相似三角形的实际应
用
1.2 相似三角形实际应用
教学目标：1．会运用三角形相似的判定进行有关的计算和推理。
2．能运用三角形相似的知识解决相关的实际问题。
3．能探索解决一些与三角形相似有关的综合性题型。
教学重点：运用三角形相似的判定进行有关的计算和推理
教学难点：解决一些与三角形相似有关的综合性题型
教学过程：
一、知识回顾：
我们学习了相似三角形的哪几个判定方法?
________________________________________________;
________________________________________________;
________________________________________________.
二、引入新课：
相似三角形的知识，在实际中应用非常广泛，主要运用相似三角形的有关性质来测量、计算那些不易直接测量的物体的高度或宽度（距离）。
相似三角形应用的类型：
（一）利用阳光下的影长解决实际问题
由于太阳离地球非常远，而且太阳的体积比地球大得多，所以可以把太阳光线近似看成平行线。借助太阳光下的影子测量旗杆的高度，基本思路是利用太阳光是平行光线以及人、旗杆与地面垂直构造相似三角形，通过相似三角形对应边成比例列出关系式求解。例1：如图，为了测量一座水塔的高度，在阳光下，小亮走进水塔的影子里，使自己的影子刚好被水塔的影子遮住。已知小亮的身高BC=1.6m，此时，他的影子的长AC=1m，他距水塔的底部E出11.5m，水塔的顶部为点D。根据以上数据，你能算出水塔的高度DE是多少吗？
随堂练习
（1）在阳光下，同一时刻的物高与影长成比例．如果一旗杆在地面上的影长为20m，同时，高为1.5m的测竿的影长为2.5m，那么旗杆的高是______________. （2）如图，为估算学校的旗杆的高度，身高1.6米的
小红同学沿着旗杆在地面的影子AB由A向B走去，当
她走到点C处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子
的顶端重合，此时测得AC=2m，BC=8m，则旗杆的高度是。
（二）利用标杆解决实际问题
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借助标杆测量旗杆的高度，思路是从人眼所在的部位向旗杆作垂线，根据人、标杆、旗杆与地面垂直构造相似三角形，通过相似三角形对应边成比例列出关系式计算。
例2：如图左边大树的高度分别是AB=8米，两树的水平距离BD=5米，一观测者的眼睛高EF=1.6米，且E、B、D在一条直线上，当观测者的视线FAC恰好经过两棵树的顶端时，则此时观测者与树AB的距离EB等于8米，请求出右边那棵大树的高度CD为多少？
（三）利用镜子的反射解决实际问题
利用镜子的反射测量旗杆的高度，思路是根据反射角等于入射角，人、旗杆（或大树）与地面垂直构造相似三角形，通过相似三角形对应边成比例列出算式。
例3：为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子水平放置在离
树底（B）8.4米的点E处，然后沿着直线
BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=3.2米，观察者目高CD=1.6米，则树（AB）的高度约为多少？
三、课堂训练
1.小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为（）A．10米 B．12米 C．15米 D．2
2.5米
2.如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，CE=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（）
A．60m B．40 C．30m D．20m
3.如图是小明设计利用光线来测量某古城墙CD高度的示意图，如果镜子P与古城
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墙的距离PD=12米，镜子P与小明的距离BP=1.5米，小明刚好从镜子中看到古城墙顶端点C，小明眼睛距地面的高度AB=1.2米，那么该古城墙的高度是（）A．9.6米 B．18米 C．8米 D．24米
四、课堂小结：通过这节课的学习你有什么收获和疑问？
五、作业：
1. 如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB的高为 ____________m．
2.如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为米。
3．在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB=2m，它的影子BC=1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM=1.2m，MN=0.8m，则木竿PQ的长度为
_____________m．
4. 兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同
学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名
同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为米。
5.如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B，当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部，当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部，已知小华的身高是1.60m，两个路灯的高度都是9.6m，设AP =x(m)。
(1)两路灯之间的距离是；
(2)当小华走到路灯B时，他在路灯下的影子是
6.大刚的身高为1.7米，测得他站立在阳光下的影子长为0.85米,他把一只手臂竖直向上举起，测得影子长为1.1米，大刚举起手臂超过头顶多少米？
7.如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E点位置，
P
D
B
C
A
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AE=60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D
点位置．
（1）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求CF的长．
