一、中考数学压轴题
1.如图,抛物线2
(40) y ax bx a =++≠与x 轴交于()() 3,0, 4,0A C -两点,与y 轴交
于点B .
()1求这条抛物线的顶点坐标;
()2已知AD AB =(点D 在线段AC 上),有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动:同时另一个点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动,经过()t s 的移动,线
段PQ 被BD 垂直平分,求t 的值;
()3在()2的情况下,抛物线的对称轴上是否存在一点M ,使MQ MC +的值最小?若存
在,请求出点M 的坐标:若不存在,请说明理由.
2.已知:如图,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,()2,0C .直线26y x =+与x 轴交于点A ,交y 轴于点B .过C 点作直线AB 的垂线,垂足为E ,交y 轴于点D . (1)求直线CD 的解析式;
(2)点G 为y 轴负半轴上一点,连接EG ,过点E 作EH EG ⊥交x 轴于点H .设点G 的坐标为()0,t ,线段AH 的长为d .求d 与t 之间的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)
(3)过点C 作x 轴的垂线,过点G 作y 轴的垂线,两线交于点M ,过点H 作HN GM ⊥于点N ,交直线CD 于点K ,连接MK ,若MK 平分NMB ∠,求t 的值.
3.已知抛物线217
22
2
y
x mx m
的顶点为点C . (1)求证:不论m 为何实数,该抛物线与x 轴总有两个不同的交点;
(2)若抛物线的对称轴为直线3x =,求m 的值和C 点坐标;
(3)如图,直线1y x =-与(2)中的抛物线并于A B 、两点,并与它的对称轴交于点D ,直线x k =交直线AB 于点M ,交抛物线于点N .求当k 为何值时,以C D M N 、、、为顶点的四边形为平行四边形.
4.定义:如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是3:5,那么称这个三角形为“准黄金”三角形,这条边就叫做这个三角形的“金底”. (概念感知)
(1)如图1,在ABC 中,12AC =,10BC =,30ACB ∠=?,试判断ABC 是否是“准黄金”三角形,请说明理由.
(问题探究)
(2)如图2,ABC 是“准黄金”三角形,BC 是“金底”,把ABC 沿BC 翻折得到
DBC △,连AB 接AD 交BC 的延长线于点E ,若点C 恰好是ABD △的重心,求
AB
BC
的值. (拓展提升)
(3)如图3,12l l //,且直线1l 与2l 之间的距离为3,“准黄金”ABC 的“金底”BC 在直线2l 上,点A 在直线1l 上.
10
AB BC =
,若ABC ∠是钝角,将ABC ∠绕点C 按顺时针方向旋转()090αα?<
=?时,则CD =_________;
②如图4,当点B 落在直线1l 上时,求
AD
CD
的值.
5.如图①,四边形ABCD 中,//,90AB CD ADC ∠=?.
(1)动点M 从A 出发,以每秒1个单位的速度沿路线A B C D →→→运动到点D 停止,设运动时间为a ,AMD ?的面积为,S S 关于a 的函数图象如图②所示,求AD CD 、的长.
(2)如图③动点P 从点A 出发,以每秒2个单位的速度沿路线A D C →→运动到点C 停止,同时,动点Q 从点C 出发,以每秒5个单位的速度沿路线C D A →→运动到点A 停止,设运动时间为t ,当Q 点运动到AD 边上时,连接CP CQ PQ 、、,当CPQ ?的面积为8时,求t 的值.
6.如图,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y =ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于A (﹣3,0)、B (2,0)两点,与y 轴交于点C (0,3). (1)求抛物线的解析式;
(2)点E (m ,2)是直线AC 上方的抛物线上一点,连接EA 、EB 、EC ,EB 与y 轴交于D .
①点F 是x 轴上一动点,连接EF ,当以A 、E 、F 为顶点的三角形与△BOD 相似时,求出线段EF 的长;
②点G 为y 轴左侧抛物线上一点,过点G 作直线CE 的垂线,垂足为H ,若∠GCH =∠EBA ,请直接写出点H 的坐标.
7.如图一,矩形ABCD 中,AB=m ,BC=n ,将此矩形绕点B 顺时针方向旋转θ(0°<θ<90°)得到矩形A 1BC 1D 1,点A 1在边CD 上.
(1)若m=2,n=1,求在旋转过程中,点D 到点D 1所经过路径的长度;
(2)将矩形A 1BC 1D 1继续绕点B 顺时针方向旋转得到矩形A 2BC 2D 2,点D 2在BC 的延长线上,设边A 2B 与CD 交于点E ,若
161A E EC
=-,求n
m 的值.
(3)如图二,在(2)的条件下,直线AB 上有一点P ,BP=2,点E 是直线DC 上一动点,在BE 左侧作矩形BEFG 且始终保持
BE n
BG m
=,设AB=33,试探究点E 移动过程中,PF 是否存在最小值,若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.
8.如图1,抛物线2
3y ax bx =++与x 轴交于点(1,0)A -、点B ,与y 轴交于点C ,顶
点D 的横坐标为1,对称轴交x 轴交于点E ,交BC 与点F .
