初二数学“四边形（Ⅰ）”的解题方法与技巧
●学习要求
1．理解多边形及其有关概念，掌握多边形的内角和定理与多边形的外角和定理；
2．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理，会用平行四边形的性质定理与判定定理来解决简单的几何证明和计算问题。
3．理解矩形、菱形、正方形的概念，清楚它们之间的内在关系；掌握矩形、菱形、正方形的特殊性质和判别方法，并能运用这些知识进行有关简单的证明和计算．
本章学习的能力训练点是结合特殊四边形性质和判定方法以及相关问题的证明，进一步发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力．
●方法点拨
考点1：多边形的内角和定理与多边形的外角和定理
1．（n＋1）边形的内角和比n边形的内角和大（）
A．180°； B．360°； C．n·180°； D．n·360°．
变式演练：一个多边形除去一个内角之外，其余各内角之和是2570°，则这个内角的度数为（）A．90°； B．105°； C．130°； D．120°．
2．若多边形的所有内角与它的一个外角的和为600°，求边数和内角和．
变式演练：如果各角都相等的多边形的一个内角是它的外角的n倍，则这个多边形的边数是（）答案：B
A．不存在； B．2n＋2； C．2n－1 ； D．以上都不对．
3．如下几个图形是五角星和它的变形．
（1）图（1）中是一个五角星，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E．
（2）图（1）中的点A向下移到BE上时，五个角的和（即∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E）有无变化？如图（2），说明你的结论的正确性．
（3）把图（2）中的点C向上移动到BD上时，五个角的和（即∠CAD＋∠B+∠ACD＋∠D＋∠E）有无变化？如图（3），说明你的结论的正确性．
考点2：平行四边形的性质与判定应用
1．顺次联结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是（ ） A ．平行四边形； B ．矩形； C ．菱形； D ．正方形
2．（Ⅰ）已知：如上图，ABCD 的对角线AC BD 、相交于点O ，
EF 过点O 与AB CD 、分别相交于点E F 、．
求证：BE DF =
（Ⅱ）请写出使如下图所示的四边形ABCD 为平行四边形的条
件（例如，填：AB CD ∥且AD BC ∥．在不添加辅助线的
情况下，写出除上述条件外的另外四组条件，将答案直接写在下面
的横线
上．） (1)： ； (2)： ；
(3)： ；
(4)： ．
变式演练：1．如图，已知ABCD 中，E 为AD 的中点，CE 的延长线交BA 的延长线于点F ．
（1）求证：CD FA =； （2）若使F BCF ABCD ∠=∠，
请你补上这个条件，并进行证明（不要再增添辅助线）．
2．如图，在ABCD 中，E 为BC 边上一点，且AB AE =．
（1）求证：ABC EAD △≌△． （2）若AE 平分DAB ∠，25EAC =∠，求AED ∠的度数．
D A C
O B
D A
E C
F O
B B A
F
考点3：特殊平行四边形的性质与判定应用
1．如图，将矩形纸片ABCD （图1）按如下步骤操作：（1）以过点A 的直线为折痕折叠纸片，使点B 恰好落在AD 边上，折痕与BC 边交于点E （如图2）；（2）以过点E 的直线为折痕折叠纸片，使点A 落在BC 边上，折痕EF 交AD 边于点F （如图3）；（3）将纸片收展平，那么∠AFE 的度数为（ ）
A ．60°；
B ．67.5°；
C ．72° ；
D ．75°
2．如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的角平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ． （1）求证：EO =FO ；
（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？ 并证明你的结论．
3．如图，在Rt ABC △中，60A =∠，点E F ，分别在AB AC ，上，
沿EF 对折，使点A 落在BC 上的点D 处，且FD BC ⊥．
（1） 确定点E 在AB 上和点F 在AC 上的位置； （2） 求证：四边形AEDF 是菱形．
变式演练：已知：如图，在ABCD 中，E F ，分别为边AB CD ，的中点，BD 是对角线，AG DB ∥交
CB 的延长线于G ．
（1）求证：ADE CBF △≌△；
（2）若四边形BEDF 是菱形，则四边形 是什么特殊四边形？并证明你的结论．
4．如图1，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O E ，是AC 上一点，连结EB ，过点A 作
F D 60
A
D F
B
E A B C E
F M N O (第19题图）
AM BE ⊥，
垂足为M AM ，BD F 于点． （1）求证：OE OF =；
(2)如图2，若点E 在AC 的延长线上，AM BE ⊥于点M ，交DB 的延长线于点F ，其它条件不变，则结论“OE OF =”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
变式演练：如图，正方形ABCD 的边长为1，G 为CD 边上的一个动点（点G 与C ，D 不重合），以CG 为一边向正方形ABCD 外作正方形GCEF ，连结DE 交BG 的延长线于H ．
(1)求证：① BCG △≌DCE △；② BH ⊥DE ． (2)试问当点G 运动到什么位置时，BH 垂直平分DE ?请说明理由．
5．如图，过四边形ABCD 的四个顶点分别作对角线AC 、BD 的平行线，所围成的四边形EFGH 显然是平行四边形。
（1）当四边形ABCD 分别是菱形、矩形、等腰梯形时，相应的平行四边形EFGH 一定是．．．“菱形、矩形、正方形”中的哪一种？请将你的结论填入下表：
D C 图 E
F
（2
必须．．
满足．．怎样的条件？
6. 正方形ABCD 中，点O 是对角线AC
1，当点P
与点O 重合时，显然有DF ＝CF ． ⑴如图2，若点P 在线段AO 上（不与点 ①求证：DF ＝EF ；
②写出线段PC 、PA 、CE 之间的一个等量关系，并证明你的结论； ⑵若点P 在线段OC 上（不与点O 、C 重合），PE ⊥PB 且PE 交直线CD 于点E 。请完成图3并判断⑴中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）
图1
图2
图3
