不等式的概念和基本性质
重点：不等式的基本性质
难点：不等式基本性质的应用
主要内容：
１．不等式的基本性质
（１）a>b b （２）a>b,b>c a>c （３）a+b a>b a+c>b+c （４）a>b ２．不等式的运算性质 （１）加法法则：a>b,c>d a+c>b+d （２）减法法则：a>b,c>d a-d>b-c （３）乘法法则：a>b>0,c>d>0ac>bd>0 （４）除法法则：a>b>0,c>d>0>>0 （５）乘方法则：a>b>0,a n>b n>0 (n∈N, n≥2) （６）开方法则：a>b>0,>>0(n∈N, n≥2) ３．基本不等式 （１）a∈R,a2≥0 （当且仅当a=0时取等号） （２）a,b∈R,a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取等号） （３）a,b∈R+,≥（当且仅当a=b时取等号） （４）a,b,c∈R+,a3+b3+c3≥3abc（当且仅当a=b=c时取等号） （５）a,b,c∈R+,≥（当且仅当a=b=c时取等号） （６）|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b| ４．不等式的概念和性质是进行不等式的变换，证明不等式和解不等式的依据，应正确理解和运用不等式的性质，弄清每条性质的条件与结论，注意条件与结论之间的关系。基本不等式可以在解题时直接应用。 例１．对于实数a,b,c判断以下命题的真假 （１）若a>b, 则ac （３）若a （５）若a>b, >, 则a>0, b<0． 解：（１）因为c的符号不定，所以无法判定ac和bc的大小，故原命题为假命题。 （２）因为ac2>bc2, 所以c≠0, 从而c2>0，故原命题为真命题。 （３）因为所以a2>ab① 又所以ab>b2② 综合①②得a2>ab>b2 故原命题为真命题． （４）两个负实数，绝对值大的反而小．故原命题为真命题． （５）因为所以 所以从而ab<0 又因a>b所以a>0, b<0． 故原命题为真命题． 例２．已知f(x)=ax2-c且-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5, 求f(3)的范围． 解：由题意可知：∴ ∴f(3)=9a-c=f(2)-f(1)∴运算可知-1≤f(3)≤20 错解：依题设有①消元，得② ∵f(3)=9a-c∴-7≤f(3)≤26 错因：根源在于不等式组①与不等式组②并不等价，不等式组②扩大了不等式组①的解的范围，同向不等式在多次相加时要谨慎，一定要检查其同解性． 例３．设a,b是不相等的正数：A=, G=, H=, Q=, 试比较Ａ、Ｇ、Ｈ、Ｑ的大小． 解：由于a,b为不相等的正数． 所以：G-H=-=- == =>0 从而H A-G=-==>0 从而G Q-A=－=－ ＞－＝０从而A 综上所述，当a, b为不相等的正实数时，H （１）求证：在与之间；（２）问与哪一个更接近？ 证明：（１）由于(－)(－) =－(＊) ∵a≠b 所以（＊）式的值小于０ 从而在与之间 解（２）由于|-|=|a-b| ||=|a-b| ∵＞＞ ∵|a-b|>|a-b| 故而更接近 例５．船在流水中在甲地和乙地间来回驶一次平均速度和船在静水中的速度是否相等，为什么？ 解：设甲、乙两地的距离为Ｓ，船在静水中的速度为u，水流速度为v（u>v>0）则船在甲、乙两地行驶的时间t为： t=+=平均速度== ∵-u=-u==<0∴ 从而船在流水中来回一次的平均速度小于船在静水中的速度． 练习 １．若a,b,c为实数，判断下列命题的真假 （１）若a>b, 则ac2>bc2；（２）若a （３）若a ２．设x,y∈R，判定下列两题中，命题甲与命题乙的充分必要条件． （１）命题甲命题乙（２）命题甲命题乙 ３．a∈R，试比较3(1+a2+a4)与(1+a+a2)2的大小． ４．a>1, m>n>0，比较a m+和a n+的大小． ５．已知函数y=f(x), x∈R满足 （１）对x∈R，都有f(x)≥2；（２）对x1∈R，x2∈R, 都有f(x1+x2)≤f(x1)f(x2) 求证：对任意实数x1, x2，都有：lgf(x1+x2)≤lgf(x1)+lgf(x2) 参考答案 １．解（１）∵c2≥0，当c=0时ac2=bc2=0故原命题为假命题 （２）举特例-2<-1<0但->-1故原命题为假命题 （３）由于a 故原命题为假命题 （４）∵a 又∵a>b>0 ∴＞故原命题为真命题． ２．解（１）当x>0, y>0时，很明显x+y>0, xy>0 当xy>0时，x,y同号；又x+y>0，可知x, y同正，即x>0, y>0． 因此：命题甲是命题乙的充要条件． （２）∵x>2>0，y>2>0∴x+y>4, xy>4 但是： 反例如下：x=5, y=1, 这时x+y=6>4, xy=5>4, 但x>2, y<2 因此：命题甲是命题乙的充分但不必要条件． ３．解：3(1+a2+a4)(1+a+a2)2 =3+3a2+3a4-(1+a2+a4+2a+2a3+2a2)=2a4-2a3-2a+2 =2(a-1)2(a2+a+1)≥0∴3(1+a2+a4)≥(1+a+a2)2 ４．解：∵(a m+)-(a n+)=(a m-a n)+()= 由a>1, m>n>0可知a m>a n,a m+n>1 ∴(a m+)-(a n+)>0即：a m+>a n+ ５．