函数零点经典习题一．???????? 选择题
1．函数f(x)=-x2+4x-4在区间[1，3]上的零点情况是：
A 没有零点
B 有一个零点
C 有两个零点
D 有无数个零点
2函数f(x)=(x2-4)/(x-2)的零点是
A -2，2
B 2
C -2
D 不存在
3.函数f(x)=x2+27/x的零点是
A -3
B -1/3
C 3
D 1/3
4.如果方程2ax2+x-3=0在区间（0，1）内有一个解，则a的取值范围是 A a<-1 B a>1 C -1 5.若函数f(x)=ax2+2x-4没有零点，则实数a的取值范围是 A a<-1/4 B a>-1/4 C a≥-1/4 D a≤-1/4 6.二次函数y=ax2+bx+c,若ac>0则函数的零点的个数是 A 0 B 1 C 2 D 无法确定 7．已知二次函数y=ax2+bx+c，x∈R的部分对应值如下表： 不求a、b、c的值，可以判断方程的两根所在的区间分别是 A（-3，-2）（2，4）B（-2，0）（1，3）C（-3，-1）（-1，1）D（-∞，-3），（4，∞） 8．函数y=lnx+2x-6的零点一定在下列哪个区间 A (1,2) B (2,3) C (3,4) D (5,6) 9.函数f(x)=x 2-ax-b 的两个零点是3，5 则函数g(x)=bx 2-ax-1的零点是 A -3，-5 B 3，5 C -1/3，-1/5 D 1/3，1/5 1.函数12log )(2-+=x x x f 的零点必落在区间（ ） A.??? ??41,81 B.??? ??21,41 C.??? ??1,21 D.(1,2) 2.若0x 是方程31)2 1(x x =的解，则0x 属于区间（ ） A ． ??? ??1,32 . B ．??? ??32,21 . C ．??? ??21,31 D ．?? ? ??31,0 3.函数x x x f 2ln )(- =的零点所在的大致区间是（ ） A ．)2,1( B ．)3,2( C ．)1,1(e 和)4,3( D ．),(+∞e 二．填空题 10．已知函数f9x)=x 2-1则函数f(x+2)的零点是------------ 11．方程x 2-2x-5=0在区间（2，3）内有实数根，取区间的中点x 0=2.5，下一个有根区间是------------- 12．若函数f(x)=ax+b 的零点是-3则函数g(x)=bx 2-ax 的零点是-------- 10.若函数a x a x f x --=)( (0>a 且1≠a )有两个零点，则实数a 的取值范围 是 函数的零点 1、函数零点的定义： 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。 方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x 轴有交点?函数y=f(x)有零点 注意：零点是一个实数,不是点。 练习：函数23)(2 +-=x x x f 的零点是（ ） Ａ．()0,1 Ｂ．()0,2 Ｃ．()0,1，()0,2 Ｄ.１，２ 方程f(x)=0的根的个数就是函数y=f(x)的图象与x 轴交点的个数。 方程f(x)=0的实数根就是函数y=f(x)的图象与x 轴交点的横坐标。 方法：①（代数法）求函数的零点就是求相应的方程的根，一般可以借助求根公式或因式分解等办法，求出方程的根，从而得出函数的零点。 ②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 练习：Ⅰ求零点 ①y=x 3-1, ② y=2^x-1, ③y=lg(x 2-1)-1, ④y=2^|x|-8, ⑤y=2+log 3x Ⅱ结合函数的图像判断函数f(x)=x 3-7x+6的零点 Ⅲ判断函数f(x)=lnx+2x 是否存在零点及零点的个数 2、一元二次方程和二次函数 例，当a>0时，方程ax 2+bx+c=0的根与函数y=ax 2+bx+c 的图象之间的关系如下表： 练习：如果函数f(x)= ax 2-x-1仅有一个零点，求实数a 的范围。 3、零点存在性定理： 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c ∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c 也就是方程f(x)=0的根。 例1：观察二次函数f (x)=x 2- 2x - 3的图象: ① 在区间[-2，1]上有零点_______； f (-2)=_____，f (1)=_____， f (-2) · f(1)___0（< 或 > 或 =） ② 在区间[2，4]上有零点_______； f (2) · f(4)___0（< 或 > 或 =） 例1图 例2图 例2：观察函数 y = f (x)的图象: ①在区间[a ，b]上___(有/无)零点； f (a) · f(b)___0（< 或 > 或 =） ②在区间[b ，c]上___(有/无)零点； f (b) · f(c)___0（< 或 > 或 =） 练习：①判断函数f(x)=x2-2x-1在区间（2，3）上是否存在零点? 4、函数最值： 最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ；（2）存在x0∈I ，使得f(x0) = M ，那么，称M 是函数y=f(x)的最大值． 方法：利用函数单调性的判断函数的最大（小）值 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 利用图象求函数的最大（小）值 如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b). 