位置关系的相对性第三课时
年级: 四班级：________ 使用教师或学生：__________
主备人：_ 刘秀芬_ 教研组组长：_______学校领导签字：___________
学习目标:
1、通过教学使学生以不同的地点为观测点判断方向。
2、在学生学会确定任意方向的基础上，使学生体会位置关系的相对性。
3、使学生进一步从方位的角度认识事物，发展学生的空间观念。
学习重、难点：为什么在描述两个城市位置关系的时候会有两种方式
学法指导：自主学习、合作交流
一、课前自探
1、探究地图上两个城市位置关系的相对性
出示练习三的1题
我们上节课测量出沈阳在北京的东偏北约25°方向上，那么北京在沈阳的什么方向上？
沈阳在北京的（）方向上
北京在沈阳的（）方向上
请同学们观察一下两个城市之间的位置关系，你发现了什么？
两个方向的（）没变，（）变了。
问：我们描述的是沈阳和北京两个城市的位置关系，为什么会出现两种不同的方式呢？
因为（）不同，所以描述物体的位置就不同。
2、观察p22例3地图
说一说，上海在北京的什么方向上？（）已知北京和上海两地相距大约1000千米，画出上海在北京的位置。
二、合作交流、分享点评
1、出示p22例3地图（验证地图上两个城市之间的位置关系的相对性）
北京在上海的什么位置呢？（小组讨论，中心发言人汇报）
汇报要点：1、确定以谁为观测点。并建立方向标。
2、用语言描述北京和上海的具体位置。
以北京为观测点，上海在北京的（）约（）度的方向上。
以上海为观测点，北京在上海的（）约（）度的方向上
以北京为观测点，哈尔滨在北京（）约（）度的方向上。
以哈尔滨为观测点，北京在哈尔滨（）约（）度的方向上。
★偏45°的时候可以直接说成（）方向。
3、生活中位置关系的相对性
（1）我们在地图上知道了两个城市之间的位置关系具有相对性，那么我们生活中的是不是也有这样的关系呢？（小组交流试验）
找小组四个人站在课桌的四个角上，相互说说位置关系。
（2）教师参与讨论，听听孩子们怎么说，培养空间概念。
（3）找几个小组展示
4、还有什么不理解的吗？
三、练习反馈
根据路线图，说说小明参加比赛所经过的方向和路程，完成下表：
四、总结质疑
本节主要学习了位置关系的相对性，观测点（参照物）不同，描述的物体位置也不同。
你学会了那些知识？有什么收获？
五、学习（教后）反思
精品 文 档 点、线、面之间的位置关系及线面平行应用练习 1、 平面L =?βα，点βαα∈∈∈C B A ,,，且L C ∈，又R L AB =?，过 A 、 B 、 C 三点确定的平面记作γ，则γβ?是（ ） A ．直线AC B ．直线B C C ．直线CR D ．以上都不对 2、空间不共线的四点，可以确定平面的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．1或4 D ．无法确定 3、在三角形、四边形、梯形和圆中，一定是平面图形的有 个 4、正方体1111D C B A ABCD -中，P 、Q 分别为11,CC AA 的中点，则四边形PBQ D 1是（ ） A ．正方形 B ．菱形 C ．矩形 D ．空间四边形 5、在空间四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，若AC=BD ， 且BD AC ⊥，则四边形EFGH 为 6、下列命题正确的是（ ） A ． 若βα??b a ,，则直线b a ,为异面直线 B ． 若βα??b a ,，则直线b a ,为异面直线 C ． 若?=?b a ，则直线b a ,为异面直线 D ． 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线 7、在空间中：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有 公共点，则这两条直线是异面直线，以上两个命题中为真命题的是 8、过直线L 外两点作与直线L 平行的平面，可以作（ ） A ．1个 B ．1个或无数个 C ．0个或无数个 D ．0个、1个或无数个 9、b a //，且a 与平面α相交，那么直线b 与平面α的位置关系是（ ） A ．必相交 B ．有可能平行 C ．相交或平行 D ．相交或在平面内 10、直线与平面平行的条件是这条直线与平面内的（ ） A ．一条直线不相交 B ．两条直线不相交 C ．任意一条直线不相交 D ．无数条直线不相交 11、如果两直线b a //，且//a 平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ） A ．相交 B ．α//b C ．α?b D ．α//b 或α?b 12、已知直线a 与直线b 垂直，a 平行于平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ） A ．α//b B ．α?b C ．b 与平面α相交 D ．以上都有可能 13、若直线a 与直线b 是异面直线，且//a 平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ） A ．α//b B ．b 与平面α相交 C ．α?b D ．不能确定 14、已知//a 平面α，直线α?b ，则直线a 与直线b 的关系是（ ） A ．相交 B ．平行 C ．异面 D ．平行或异面
