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数学的构造思想及其应用

摘要

本文介绍了数学构造思想的背景，含义，分类讨论了几种数学模型的构造及其在中学数学与公务员考试解题方面的若干应用.

关键词：构造思想；辅助图形；辅助数列；辅助函数

Abstract

This paper introduces the background of mathematical structural thought，meaning,classification discussed several mathematical models of structure and civil service exam in middle school mathematics problem solving a number of applications.

Key words:Structural thought;Auxiliary graph;Auxiliary sequence; Auxiliary function

1 引言 (1)

1.1 数学构造思想的背景及含义 (1)

1.2 本文的写作目的 (2)

2 若干数学模型的构造及其应用 (2)

2.1 辅助图形的构造及应用 (2)

2.2 辅助数列的构造及应用 (7)

2.3 辅助函数的构造及应用 (10)

参考文献 (14)

数学的构造思想及其应用

1 引言

1.1 数学构造思想的背景及含义

数学的构造思想是数学众多思想方法当中一种比较简单但是又很重要的数学思想方法.早在19世纪时期的时候,就有直觉派的数学家已经提出了“存在必须被构造”的数学思想观点.而在1967年的时候,美国的数学家比肖泊也发表了《构造性分析》这本书，这本书的发表使得人们对于构造法的研究从算法数学进入到了现代数学构造阶段.历史上有很多的数学家，例如欧几里得，拉格朗日，欧拉等人，也都曾经使用构造法求解过数学上的许多难题.比如在西方的《几何原本》这本书当中，欧几里得就是采用数学的构造思想方法来证明了“素数有无穷多个”.还有中国古代数学中的《九章算术》中的开方术,开方术也是中国古代数学构造性思想方面的一个代表性成就.发展到了现代,尤其是在现代数学当中，离散数学就是现代构造性数学的一个新领域，特别是以组合数学跟图论为典型代表.在图论和组合数学当中,组合以及图设计的定义都是构造性的，图论和组合数学的很多应用，例如像计算机网络，信息安全和编码，还有密码以及算法等也都是构造性很强的问题.

那么什么是构造思想呢?顾名思义，构造思想是指:在解决数学问题的过程当中，我们可以根据数学问题的条件跟结论之间的联系或者是数学问题的性质和特点，从而构造出一个与我们所要研究的数学问题有关的辅助模型，然后我们可以通过对这个辅助模型的研究来实现对原先问题解决的思想方法. 如果从数学方法论的角度来说，构造思想从本质上来讲就是一种数学模型思想，只不过是跟此相关联的是抽象化了的数学问题，并不仅仅是在应用层面的实际问题.总体上来讲运用构造法的优点十分明确：构造思想方法能够使已知的条件和未知的结论之间建立起一定的联系.使题目所给的各条件与结论间原本不是很清晰的关系能够变得清楚.从而起到“化简”与“转化”的作用.

1.2 本文的写作目的

时至今日，构造思想对于中学数学的教学以及中高考解题甚至是公务员考试或者是数学竞赛解题中仍然有很大影响.在每年的中考，高考中都会有涉及利用构造性思想方法解题的题目.所占分数值也是在逐年提高.尤其是试卷最后的压轴题，基本都会涉及运用构造思想.例如2012年福建省高考理科数学第20题，就是构造性思想解题的例子.在公务员考试数理运算题目中运用构造思想构造辅助函数与辅助图形解题的更是比比皆是.在初高中数学竞赛中构造思想更是发挥巨大作用.

我们在中学数学中运用构造思想方法解题常见的构造方法主要有构造辅助线、构造辅助图形、构造辅助方程、构造辅助函数、构造辅助数列、构造反例、等几种.运用构造法解题不仅可以促使学生积极思考，而且对学生思维能力的发展还有创新精神的培养也有很大作用.但是很多学生对于什么是构造思想，如何进行构造以及应用构造思想解题仍然是一知半解甚至毫无头绪.本文将进一步探讨辅助图形，辅助函数，辅助数列的构造及其在中学数学解题以及公务员考试解题中的运用，并分析总结构造思想对解决具体问题的技巧与方法.使学生在遇到这一问题时能够举一反三，触类旁通，灵活的选择具体的构造辅助方法进行解题.

