27.2.2相似三角形应用举例
教学目标:
1.进一步巩固相似三角形的知识.
2.能够运用三角形相似的知识,解决不能直接测量物体的长度和高度(如测量金字塔高度问题、测量河宽问题)等的一些实际问题.
3.通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型,进一步了解数学建模的思想,培养分析问题、解决问题的能力.
重点、难点
1.重点:运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度.
2.难点:灵活运用三角形相似的知识解决实际问题(如何把实际问题抽象为数学问题).
一、知识链接
1、判断两三角形相似有哪些方法?
2、相似三角形有什么性质?
二、.探索新知
1、问题1:学校操场上的国旗旗杆的高度是多少?你有什么办法测量?
2、在平行光线的照射下,不同物体的物高与影长成比例
练习:(1.)一根1.5米长的标杆直立在水平地面上,它在阳光下的影长为2.1米;此时一棵水杉树的影长为10.5米,这棵水杉树高为( )
A.7.5米
B.8米
C.14.7米
D.15.75米
(2.)在某一刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某一高楼的高为60 米,那么高楼的影长是多少米?
3.
世界现存规模最大的金字塔位于哪个国家,叫什么金字塔?
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔,被喻为“世界古代七大奇观之一”.塔的4个斜面正对东南西北四个方向,塔基呈正方形,每边长约230多米.据考证,为建成大金字塔,共动用了10万人花了20年时间.原高146.59米,但由于经过几千年的风吹雨打,顶端被风化吹蚀,所以高度有所降低.在古希腊,有一位伟大的科学家叫泰勒斯.一天,希腊国王阿马西斯对他说:“听说你什么都知道,那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧!”,这在当时条件下是个大难题,因为是很难爬到塔顶的.你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗?
3、例题讲解
例3:
据史料记载,古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理,在金字塔影子的顶部立一根木杆,借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度.
如图,如果木杆EF长2 m,它的影长FD为3 m,测得OA为201 m,求金字塔的高度BO.(思考如何测出OA的长?)
分析:根据太阳光的光线是互相平行的特点,可知在同一时刻的阳光下,竖直的两个物体的影子互相平行,从而构造相似三角形,再利用相似三角形的判定和性质,根据已知条件,求出金字塔的高度.
解:
4、课堂练习
在某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某一高楼的影长为90米,那么高楼的高度是多少米? (在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例.)
问题:估算河的宽度,你有什么好办法吗?
5、例4
如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标P ,在近岸取点Q 和S ,使点P 、Q 、S 共线且直线PS 与河垂直,接着在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T ,确定PT 与过点Q 且垂直PS 的直线b 的交点R .如果测得QS = 45 m ,ST = 90 m ,QR = 60 m ,求河的宽度PQ .
分析:设河宽PQ 长为x m ,由于此种
测量方法构造了三角形中的平行截线,故可 得到相似三角形,因此有ST QR PS PQ =, 即90
6045x x =+.再解x 的方程可求出河宽.
解:
6、课堂练习
如图,测得BD=120 m ,DC=60 m ,EC=50 m ,求河宽AB 。
7、结合此题写出测量河宽的方案。
三、回顾与反思.
(1) 谈谈本节课你有哪些收获.
四、当堂检测
? 1 如图,这是圆桌正上方的灯泡(当成一个点)发出的光线照射桌面形成阴影的示意图,已知桌面的直径为1.2米,桌面距离地面为1米,若灯泡距离地面3米,则地面上阴影部分的面积为多少?
2.为了测量一池塘的宽AB,在岸边找到了一点C,使AC⊥AB,在AC上找到一点D,在BC上找到一点E,使DE⊥AC,测出AD=35m,DC=35m,DE =30m,那
E
3、如图,一条河的两岸有一段是平行的,在河的南岸边每隔5米有一棵树,在北岸边每隔50米有一根电线杆.小丽站在离南岸边15米的点处看北岸,发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住,并且在这两棵树之间还有三棵树,则河宽为米.
4、如图,已知零件的外径a为25cm ,要求它的厚度x,需先求出内孔的直径AB,现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)去量,若OA:OC=OB:OD=3,且量得CD=7cm,求厚度x。
F
E D
C
B
A
L'L
F'F
B
H
A B
C
D
5 、如图,△ABC 是一块锐角三角形余料,边BC=120毫米,高AD=80毫米,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC 上,其余两个顶点分别在 AB 、AC 上,这个正方形零件的边长是多少?
N M Q P
E D C B A