2.位置与方向（第3课时）位置关系的相对性 —、选择。 1．太阳( )是东升西落。 A．一定B．不一定C．不会 2．与北极星相对的方向是( ) 。 A．东 B.南 C.西 3．小明座位的西南方向是张强的座位，那么小明在张强的( )方向。 A．东南 B.西北C．东北 4．三(1)班教室的黑板在教室的西面，那么老师讲．课时面向( )面。 A．东B．南C．西 D.北 5。张丽面向南站立，当她向后转之后，她的左面是( )，右面是( )。 A．东B．西 C.北 二、填空。 1．把手表平放在桌面上，用数字12 正对着北方。正对着南方的是数字( )；数字3 正对着( )方。 2．小铃面向西站立，向右转动两周半，面向( )；向左转动l周半，面向( )。 3．下图是某小区的平面图，请根据平面图填空。 (1)1号楼在中心花园的( )方向；3号楼在中心花园的( )方向；4号楼在中心花园的( )方向。 (2)4号楼在2号楼的( )方向；1号楼在2号楼的( )方向。 (3)中心花园在( )的北面，( )的西北面，2号楼的( )方向。 (4)( )在( )北面。． (5)5号楼的西面有( )号楼和( )号楼。 三、算一算，分分类。 (1)把得数小于50的写在西面。 (2)把得数在50～100的写在东面。 (3)把得数在100—200的写在北面。 (4)把得数在200以上的写在南面。 四、判断，对的画“√”，错的画“×”。 L人的影子在西方，太阳应在东方。( ) 2．和西北相对的方向是西南。( ) 3．在森林中可以利用树叶的疏密来识别方向。( ) 4．面对早晨的太阳，你的右手边是南方。( ) 五、应用题。 1．小强的家门面向东，放学回家后站在门前，面向家门，他的前后左右分别是什么向? 2．小明和小立背对背站立，小明向北走150米，小立向南走120米，两人相距多远? 3．小娟向东走5步，然后向西走4步，再向东走3步，再向西走2步，再向东走1步，现在小娟在出发点的什么方向几步的地方? 探究拓展能力强化训练与应用综合能力的养成
点、直线、平面之间的位置关系 一、选择题 1. 若是平面外一点，则下列命题正确的是（ ） （ A ）过只能作一条直线与平面相交 （ B ）过可作无数条直线与平面 垂直 （C ）过只能作一条直线与平面平行 （D ）过可作无数条直线与平面平行 2.设l 、m 为直线，α为平面，且l ⊥α，给出下列命题 ① 若m ⊥α，则m ∥l ；②若m ⊥l ，则m ∥α；③若m ∥α，则m ⊥l ；④若m ∥l ，则m ⊥α， 其中真命题．．． 的序号是 ( ) A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 3．设正四棱锥S —ABCD 的侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成的角是 （ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 4.如图所示，在正方形ABCD 中， E 、 F 分别是AB 、BC 的中点.现在沿DE 、DF 及EF 把△ADE 、△CDF 和△BEF 折起，使A 、B 、C 三点重合，重合后的点记为P .那么，在四面体P —DEF 中，必有 ( ) 5．下列说法正确的是（ ） A ．若直线平行于平面内的无数条直线，则 B ．若直线在平面外，则 C ．若直线，，则 D ．若直线，，则直线就平行于平面内的无数条直线 6．在下列条件中，可判断平面与平面平行的是（ ） A ．、都垂直于平面 B ．内存在不共线的三点到平面的距离相等 C ．、是内两条直线，且， D ．、是两条异面直线，且，，， 7．已知直线a ∥平面α，直线b ?α，则a 与b 的关系为（ ） A ．相交 B ．平行 C ．异面 D ．平行或异面1.设M 表示平面，a 、b 表示直线，给出下列四个命题： ①M b M a b a ⊥????⊥// ②b a M b M a //????⊥⊥ ③????⊥⊥b a M a b ∥M ④????⊥b a M a //b ⊥M . 其中正确的命题是 ( ) A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②④ 8．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当点D 到平面ABC 的距离最大时， 直线BD 和平面ABC 所成角的大小为 （ ） A ． 90 B ． 60 C ． 45 D ． 30 第4题图
O B A C 第四章 平面图形及其位置关系提高练习 初一（ ）班 姓名 一、选择题: 1.已知A 、B 两点之间的距离是10 cm ，C 是线段AB 上的任意一点，则AC 中点与BC 中点间距离是（ ） A.3 cm; B.4 cm; C.5 cm; D.不能计算 2.已知线段AB ，画出它的中点C ，再画出BC 的中点D ，再画出AD 的中点E ，再画出AE 的中点F ，那么AF 等于AB 的（ ） A.41; B.83; C.8 1; D. 16 3 3.如图，下列说法，正确说法的个数是（ ） ①直线AB 和直线BA 是同一条直线；②射线AB 与射线BA 是同一条射线；③线段AB 和线段BA 是同一条线段；④图中有两条射线. A.0; B.1; C.2; D.3 4.下列语句中，正确的是（ ） A.直线比射线长; B.射线比线段长 C.无数条直线不可能相交于一点; D.两条直线相交，只有一个交点 5.下列说法正确的是（ ） A.延长直线AB; B.延长射线AB C.延长线段AB 到点C; D.线AB 是一射线 6.如图，∠AOB 为平角，且∠AOC=2 1 ∠BOC ，则∠BOC 的度数是（ ） A.1000; B.1350; C.1200; D.60° 7.一个人骑自行车前行时，两次拐弯后，仍按原方向前进，这两次拐弯的角度是（ ） A.向右拐30°，再向右拐30°; B.向右拐30°，再向左拐30° C.向右拐30°，再向左拐60°; D.向右拐30°，再向右拐60° ８．同一平面内有四点，每过两点画一条直线，则直线的条数是（ ） Ａ、１条 Ｂ、４条 Ｃ、６条 Ｄ、１条或４条或６条 ９．４８o角的余角的1 14 等于（ ） Ａ、５o Ｂ、４o Ｃ、３o Ｄ、２o 10、α、β都是钝角，甲、乙、丙、丁计算()1 6 αβ+的结果依次是50o、26o、72o、