解题技巧专题：特殊平行四边形中的解题方法 ◆类型一特殊四边形中求最值、定值问题 一、利用对称性求最值【方法10】 1．(2017·青山区期中)如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，P，Q分别是AC，AD上的动点，连接DP，PQ，则DP＋PQ的最小值为________． 第1题图第2题图 2．(2017·安顺中考)如图，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为________． 二、利用面积法求定值 3．如图，在矩形ABCD中，点P是线段BC上一动点，且PE⊥AC，PF⊥BD，AB＝6，BC＝8，则PE＋PF的值为________． 【变式题】矩形两条垂线段之和→菱形两条垂线段之和→正方形两条垂线段之和眉山期末)如图，菱形ABCD的周长为40，面积为25，P是对角线BD上一点， (1)(2017· 分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE＋PF等于________． 变式题(1)图变式题(2)图 (2)如图，正方形ABCD的边长为1，E为对角线BD上一点且BE＝BC，点P为线段CE 上一动点，且PM⊥BE于M，PN⊥BC于N，则PM＋PN的值为________． ◆类型二正方形中利用旋转性解题 4．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是__________．
5．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°.求证：S△AEF ＝S△ABE＋S△ADF. 6．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，P为正方形ABCD外一点，且BP⊥CP，连接OP. 求证：BP＋CP＝2OP.
初二数学“四边形（Ⅰ）”的解题方法与技巧学习要求 1．理解多边形及其有关概念，掌握多边形的内角和定理与多边形的外角和定理； 2．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理，会用平行四边形的性质定理与判定定理来解决简单的几何证明和计算问题。 3．理解矩形、菱形、正方形的概念，清楚它们之间的内在关系；掌握矩形、菱形、正方形的特殊性质和判别方法，并能运用这些知识进行有关简单的证明和计算．本章学习的能力训练点是结合特殊四边形性质和判定方法以及相关问题的证明，进一步发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力． 方法点拨 考点1：多边形的内角和定理与多边形的外角和定理 1．（n＋1）边形的内角和比n边形的内角和大（） A．180°；B．360°；C．n·180°；D．n·360°． 变式演练：一个多边形除去一个内角之外，其余各内角之和是2570°，则这个内角的度数为（） A．90°；B．105°；C．130°；D．120°． 2．若多边形的所有内角与它的一个外角的和为600°，求边数和内角和． 变式演练：如果各角都相等的多边形的一个内角是它的外角的n倍，则这个多边形的边数是（）答案：B A．不存在；B．2n＋2；C．2n－1 ；D．以上都不对． 3．如下几个图形是五角星和它的变形． （1）图（1）中是一个五角星，求∠A＋ ∠B＋∠C＋∠D＋∠E． （2）图（1）中的点A向下移到BE上时， 五个角的和（即∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E） 有无变化如图（2），说明你的结论的正确性． （3）把图（2）中的点C向上移动到BD上时，五个角的和（即∠CAD＋∠B+∠ACD＋∠D ＋∠E）有无变化如图（3），说明你的结论的正确性． 考点2：平行四边形的性质与判定应用
平行四边行常见题型及解题思路 一、基本知识储备 1、直角三角型：直角三角型斜边的中线等于斜边的一半；另外两锐角和等于90°；勾股定理 2、中位线定理：三角形两边中点的连线平行且等于第三边的一半 3、三线合一：等腰三角形底边上的中线就是它的顶角平分线和底边上的高 4、全等三角形证明：SSS SAS ASA AAS HL 5、平行四边形的证明方法: // // == ×∠∠ 二、常见题型分析 （一）平行四边形判定定理的应用 1、下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）． A．AB=CD，AD=BC B．AB=AD，BC=CD C．AB//CD，AB=CD D．∠A=∠C，∠B=∠D 2、已知，从①AB//CD，②AB=CD，③BC//AD，④BC=AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有种． （二）已知某两条短线段相等。（相等线段加减同一条线段所得线段仍然相等，一般结合三角型全等解题） 1、已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且 2、平行四边形ABCD中,E、F在对角线BD上,BE=DF.求证:四边形AECF （三）已知线段中点，求证中点连线所组成的四边形为平行四边形或者求解四边形边长。（中位线定理，一般结合平行四边形的判定方法） 1、在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过O点作OE//AB交CB于E，若BE=3cm，则AD= ． A B C D E O
2、求证：四边形中点连线组成的四边形是平行四边形。 3、如图，△ABC 中∠ACB ＝90o ，点D 、E 分别是AC ，AB 的中点，点F 在BC 的延长线上，且∠CDF ＝∠A 。求证：四边形DECF 是平行四边形。 （四）已知角平分线，求证四边形为平行四边形或求解线段长度。（一般结合两直线平行内错角相等得等腰三角形，） 1、□ABCD 中，若AB=2，BC=3，∠B 、∠C 的平分线分别交AD 于E 、F ，则EF= ． 2、如图，□ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，CF 平分∠BCD 交AD 于点F 求证：四边形AECF 是平行四边形. 3、已知，如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE//AB 交AC 于点E ，F 是AB 上一点，且BF=AE ．求证：BE 、DF 互相平分． A B C D E F A B D C F E A B C D E F