练习：①函数 f （x ）= )1(11 x x --的最大值是______ ②函数f （x ）=ax （a ＞0，a ≠1）在［1，2］中的最大值比最小值 大2a ，则a 的值为______ ③设a 为实数，函数f （x ）=x2+|x －a|+1，x ∈R. （1）讨论f （x ）的奇偶性；（2）求f （x ）的最小值. ④已知二次函数f （x ）＝（lga ）x2＋2x ＋4lga 的最大值为3，求a 的值. 专题六重温高考压轴题----函数零点问题集锦 函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题精选高考压轴题及最新高考模拟压轴题，形成函数零点问题集锦，例题说法，高效训练，进一步提高处理此类问题的综合能力. 【典型例题】 类型一已知零点个数，求参数的值或取值范围 例1.【2018年理新课标I卷】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞） 【答案】C 【解析】 画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C. 例2.【2018年理数全国卷II】已知函数． （1）若，证明：当时，； （2）若在只有一个零点，求． 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 （1）当时，等价于． 设函数，则． 当时，，所以在单调递减． 而，故当时，，即． （2）设函数． 在只有一个零点当且仅当在只有一个零点． （i）当时，，没有零点； （ii）当时，． 当时，；当时，． 所以在单调递减，在单调递增． 故是在的最小值． ①若，即，在没有零点； ②若，即，在只有一个零点； ③若，即，由于，所以在有一个零点， 由（1）知，当时，，所以．故在有一个零点，因此在有两个零点． 综上，在只有一个零点时，． 类型二利用导数确定函数零点的个数 例3.【2018年全国卷II文】已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）证明：只有一个零点． 第十二讲 二次函数的零点与最值 知识归纳和梳理： 1.一元二次方程的根即二次函数的零点也是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标 2.解决二次函数零点问题的方法： （1）转化为???韦达定理判别式 （零点的正负问题） （2）结合二次函数的图象等价转化为??? ????特殊函数值符号判别式符号对称轴位置开口方向的不等式组 3.解二次函数的最值问题的方法: （1）分离参数转化为函数的值域 (2)讨论对称轴和区间的关系 4．恒成立问题的解决方法：)(x f a >恒成立max )(x f a >?（具体情况还要分析能否取”=”） )(x f a ≤恒成立min )(x f a ≤? 【典型例题】： 例1.已知方程023222 =---k x kx 有两个不相等的实根21x x 、 （1）若12,x x 都小于零，求k 的取值围； （2）若12,x x 都小于1，求k 的取值围； （3）若121x x <<，求k 的取值围； （4）若1220x x -<<、，求k 的取值围； （5）恰有一根在（1，2）区间，求k 的取值围。 例2. 若二次函数12 -+-=mx x y 的图像与两端点为A （0，3），B （3，0）的线段AB 有两个不同的交点，求m 的取值围。 经典练习1,2 1.若一元二次方程0332 =-++k kx kx 的两根都是负数，求k 的取值围。 2. 已知方程012)2(2=-+-+m x m x 有一实根在0和1之间，求m 的取值围。 3. 若方程0)2(2=-++k x k x 的两实根均在区间（-1、1），求k 的取值围。 4.设? ?????≤≤=121| x x A ，}0)1()12(|{2≤+++-=a a x a x x B ，若B A ?，数a 的取值围 例3..求函数2 2242)(a x x x f --=在区间]1,[+a a 上的最小值 例4．求函数1)(2+-=ax x x f 在区间]2,1[-上的最大值 经典练习3,4 1.函数1)(2+-=ax x x f 在区间]2,1[-上的最小值为-2求a 第9专题训练 零点存在的判定与证明 一、基础知识: 1、函数的零点:一般的,对于函数()y f x =,我们把方程()0f x =的实数根0x 叫作函数 ()y f x =的零点。 2、零点存在性定理:如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图像是连续不断的一条曲线,并且有 ()()0f a f b ?<,那么函数()y f x =在区间(),a b 内必有零点,即()0,x a b ?∈,使得()00f x = 注:零点存在性定理使用的前提是()f x 在区间[],a b 连续,如果()f x 是分段的,那么零点不一定存在 3、函数单调性对零点个数的影响:如果一个连续函数是单调函数,那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前,可尝试判断函数是否单调 4、几个“不一定”与“一定”(假设()f x 在区间(),a b 连续) (1)若()()0f a f b ?<,则()f x “一定”存在零点,但“不一定”只有一个零点。要分析()f x 的性质与图像,如果()f x 单调,则“一定”只有一个零点 (2)若()()0f a f b ?>,则()f x “不一定”存在零点,也“不一定”没有零点。如果()f x 单调,那么“一定”没有零点 (3)如果()f x 在区间(),a b 中存在零点,则()()f a f b ?的符号是“不确定”的,受函数性质与图像影响。如果()f x 单调,则()()f a f b ?