2.1空间中点、直线、平面之间的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 1、教学重点和难点 重点：空间直线、平面的位置关系。 难点：三种语言（文字语言、图形语言、符号语言）的转换 2、三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α ，A ∈α ，B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 推论：① 一条直线和其外一点可确定一个平面 ②两条相交直线可确定一个平面 ③两条平行直线可确定一个平面 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该 点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 （4）公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么L A · α C · B · A · α P · α L β
2、空间两条不重合的直线有三种位置关系：相交、平行、异面 3、异面直线所成角θ的范围是 00<θ≤900 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0，)； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 共面直线 =>a ∥c 2
第四章《平面图形及其位置关系》 时间45分 满分100分 学号 姓名 一、填空题（每小题1分，共6分） 1.∠AOB=450，∠BOC=300,则∠AOC=_______0. 2.如图1所示，OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOC ，已知∠AOB ＜∠BOC ， 那么可以确定∠AOM _______∠CON.(填"＞"、"＝" 或"＜"＝ 3.如图1所示，OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOC ， 已知∠AOC=1000,那么，∠MON=_______0． 图1 4.如图2所示，用刻度尺测量图中线段的长度.AC=_______cm ，BC=_______cm ，AB=_______cm. 最长的线段是_______，BC+AC_______AB （填"＞" 、"＜"或"＝"）. 5. 时针从2点到10分走到2点35分，它的分针转了______度. 6. 角平分线上任一点向两边垂线段的长______（填"不相等、相等"） 7.把线段向一个方向延长，得到的是______；把线段向两个方向延长， 得到的是_____. 图2 8.在时钟上，从早晨8：00到晚上8：00时针转过_____0，分针转过_____0，秒针转过_____0. 二、选择题（每小题1分，共4分） 1. 若M 是AB 的中点，C 是MB 上任意一点，那么与MC 相等的是（ ）. （A ）12（AC-BC ） （B ）12（AC+BC ） （C ）AC-12BC （D ）BC-12 2.下列关于中点的说法，正确的是（ ）. （A ）如果MA=MB ，那么点M 是线段AB 的中点 （B ）如果MA=AB ，那么点M 是线段AB 的中点 （C ）如果AB=2AM ，那么点M 是线段AB 的中点 （D ）如果M 是AB 内的一点，并且MA=MB ，那么点M 是线段AB 的中点 3.关于两点之间的距离，下列说法不正确的是（ ）. （A ）连结两点的线段就是两点之间的距离 （B ）连结两点的线段的长度，是两点之间的距离 （C ）如果线段AB=AC ，那么点A 到点B 的距离等于点A 到点C 的距离 C B N M A O C B A
精品文档 精品文档 空间点线面的位置关系 （一）教学目标： 1. 知识与技能 （1） 理解空间直线、平面位置关系的定义； （2） 了解作为推理依据的公理和定理。 （3） 会根据定理和公理进行简单的线面关系的推理和证明，并能够进 行简单的体积或面积运算 2. 过程与方法 （1） 通过对空间事物的观察，经历由具体到抽象的思维过程 （2） 通过对空间图形的描述和理解，体验由图形归纳性质的过程 3. 情感、态度与价值观 （1） 由图形归纳性质的过程中，培养学生从具体到抽象的思维能力 （2） 又实际空间物体联想空间线面关系，使学生感受到数学在实际生 活中的应用。 （二）教学重点和难点： 1、教学重点：空间中线面平行和垂直关系的性质和判定； 2、教学难点：线面平行和垂直关系判定和性质定理的应用。 （三）教学过程： 【复习引入】 提问：空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系有几种? 