2 若干数学模型的构造及其应用

2.1 辅助图形的构造及应用

运用构造思想构造辅助图形在解题中有着广泛的应用以及巧妙之处.构造辅助图形能够使原本复杂繁琐的证明过程显得简单明了，能够使题目所给的条件在图形当中具体化.下面我们来看几个构造辅助图形在解题中的具体应用.

例1：已知x ，y 都为非负的实数，证明：2222)1()1(11+++≥+++y x y x 证明：由题意得不等式左边

1122)11(2222222+++++=+++y x y x y x 不等式右边：)(22)1()1())1()1((2222222y x y x y x y x ++++=+++=+++ 所以)(2112))1()1(()11(22222222y x y x y x y x +-++=+++-+++ 又因为1)1)(1()11(222222222+++=++=++y x y x y x y x

xy y x y x 2)(222++=+

所以

xy y x xy y x y x y x y x 21)2()1)(1()()11(2222222222-+=++-++=+-++ 因为xy y x 2122≥+，所以02122≥-+xy y x 所以2222)1()1(11+++≥+++y x y x

分析：这道题从上面的证明过程来看整体证明过程比较繁琐.多次平方并做差相减.因此，可以尝试考虑换另外一种证明思路.我们可以先看一下题目要求我们证明的不等式两边代数式的性质.因为y x ,都为非负数，所以2222)1()1(,1,1+++++y x y x 都大于0.而12+x 我们可以看成是以x 和1为直角边的直角三角形的斜边长.同理，12+y 也是.这样我们就可以赋予代数式具体的几何意义.所以本道题目我们可以考虑运用构造思想方法中的构造辅助图形来加以证明.

证明：构造如图2-1示例的辅助图形，1==DE DF

图2-1

令x AE =，y CF =，则1+=x AB ，1+=y BC

在ADE Rt ?中，1222+=+=x DE AE AD

同理在DCF Rt ?中，12+=y DC

在ABC Rt ?中，2222)1()1(+++=+=y x BC AB AC

在ADC ?中，因为AD ，DC AC 分别代表三角形的三条边，

因为在三角形当中,三角形的任意两边之和大于第三边，所以不等式恒成立. 当x ，y 同时为0时等式成立.

对比两种证明方法，我们可以发现构造法相比于代数证明方法来的更简洁.

例2：设a ，b ，c 都在区间)1,0(内，证明：1)1()1()1(<-+-+-a c c b b a 分析：本题直接从代数式条件证明的话很难达到目的.因此我们可以考虑构造思想构造条件与结论之间的联系.仔细观察思考可知：a 、b 、c 以及（1－a ）、（1－b ）、（1—c ）都为正数.因此我们可以赋予每个正数具体几何形象，同时令a （1－b ）＋b （1－c ）＋c （1－a ）为两线段乘积的和.所以我们可以构造具体图形.

并考虑联想三角形的面积计算公式S=c ab sin 2

1.综上所述我们可以构造一个边长为1的正三角形.如下图：

图2-2

如图2-2：

在?ABC 的边AB 、BC 、AC 上分别取点D 、E 、F.

令a AD =，c BE =，b CF =，

则a BD -=1，c CE -=1，b AF -=1.

由图形易知EFC S BDE S ADF S ABC S ?+?+?>?.

所以不等式成立.