一定小于0 5、零点与单调性配合可确定函数的符号:()f x 是一个在(),a b 单增连续函数,0x x =是()f x 的零点,且()0,x a b ∈,则()0,x a x ∈时,()0f x <；()0,x x b ∈时,()0f x > 6、判断函数单调性的方法: (1)可直接判断的几个结论: ① 若()(),f x g x 为增(减)函数,则()()f x g x +也为增(减)函数 ② 若()f x 为增函数,则()f x -为减函数；同样,若()f x 为减函数,则()f x -为增函数 高三数学函数的图像、零点 一：选择题 1.已知函数f （x ）=x 2﹣2x+b 在区间（2，4）有唯一零点，则b 的取值围是（ D ） A 、R B 、（﹣∞，0） C 、（﹣8，+∞） D 、（﹣8，0） 2.设，用二分法求方程在（1，3）近似解的过程中，f （1）＞0，f （1.5）＜0，f （2）＜0，f （3）＜0，则方程的根落在区间（ A ） A 、（1，1.5） B 、（1.5，2） C 、（2，3） D 、无法确定 3.已知函数31 )21()(x x f x -=，那么在下列区间中含有函数)(x f 零点的是（ B ） （A ）)31,0( （B ）)2 1 ,31( （C ）)32,21( （D ）)1,3 2( 4.设函数，则函数y=f （x ）（ A ） A 、在区间（0，1），（1，2）均有零点 B 、在区间（0，1）有零点，在区间（1，2）无零点 C 、在区间（0，1），（1，2）均无零点 D 、在区间（0，1）无零点，在区间（1， 2）有零点 5.已知1x 是方程32=?x x 的根, 2x 是方程2log 3x x ?=的根，则21x x 的值为（ B ） A.2 B.3 C.6 D.10 6.已知x 0是函数f （x ）=2x +的一个零点．若x 1∈（1，x 0），x 2∈（x 0，+∞），则（ B ） A 、f （x 1）＜0，f （x 2）＜0 B 、f （x 1）＜0，f （x 2）＞0 C 、f （x 1）＞0，f （x 2）＜0 D 、f （x 1）＞0，f （x 2）＞0 解答：解：∵x 0是函数f （x ）=2x +的一个零点∴f （x 0）=0 ∵f （x ）=2x +是单调递增函数，且x 1∈（1，x 0），x 2∈（x 0，+∞）， ∴f （x 1）＜f （x 0）=0＜f （x 2） 故选B ． 7.如图是函数f （x ）=x 2+ax+b 的部分图象，函数g （x ）=e x ﹣f'（x ）的零点所在的区间是（k ，k+1）（k ∈z ），则k 的值为（ C ） A ． ﹣1或0 B ． 0 C ． ﹣1或1 D ． 0或1 解答： 在日常生活和高中数学学习中有些相近的概念容易混为一谈，例如： 有的经济学家或股评专家分析预测股市（或房市）的发展，根据......，当前股市形势大好，预期股市成交量或指数会出现“拐点”......，意思说成交量或指数会有从下降到上升的反转。但是，这里引用的“拐点”并非数学意义上的“拐点”。还曾经有一位文科教师在讲课中想说明“一个量随着另一个量的增加而增加“的数量关系，就引用了数学中的“正比例关系“，例如： “知识与阅读量成正比例关系。”显然是不准确，甚至错误的。 人们有时为了使自己的论点可信度高，常常会引用一些数学概念或结论作“马甲“，特别是当今“大数据”时代。但是，数学中许多概念相近，不仅是不熟悉数学的人们搞不清楚，就是从教和学习数学的老师与学生也常常搞混。例如： 函数的零点、极值点、驻点和拐点等，下面针对这几个概念，简单地说说它们的定义、几何意义、联系和区别。 函数的零点是使得函数值为零的自变量的值。例如： f(x)=x-1，x=1就是函数f(x)的零点。 函数的极值点是函数的单调性发生变化的点，或是函数的局部极大值或极小值点。当函数存在导数时，函数的极值点是其导函数的变号零点（2014山东高考数学21题的考点）。例如： f(x)=x^2-1，x=0就是函数的f(x)的极小值点。或者说函数在x=0附近的函数值都比x=0时的函数值大。 且x=1和x=-1是函数f(x)的零点。再如： g(x)=|x|，x=0是函数的极小值点，但不是函数的驻点。函数的驻点是函数一阶导数为零的点，即函数的驻点是函数的导函数的零点。但函数的驻点不一定是函数的极值点。当函数存在导数时，极值点一定是驻点，反之不一定正确。例如： 3. 【2014南通高三期末测试】设函数()y f x =是定义域为R ，周期为2的周期函数，且当[)11x ∈-，时，2 ()1f x x =-；已知函数lg ||0()10x x g x x ≠??=?=??，， ， ． 则函数()f x 和()g x 的图象在 区间[]510-， 内公共点的个数为 ． 【答案】15 【文·山东实验中学高三三模·2014】5．函数y= 1x n x x 的图象大致是 【答案】B 5.【常州市2013届高三教学期末调研测试】已知函数f (x )＝32 , 2,(1),02x x x x ????-<0，且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )<12，则实数a 的取 值范围是________． 答案：[1 2 ，1)∪(1,2] 9．已知函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在[－2,2]的图象如下图所示： 则方程f [g (x )]＝0有且仅有________个根，方程f [f (x )]＝0有且仅有________个根． 