(1)求顶点D 的坐标;
(2)如图2所示,过点C 的直线交直线BD 于点M ,交抛物线于点N . ①若直线CM 将BCD ?分成的两部分面积之比为2:1,求点M 的坐标; ②若NCB DBC ∠=∠,求点N 的坐标.
9.问题背景:如图,四边形ABCD 中,AD BC ∥,8BC =,17AD =+,
32AB =,45ABC ∠=?,P 为边AD 上一动点,连接BP 、CP .
问题探究
(1)如图1,若30PBC ∠=?,则AP 的长为__________. (2)如图2,请求出BPC △周长的最小值;
(3)如图3,过点P 作PE BC ⊥于点E ,过点E 分别作EM PB ⊥于M ,EN PC ⊥于点N ,连接MN
①是否存在点P ,使得PMN 的面积最大?若存在,求出PMN 面积的最大值,若不存在,请说明理由;
②请直接写出PMN 面积的最小值.
10.平面直角坐标系中,点A 、B 分别在x 轴正半轴、y 轴正半轴上,AO =BO ,△ABO 的面积为8.
(1)求点A 的坐标;
(2)点C 、D 分别在x 轴负半轴、y 轴正半轴上(D 在B 点上方),AB ⊥CD 于E ,设点D 纵坐标为t ,△BCE 的面积为S ,求S 与t 的函数关系;
(3)在(2)的条件下,点F 为BE 中点,连接OF 交BC 于G ,当∠FOB +∠DAE =45°时,求点E 坐标.
11.附加题:在平面直角坐标系中,抛物线2
1y ax a
=-与y
轴交于点A ,点A 关于x 轴的对称点为点B , (1)求抛物线的对称轴;
(2)求点B 坐标(用含a 的式子表示);
(3)已知点11,
P a ??
???
,(3,0)Q ,若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点,结合函数图像,求a 的取值范围. 12.已知:如图,AB 为
O 的直径,弦CD AB ⊥垂足为E ,点H 为弧AC 上一点.连接
DH 交AB 于点F ,连接HA 、BD ,点G 为DH 上一点,连接AG ,HAG BDC ∠=∠. (1)如图1,求证:AG HD ⊥;
(2)如图2,连接HC ,若HC HF =,求证:HC HA =;
(3)如图3,连接HO 交AG 于点K ,若点F 为DG 的中点,HC 2HG =,求
KG
AK
的值.
13.在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,抛物线(2)()y a x x m =++与x 轴交于点
A C 、(点A 在点C 的左侧),与y 轴正半轴交于点
B ,24O
C OB ==. (1)如图1,求a m 、的值;
(2)如图2,抛物线的顶点坐标是M ,点D 是第一象限抛物线上的一点,连接AD 交抛物线的对称轴于点N ,设点D 的横坐标是t ,线段MN 的长为d ,求d 与t 的函数关系式;
(3)如图3,在(2)的条件下,当15
4
d =时,过点D 作DE x 轴交抛物线于点E ,点
P 是x 轴下方抛物线上的一个动点,连接PE 交x 轴于点F ,直线2
11
y x b =+经过点D 交EF 于点G ,连接CG ,过点E 作EH CG 交DG 于点H ,若3CFG EGH S S =△△,求点
P 的坐标.
14.如图①,在△ABC 中,∠ACB =90°,∠B =30°,AC =1,D 为AB 的中点,EF 为△ACD 的中位线,四边形EFGH 为△ACD 的内接矩形(矩形的四个顶点均在△ACD 的边上). (1)计算矩形EFGH 的面积;
(2)将矩形EFGH 沿AB 向右平移,F 落在BC 上时停止移动.在平移过程中,当矩形与△CBD 重叠部分的面积为
3
16
时,求矩形平移的距离; (3)如图③,将(2)中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形1111E F G H ,将矩形
1111E F G H 绕1G 点按顺时针方向旋转,当1H 落在CD 上时停止转动,旋转后的矩形记为矩
形2212E F G H ,设旋转角为α,求cos α的值.
15.如图,抛物线2
14
y x bx c =
++与x 轴交于点A (-2,0),交y 轴于点B (0,5
2
-
).直线32y kx =+过点A 与y 轴交于点C ,与抛物线的另一个交点是D .
(1) 求抛物线2
14
y x bx c =
++与直线32y kx =+的解析式;
(2)点P 是抛物线上A 、D 间的一个动点,过P 点作PM ∥CE 交线段AD 于M 点. ①过D 点作DE ⊥y 轴于点E ,问是否存在P 点使得四边形PMEC 为平行四边形?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由;
②作PN ⊥AD 于点N ,设△PMN 的周长为m ,点P 的横坐标为x ,求m 关于x 的函数关系式,并求出m 的最大值.
16.在平面直角坐标系中,直线4
(0)3
y x b b =-
+>交x 轴于点A ,交y 轴于点B ,10AB =.
(1)如图1,求b 的值;
(2)如图2,经过点B 的直线(4)(40)y n x b n =++-<<与直线y nx =交于点C ,与
x 轴交于点R ,//CD OA ,交AB 于点D ,设线段CD 长为d ,求d 与n 的函数关系式;
(3)如图3,在(2)的条件下,点F 在第四象限,CF 交OA 于点E ,45AEF ∠=?,点
P 在第一象限,PH OA ⊥,点N 在x 轴上,点M 在PH 上,MN 交PE 于点G ,
PH EN =,过点E 作EQ CF ⊥,交PH 于点Q , 32==EQ EF PM ,
∠=∠OBR HNM ,BC CR =,点G 的坐标为1927,55??