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《相似三角形》与《锐角三角函数》综合提优训练 1、下列两个图形:①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五 边形. 其中一定相似的有( ) A.2组 B.3组 C.4组 D.5组 2、（1）如果 234 x y z ==，求 3x y z y -+=_____________ （2）已知x ：y =3：5，y ：z =2：3，则 z y x z y x +-++2的值为 3、应中共中央总书记胡锦涛同志的邀请，中国国民党主席连战先生、亲民党主席宋楚瑜先生分别从台湾来大陆参观访问，先后来到西安，都参观了新建成的“大唐芙蓉园”，该园占地面积约为800000m 2 ，若按比例尺1:2000缩小后，其面积大约相当于( ) A.一个篮球场的面积 B.一张乒乓球台台面的面积 C.《陕西日报》的一个版面的面积 D.《数学》课本封面的面积 4、美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女士身高165 cm ，下半身 长x 与身高l 的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为( ) A ．4 cm B ．6 cm C ．8 cm D ．10 cm 5、 如图，已知D 、E 分别是ABC ?的AB 、 AC 边上的点，,DE BC //且1ADE DBCE S S :=:8,四边形 那么:AE AC 等于（ ） A ．1 : 9 B ．1 : 3 C ．1 : 8 D ．1 : 2 6、如图，△ABC 的各个顶点都在正方形的格点上，则sinA 的值为 ．
7、在Rt △ABC 中，∠C =90o，AB =10，AC =8，则sin A 的值是（ ） A ． 45 B ． 3 5 C ． 34 D ．4 3 ． 8、若3tan （a+10°）=1，则锐角a 的读数为（ ） A ．20° B ．30° C ．40° D ．50° 9、如果△ABC 中，sinA=cosB= 2 ，则下列最确切的结论是（ ） A. △ABC 是直角三角形 B. △ABC 是等腰三角形 C. △ABC 是等腰直角三角形 D. △ABC 是锐角三角形 10、直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC 如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ， 则tan ∠CBE 的值是（ ） 11、 如图，四边形ABCD 、CEFG 都是正方形，点G 在线段CD 上，连接,,BG DE DE 和FG 相交于点O ，设 ,()AB a CG b a b ==>.下列结论: ①BCG DCE ???；②BG DE ⊥；③ DG GO GC CE =；
相似三角形的应用——走进生活，探索自然 [教材分析] 本节内容是在学习了相似三角形识别及性质以后，让学生以此为工具建立数学模型，解决一些简单的实际问题，体会数学的价值。经历“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的过程，感受数学与现实生活的密切关系。 [设计思路] 提供挑战性的问题情境（测量金字塔的高），激发学生进行思考和自主探索。通过“与同学交流想法”，使学生在探索的过程中，进一步理解所学的知识，参与运用相似三角形的知识来解决问题的活动。 [教学目标] 1．知识目标：进一步加深对相似三角形的识别和相似三角形的性质的理解，会利用相似三角形解决一些简单的实际问题。 2．能力目标：通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，初步了解数学建模的思想，培养学生分析问题、解决问题的能力。 3．情感目标：让学生体会数学源于实践又服务于实践的特点，培养应用意识，激发其学习的热情，体验探索问题的快乐，使之爱学、会学、会用。 [教学重点与难点] 1．重点：利用相似三角形的相关知识解决实际问题。 2．难点：如何把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型。 [教学过程] 一、创设问题情境 师：（多媒体演示，展示各种图片）同学们，今天让我们先一起来走进世界文明古迹：神秘的埃及金字塔建于4500年前，是古埃及国王与王后的陵墓，迄今已发现大大小小的金字塔110座，大多建于埃及古王朝时期。 师：现在画面所定格的是埃及现存规模最大的胡夫金字塔。据考证，建成这座大金字塔共动用了10万人花了20年时间。在一个烈日高照的下午，埃及著名的考古专家穆罕穆德拉着儿子小穆罕穆德来到了胡夫金字塔脚下，他想借机考一考年仅14岁的小穆罕穆德：给你一根2米高的木杆，一把皮尺，你能利用所学知识来测出塔高吗？没一会儿，小穆罕穆德就顺利解决了这个问题，你知道聪明的小穆罕穆德是如何来测量的吗？
相似三角形知识点总结 知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。 如△ABC 与△A /B /C /相似，记作: △ABC ∽△A /B /C / 。 相似三角形的比叫相似比 相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。 注意：（1）相似比是有顺序的。 （2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这 样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。 （3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC ∽△A /B /C /， 相似比为k ，则△A /B /C /与△ABC 的相似比是1 k 知识点2、相似三角形与全等三角形的关系 （1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。 （2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。 （3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。 知识点3、平行线分线段成比例定理 1. 比例线段的有关概念： 在比例式 ：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2 =AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a b c d ad bc =?= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理 （1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知l1∥l2∥l3, A D l1 B E l2 C F l3 可得 EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或等.