解析：由图可知f (x )＝0有三个根，设为x 1，x 2，x 3，－ 2 导数与函数的零点 考点一 判断零点的个数 【例1】 (2020·潍坊检测)已知函数f (x )＝ln x －x 2＋ax ，a ∈R . (1)证明ln x ≤x －1； (2)若a ≥1，讨论函数f (x )的零点个数. (1)证明 令g (x )＝ln x －x ＋1(x >0)，则g (1)＝0， g ′(x )＝1 x －1＝1－x x ， 可得x ∈(0，1)时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增； x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减. ∴当x ＝1时，函数g (x )取得极大值也是最大值， ∴g (x )≤g (1)＝0，即ln x ≤x －1. (2)解 f ′(x )＝1 x －2x ＋a ＝－2x 2＋ax ＋1x ，x >0. 令－2x 20＋ax 0＋1＝0，解得 x 0＝a ＋a 2＋8 4 (负值舍去)， 在(0，x 0)上，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 在(x 0，＋∞)上，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减. ∴f (x )max ＝f (x 0). 当a ＝1时，x 0＝1，f (x )max ＝f (1)＝0，此时函数f (x )只有一个零点x ＝1. 当a >1时，f (1)＝a －1>0， f ????12a ＝ln 12a －14a 2＋12<12a －1－14a 2＋12 ＝－????12a －122 －14<0， f (2a )＝ln 2a －2a 2<2a －1－2a 2＝－2 ????a －122 －12 <0. ∴函数f (x )在区间????12a ，1和区间(1，2a )上各有一个零点. 综上可得：当a ＝1时，函数f (x )只有一个零点x ＝1； 当a >1时，函数f (x )有两个零点. 规律方法 1.利用导数求函数的零点常用方法： 函数与方程 考纲解读 1.求常见函数的零点；2.判断基本初等函数零点所在区间；3.判断二次函数零点个数及分布；4.根据函数零点与方程根的关系求参数范围；5.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解． [基础梳理] 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y ＝f (x )，把使f (x )＝0的实数x 叫作函数y ＝f (x )的零点． (2)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根． 2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系 (x 0)，(x 0) (x 0) 无交点 1．函数f (x )＝lg x ＋x －3的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案：B 2．函数f (x )＝e x － 1＋4x －4的零点所在区间为( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2) D ．(2,3) 答案：B 3．函数f (x )＝ln x －2 x 的零点所在的大致范围是( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C.????1e ，1和(3,4) D ．(4，＋∞) 答案：B 4．用二分法求f (x )＝2x ＋3x －7的零点的近似解，若第一次零点区间为(1,2)，则第二次的零点区间为________． 答案：(1,1.5) 5．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)函数y ＝x 2＋1 x 的零点为__________． 答案：－1 [考点例题] 考点一 判定函数零点区间|方法突破 [例1] (1)函数f (x )＝2x ＋ln 1 x －1的零点所在的大致区间是( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(1,2)与(2,3) [解析] f (x )＝2x ＋ln 1x －1＝2x －ln(x －1)，当1＜x ＜2时，ln(x －1)＜0，2 x ＞0，所以f (x )＞ 0，故函数f (x )在(1,2)上没有零点．f (2)＝1－ln 1＝1，f (3)＝2 3－ln 2＝2－3ln 23＝2－ln 83.∵8＝ 22≈2.828＞e ，∴8＞e 2，即ln 8＞2，即f (3)＜0.又f (4)＝1 2－ln 3＜0，∴f (x )在(2，3)内存在 一个零点． [答案] B (2)已知函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝log 3x ＋x ，h (x )＝x －1 x 的零点依次为a ，b ，c ，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜b D ．b ＜a ＜c [解析] 在同一坐标系下分别画出函数y ＝2x ，y ＝log 3x ，y ＝－1 x 的图象，如图，观察它们与y ＝－x 的交点可知a 导函数零点问题 一．方法综述 导数是研究函数性质的有力工具，其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性．应用导数研究函数的性质或研究不等式问题时，绕不开研究()f x 的单调性，往往需要解方程()0f x '＝.若该方程不易求解时，如何继续解题呢？在前面专题中介绍的“分离参数法”、“构造函数法”等常见方法的基础上，本专题举例说明“三招”妙解导函数零点问题. 二．解题策略 类型一 察“言”观“色”，“猜”出零点 【例1】【2020·福建南平期末】已知函数()() 2 1e x f x x ax =++. