不等式的几个性质
不等式的性质是后继学习的基础，熟练掌握并能灵活运用不等式的性质，是提高解题准确性和快捷性的关键。这里介绍一些课本中没有直接列出而在解题中经常遇到的性质，以供参考。
1．乘方、开方性质 1）若b a >，则有：
①121
2++>n n b a
； ②)(1212N n b a n n ∈>++。
2）若b a >>0，则)(22N n b a
n n
∈<。
3）若b x a <<<2
0，则a x b -<<-或b x a <<。
2．取倒数性质
1）若0>>b a 或b a >>0，则b
a 11<。 2）若
b x a <<<0或0<<
x b 1
11<<。
3．取绝对值的性质 1）b a b a >?>2
2。
2）若b x a <<，且0,0>时，有b x <；②当a b -<时，有a x <。 4．有关分数的性质
若+
∈R m b a ,,，且b a >，则 1）真分数的性质： ①
m a m b a b ++<； ②)0(>--->m b m a m
b a b 。
2）假分数的性质： ①
m b m a b a ++>； ②)0(>--- b m a b a 。 说明：1）是真分数的性质，可简述为：真分数越加越大，越减越小。2）是假分数的 性质，可简述为：假分数越加越小，越减越大。 以上性质都可由基本不等式或绝对值的定义，通过简单推导而得到，作为练习，其证明均留给读者。对以上不等式，建议大家熟练掌握，这对加快解题速度有帮助。 不等式的性质 例1 比较2 3x +与x 3的大小，其中R x ∈． 解：x x 3)3(2 -+332+-=x x 3)23(])23(3[222+-+-=x x 43)23(2 + -=x 04 3 >≥， ∴ x x 332 >+． 说明：由例1可以看出实数比较大小的依据是：①b a b a >?>-0； ②b a b a =?=-0；③b a b a 例2 比较16+x 与2 4x x +的大小，其中R x ∈ 解：)()1(2 4 6 x x x +-+12 46+--=x x x )1()1(2 2 4 ---=x x x )1)(1(4 2 --=x x )1)(1)(1(222+--=x x x )1()1(222+-=x x ∴ 当1±=x 时，2 4 6 1x x x +=+；当1±≠x 时，.12 4 6 x x x +>+ 说明：两个实数比较大小，通常用作差法来进行，其一般步骤是：第一步：作差；第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段；第三步：定号，贵州省是能确定是大于0，还是等于0，还是小于0．最后得结论．概括为“三步，—结论”，这里的“变形”一步最为关键． 例3 R x ∈，比较)12)(1(2 ++ +x x x 与)2 1 (+x （12++x x ）的大小． 分析：直接作差需要将)12)(1(2 +++x x x 与)2 1(+x （12++x x ）展开，过程复杂， 式子冗长，可否考虑根据两个式子特点，予以变形，再作差． 解：∵)12)(1(2 ++ +x x x =)1(+x （122+-+x x x ）)1(2 )1)(1(2+-+++=x x x x x ， )1)(211()1)(21(22++-+=+++x x x x x x )1(2 1 )1)(1(22++-+++=x x x x x ， ∴ )1)(21()12)(1(22 +++-+++x x x x x x 02 1)1(21)1(212>=+-++=x x x x ． 则有R x ∈时，)12)(1(2 +++x x x >)2 1(+x （12++x x ）恒成立． 说明：有的确问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到 比较易于判断符号时，再作差，予以比较，如此例就是先变形后，再作差． 例4 设R x ∈，比较 x +11 与x -1的大小． 解：作差x x x x +=--+1)1(112 ， 1）当0=x 时，即012=+x x ，∴ x x -=+111 ； 2）当01<+x ，即1- -<+111 ； 3）当01>+x 但0≠x ，即01<<-x 或0>x 时，012>+x x ，∴x x ->+111 ． 说明：如本题作差，变形，变形到最简形式时，由于式中含有字母，不能定号，必须对 字母根据式子具体特点分类讨论才能定号．此时要注意分类合理恰当． 例5 比较1618与18 16的大小 分析：两个数是幂的形式，比较大小一般采用作商法。 解：16 16162 161816)2 89()21()89(161)1618(1618=== . 1618,016,1)2 89() 1,0(2 89 18161816 ＜＞＜∴∴∈ 说明：求商法比大小的变形要围绕与1比大小进行． 例6 设0,0＞＞b a ，且b a ≠，比较：b a b a ?与a b b a 的大小。 分析：比较大小一般方法是求差法或求商法，利用不等式的性质进行变形，然后确定大小。 解：b a a b b a a b b a b a b a b a b a ---==)( 当0＞＞b a 时，0,1＞＞b a b a -，1) (＞b a b a -∴ 当0＞＞a b 时，0,10＜＜＜b a b a -1) (＞b a b a -∴ 1)(＞b a b a -∴即1＞a b b a b a b a ， 又0＞a b b a ，a b a a b a b a ＞∴ 说明：求商法的基本步骤是：①求商，②变形，③与1比大小从而确定两个数的大小. 例7 实数d c b a 、、、满足条件：①d c b a <<,；②()()0>--c b c a ；③ ()()0<--d b d a ，则有( ) A ．b d c a <<< B ．d b a c <<< C ．d b c a <<< D ．b d a c <<< （天津市2001年南开中学期末试题） 分析：先由条件②③分析出b a 、与d c 、的关系，根据条件利用①用数轴数形结合比出大小． 解：∵()()0>--c b c a ，∴b a 、与c 同侧 ∵()()0<--d b d a ，∴b a 、与d 异侧∵d c b a <<, ∴把d c b a 、、、标在数轴上，只有下面一种情况 由此得出b d a c <<<，∴此题选D ． 说明：比较大小时可以借助于数轴，利用推出的一些结论在数轴上标出它们的相对位置，这样容易看出几个数之间的大小关系，尤其是比较的个数较多时适用． 例8 已知①11≤+≤-b a ；②31≤-≤b a ，求：b a -3的取值范围． 分析：此题是给代数式的字母的范围，求另外代数式的范围．分为两步来进行：(1)利用待定系数法将代数式b a -3用b a +和b a -表示．(2)利用不等式性质及题目条件确定b a -3的范围． 解：设：b y x a y x b a y b a x b a )()()()(3-++=-++=- ? ??==∴?? ?