例3：若已知角αθ,都为锐角，且)2

,4(),2,0(ππαπθ∈∈，并且α

αααθcos sin cos sin tan +-=，证明θααsin 2cos sin =-. 思路分析：因为)2

,4(π

πα∈，由三角函数图像性质可知ααcos sin >，所以ααααcos sin ,cos sin +-都为大于0的正数.因此我们可以以

ααααcos sin ,cos sin +-为三角形的两直角边，构造直角三角形. 证明：

图2-3

如图2-3所示，∵),2

,4(ππα∈所以ααcos sin >，∵θ)2,0(π

∈.设θ=∠B ，ααααcos sin ,cos sin +=-=BO AO ，所以2)cos (sin )cos (sin 22=-++=ααααAB ,

所以2

cos sin sin ααθ-==AB OA 即θααsin 2cos sin =-. 例4：(2013年高中数学竞赛）已知α，β都是锐角，

并且1sin 2sin 322=+βα，02sin 22sin 3=+βα.求证:22π

βα=+.

分析:此题若仅仅局限于三角函数公式的变形，则难以进行直接证明.仔细观察，我们发现题目所给条件的第二个式子可以变形为α

β2sin 22sin 3=，这类似于正弦定理，因此我们如果能构造出一个ABC ?，使得α2=∠A ，

β2=∠B ，3=AC ，2=BC ，则我们只需要证明AC AB =，就有BC 边上的高平分A ∠，所以就能证

明22π

βα=+.同时为了能构造出ABC ?，我们还要证明α2，β2都是锐角.

证明：1sin 2sin 322=+βα ，

0sin 3sin 212cos 22>=-=∴αββ，0sin 2sin sin 212cos 222>+=-=βααα. 所以α2，β2都是锐角.因此我们可以构造如图2-4所示ABC ?

图2-4

其中3=AC ，2=BC ，α2=∠BAC ，β2=∠B ，

过点C 作AB CE ⊥于点E ，

则β2=∠B ，

AE AB ==-=+-=-+-=+=+=325)sin 2sin 3(25)sin 21(2)sin 21(32cos 22cos 32222βαβαβα

所以ABC ?为等腰三角形，作BC 边上的高AD .

在ADC Rt ?中，易证22π

βα=+.

例5：（福建省2012年秋季公务员考试）某市气象台测得在距离S 岛屿的正东方向80千米处，有一个台风,并且台风中心正在以20千米/小时的速度沿着北偏西60度的方向匀速移动.如果我们假设在台风中心50千米范围内的区域为影响区域，台风中心的移动方向跟强度大小始终不变，那么这个台风对S 岛的影响时间大约持续（）

A 2小时

B 3小时

C 4小时

D 5小时

分析：这种类型的题目我们也经常碰到.最主要是考我们具体数学知识在实际模型当中的应用.因此，我们可以构造相应的几何模型来求解.

解：

图2-5

如图2-5所示：台风中心在A 点，沿着AC 方向运动.当台风中心与S 岛之间距离小于或等于km 50时，S 岛受到台风影响.由题意可知，以S 为圆心，km 50为半径作圆，当台风中心在BC 之间运动时，S 岛会受到台风影响.

计算过程：km SA 80=，在SAD ?中，?=∠30SAD ，由三角函数得

km SD 4030sin 80=?=.在SDB ?中，km SB km SD 50,40==，由勾股定理得

km BD 30=，

所以km BC 60=.台风以h km /20的速度走完BC 这一段距离，需要3小时.

通过以上几个例子我们可以发现构造辅助图形不仅是在中学不等式解题与证明中可以发挥重要作用，在函数解题与证明也是如此.在公务员考试解题当中我们同样可以运用构造辅助图形的方法使题目条件具体化，便于解题与理解.

2.2辅助数列的构造及应用

构造思想方法在数列解题中的应用主要表现在通过构造新的数列来求题目所需数列的值或通项公式.当题目所给的条件无法直接用等差数列或等比数列通项公式以及求和公式求解的时候，我们可以考虑用构造法构造新的数列来求解.同时我们也能通过构造新的数列的性质特点来证明不等式.