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若函数()() 2 1e 1x g x x mx =+--在[)1,-+∞有两个零点，求m 的取值范围. 【分析】（1）首先求出函数的导函数因式分解为()()()11e x f x a x x =++'+，再对参数a 分类讨论可得； （2）依题意可得()()2 1e x g x m x =+'-，当0m …函数在定义域上单调递增，不满足条件； 当0m >时，由（1）得()g x '在[)1,-+∞为增函数，因为()01g m '=-，()00g =.再对1m =，1m >， 01m <<三种情况讨论可得. 【解析】（1）因为()() 2 1x f x x ax e =++，所以()()221e x f x x a x a ??=+++??'+， 即()()()11e x f x a x x =++'+. 由()0f x '=，得()11x a =-+，21x =-. ①当0a =时，()()2 1e 0x f x x =+'…，当且仅当1x =-时，等号成立. 故()f x 在(),-∞+∞为增函数. ②当0a >时，()11a -+<-， 由()0f x >′得()1x a <-+或1x >-，由()0f x <′得()11a x -+<<-； 所以()f x 在()() ,1a -∞-+，()1,-+∞为增函数，在()() 1,1a -+-为减函数. 高中数学-函数零点问题及例题解析 一、函数与方程基本知识点 1、函数零点：（变号零点与不变号零点） （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。 若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(f ，所以由根的存在性定理可知，函数x x x f 2 )1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B （二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。 函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解。如： 函数零点问题的求解 【教学目标】 知识与技能： 1.理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌握用连续函数 零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 过程与方法： 1.函数零点反映了函数和方程的联系，函数零点与方程的根能相互转化，能把方程问题合理 转化为函数问题进行解决. 2.函数的零点问题的解决涉及到分类讨论,数形结合,化归转化等数学思想方法,有效提升了 学生的数学思想方法的应用. 情感、态度与价值观: 1.培养学生认真、耐心、严谨的数学品质； 2.让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用函数观点处理问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在的区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 【教学过程】 一、引例 （1）．函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2 解法一:代数解法 解：(1)．因为()0 0e 0210f =+-=-<，()1 1e 12e 10f =+-=->， 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选C. 二、 基础知识回顾 1．函数零点概念 对于函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2. 零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有 函数及函数的零点有关概念 函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域． 要点一：函数三要素及分段函数 (一)函数三要素 1.定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。 1.1求函数的定义域时从以下几个方面入手： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)指数为零底不可以等于零。 (6)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合即交集.(7)三角函数正切函数tan y x =中()2 x k k Z π π≠+ ∈. (8)实际问题或几何问题中的函数的定义域不仅要考虑使其解析式有意义,还要保证实际问题或几何问题有意义. (9)以上这些在题目中都没出现，则函数的定义域为R. 1.2复合函数定义域的求法： 复合函数：如果y=f(u)(u ∈M),u=g(x)(x ∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x ∈A) 称为f 、g 的复合函数。 (1)已知f(x)的定义域是[a,b],求f[g(x)]的定义域，是指满足()a g x b ≤≤的x 的取值范围； (2)已知f[g(x)]的定义域是[a,b],求f(x)的定义域，是指在[,]x a b ∈的条件下，求g(x)的值域； (3) 已知f[g(x)]的定义域是[a,b],求f[h(x)]的定义域，是指在[,]x a b ∈的条件下，求g(x)的值域,g(x)的值域就是h(x)的值域,再由h(x)的范围解出x 即可。 