-=-=+∴21 13y x y x y x 由①+②×2得：231)(2)(21?+≤-++≤+-b a b a 即：731≤-≤b a ． 说明：此题的一种典型错误做法，如下： ,31,11≤-≤≤+≤-b a b a 420≤≤∴a ，即：20≤≤a 0 241 3,11≤≤-∴-≤-≤-≤+≤-b a b b a 即：02≤≤-b 8 30, 20,630≤-≤∴≤-≤≤≤∴b a b a 此解法的错误原因是因为a 与b 是两个相互联系，相互制约的量，而不是各自独立的，当b a +取到最大值或最小值时，b a -不一定能取到最值，所以用以上方法可能扩大变量的范围． 避免出错的方法是通过待定系数法“整体代入”，见解题过程． 例9 判断下列各命题的真假，并说明理由． （1）若2 2 bc ac >，则.b a >（2）若b a >，则.11b a < （3）若0,< b a ，则 .b c a c <（4）若d c b a >>,，则.d b c a ->- （5）若c a b a >>>,0，则.2 bc a >（6）若+∈>N m b a ,，则.m m b a > 分析：利用不等式的性质来判断命题的真假． 解：（1）?≠?>02 22c bc ac b a bc ac c >??? ???>>22201，是真命题． （2）可用赋值法：2,3-==b a ，有b a 1 1>，是假命题． 也可这样说明： ab a b b a -= -11，∵ b a >，只能确定0<-a b ， 但ab 的符号无法确定，从而b a 11-的符号确定不了，所以b a 1 1<无法得到，实际上有： .1 10,b a ab b a > .1 10,b a a b b a >?<> （3）与（2）类似，由?/ c a c c b a ??? <>011，从而b c a c b a （4）取特殊值：.3,2,1,5-====d c b a 有d b c a -<-，∴ 是假命题． 定理3的推论是同向不等式可相加，但同向不等式相减不一定成立．只有异向不等式可相减，即.,d b c a d c b a ->-?<> （5）bc a bc ab b c a ab a a b a >?? ? ?? ??>???>>>????>>>2 2 000， ∴是真命题． （6）定理4成立的条件为必须是正数． 举反例： 2,4,3=-==m b a ，则有.m m b a < 说明：在利用不等式的性质解题时，一定要注意性质定理成立的条件．要说明一个命题是假命题可通过举反例． 例10 求证：.0,01 1, <>?>>b a b a b a 分析：把已知的大小关系转化为差数的正负，再利用不等式的性质完成推理． 证明：利用不等式的性质，得 00011110 ? ? ? ? <-?<-?>>-?>ab ab b a a b b a b a b a ，.0,0异号,<>????>b a b a b a 例11 若d c b a >>,，则下面不等式中成立的一个是（ ） （A ）c b d a +>+ （B ）bd ac > （C ） d b c a > （D ）b c a d -<- 解：由不等式的性质知：（A ）、（B ）、（C ）成立的条件都不充分，所以选（D ），其实（D ） 正是异向不等式相减的结果． .b c a d c d d c b a b a -<-?? ?? -<-?> 说明：本的解法都是不等式性质的基本应用，对于不等式的基本性质要逐条掌握准确，以便灵活应用． 例12 若11<β<α<-，则下面各式中恒成立的是（ ）． （A ）02<β-α<- （B ）12-<β-α<- （C ）01<β-α<- （D ）11<β-α<- 分析 本题考查是否能正确使用不等式的性质来进行变形，应看到，已知条件中含有两个内容，即11<α<-，11<β<-和β<α，根据不等式的性质，可得11<β-<-， 0<β-α，继而得到22<β-α<-且0<β-α，故02<β-α<-，因此选A ． 例13 若c b a >>，则一定成立的不等式是（ ） A ．c b c a > B ．ac ab > C ．c b c a ->- D ．c b a 1 11<< 分析：A 错，当0,=>c b a 时有c b c a =；同样B 错；D 没有考虑各数取零和正 负号的关系，所以也不对． 故选C ，因为不等式两边同时加上一个任意数（此题是c -），原不等式成立． 说明：这类题可以采用特例法：令0=c 即得C 成立． 例14 已知：0 分析：要证明的式子中，左右均为二项差，其中都有一项是两字母积的形式，因此在证明时，对两项积要注意性质的使用，对两项差的证明要注意使用同向加性或异向减性来处理． 证明：，＞，＞，＞bc ac c b a ∴0 ．＜bc ac --∴ 又，＜e f ∴由同向加性可得：bc e ac f --＜． 说明：此题还可采用异向减性来处理：．＜，＞，＜bc e ac f bc ac e f --∴做这类题过 程并不复杂，关键是记准性质，并能正确地应用． 例15已知集合{ }{} ,,2||145|A 2 A y y x x B x x x R I ∈-==--==，＜０，求： B A ?． 分析：要求B A ?，需要先求集合A 和B ，从已知来看，A 的范围容易求，B 的元素由A y ∈可以推算，但在推算过程中，要注意运用不等式的性质． 解：,01452 R I x x =<--且 .72<<-∴x {} {}.7201452<<-=<--=∴x x x x x A .72,<<-∴∈y A y ,2||.524-=<-<-∴y x y .5||,5||4<∴<<-∴x x .55<<-∴x {}.55<<-=∴x x B }.52{<<-=?∴x x B A 说明：本题中的条件R I =，意在明确集合A 中的元素为R ，若去掉此条件，会出现不确定的情况．比如，72<<-x 的实数和72<<-x 的整数显然是有区别的．另外，这里集合B 的元素是通过集合A 的元素求出的，解题时，一定要看清． 例16 设a 和b 都是非零实数，求不等式b a >和 b a 1 1>同时成立的充要条件． 分析：本题是求两个不等式同时成立的充要条件，因此，这两个不等式不能分开来讨论．如果分开讨论，则b a >成立的条件就是b a >本身；而b a 1 1>成立的条件则是a 与b 同号，且b a <，但这个条件只是 b a 1 1>的一个充分条件，并且与第一个不等式b a >是矛盾的．所以必须研究这两个不等式同时成立的条件．显然，应该从求它们同时成立的必要条件入手． 解：先求b a >，b a 11>同时成立的必要条件，即当b a >，b a 1 1>同时成立时，a 与b 应具备什么条件． 由?????>>b a b a 11,，得??? ??>->-.0, 0ab a b b a 由0>-b a 可知0<-a b ，再由0>-ab a b 知0 b a 1 1>同时成立的必要条件． 再求b a >，b a 1 1>同时成立的充分条件． 事实上，当b a >>0时，必有b a >，且 01,01<>b a ， 因而b a 1 1>成立．