例6：已知在数列{}n a 中，有11=a ，62=a ，并且1144-+-=n n n a a a ，试求数列{}n a 的通项公式.

思路分析：题目要求的是数列{}n a 的通项公式.但是所给的条件又涉及到11,,-+n n n a a a ，因此我们可以先利用三者的数量关系先构造新数列{}n n a a 21-+，求

出1+n a 与n a 的关系.再构造数列?

?????n n a 2从而求解出数列{}n a 的通项公式. 解：∵1144-+-=n n n a a a ∴)2(2211-+-=-n n n n a a a a .

构造一个新的数列{}n n a a 21-+，它是一个等比数列，因此有

1112122)2(2+-+=?-=-n n n n a a a a ，即1122+++=n n n a a ，所以有12

211+=++n n n n a a , 再构造一个新的数列?

?????n n a 2，它是以首项为21，公差为1的等差数列，所以2

12)1(212---+=n n a n n ，即12)12(-?-=n n n a . 例7：假设某一个带电的粒子向前移动一个单位的概率为

32，向前移动两个单位的概率为3

1，试求这个带电的粒子移动到距离原位置100个单位处的概率. 分析：这是一道概率有关的题目，可是如果单纯的从概率的角度来分析计算的话过程繁杂.因此我们可以考虑利用构造辅助数列的方法，构造递推数列，利用递推数列迭加的方法来求通项公式.

解：设向前移动到距离原位置n 个单位的概率为n P ，则321=P ，9

731)32(22=+=p . 移动到距离原位置2+n 个单位处有两种情况：

（1）从距离原位置n 个单位处移动到2+n 个单位处；

（2）从距离原位置1+n 个单位处移动到2+n 个单位处；所以123

231+++=n n n P P P ，即)(31112n n n n P P P P --=-+++. 所以数列{}n n P P -+1是以9

112=-P P 为首项，31-为公比的等比数列，所以

11)3

1(91-+-?=-n n n P P ，所以叠加得??????--=-+n n P P )31(112111. 故100991100)3

1(4143)31(112132)31(1121?+=??????--+=??????--+=n P P . 例8：求证)2,(12131211222≥∈-++++

n N n n n ＜ . 分析：这道题目是跟正整数有关的不等式证明，一般来说我们最为常用的证明方法是数学归纳法和放缩法，但是如果运用数学归纳法的话往往证明过程显得较为繁琐，而如果采用放缩法来证明的话盲目性又较大.因此我们可以适当考虑通过构造数列的方法，利用数列的单调性来求解证明，使题目所给的已知条件更加清晰明了，解题过程简洁明快.运用构造法构造数列证明的关键是，如果题目所要求证明的不等式的一端为和或者积的形式，那么构造数列{}n a ，使所构造数列的通项等于和或积的形式与另一端的差或商，然后再通过比较的方法确定数列{}n a 的单调性，最后利用数列的单调性就可以使原来的不等式获证.

证明：构造数列{}n a ，使其通项为)21(131211222-+++++=n

n a n ，因为0)1(1111)1(12

21＜+-=-+++=-+n n n n n a a n n ，所以n n a a ＜1+，即{}n a 是递减数列，当2≥n 时，恒有04

12＜-=≤a a n ，于是n n 12131211222-++++＜得证. 例9：已知一个数列{}n a 的前n 项和n n n a s 32-=，求这个数列{}n a 的通项公式.

思路分析：从题目所给的已知条件中我们无法直接利用等差数列或等比数列的公式求数列{}n a 的通项公式.因此我们可以利用递推公式1--=n n n s s a 先求出n a 与1-n a 的数量关系.再构造新的数列求解出数列{}n a 的通项公式.

解：因为32111-==a s a ，31=a 。

当2≥n 时，)32()32(111------=-=n n n n n n n a a s s a

∴11322--?=-n n n a a 令)2()2

3(22111≥=----n a a n n n n n 则

3)23(33)2

3(323)23()23()23(232)2

2()22()22(22111

3211122331221-?=-?+=+???++++=-+???+-+-+=-----n n n n n n n n n a a a a a a a a a ∴12332-?-?=n n n a .