四边形解题技巧 一、平行四边形应用举例 平行四边形具有对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分等性质，它们在计算、证明中都有广泛的应用，现举例说明． 1．求角的度数 例1 如图，ABCD中．AD=2AB，点E、A、B、F在一条直线上，且EA＝AB＝BF，求∠DOC 的度数． 例2 如图，若ABCD与EBCF关于BC所在直线对称，∠ABE=90°，则∠F=______． 2．求线段的长 例3 如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠A=120°，∠B＝60°，∠BCD＝∠150°，求AD的长． 例4 如图，在DABCD中，AD＝5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE、EC 的长度分别为( ) A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和4
例5 如图，在ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，∠EAF = 45°，且AE +AF =22，求ABCD 的周长． 4．求第三边的取值围 例6 如图，在 ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点0，如果AC =12，BD =10，AB =m ，那么m 的取值围是( ) A ．10 例8 如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BCD的平分线CF交边AB于点F，∠ADC的平分线DG交边AB于点G，且DG与CF交于点E．请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得△EFG为等腰直角三角形，并说明理由． 二、添作中位线，妙证几何题 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．这是三角形的一条很重要的性质，它包含了位置与数量两种关系．在题中，若有线段的中点，可过中点作第三边的平行线或取另一边中点构造中位线，运用中位线定理，实现线段或角的转移，从而迅速找到解题突破口，往往会使得某些看似无法解决的几何题化难为易，迎刃而解．例9 如图，在△ABC中，AB 中考数学解题策略专题02 平行四边形的存在性问题 专题攻略 解平行四边形的存在性问题一般分三步： 第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算． 难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快． 如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况． 根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便．根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便． 例题解析 例?如图1-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点（A在B的左侧）， 与y轴交于点C，顶点为P，如果以点P、A、C、D为 顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标． 图1-1 例?如图2-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2+2x＋3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标． 图2-1 例? 如图3-1，在平面直角坐标系中，直线y ＝－x ＋4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 在直线AB 上，在平面直角坐标系中求一点D ，使得以O 、A 、C 、D 为顶点的四边形是菱形． 图 3-1 例? 如图4-1，已知抛物线241633 y x x =+与x 轴的负半轴交于点C ，点E 的坐标为(0,－3)，点N 在抛物线的对称轴上，点 M 在抛物线上，是否存在这样的点M 、N ，使得以M 、N 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若 不存在，请说明理由． 图4-1 例?如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax －3a （a ＜0）与x 轴交于A 、B 四边形类题型解题技巧 四边形是几何知识中非常重要一块内容，因其“变化多端”更是成为中高考数学考试一个热门考点。如其中特殊四边形--平行四边形具有对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分等性质，它们在计算、证明中都有广泛的应用，如求角的度数、求线段的长、求周长、求第三边的取值范围、综合计算题、探索题等等问题. 典型例题1： 解题反思： 本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键。 辅助线是解决四边形一个重要知识点，如构造三角形中位线。实现线段或角的转移，从而迅速找到解题突破口，往往会使得某些看似无法解决的几何题化难为易，迎刃而解。 解题反思： 本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形和平行四边形． 除了中位线，在一些四边形问题解决过程中，出现这样解法：顺次连结四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形。这个中点四边形有许多重要性质，在中考试题中也屡见不鲜，中点四边形的四个结论如下：任意四边形的中点四边形是平行四边形、对角线相等的四边形的中点四边形是菱形、对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形、对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形。 因为四边形的两条对角线垂直，所以这个四边形的中点四边形是矩形，又因为这个四边形的。两条对角线相等，所以这个四边形的中点四边形是菱形。既是矩形又是菱形的图形就是正方形。 近几年随着新课改不断的深入，中考题更加考查学生思维能力，如出现一些图形折叠、翻转等问题。这类问题的实践性强，要利用图形变化过程中利前后线段、角的对应相等关系，构造一些特殊三角形等知识来求解。 平行四边形的判定定理 【要点梳理】 要点一、平行四边形的判定 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 5.对角线互相平分的四边形是平行四边形. 