如何来证明线线，线面，面面的平行和垂直？ 【新课讲授】 根据空间具体事物，能够抽象地画出它的直观图形，并通过定理和公理进行推理证明是立体几何的基本问题之一．如何正确理解空间直线、平面的位置关系，能够通过定理和公理判断和推理证明平行和垂直关系是解决这个基本问题的途径。 1、高考数学（文科）考试说明的了解 2、针对性训练及讲解： 题组一：（空间点线面位置关系的判断） （1）、已知两条不同直线l 1和l 2及平面a,则直线l 1//l 2的一个充分条件是 A 、l 1//a 且l 2//a B. l 1⊥a 且l 2⊥a C.l 1//a 且l 2?a D. l 1//a 且l 2 ?a （2）、已知βα,是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列命题： ①若βαβα⊥?⊥，则m m ,； ②若βαββαα//,////,,则，n m n m ??；
高中空间点线面之间位置关系知识点总结 第二章直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1平面含义：平面是无限延展的 2平面的画法及表示 (1)平面的画法：水平放置的平面 通常画成一个平行四边形，锐角画成45°，且横边画成邻边的 2倍长(如图) (2)平面通常用希腊字母a、B、Y等表示，如平面a、平面B等，也可以 用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC平面ABCD等。 3 三个公理： (1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为 公理1作用：判断直线是否在平面内 (2)公理2 :过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A B、C三点不共线=> 有且只有一个平面a, 使A€a、B€a、C€a。 公理2作用：确定一个平面的依据。 (3)公理3 :如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直 线。符号表示为：P€aQB => aPp =L，且P€ L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 1空间的两条直线有如下三种关系： f相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点; 共面直线 Y l平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a、b、c是三条直线 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4注意点： ①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与0的选择无关，为简便，点0 —般取在两直线中的一条上; ②两条异面直线所成的角(0，); ③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a丄b; a// b 2公理4：平行 =>a // c
D C B A α 第二章直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 1平面含义：平面是无限延展的 2平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面 的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线=>有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 推论1：一条直线与它外一点确定一个平面。 推论2：两条平行直线确定一个平面。 推论3：两条相交直线确定一个平面。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公 共直线。 符号表示为：P ∈α∩β=>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 1空间的两条直线有如下三种关系： A · α C · B · A · α P · α L β
c a b c b a //////?? ??ααα////b b a b a ??? ? ????相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。 2公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4异面直线： ①a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便， 点O 一般取在两直线中的一条上； ②两条异面直线所成的角θ∈(0，]； ③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内——有无数个公共点 （2）直线与平面相交——有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行——没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表a αa ∩α=Aa ∥α】2.2.1直线与平面平行的判定 1、线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示： 线线平行 线面平行 共面直 2π