初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， 语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： n m b a =
27.2.2相似三角形应用举例 教学目标: 1．进一步巩固相似三角形的知识． 2．能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题）等的一些实际问题． 3．通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力． 重点、难点 1．重点：运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度． 2．难点：灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）． 一、知识链接 1、判断两三角形相似有哪些方法? 2、相似三角形有什么性质？ 二、.探索新知 1、问题1：学校操场上的国旗旗杆的高度是多少？你有什么办法测量？ 2、在平行光线的照射下，不同物体的物高与影长成比例 练习：（1.）一根1.5米长的标杆直立在水平地面上,它在阳光下的影长为2.1米；此时一棵水杉树的影长为10.5米,这棵水杉树高为( ) A.7.5米 B.8米 C.14.7米 D.15.75米
（2.）在某一刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某一高楼的高为60 米,那么高楼的影长是多少米? 3. 世界现存规模最大的金字塔位于哪个国家，叫什么金字塔？ 胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”．塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间．原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低．在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”，这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？ 3、例题讲解 例3： 据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度． 如图，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO．（思考如何测出OA的长？） 分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度． 解： 4、课堂练习 在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为90米，那么高楼的高度是多少米? （在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例．）
《相似三角形》—中考考点归纳与典型例题 知识点１ 有关相似形得概念 (1)形状相同得图形叫相似图形,在相似多边形中,最简单得就是相似三角形、 (２)如果两个边数相同得多边形得对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多 边形、相似多边形对应边长度得比叫做相似比(相似系数)、 知识点2 比例线段得相关概念、比例得性质 (1)定义: 在四条线段中,如果得比等于得比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段、 注:①比例线段就是有顺序得,如果说就是得第四比例项,那么应得比例式为:、 ② 核心内容: (2)黄金分割:把线段分成两条线段,且使就是得比例中项,即,叫做把线段黄金分割,点叫做线段得黄金分割点,其中≈0、618、即 简记为: 注:①黄金三角形:顶角就是３６０ 得等腰三角形 ②黄金矩形:宽与长得比等于黄金数得矩形 (３)合、分比性质:。 注:实际上,比例得合比性质可扩展为:比例式中等号左右两个比得前项,后项之间 发生同样与差变化比例仍成立、如:等等、 （4）等比性质:如果, 那么、 知识点3 比例线段得有关定理 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线, 已知A Ｄ∥BE ∥C Ｆ, 可得 AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF ===== 或或或或等。 特别在三角形中: 由ＤE ∥B Ｃ可得: 知识点４ 相似三角形得概念 (1)定义:对应角相等,对应边成比例得三角形,叫做相似三角形、相似用符号“∽”表示,读作“相似于” 。相似三角形对应边得比叫做相似比(或相似系数)、相似三角形对应角相等,对应边成比例、 注:①对应性:即把表示对应顶点得字母写在对应位置上 ②顺序性:相似三角形得相似比就是有顺序得。 ③两个三角形形状一样,但大小不一定一样、 ④全等三角形就是相似比为１得相似三角形、 (2)三角形相似得判定方法 B
三角函数和相似三角形综合题 1、（2017?哈尔滨）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=4，AC=1，则cosB 的值为（ ） A ．14 D 2、（2017?金华）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则tanA 的值是（ ） A ．34 B.43 C.35 D.45 3、（2017?聊城）在Rt △ABC 中，cosA=12 ，那么sinA 的值是（ ） A ．2 B ．2 C ．3 D ．12 4、（2017?安顺）如图，⊙O 的直径AB=4，BC 切⊙O 于点B ，OC 平行于弦AD ，OC=5，则AD 的长为（ ） A ．65 B ．85 C ．5 D ．5 5、（2017?