要点诠释： （1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个 行四边形时，应选择较简单的方法. （2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据. 【典型例题】 类型一、平行四边形的判定 例1、如图所示，E、F分别为四边形ABCD的边AD、BC上的点，且四边形AECF和DEBF都是平行四边形，AF和BE相交于点G，DF和CE相交于点H．求证：四边形EGFH为平行四边形． 【思路点拨】欲证四边形EGFH为平行四边形，只需证明它的两组对边分别平行，即EG∥FH，FG ∥HE可用来证明四边形EGFH为平行四边形． 【答案与解析】 证明：∵四边形AECF为平行四边形， ∴ AF∥CE． 页1 ∵四边形DEBF为平行四边形， ∴ BE∥DF． ∴四边形EGFH为平行四边形． 【变式】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F，若CE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】 证明：∵∠BAD的平分线交直线BC于点E， ∴∠1=∠2， ∵AB∥CD， ∴∠1=∠F， ∵CE=CF， ∴∠F=∠3， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴AD∥BC， ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 例2、如图，在?ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．求证： （1）DE=BF； （2）四边形DEBF是平行四边形． 【思路点拨】（1）根据全等三角形的判定方法，判断出△ADE≌△CBF，即可推得DE=BF． 页2 综合滚动练习：平行四边形的性质与判定 时间：45分钟分数：100分得分：________ 一、选择题(每小题4分，共32分) 1．在?ABCD中，若∠A＋∠C＝120°，则∠A的度数是() A．100°B．120°C．80°D．60° 2．如图，在?ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，下列结论错误的是() A．AB∥CD B．AB＝CD C．AC＝BD D．OA＝OC 第2题图第5题图 3．在平行四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是() A．4∶3∶3∶4 B．7∶5∶5∶7 C．4∶3∶2∶1 D．7∶5∶7∶5 4．平面直角坐标系中，已知?ABCD的三个顶点坐标分别是A(m，n)，B(2，－1)，C(－m，－n)，则点D的坐标是() A．(－2，1) B．(－2，－1) C．(－1，－2) D．(－1，2) 5．如图，?ABCD中，点E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为() A．BE＝DF B．BF＝DE C．AE＝CF D．∠1＝∠2 6．如图，在?ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E.若AB＝6，EF＝2，则BC的长为() A．8 B．10 C．12 D．14 第6题图第7题图 7．如图，在?ABCD中，∠B＝80°，AE平分∠BAD交BC于E，CF∥AE交AD于F，则∠BCF等于() A．40°B．50°C．60°D．80° 8．(2017·龙东中考)在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则平行四边形ABCD的周长是() A．22 B．20 C．22或20 D．18 二、填空题(每小题4分，共24分) 中考数学解题思路步骤专题讲解 ---平行四边形的存在性问题解题策略 专题攻略 解平行四边形的存在性问题一般分三步： 第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算． 难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快． 如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点． 如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况． 根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便． 根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便． 例题解析 例? 如图1-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧）， 与y 轴交于点C ，顶点为P ，如果以点P 、A 、C 、D 为 顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标． 图1-1 【解析】P 、A 、C 三点是确定的，过△P AC 的三个顶点分别画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个符合条件的点D （如图1-2）． 由y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，得A (－3,0)，C (0, 3)，P (－1, 4)． 由于A (－3,0)33uuuuuuuuuuuuuu r 右，上 C (0, 3)，所以P (－1, 4)33uuuuuuuuuuuuuu r 右，上 D 1(2, 7)． 由于C (0, 3)33uuuuuuuuuuuuuu r 下，左 A (－3,0)，所以P (－1, 4)33uuuuuuuuuuuuuu r 下，左 D 2(－4, 1)． 由于P (－1, 4)11uuuuuuuuuuuuur 右，下 C (0, 3)，所以A (－3,0)11uuuuuuuuuuuuur 右，下 D 3(－2, －1)． 我们看到，用坐标平移的方法，远比用解析式构造方程组求交点方便多了． 中考数学压轴题解题策略 平行四边形的存在性问题解题策略 专题攻略 解平行四边形的存在性问题一般分三步： 第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算． 难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快． 如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况． 