，然后证明它们所成的角为90度。 2.证明线段或角的和差倍半关系时，常采取延长较短的线段为原来的2倍，然后证明这条线段等于另外一条线段。证明角之间的倍数关系也是如此。 3.含有角的平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。 角平分线具有两条性质：（1）对称性；（2）角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种：①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如在一侧的长边上截取短边）。通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。 4.证明圆的有关问题时，通常要根据圆的有关定义、性质添加辅助线。 （1）见弦作弦心距，从而达到运用垂径定理沟通题设和结论。（2）见直径出现直径与半圆上的点，添90度的圆周角；出现90度的圆周角则添它所对弦——直径，作其所对的圆周角，利用“直径所对的圆周角是直角”这一性质、直角三角形的有关特点解决具体问题。（3）见切线作过切点的半径，利用“圆的切线垂直于过切点的半径”的切线性质构造直角三角形。（4）两圆相交作公切线。在两圆相切题目中，采取经过切点作两圆的公切线，从而构造直角三角形、矩形或者与圆有关的角，使两圆的关系更加密切、条件更为集中。（5）两圆相交作公共弦，然后运用这条公共弦所对的圆周角或圆心角，在两圆之间架起角与角关系的桥梁。 二、基本图形（直线、三角形、平行四边形）辅助线的添加 平面几何中的复杂图形都是由基本图形构成的，而这些图形在题设中却又常常是不完整的，这就需要通过添加辅助线构造基本图形。 1.平行线类。当题设中出现平行线时，通常采取延长线段构造出第三条直线与这两条直线相交，从而利用图中所形成的内错角、同位角、同旁内角之间的关系，达到解决问题的目的。 2.三角形类。（1）等腰三角形：在题目中，如果出现有公共端点却又不在同直线的两线段时，常采取构造等腰三角形的方法解决。如果题设中所知图形为等腰三角形，常采取作底边上的高、顶角的平分线、底边上的中线，运用等到腰三角形的三线合一性质进行解决。（2）直角三角形：如果题目中出现直角三角形斜边上中点，常作斜边中线以便运用直角三角形斜边的中线性质解决问题。当出现特殊角30、45、60度时，可构造等腰直角三角形，三边之比1∶1∶2。（3）三角形中位线：几何题目中，出现各边中点时，往往采取作三角形的中位线辅助证明。如果图形中有中位线，而三角形又不完整，这就需要根据中位线构造出完整的三角形，从而运用三角形中位线的性质进行证明。（4）全等三角形：全等三角形有轴对称形、中心对称形、平移形和旋转形等。如果在题设中存在两线段相等或两个相等的角关于一直线对称，就可以添加轴对称的全等三角形或添加对称轴或将三角形沿对称轴旋转。当题目中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角的两边且成一直线时，可添加成中心对称的全等三角形加以证明。（5）相似三角形（相似三角形有平行线型、相交线型、旋转型）。当出现相对应的线段不在同一直线上时，可添加平行线得到平行线型相似三角形（若平行线过一端点则可以分点或以另一端点的线段为平行线）。 3.四边形类。平行四边形（矩形、正方形、菱形）两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，在添辅助线时，可以通过作线段的平行线、垂直构造全等的三角形或相似三角形把平等四边形的问题转化成常见的三角形全等的问题处理。常用的方法有：（1）连对角线或平移对角线。（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形。（3）连接对角线的交点与一边的中点或过对角线的交点作一边的平行线，从而构造平行线或中位线。（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段构造相似的三角形或等积三角形。（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或全等三角形。 4.梯形中常用辅助线的添加方法。梯形是一组对边平行另一组对边不平行的四边形，因此在解决梯形问题时，常采取添加适当的辅助线将梯形的问题转化为平行四边形或三角形的问题来解决。常用的辅助线有：（1）平移梯形的一腰构造平等四边形。 （2）延长梯形的两腰构造三角形，把四边形转化为三角形。 （3）过梯形上底的两个端点向下底作高线构造矩形或直角三角形。 （4）作梯形对角线的平行线或平移一对角线。 （5）过梯形的一腰的中点作对角线的平行线，构造三角形中位线，运用中位线的性质解决问题。 （6）作梯形的中位线，利用中位线的性质解决具体问题。 综合以上各类添加辅助线情况，在平日教学过程中，要养成分析、思考、归纳、总结的良好习惯。在证明、计算过程中，注意积累各种辅助线添加方法，只要根据定义、定理、性质、图形的特点添加恰当的辅助线，它们的应用范围特别广泛。有些很复杂的问题添加正确的辅助线，那么问题变得极其简单，有些问题不添加辅助线甚至都无法解决。添加辅助线的方法不但能提高我们进一步综合分析问题、解决问题的能力，还会在我们发现新问题的过程中起到很重要的作用。 中考数学：几何图形辅助线的画法与技巧 中考数学：几何图形辅助线的画法与技巧 1、三角形问题添加辅助线方法 (1)有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目， 常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。 (2)含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线 的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的 知识解决问题。 (3)结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利 用关于平分线段的一些定理。 (4)结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。 