滨州）如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠ABC=30°，点D 是CB 延长线上的一点，且BD=BA ，则tan ∠DAC 的值为（ ） A ． B ． C ． D ． 6、（2017?白银）美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之 一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A ，B 两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D 进行了测量．如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°．若AB=132米，求观景亭D 到南滨河路AC 的距离约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
7、（2017?淮安）A，B两地被大山阻隔，若要从A地到B地，只能沿着如图所示的公路先从A地到C地，再由C地到B地．现计划开凿隧道A，B两地直线贯通，经测量得：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=20km，求隧道开通后与隧道开通前相比，从A地到B地的路程将缩短多少？（结果精确到0.1km, ，） 8、（2017?常德）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC=0.60米，底座BC 与支架AC所成的角∠ACB=75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮框D的距离FD=1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=60°，求篮框D到地面的距离（精确到0.01米）（参 考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，3≈1.732，2≈1.414） 9（2017?张家界）位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）
27.2.3 相似三角形应用举例 一、课标要求: 会利用图形的相似解决一些简单的实际问题. 二、课标理解：识现实生活中物体的相似，能利用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题；通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，培养分析问题、解决问题的能力. 三、内容安排： 【教学目标】 知识与技能：1.能运用相似三角形的数学模型解决现实世界的测量问题；2.通过例题的分析与解决，让学生进一步感受相似三角形在实际生活中的应用. 过程与方法：引导学生将实际问题转化为数学问题，建立相似三角形模型，再应用相似三角形知识求解，体会相似三角形的应用方法. 情感、态度与价值观：发展学生的转化意识和自主探究、合作交流的习惯，体会相似三角形的实际应用价值，增加学生应用数学知识解决实际问题的经验和感受. 【教学重难点】 重点：运用相似三角形的知识解决生活中的一些测量问题. 难点：如何把实际问题转化相似三角形这一数学模型. 四、教学过程 （一）孕育 问题：（1）怎样判断两个三角形相似？ （2）相似三角形的性质有哪些？ 引入：胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”.塔的 4 个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230 米.据考证，为建成胡夫金字塔，一共花了20 年时间，每年用工10 万人.该金字塔原高146.59 米，但由于经过几千年的风化吹蚀，高度有所降低. 在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯.一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的.你知道泰勒斯是怎样测量金字塔高度的吗？ 引出课题：今天，我们就来研究利用三角形的相似，解决一些有关测量的问题. （二）萌发生长 1.探究测量物体高度 例1：据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影
第十一篇相似三角形的应用（1） 考点梳理 一、位似图形 1位似图形： 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，那么这两个图形叫做位似图形。位似图形对应点连线的交点是位似中心，这时的相似比又称为位似比。 2.位似图形的性质： （1）位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。 （2）位似图形对应点连线的交点是位似中心。对应线段平行或共线。 （3）相似形具有的性质位似形都具有。 二、相似三角形的简单应用 1.利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； 2.利用三角形相似，求线段的长等 3.利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度．如求河的宽度、求建筑物的高度等． 典例探究 【例1】下列关于位似图形的表述： ①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心； ③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比． 其中正确命题的序号是（） A．②③B．①②: C．③④D．②③④ 变式训练：如图1，平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为（3，0），(2，-3)，则△AB' O'是△ABO关于点A的位似图形，且O'的坐标为(一1, 0)，则点B' 的坐标为___________.