证明：设x1∈R，x2∈R． ∵f(x1)f(x2)-[f(x1)+f(x2)]＝f(x1)[-1]+f(x2)[-1] ∵对任意x∈R f(x)≥2 ∴-1≥0-1≥0∴f(x1)f(x2)≥f(x1)+f(x2) 再由条件（２）f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2)∴对任意实数x1∈R x2∈R有： f(x1+x2)≤f(x1)·f(x2)∴lgf(x1+x2)≤lgf(x1)f(x2)=lgf(x1)+lgf(x2) 从而对任意实数x1∈R，x2∈R有：lgf(x1+x2)≤lgf(x1)+lgf(x2) 不等式综合能力测试 一、选择题： 1．设I=R，集合M={x|lg(x+1)≤0},则等于（） A、(-∞,-1)∪(0,+∞) B、(-∞,0] C、(-∞,-1)∪[0,+∞) D、(-∞,0) 2．若函数y=lg[1+(1+log2x)]的值域为R+，则其定义域为（） A、R+ B、(1,+∞) C、(,+∞) D、(,1) 3．使方程cos2x+sinx=a有实数解的a的取值范围是（） A、(-∞, B、[-1,] C、[0,] D、[-2,] 4．已知函数：(1) y=x+(x≠0), (2)y=cosx+(0 (3)y=(x+8x+)(x>0), (4) y=(1+cotx)(+2tgx)(0 A、0 B、1 C、2 D、3 5．如果a>b>c，则有（） A、|a|>|b|>|c| B、|a|<|b|<|c| C、|a-c|>|c-b| D、|a+b|>|b+c| 6．不等式≥x+1的解集是（） A、{x|-1≤x≤1} B、{x|0≤x≤1} C、{x|x≤-1} D、{x|-1≤x≤0) 二、填空题 7．已知a、b、c∈R+，且a+b+c=1, 则的最小值是____________. 8．log a(1+a)与log a(1+) (a>0且a≠1)的大小关系是____________. 9．设x>0, 则函数y=+x2, 当x=_______时，有最小值__________. 10．不等式lg(x2+2x+2)<1的解集是______________. 11．函数y=+arcsin(2x-3)的定义域为___________. 12．不等式x>|2-|的解集是___________. 三、解答题 13．解不等式<0. 14．如果0 15．解不等式+>0. 16．已知|a|<1, |b|<1, |c|<1, 求证：||<1. 17．若xy=100, x≥, y≥, 求lg(y lgx)的最大值和最小值. 18．轮船航行的费用分为两部分，第一部分是轮船的折旧费或其它服务费用，每小时480元；第二部分为燃料费，它与速度的立方成正比.并且当速度为10公里/小时时，燃料费为每小时30元.问航行速度为多少时，才能使航行每公里的费用最小？并求出这个最小值，此时每小时的费用总和多少？ 答案： 1.A 2.D 3.D 4.A 5.C 6.D 7.9 8. log a(1+a)>log a(1+) 9. 10. {x|-4 13. 由或 解得原不等式的解集为｛x|x<0或1 14．假设(1-a)b, (1-b)c, (1-c)a同大于，∴ abc(1-a)(1-b)(1-c)>()3 (1) 又a(1-a)≤()2=, 即a(1-a)≤,同理b(1-b)≤, c(1-c)≤,∴ abc(1-a)(1-b)(1-c)≤()3 (2) (1)与(2)矛盾，所以结论成立. 15．设x=tanα (-90?<α<90?),则=sinα, =cos2α,原不等式化为sinα+cos2α>0, 即2sin2α-sinα-1<0, ∴ - 16．||<1?<1?a2+b2+c2+a2b2c2<1+a2b2+b2c2+c2a2?(1-a2)(1-b2)(1-c2)>0,即原不等式成立. 17．设M=lg(y lgx)=lgx·lgy,∵x≥, y≥, ∴ lgx>0, lgy>0∴ M≤()2=()2=1, 当x=y=10时等号成立，又xy=100, ∴ lgx+lgy=2∴M=-(lgx-1)2+1, 由x≥, y≥,得lgx≥, lgy≥,∴ lgx∈[, ] 当lgx=或lgx=时，M有最小值， 故lg(y lgx)的最大值为1，最小值为. 18．设每小时的费用总和为t元，航行速度为x公里/小时，∴t=kx3+480(x≥0), 由已知得103k=30得k=, 即t=x3+480, 设每公里的航行费用为y元，得y=(x3+480)=x2++≥3=36，当x=20时取等号， 答（略）. 《一元一次不等式组》说课稿 说课内容:《一元一次不等式组》 教材分析: 上节课学习了一元一次不等式，知道了一元一次不等式的有关概念，本节主要学习一元一次不等式组及其解集，这是学好利用一元一次不等式组解决实际问题的关键，同时要求学生会用数轴确定解集。并且本课也通过一元一次不等式，一元一次不等式的解集，解不等式的概念来类推学习一元一次不等式组的一些概念，尝试对学生类比推理能力进行培养。在情感态度、价值观方面要培养学生独立思考的习惯，也要培养学生的合作交流意识与创新意识，为学生在今后生活和学习中更好运用数学作准备。 教学重点：1、理解有关不等式组的概念。 2、会解由两个一元一次不等式组成的不等式组。 教学难点：在数轴上确定解集。 教学难点突破办法： 一般由两个一元一次不等式组成的不等式组由四种基本类型构成，它们的解集、数轴表示，学生很难确定，用顺口溜的方式解决问题，即：大大取大；小小取小；比小大，比大小，中间找；比小小，比大大，解不了（无解）。 学生分析： 学生已经学习了一元一次不等式，并会解简单的一元一次不等式，知道了用数轴表示一元一次不等式的解集分三步进行：画数轴、定界点、走方向。本节我们要学习一元一次不等式组，因此由一元一次不等式猜想一元一次不等式组的概念学生易于接受，同时能更好的培养学生的类比推理能力。