函数与方程零点问题考点例题讲解

函数与方程

考纲解读 1.求常见函数的零点；2.判断基本初等函数零点所在区间；3.判断二次函数零点个数及分布；4.根据函数零点与方程根的关系求参数范围；5.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．

[基础梳理]

1．函数的零点 (1)函数零点的定义

对于函数y ＝f (x )，把使f (x )＝0的实数x 叫作函数y ＝f (x )的零点． (2)函数零点的判定(零点存在性定理)

如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．

2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系

(x 0)，(x 0)

(x 0) 无交点 1．函数f (x )＝lg x ＋x －3的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

答案：B

2．函数f (x )＝e x －

1＋4x －4的零点所在区间为( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2) D ．(2,3)

答案：B

3．函数f (x )＝ln x －2

x 的零点所在的大致范围是( )

A ．(1,2)

B ．(2,3) C.????1e ，1和(3,4) D ．(4，＋∞) 答案：B

4．用二分法求f (x )＝2x ＋3x －7的零点的近似解，若第一次零点区间为(1,2)，则第二次的零点区间为________．

答案：(1,1.5)

5．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)函数y ＝x 2＋1

x 的零点为__________．

答案：－1

[考点例题]

考点一 判定函数零点区间|方法突破

[例1] (1)函数f (x )＝2x ＋ln 1

x －1的零点所在的大致区间是( )

A ．(1,2)

B ．(2,3)

C ．(3,4)

D ．(1,2)与(2,3)

[解析] f (x )＝2x ＋ln 1x －1＝2x －ln(x －1)，当1＜x ＜2时，ln(x －1)＜0，2

x ＞0，所以f (x )＞

0，故函数f (x )在(1,2)上没有零点．f (2)＝1－ln 1＝1，f (3)＝2

3－ln 2＝2－3ln 23＝2－ln 83.∵8＝

22≈2.828＞e ，∴8＞e 2，即ln 8＞2，即f (3)＜0.又f (4)＝1

2－ln 3＜0，∴f (x )在(2，3)内存在

一个零点．

[答案] B

(2)已知函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝log 3x ＋x ，h (x )＝x －1

x

的零点依次为a ，b ，c ，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜b

D ．b ＜a ＜c

[解析] 在同一坐标系下分别画出函数y ＝2x ，y ＝log 3x ，y ＝－1

x

的图象，如图，观察它们与y ＝－x 的交点可知a

[答案] A

判断函数零点所在区间的方法

法 断

对应函数值的正负； 图象法

画出函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断

容易画出函数的图象

[跟踪训练]

1．设f (x )＝e x ＋x －4，则函数f (x )的零点位于区间( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2)

D ．(2,3)

解析：f (x )＝e x ＋x －4单调递增，仅有一个零点，又f (1)＝e －3＜0，f (2)＝e 2－2＞0， 故函数f (x )的零点位于区间(1,2)．故选C. 答案：C

2．(2018·西安五校联考)函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1

x 的图象交点的横坐标所在区间为( )

A ．(0,1)

B ．(1,2)

C ．(2,3)

D ．(3,4)

解析： 在同一个坐标系中，分别作出y ＝ln(x ＋1)与y ＝1

x 的图象

如图，y ＝1x 过点P (1,1)，当x ＝1时，ln 2＜1，y ＝1

x 过点????2，12，当x ＝2时，ln 3＞1.设y ＝ln(x ＋1)与y ＝1

x 的交点为Q (x Q ，y Q )，则1＜x Q

＜2.

答案：B

考点二 函数的零点个数|方法突破

[例2] (1)已知函数f (x )＝?

????

x ＋1，x ≤0，

log 2x ，x >0，则函数y ＝f [f (x )]＋1的零点的个数是( )

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

(2)(2018·郑州质检)已知函数f (x )＝????12x

－cos x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3

D ．4

(3)函数f (x )＝?

????

2－|x | x ≤2(x －2)2 x >2的零点个数为__________．

[解析] (1)(直接法)由f [f (x )]＋1＝0得f [f (x )]＝－1，

由f (－2)＝

f ????12＝－1得f (x )＝－2或f (x )＝1

2. 若f (x )＝－2，则x ＝－3或x ＝14；

若f (x )＝12，则x ＝－1

2

或x ＝ 2.

综上可得函数y ＝f [f (x )]＋1的零点的个数是4，故选A.

(2)(转化法)函数f (x )＝????12x

－cos x ＝0的零点个数为????12x ＝cos x 的根的个数，即函数h (x )＝????12x

与g (x )＝cos x 的图象的交点个数．如图所示，在区间[0,2π]上交点个数为3，故选C.

(3)(图象法)作函数y ＝?

????

2－|x | (x ≤2)

(x －2)2 (x >2)的图象如图所示，可以

看出图象与x 轴有且只有2个交点．

故函数零点个数为2. [答案] (1)A (2)C (3)2 [方法提升]

函数零点个数的判断方法

方法 解读

适合题型 直接法 令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点

基本初等函数

图象法

画出函数f (x )的图象，函数f (x )的图象与x 轴的交点个数即为函数f (x )的零点个数 分段函数、绝对值函数

转化法

将函数f (x )拆成两个常见函数h (x )和g (x )

的差，从而f (x )＝0?h (x )－g (x )＝0?h (x )＝g (x )，则函数f (x )的零点个数即为函数y ＝h (x )与函数y ＝g (x )的图象的交点个数

复杂函数 [母题变式]

1．将本例(1)改为已知函数f (x )＝?