根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便． 根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便． 例题解析 例?如图1-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点（A在B的左侧）， 与y轴交于点C，顶点为P，如果以点P、A、C、D为 顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标． 图1-1 【解析】P、A、C三点是确定的，过△PAC的三个顶点分别画对边的平行线，三条直 线两两相交，产生3个符合条件的点D（如图1-2）． 由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，得A(－3,0)，C(0, 3)，P(－1, 4)． 右，上C(0, 3)，所以P(－1, 4)33 右，上D1(2, 7)．由于A(－3,0)33 由于C(0, 3)33 下，左D2(－4, 1)． 下，左A(－3,0)，所以P(－1, 4)33 右，下D3(－2, －1)．由于P(－1, 4)11 右，下C(0, 3)，所以A(－3,0)11 我们看到，用坐标平移的方法，远比用解析式构造方程组求交点方便多了． 第 1 页共7 页 特殊四边形的中考题型的解题技巧方法 特殊四边形动态问题——旋转变换类、平移变换类、折叠变换类，运动问题类 一、折叠变换类 1、图形折叠问题所用知识点： 1）． 2）． 3）. 2、解折叠问题时常用的方法： 。 3、折叠问题数学思想： (1)思考问题的逆向(反方向)， (2)转化与化归思想； (3)归纳与分类的思想； (4)从变寻不变性的思想. 1、如图矩形ABCD中，3,4 ∠沿AE折 ==,点E是BC边上一点，连接AE，把B AB BC 叠，使点B落在点'B处，当△' CEB为直角三角形时，求BE 的长。 2、如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠，使AD落在对角线BD上，得折痕DG，若AB = 2，BC = 1，求AG. 3、如图，矩形ABCD中，AB = 6，BC = 8，点F为BC边上的一个动点，把△ABF 沿AF折叠. 当点B的对应点B′落在矩形ABCD的对称轴上时，求BF的长。 4.（2015浙江衢州，8，21）如图1，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC 上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处，再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处，如图2. (1)求证：EG＝CH； （2）已知AF＝2，求AD和AB的长. 二、旋转变换类： 1、涉及的知识点———旋转变换的对应图形的性质： 1） 2） 3） 解题关键： 1．提出问题：如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交边DC与点E，求证：PB=PE 分析问题：学生甲：如图1，过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N通过证明两三角形全等，进而证明两条线段相等． 学生乙：连接DP，如图2，很容易证明PD=PB，然后再通过“等角对等边”证明PE=PD，就可以证明PB=PE了． 解决问题：请你选择上述一种方法给予证明． 问题延伸：如图3，移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交DC的延长线于点E，PB=PE还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 判定平行四边形的五种常用方法 名师点金：判定平行四边形的方法通常有五种，即定义和四种判定定理，选择判定方法时，一定要结合题目的条件，选择恰当的方法，从而简化解题过程． 利用两组对边分别平行判定平行四边形 1．如图，在?ABCD中，E，F分别为AD，BC上的点，且BF＝DE，连接AF，CE，BE，DF，AF与BE相交于M点，DF与CE相交于N点．求证：四边形FMEN为平行四边形． (第1题) 利用两组对边分别相等判定平行四边形 2．如图，已知△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形． 求证：四边形ADEF是平行四边形． (第2题) 利用一组对边平行且相等判定平行四边形 3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB上一点，连接CE，过点E作ED⊥BC于点D，在DE的延长线上取一点F，使AF＝CE.求证：四边形ACEF是平行四边形． (第3题) 利用两组对角分别相等判定平行四边形 4．如图，在?ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，那么四边形BFDE是平行四边形吗？请说明理由． (第4题) 利用对角线互相平分判定平行四边形 5．【中考·哈尔滨】如图①，?ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH. (1)求证：四边形EGFH是平行四边形； (2)如图②，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形(四边形AGHD除外)． (第5题) 答案 1． 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，DE ＝BF ，∴DE 平行且等于BF . ∴四边形BFDE 为平行四边形． ∴BE ∥DF .同理，AF ∥CE . ∴四边形FMEN 为平行四边形． 2．证明：∵△ABD ，△BCE ，△ACF 都是等边三角形， ∴BA ＝BD ＝AD ，BC ＝BE ，AF ＝AC ，∠DBA ＝∠EBC ＝60°. ∴∠EBC －∠EBA ＝∠DBA －∠EBA ， 即∠ABC ＝∠DBE . ∴△ABC ≌△DBE .∴AF ＝AC ＝DE . 同理，可证△ABC ≌△FEC ， ∴AD ＝AB ＝EF . ∴四边形ADEF 是平行四边形． 3．证明：过A 作AM ⊥DF 于M . ∵∠ACB ＝90°，ED ⊥BC ， ∴DF ∥AC .∴AM ＝DC . 在Rt △AMF 和Rt △CDE 中， ? ????AM ＝CD ，AF ＝CE ， ∴Rt △AMF ≌Rt △CDE . ∴∠F ＝∠CED .∴AF ∥CE . 又∵AF ＝CE ， ∴四边形ACEF 是平行四边形． 4．解：四边形BFDE 是平行四边形．