课时教案 主备教师：执教教师：（） 教学内容：位置关系的相对性（P22 例3） 教学目标： 1.结合具体情景，学生通过测量观察等活动体会物体位置关系的相对性。 2.使学生进一步从方位的角度认识事物，发展学生的空间观念。 3.通过学习体会中国的广阔，激发爱国情感 教学重点： 体会位置关系的相对性 教学难点： 现实生活中位置关系的相对性 教材分析： 例3是在学生学会确定任意方向的基础上，使学生体会位置关系的相对性。“做一做”是使学生进一步体会位置关系的相对性。老师可以让学生充分地活动，比如老师可以在教室的地上画一些长方形、正方形，连接对角线，把它们的角度标出来，让学生充分地说一说你在我的什么位置上，我在你的什么位置上，充分地进行练习。关于位置的相对性，给定两个位置，个别学生不能很好的区分以谁为标准，所以说出来的方向刚好相反。这一点跟学生的空间观念强弱有关，需要多加训练。在确定某一建筑物的方位时，以某一建筑物为标准，它是一个方位，而以另一个建筑物为标准，所以，确定标准是关键。另外要指导学生逐步明确：要在图上标出建筑物的位置，需要先确定方向，再确定距离。
学情分析： 学生已经掌握了如何以某地为观测点确定物体所在的位置，并在学习东、南、西、北等八个方向的时候，已经初步感受了方位概念的相对性。 教学具准备：直尺、量角器、三角板 总课时：1课时 教学课时：1课时 教学预设： 一、激趣导入： （摸耳朵游戏）老师喊口令，学生的手指放在鼻子上，摸耳朵，摸完后，手指要放回原处。， 都是摸右耳朵，为什么同学们和我摸的位置不一样？ 预设1：因为我们和老师面对面，我们的左右的位置关系正好相反。 预设2：左和右的位置不是固定不变的，是相对而言的。 预设3：这个词用得好，相对而言（板书：相对） 通过游戏，同学们得出了左右相对而言的道理，那么我们这几天一直在研究的物体的位置会是什么样子的呢？ 这节课我们就来学习——位置关系的相对性（导出课题） 二、新知探究 1.探究地图上两个城市位置关系的相对性 出示练习三的1题 我们上节课测量出沈阳在北京的东偏北约25°方向上，你能不能测出北京在沈阳的什么方向上？ 学生独立测量，然后汇报， 教师板书：沈阳在北京的东偏北25°方向上 北京在沈阳的西偏南25°方向上 请同学们观察一下我们记录的两个城市之间的位置关系，你发现了什么？
点线面之间的位置关系的知识点汇总
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
高中空间点线面之间位置关系知识点总结 第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450 ，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥b 。 2 公理4：平行于 c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； D C B A α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面=>a ∥2
四年级下册《位置关系的相对性》教案 人教版 教学内容： 课本22页例3和做一做及练习四1、2题。 教学目标： 、通过活动使学生学会以不同的地点为观测点判断方向。 2、在学生学会确定任意方向的基础上，使学生体会位置关系的相对性。 3、通过学习，进一步提高学生的空间观念。 教学重、难点： 使学生进一步认识到位置关系的相对性。 教学用具：挂图 教学过程： 一、创设情境 生成问题 、师：老师站在大家的正东方向上，那么你们站在老师的什么方向上呢？（西方）对，我们的位置关系是相对的。 2、分别指两名学生，让大家根据方向说一说他们的位置关系。 （设计意图：组织学生先弄清东西南北四个方向，再根据两名学生的位置分别说一说谁站在谁的方向上，使学生初步理解位置的相对关系。）
3、师：今天我们就来继续研究两个物体位置的相对关系。 （设计意图：通过创设情境，让学生对上两节课学习内容有一个大体的回顾，为本节课新知识的学习做准备。） 二、探索交流 解决问题 、出示教材第22页例3主题图。 （1）让生观察地图： 师：北京和上海两地相距大约1000千米，说一说，上海在北京的什么方向上？ ①组织学生用直尺，量角器测量出上海在北京的什么方向上。 师根据学生汇报板书：②讨论：上海在北京的南偏东30℃方向上，那么北京在上海的什么位置呢？ 组织学生观察上图，在小组中讨论，然后交流说一说。 出示提示： ．确定以谁为观测点，并建立方向标。 2．用语言描述北京和上海的具体位置。 讨论后每组选出一名同学在班内汇报。 生汇报。 可能会说出：北京在上海的西偏北60℃方向上或北京在上海的北偏西30℃的方向上。
师对照图示指一指，肯定两种说法都是正确的。 师小结：以北京为观测点，上海在北京的南偏东约30度的方向上。以上海为观测点，北京在上海的北偏西30度的方向上。 观测点不同，物体的相对位置就会发生变化。这就是今天这节课学习的内容。 （板书：位置关系的相对性） （设计意图：利用已有的知识，小组合作交流发现问题，解决问题，既培养了学生的合作交流意识，又让学生感受到通过自己努力获取知识的那份成功的乐趣。） 三、巩固应用 内化提高 、课本22页做一做 （1）组织学生做游戏（可两人一组也可四人一组） （2）让每个学生充分参与到活动中来，人人开口说一说： “你在我的（ ）偏（ ）（ ）℃的方向上，距离（ ）米。” 2、完成练习四第1题。