????

kx ＋1，x ≤0，

log 2x ，x >0.下列是关于函数y ＝f [f (x )]＋1的零点

个数的四个判断：①当k >0时，有3个零点；②当k <0时，有2个零点；③当k >0时，有4个零点；④当k <0时，有1个零点．则正确的是( )

A ．①④

B ．②③

C ．①②

D ．③④

解析： (图象法)令f [f (x )]＋1＝0，得f [f (x )]＝－1.

当k >0时，在平面直角坐标系下画出函数f (x )的大致图象及直线y ＝－1，注意到直线y ＝－1与函数f (x )的图象有2个交点，设其横坐标分别是t 1，t 2，则t 1<0,0

知，直线y ＝t 1与函数f (x )的图象有2个不同的交点，直线y ＝t 2与函数f (x )的图象有2个不同的交点，因此此时函数y ＝f [f (x )]＋1有4个零点．同理，当k <0时，函数y ＝f [f (x )]＋1有1个零点，结合各选项知，选D.

答案：D

2．将本例(1)改为求f (x )的零点个数． 解析：函数f (x )的图象如图所示，

由图象知，函数f (x )有2个零点．

3．将本例(2)改为求函数f (x )＝2x －cos x 在(－π，0) 上的零点个数． 解析：令y 1＝2x ，y 2＝cos x . 如图所示：

x ∈(－π，0)，两个图象只有一个交点， 即函数f (x )只有一个零点．

考点三 函数零点的应用|模型突破

角度1 已知函数零点或方程根的个数求参数

[例3] (2018·宁德模拟)已知函数f (x )＝????

?

kx ＋3，x ≥0，????12x ，x <0，若方程f (f (x ))－2＝0恰有三个

实数根，则实数k 的取值范围是( )

A ．[0，＋∞)

B ．[1,3] C.?

???－1，－1

3 D.?

???－1，－1

3 [解析] ∵f (f (x ))－2＝0，∴f (f (x ))＝2， ∴f (x )＝－1或f (x )＝－1

k

(k ≠0)．

(1)当k ＝0时，作出f (x )的函数图象如图所示：

由图象可知f (x )＝－1无解，∴k ＝0不符合题意； (2)当k >0时，作出f (x )的函数图象如图所示：

由图象可知f (x )＝－1无解且f (x )＝－1

k 无解，即f (f (x ))－2＝0无解，不符合题意；

(3)当k <0时，作出f (x )的函数图象如图所示：

由图象可知f (x )＝－1有1个实根， ∵f (f (x ))－2＝0有3个实根， ∴f (x )＝－1

k 有2个实根，

∴1<－1k ≤3，解得－1

3

.

综上，k 的取值范围是????－1，－1

3.故选C. [答案] C [模型解法]

角度2 已知函数在某区间上有零点求参数

[例4] (1)(2018·安庆模拟)函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间????

12，3上有零点，则实数a 的取值范围是( )

A ．(2，＋∞)

B ．[2，＋∞) C.???

?2，52 D.?

???2，10

3 (2)(2018·南阳模拟)设函数f (x )＝log 2(2x ＋1)，g (x )＝log 2(2x －1)，若关于x 的函数F (x )＝g (x )－f (x )－m 在[1,2]上有零点，求m 的取值范围．

[解析] (1)由x 2－ax ＋1＝0得a ＝x ＋1

x ，其中x ∈????12，3. ∵函数y ＝x ＋1x 在????

12，1上为减函数，在(1,3)为增函数， ∴y min ＝2，y max ＝10

3

. ∴a ∈????2，10

3. (2)令F (x )＝0， 即g (x )－f (x )－m ＝0. 所以m ＝g (x )－f (x ) ＝log 2(2x －1)－log 2(2x ＋1) ＝log 22x －12x ＋1＝log 2

????1－22x ＋1. 因为1≤x ≤2，所以3≤2x ＋1≤5.

所以25≤22x ＋1≤23，13≤1－22x ＋1≤35

.所以log 213≤log 2????1－22x ＋1≤log 235，即log 2

1

3

≤m ≤log 23

5

.

所以m 的取值范围是????log 213，log 235. [答案] (1)D

[模型解法]

[高考类题]

1．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －

1＋e －x ＋1

)有唯一零点，则a ＝( )

A ．－1

2

B.1

3 C.12

D ．1

解析：由f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －

1＋e

－x ＋1

)，得f (2－x )＝(2－x )2－2(2－x )＋a [e 2

－x －1

＋e

－(2－x )

＋1

]＝x 2－4x ＋4－4＋2x ＋a (e 1－

x ＋e x －1)＝x 2－2x ＋a (e x －

1＋e －x ＋1

)，所以f (2－x )＝f (x )，即x ＝1

为f (x )图象的对称轴．由题意，f (x )有唯一零点，所以f (x )的零点只能为x ＝1，即f (1)＝12－2×1＋a (e 1－

1＋e

－1＋1

)＝0，解得a ＝1

2

.故选C.

答案：C

2．(2017·高考山东卷)已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( )

A ．(0,1]∪[23，＋∞)

B ．(0,1]∪[3，＋∞)

C ．(0，2]∪[23，＋∞)

D ．(0，2]∪[3，＋∞)

解析：①当0

易知此时两函数图象在x ∈[0,1]上有且只有一个交点；

②当m >1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝(mx －1)2与y ＝x ＋m 的图象，如图．

要满足题意，则(m －1)2≥1＋m ，解得m ≥3或m ≤0(舍去)，∴m ≥3. 综上，正实数m 的取值范围为(0,1]∪[3，＋∞)． 答案：B

[真题感悟]

1.[考点二](2015·高考安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln x

D ．y ＝x 2＋1

解析：y ＝cos x 是偶函数，且存在零点；y ＝sin x 是奇函数；y ＝ln x 既不是奇函数又不是偶函数；y ＝x 2＋1是偶函数，但不存在零点．故选A.