本节所选例题也真正的实现了低起点小台阶，循序渐进，能使学生更好的掌握知识。 教学方法： 1、采用复习法查缺补漏，引导发现法培养学生类比推理能力，尝试指导法逐步培养学生独立思考能力及语言表达能力。充分发挥学生的主体作用，使学生在轻松愉快的气氛中掌握知识。 2、让学生充分发表自己的见解，给学生一定的时间和空间自主探究每一个问题，而不是急于告诉学生结论。 3、尊重学生的个体差异，注意分层教学，满足学生多样化的学习需要。 学习方法： 1、学生要深刻思考，把实际问题转化为数学模型，养成认真思考的好习惯。 2、学生做题要紧扣不等式基本性质，特别是不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，要认真检查不等号的方向是否正确。 3、合作类推法：学习过程中学生共同讨论，并用类比推理的方法学习。 教学步骤设计如下： （一）创设问题情境，引入新课： 让学生从字面上来推断一下一元一次不等式和一元一次不等式组之间是否存在一定的关系。并由验证猜想是否正确引人课题。 学生活动：猜想和推断一元一次不等式和一元一次不等式组的关系。 （二）讲授新课 1、想一想： 出示一个实际问题，请大家先理解题意，搞清已知条件和未知元素，从而确定用那个知识点来解决问题，即把实际问转换为数学模型，从而求解。通过学生的分析和解答，让学生根据一元一次不等式的有关概念来类推一元一次不等式组的有关概念。 学生活动：找出已知条件，列出所有的不等关系。互相讨论，类推概念。 不等式的基本性质知识点 不等式的基本性质知识点 1．不等式的定义：a-b>0a>b, a-b=0a=b, a-b<0a<b。 ① 其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。 ②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。 作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。 如证明y=x3为单增函数， 设x1, x2∈(-∞,+∞), x1<x2， f(x1)-f(x2)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1x2+x22)=(x1-x2)[( x1+)2 +x22] 再由(x1+)2+x22>0, x1-x2<0,可得f(x1)<f(x2), ∴ f(x)为单增。 2．不等式的性质： ① 不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。 不等式基本性质有： (1) a>bb<a (对称性) (2) a>b, b>ca>c (传递性) (3) a>ba+c>b+c (c∈R) (4) c>0时，a>bac>bc c<0时，a>bac<bc。 运算性质有： (1) a>b, c>da+c>b+d。 (2) a>b>0, c>d>0ac>bd。 (3) a>b>0an>bn(n∈N, n>1)。 (4) a>b>0>(n∈N, n>1)。 应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。 ② 关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题： (1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。 (2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。 (3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。 环球雅思教育学科教师讲义 年级：上课次数： 学员姓名：辅导科目：学科教师： 课题 课型□预习课□同步课复习课□习题课 授课日期及时段 教学内容? 【基础知识网络总结与新课讲解】 知识点一、不等式的有关概念: 1.不等式的概念：用不等号把两个代数式连接起来,表示不等关系的式子,叫做不等式。 注意：常见的不等号有五种：“≠”、“＞”、“<”、“≥”、“≤”． 例1.请指出下列各式哪些是不等式:①x＋y=y+ｘ②4+x＞5③-3＜０④a＋b≤ｃ+ｂ⑤ａ≠0⑥２ｘ-7=5x+4 例2.列出表示下列各数量关系的不等式：（1)a是正数；(2）y与２的差是非负数;(３）ａ与6的和大于7；（4)y的一半不小于3;(5)8与x的３倍的和不大于1。 提示:注意一个数的＂和"，"差"，＂倍","分＂的表示法以及＂大于＂，＂不小于","不大于"应该用哪一个不等号来表示，另外。正数都大于0,负数都小于0，所以"是正数"可表示为"＞0"，"是负数＂可表示为"＜0"，"非负数＂可表示为"≥０"。?参考答案: （1）a＞0 (2)y-２≥0 （3)a+6>７ (４）≥３（５)8+3ｘ≤1 ,+ 4,－４，４.5?提示:把下列各值分别代入不等式的左边计算２ｘ+1 2.5 ,- - 1,0,3 立?? 的值,若小于５则不等式成立;若不小于５则不等式不成立。 参考答案：当x=-1,０,-2.5,－4时,不等式2x+1＜5成立。 说明:因为当x=１，0,-2．５，-4时，不等式2x+１<5成立，当x=2,＋４,４.5时，不等式2x+1＜5不成立，所以同方程类似，我们可以说-1,0，-2．5-4是不等式２x+1＜5的解，而2,+4，４.5不是不等式2x+１＜5的解。 例4.指出下面变形是根据不等式的哪一条基本性质。? (１)由２a＞5，得a＞(2）由ａ-7>，得a>7 (3)由- a>０，得a＜0 （4)由3a>2a-１,得a>-1。 