从而b a >>0是不等式b a >， b a 1 1>同时成立的充分条件． 因此，两个不等式b a >，b a 1 1>同时成立的充要条件是b a >>0． 说明：本题结果表明，b a >与b a 1 1>同时成立，其充要条件是a 为正数，b 为负数．这 与b a 1 1>成立的条件0>ab ，a b >不要混淆．解本题是从必要条件入手的，即若b a >，b a 11>同时成立，则要研究从不等式b a 1 1>和b a >看a 与b 的大小有什么关系，从中得出 结论（b a >>0），再把这个结论作为一个充分条件去验证b a >及b a 1 1>能否同时成立． 从而解决了本题． 例17 已知函数c ax x f -=2 )(满足：.5)2(1,1)1(4≤≤--≤≤-f f 则)3(f 应满足（ ） （A ）26)3(7≤≤-f （B ）15)3(4≤≤-f （C ）20)3(1≤≤-f （D ）3 35)3(328≤≤- f 分析：如果能用)1(f 与)2(f 将)3(f “线性”表示出：)2()1()3(nf mf f +=，就可利用不等式的基本性质，由)1(f 、)2(f 的取值范围，推出)3(f 满足的条件． 解：∵,4)2(,)1(c a f c a f -=-= ∴)]1(4)2([3 1)],1()2([31 f f c f f a -=-= 故)]1(4)2([3 1)]1()2([39)3(f f f f c a f ---=-= )1(3 5 )2(38f f -= 由不等式的基本性质，得 .20)3(13040)2(38385)2(1320)1(35351)1(4≤≤-??? ?? ??? ≤ ≤-?≤≤-≤-≤? -≤≤-f f f f f 故选（C ）. 说明：（1）也可设)2()1()3(nf mf f +=，由代定系数法求得35-=m ，3 8 =n ． （2）下面的错误是值得引以为戒的∵,4)2(,)1(c a f c a f -=-= ? ?? ≤-≤-?≤≤-≤-?-≤-≤-?-≤≤-5415)2(14141)1(4c a f a c c a f 714130930≤≤?? ?? ≤-≤≤≤?≤≤?c a c a a 又 .9)3(c a f -= ∴ .26)3(7171,279030≤≤-?? ?? -≤-?≤≤≤≤?≤≤f c c a a 故选（A ） 上述推理错误产生的原因是由于将条件 ???≤≤--≤≤-5)2(11)1(4f f 化为?? ?≤≤≤≤7 13 0c a 使a 、c 的取值范围扩大所致．事实上，作为点集 与{} 7 11,30),(≤≤≤≤=a c a N 之间的关系是 N M ?/，如图点集N 是图中乱世形OABD 所围成的区域，点集M 是由平行四边形MNBP 所围成的区域，这样就直观地表现了N M ?/，揭示了上述解法的错误． 《不等式的基本性质》教案 教学目标 1、经历不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同． 2、掌握不等式的基本性质． 教学重难点 不等式的基本性质的掌握与应用． 教学过程 一、比较归纳，产生新知 我们知道，在等式的两边都加上或都减去同一个数或整式，等式不变． 请问：如果在不等式的两边都加上或都减去同一个整式，那么结果会怎样？请举几例试一试，并与同伴交流． 类比等式的基本性质得出猜想：不等式的结果不变．试举几例验证猜想． 如3＜7，3+1=4，7+1=8，4＜8，所以3+1＜7+1；3-5=-2，7-5=2，-2＜2，所以3-5＜7-5；3+a＜7+a；3＜7，3-a＜7-a等．都能说明猜想的正确性． 二、探索交流，概括性质 完成下列填空． 2＜3，2×5______3×5； 2＜3，2×(-1)______3×(-1)； 2＜3，2×(-5)______3×(-5)； 你发现了什么？请再举几例试试，与同伴交流． 通过计算结果不难发现：第一个空填“＜”，后三个空填“＞”． 得出不等式的基本性质： 不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变．不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．(通过自我探索与具体的例子使学生加深对不等式性质的印象) 三、例题解析 将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式： (1)x-5＞-1；(2)-2x＞3. 解：(1)根据不等式的基本性质1，两边都加5，得 x＞-1+5 即 x ＞4 (2)根据不等式的基本性质3，两边都除以-2，得 32 ＜-x 四、练习巩固，促进迁移 1、用“＞”号或“＜”号填空，并简说理由． ① 6+2 ______ -3+2； ② 6×(-2)______ -3×(-2)； ③ 6÷2______ -3÷2； ④ 6÷(-2)______ -3÷(-2) 2、利用不等式的基本性质，填“＞”或“＜”． (1)若a ＞b ，则2a +1 _____ 2b +1； (2)若a ＜b ，且c ＞0，则ac +c ______ bc +c ； (3)若a ＞0，b ＜0， c ＜0，(a -b )c ______ 0． 3、巩固应用，拓展研究． 按照下列条件，写出仍能成立的不等式，并说明根据． (1)a ＞b 两边都加上-4； (2)-3a ＜b 两边都除以-3； (3)a ≥3b 两边都乘以2； (4)a ≤2b 两边都加上c ． 五、课堂小结 不等式的基本性质： 不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变． 不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 学习目标 1、掌握不等式的基本性质。 2、会应用不等式的基本性质对不等式进行化简。 3、知道等式与不等式性质的联系与区别。 重点难点 重难点：不等式的性质及其应用。 学习过程 一、课前预习 1、不等式的性质1： 字母表示为：如果a＞b，那么 2、不等式的性质2： 字母表示为：如果a＞0,c＞0,那么 3、不等式的性质3： 字母表示为：如果a＞0,c＜0,那么 二、课堂研讨 （一）重点研讨 4、将下列不等式化成“χ＞a”或“χ＜a”的形式。 （1）χ+12＞6 （2）2χ＜-2 （3）χ-2＞0.9 （4）-3χ＜-6 5、思考：等式的性质和不等式的性质有什么异同？ 相同点：不同点： （二）拓展训练 6、解不等式2x—1﹤5x-5并在数轴上表示解集。 7、已知a﹥b,ac一定大于bc吗？ （三）达标测试 8、填写不等号或变形依据。 （1）∵0<1∴a a+1，依据； （2）若2x>-6，两边同除以2，得，依据；（3）若-12 x f，两边同乘以-3，得，依据。 3 9、若x>y，判断下列不等式变形是否正确，并说出你的理由。