答案：A

2.[考点一](2014·高考北京卷)已知函数f (x )＝6

x －log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的

区间是( )

A ．(0,1)

B ．(1,2)

C ．(2,4)

D ．(4，＋∞)

解析：因为f (1)＝6－log 21＝6>0，f (2)＝3－log 22＝2>0，f (4)＝32－log 24＝－1

2<0，所以

函数f (x )的零点所在区间为(2,4)，故选C.

答案：C

3.[考点三](2014·高考山东卷)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个

不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )

A.????0，12

B.????

12，1 C ．(1,2)

D ．(2，＋∞)

解析： 在同一坐标系中分别画出函数f (x )，g (x )的图象如图所示，方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y ＝kx 的斜率大于坐标原点与点(2,1)连线的斜率且小于直线y ＝x －1的斜率时符合题意，故1

2

答案：B

4.[考点三](2015·高考天津卷)已知函数f (x )＝???

?

?

2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x >2，

函数g (x )＝b －f (2－x )，其

中b ∈R .若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( )

A.????7

4，＋∞ B.????－∞，7

4 C.???

?0，74 D.????74，2

解析：函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，即方程f (x )－g (x )＝0，

即b ＝f (x )＋f (2－x )有4个不同的实数根，即直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个不同的交点．又y ＝f (x )＋f (2－x )＝????

?

x 2＋x ＋2，x <02，0≤x ≤2

x 2－5x ＋8，x >2

，作出该函数的图象如图所示，

由图可得，当7

4

数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点时，b 的取值范围是????

74，2.

答案：D

5.[考点二](2015·高考湖北卷)函数f (x )＝4cos 2x

2cos ????π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为__________．

解析： 因为f (x )＝4cos 2x

2cos ???

?π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝2(1＋cos

x)·sin x－2sin x－|ln(x＋1)|＝sin 2x－|ln(x＋1)|，所以函数f(x)的零点个数为函数y＝sin 2x与y ＝|ln(x＋1)|图象的交点的个数．函数y＝sin 2x与y＝|ln(x＋1)|的图象如图所示，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数f(x)有2个零点．

答案：2

新教材高中数学第三章函数3.2函数与方程、不等式之间的关系第1课时函数的零点及其与对应方程、不等式解集之

新教材高中数学第三章函数3.2函数与方程、不等式之间的关系第1课时函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系课 后课时精练新人教B 版必修第一册 A 级：“四基”巩固训练 一、选择题 1．下列说法中正确的有( ) ①f (x )＝x ＋1，x ∈[－2,0]的零点为(－1,0)； ②f (x )＝x ＋1，x ∈[－2,0]的零点为－1； ③y ＝f (x )的零点，即y ＝f (x )的图像与x 轴的交点； ④y ＝f (x )的零点，即y ＝f (x )的图像与x 轴交点的横坐标． A ．①③ B ．②④ C ．①④ D ．②③ 答案 B 解析 根据函数零点的定义，f (x )＝x ＋1，x ∈[－2,0]的零点为－1，函数y ＝f (x )的零点，即y ＝f (x )的图像与x 轴交点的横坐标．因此，说法②④正确．故选B. 2．函数f (x )＝x 2 －x －1的零点有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个 答案 C 解析 Δ＝(－1)2 －4×1×(－1)＝5>0，所以方程x 2 －x －1＝0有两个不相等的实根，故函数f (x )＝x 2 －x －1有2个零点． 3．函数f (x )＝2x 2 －3x ＋1的零点是( ) A ．－1 2，－1 B.12，1 C.1 2，－1 D ．－12 ，1 答案 B 解析 方程2x 2－3x ＋1＝0的两根分别为x 1＝1，x 2＝12，所以函数f (x )＝2x 2 －3x ＋1的 零点是1 2 ，1. 4．函数y ＝x 2 －bx ＋1有一个零点，则b 的值为( )

A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．3 答案 C 解析 因为函数有一个零点，所以Δ＝b 2 －4＝0，所以b ＝±2. 5．设a <－1，则关于x 的不等式a (x －a )? ?? ??x －1a <0的解集为( ) A ．(－∞，a )∪? ?? ??1a ，＋∞ B ．(a ，＋∞) C.? ????－∞，1a ∪(a ，＋∞) D.? ?? ??－∞，1a 答案 A 解析 ∵a <－1，∴a (x －a )? ????x －1a <0?(x －a )? ?? ??x －1a >0.又a <－1，∴1a >a ，由函数f (x ) ＝(x －a )·? ?? ??x －1a 的图像可得所求不等式的解集为(－∞，a )∪? ?? ??1a ，＋∞. 二、填空题 6．函数f (x )＝? ???? 2x －4，x ∈[0，＋∞， 2x 2 －3x －2，x ∈－∞，0的零点为________． 答案 2，－1 2 解析 当x ≥0时，由2x －4＝0，得x ＝2；当x <0时，由2x 2 －3x －2＝0，得x ＝－12或 2(舍去)．故函数f (x )的零点是2，－1 2 . 7．已知函数f (x )＝ax 2 －5x ＋2a ＋3的一个零点为0，则f (x )的单调递增区间为________． 答案 ? ????－∞，－53 解析 由已知，得f (0)＝2a ＋3＝0，∴a ＝－32，∴f (x )＝－32x 2 －5x ，∴f (x )的单调递 增区间为? ????－∞，－53. 8．已知a 为常数，则函数f (x )＝|x 2 －9|－a －2的零点个数最多为________． 答案 4 解析 令g (x )＝|x 2 －9|，h (x )＝a ＋2，在同一平面直角坐标系内画出两个函数的图像，如图所示．