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 一、平面 1 平面含义： 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450 ，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 二、三个公理： 三、空间直线、平面之间的位置关系 D C B A α
四、等角定理： 五、异面直线所成的角 1.定义： 2.范围： 3.图形表示 4.垂直： 六、典型例题
1．下面推理过程，错误的是（ ） （A ） αα??∈A l A l ,// （B ） ααα??∈∈∈l B A l A ,, （C ） AB B B A A =??∈∈∈∈βαβαβα,,, （D ） βαβα=?∈∈不共线并且C B A C B A C B A ,,,,,,,, 2．一条直线和这条直线之外不共线的三点所能确定的平面的个数是（ ） （A ）1个或3个 （B ）1个或4个 （C ）3个或4个 （D ）1个、3个或4个 3．以下命题正确的有（ ） （1）若a ∥b ，b ∥c ，则直线a ，b ，c 共面； （2）若a ∥α，则a 平行于平面α内的所有直线； （3）若平面α内的无数条直线都与β平行，则α∥β； （4）分别和两条异面直线都相交的两条直线必定异面。 （A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个 4．正方体的一条体对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数是（ ） （A ） 2 （B ） 3 （C ） 6 （D ） 12 5．以下命题中为真命题的个数是（ ） （1）若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则直线l ∥α； （2）若直线a 在平面α外，则a ∥α； （3）若直线a ∥b ，α?b ，则a ∥α； （4）若直线a ∥b ，α?b ，则a 平行于平面α内的无数条直线。 （A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个 6．若三个平面两两相交，则它们的交线条数是（ ） （A ） 1条 （B ） 2条 （C ） 3条 （D ）1条或3条 7．若直线l 与平面α相交于点O ，l B A ∈,，α∈D C ,，且BD AC //，则O,C,D 三点的位置关系是 。 8．在空间中， ① 若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线。② 若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线。 以上两个命题中为真命题的是 （把符合要求的命题序号填上） 9．已知长方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 分别是1BB 和BC 的中点，AB=4，AD=2，1521=BB ，求异面直线D B 1与MN 所成角的余弦值。 10.正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为11D C 和11B C 的中点，P 、Q 分别为AC 与BD 、11A C 与EF 的交点. （1）求证：D 、B 、F 、E 四点共面；（2）若1A C 与面DBFE 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线.
东 图（4 ） 图（5） D A B C 图（6） D ' 图（2） 第四章 平面图形及位置关系单元检测试题 姓名 成绩 （时间：100分，满分120分） 一、相信自己，一定能填对！（3×8＝24分） 1、 图（1）中有______条线段， 分别表示为___________ 2、 时钟表面3点30分时，时针与分针所夹角的度数是______。 3、 已知线段AB,延长AB 到C ，使BC= 3 1AB ， D 为AC 的中点，若AB ＝9cm ，则DC 的长为 。 4、如图（2），点D 在直线AB 上，当∠1＝∠2时， CD 与AB 的位置关系是 。 5、如图（3）所示，射线ＯＡ的方向是北偏_________度。 6、 将一张正方形的纸片，按如图（4）所示对折两次，相邻两折痕间的夹角的度数为 度。 7、如图（5）,B 、C 两点在线段AD 上，（1）BD=BC+ ;AD=AC+BD- ; (2)如果CD=4cm,BD=7cm,B 是AC 的中点，则AB 的长为 。 8、如图（6），把一张长方形的纸按图那样折叠后，B 、D 两点落在B ′、D ′点处， 若得∠AOB ′=700, 则∠B ′OG 的度数为 。 B 图（1）