例５.设a>b；用＂>"或＂<＂号填空: (１） (2)a-5 b-5 (3）- ａ- b (4)６ａ６b (５)－（6）－ a -ｂ 参考答案：(1）＞（２)> （3）< （４)> (５)＜（6)< 例５．试比较下列两个代数式值的大小: (1）5ａ+２与4a+2 （2)x3+3x2-7与x3+２x2-7 提示:我们知道,若ａ-b＞0,则a＞b;若a-b=0,则a=b；若a－ｂ<0，则a＜ｂ,所以要比较a与ｂ的大小,可以先求出a与ｂ的差,再看这个差是正数、负数还是零。 参考答案：(１)（5a+２）－（4ａ＋２)=5a+２-4a－2=ａ ∵a可取正数,负数或零,∴５a+２和4a+2间的大小关系有三种可能:?①当a>0时，5a＋2＞4a+2 ②当a=0时,５ａ+2=4a＋2?③当ａ＜0时,５a＋ 2<4a+2。?（2)（x３+3x２-７）－(x3＋２x２－7)=x３+3x2-2ｘ2+７＝ｘ2∵ｘ2≥０(对任意x) ∴ｘ3+3x2-７≥x3＋2x2－7 例6.已知二数a>2,b>2,试比较a+b与ab的大小。 不等式与不等式组知识概念 1.用符号“＜”“＞”“≤”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。 2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 4.一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。 5.一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成 6.了一个一元一次不等式组。 7.定理与性质 不等式的性质： 不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。 不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 本章内容要求学生经历建立一元一次不等式（组）这样的数学模型并应用它解决实际问题的过程，体会不等式（组）的特点和作用，掌握运用它们解决问题的一般方法，提高分析问题、解决问题的能力，增强创新精神和应用数学的意识。 第十章数据的收集、整理与描述 一．知识框架 1.全面调查：考察全体对象的调查方式叫做全面调查。 2.抽样调查：调查部分数据，根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。 3.总体：要考察的全体对象称为总体。 4.个体：组成总体的每一个考察对象称为个体。 5.样本：被抽取的所有个体组成一个样本。 6.样本容量：样本中个体的数目称为样本容量。 7.频数：一般地，我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。 8.频率：频数与数据总数的比为频率。 9.组数和组距：在统计数据时，把数据按照一定的范围分成若干各组，分成组的个数称为组数，每一组两个端点的差叫做组距。 本章要求通过实际参与收集、整理、描述和分析数据的活动，经历统计的一般过程，感受统计在生活和生产中的作用，增强学习统计的兴趣，初步建立统计的观念，培养重视调查研究的良好习惯和科学态度。 、不等式的概念及列不等式 概念 不等号 表示出不等关系 1不等式的概念及其分类 (1 )定义：用“〉”、“<”、“工”、及“w”等不等号把代数式连接起来，表示不等 关系的式子。 a-b>Oa>b, a-b=Oa=b, a-b 不等式的有关概念 1、不等式定义:用符号“<”、“≤”、“>”、“≥”、“≠”连接而成的数学式子,叫做不等 式。这5个用来连接的符号统称不等号。只含有一个未知数，且含未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，系数不为0.这样的不等式，叫做一元一次不等式。 2、列不等式:步骤如下 (1)根据所给条件中的关系确定不等式两边的代数式; (2)选择与题意符合的不等号将表示不等关系的两个式子连接起来。 3、用数轴表示不等式 (1)a 不等式的概念及其基本性质 一、知识点复习： 1. 用 不等号 连接起来的式子叫不等式；常见的不等号有“>，≥，<，≤，≠”。 2．不等式的基本性质： （1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 如果a b >，那么c b c a +>+，c b c a ->-； （2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 如果)0(>>c b a ，那么ac bc >，a b c c >； （3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 如果)0(<>c b a ，那么bc ac <， c b c a <； （4）如果a b >，那么b a <； （5）如果a b >，b c >，那么a c >。 二、经典题型分类讲解： 题型1：考察不等式的概念 1. （2017春金牛区校级月考）式子：①02>；②14≤+y x ；③03=+x ；④7-y ；⑤35.2>-m 。其中不等式有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 题型2：考察不等式的性质 2.（2017连云港四模）已知b a >，下列关系式中一定正确的是（ ） A 、22b a < B 、b a 22< C 、22+<+b a D 、b a -<- 3. 