专题06 重温高考压轴题----函数零点问题集锦-2019年高考数学压轴题之函数零点问题(解析版)

专题六重温高考压轴题----函数零点问题集锦 函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题精选高考压轴题及最新高考模拟压轴题，形成函数零点问题集锦，例题说法，高效训练，进一步提高处理此类问题的综合能力. 【典型例题】 类型一已知零点个数，求参数的值或取值范围 例1.【2018年理新课标I卷】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞） 【答案】C 【解析】 画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C. 例2.【2018年理数全国卷II】已知函数． （1）若，证明：当时，； （2）若在只有一个零点，求． 【答案】（1）见解析（2）

【解析】 （1）当时，等价于． 设函数，则． 当时，，所以在单调递减． 而，故当时，，即． （2）设函数． 在只有一个零点当且仅当在只有一个零点． （i）当时，，没有零点； （ii）当时，． 当时，；当时，． 所以在单调递减，在单调递增． 故是在的最小值． ①若，即，在没有零点； ②若，即，在只有一个零点； ③若，即，由于，所以在有一个零点， 由（1）知，当时，，所以．故在有一个零点，因此在有两个零点． 综上，在只有一个零点时，． 类型二利用导数确定函数零点的个数 例3.【2018年全国卷II文】已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）证明：只有一个零点．

函数与方程零点问题考点例题讲解

函数与方程 考纲解读 1.求常见函数的零点；2.判断基本初等函数零点所在区间；3.判断二次函数零点个数及分布；4.根据函数零点与方程根的关系求参数范围；5.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解． [基础梳理] 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y ＝f (x )，把使f (x )＝0的实数x 叫作函数y ＝f (x )的零点． (2)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根． 2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系 (x 0)，(x 0) (x 0) 无交点 1．函数f (x )＝lg x ＋x －3的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案：B 2．函数f (x )＝e x － 1＋4x －4的零点所在区间为( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2) D ．(2,3) 答案：B 3．函数f (x )＝ln x －2 x 的零点所在的大致范围是( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C.????1e ，1和(3,4) D ．(4，＋∞) 答案：B

4．用二分法求f (x )＝2x ＋3x －7的零点的近似解，若第一次零点区间为(1,2)，则第二次的零点区间为________． 答案：(1,1.5) 5．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)函数y ＝x 2＋1 x 的零点为__________． 答案：－1 [考点例题] 考点一 判定函数零点区间|方法突破 [例1] (1)函数f (x )＝2x ＋ln 1 x －1的零点所在的大致区间是( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(1,2)与(2,3) [解析] f (x )＝2x ＋ln 1x －1＝2x －ln(x －1)，当1＜x ＜2时，ln(x －1)＜0，2 x ＞0，所以f (x )＞ 0，故函数f (x )在(1,2)上没有零点．f (2)＝1－ln 1＝1，f (3)＝2 3－ln 2＝2－3ln 23＝2－ln 83.∵8＝ 22≈2.828＞e ，∴8＞e 2，即ln 8＞2，即f (3)＜0.又f (4)＝1 2－ln 3＜0，∴f (x )在(2，3)内存在 一个零点． [答案] B (2)已知函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝log 3x ＋x ，h (x )＝x －1 x 的零点依次为a ，b ，c ，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜b D ．b ＜a ＜c [解析] 在同一坐标系下分别画出函数y ＝2x ，y ＝log 3x ，y ＝－1 x 的图象，如图，观察它们与y ＝－x 的交点可知a

高考数学经典常考题型第9专题 零点存在的判定与证明

第9专题训练 零点存在的判定与证明 一、基础知识: 1、函数的零点:一般的,对于函数()y f x =,我们把方程()0f x =的实数根0x 叫作函数 ()y f x =的零点。 2、零点存在性定理:如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图像是连续不断的一条曲线,并且有 ()()0f a f b ?<,那么函数()y f x =在区间(),a b 内必有零点,即()0,x a b ?∈,使得()00f x = 注:零点存在性定理使用的前提是()f x 在区间[],a b 连续,如果()f x 是分段的,那么零点不一定存在 3、函数单调性对零点个数的影响:如果一个连续函数是单调函数,那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前,可尝试判断函数是否单调 4、几个“不一定”与“一定”(假设()f x 在区间(),a b 连续) (1)若()()0f a f b ?<,则()f x “一定”存在零点,但“不一定”只有一个零点。要分析()f x 的性质与图像,如果()f x 单调,则“一定”只有一个零点 (2)若()()0f a f b ?>,则()f x “不一定”存在零点,也“不一定”没有零点。如果()f x 单调,那么“一定”没有零点 (3)如果()f x 在区间(),a b 中存在零点,则()()f a f b ?的符号是“不确定”的,受函数性质与图像影响。如果()f x 单调,则()()f a f b ?一定小于0 5、零点与单调性配合可确定函数的符号:()f x 是一个在(),a b 单增连续函数,0x x =是()f x 的零点,且()0,x a b ∈,则()0,x a x ∈时,()0f x <；()0,x x b ∈时,()0f x > 6、判断函数单调性的方法: (1)可直接判断的几个结论: ① 若()(),f x g x 为增(减)函数,则()()f x g x +也为增(减)函数 ② 若()f x 为增函数,则()f x -为减函数；同样,若()f x 为减函数,则()f x -为增函数

