绝对值不等式
绝对值不等式|a b|—|a| |b| , |a-b卜|a| |b|
基本的绝对值不等式：||a|-|b|| < |a ± b| < |a|+|b|
y=|x-3|+|x+2| > |(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5
所以函数的最小值是5,没有最大值
|y|=||x-3卜|x+2|| < |(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5
由|y| < 5 得-5 < y < 5
即函数的最小值是-5 ,最大值是5
也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2| 表示x到3, -2这两点的距离之和，显然当-2 < x< 3时，距离之和最小，最小值是5;而
|x-3|-|x+2| 表示x到3, -2这两点的距离之差，当x< -2时，取
最小值-5 ,当x> 3时，取最大值5
［变题1］解下列不等式:(1)| x+1|>2 - x ；2)| x2- 2x - 6|<3 x ［思路］禾I」用丨f(x) | f(x) | >g(x) = f(x)>g(x) 或f(x)v-g(x) 去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。 解：⑴原不等式等价于x+1>2- x或x+1v-(2 - x) 1 1 解得x>2或无解，所以原不等式的解集是{ x | x>-} (2)原不等式等价于—3X 即 X - 2x - 6 a —3x f x + x - 6 > 0 ? -2)> 0 ' =< y ,X — 2x - 6 v 3X y [X - 5x - 6 v 0 ?(x + -6) < 0 . 2 所以原不等式的解集是{ X |2< X <6} 1 .解不等式(1)| x-X 2- 2 | >X 2-3x-4 ; (2) 3X x 2 - 4 解：(1)分析一可按解不等式的方法来解 原不 等式等价于： X-X 2-2>X 2-3X -4 或 X -X 2-2<-(X 2-3X -4) 解①得：1- 2 VXV1+ * 2 解②得：X >-3 故原不等式解集为{ X | X >-3 } 分析二 TI X -X 2-2 | 1 7 | X 2-X +2 I 而 X 2-X +2 = (x- )2+ >0 4 4 所以| X -X 2-2 |中的绝对值符号可直接去掉 故原不等式等价于 X 2-X +2>X 2-3X -4 解得：X >-3 ???原不等式解集为{ X >-3 } (2)分析 不等式可转化为-1 < 3X 厂4三1 求解'但过程较繁, 由于不等式 _3X _ x 2 _ 4 <1两边均为正，所以可平方后求解 原不等式等价于 X - 3或 X 2 一 1 X 6 =-1 < x < 1 或x > 4 或x < -4 注意：在解绝对值不等式时，若I f(x) I中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正)，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程. 第2变含两个绝对值的不等式 ［变题2］解不等式(1) | x —1|<| x + a| ； (2)| x-2 I + | x+3 I >5. ［思路］(1)题由于两边均为非负数，因此可以利用I f(x) I〈| g(x) I =f2(x) 〈g2(x)两边平方去掉绝对值符号。 (2)题可采用零点分段法去绝对值求解。 ［解题］(1)由于| x —1| > 0, | x + a| > 0,所以两边平方后有： 2 2 I x —1| <| x + a| 即有x2—2x+1 当2a+2>0即a>—1时，不等式的解为x> 2(1—a)； 当2 a +2=0即a = —1时，不等式无解; 1 当2a+2<0即a<—1时，不等式的解为X V-(1-a) 2 (2)解不等式丨x-2 I + I x+3 I >5. 解：当x< -3 时，原不等式化为(2-x)-(x+3)>5 =-2x>6=xv-3. 当-3 当x > 2 时，原不等式为(x-2)+(x+3)>5 - 2x>4= x>2. 综合得：原不等式解集为{ x I x>2或x<-3 }. 1) 1解关于x的不等式|log a(V x)| |log a(V x)|( a>0且a工 解析：易知—1 ...| lg(1 - x) |2 | lg(1 x) |2 于是 lg 2 (1 - x) - lg 2 (1 x) 0 ? [lg(1 - x) lg(1 x)][lg(1 - x) - lg(1 x)] 0 Ig(1 - x 2)lg 1 viii 1 --0<1 — x <1 .lg (1 — x 2)<0 1 - x ig <0 1 + x 1 - x 0 1 1 + x 解得0 解: 、、1 4 一 x( x x —) 2 1 <4x + 2(_3 ￡ x ■) 2 viii — 4( x 兰-3) 2.不等式 |x+31-|2x-1|< x 2+1的解集为 lg(1 - X) lg(1 x) lg a Ig a |x+31-|2x -1|= .当X _ 1 时- 1 ??当2时2??? x>2
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