若0a b <<，则下列式子：12a b +<+ , 1a b > , a b ab +< , 11a b <,其中正确的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 4．下列说法不一定成立的是（ ） A ．若a b >，则a c b c +>+ B ．若a c b c +>+，则a b > C ．若a b >，则22ac bc > D ．若22ac bc >，则a b > 环球雅思教育学科教师讲义年级：上课次数： 学员姓名：辅导科目：学科教师： 课题 课型□预习课□同步课□复习课□习题课 授课日期及时段 教学内容 【基础知识网络总结与新课讲解】 知识点一、不等式的有关概念： 1.不等式的概念：用不等号把两个代数式连接起来，表示不等关系的式子，叫做不等式。 注意：常见的不等号有五种：“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”． 例1.请指出下列各式哪些是不等式：①x+y=y+x②4+x＞5③-3＜0④a+b≤c+b⑤a≠0⑥2x-7=5x+4 例2.列出表示下列各数量关系的不等式：（1）a是正数；（2）y与2的差是非负数；（3）a与6的和大于7；（4）y的一半不小于3；（5）8与x的3倍的和不大于1。 提示：注意一个数的"和"，"差"，"倍"，"分"的表示法以及"大于"，"不小于"，"不大于"应该用哪一个不等号来表示，另外。正数都大于0，负数都小于0，所以"是正数"可表示为"＞0"，"是负数"可表示为"＜0"，"非负数"可表示为"≥0"。 参考答案： （1）a ＞0 (2)y-2≥0 (3)a+6＞7 (4) ≥3 (5)8+3x ≤1 注意：列不等式时应注意两点： ①"是正数"表示为＞0"，"是负数"表示为＜0"；"非正数"表示为"≥0"。 ②"不大于"用"≤"表示，"不小于"用"≥"表示。 2．不等式的基本性质 （1）不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 用式子表示：如果a>b ，那a+c>b+c （或a –c>b –c ） （2）不等式的基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 用式子表示：如果a>b ，且c>0，那么ac>bc ， c b c a >。 （3）不等式的基本性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 用式子表示：如果a>b ，且c<0，那么ac 课题：8.2 不等式的解集 课型：概念定义课主编：王琳审核：编号： 课前反馈： 学习目标：1．理解不等式的解集，能正确表示不等式的解集 2．培养学生的数感，渗透数形结合的思想. 学习过程： 一．情景构建、认知概念： 下列各数中，哪些是不等式x+2>5的解？哪些不是？ -3, -2, -1, 0, 1.5, 2.5, 3, 3.5, 5, 7 我们发现－３，－２，－１，０，1.5，2.5，３都是不等式x+2>5的解，由此看出，不等式x+2>5有许多个解 进而看出，大于３的每一个数都是不等式x+2>5的解，而不大于３的每一个数都不是不等式x+2>5的解，不等式x+2>5的解有无数个，它们组成一个集合，称为不等式x+2>5的解集。 在数轴上表示为 二．提供素材、观察实验： 探究一：若方程(m+2)x=2的解为x＝2，想一想，不等式(m-2)x＞-3的解集是多少?试探究-2，-1，0，1，2这五个数中哪些数是该不等式的解 探究二：在数轴上表示下列不等式的解集: (1) x≥-3；(2) x＜0；(3) x＞2. 探究三：求出适合下列不等式的x的整数解，并在数轴上表示出来. (1)2＜x＜7； (2)-4＜x≤-2； (3)1≤|x|≤3. 三．归纳抽象、得出概念： 1．一个组成这个不等式的解集. 2．含有,未知数的是的不等式,叫做一元一次不等式. ３ 在数轴上，解集x ≤a ，表示成 解集x -5的负数解集有有限个 C.不等式-2X<8的解集是X<-4 D.-40是不等式2X<-8的一个解 6、直接想出下列不等式的解集，并在数轴上表示出来 (1)x -3＞6的解集是______ ； (2)2x ＜12的解集是________； (3)x-5＞0的解集是_________； (4)2 1x ＞5的解集是_________. 5．知识梳理、巩固概念： 不等式的解集： 不等式的基本性质 一、教材分析 【教材的地位和作用】 不等式的基本性质是中职数学的主要内容之一，在中职数学中占着重要地位。它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应用，有着重要的实际意义。同时，不等式的基本性质也为学生以后顺利学习解一元一次不等式和解一元一次不等式组的有关内容，起到重要的奠基作用。 【教学结构】 课本建议教学时间为约一课时。针对所带学生的特点，为使学生更好地理解性质、深化知识探究过程，将课时调整为2节。第一节：集中探索不等式的三个基本性质并作简单应用；第二节：不等式的基本性质的运用，处理例题和习题。本稿为第一节。 根据课程标准，我将教学重难点确定如下： 【教学重难点】 教学重点：不等式的三条基本性质及其应用。 教学难点：不等式的基本性质3的探索与运用。 二、【学情分析】 基础能力：数学基础知识相对薄弱，学习目标也不明确，但是具备一定的观察动手能力。 认知现状：通过初中的学习，学生对不等式的性质多多少少有所理解，并且通过上节课的学习，已初步掌握应用作差比较法比较两个实数及两个代数式 的大小。 