图（7） 图（8） 二、只要你细心，一定选得有快有准！（4×10＝40分） 9、一个钝角与一个锐角的差是（ ） A.锐角 B.直角 C.钝角 D.不能确定 10、下列各直线的表示法中，正确的是（ ） A ．直线A B.直线A B C ．直线ab D.直线Ab 11、下列说法中，正确的有（ ） A 过两点有且只有一条直线 B.连结两点的线段叫做两点的距离 C.两点之间，线段最短 D .A B ＝B C ，则点B 是线段AC 的中点 12、下列说法中正确的个数为（ ） ①在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线 ②平面内经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ③经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 ④平行同一直线的两直线平行 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 13、下面表示ABC 的图是 （ ） A （A ） （B ） （C ） （D ） 14、如图（7），从A 到B 最短的路线是（ ） A. A －G －E －B B.A －C －E －B C.A －D －G －E －B D.A －F －E －B 15、已知OA ⊥OC ，∠AOB ：∠AOC=2：3， 则∠BOC 的度数为（ ） A.30 B.150 C.30或150 D.以上都不对 16、在同一平面内，三条直线的交点个数不能是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3 个 D.4个 17、如图（8 ），与OH 相等的线段有（ ） A C A B B A
第一讲：空间中的点线面 一，生活中的问题？ 生活中课桌面、黑板面、教室墙壁、门的表面都给我们以“平面”形象．如果想把一个木棍钉在墙上，至少需要几个钉子？教室的门为什么可以随意开关？插上插销后为什么不能开启？房顶和墙壁有多少公共点？通过本节课学习，我们将从数学的角度解释以上现象． 二，概念明确 1，点构成线，线构成面，所以点线面是立体几何研究的主要对象。 所以：点与线的关系是_____________________，用符号______________。 线与面的关系是_____________________，用符号______________。 点与面的关系是_____________________，用符号______________。 2，高中立体几何主要研究内容：点，线，面的位置关系和几何量（距离，角） 3，直线是笔直，长度无限的；平面是光滑平整，向四周无限延伸，没有尽头的。点，线，面都是抽象的几何概念。不必计较于一个点的大小，直线的长度与粗细。 4，平面的画法与表示 描述几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出来的，是无限的 画法通常把水平的平面画成一个，并且其锐角画成45°，且横边长等于其邻边长的倍，如图a所示，如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用 画出来，如图b所示
记法 (1)用一个α，β，γ等来表示，如图a中的平面记为平面α (2) 用两个大字的(表示平面的平行四边形的对角线的顶 点)来表示，如图a中的平面记为平面AC或平面BD (3) 用三个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的不共线的顶点)来表示，如图a 中的平面记为平面ABC或平面等 (4) 用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的)来表示，如图a中的平面可记作平面ABCD 检验检验： 下列命题：(1)书桌面是平面；(2)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；(3)有一 个平面的长是50m，度是20m；(4)平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为() A．1B．2C．3D．4 三，点，线，面的位置关系和表示 A是点，l，m是直线，α，β是平面. 文字语言符号语言图形语言 A在l上 A在l外 A在α内 A在α外 文字语言符号语言图形语言 l在α内 l与α平行
人教新版数学小学六年级上册 第2课时位置关系的相对性及描述路线图。 教学目标： 1、进一步熟悉表示物体的位置的方法。 2、能较熟练地在方格纸上确定物体的位置，初步体会坐标的思想。 教学重点： 能较熟练地用数对表示具体情境中物体的位置关系的相对性及描述路线图教学难点：画平面图的方法。 教学过程： 一、基本练习，巩固旧知 1、完成《数法题解》第29页的基础启动。 2、集体订正。 二、深化练习，增添新知 1、探讨新知。 小组合作学习《数法题解》第31、32页。 2、如何理解“位置关系的相对性及描述路线图。” 3、学生自学教材第22页例题3. （1）、用自己的语言描述台风的经过路线图 （2）、同坐互相说一说台风的经过路线图 三、综合练习，提高能力 完成教材22页的“做一做”。集体订正。 四、课堂小结。 画平面图的方法：先确定方向，再确定距离，确定距离的时候可以用一条标有数量的线段表示地面上的距离。 第3课时巩固练习 教学目标: 1、进一步熟悉表示物体的位置的方法。 2、能较熟练地在方格纸上确定物体的位置，初步体会坐标的思想。 重点:复习有关位置与方向的知识，会描述物体的路线图。 教学过程： 一、复习有关知识。 二、完成《口算心法》 1、第16页第1、2题。 2、第2题、混合运算，指导学生认真完成。 三、 1、指名描述小美走过的路线图。 2、指名画一画。 四、集体作业 1、教材第26页、27页第9-13题 2、自己动手画第9题的路线图。展示并且集体订正。
3、小组讨论余下的题目，多媒体展示。 五、课堂练习 1、《数法题解》第33、34页基础启动1、 2、 3、4题。 2、补充练习。《口算心法》第17页《单元擂台》