???
,连接FN ,求EFN 的面
积.
17.如图,在矩形ABCD 中,6AB cm =,8AD cm =,连接BD ,将ABD △绕B 点作顺时针方向旋转得到A B D '''△(B ′与B 重合),且点D '刚好落在BC 的延长上,A D ''与
CD 相交于点E .
(1)求矩形ABCD 与A B D '''△重叠部分(如图1中阴影部分A B CE '')的面积; (2)将A B D '''△以每秒2cm 的速度沿直线BC 向右平移,如图2,当B ′移动到C 点时停止移动.设矩形ABCD 与A B D '''△重叠部分的面积为y ,移动的时间为x ,请你直接写出y 关于x 的函数关系式,并指出自变量x 的取值范围;
(3)在(2)的平移过程中,是否存在这样的时间x ,使得AA B ''△成为等腰三角形?若存在,请你直接写出对应的x 的值,若不存在,请你说明理由.
18.在Rt ABC ?中,6AB =,90B ∠=?,8BC =,点P 从A 出发沿AC 方向在运动速度为3个单位/秒,点Q 从C 出发向点B 运动,速度为1个单位/秒,P 、Q 同时出发,点Q 到点B 时两点同时停止运动.
(1)点P 在线段AC 上运动,过P 作DP PQ ⊥交边AB 于D ,2t =时,求PD
PQ
的值; (2)运动t 秒后,90BPQ ∠=?,求此时t 的值; (3)t =________时,AQ QP =.
19.我们知道,在等腰直角三角形中,底边与一边腰长比为2:1.如图1,90A ∠=?,
AB AC =,则
2BC
AB
=.
知识应用:
(1)如图2,ADE ?和ABC ?均为等腰直角三角形,90DAE BAC ∠=∠=?,D ,E ,C 三点共线,若2AD =2BD =,求CD 的长.
知识外延:
(2)如图3,正方形ABCD 中,BE 和BC 关于BG 对称,C 点的对应点为E 点,AE 交
BG 的延长线于F 点,连接CF . ①求证:GF EC =;
②若2AE =,2CE =BF 的长.
20.已知抛物线2
y ax bx c =++过点(6,0)A -,(2,0)B ,(0,3)C -.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若点H 是该抛物线第三象限的任意一点,求四边形OCHA 的最大面积; (3)若点Q 在y 轴上,点G 为该抛物线的顶点,且45GQA ∠=?,求点Q 的坐标. 21.如图所示,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠A=90°,AB=12,BC=21,AD=16.动点P 从点B 出发,沿射线BC 的方向以每秒2个单位长的速度运动,动点Q 同时从点A 出发,在线段AD 上以每秒1个单位长的速度向点D 运动,当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为t (秒). (1)设△DPQ 的面积为S ,求S 与t 之间的关系式; (2)当t 为何值时,四边形PCDQ 是平行四边形? (3)分别求出当t 为何值时,①PD=PQ ;②DQ=PQ .
22.如图1,D 是等边△ABC 外一点,且AD =AC ,连接BD ,∠CAD 的角平分交BD 于E . (1)求证:∠ABD =∠D ; (2)求∠AEB 的度数;
(3)△ABC 的中线AF 交BD 于G (如图2),若BG =DE ,求
AF
DE
的值.
23.问题提出
(1)如图1,已知三角形ABC ,请在BC 边上确定一点D ,使得AD 的值最小. 问题探究
(2)如图2,在等腰ABC 中,AB AC =,点P 是AC 边上一动点,分别过点A ,点
C 作线段BP 所在直线的垂线,垂足为点,
D
E ,若5,6AB BC ==,求线段BP 的取值范围,并求AD CE +的最大值.
问题解决
(3)如图3,正方形ABCD 是一块蔬菜种植基地,边长为3千米,四个顶点处都建有一个蔬菜采购点,根据运输需要,经过顶点A 处和BC 边的两个三等分点E F 、之间的某点
P 建设一条向外运输的快速通道,其余三个采购点都修建垂直于快速通道的蔬菜输送轨
道,分别为BB '、CC '、DD '.若你是此次项目设计的负责人,要使三条运输轨道的距
离之和(
)
BB CC DD '''
++最小,你能不能按照要求进行规划,请通过计算说明.
24.在综合与实践课上老师将直尺摆放在三角板上,使直尺与三角板的边分别交于点P 、M 、N 、Q ,
(1)如图①所示.当∠CNG =42°,求∠HMC 的度数.(写出证明过程)
(2)将直尺向下平移至图 2 位置,使直尺的边缘通过点 C ,交 AB 于点 P ,直尺另一侧与三角形交于 N 、Q 两点。请直接写出∠PQF 、∠A 、∠ACE 之间的关系.
25.已知四边形ABCD 是正方形,点P 在直线BC 上,点G 在直线AD 上(P ,G 不与正方形顶点重合,且在CD 的同侧),PD =PG ,DF ⊥PG 于点H ,交直线AB 于点F ,将线段PG 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PE ,连结EF .