（1）x-6 （3）-2x<-2y （4）2x+1>2y+1 （5）ax>ay 三、课后巩固 10、填空 （1）∵ 2a > 3a ∴ a 是 数 （2）∵ 32 a a p ∴ a 是 数 （3）∵ax < a 且 x > 1 ∴ a 是 数 11、根据下列已知条件，说出a 与b 的不等关系，并说明是根据不等式哪一条性质。 （1）a －3 > b －3 （2） 33a b f （3）－4a > －4b 12、设m ＞n ，用“＜”或“＞”填空 ⑴m －5 n －5 ⑵m+4 n+4 ⑶6m 6n ⑷－31 m － 31 n 13、利用不等式的性质解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来。 ⑴ x －7＞26 ⑵ 3x ＜2x+1 不等式的性质和证明 一、基础知识 1．性质 对称性a＞b?b＜a 传递性a＞b，b＞c T a＞c 加法单调性a＞b T a+c＞b+c 乘法单调性a＞b，c＞0 T ac＞bc；a＞b，c＜0 T ac＜bc开方法则a＞b＞0 T移项法则a+b ＞c T a＞c－b 同向不等式相加a＞b，c＞d T a+c＞b+d 同向不等式相乘a＞b＞0，c ＞d＞0 T ac＞bd 乘方法则a＞b＞0 T a n＞b n倒数法则a＞b，ab＞0 T 2．证明方法：比较法，综合法，分析法，反证法，换元法 证明技巧：逆代，判别式，放缩，拆项，单调性 3．主要公式及解题思路 公式：a2+b2≥2ab（a，b∈R） a3+b3+c3≥3abc（a，b，c∈R+） 思路：① ② ③ ④正数x，y且x+y=1，求证：≥ 二、例题解析 1．（1）a，b∈R+且a＜b，则下列不等式一定成立的是（） A．B． C．D． （2）若0＜x＜1，0＜y＜1且x≠y，则x2+y2，x+y，2xy，中最大的一个是（） A．x2+y2B．x+y C．2xy D． （3）若a，b为非零实数，则在①a2+b2≥2ab ②≤ ③≥ ④≥2中恒成立的个数为（） A．4B．3C．2D．1 （4）下列函数中，y的最小值是4的是（） A．B．C．y= D．y=lgx+4log x10 （5）若a2+b2+c2=1，则下列不等式成立的是（） A. a2+b2+c2＞1 B.ab+bc+ca≥ C.|abc|≤ D a3+b3+c3≥ 2．（1）已知x，y∈R+且2x+y=1，则的最小值为 （2）已知x，y∈R 且x2+y2=1，则3x+4y的最大值为 （3）在等比数列{a n}和等差数列{b n}中，a1=b1＞0，a3=b3＞0，a1≠a3，试比较大小：a5b5 （4）已知a＞0，b＞0，a + b=1，则的最小值为 （5）已知：x+2y=1，则的最小值为 （6）已知：x＞0，y＞0且x+2y=4，则lg x + lg y的最大值为 （7）若x＞0，则，若x＜0，则 （8）建造一个容积为8 m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁造价分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为元。 （9）某工厂生产机器的产量，第二年比第一年增长的百分率为a，第三年比第二年增长的百分率为b，第四年比第三年增长的百分率为c，设年平均增长的百分率为P，且a+b+c 为定值，则P的最大值为 3．求证：a2+b2≥ab+a+b－1 4．已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：≥ 5．已知：a，b，c∈R+且a+b+c=1，求证： 2.1等式性质与不等式性质 (一) 1.数轴上的点与实数是一一对应的.数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数 大. 2.实数的运算性质与大小顺序之间的关系(教材中方框内的三个等价关系). 3.差值比较法比较两个实数的大小. (二) 1.掌握差值比较法. 2.会用差值比较法比较两个实数的大小. (三) 1.培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力. 2.培养学生数形结合的数学思想和灵活应变的解题能力. 3.培养学生分类讨论的数学思想和思考问题严谨周密的习惯. ●教学重点 理解在两个实数a、b之间具有以下性质：a＞b?a－b＞0；a＝b?a－b＝0；a＜b?a －b＜0.这是不等式这一章内容的理论基础，是不等式性质证明、证明不等式和解不等式的主要依据. ●教学难点 比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号(注意是指差的符号，至于值是多少，在这里无关紧要).差值比较法是比较实数大小的 基本方法，通常的步骤是：作差→变形→判断差值的符号. ●教学方法 ●教具准备 投影片两张. ●教学过程 Ⅰ.课题导入 在客观世界中，不等关系具有普遍性、绝对性，是表述和研究数量取值范围的重要工具.研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式.实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章内容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据.因此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系. Ⅱ. (一)打出投影片§6.1.1 A ［师］数轴的三要素是什么? ［生］原点、正方向、单位长度. ［师］把下列各数在数轴上表示出来，并从小到大排列： 213-,5-,0,-4,2 3 ［生］ ∴213-＜-4＜0＜2 3＜｜－５｜. ［师生共析］在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大. (二)请同学们预习课本，(教师打出投影片§6.1.1 A ，§６.1.1 B)，在解决了投影片 §６.1.1 A 问题基础上解决下列问题： ［师］若a ＞b ，则a －b 0；若a ＝b ，则a －b 0；若a ＜b ，则a －b 0. ［生］若a ＞b ，则a －b ＞0；若a ＝b ，则a －b ＝0；若a ＜b ，则a －b ＜0，反之亦然. ［师］“a ＞b ”与“a －b ＞0”等价吗? ［生］显然，“a ＞b ”与“a －b ＞0”等价. ［师生共析］ 此等价关系提供了比较实数大小的方法：即要比较两个实数的大小，只要考查它们的差就可以了. (三) ［例1］比较(a ＋3)（a －５）与（a ＋2）（a －4）的大小. ［师］比较两个实数a 与b 的大小，可归纳为判断它们的差a －b 的符号(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要).由此，把比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题. 