第四章平面图形及其位置关系 一、本章关键词 点线（直线射线线段它们的表示方法及性质线段的比较线段的中点）角（两种定义表示方法比较方法角的平分线）平行线（定义特征）垂直（定义特征点到直线的距离） 二、基础训练 1.如图，A,B在直线l上，下列说法错误的是（） Ａ．线段AB和线段BA同一条线段 Ｂ．直线AB和直线BA同一条直线 Ｃ．射线AB和射线BA同一条射线 Ｄ．图中以点A 为端点的射线有两条。 2. 下列说法正确的是（） Ａ．经过两点有且只有一条线段 Ｂ．经过两点有且只有一条直线 Ｃ．经过两点有且只有一条射线 Ｄ．经过两点有无数条直线 3.在图中，不同的线段的条数式（） Ａ．3 Ｂ．4 Ｃ．5 Ｄ．6 4.在一个平面内，经过一个点可以画条直线；经过两点可以画条直线；经过三点中的任两点可以画条直线；经过四点中的任两点可以画直线，最少可以画条直线、最多可以画条直线。 5.下列说法正确的是（） A. 两点之间的连线中，直线最短 B.若P是线段AB的中点，则AP=BP C. 若AP=BP, 则P是线段AB的中点 D. 两点之间的线段叫做者两点之间的距离 6.如果线段AB=5cm,线段BC=4cm,那么A,C两点之间的距离是（） A. 9cm B.1cm C.1cm或9cm D.以上答案都不对 7. 如图，AB=8cm,O为线段AB上的任意一点，C为AO的中点，D为OB的中点，你能 求出线段CD的长吗？并说明理由。 8线段AB=16cm,C是直线AB上的一点,且AC=10cm,D是AC的中点,E是BC的中点, 求线段DE的长. 9．如图，以O为顶点且小于180o的角有（）
A ．7个 B ．8个 C ．9个 D ．10个 10．36.33o可化为（ ） A ．36o30′3" B ．36o33′ C ．36o30′30" D ．36o19′48" 11．中午12点15分时，钟表上的时针和分针所成的角是（ ） A ． 90o B ．75o C ．82.5o D ．60o 12.(6分)已知一条射线OA,如果从点O 再引两条射线OB 和OC,使∠AOB=60°, ∠BOC=20°,求∠AOC 的度数. 13.(8分)如图,∠AOD=∠BOC=90°,∠COD=42°,求∠AOC 、∠AOB 的度数. O C A D B 14．判断： （1）两条不相交的直线叫做平行线 （ ） （2）同一平面内的两条直线叫平行线 （ ） （3）在同一平面内不相交的两条直线叫平行线 （ ） （4）和一条已知直线平行的直线有且只有一条 （ ） （5）经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行 （ ） （6）a ，b ，c 是三条直线，如果a ∥b ，且b ∥c ，那么a ∥c. （ ） （7）在同一平面内的两条线段，如果它们不相交，那么它们一定互相平行.（ ） （8）如果a ，b ，c ，d 是四条直线，且a ∥c ，c ∥d ，则a ∥d （ ） 15，在同一平面内的两条直线ab ，分别根据下列的条件，写出a ，b 的位置关系. （1）如果它们没有公共点，则 . （2）如果它们都平行于第三条直线，则 . （3）如果它们有且只有一个公共点，则 . （4）过平面内的同一点画它们的平行线，能画出两条，则 . （5）过平面内的不在a ，b 上的一点画它们的平行线，只画出一条，则 16.过平面内一点可以作出_____条直线与已知直线垂直. 17.如图,已知∠AOB=∠COD=90°,∠AOD=150°, 则∠BOC=______. O C A D B
图（7） A E D B F G C 平面图形及其位置关系 一．选择题 1、下列说法正确的是( ) A 、过一点P 只能作一条直线。 B 、射线AB 和射线BA 表示同一条射线 C 、直线AB 和直线BA 表示同一条直线 D 、射线a 比直线b 短 2.从A 到B 最短的路线是( ) A 、A －G －E － B B 、A － C －E －B C 、A － D －G － E －B D.、A － F －E －B 3、同一平面内互不重合的三条直线的公共点的个数是( ) A 、可能是0个，1个，2个 B 、可能是0个，2个，3个 C 、可能是0个，1个，2个或3个 D 、可能是1个或3个 4、 直线a 外有一定点A ，A 到a 的距离是5，P 是直线a 上的任意一点，则( ) A 、AP>5 B 、AP 5 C 、AP=5 D 、AP<5 5、下列说法正确的是( ) A 、连结两点的线段叫做两点的距离 B 、过一点能作已知直线的一条垂线 C 、射线AB 的端点是A 和B D 、不相交的两条直线叫做平行线 6、一个钝角与一个锐角的差是( ) A 、锐角 B 、直角 C 、钝角 D 、不能确定 7、AB=10，AC=16，那么AB 的中点与AC 的中点的距离为（ ） A 、13 B 、3或13 C 、3 D 、6 8、 下列说法中正确的是( ) A 、8时45分，时针与分针的夹角是30° B 、6时30分，时针与分针重合 C 、3时30分，时针与分针的夹角是90° D 、3时整，时针与分针的夹角是30° 9、如图，四条表示方向的射线中，表示北偏东60°的是( ) 13、下列图形中，无端点的是（ ） A 、角平分线 B 、线段 C 、射线 D 、直线 14、下列说法错误的是( ) 10、已知AB=10㎝，在AB 的延长线上取一点C ，使AC=16㎝,那么线段AB 的中点与AC 得中点的距离为（ ） A 、5㎝ B 、 4㎝ C 、3㎝ D 、2㎝