(1)如图1,当点P 与点G 分别在线段BC 与线段AD 上时. ①求证:DF =PG ;
②若AB =3,PC =1,求四边形PEFD 的面积;
(2)如图2,当点P 与点G 分别在线段BC 与线段AD 的延长线上时,请猜想四边形PEFD 是怎样的特殊四边形,并证明你的猜想.
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一、中考数学压轴题
1.A 解析:(1) 149,212??
???
;(2) 257t =;(3)存在,见解析 【解析】 【分析】
(1)已知抛物线的2点,代入可直接求解;
(2)根据A 、B 的坐标,得出AD 、AB 的长,通过推导可证ABC QDB ??,利用相似得
到的比例线段即可求得DQ 、PD 的长,从而得出t ;
(3)根据轴对称的最短路径先作C 关于对称轴的对称点,即点A ,连接AO 与对称轴的交点即为点M . 【详解】 (1)
抛物线()2
40y ax bx a =++≠与x 轴交于()()3,0,4,0A C -两点
16440
9340a b a b ++=?∴?-+=?
解这个方程组,得13
13a b ?
=-????=??
∴抛物线的解析式为21
143
3
y x x =-++
2
21111494333212
y x x x ??=-++=--+ ???
∴这条抛物线的顶点坐标为149,212??
???
(2)
点,A C 的坐标为()()3,0,4,0-
3,4AO OC ∴==
7AC AO OC ∴=+=
抛物线21143
3
y x x =-++与轴交于点B
∴点B 的坐标为()0,4
4OB ∴= 5AB ∴=
5AB AB ∴== 2DC AC AD ∴=-=
连接QD
=AD AB
ABD ADB ∴∠=∠
线段PQ 被BD 垂直平分
DP DQ ∴=
DPQ DQP ∴∠=∠ PDB QDB ∴∠=∠ ABD QDB ∴∠=∠
//AB DQ ∴ ABC QDB ∴??
DQ CD
AB CA ∴= 2
57
DQ ∴
= 10
7
DQ ∴=
107
PD ∴=
257
AP AD PD ∴=-= 257
t ∴=
(3)存在
连接AQ 交对称轴于M ,此时MQ+MC 为最小,过点Q 作QN ⊥x 轴于点N
∵DQ∥AB,
∴∠QDN=∠BAC
sin∠QDN=sin∠BAC=OB QN AB DQ
=
∴4
10
5
7
QN =
,
∴QN=8
7
设直线BC的解析式为:y=kx+b
将点B(0,4)和点C(4,0)代入可求得:k=-1,b=4∴直线BC的解析式为:y=-x+4
当y=8
7
时,x=
20
7
∴Q(20
7,
8
7
)
同理可得:AQ的解析式为:y=824 4141
x+
当x=1
2
时,y=
28
41
∴M(1
2,
28
41
)
【点睛】
本题考查二次函数的综合,在求解最短距离时,解题关键是利用对称,将要求解的2段线段转化为1条线段,从而求出点M.
2.C
解析:(1)
1
1
2
y x
=-+;(2)1
d t
=-+;(3)621
5
t
-
=
【解析】
【分析】
(1)根据互相垂直两直线斜率积为-1,设出直线CE 的解析式,再将点C 坐标代入即可求解;
(2)过点E 作EM ⊥y 轴于点M ,过点E 作EN x ⊥轴于点N ,通过解直角三角形可证
EDM ≌EAN ,ENH ≌EMG ,得到AN =DM ,HN =GM ,进而得到AH DG =,再根据CE 解析式求出D 点坐标,即可找出d 与t 之间的函数关系式;
(3)过点B 作BT CM ⊥于点T ,在直线BT 上截取TL NK =,证四边形BGMT 与四边形HNMC 均为矩形,得MN MT =,再进一步证明ENH ≌EMG ,利用全等三角形的性质通过角度计算,得出△BML 为等腰三角形且BM BL =,再用含有t 的代数式表示BM ,最后在Rt △BMG 中利用勾股定理建立等式,求出t 的值. 【详解】
解:(1)∵CE ⊥AB , ∴设直线CE 的解析式为:1
2
y x c =-
+, 把点C (2,0)代入上述解析式,得1c =, ∴直线CD 的解析式为:1
12
y x =-
+; (2)过点E 作EM ⊥y 轴于点M ,过点E 作EN x ⊥轴于点N ,
令261
12y x y x =+???=-+??
, 解得22x y =-??=?
,
∴()2,2E -,
易证EDM ≌EAN ,ENH ≌EMG , ∴AN =DM ,HN =GM , ∴AH DG =, 由直线CE 的解析式1
12
y x =-+,可求点D (0,1) ∴DG =1—t , ∴1d t =-+;
(3)过点B 作BT CM ⊥于点T ,在直线BT 上截取TL NK =,
易证四边形BGMT 与四边形HNMC 均为矩形, 由(2)问可知1t AH GD ==-,则6t HC =- ∴6t BG MT ==-, ∴MN MT =,
∵90KNM LTM ∠=∠=?, ∴ENH ≌EMG , ∴L NKM ∠=∠,
设KMN α∠=,则KMB KMN α∠=∠=, ∴90NKM α∠=?-, ∴90NKM L α∠=∠=?-, ∵//BL MN ,
∴2MBL BMN α∠=∠=,
∴18090BML MBL L α∠=?-∠-∠=?-, ∴BM BL =, ∵1tan 2
KCH ∠=, ∴11
322
KH CH t =
=-, ∴13
3322
KN KH HN t t t TL =+=--=-=, ∴3
52
BL BT TL t BM =+=-=, 在Rt BMG △中,
222BM BG GM =+,
解得64215t +=(不合题意舍去)或6421
5t -= 故,6421
t -=
.