函数与方程的含参零点问题

函数与方程的含参零点问题 ?方法导读 函数与方程问题常以基本初等函数或分段函数为载体,考查函数零点的存在区间、确定零点的个数、参数的取值范围、方程的根或函数图象的交点等问题.函数与方程不仅考查考生计算、画图等方面的能力,还考查考生函数与方程、数形结合及转化化归等数学思想的综合应用.在解决函数零点问题时,既要注意利用函数的图象,也要注意根据函数的零点存在性定理、函数的性质等进行相关的计算,把数与形紧密结合起来. ?高考真题 【·天津卷理·】已知,函数,若关于的方程 恰有个互异的实数解,则的取值范围是______. ?解题策略 本题属于分段函数的零点问题,所以需要分类讨论: 当时,由,推出, 当时,由,推出, 再分别画出它们的图象,由图象可知, 当直线和的图象有两个不同的交点,而直线和 的图象无交点时满足条件. ?解题过程 当时,由,得, 当时,由,得,

令,作出直线,函数的图象如图所示, 的最大值为,由图象可知,若恰有个互异的实数解,则 ,得. ?解题分析 1.求函数零点问题,是高考试卷中的热点问题,这类问题要通过学生的直观想 象能力,画出函数图象求解比较直观、易理解; 2.本题由求解问题,通过变形转化为求和 的问题,然后通过图象可以顺利求解; 3.分类讨论思想贯穿整个高中阶段的数学学习中,在每年的高考试卷做题中都 会出现,尤其是解决综合题型时,很多学生不知道该如何分类讨论,所以学生在 平时的训练中要有意识的加以培养和应用. ?拓展推广 1.判断函数零点个数的常见方法 (1)直接法:解方程,方程有几个解,函数就有几个零点;

(2)图象法:画出函数的图象,函数的图象与轴的交点个数即为函数的零点个数; (3)将函数拆成两个常见函数和的差,从而 ,则函数的零点个数即为函数与函数 的图象的交点个数; (4)二次函数的零点问题,通过相应的二次方程的判别式来判断. 2.判断函数在某个区间上是否存在零点的方法 (1)解方程,当对应方程易解时,可通过解方程,看方程是否有根落在给定区间 上; (2)利用零点存在性定理进行判断; (3)画出函数图象,通过观察图象与轴在给定区间上是否有交点来判断. 3.已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法 (1)把函数零点问题转化为方程根的问题 利用函数的零点方程的根,把求函数零点的相关问题转化为求方程根的问题,通过方程的根所满足的条件建立不等式来解决问题. (2)把函数零点问题转化为函数图象与坐标轴的交点问题 利用函数的零点函数的图象与轴的交点,把函数零点的相关问题转化为图象与坐标轴的交点问题,再利用数形结合的思想方法来解决问题. (3)把零点问题分离变量后转化为函数值域问题 将函数零点问题先转化为方程根的问题,然后进行变量分离,将参数分离出来转化为求函数值域问题,这种方法思路简洁,学生容易想到. (4)把函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题

函数的零点与方程的解教学讲义

函数的零点与方程的解教学讲义 必备知识·探新知 基础知识 知识点1 函数的零点 (1)函数f (x )的零点是使f (x )＝0的__实数x __. (2)函数的零点、函数的图象、方程的根的关系． 思考1：(1)函数的零点是点吗？ (2)函数的零点个数、函数的图象与x 轴的交点个数、方程f (x )＝0根的个数有什么关系？ 提示：(1)不是，是使f (x )＝0的实数x ，是方程f (x )＝0的根． (2)相等． 知识点2 函数的零点存在定理 (1)条件：函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是__连续不断的曲线__，f (a )f (b )<0； (2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有零点，即存在c ∈(a ，b )使f (c )＝0，这个c 也就是f (x )＝0的根． 思考2：(1)函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，f (a )f (b )<0时，能否判断函数在区间(a ，b )上的零点个数？ (2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有零点，是不是一定有f (a )f (b )<0? 提示：(1)只能判断有无零点，不能判断零点的个数． (2)不一定，如f (x )＝x 2在区间(－1,1)上有零点0，但是f (－1)f (1)＝1×1＝1>0. 基础自测 1．函数f (x )＝4x －6的零点是( C ) A ．2 3 B ．(3 2，0) C ．3 2 D ．－32 [解析] 令4x －6＝0，得x ＝32，∴函数f (x )＝4x －6的零点是3 2 . 2．(2020·广州荔湾区高一期末测试)函数f (x )＝x －2＋log 2x ，则f (x )的零点所在区间为( B )

函数与方程、零点

函数与方程 一、考点聚焦 1．函数零点的概念 对于函数))((D x x f y ∈=，我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点，注意以下几点： （1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零。 （2）函数的零点也就是函数)(x f y =的图象与x 轴的交点的横坐标。 （3）一般我们只讨论函数的实数零点。 （4）求零点就是求方程0)(=x f 的实数根。 2、函数零点的判断 如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的曲线，并且有0)()(

函数与方程(零点问题)