【例2】如图2，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ， 高AD=80mm ， 要把它加工成矩形零件，使一边在BC 上，其余两个顶点分别在边AB 、AC 上， （1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？ （2）若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？ 变式训练：如图，△ABC 是一块三角形余料，AB=AC=13cm ，BC=10cm ，现在要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在△ABC 的边上，其余两个顶点分别在三角形另外两条边上．试求正方形的边长是多少？ 【例3】阅读以下文字并解答问题： 在“测量物体的高度” 活动中，某数学兴趣小组的4名同学选择了测量学校里的四棵树的高度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作： 小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）． 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米． 小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，落在地面上的影长为4.4米． 小明：测得丁树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如图4）．身高是1.6m 的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2m ． 甲树的高度为 米．乙树的高度 米丙树的高度为为 米．丁树的高 图1 图2 图3 图4
相似三角形知识点讲解及专项练习 相似三角形的判定方法总结： 1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS ） 3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS) 4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA) 5. 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 相似三角形的模型方法总结： “反A”型与“反X”型. 示意图 结论 E D C B A 反A 型： 如图，已知△ABC ，∠ADE =∠C ，则△ADE ∽△ACB （AA ），∴AE · AC =AD ·AB. 若连CD 、BE ，进而能证明△ACD ∽△ABE (SAS) O D C B A 反X 型： 如图，已知角∠BAO =∠CDO ，则△AOB ∽△DOC （AA ），∴OA ·OC =OD ·OB . 若连AD ，BC ，进而能证明△AOD ∽△BOC . “类射影”与射影模型 示意图 结论 相似三角形证明方法 模块一 相似三角形6大证明技巧 专题
类射影 如图，已知2AB AC AD =?，求证： BD AB BC AC = A B C D 射影定理 已知△ABC ，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，求证：2AC AH AB =?，2BC BH BA =?，2HC HA HB =? 通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A 型，X 型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”. 但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。 在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧. 技巧一：三点定型法 技巧二：等线段代换 技巧三：等比代换 比例式的证明方法 模块二
中考简答题第20题相似三角形与锐角三角函数 类型一与相似三角形有关的几何测量 1.如图,小明想利用所学的几何知识测量学校操场上旗杆AB的高度,他的测量方案如下:他在测量过程中两次利用镜子,第一次把镜子放在C点,小明在F点正好在镜子中看见旗杆顶端A，第二次把镜子放在D点,小明在H点正好在镜子中看到旗杆顶端A.已知图中的所有点均在同一平面内AB⊥BH，EF⊥BH，GH⊥BH，小明的眼晴到地面的距离EF=GH=1.68米，测得CD=10米，CF= 2.4米，DH= 3.6 米,请你利用这些数据求出旗杆AB的高度。
2.小明想用镜子测量一颗松树的高度，但因树旁有一条河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，如图所示，第一次把镜子放在C点，人在F 点时，正好在镜子中看到树尖A，第二次把镜子放在D点，人在H点时，正好看到树尖A，已知小明的眼睛距离地面1.6m，量的CD=12m，CF=1.8m，DH= 3.8m，请你求出松树的高。
3.春节期间的一天晚上,小玲和小明去看灯展.如图,当小明站在灯杆AB和灯杆CD之间的F点处,小林的身高为EF,小玲发现了奇怪的一幕:小明在灯A的照射下,影子恰好落在灯杆CD的底部D点处,小明在灯C的照射下,影子恰好落在灯杆AB的底部B点处.已知图中所有点都在同一平面内，AB、CD、EF都与BD垂直,垂足分别是B、D、F,且AB=2m，CD=6m， 求小明的身高EF。 4.大唐芙蓉园是中国第一个全方位展示盛唐风貌的大型皇家园林式文化主题公园，全园标志性建筑以紫云楼卫代表，展示了“形神升腾紫云景，天下臣服帝王心”的唐代帝王风范，（如图①），小风和小花等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“紫云楼”的高度,来检验自己掌握知识和运用知识的能力,他们经过研究发现需要两次测量:如图②,首先,在阳光下,小风在紫云楼影子的末端C 点处竖立一根标杆CD,此时,小花测得标杆CD的影长CE=2米;然后,小风从C点沿BC方向走了 5.4米,到达G处,在G处竖立标杆FG,接着沿BG后退到点M处时,恰好看见紫云楼顶端A和标杆顶端F在一条直线上,此时,小花测得GM=0.6米.已知小风的眼睛到地面的距离HM=1.5米,标杆CD=FG=2米AB⊥BM，CD ⊥BM，FG⊥BM，HM⊥BM,请你根据题中提供的相关信息,求出紫云楼的高AB。