【点睛】
本题一次函数综合题,考查了待定系数法求解析式,一次函数的性质,全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,勾股定理等,利用已知条件求相等交,相等线段是解决本题的关键.
3.(1)详见解析;(2)3m =,点C 坐标为(3,2)-;(3)5k =或4
17k 或
4
17k
时,可使得C D M N 、、、为顶点的四边形是平行四边形.
【解析】 【分析】 (1)从2
17202
2
x mx
m
的判别式出发,判别式总大于等于3,而证得;
(2)根据抛物线的对称轴32b x
a
来求m 的值;然后利用配方法把抛物线解析式转
化为顶点式,由此可以写出点C 的坐标;
(3)根据平行四边形的性质得到:2
15
|1(3)|42
2
MN k k k
CD . 需要分类讨论:①当四边形CDMN 是平行四边形,2
1
51(3)42
2
MN k k k
,通过
解该方程可以求得k 的值;
②当四边形CDNM 是平行四边形,2153(1)42
2
NM k k
k ,通过解该方程可以求
得k 的值. 【详解】 解:(1)
2
2
17()4(2)(2)32
2
m m m
, ∵不论m 为何实数,总有2(2)0m -≥,
2
(2)3
0m ,
∴无论m 为何实数,关于x 的一元二次方程217202
2
x mx
m
总有两个不相等的实数
根,
∴无论m 为何实数,抛物线217
22
2
y x mx
m
与x 轴总有两个不同的交点. (2)
抛物线的对称轴为直线3x =,
3
122
m ,即3m =,
此时,抛物线的解析式为22
1513(3)22
2
2
y x x
x ,
∴顶点C 坐标为(3,2)-;
(3)//,CD MN C D M N 、、、为顶点的四边形是平行四边形,
∴四边形CDMN 是平行四边形(直线在抛物线的上方)或四边形CDMN (直线在抛物线
的下方),如图所示,
由已知2
15(3,2),(,1),(3)2
2
D M k k N k k k
,, (3,2)C ,
4CD ∴=,
2
1
51(3)42
2
MN
k k k
CD
,
①当四边形CDMN 是平行四边形,
2
1
51(3)42
2
MN
k k k
,
整理得,28150k k -+=,
解得13k =(不合题意,舍去),25k =; ②当四边形CDNM 是平行四边形,
2153(1)
42
2
NM
k k
k ,
整理得2810k k , 解得,12
4
174
17k k ,,
综上,5k =或4
17k
或4
17k
时,可使得C D M N 、、、为顶点的四边形是平行
四边形. 【点睛】
本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式,抛物线的顶点公式和平行四边形的判定与性质.在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果.
4.A
解析:(1)ABC 是“准黄金”三角形,理由见解析;(2)
329
AB BC =
3)①12561535
AD CD =
. 【解析】 【分析】
(1)过点A 作AD BC ⊥于点D ,先求出AD 的长度,然后得到6103
5
AD BC ==,即可得到结论;
(2)根据题意,由“金底”的定义得:3:5AE BC =,设3AE k =,5BC k =,由勾股定理求出AB 的长度,根据比值即可求出
AB
BC
的值; (3)①作AE ⊥BC 于E ,DF ⊥AC 于F ,先求出AC 的长度,由相似三角形的性质,得到AF=2DF ,由解直角三角形,得到3CF DF =,则(23)35AC x =+=,即可求出DF
的长度,然后得到CD 的长度;
②由①可知,得到CE 和AC 的长度,分别过点B ',D 作B G BC '⊥,DF AC ⊥,垂足分别为点G ,F ,然后根据相似三角形的判定和性质,得到DF AF
AE EC
=,然后求出CD 和AD 的长度,即可得到答案. 【详解】
解:(1)ABC 是“准黄金”三角形. 理由:如图,过点A 作AD BC ⊥于点D , ∵12AC =,30ACB ∠=?,
∴1
62
AD AC =
=. ∴:6:103:5AD BC ==.
∴ABC 是“准黄金”三角形.
(2)∵点A ,D 关于BC 对称, ∴BE AD ⊥,AE ED =.
∵ABC 是“准黄金”三角形,BC 是“金底”, ∴:3:5AE BC =.
不防设3AE k =,5BC k =, ∵点C 为ABD △的重心, ∴:2:1BC CE =. ∴52k CE =
,152
k BE =. ∴2
2
15329(3)22k AB k k ??=+= ?
??