§2.8 函数与方程 函数零点问题 学习目标;(1)理解函数零点定义，会应用函数零点存在性定理 (2)体会函数与方程的转化思想 一 知识导练 1. (必修1 P43练习3改编) 函数32()2f x x x x =-+的零点是____________． 解析：解方程x3－2x2＋x ＝0得x ＝0或x ＝1，所以函数的零点是0或1. 导航：函数零点的求解 2．(必修1 P111复习13改编)已知函数()23x f x x =-，则函数f(x)的零点个数是____． 解析：解法1：令f(x)＝0，则2x ＝3x ，在同一坐标系中分别作出y ＝2x 和y ＝3x 的图象，由图知函数y ＝2x 和y ＝3x 的图象有2个交点，所以函数f(x)的零点个数为2. 解法2：由f(0)>0，f(1)<0，f(3)<0，f(4)>0，…，所以有2个零点，分别在区间(0，1)和(3，4)内． 导航：函数零点个数的判定 3.给出以下三个结论：（1）0一定是奇函数的一个零点； （2）单调函数有且仅有一个零点； （3）周期函数一定有无穷多个零点. 其中正确的结论共有_____个。 4．(必修1 P97习题8)若关于x 的方程27(13)20x m x m -+--=的一个根在区间(0，1)上，另一个在区间(1，2)上，则实数m 的取值范围为_____________． 解析：设f(x)＝7x2－(m ＋13)x －m －2，则???? ?f （0）>0，f （1）<0，f （2）>0，解得－41. 要点回顾：

函数与方程(零点)

§1-10 函数的应用---根与零点及二分法 【课前预习】阅读教材P86-90完成下面填空 1．方程()0=x f 有实根 ? ? 7．若()y f x =的最小值为1，则()1y f x =-的零点个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．0或l D ．不确定

8．已知)(x f 唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的（ ） A ．函数)(x f 在(1,2)或[)2,3内有零点 B ．函数)(x f 在(3,5)内无零点 C ．函数)(x f 在(2,5)内有零点 D ．函数)(x f 在(2,4)内不一定有零点 9．若函数()f x 在[],a b 上连续，且有()()0f a f b >．则函数()f x 在[],a b 上 ( ) A ．一定没有零点 B ．至少有一个零点C ．只有一个零点 D ．零点情况不确定 10．如果二次函数)3(2 +++=m mx x y 有两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ） A ．()6,2- B ．[]6,2- C ．{}6,2- D ．()(),26,-∞-+∞ 11．方程22lg x x -=的实数根的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．无数个 12.二次函数()f x =ax 2 +bx+c 中,ac<0则函数的零点个数是 13.若()f x 的图像关于y 轴对称，且()f x =0有三个零点，则这三个零点之和等于 14.若()f x =???--≤≥--2 1,11 2,12 x x x x x 或则函数g(x)= ()f x -x 的零点为 15.已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，()f x =x 3 -x,则函数y=()f x 的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为 16.已知函数()f x =4x +m.2x +1仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出零点 17．若函数()f x =(m-2)x 2 +mx+(2m+1)的两个零点分别在区间（-1,0）和区间（1,2）内，则的取值范围是（ ） A ．(-21,41) B.(- 41,21) C.( 41,21) D.[ 41,2 1] 18.数()f x =ax+b(a ≠0)有一个零点是2，那么函数g(x)=bx 2 -ax 的零点是 19.数()f x =x 3 -3x+a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(-2,2) B. [-2,2] C.(-∞，1) D. (1，+∞) 20.=cosx 在(-∞,+∞)内 （ ） A ．没有根 B.有且仅有一个根 C. 有且仅有两个根 D. 有无穷多个根 21.()ln 2f x x x =-+的零点个数为 。 [学后反思]____________________________________________________

方程的根与函数的零点题型及解析

方程的根与函数的零点 题型及解析 标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]

方程的根与函数的零点题型及解析1.求下列函数的零点 （1）f（x）=x3+1；（2）f（x）=；（3）y=﹣x2+3x+4；（4）y=x2+4x+4． 分析：根据函数零点的定义解f（x）=0，即可得到结论． 解：（1）由f（x）=x3+1=0得x=﹣1，即函数的零点为﹣1；（2）由f（x）==0 得x2+2x+1=0得（x+1）2=0，得x=﹣1，即函数的零点为﹣1．（3）由y=﹣x2+3x+4=0，可得（x﹣4）（x+1）=0，所以函数的零点为4，﹣1；（4）y=x2+4x+4，可得（x+2）2=0，所以函数的零点为﹣2． 2.①求函数f（x）=2x+x﹣3的零点的个数；②求函数f（x）=log 2 x﹣x+2的零点的个数；③求函数的零点个数是多少？ 分析：①由题意可判断f（x）是定义域上的增函数，从而求零点的个数；②由题意可 得，函数y=log 2 x 的图象和直线y=x﹣2的交点个数，数形结合可得结论．③由函数 y=lnx 的图象与函数y=的图 象只有一个交点，可得函数f（x）=lnx-（1／x）的零点个数． 解：①∵函数f（x）=2x+x﹣3单调递增，又∵f（1）=0，故函数f（x）=2x+x﹣3 有且只有一个零点 ②函数f（x）=log 2x﹣x+2的零点的个数，即函数y=log 2 x 的图象和直线y=x﹣2 的交点个数，如图所示：故函数y=log 2 x 的图象（红色部分）和直线y=x﹣2（蓝 色部分）的交点个数为2，即函数f（x）=log 2 x﹣x+2的零点的个数为2；③函数 f（x）=lnx-（1／x）的零点个数就是函数y=lnx的图象与函数y=1／x的图象 的 交点的个数，由函数y=lnx 的图象与函数y=1／x的图象只有一个交点，如图 所示， 可得函数f（x）=lnx-（1／x）的零点个数是1 3.①已知方程x2﹣3x+a=0在区间（2，3）内有一个零点，求实数a的取值范围 ②已知a是实数，函数f（x）=﹣x2+ax﹣3在区间（0，1）与（2，4）上各有一个 零点，求a的取值． ③已知函数f（x）=x2﹣2ax+4在区间（1，2）上有且只有一个零点，求a的取值范围 分析：①由已知，函数f（x）在区间（2，3）内有一个零点，它的对称轴为x=3／2，得出不等式组，解出即可； ②若函数f（x）=﹣x2+ax﹣3在区间（0，1）与（2，4）上各有一个零点，则f（0）＜0，f（1）＞0，f（2）＞0，f（4）＜0，解得答案；③若函数f（x）=x2﹣2ax+4只有一个零点，则△=0，经检验不符合条件；则函数f（x）=x2﹣2ax+4有两个零点，进而f （1）f（2）＜0，解得答案 解：①若函数f（x）=﹣x2+ax﹣3在区间（0，1）与（2，4）上各有一个零点，则f （0）＜0，f（1）＞0，f（2）＞0，f（4）＜0，即-3＜0，a-4＞0，2a-7＞0，4a-19＜0，解得：a∈（4，19／4）；②∵令f（x）=x2﹣3x+a，它的对称轴为x=3／2，∴函数f （x）在区间（2，3）单调递增，∵方程x2﹣3x+a=0在区间（2，3）内有一个零点，∴函数f（x）在区间（2，3）内与x轴有一个交点，根据零点存在性定理得出：f（2）＜0，f（3）＞0，即a-2＜0，9-9+a＞0，解得0＜a＜2；③解：若函数f（x）=x2﹣2ax+4只有