标准对数视力表 0.1 4.0 0.12 4.1 0.15 4.2 相似三角形在实际生活中的应用 【知识点击】 1、如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过 ，那么这样的两个图形就称为位似图形。此时的这个点叫做 ，相似比又称为 ． 注：位似图形作为一种特殊的相似图形，是最重要的图形之一．但相似图形未必都能够成位似关系．所谓位似图形，是指两个图形不仅是相似图形，而且___________________，此时的这个点叫做位似中心，相似比又称为_____________．位似图形具有相似图形的所有性质，利用位似的方法可以将一个多边形放大或缩小． 2、相似多边形的性质_____________________________________________________ 【重点演练】 知识点一、位似图形 例1、如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O 和△ABC 的顶点均在小正方形的顶点. （1）以O 为位似中心，在网格图中作△A ′B ′C ′和△ABC 位似，且位似比为1︰2； （2）连接（1）中的AA ′,求四边形AA ′C ′C 的周长.（结果保留根号） 例2、如图3，以点O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA =10cm ，OA ′=20cm，则五边形ABCDE 的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是 ． 变式训练： 1.视力表对我们来说并不陌生．如图是视力表的一部分，其中开口向上的两 个“E ”之间的变换是（ ） A ．平移 B ．旋转 C ．对称 D ．位似 2. 如图，正方形OEFG 和正方形ABCD 是位似形，点F 的坐标为（1，1），点C 的坐标为（4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是 ． 图3 ′
相似三角形基本知识 知识点一：放缩与相似 1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。 注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。 ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。 ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形． 3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。 注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ： n （或n m b a = ） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如d c b a = 4、比例外项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。 5、比例内项：在比例 d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。 6、第四比例项：在比例 d c b a =（或a ：b ＝ c ： d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为a b b a = （或 a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比 例中项。 8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ） ，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）
1. 相似三角形的判定定理: 推论一一直角三角形相似： (1) 直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。 (2) 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例, 那么这两个直角三角形相似。 2. 性质定理： (1) 对应角相等。 (2) 对应边成比例。 (3) 对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 (4) 周长比等于相似比。 (5) 面积比等于相似比的平方。 3. 相似三角形的传递性 如果△ABC S ^I B I C I ,M I B I C I s 公2B 2C 2，那么△ ABC "A 2B 2C 2 精选文档 相似三角形考点 4、 比例的性质 a c (1) 比例的基本性质： =— b d a c a b (2) 合比性质： =- b d b (3) 等比性质：a =- = L =m b d n ad 二be (bd H 0) e d d a e L m a 八 b d L (b d L n u) n b
精选文档 如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形 叫做位似图形，这个点叫做位似中心。对应边的比叫做位似比，位似比等于相似比。 锐角三角函数知识点总结 1、勾股定理：直角三角形两直角边 a 、b 的平方和等于斜边 c 的平方。 a 2 b 2 c 2 2、如下图，在 Rt △ AB （中，/ C 为直角，则/ A 的锐角三角函数为（ZA 可换成/B ）: 3、特殊角的三角函数值（重要） 三角函数 30 ° 45 ° 60 ° \ 疋 义 表达式 正 弦 sin A - A 的对边 斜边 a sin A — c 余 弦 cosA - A 的邻边 斜边 .b cos A - c 正 切 tan A - A 的对边 A 的邻边 tan A — b
相似三角形在实际生活中的应用