情感特点：学习兴趣淡薄, 缺乏自信及成功的体验， 有好奇心，愿意尝试新事物及联系生活 三、教学目标 根据上述对教材内容的分析，并结合学生的认知水平和思维特点，我确定以下教学目标。 【教学目标】 知识与技能：1.掌握不等式的三条基本性质以及推论，能够运用不等式的基本性质将不等式变形解决简单的问题；2.进一步掌握应用作差比较法比较实 数的大小。 过程与方法：通过观察、操作、猜想、探究等合情推理活动，归纳出不等式的基本性质，体验数学发现和创造的历程。 情感、态度价值观：通过教学，培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探究的良好思维品质。 不等式及其基本性质测试题 7.1不等式及其基本性质测试卷 一、填空 1．在式子① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 中属于不等式的有.（只填序号）2．如果，那么. 3.若，用＜＞填空. ⑴ ⑴ ⑴ ⑴ ⑴ 二、选择 4．的倍减的差不大于，那么列出不等式正确的是（）A．B. C．D. 5.已知，则下列不等式正确的是（） A．B. C. D. 6.下列说法正确的是（） A.若，则 B.若，则 C.若，则D．若，则 7.已知，a为任意有理数，下列式子正确的是( ) A. B. C. D. 8.已知4 3,则下列结论正确的（） ① ② ③ A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 9.某种品牌奶粉合上标明蛋白质，它所表达的意思是（） A．蛋白质的含量是20%. B．蛋白质的含量不能是20%. C．蛋白质大含量高于20%. D.蛋白质的含量不低于20%. 10．如图7-1-1天平右边托盘里的每个砝码的质量都是1千克，那么图中显示物体的质量范围是（） A．大于2千克B.小于3千克 C．大于2千克小于3千克 D．大于2千克或小于3千克 11.如果ａ＜ｂ＜0,下列不等式中错误的是（） A. B. C. D. 12. 下列判断正确的是（） A．＜＜2 B．2＜＋＜3 C．1＜－＜2 D．4＜＜5 13. 用a,b,c 表示三种不同的物体，现放在天平上比较两次，情况如图所示，那么这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为（） A．B． C．D. 三、解答题 14.用不等式表示下列句子的含义. ⑴ 是非负数. ⑴ 老师的年龄比赵刚的年龄的倍还大. ⑴ 的相反数是正数. ⑴ 的倍与的差不小于. 15.用不等式表示下列关系. ⑴ 与3的和的2倍不大于-5. ⑴ 除以2的商加上4至多为6. ⑴ 与两数的平方和为非负数. 16.（1）用两根长度均为㎝的绳子，分别围成正方形和圆，如图7-1-2 第九章 不等式与不等式组 一、知识结构图 二、知识要点 （一、）不等式的概念 1、不等式：一般地，用不等符号（“＜”“＞”“≤”“≥”）表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。不等号主要包括： ＞ 、 ＜ 、 ≥ 、 ≤ 、 ≠ 。 2、不等式的解：使不等式左右两边成立的未知数的值，叫做不等式的解。 3、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集（即未知数的取值范围）。 4、解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。 5、不等式的解集可以在数轴上表示，分三步进行：①画数轴②定界点③定方向。规律：用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：大于向右画，小于向左画，等于用实心圆点，不等于用空心圆圈。 ????????????????????????????????与实际问题 组一元一次不等式法 一元一次不等式组的解不等式组一元一次不等式组性质性质性质不等式的性质一元一次不等式不等式的解集不等式的解不等式不等式相关概念不等式与不等式组)(321 （二、）不等式的基本性质 不等式性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向 不变 。 用字母表示为：如果b a >，那么c b c a ±>±；如果b a <，那么c b c a ±<± ； 不等式的性质2：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 正数 ，不等号的方向 不变 。 用字母表示为： 如果0,>>c b a ，那么bc ac >(或c b c a >)；如果0,> 不等式与不等式组知识点归纳 一、不等式的概念 1．不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。 2．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。 3．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。 4．解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。 5．用数轴表示不等式的解集。 二、不等式的基本性质 1．不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 2．