理由：在?ABCD 中，∠ABC ＝∠CDA ，∠A ＝∠C . ∵BE 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC ， ∴∠ABE ＝∠CBE ＝12∠ABC ，∠CDF ＝∠ADF ＝12 ∠ADC .∴∠ABE ＝∠CBE ＝∠CDF ＝∠ADF .∵∠DFB ＝∠C ＋∠CDF ，∠BED ＝∠ABE ＋∠A ，∴∠DFB ＝∠BED .∴四边形BFDE 是平行四边形． 5．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠EAO ＝∠FCO . ∵O 是AC 的中点，∴OA ＝OC . 在△OAE 与△OCF 中， ?????∠EAO ＝∠FCO ，OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ， ∴△OAE ≌△OCF ，∴OE ＝OF . 同理OG ＝OH ， ∴四边形EGFH 是平行四边形． (2)解：与四边形AGHD 面积相等的平行四边形有?GBCH ，?ABFE ，?EFCD ，?EGFH . 【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。】 平行四边形（提高） 责编：杜少波 【学习目标】 1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理； 2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题． 3. 能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算． 4. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理． 【要点梳理】 【平行四边形知识要点】 要点一、平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“Y ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条. 要点二、平行四边形的性质 1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等； 2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等； 3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分； 4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心. 要点诠释：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系 或倍半关系. （2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择. （3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决. 要点三、平行四边形的判定 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 5.对角线互相平分的四边形是平行四边形. 要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法. （2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据. 要点四、三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个 2021年中考数学复习：与平行四边形相关的二次函数综合型压轴题解题技巧方法提炼： 1、特殊四边形的探究问题解题方法步骤如下:（1）先假设结论成立；（2）设出点坐标，求边长.（类型一方法指导）；（3）建立关系式，并计算。若四边形的四个顶点位置已确定，则直接利用四边形边的性质进行计算；若四边形的四个顶点位置不确定，需分情况讨论。 2、探究平行四边形：①以已知边为平行四边形的某条边，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形的对边相等进行计算；②以已知边为平行四边形的对角线，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形对角线互相平分的性质进行计算；③若平行四边形的各顶点位置不确定，需分情况讨论，常以已知的一边作为一边或对角线分情况讨论。 典例引领： 例：如图所示：已知抛物线y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx+b的图象相交于两点A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点，点Q是y轴上的一个动点． （1）求a，k，b的值． （2）直接写出关于x的不等式ax2＜kx﹣2的解集； （3）当点P在直线AB上方时，请求出△P AB面积的最大值并求出此时点P的坐标； （4）是否存在以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P，Q的坐标；若不存在，请说明理由． 分析：（1）根据待定系数法得出a，k，b的值； （2）观察函数图象，即可得出不等式的解集； （3）过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两者交于点C，连接PC．根据三角形的面积公式解答即可； （4）根据平行四边形的性质和坐标特点解答即可． 解：（1）把A（﹣1，﹣1），代入y＝ax2中，可得：a＝﹣1， 把A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）代入y＝kx+b中，可得：，解得， ∴a＝﹣1，k＝﹣1，b＝﹣2； （2）观察函数图象可知，关于x的不等式ax2＜kx﹣2的解集是x＜﹣1或x＞2； （3）过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两者交于点C， ∵A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）， ∴C（﹣1，﹣4），AC＝BC＝3， 设点P的横坐标为m，则点P的纵坐标为﹣m2． 过点P作PD⊥AC于D，作PE⊥BC于E．