方程的根与函数的零点》说课稿

《方程的根与函数的零点》说课稿 1教材分析 1.1地位与作用 本节内容为人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》的第一课时，主要内容是函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理，是一节概念课. 新课标教材新增了二分法，也因而设置了本节课.所以本节课首先是为“用二分法求方程的近似解”打基础，零点概念与零点存在性定理的是二分法的必备知识. 之前的教材虽然没有设置本节内容，但方程的根与函数的关系从来是重要且无法回避的，所以将本节课直接编入教材很有必要.本节课也就不仅为二分法的学习做准备，而且为方程与函数提供了零点这个连接点，从而揭示了两者之间的本质联系，这种联系正是“函数与方程思想”的理论基础.用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础. 从研究方法而言，零点概念的形成和零点存在性定理的发现，符合

从特殊到一般的认识规律，有利于培养学生的概括归纳能力，也为数形结合思想提供了广阔的平台. 1.2教学重点 基于上述分析，确定本节的教学重点是：了解函数零点概念，掌握函数零点存在性定理. 2学情分析 2.1学生具备必要的知识与心理基础. 通过前面的学习，学生己经了解一些基本初等函数的模型，具备一定的看图识图能力，这为本节课利用函数图象，判断方程根的存在性提供了一定的知识基础. 方程是初中数学的重要内容，用所学的函数知识解决方程问题，扩充方程的种类，这是学生乐于接受的，故而学生具备心理与情感基础. 2.2学生缺乏函数与方程联系的观点. 高一学生在函数的学习中，常表现出不适，主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任.具体表现为将函数孤立起来，认识不到函数在高中数学中的核心地位. 例如一元二次方程根的分布问题，学生自然会想到韦达定理，而不是看二次函数的图象.函数与方程相联系的观点的建立，函数应用的意识的初步树立，就成

高中数学-函数零点问题及例题解析

高中数学-函数零点问题及例题解析 一、函数与方程基本知识点 1、函数零点：（变号零点与不变号零点） （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。 若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(f ，所以由根的存在性定理可知，函数x x x f 2 )1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B （二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。 函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解。如：

函数与方程(零点)

§1-10 函数的应用---根与零点及二分法 【课前预习】阅读教材P86-90完成下面填空 1．方程()0=x f 有实根 ? ? 2．零点定理：如果函数()x f y =在区间 上的图象是 的一条曲线，并且 有 ，那么，函数()x f y =在区间 内有零点，即存在()b a c ,∈，使得 ，这个c 也就是方程()0=x f 的根. 3．二分法求函数()x f y =零点近似值的步骤： ⑴确定区间 ，验证 ，给定 。 ⑵求 ； ⑶计算 ；①若 ，则 ； ②若 ，则令 ； ③若 ，则令 。 ⑷判断 【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题 1．下列函数中有2个零点的是 ( ) A ．lg y x = B ．2x y = C ．2y x = D ．1y x =- 2.若函数()f x 在区间[],a b 上为减函数，则()f x 在[],a b 上 ( ) A ．至少有一个零点 B ．只有一个零点 C ．没有零点 D ．至多有一个零点 3．函数)(x f =-x 2+5x-6的零点是 4. 函数)(x f =x 21-( 21)x 的零点个数 5.函数)(x f =x 3-x 2-x+1在[0,2]上 零点 6.下列函数图像与x 轴均有交点，但不宜用二分法求函数零点的是（ ） A B C D 7．若()y f x =的最小值为1，则()1y f x =-的零点个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．0或l D ．不确定 8．已知)(x f 唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的（ ） A ．函数)(x f 在(1,2)或[)2,3内有零点 B ．函数)(x f 在(3,5)内无零点 C ．函数)(x f 在(2,5)内有零点 D ．函数)(x f 在(2,4)内不一定有零点 9．若函数()f x 在[],a b 上连续，且有()()0f a f b >．则函数()f x 在[],a b 上 ( )