2、平行四边形中常用辅助线的添法 平行四边形(包括矩形、正方形、菱形)的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目 的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行 四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法 有下列几种，举例简解如下： (1)连对角线或平移对角线; (2)过顶点作对边的垂线构造直角三角形; (3)连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线; (4)连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形 相似或等积三角形; (5)过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。 3、梯形中常用辅助线的添法 梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形 问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的 辅助线有： (1)在梯形内部平移一腰; (2)梯形外平移一腰; (3)梯形内平移两腰; (4)延长两腰; (5)过梯形上底的两端点向下底作高; (6)平移对角线; (7)连接梯形一顶点及一腰的中点; (8)过一腰的中点作另一腰的平行线; (9)作中位线。 当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四 边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。 4、圆中常用辅助线的添法 在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁，从而使问题化难为易，顺其自然 地得到解决，因此，灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对 提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。 01 规律1 如果平面上有n(n≥2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出n(n－1)条。 规律2 平面上的n条直线最多可把平面分成〔n(n+1)/2+1〕个部分。 规律3 如果一条直线上有n个点，那么在这个图形中共有线段的条数为n(n－1)条。 规律4 线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半。规律5 有公共端点的n条射线所构成的角的个数一共有n(n－1)个。 规律6 如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n（n－1）个。 规律7 如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成n（n－1）对对顶角。 规律8 平面上若有n（n≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出n(n－1)(n－2）个。 规律9 互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90°。 规律10 平面上有n条直线相交，最多交点的个数为n(n－1)个。 规律11 互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半。 规律12 当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直。 规律13 在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法： ⑴当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可。 ⑵如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长即可。 规律14 成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半。 规律15 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题。 注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题。 规律16 三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半。规律17 初中平面几何辅助线口诀 添加辅助线口诀人说几何很困难，难点就在辅助线。 辅助线，如何添？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看，线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形里面作高线，平移一腰试试看。 平行移动对角线，补成三角形常见。 证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。 直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。 半径与弦长计算，弦心距来中间站。 圆上若有一切线，切点圆心半径连。 切线长度的计算，勾股定理最方便。 要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。 弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。 弦切角边切线弦，同弧对角等找完。 要想作个外接圆，各边作出中垂线，还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。 内外相切的两圆，经过切点公切线。 若是添上连心线，切点肯定在上面。 要作等角添个圆，证明题目少困难。 辅助线，是虚线，画图注意勿改变。 假如图形较分散，对称旋转去实验。 基本作图很关键，平时掌握要熟练。 解题还要多心眼，经常总结方法显。 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。 分析综合方法选，困难再多也会减。 虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。 几何证题难不难，关键常在辅助线；知中点、作中线，中线处长加倍看；底角倍半角分线，有时也作处长线；线段和差及倍分，延长截取证全等；公共角、公共边，隐含条件须挖掘；全等图形多变换，旋转平移加折叠；中位线、常相连，出现平行就好办；四边形、对角线，比例相似平行线；梯形问题好解决，平移腰、初中几何辅助线做法大全
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