则D（﹣1，﹣m2），E（m，﹣4）， ∴PD＝m+1，PE＝﹣m2+4． ∴S△APB＝S△APC+S△BPC﹣S△ABC， ＝×AC?PD+×BC?PE﹣×BC?AC， 平行四边形矩形菱形正方形图形 性质①对边且； ②对角；邻角； ③对角线； ④对称性：平行四边形不是轴对称图形. ①对边且； ②对角且四个角都是； ③对角线； ④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直 线，2条）． ①对边且四条边都； ②对角； ③对角线且每条对角 线； ④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2 条） ①对边且四条边都； ②对角且四个角都是； ③对角线且每条对角线 （即与边的夹角 度）； ④对称性：轴对称图形（4条） 判定方法 ①的 四边形是平行四边形； ②的 四边形是平行四边形； ③的 四边形是平行四边形； ④的 四边形是平行四边形； ⑤的 四边形是平行四边形； ①是矩形； ②是矩形； ③是矩形； ①是菱形； ②是菱形； ③是菱形； ①有一组的矩形是正方形； ②对角线的矩形是正方形； ③有一个角是的菱形是正方形； ④对角线的菱形是正方形.； ⑤有一组且有一个角是的 平行四边形是正方形； ⑥对角线且的 平行四边形是正方形.?????? 正方形的判定方法很多，所有以平行四边形， 矩形，菱形三者的判定作为条件的四边形都是 正方形. 面积 一、本章知识框架图 正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的关系有怎样的包含关系？请填入下图中. 平行四边形 二、几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析 （1）判定矩形的常用方法（3种） ①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的有一个角为直角． ②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等． ③说明四边形ABCD的三个角是直角． （2）判定菱形的常用方法（3种） 一、平行四边形知识结构及要点小结 平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边开形是平行四边形。性质：1、平行四边形的两组对边分别平行。 2、平行四边形的两组对边分别相等 3、平行四边形的两组对角分别相等 4、平行四边形的两条对角线互相平分。 判定方法：1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 4、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 5、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。 定理；三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 二、解题方法及技巧小结： 证明线段相等或角相等的问题用过去所学的全等知识也可完成，但相对比而言，应用平行四边形的性质求证较为简单。另外平行四边形对角线是很重要的基本图形，应用它的性质解题可开辟新的途径。 特殊的平行四边形知识结构及要点小结 矩形：定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 性质：1、具有平行四边形的所有性质。 2、矩形有四个角都是直角。 3、矩形有对角线相等。 4、矩形是轴对称图形，有两条对称轴。 判定方法：1、定义 2、对角线相等的平行四边形是矩形。 3、有三个角是直角的四边形是矩形。 菱形：定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。 性质；1、具有平行四边形所有性质。 2、菱形有四条边都相等。 3、菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 4、菱形是轴对称图形。 判定方法：1、定义 2、对角线互相垂直的平行四边形 3、四边相等的四边形 正方形：定义；一组邻边相等的矩形 性质：具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质 判定：1、定义 2、有一个内角是直角的菱形 3、对角线相等的菱形 4、对角线互相垂直的矩形 解题方法及技巧小结 菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形。它们的性质既有区别又有联系，它们的判定方法虽然不同，但有许多相似之处，因此要用类比的思想，将学到的知识总结出相关规律。 ●探究 （1）在图1中，已知线段AB，CD，其中点分别为E，F。 ①若A（-1，0），B（3，0），则E点坐标为__________； ②若C（-2，2），D（-2，-1），则F点坐标为__________； （2）在图2中，已知线段AB的端点坐标为A（a，b），B（c，d），求出图中AB中点D的坐标（用含a，b，c，d的代数式表示），并给出求解过程； ●归纳 无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置， 当其端点坐标为A（a，b），B（c，d），AB中点为D（x，y）时，x=_________，y=___________；（不必证明） ●运用 在图2中，一次函数y=x-2与反比例函数的图象交点为A，B。 ①求出交点A，B的坐标； ②若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点P的坐标。 图 2 图 3 图1 以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高．对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决．由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解．为此，笔者另辟蹊径，借助探究平行四边形顶点坐标公式来解决这一类题． 1 两个结论，解题的切入点 数学课标，现行初中数学教材中没有线段的中点坐标公式，也没有平行四边形的顶点坐标公式，我们可帮助学生来探究，这可作为解题的切入点。 1.1 线段中点坐标公式 平面直角坐标系中，点A 坐标为(x 1,y 1)，点B 坐标为(x 2,y 2)，则线段AB 的中点坐标为(221x x +,2 21y y +). 证明 ： 如图1，设AB 中点P 的坐标为(x P ,y P ).由x P -x 1=x 2-x P ，得x P = 2 21x x +，同理y P =221y y +，所以线段AB 的中点坐标为(221x x +,221y y +). 