本题知识点：整式乘法，去括号法则，合并同类项. ［生］由题意可知： （a ＋3）（a －５）－（a ＋2）（a －4） ＝（a 2－2a －1５）－（a 2－2a －８） ＝－７＜0 ∴（a ＋3）（a －５）＜（a ＋2）（a －4） ［例2］已知x ≠0，比较（x 2＋1）2与x 4＋x 2＋1的大小. ［师］同例1方法类似，学生在理解基础上作答. 本题知识点：乘法公式，去括号法则，合并同类项. ［生］由题意可知： （x 2＋1）2－（x 4＋x 2＋1） ＝（x 4＋2x 2＋1）－（x 4＋x 2＋1） ＝x 4＋2x 2＋1－x 4－x 2－1 ＝x 2 《 等式性质与不等式性质》 1、知识与技能 （1）能用不等式 (组)表示实际问题的不等关系； （2）初步学会作差法比较两实数的大小； （3）掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题. 2、过程与方法 使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系；以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系. 3、情感态度与价值观 通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量. 【教学重点】 能用不等式(组)表示实际问题的不等关系， 会作差法比较两实数的大小 ，通过类比法，掌握不等式的基本性质. 【教学难点】 运用不等式性质解决有关问题. （一）新课导入 用不等式(组)表示不等关系 中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功.我们知道,它的飞行速度(v )不小于第一宇宙速度(记作2v ),且小于第二宇宙速度(记 1v ). 12v v v ≤< （二）新课讲授 问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗 （1）某路段限速40km /h ； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于%，蛋白质的含量p 应不少于%； （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为vkm /h ，“限速40km /h ”就是v 的大小不能超过40，于是0＜v ≤40. 对于(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于%，蛋白质的含量p 应不少于%. 2.5%2.3% f p ≥??≥? 对于（3），设△ABC 的三条边为a ，b ，c ，则a +b ＞c ，a -b ＜c . 对于（4），如图，设C 是线段AB 外的任意一点，CD 垂直于AB ，垂足 为D ，E 是线段AB 上不同于D 的任意一点，则CD ＜CE . 以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式图接着， 就可以用不等式研究相应的问题了 问题2:某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元 解：提价后销售的总收入为错误!x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 不等式的基本性质知识点 不等式的基本性质知识点 1．不等式的定义：a-b>0a>b, a-b=0a=b, a-b<0a<b。 ① 其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。 ②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。 作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。 如证明y=x3为单增函数， 设x1, x2∈(-∞,+∞), x1<x2， f(x1)-f(x2)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1x2+x22)=(x1-x2)[( x1+)2 +x22] 再由(x1+)2+x22>0, x1-x2<0,可得f(x1)<f(x2), ∴ f(x)为单增。 2．不等式的性质： ① 不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。 不等式基本性质有： (1) a>bb<a (对称性) (2) a>b, b>ca>c (传递性) (3) a>ba+c>b+c (c∈R) (4) c>0时，a>bac>bc c<0时，a>bac<bc。 运算性质有： (1) a>b, c>da+c>b+d。 (2) a>b>0, c>d>0ac>bd。 (3) a>b>0an>bn(n∈N, n>1)。 (4) a>b>0>(n∈N, n>1)。 应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。 ② 关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题： (1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。 (2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。 (3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。 “不等式的性质”的教学设计 07990201 侯志静 综合理科072班 一、课标分析 数学新课程标准提到：要注重提高学生的数学思维能力，即“在学生学习数学运用数学解决问题时，应经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程”。笔者在认真学习领会新课程标准的基础上，在《不等式的性质》教学设计中大胆探索归纳式学习方法、勇于实践探究式教学方法，以取得更好的教学效果。二、教材分析 （1）本节内容是七年级下第九章《不等式和不等式组》中的重点部分，是不等式的第一节课，由于学生是第一次接触不等式，故此节课应该是在加深对不等式的认识的基础上，着重探究不等式的性质，了解一般不等式的解与解集以及解不等式的概念。 （2）不等式的性质是后继深入学习一元一次不等式组以及解决与不等式有关问题的基础和依据。教材中列举了不等式的三条基本性质定理,这三条性质不等式的最基本、也是最重要的性质，不仅要掌握它们的内容、理解掌握它们成立的条件、把握它们之间的联系,还要对这些性质进行拓展探究。 （3）不等式的性质是培养学生数学能力的良好题材，学习不等式，要经常用到观察、分析、归纳、猜想、迭代的思想，还要综合运用前面的知识解决不等式中的一些问题，这些都有助于学生数学能力的提高。