2).求函数的解析式的常用求法： 1、定义法； 2、换元法； 3、待定系数法； 4、函数方程法； 5、参数法； 6、配方法 3).值域 : 先考虑其定义域 3.1求函数值域的常用方法 1、图像法； 2、层层递进法； 3、分离常数法； 4、换元法； 5、单调性法； 6、判别式法； 7、有界性； 8、奇偶性法； 9、不等式法；10、几何法； 3.2分段函数的值域是各段的并集 3.3复合函数的值域 函数的零点及应用 一、要点扫描 1．函数零点的理解：(1)函数的零点、方程的根、函数图象与x 轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式；(2)若函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条连续的曲线且f (a )f (b )＜0，则f (x )在区间(a ，b )内有零点． 2．函数零点的判定常用方法：(1)零点存在性定理；(2)数形结合法；(3)解方程f (x )＝0. 3．曲线的交点问题：(1)曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为方程的根；(2)求曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )的交点的横坐标，实际上就是求函数y ＝f (x )－g (x )的零点，即求f (x )－g (x )＝0的根． 二、典型例题剖析 1．求函数的零点 例1 求函数f (x )＝x 3－3x ＋2的零点． 解 令f (x )＝x 3－3x ＋2＝0，∴(x ＋2)(x －1)2＝0. ∴x ＝－2或x ＝1， ∴函数f (x )＝x 3－3x ＋2的零点为－2,1. 评注 求函数的零点，就是求f (x )＝0的根，利用等价转化思想，把函数的零点问题转化为方程根的问题，或利用数形结合思想把函数零点问题转化为函数图象与x 轴的交点问题． 2．判断函数零点的个数 例2 已知函数f (x )＝a x ＋x －2 x ＋1 (a ＞1)，判断函数f (x )＝0的根的个数． 解 设f 1(x )＝a x (a ＞1)，f 2(x )＝－x －2 x ＋1 ，则f (x )＝0的解，即为f 1(x )＝f 2(x )的解，即为函数f 1(x ) 与f 2(x )的交点的横坐标． 专题14 运用函数的图像研零点问题 一、题型选讲 题型一： 运用函数图像判断函数零点个数 可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。 例1、(2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且在区间[2，4)上 题型二： 运用函数图像研究复合函数零点个数 复合函数零点问题的特点：考虑关于x 的方程()0g f x =????根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于()f x 的方程，观察有几个()f x 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层( )f x 的值求出每一个()f x 被几个x 对应，将x 的个数汇总后即为()0g f x =????的根的个数 题型三 运用函数图像研究与零点有关的参数问题 三类问题之间的联系：即函数的零点?方程的根?函数图象的交点，运用方程可进行等式的变形进 而构造函数进行数形结合，解决这类问题要选择合适的函数，以便于作图，便于求出参数的取值范围为原 题型四、运用函数图像研究与零点有关的复合函数的参数问题 求解复合函数()y g f x =????零点问题的技巧：（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出()(),f x g x 的图像（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于()f x 的方程()0g f x =????中()f x 解的个数，再根据个数与()f x 的图像特点，分配每个函数值()i f x 被几个x 所对应，从而确定()i f x 的取值范围，进而决定参数的范围 例6、(2018南京、盐城、连云港二模）已知函数f(x)＝? ?? ??－x 3＋3x 2＋t ， x ＜0，x ，x ≥0， t ∈R .若函数g (x )＝f (f (x ) －1)恰有4个不同的零点，则t 的取值范围为________． 2、(2017南京、盐城二模）若函数f (x )＝x 2－m cos x ＋m 2＋3m －8有唯一零点，则满足条件的实数m 组成的集合为________. 3、(2017南通、扬州、泰州、淮安三调）已知函数3()3 .x x a f x x x x a ?=?- 函数的零点和方程的根经典练习题 1．函数2()41f x x x =--+的零点为（ ） A 、12-+ B 、12-- C 、12 -± D 、不存在 2、函数32()32f x x x x =-+的零点个数为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3、函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（ ）. A. (1, 2) B. (2 , 3) C. (3, 4) D. (4, 5) 4、已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数，g (x )＝[x ]为取整函数，x 0是函数f (x )＝ln x －2x 的零点，则g (x 0)等于________ 5、若定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x ＋2)＝f(x)，且当x ∈[0,1]时，f(x)＝x ，则函数y ＝f(x)－log 3|x|的零点个数是 6、定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，2log (1)(01)()|3|1(1)x x f x x x +≤x x ，若关于x 的函数 +=)(22x f y 1)(2+x bf 有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是____________． 