2.3辅助函数的构造及应用

在中学数学解题中构造辅助函数解题，我们主要是通过构造函数，利用函数的基本性质来辅助求解题目.

例10：已知x ,y ,z ,t ,w 都为实数，并且满足

16,822222=++++=++++w t z y x w t z y x ，求w 的最大值.

思路分析：要求w 的最大值，就是要寻求关于w 的不等关系.由已知条件可知：2222216,8w t z y x w t z y x -=+++-=+++.因此我们可以想到建立式子t z y x +++和2222t z y x +++之间的不等关系.进而联想到构造以t z y x +++和2222t z y x +++为系数的二次函数.

解：构造二次函数()22222)(24t z y x u t z y x u u f ++++++++=.

易得()0)()()()(2222≥+++++++=t u z u y u x u u f 对于一切实数都成立. ∴0)(16)(422222≤+++-+++=?t z y x t z y x

而2222216,8w t z y x w t z y x -=+++-=+++，

∴0)16(4)8(22≤---w w ，解得5

160≤≤w 当t z y x ===时，w 有最大值. 即当5

6====t z y x 时，w 的最大值为516. 例11：解方程 0)41()4)56(1)(56(22=+++++++x x x x

分析：观察方程的性质，注意到方程左边两个式子具有相同的结构.令)41()(2++=x x x F ，则方程)()56(x F x F -=+ ，因此我们只需要证明)(x F 是奇函数并且具有单调性就能简单的解答出此题.

解：构造函数)41()(2++=x x x F ，则原方程为0)()56(=++x F x F ，显然)(x F 在),(+∞-∞上是奇函数.即)()(x F x F -=-，下面我们再证明)(x F 具有单调性.

)41()(2++=x x x F

48412)4(2141)()4()40(41)41()41()(22

222122'

2'2'22'

22''++++=????

? ??++++=++++++=+++++=∴-x x x x

x x x x x x x x x x x x x F

0)('＞x F

∴)(x F 在),(+∞-∞上是单调增函数,

∴)()56(x F x F -=+.

所以x x -=+56 ,所以原方程的解为：7

5-=x . 例12：（2012年福建省高考理科数学20题）已知函数R a ex ax e x f x ∈-+=,)(2.

求确定a 的取值范围，能够使得曲线)(x f y =上有存在唯一的点P ，并且曲线在该点处的切线与曲线有且只有一个公共点P .

分析：设点))(,(000x f x P ，曲线)(x f y =在点P 处的切线为)())((000'x f x x x f y +-=，令)())(()()(000'x f x x x f x f x g ---=，因此曲线)(x f y =在该点处的切线与曲线只有一个公共点P 的问题转化为函数)(x g 有唯

一的零点，求出导函数，再进行分类讨论：⑴若0≥a ，

)(x g 只有唯一的零点0x x =，由P 的任意性0≥a 不合题意；⑵若0

解：设点))(,(00x f x P ，曲线)(x f y =在点P 处的切线方程为)())((000'x f x x x f y +-=，令)())(()()(000'x f x x x f x f x g +--=,

曲线在该点处的切线与曲线有且只有一个公共点P ，)(x g ∴有唯一零点.

0)(0=x g ，)(2)(0'0x x a e e x g x x -+-=

)1( 若0≥a ，当0x x >时，0)('>x g ，0x x >∴时，0)()(0=>x g x g .

当0x x <时，0)('x g x g ，

故)(x g 只有唯一零点0x x =，

由P 的任意性0≥a 不合题意.

)2( 若0 x h ，函数单调递增.

① 若)2ln(0a x -=，由))2ln(,(a x --∞∈，0)('>x g ;

)),2(ln(+∞-∈a x ，0)('>x g .)(x g ∴在R 上单调递增.