本节内容安排上难度和强度不高，适合学生讨论，可以充分开展合作学习，培养学生的合作精神和团队竞争的意识。 （4）本章的知识定位与传统教材有些不同，在这套教材中，前面已经介绍了一元一次方程、一次函数及二元一次方程组的内容，现在再学习一元一次不等式和一元一次不等式组已是顺理成章的了，但是知识体系的变化会引起对不等式整个内容的理解与把握上的不同，相应问题的难度与函数、方程的综合程度会有所加大，并且突出由一些具体的实际问题抽象为不等关系模型的过程，让学生体会 要点重温之不等式的性质与证明 1．在不等式两边非负的条件下能同时平方或开方，具体的：当a>0,b>0时，a>b ?a n >b n ； 当a<0,b<0时，a>b ?a 2b 2?|a|>|b|。在不等式两边同号的条件下能同时取倒数，但不等号的方向要改变，如：由 x 1<2推得的应该是：x>21或x<0，而由x 1>2推得的应该是： 0 9.1.2 不等式的性质 三维目标知识与技能 1、理解掌握不等式的性质； 2、会解决简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集。 过程与方法 经历通过类比、猜测、验证发现不等式性质的探索过程，初步体会 不等式与等式的异同，初步掌握类比的思想方法。 情感与态度通过创设问题情境和实验探究活动，积极引导学生参与数学活动，提高学习数学的兴趣，增进学习数学的信心，体会在解决问题的过 程中与他人交流合作的重要性。 教学重点：理解并掌握不等式的性质及运用； 教学难点：不等式性质3的探索及正确运用不等式的性质； 教学方法与手段：启发、讨论、探究 教学过程： 一、情境创设 复习回顾： 等式有哪些性质？ 导入新课： ①给不平衡的天平两边同时加入相同质量的砝码，天平会有什么变化？ ②不平衡的天平两边同时拿掉相同质量的砝码，天平会有什么变化？ ③如果对不平衡的天平两边砝码的质量同时扩大相同的倍数，天平会平衡吗？缩小相同的倍数呢？ 二、自主探究 探究活动一 （一）探究不等式的性质 问题1 用“＞”或“＜”填空． ①－1 < 3 －1＋2 3＋2，－1－3 3－3 ②5 >3 5＋a 3+a ，5－a 3－a ③ 6 > 2 6×5 2×5 ，6×（－5） 2×（－5） ④－2 < 3 （－2）×6 3×6 （－2）×（－6） 3×（一6） ⑤－4 ＞－6 （－4）÷2 （－6）÷2 （－4）÷（－2）（－6）÷（－2） 问题2 从以上练习中，你发现了什么规律？请你再用几个例子试一试，还有类似的结论吗？请把你的发现告诉同学们并与他们交流． 问题3 你能用式子表示不等式的三条性质吗？ 【板书如下： （1）若a >b ，则a+c > b+c ,a-c >b-c ； （2）若a >b ，且c>0,则ac >bc ，a/c >b/c ； （3）若a >b ，且c<0,则ac 1.1 课时1 不等式的基本性质 一、教学目标 （一）核心素养 在回顾和复习不等式的过程中，对不等式的基本性质进行系统地归纳整理，并对“不等式有哪些基本性质和如何研究这些基本性质”进行讨论，使学生掌握相应的思想方法，以提高学生对不等式基本性质的认识水平. （二）学习目标 1.理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础. 2.掌握不等式的基本性质，并能加以证明. 3.会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法. （三）学习重点 应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明. （四）学习难点 灵活应用不等式的基本性质. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 （1）读一读：阅读教材第2页至第4页，填空： a b >? a b =? a b >?> ②a c b c a b +>+?> ③ac bc a b >?> ④33a b a b >?> ⑤22a b a b >?> ⑥,a b c d ac bd >>?> 2.预习自测 （1）当x ∈ ，代数式2(1)x +的值不大于1x +的值. 【知识点】作差比较法 【解题过程】2(1)(1)x x +-+=2(1)x x x x -=- 【思路点拨】熟悉作差比较法 【答案】[0,1] （2）若c ∈R ，则22ac bc > a b > A.? B.? C.? D.≠ 【知识点】不等式的基本性质 【解题过程】由22ac bc >，得0c ≠，所以20c >；当,0a b c >=时，22ac bc =. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质 【答案】A. （3）当实数,a b 满足怎样条件时，由a b >能推出 11a b ，所以当0ab >时，11a b <. 【思路点拨】掌握作差比较法 【答案】当0ab >时， 11a b <. (二)课堂设计 1.问题探究 探究一 结合实例，认识不等式 ●活动① 归纳提炼概念 人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的. 【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程. ●活动② 认识作差比较法 关于实数,a b 的大小关系，有以下基本事实： 如果a b >，那么a b -是正数；如果a b =，那么a b -等于零；如果a b <，那么a b -是负数.反过来也对. 这个基本事实可以表示为：0;0;0a b a b a b a b a b a b >?->=?-= 11.3不等式的性质 教学目标 知识性目标： 1．掌握不等式的两条基本性质，并能熟练的应用不等式的性质进行不等式的变形； 2．理解不等式的基本性质与等式的基本性质之间的区别. 过程性目标 在积极参与探索、发现不等式基本性质的过程中，体会不等式的两条基本性质的作用和意义，培养学生探索数学问题的能力. 情感态度目标 1．通过学生的自主讨论培养学生的观察力和归纳的能力； 2．通过学生的讨论使学生进一步体会集体的作用，培养其集体合作的精神. 重点和难点 重点：掌握不等式的两条基本性质，尤其是不等式的基本性质2； 难点：正确应用不等式的两条基本性质进行不等式的变形. 一、创设情境 问：在解一元一次方程时，我们主要是对方程进行变形，那么方程变形主要有哪些？ 答：去分母、移项、系数化为1. 问：这些解法具体步骤的主要依据是等式的两条基本性质. 等式基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式； 等式基本性质2：等式的两边都乘以或除以同一个数不等于0的数，所得的结果仍是等式 探索1： （1）请同学们观察：电梯里两人身高分别为：a米、b米，且a＞b，都升高6米后的高度后的不等式关系：a＋6＞b＋6；同理：a－3 b－3（填写“＜”、“＞”号) （2）实物演示：一个倾斜的天平两边分别放有重物，其质量分别为a和b（显然有a＞b）,如果在两边盘内再分别加上等量的砝码c，那么盘子会出现什么情况？ 