. ∴
329329:5AB k BC ==
. (3)①作AE ⊥BC 于E ,DF ⊥AC 于F ,如图:
由题意得AE=3, ∵
3
5
AE BC =, ∴BC=5, ∵
10
AB BC =
, ∴10AB ,
在Rt △ABE 中,由勾股定理得:
22(10)31BE =-=,
∴156EC =+=, ∴223635AC =+=
∵∠AEC=∠DFA=90°,∠ACE=∠DAF , ∴△ACE ∽△DAF , ∴
31
2
6AE E D C F AF ===, 设DF x =,则2AF x =,
∵∠ACD=30°, ∴3CF x =
,
∴(23)35AC x == 解得:65315DF x == ∴2125615CD DF ==
②如图,过点A 作AE BC ⊥于点E ,则3AE =. ∵ABC 是“准黄金”三角形,BC 是“金底”, ∴:3:5AE BC =. ∴5BC =. ∵
10
5
AB BC =
, ∴10AB .
∴221BE AB AE =
-=.
一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知二次函数的图象以A(﹣1,4)为顶点,且过点B(2,﹣5) (1)求该函数的关系式; (2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标; (3)将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A、B两点随图象移至A′、B′,求△O A′B′的面积. 【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0)(3)15. 【解析】 【分析】(1)已知了抛物线的顶点坐标,可用顶点式设该二次函数的解析式,然后将B 点坐标代入,即可求出二次函数的解析式; (2)根据函数解析式,令x=0,可求得抛物线与y轴的交点坐标;令y=0,可求得抛物线与x轴交点坐标; (3)由(2)可知:抛物线与x轴的交点分别在原点两侧,由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时,抛物线平移的单位,由此可求出A′、B′的坐标.由于△OA′B′不规则,可用面积割补法求出△OA′B′的面积. 【详解】(1)设抛物线顶点式y=a(x+1)2+4, 将B(2,﹣5)代入得:a=﹣1, ∴该函数的解析式为:y=﹣(x+1)2+4=﹣x2﹣2x+3; (2)令x=0,得y=3,因此抛物线与y轴的交点为:(0,3), 令y=0,﹣x2﹣2x+3=0,解得:x1=﹣3,x2=1, 即抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0); (3)设抛物线与x轴的交点为M、N(M在N的左侧), 由(2)知:M(﹣3,0),N(1,0), 当函数图象向右平移经过原点时,M与O重合,因此抛物线向右平移了3个单位, 故A'(2,4),B'(5,﹣5), ∴S△OA′B′=1 2 ×(2+5)×9﹣ 1 2 ×2×4﹣ 1 2 ×5×5=15. 【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的
一、中考数学压轴题 1.已知:在平面直角坐标系中,抛物线2 23y ax ax a =--与x 轴交于点A ,B (点B 在 点A 的右侧),点C 为抛物线的顶点,点C 的纵坐标为-2. (1)如图1,求此抛物线的解析式; (2)如图2,点P 是第一象限抛物线上一点,连接AP ,过点C 作//CD y 轴交AP 于点 D ,设点P 的横坐标为t ,CD 的长为m ,求m 与t 的函数关系式(不要求写出自变量t 的取值范围); (3)如图3,在(2)的条件下,点E 在DP 上,且ED AD =,点F 的横坐标大于3,连接EF ,BF ,PF ,且EP EF BF ==,过点C 作//CG PF 交DP 于点G ,若 72 8 CG AG = ,求点P 的坐标. 2.“阅读素养的培养是构建核心素养的重要基础,重庆十一中学校以‘大阅读’特色课程实施为突破口,着力提升学生的核心素养.”全校师生积极响应和配合,开展各种活动丰富其课余生活.在数学兴趣小组中,同学们从书上认识了很多有趣的数.其中有一个“和平数”引起了同学们的兴趣.描述如下:一个四位数,记千位上和百位上的数字之和为x ,十位上和个位上的数字之和为y ,如果x y =,那么称这个四位数为“和平数”. 例如:1423,14x =+,23y =+,因为x y =,所以1423是“和平数”. (1)直接写出:最小的“和平数”是________,最大的“和平数”是__________; (2)求同时满足下列条件的所有“和平数”: ①个位上的数字是千位上的数字的两倍; ②百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数; (3)将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置,同时,将百位上与千位上的数字交换位置,称交换前后这两个“和平数”为“相关和平数”. 例如:1423于4132为“相关和平数” 求证:任意的两个“相关和平数”之和是1111的倍数. 3.定义:如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是3:5,那么称这个三角形为“准黄金”三角形,这条边就叫做这个三角形的“金底”. (概念感知) (1)如图1,在ABC 中,12AC =,10BC =,30ACB ∠=?,试判断ABC 是否是“准黄金”三角形,请说明理由.