相似三角形在实际生活中的应用 【知识点击】 1、如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过，那么这样的两个图形就称为位似图形。此时的这个点叫做，相似比又称为． 注：位似图形作为一种特殊的相似图形，是最重要的图形之一．但相似图形未必都能够成位似关系．所谓位似图形，是指两个图形不仅是相似图形，而且___________________，此时的这个点叫做位似中心，相似比又称为_____________．位似图形具有相似图形的所有性质，利用位似的方法可以将一个多边形放大或缩小． 2、相似多边形的性质_____________________________________________________ 【重点演练】 知识点一、位似图形 例1、如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均在小正方形的顶点. （1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1︰2； （2）连接（1）中的AA′,求四边形AA′C′C的周长.（结果保留根号） 例2、如图3，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是．
B′ A′ -1 x 1 O -1 1 y B A C 标准对数视力 0.1 4.0 0.12 4.1 0.15 4.2 变式训练： 1.视力表对我们来说并不陌生．如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“E ”之间的变换是（ ） A ．平移 B ．旋转 C ．对称 D ．位似 2. 如图，正方形OEFG 和正方形ABCD 是位似形，点F 的坐标为（1，1），点C 的坐标为 （4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是 ． 3、如图，△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(-1，0)．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A ′B ′C ，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍．设点B 的对应点B′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是（ ） A ．1 2 a - B ．1(1)2 a -+ C ．1 (1)2 a -- D ．1 (3)2 a -+ 图3 O A B C D E A ′ B ′ C ′ ′ E ′ y x A B C D F E G O
相似三角形基本知识 知识点一：放缩与相似 1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。 注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。 ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。 ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形． 3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。 注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ： n （或 n m b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如d c b a = 4、比例外项：在比例 d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。 5、比例项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例项。 6、第四比例项：在比例 d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例项相等，即比例为 a b b a =（或a:b ＝b: c 时，我们把b 叫做a 和 d 的比例 中项。
一、选择题 １．下列多边形一定相似的为( ) A ．两个矩形 B.两个菱形? C ．两个正方形 ?D.两个平行四边形 2．在△ＡＢC 中,ＢC=15cm,CA=45ｃm,AB=63ｃm,另一个和它相似的三角形的最短边是5cm,则最长边是( ） Ａ.1８cm B ．２1cm ? C.24c ｍ Ｄ．19.5c ｍ ３．如图,一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下,倒下部分与地面成3０°夹角,这棵大树在折断前的高度为（ ) A.1０米? B.15米 C.25米? D ．30米 4．若A B ∠∠、均为锐角，且2 1 cos 21 sin = =B A ，,则( ）. Ａ．?=∠=∠60B A ??? Ｂ.?=∠=∠30B A Ｃ．?=∠?=∠3060B A ， ? ?D.?=∠?=∠6030B A ， 5. 如图:把△ AB Ｃ沿A Ｂ边平移到△A ＇B'C'的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分） 的面积是空白部分面积的一半,若ＡB=1,则此三角形移动的距离A Ａ'是（ ) A 2- 1?B 2 ?C ．2 1- D ． 1 2 ６. Ｐ是R ｔ△A ＢC 的斜边ＢC 上异于B , Ｃ的一点,过P 点作直线截△A ＢC ，使截 得的三角形与△A ＢC 相似，满足这样条件的直线共有（ ） A. l 条 ??Ｂ. 2条? ?C. 3 条 D. 4条 7. 在△A ＢＣ中，∠A=10５°,∠B=４5°，ｔａｎＣ的值是（ ） A. 21 ????B. 3 3 ? C ． 1 ? D. 3 8.如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为６,8,现将ABC △如图那样折叠，使点A 与 点B 重合,折痕为DE ，则tan CBE ∠的值是( ） A ． 24 7 ?7 C ．724? D ．13 1０ 题 A B D C E 30 ° 6 8 C E A B D （第8题）