可让学生进行操作，并得出结论：盘子仍然像原来那样倾斜（即a+c＞b+c）. a＞b ?a+c＞b+c. 归纳1: 教师在学生得出结论的前提下总结： 不等式的性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变. 用数学式了表示： 如果a＞b,那么a+c＞b+c，a-c＞b-c. 探索2： 问题：如果不等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的数,不等号的方向是否也不变呢？ 将不等式7＞4两边都乘以同一个数，比较所得数的大小，用“＞”，“＜”或“＝”填空： 7×3 ______4×3， 7×2 ______4×2 ， 7×1______ 4×1， 高中数学知识要点重温（11）不等式的性质与证明 1．在不等式两边非负的条件下能同时平方或开方，具体的：当a>0,b>0时，a>b ?an>bn ； 当a<0,b<0时，a>b ?a2 2．2不等式的基本性质 1．理解并掌握不等式的基本性质；(重 点) 2．能够运用不等式的基本性质解决问 题．(难点) 一、情境导入 小刚的爸爸今年32岁，小刚今年9岁， 小刚说：“再过24年，我就比爸爸年龄大 了”．小刚的说法对吗？为什么？ 二、合作探究 探究点一：不等式的基本性质 【类型一】根据不等式的基本性质判 断大小 已知a＜b，用不等号填空： (1)a＋3________b＋3； (2)－ a 4________－ b 4； (3)3－a________3－b. 解析：(1)两边都加3，a＋3＜b＋3，(2) 两边都除以－4，－ a 4>－ b 4，(3)两边都乘－1， －a＞－b，两边都加3，3－a＞3－b.故答案 为：＜，＞，＞. 方法总结：不等式的基本性质是不等式 变形的重要依据，关键要注意不等号的方 向．性质1和性质2类似于等式的性质，但 性质3中，当不等式两边乘或除以同一个负 数时，不等号的方向要改变． 【类型二】判断变形是否正确 已知a＞b，则下列不等式中，错 误的是() A．3a＞3b B．－ a 3<－ b 3 C．4a－3＞4b－3 D．(c－1)2a＞(c－ 1)2b 解析：A.在不等式a＞b的两边同时乘 以3，不等式仍成立，即3a＞3b，故本选项 正确；B.在不等式a＞b的两边同时除以－3， 不等号方向改变，即－ a 3<－ b 3，故本选项正 确；C.在不等式a＞b的两边同时先乘以4、 再减去3，不等式号方向不变，即4a－3＞ 4b－3，故本选项正确；D.当c－1＝0，即c ＝1时，该不等式不成立，故本选项错误； 故选D. 方法总结：“0”是很特殊的一个数，因 此，解答不等式的问题时，应密切关注“0” 存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的 基本性质：(1)不等式两边加(或减)同一个数 (或式子)，不等号的方向不变；(2)不等式两 边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不 变；(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数， 不等号的方向改变． 探究点二：不等式性质的运用 【类型一】把不等式化成“x＞a”或 “ x＜a”的形式 把下列不等式化成“x＞a”或 “x＜a”的形式． (1)2x－2<0； (2)3x－9<6x； (3) 1 2x－2＞ 3 2x－5. 解析：根据不等式的基本性质，把含未 知数的项放到不等式的左边，常数项放到不 等式的右边，然后把系数化为1. 解：(1)根据不等式的基本性质1，两边 都加上2得2x<2.根据不等式的基本性质2， 不等式的概念和基本性质 重点：不等式的基本性质 难点：不等式基本性质的应用 主要内容： １．不等式的基本性质 （１）a>b bb,b>c a>c （３）a+b （３）若a 课题 §1.2 不等式的基本性质 教学目标 知识与能力：1.探索并掌握不等式的基本性质； 2. 运用不等式的基本性质将不等式变形。 方法与过程：通过对比不等式的性质和等式的性质，培养学生的求异思维，提高学生的辨别能力. 情感态度与价值观：通过大家对不等式性质的探索，培养学生的钻研精神，同 时还加强了同学间的合作与交流. 教学重点：掌握不等式的基本性质并能正确运用将不等式变形 教学难点：不等式基本性质3的运用 教学方法：类推探究法 教具准备：小黑板 教学过程 Ⅰ.复习回顾，导入新课 等式的基本性质 等式的基本性质1：等式两边同时加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式. 等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式. 不等式与等式只有一字之差，那么它们的性质是否也有相似之处呢？本节课我们将加以验证. Ⅱ.新课讲授 1.不等式基本性质的推导 （1）提问1：如果在不等式的两边都加或减同一个整式，不等号的方向会怎么样？ 举例说明3＜5 3+2＜5+2 3－2＜5－2 3+5＜5+5 3－5＜5－5 3+a＜5+a 3－a＜5－a 3+ a+b ＜5+ a+b 3－(a+b) ＜5－( a+b) 不等式的基本性质1：不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变。 很好，不等式的这一条性质和等式的性质相似。下面继续进行探究。 （2）提问2如果在不等式的两边都乘同一个数，不等号的方向会怎么样？ 学生独立完成做一做，小组互相讨论总结 2<3; 2÷51=2×5<3×5=3÷5 1； 2÷2=2×21<3×21=3÷2; 2÷（-1）=2×(-1)>3×(-1)=3÷（-1）; 2÷（51-）=2×(-5)>2×(-5)=3÷（51-）; 2÷（-2）=2×(21-)>3×(2 1 -)=3÷（-2）； （3）如果在不等式的两边都除以同一个数，不等号的方向会怎么样？ （乘一个不为0的数等于除以这个数的倒数） 不等式的基本性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变 。 不等式的基本性质3：不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变 。 2.火眼金睛 （1）已知x ＞y,填空： x －6__y －6； 3x__3y ； －2x__－2y ； 2x+1__2y+1； （2）用不等式的基本性质解释π 42 l ＞162l 的正确性 解：∵ π41＞16 1 根据不等式的基本性质2，两边都乘以l 2得 ∴π42l ＞16 2 l 所以我们进一步验证了上节课的猜想，无论绳长L 取何值，圆的面积总大于正方形的面积。 第六章不等式 在日常生活和生产实践中，我们经常会遇到这样一些问题： 1．