初中数学易错题分类汇编 一、数与式: 1 (A )2,(B (C )2±,(D ) 2例题:等式成立的是.(A )1c ab abc =,(B )632x x x =,(C )1 12112a a a a + +=--,(D )22a x a bx b =. 二、方程与不等式 ⑴字母系数 1例题:关于x 的方程2(2)2(1)10k x k x k ---++=,且3k ≤.求证:方程总有实数根. 2例题:不等式组2,.x x a >-??>? 的解集是x a >,则a 的取值范围是. (A )2a <-,(B )2a =-,(C )2a >-,(D )2a ≥-. ⑵判别式 例题:已知一元二次方程222310x x m -+-=有两个实数根1x ,2x ,且满足不等式 121214 x x x x <+-,求实数的范围. ⑶解的定义 例题:已知实数a 、b 满足条件2720a a -+=,2720b b -+=,则 a b b a +=____________. ⑷增根 例题:m 为何值时,22111 x m x x x x --=+--无实数解. ⑸应用背景 例题:某人乘船由A 地顺流而下到B 地,然后又逆流而上到C 地,共乘船3小时,已知船在静水中的速度为8千米/时,水流速度为2千米/时,若A 、C 两地间距离为2千米,求A 、B 两地间的距离. ⑹失根
例题:解方程(1)1 -=-. x x x 三、函数 ⑴自变量 例题:函数y=中,自变量x的取值范围是_______________. ⑵字母系数 例题:若二次函数22 =-+-的图像过原点,则m=______________. y mx x m m 32 ⑶函数图像 例题:如果一次函数y kx b =+的自变量的取值范围是26 -≤≤,相应的函数值的范围是 x -≤≤,求此函数解析式. y 119 ⑷应用背景 例题:某旅社有100张床位,每床每晚收费10元时,客床可全部租出.若每床每晚收费再提高2元,则再减少10张床位租出.以每次这种提高2元的方法变化下去,为了投资少而获利大,每床每晚应提高_________元. 四、直线型 ⑴指代不明 ,则斜边上的高等于________. ⑵相似三角形对应性问题 例题:在ABC BC=,D为AC上一点,:2:3 DC AC=,在AB AB=,12 AC=18 △中,9 上取点E,得到ADE △,若两个三角形相似,求DE的长. ⑶等腰三角形底边问题 例题:等腰三角形的一条边为4,周长为10,则它的面积为________. ⑷三角形高的问题 例题:等腰三角形的一边长为10,面积为25,则该三角形的顶角等于多少度? ⑸矩形问题 例题:有一块三角形ABC铁片,已知最长边BC=12cm,高AD=8cm,要把它加工成一
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.某地是国家AAAA 级旅游景区,以“奇山奇水奇石景,古賨古洞古部落”享誉巴渠,被誉为 “小九寨”.端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”,昂首向天,望穿古今.一个周末,某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离.他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ,想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40,从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60,5CB m =, 2.7CD m =.景区管理员告诉同学们,上嘴尖到地面的距离是3m .于是,他们很快就算出了AB 的长.你也算算?(结果精确到0.1m .参考数据:400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈,,.2 1.41,3 1.73≈≈) 【答案】AB 的长约为0.6m . 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ,根据正弦的定义求出BF ,利用余弦的定义求出CF ,利用正切的定义求出DE ,结合图形计算即可. 【详解】 解:作BF CE ⊥于F , 在Rt BFC ?中, 3.20BF BC sin BCF ?∠≈=, 3.85CF BC cos BCF ?∠≈=, 在Rt ADE ?E 中,3 1.73tan 3AB DE ADE = ==≈∠, 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+=﹣=,==﹣= 由勾股定理得,22BH AH 0.6(m)AB =+≈, 答:AB 的长约为0.6m .
【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键. 2.如图,AB是⊙O的直径,点C,D是半圆O的三等分点,过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E,过点D作DF⊥AB于点F,交⊙O于点H,连接DC,AC. (1)求证:∠AEC=90°; (2)试判断以点A,O,C,D为顶点的四边形的形状,并说明理由; (3)若DC=2,求DH的长. 【答案】(1)证明见解析; (2)四边形AOCD为菱形; (3)DH=2. 【解析】 试题分析:(1)连接OC,根据EC与⊙O切点C,则∠OCE=90°,由题意得 ,∠DAC=∠CAB,即可证明AE∥OC,则∠AEC+∠OCE=180°,从而得出 ∠AEC=90°; (2)四边形AOCD为菱形.由(1)得,则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形,再由OA=OC,即可证明平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形); (3)连接OD.根据四边形AOCD为菱形,得△OAD是等边三角形,则∠AOD=60°,再由 DH⊥AB于点F,AB为直径,在Rt△OFD中,根据sin∠AOD=,求得DH的长. 试题解析:(1)连接OC,