不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 3．不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 说明： ①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。 ②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立。 例: 1．已知不等式3x-a ≤0的正整数解恰是1，2，3，则a 的取值范围是 。 2．已知关于x 的不等式组???-≥->-1250 x a x 无解，则a 的取值范围是 。 3．不等式组??? ??>+≤+022 10 42x x 的整数解为 。 4．如果关于x 的不等式（a-1）x 《不等式及其基本性质》教案 学习目标： 1.通过实际问题中的数量关系的分析，体会到现实世界中有各种各样的数量关系的存在，不等关系是其中的一种. 2.了解不等式及其概念；会用不等式表示数量之间的不等关系. 3.掌握不等式的基本性质，并能利用不等式的基本性质对不等式进行变形. 学习重点： 不等式的概念和不等式的性质. 学习难点： 不等式的性质3以及正确分析实际问题中的不等关系并用不等式表示. 教学过程： （一）探究性质 1．明确定义 2.不等式的意义：表示生活中量与量之间不等关系的式子. 例题：1.“神七”速度v超过11200米/秒，才能脱离地球引力，飞入太空，怎样表示v和11200之间的关系? 3.想一想： （1）如果a＜b，用不等号连接下列各式的两边. ①a + 2 b + 2 ②a– 5 b– 5 （2）如果2x-8≥3 ，那么2x11. 4.小结： 不等式性质1： 即 （二）探究性质 1.用不等号填空： ①已知5＜8，则5×3 8×3；5×（-3）8×（-3） ②已知-5＞-8，则-5×3 -8×3；-5×（-3）-8×（-3） 归纳：不等式两边同时乘以一个正数，不等号方向；不等式两边同时乘以一个负数，不等号方向. 2.用不等号填空： ①已知6＜8，那么6÷2 8÷2；6÷（-2）8÷（-2） ②已知-6＞-8，那么-6÷2 -8÷2；6÷（-2）-8÷（-2） 归纳：不等式两边同时除以一个正数，不等号方向 ；不等式两边同时除以一个负数，不等号方向 . （三）例题分析 例1.（1）若x +1＞3，则x _____________.根据___________ __. （2）2x ＞－6，则x _____________.根据_______ _____. （3）-3y ≤5，则y .根据 . 例2.如果m > n .判断下列不等式是否正确. （1）m +7 < n +7 （ ） （2）m －2 < n －2 （ ） （3）3m < 3n （ ） （4）9 9n m >（ ） 例3.利用不等式的基本性质，将下列各不等式化为“x a >”或“x a <”的形式. （1）546x x <- （2）5621x x -+<+ （四）课堂练习 1.用代数式表示：比x 的5倍大1的数不小于x 的 21与4的差_____________. 2.若a >b .下列各不等式中正确的是（ ） A .a -1b ，则a +1>b +1 ②若a >b ，则a -1>b -1 ③若a >b ，则-2a <-2b ④若a >b ，则2a <2b 不等式的概念和基本性质 重点：不等式的基本性质 难点：不等式基本性质的应用 主要内容： １．不等式的基本性质 （１）a>b bb,b>c a>c （３）a+b （３）若a 【课堂例题】 例1.利用性质1和性质2证明： (1)如果a b c +>，那么a c b >-； (2)如果,a b c d >>，那么a c b d +>+ 例2.利用性质3证明： 如果0,0a b c d >>>>，那么ac bd >. (选用)例3.利用不等式的性质证明： 如果0a b >>，那么110a b < <. 【知识再现】 1.不等式性质的基础： a b >? ；a b =? ；a b >，则 ; 性质2.(加法性质) 若a b >，则 ; 性质3.(乘法性质) 若,0a b c >>，则 ; 若,0a b c ><，则 . 3.几条比较有用的推论： 性质4.(同向可加性) 若,a b c d >>，则 ； 性质5.(正数同向可乘性) 若0,0a b c d >>>>，则 ； 性质6.(正数的倒数性质) 若0a b >>，则 ； 性质7.(正数的乘方性质) 若0a b >>，则 *()n N ∈； 性质8.(正数的开方性质) 若0a b >>，则 *(,1)n N n ∈>. 【基础训练】 1.请用不等号表示下列关系： (1)a 是非负实数， ; (2)实数a 小于3，但不小于2-， ； (3)a 和b 的差的绝对值大于2，且小于等于9， . 2.判断下列语句是否正确，并在相应的括号内填入“√”或“×”. (1)若a b >，则a b c c >；( ) (2)若ac bc <，则a b <；( ) (3)若a b <，则1 1 a b <； ( ) (4)若22ac bc >，则a b >；( ) (5)若a b >，则n n a b >；( ) (6)若0,0a b c d >>>>，则a b c d >；( ) 3.用“>”或“<”号填空： (1)若a b >，则a - b -; (2)若0,0a b >>，则b a 1b a +； (3)若,0a b c >>，则d ac + d bc +; (4)若,0a b c ><，则()c d a - ()c d b -; (5)若,,0a b d e c >><，则d ac - e b c -. 