1.2 平行四边形顶点坐标公式 □ABCD 的顶点坐标分别为A (x A ,y A )、B (x B ,y B )、C (x C ,y C )、D (x D ,y D )，则：x A +x C =x B +x D ；y A +y C =y B +y D . 证明： 如图2，连接AC 、BD ，相交于点E ． ∵点E 为AC 的中点， ∴E 点坐标为(2C A x x +,2 C A y y +). 又∵点E 为B D 的中点， ∴ E 点坐标为( 2D B x x +,2D B y y +). ∴x A +x C =x B +x D ；y A +y C =y B +y D . 即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等． 2 一个基本事实，解题的预备知识 如图3，已知不在同一直线上的三点A 、B 、C ，在平面内另找一个点D ，使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形．答案有三种：以AB 为对角线的□ACBD 1，以AC 为对角线的□ABCD 2，以BC 为对角线的□ABD 3C ． 平行四边形（提高） 【学习目标】 1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理； 2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题． 3. 能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算． 4. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理． 【要点梳理】 【高清课堂平行四边形知识要点】 要点一、平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“Y ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条. 要点二、平行四边形的性质 1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等； 2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等； 3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分； 4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心. 要点诠释：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系 或倍半关系. （2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择. （3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决. 要点三、平行四边形的判定 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 5.对角线互相平分的四边形是平行四边形. 要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法. （2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据. 要点四、三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个 小三角形的周长为原三角形周长的1 2 ，每个小三角形的面积为原三角形 04平行四边形的存在性问题解题策略 1．（2010陕西西安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A （—1，0），B （3，0），C （0，—1）三点。 （1）求该抛物线的表达式； （2）点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上，要使以点Q 、P 、A 、B 为顶点的四边形是平行 四边形，求所有满足条件的点P 的坐标。 【答案】解：（1）设该抛物线的表达式为c bx ax y =+=2 。根据题意，得、 ?????-==++=+-.1,039,0c c b a c b a 解之，得??? ? ? ? ??? -=-==. 1,32,31c b a ∴所求抛物线的表达式为.13 2 312--= x x y （2）①当AB 为边时，只要PQ//AB ，且PQ=AB=4即可， 又知点Q 在y 轴上，∴点P 的横坐标为4或-4，这时，将 合条件的点P 有两个，分别记为P 1，P 2。 而当x=4时，.7,4,3 5 =-== y x y 时当 此时).7,4(),3 5 ,4(21-P P ②当AB 为对角线时，只要线段PQ 与线段AB 互相平分即可， 又知点Q 在y 轴上，且线段AB 中点的横坐标为1， ∴点P 的横坐标为2，这时，符合条件的点P 只有一个，记为P 3， 而当x=2时，y=-1，此时P 3（2，-1） 综上，满足条件的点)1,2(),7,4(),3 5 ,4(321--P P P P 为 1. （2011山东威海，25，12分）如图，抛物线2 y ax bx c =++交x 轴于点(3,0)A -，点 (1,0)B ,交y 轴于点(0,3)E -．点C 是点A 关于点B 的对称点，点F 是线段BC 的中点，直 线l 过点F 且与y 轴平行．直线y x m =-+过点C ，交y 轴于点D ． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点K 为线段AB 上一动点，过点K 作x 轴的垂线与直线CD 交于点H ，与抛物线交于点G ,求线段HG 长度的最大值； （3）在直线l 上取点M ，在抛物线上取点N ，使以点A ，C ，M ，N 为顶点的四边是平行四边形，求点N 的坐标． 图① 备用图 【答案】 解：（1）设抛物线的函数表达式(1)(3)y a x x =-+ ∵抛物线与y 轴交于点(0,3)E -，将该点坐标代入上式，得1a =． ∴所求函数表达式(1)(3)y x x =-+，即2 23y x x =+-． （2）∵点C 是点A 关于点B 的对称点，点(3,0)A -，点(1,0)B ， ∴点C 的坐标是(5,0)C ．中考数学解题策略专题02 平行四边形的存在性问题
四边形类题型解题技巧 (1)
平行四边形的判定定理培优讲解及练习
平行四边形的性质与判定解题技巧专题练习含答案
中考数学解题思路步骤专题讲解---平行四边形的存在性问题
中考压轴题解题策略：平行四边形的存在性问题
特殊四边形解题技巧方法
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