11、求证方程231 x x x -= +在(0,1)内必有一个实数根. 12、已知关于x 的方程x 2＋2mx ＋2m ＋3=0的两个不等实根都在区间（0，2）内，求实数m 的取值范围． 高中数学2017-2018高三专题复习 -函数（3）函数零点问题及例题解析 一、函数与方程基本知识点 1、函数零点：（变号零点与不变号零点） （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。 若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(f ，所以由根的存在性定理可知，函数x x x f 2 )1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B （二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。 函数与导数 1. 已知函数3 2 ()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间； （Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点． 【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、 函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。 （Ⅰ）解：当1t =时，322 ()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+- (0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =- （Ⅱ）解：22 ()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2 t x t x =-= 或 因为0t ≠，以下分两种情况讨论： （1）若0,,t t t x <<-则 当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： 所以，()f x 的单调递增区间是(), ,,;()2t t f x ? ?-∞-+∞ ? ??的单调递减区间是,2t t ?? - ??? 。 （2）若0,t t t >-< 则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： 所以，()f x 的单调递增区间是(),,,;()2t t f x ??-∞-+∞ ??? 的单调递减区间是,.2t t ? ?- ??? （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当0t >时，()f x 在0,2t ?? ???内的单调递减，在,2t ?? +∞ ??? 内单调递增，以下分两种情况讨论： （1）当1,22 t t ≥≥即时，()f x 在（0，1）内单调递减， 2(0)10,(1)643644230.f t f t t =->=-++≤-?+?+< 所以对任意[2,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零点。 （2）当01,022t t < <<<即时，()f x 在0,2t ?? ???内单调递减，在,12t ?? ??? 内单调递增，若33177(0,1],10.244t f t t t ?? ∈=-+-≤-< ??? 2(1)643643230.f t t t t t =-++≥-++=-+> 所以(),12t f x ?? ??? 在内存在零点。 若()3377(1,2),110.244t t f t t t ?? ∈=-+-<-+< ? ?? (0)10f t =-> 所以()0,2t f x ? ? ??? 在内存在零点。 所以，对任意(0,2),()t f x ∈在区间（0，1）内均存在零点。 综上，对任意(0,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零点。 2. 已知函数21 ()32 f x x = +，()h x = （Ⅰ）设函数F (x )＝18f (x )－x 2[h (x )]2，求F (x )的单调区间与极值； （Ⅱ）设a ∈R ，解关于x 的方程33 lg[(1)]2lg ()2lg (4)24 f x h a x h x --=---； （Ⅲ）设*n ∈N ，证明：1 ()()[(1)(2)()]6 f n h n h h h n -+++≥． 本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力． 解：（Ⅰ）223()18()[()]129(0)F x f x x h x x x x =-=-++≥， 2()312F x x '∴=-+．高中数学函数的零点和最值
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