4.(1)如果a b >，那么下列不等式中必定成立的是( ) (A) 1 1 a b <; (B) 22a b >; (C)22ac bc >; (D)2211 a b c c >++. (2)如果0a b >>，那么下列不等式不一定成立的是( ) (A) 1 1 a b <; (B) 2ab b >; (C)22ac bc >; (D) 22a b >. 5.已知,x y R ∈，使1 1 ,x y x y >>同时成立的一组,x y 的值可以是 . 姓名学科韦日辉 数学 学生姓名 年级年级 填写时间 教材版本 2014-- 北师大版 阶段观察期□：第（）周维护期□本人课时统计第（）次课共（）课时 课题名称 课时计划 共（）课时 （全程或具体时间） 上课时间:00-:00同步教学知识内容 教学目标 个性化学习问题解决 教学重点 教学难点 不等式的概念、性质及解法中考要求 内容 不等式(组) 不等式的性质 基本要求 能根据具体问题中的大小 关系了解不等式的意义． 理解不等式的基本性质． 了解一元一次不等式(组) 略高要求 能根据具体问题中的数量关系列 出不等式(组)． 会利用不等式的性质比较两个实 数的大小． 会解一元一次不等式和由两个一 较高要求 能根据具体问题中的数量关系列 解一元一次不 等式(组) 的解的意义，会在数轴上表元一次不等式组成的不等式组，并出一元一次不等式解决简单问 示(确定)其解集． 例题精讲 会根据条件求整数解．题． ⑴ x 的 与 6 的差大于 2 ； ⑵ y 的 与 4 的和小于 x ； > ) < ) 板块一、不等式的概念和性质 ?不等式的概念 1.不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如： -5 < -2, a + 3 > -1 + 4, x + 1 ≤ 0, a 2 + 1 > 0, x ≥ 0,3 a ≠ 5a 等都是不等式． 2.常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”． 注意：不等式３≥２成立；而不等式３≥３也成立，因为３＝３成立，所以不等式３≥３成立． 3.不等号“ > ”和“< ”称为互为相反方向的符号，所谓不等号的方向改变，就是指原来的不等号的方向改变成与其 相反的方向，如：“ > ”改变方向后，就变成了“ < ”。 【例1】用不等式表示数量的不等关系． （1） a 是正数 （2） a 是非负数 （3） a 的相反数不大于 1 （4） x 与 y 的差是负数 （5） m 的 4 倍不小于 8 （6） q 的相反数与 q 的一半的差不是正数 （7） x 的 3 倍不大于 x 的 1 3 （8） a 不比 0 大 【巩固】用不等式表示： 1 2 5 3 ⑶ a 的 3 倍与 b 的 1 2 的差是非负数； ⑷ x 与 5 的和的 30% 不大于 -2 ． 【巩固】用不等式表示： ⑴ a 是非负数； ⑵ y 的 3 倍小于 2 ； ⑶ x 与1 的和大于 0 ；⑷ x 与 4 的和大于1 ?不等式的性质 不等式基本性质： 基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变． 如果 a > b ，那么 a ± c > b ± c 如果 a < b ，那么 3x + 2 ≥ a( x - 1) 基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 如果 a > b ，并且 c > 0 ，那么 ac > bc (或 如果 a < b ，并且 c > 0 ，那么 ac < bc (或 a b c c a b c c 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 《不等式的概念与性质》独立作业 班级 姓名_____ _______ 分数 一．选择题 1．若 a < b < 0，则下列不等式中不能成立的是（ ） A 、 b a 11> B 、a b a 11>- C 、| a | > | b | D 、a 2 > b 2 2．若a > b + 1，下列各式中正确的是（ ） A 、a 2 > b 2 B 、 1>b a C 、0)lg(>-b a D 、b a lg lg > 3．对任意x ∈( 1，a )都成立的是（ ） A 、log a (log a x) < log a x 2 < (log a x)2 B 、log a (log a x) < (log a x)2 < log a x 2 C 、(log a x)2 < log a x 2 < log a (log a x) D 、log a x 2 < log a (log a x) < (log a x)2 4．以下四个命题中，为假命题的是（ ） （A ）a >b , c 一元一次不等式组的概念及解法
不等式的基本性质知识点
七年级下册不等式及其基本性质讲义
不等式与不等式组知识概念
不等式概念及性质知识点详解与练习
不等式的有关概念
(完整版)不等式及其基本性质知识点复习及例题讲解
七年级下册不等式及其基本性质讲义
不等式的解集(概念定义课)
《不等式的基本性质》
不等式及其基本性质测试题
(完整word版)第九章不等式与不等式组知识点归纳
七年级下册数学不等式与不等式组知识点
《不等式及其基本性质》教案1
不等式的概念和基本性质
2.1.1 不等式的基本性质(含答案)
不等式的概念、性质及解法
不等式的概念与性质独立作业
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