小丽的家离学校a km，如果步行速度为b km / h ，为了保证上午八点钟以前到校，小丽最晚什么时候出发？ 2．为什么用相同材料做成圆柱型的容器比做成棱柱型的容器的容积大？ 在这两个问题中，前者是解不等式问题，后者是证明不等式问题，但它们的解决都离不开不等式知识和方法的系统掌握。 自然界中的等量关系是相对的，而不等量关系是绝对的，不等量关系比等量关系的存在更具有普遍性，所以不等关系的研究具有重要的意义，在中学数学中是重要的内容。本章将在前面学过的一元一次不等式、一元二次不等式和含绝对值的不等式的解法的基础上，进一步学习不等式的概念、不等式的性质、不等式的证明和一些简单不等式的解法。 §6.1不等式的性质 【学习目标要求】 1．运用数形结合的观点，认识实数顺序的规定，掌握判断两个实数大小的充要条件。 2．理解不等式的重要性质，掌握这些性质的证明方法。 3．会用不等式的性质解决一些简单问题。 【基础知识导学】 1．不等式的定义 用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式。 说明：（1）不等号的种类：＞、＜、≥（≮）、≤（≯）、≠。 （2）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等） （3）不等式研究的范围是实数集R。 2．判断两个实数大小的充要条件 对于任意两个实数a、b，在a＞b，a= b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立。判断两个实数大小的充要条件是 a＞b ? a - b＞0 a= b ? a - b = 0 a＜b ? a - b＜0 由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了，这好比站在同一水平面上的两个人，只要看一下他们的差距，就可以判断他们的高矮了。 课 题：2.1-不等式的基本性质(2课时) 教学目标： 1. 掌握作差比较大小的方法，并能证明一些不等式。 2. 掌握不等式的性质，掌握它们的证明方法及其功能，能简单运用。 3. 提高逻辑推理和分类讨论的能力；培养条理思维的习惯和认真严谨的学习态度。 教学重点：作差比较大小的方法；不等式的性质。 教学难点：不等式的性质的运用 教学过程： 第1课时： 问题情境：现有A 、B 、C 、D 四个长方体容器，A 、B 容器的底面积为a 2，高分别为a 、b ， C 、 D 容器的底面积为b 2，高分别为a 、b ，其中a ≠b 。甲先从四个容器中取两个容器盛水，乙用剩下的两个容器盛水。问如果你是甲，是否一定能保证两个容器所盛水比乙的多？ 分析：依题意可知：A 、B 、C 、D 四个容器的容积分别为a 3、a 2b 、ab 2、b 3，甲有6种取 法。问题可以转化为比较容器两两和的大小。 研究比较大小的依据： 我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的。在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大。 在右图中，点A 表示实数a ，点B 表示实数b ， 点A 在点B 右边，那么a ＞b 。 而a －b 表示a 减去b 所得的差，由于a ＞b ，则差是一个正数，即a －b ＞0。 命题：“若a ＞b ，则a －b ＞0”成立；逆命题“若a －b ＞0，则a ＞b ”也正确。 类似地：若a ＜b ，则a －b ＜0；若a ＝b ，则a －b ＝0。逆命题也都正确。 结论：(1)“a ＞b ”?“a －b ＞0” (2)“a ＝b ”?“a －b ＝0” (3)“a ＜b ”?“a －b ＜0”——以上三条即为比较大小的依据：“作差比较法”。 正负数运算性质：(1) 正数加正数是正数；(2) 正数乘正数是正数；(3) 正数乘负数是负数； (4) 负数乘负数是正数。 研究不等式的性质： 性质1：若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c (不等式的传递性) 证明：∵a ＞b ∴a －b ＞0 ∵b ＞c ∴b －c ＞0 ∴(a －b)＋(b －c)＝a －c ＞0 (正负数运算性质) 则a ＞c 反思：证明要求步步有据。 x 课 题：2.1不等式的性质--比较实数大小的方法 教学目的：1.了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用； 2.掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小． 教学重点：比较两实数大小． 教学难点：差值比较法：作差→变形→判断差值的符号 授课类型：新授课 教学过程： 一、引入： 人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章内容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系 生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢? 转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么? 分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>a b 即可?引人课题 二、讲解新课： 1．不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式． 2．判断两个实数大小的充要条件 对于任意两个实数a 、b ，在a ＞b ，a= b ，a ＜b 三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是： 0>-?>b a b a 0=-?=b a b a 0<-?x 从而22)1(+x >124++x x 引伸：在例2中，如果没有x ≠0这个条件，那么两式的大小关系如何? 若没有 0≠x 这一条件,则20x ≥,从而 22)1(+x 大于或等于 124++x x鲁教版七年级数学下册 不等式的基本性质教案
不等式的性质教案1
不等式的性质和证明
2.1 等式性质与不等式性质
人教A版新课标高中数学必修一教案-《等式性质与不等式性质》
不等式的基本性质知识点
不等式的性质的教学设计
高中数学知识点总结不等式的性质与证明
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人教课标版高中数学选修4-5：《不等式的基本性质》教案(1)-新版
苏教版七年级数学下册11.3不等式的性质公开课优质教案(2)
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1不等式的性质--比较实数大小的方法
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