一、中考数学压轴题 1.如图,在等边△ABC 中,AB =BC =AC =6cm ,点P 从点B 出发,沿B →C 方向以1.5cm/s 的速度运动到点C 停止,同时点Q 从点A 出发,沿A →B 方向以1cm/s 的速度运动,当点P 停止运动时,点Q 也随之停止运动,连接PQ ,过点P 作BC 的垂线,过点Q 作BC 的平行线,两直线相交于点M .设点P 的运动时间为x (s ),△MPQ 与△ABC 重叠部分的面积为y (cm 2)(规定:线段是面积为0的图形). (1)当x = (s )时,PQ ⊥BC ; (2)当点M 落在AC 边上时,x = (s ); (3)求y 关于x 的函数解析式,并写出自变量x 的取值范围. 2.如图,已知抛物线y =2ax bx c ++与x 轴交于A 3,0-(),B 33,0()两点,与y 轴交于点C 0,3(). (1)求抛物线的解析式及顶点M 坐标; (2)在抛物线的对称轴上找到点P ,使得PAC 的周长最小,并求出点P 的坐标; (3)在(2)的条件下,若点D 是线段OC 上的一个动点(不与点O 、C 重合).过点 D 作D E //PC 交x 轴于点E .设CD 的长为m ,问当m 取何值时, PDE ABMC 1 S S 9 =四边形. 3.如图所示,在平面直角坐标系中,点(),C m m 在一三象限角平分线上,点(),0B n 在x 轴上,且2n -2n -,点A 在y 轴的正半轴上;四边形AOBC 的面积为6 (1)求点A 的坐标; (2)P 为AB 延长线上一点,//PQ OC ,交CB 延长线于Q ,探究OAP ∠、ABQ ∠、 Q ∠的数量关系并说明理由; (3)作AD 平行CB 交CO 延长线于D ,BE 平分CBx ∠,BE 反向延长线交CO 延长线
数形结合部分 1.如图,矩形ABCD 中,3AB =cm ,6AD =cm , 点E 为AB 边上的任意一点,四边形EFGB 也是矩形,且2EF BE =,则AFC S =△ 2cm . 2 .5月23日8时40分,哈尔滨铁路局一列满载着2400吨“爱心”大米的专列向四川灾区进发,途中除3次因更换车头等原因必须停车外,一路快速行驶,经过80小时到达成都.描述上述过程的大致图象是( ) 3 如图,将ABC △沿DE 折叠,使点A 与BC 边的中点F 重合,下列结论中:①EF AB ∥且1 2EF AB =;②BAF CAF ∠=∠; ③1 2ADFE S AF DE =四边形; ④2BDF FEC BAC ∠+ ∠=∠,正确的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 4 如图,在四边形ABCD 中,动点 P 从点A 开始沿A B C D 的路径匀速前进到D 为止。在这个过程中,△APD 的面积S 随时间t 的变 化关系用图象表示正确的是( ) 5如图,在正方形纸片ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ,折叠正方形纸片ABCD ,使AD 落在BD 上,点A 恰好与BD 上的点F 重合.展开后,折痕DE 分别交AB 、AC 于点E 、G.连接GF.下列结论:①∠AGD=112.5°;②tan ∠AED=2;③S △AGD=S △OGD ;④四边形AEFG 是菱形;⑤BE=2OG.其中正确结论的序号是 . A D C E F G B t t A . B. C . D . F 第20题图
6 福娃们在一起探讨研究下面的题目: 参考下面福娃们的讨论,请你解该题, 你选择的答案是( ) 贝贝:我注意到当 0x =时,0y m =>. 晶晶:我发现图象的对 称轴为1 2 x = . 欢欢:我判断出12x a x <<. 迎迎:我认为关键要判断1a -的符号. 妮妮:m 可以取一个特殊的值. 7 正方形ABCD 中,E 是BC 边上一点,以E 为圆心、EC 为半径的半圆与以A 为圆心,AB 为半径的圆弧外切,则sin EAB ∠的值为( ) A . 43 B . 34 C .45 D . 3 5 8 一个函数的图象如图,给出以下结论: ①当0x =时,函数值最大; ②当02x <<时,函数y 随x 的增大而减小; ③存在001x <<,当0x x =时,函数值为0. 其中正确的结论是( )A .①② B .①③ C .②③ D .①②③ 9.函数2 y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是 ( ) 10 如图,水平地面上有一面积为2 30cm π的扇形AOB ,半径OA=6cm ,且OA 与地面垂直.在没有滑动的情况下,将扇形向右滚动至OB 与地面垂直为止,则O 点移动的距离为( )A 、20cm B 、24cm C 、10cm π D 、30cm π 11 在Rt △ABC 内有边长分别为,,a b c 的三个正方形,则,,a b c 满足的关系式是( ) A 、b a c =+ B 、b ac =C 、2 2 2 b a c =+ D 、22b a c ==
中考数学压轴题解题技巧 湖北竹溪城关中学明道银 解中考数学压轴题秘诀(一) 数学综合题关键是第24题和25题,我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 (一)函数型综合题:是先给定直角坐标系和几何图形,求(已知)函数的解析式(即在求解前已知函数的类型),然后进行图形的研究,求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有:①一次函数(包括正比例函数)和常值函数,它们所对应的图像是直线;②反比例函数,它所对应的图像是双曲线; ③二次函数,它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法,关键是求点的坐标,而求点的坐标基本方法是几何法(图形法)和代数法(解析法)。此类题基本在第24题,满分12分,基本分2-3小题来呈现。 (二)几何型综合题:是先给定几何图形,根据已知条件进行计算,然后有动点(或动线段)运动,对应产生线段、面积等的变化,求对应的(未知)函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域,最后根据所求的函数关系进行探索研究,一般有:在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线(圆)与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系(即列出含有x、y的方程),变形写成y=f(x)的形式。一般有直接法(直接列出含有x和y的方程)和复合法(列出含有x和y和第三个变量的方程,然后求出第三个变量和x之间的函数关系式,代入消去第三个变量,得到y=f(x)的形式),当然还有参数法,这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置(极限位置)和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化,但少不了对图形的分析和研究,用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现,满分14分,一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到:数形结合记心头,大题小作来转化,潜在条件不能忘,化动为静多画图,分类讨论要严密,方程函数是工具,计算推理要严谨,创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀(二) 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目,其特点是知识点多,覆盖面广,条件隐蔽,关系复杂,思路难觅,解法灵活。