函数的零点及应用

函数的零点及应用 一、要点扫描 1．函数零点的理解：(1)函数的零点、方程的根、函数图象与x 轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式；(2)若函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条连续的曲线且f (a )f (b )＜0，则f (x )在区间(a ，b )内有零点． 2．函数零点的判定常用方法：(1)零点存在性定理；(2)数形结合法；(3)解方程f (x )＝0. 3．曲线的交点问题：(1)曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为方程的根；(2)求曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )的交点的横坐标，实际上就是求函数y ＝f (x )－g (x )的零点，即求f (x )－g (x )＝0的根． 二、典型例题剖析 1．求函数的零点 例1 求函数f (x )＝x 3－3x ＋2的零点． 解 令f (x )＝x 3－3x ＋2＝0，∴(x ＋2)(x －1)2＝0. ∴x ＝－2或x ＝1， ∴函数f (x )＝x 3－3x ＋2的零点为－2,1. 评注 求函数的零点，就是求f (x )＝0的根，利用等价转化思想，把函数的零点问题转化为方程根的问题，或利用数形结合思想把函数零点问题转化为函数图象与x 轴的交点问题． 2．判断函数零点的个数 例2 已知函数f (x )＝a x ＋x －2 x ＋1 (a ＞1)，判断函数f (x )＝0的根的个数． 解 设f 1(x )＝a x (a ＞1)，f 2(x )＝－x －2 x ＋1 ，则f (x )＝0的解，即为f 1(x )＝f 2(x )的解，即为函数f 1(x ) 与f 2(x )的交点的横坐标．

函数的零点问题

函数零点问题的求解 【教学目标】 知识与技能： 1.理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌握用连续函数 零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 过程与方法： 1.函数零点反映了函数和方程的联系，函数零点与方程的根能相互转化，能把方程问题合理 转化为函数问题进行解决. 2.函数的零点问题的解决涉及到分类讨论,数形结合,化归转化等数学思想方法,有效提升了 学生的数学思想方法的应用. 情感、态度与价值观: 1.培养学生认真、耐心、严谨的数学品质； 2.让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用函数观点处理问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在的区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 【教学过程】 一、引例 （1）．函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2 解法一:代数解法 解：(1)．因为()0 0e 0210f =+-=-<，()1 1e 12e 10f =+-=->， 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选C. 二、 基础知识回顾 1．函数零点概念 对于函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2. 零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有

函数的零点和方程的根经典练习题

函数的零点和方程的根经典练习题 1．函数2()41f x x x =--+的零点为（ ） A 、12-+ B 、12-- C 、12 -± D 、不存在 2、函数32()32f x x x x =-+的零点个数为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3、函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（ ）. A. (1, 2) B. (2 , 3) C. (3, 4) D. (4, 5) 4、已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数，g (x )＝[x ]为取整函数，x 0是函数f (x )＝ln x －2x 的零点，则g (x 0)等于________ 5、若定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x ＋2)＝f(x)，且当x ∈[0,1]时，f(x)＝x ，则函数y ＝f(x)－log 3|x|的零点个数是 6、定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，2log (1)(01)()|3|1(1)x x f x x x +≤x x ，若关于x 的函数 +=)(22x f y 1)(2+x bf 有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是____________． 11、求证方程231 x x x -= +在(0,1)内必有一个实数根. 12、已知关于x 的方程x 2＋2mx ＋2m ＋3=0的两个不等实根都在区间（0，2）内，求实数m 的取值范围．

函数零点问题(讲解)

函数零点问题 【教学目标】 知识与技能： 1. 理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌握用连续函数零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2. 结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用 函数观点处理问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 一、引例 （1）．函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． < A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.() 1,2 解法一:代数解法 解：(1)．因为()0 0e 0210f =+-=-<，()11e 12e 10f =+-=->， 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选 C. 二、 基础知识回顾

1．函数零点概念 对函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2.零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有()()0f a f b ?<，那么，函数()y f x =在区间()a,b 内有零点.即存在()c a,b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根. 有零点吗 引例除了用零点基本定理,还有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗 · 解法二:几何解法 (1). ()e 2x f x x =+- 可化为2x e x =-+． 画出函数x y e =和 2y x =-+的图象，可观察得出C 正确. ) )0=有实数根

高中数学函数零点问题及例题解析2018年高三专题复习-函数

高中数学2017-2018高三专题复习 -函数（3）函数零点问题及例题解析 一、函数与方程基本知识点 1、函数零点：（变号零点与不变号零点） （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。 若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(f ，所以由根的存在性定理可知，函数x x x f 2 )1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B （二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。

函数方程与零点(精)

函数的零点 .【高考考情解读】常考查：1.结合函数与方程的关系，求函数的零点．2.结合根的存在性定理或函数图像，对函数是否存在零点或存在零点的个数进行判断．3.判定函数零点(方程的根)所在的区间．4.利用零点(方程实根)的存在求相关参数的值或取值范围．高考题突出数形结合思想与函数方程思想的考查，以客观题的形式为主． (1)函数与方程的关系：函数f (x )有零点?方程f (x )＝0有根?函数f (x )的图象与x 轴有交点?f (x )与g (x )有交点?f (x )=g (x )． 函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y ＝f(x)的图像与函数y ＝g(x)的图像交点的横坐标． (2)函数f (x )的零点存在性定理：如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使f (c )＝0. 注：①如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且函数f (x )在区间[a ，b ]上是一个单调函数，那么当f (a )·f (b )<0时，函数f (x )在区间(a ，b )内有唯一的零点，即存在唯一的c ∈(a ，b )，使f (c )＝0. ②如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且有f (a )·f (b )>0，那么，函数f (x )在区间(a ，b )内不一定没有零点． ③如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，那么当函数f (x )在区间(a ，b )内有零点时不一定有f (a )·f (b )<0，也可能有f (a )·f (b )>0. (3)判定函数零点的方法:①解方程法；②利用零点存在性定理判定；③数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解． (2013·重庆)若a 0)， 2x ＋1(x ≤0)，的零点个数是 ( )