相似三角形知识点汇总 重点、难点分析： 1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点． 2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。 一、重要定理 （比例的有关性质）： 二、有关知识点： 1.相似三角形定义： 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。 2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。 3.相似三角形的相似比： 相似三角形的对应边的比叫做相似比。 4.相似三角形的预备定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。 5.相似三角形的判定定理： 6.直角三角形相似： (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。 (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 7.相似三角形的性质定理： (1)相似三角形的对应角相等。 (2)相似三角形的对应边成比例。 (3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 (4)相似三角形的周长比等于相似比。 (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。 8. 相似三角形的传递性 如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2 反比性质：c d a b = 更比性质：d b c a a c b d ==或 合比性质：d d c b b a ±=± ?=?=bc a d d c b a （比例基本定理）
相似三角形判定的基本模型 A字型 X字型反A字型反8字型母子型旋转型双垂直三垂直相似三角形判定的变化模型 C B E D A
圆与三角函数及相似三角形综合训练题 1.如图，R t△ABC中，∠ACB=90 ，AC=4，BC=2，以AB上的一点O为圆心作⊙O分别与AC、 BC相切于D、E。⑴求⊙O的半径。⑵求sin∠BOC的值。 2.如图，如图，R t△ABC中，已知∠ACB=90 ，BC=6，AB=10，以BC为直径作⊙O交AB于 D,AC、DO的延长线交于E,点M为线段AC上一点，且CM=4. ⑴求证：直线DM是⊙O的切线。⑵求tan∠E的值。
3．﹙河南中考题﹚已知，如图，在半径为4的⊙O 中，AB 、CD 是两条直径，M 为OB 的中点，CM 的延长线交⊙O 于点E,且EM ﹥MC.连结DE ，DE=15.⑴求EM 的长；⑵求sin ∠EOB 的值。 4.﹙河南中考题﹚已知：如图，点DC 是以AB 为直径的半圆上的两点，O 为圆心，DB 与AC 相交于点E,OC ∥AD,AB=5，cos ∠CAB=5 4.求CE 和DE 的长。
5. ﹙河南中考题﹚已知：如图，AB是⊙O的直径，O为圆心，AB=20，DP与⊙O相切于点D,DP ⊥PB,垂足为P,PB与⊙O交于点C,PD=8. ⑴求BC的长；⑵连结DC,求tan∠PCD的值；⑶以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，求直线BD的解析式。 6. ﹙北京中考题﹚已知：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E,交AD于点F，交AE于点M,且∠B=∠CAE, FE:FD=4:3. ⑴求证：AF=DF；⑵求∠AED的余弦值；⑶如果BD=10，求△ABC的面积。
7. ﹙北京海淀区中考题﹚已知：以R t△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D,E为BC边上的中点，连结DE. ⑴如图，求证：DE是⊙O的切线；⑵连结OE、AE.当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形，并在此条件下求sin∠CAE的值。 8．﹙天津中考题﹚如图，R t△ABC中，∠C=90 ，AC=3，BC=4，以点C为圆心、CA为半径 的圆与AB、BC分别交于点D、E.求AB、AD的长。
1 / 2 初中数学优秀生特长生培训方案 相似三角形与实际应用 一， 思想、方法解读 利用相似三角形解决实际问题的方法与步骤 1、 分析题意 2、 画出图形 3、 找出两个能解决问题的两个相似三角形 4、 证明这两个三角形相似 5、 写出比例式（要包含已知条件和题中要求的未知量或相关量） 6、 由比例式解决问题或由比例式列方程解决问题 二，思想方法分类例析 （一）利用相似三角形进行测量 例1．在一次数学活动课上，李老师带领学生去测教学楼的高度，在阳光下，测得身高为1.65m 的黄丽同学BC 的影长BA 为1.1m ，与此同时，测得教学楼DE 的影长DF 为12.1m ，如图所示，请你根据已测得的数据，测出教学楼DE 的高度．(精确到0.1m) 例2.我侦察员在距敌方200米的地方发现敌人的一座建筑物，但 不知其高度又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员食指竖直举在右眼 前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住。若 此时眼睛到食指的距离约为40cm ，食指的长约为8cm,你能根据上述 条件计算出敌方建筑物的高度吗？请说出你的思路。 例3．小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m 的竹竿影长0.9m ，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m ，又测得地面部分的影长2.7m ，他求得的树高是多少？ 例4.如图:学校旗杆附近有一斜坡．小明准备测量学校旗杆AB 的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB 的影子恰好落在水 平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影长BC =20 米，斜坡坡面上的影长CD =8米，太阳光线AD 与水平地面成30° 角，斜坡CD 与水平地面BC 成30°的角，求旗杆AB 的高度（精确到1米）． （二）利用相似三角形进行方案设计 例5、如图， ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高 AH=80毫米,要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上， 其余两个顶点分别在AB 、AC 上．这个正方形零件的边长是多少? 例6、一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5m ，面 积为1.22m ，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌 面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案，甲的方案如图（1），乙的 A B C D