1.2
写出约束在铅直平面内的光滑摆线
上运动的质点的微
分方程，并证明该质点在平衡位置附近作振动时，振动周期与振幅无关. 解：
设s为质点沿摆线运动时的路程，取
=0时，s=0
S=
= 4 a (1)
设为质点所在摆线位置处切线方向与x 轴的夹角，取逆时针为正，即切线斜率
= 受力分析得：
则
，此即为质点的运动微分方程。
该质点在平衡位置附近作振动时，振动周期与振幅无关，为.
1.3
证明：设一质量为m 的小球做任一角度0θ的单摆运动
运动微分方程为θ
θθF r r m =+)2( θθ
sin mg mr = ①
给①式两边同时乘以d θ θθθθ
d g d r s i n = 对上式两边关于θ 积分得 c g r +=θθc o s 2
12 ②
利用初始条件0θθ=时0=θ 故0cos θg c -= ③ 由②③可解得 0c o s c o s 2-θθθ
-?=l
g 上式可化为dt d l
g
=?-?θθθ0cos cos 2-
两边同时积分可得θθθθθθθθd g l d g l t ??---
=--
=0
2
02
2
200
2
sin 12
sin 1001
2cos cos 12
进一步化简可得θθθθd g l t ?-=
0002
222sin sin 1
2
1
由于上面算的过程只占整个周期的1/4故
?-==0
2
2
2
sin 2
sin 12
4T θθθ
θd g l t
由?θθsin 2
sin /2sin 0=
两边分别对θ?微分可得??θ
θθd d cos 2
sin 2cos 0=
?θθ
20
2
sin 2
sin 12
cos
-=
故??
θ?
θθd d 20
2
sin 2
sin 1cos 2
sin
2
-= 由于00θθ≤≤故对应的2
0π
?≤≤
故??
θ
?
θ?θθ
θθπ
θd g l d g l T ??-=-=20
20
2
2
cos 2
sin
sin 2
sin 1/cos 2
sin
4
2
sin
2
sin 2
故?-=2
022sin 14π??K d g l T 其中2
sin
022θ=K 通过进一步计算可得
g
l
π
2T =])2642)12(531()4231()21(1[224222 +????-????++??++n K n n K K
1.5
解：
如图，在半径是R 的时候，由万有引力公式， 对表面的一点的万有引力为
, ①
M 为地球的质量；
可知，地球表面的重力加速度 g , x 为取地心到无限远的广义坐标，
，②
联立①， ②可得：
,M 为地球的质量；③
当半径增加 ,R2=R+ ,此时总质量不变，仍为M,
此时表面的重力加速度 可求：
④
由④得：
⑤
则，半径变化后的g 的变化为
⑥
对⑥式进行通分、整理后得：
⑦
对⑦式整理，略去二阶量，同时远小于R ，得
⑧
则当半径改变 时，表面的重力加速度的变化为：
。
1.6
则由牛顿第二定律可知， 质点的运动方程为
??
???=+-=-θθθθθsin )2(cos )(2mg r r m mg F r r m
其中，
Vt L r L r V r
-==-=,,0
1.8
设质点在平面内运动的加速度的切向分量和法向分量都是常数，证明质点的轨道为对数螺线。
解：设，质点的加速度的切向分量大小为，法向分量大小为。(其中、为常数)则有
其中为曲率半径。 由
式得
其中是
初始位置，
是初始速度大小。
把式代入式得
由式
对
式积分则得
其中
是初始角大小。我们把
式转化为时间关于角的函数
将
式代入
式，于是得质点的轨道方程
当我们取一定的初始条件
时，令
。方程可以简化为
○
11 即质点的轨迹为对数螺线。
1.9
解：（1）从A 点到原长位置，此时间内为自由落体运动。
根据能量守恒：212
1
mV mgl =
, 所以在原长位置时：112gl V =
因为加速度为g ，所以，到达原长的时间为: g
l g V t 1
2120
=-=
（2）从原长位置到最低点D 处，以原长位置为坐标原点，向下为正方向，建立坐标轴Z 。
???==-mg kl z m kz mg 2
化简得： g z l g
z =+2
解微分方程得： 22
221sin cos
l t l g C t l g C z ++= 因为t 2=0时，z=0, 112gl V z
==
所以, t l g
gl t l g gl z l t l g l l t l g l z 2
122222122cos 2sin ,sin 2cos +=++-=
当0=z
时，21222
1122)2(,)2tan (l l l l z l l g l t ++=-=-此时π
（3）所以总时间为
)2tan (22
1
12121l l g l g l t t t --+=
+=π
A,D 间总距离为 )2(1222121l l l l l z z s +++=+=
1-11
解：（1）质点运动分为三个阶段。第一阶段为圆周运动，从释放质点到绳子张力为零；第二阶段为斜抛运动，重新下降到与圆周相交位置时有一绷绳过程，质点机械能转化为绳子内能；第三阶段为在最低点附近的摆荡运动。总体来看质点能量不守恒。 （2）第一阶段，由能量守恒可得，
22
1
)cos 1(mv mgr =-θ，
又，由绳子张力为零可知
r
v m mg 2
cos =θ，②
第二阶段，设上升高度为h ，则
g
v h 2)sin (2θ=，③
联立①、②、③可解得h=
r 2723，32cos =θ；l r r h 54
232723cos ==+θ 因此质点上升最高处为'o 点上方l 54
23
处。
设斜抛到达最高点时水平位移为s ，则 )sin (cos t )cos (g v v v s θθθ==，s=
r 2754=l 5454;l s r 54
5
5sin =-θ 因此质点上升到最高点时在过圆心竖直轴线左边
l 54
5
5处。
1-12
解: 由自然坐标系
即
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
1.13.
解：
（1）以竖直向下为正方向，系统所受合力,,故系统动量不守恒；对O点，合力矩为零，过矩心，故力矩也为零，所以系统角动量守恒；
而对系统来说，唯一做功的是重力（保守力），因此，系统能量守恒。
（2）建立柱面坐标系，由动量定理得：
同时有
得到：
(3)对于小球A，设其在水平平台最远距离o为r 由动能定理得：
由角动量守恒得：
而
得到r=3a 而由初始时刻
，故小球在a 到3a 间运动。
1.14 解：（1）分析系统的受力可知：重力竖直向下，支持力垂直于斜面向上，所受的合外力不为零，故系统动量不守恒；
由物体的受力情况可以判断系统的合外力矩不为零，故角动量也不守恒；
而系统在运动过程中，除保守力外，其他力不作功，故机械能守恒，而能量一定守恒。 （2）以地面为参考系，以O 为原点，建立球坐标系。 由质点系动量定理得：
约束条件：
将约束条件连续求两次导，带入上边方程，消去Z ，得：
(3)第三问不会做。 1.15
水平方向动量守恒，则u m vm '=αcos
有余弦定理得：ααπcos 2)cos(2
22-=-+=
-uv
v v u r
可得：v=
m m m
m v r
'+'+
α
α2
2
2
2
cos 2cos 1
可得：u=
m vm 'α
cos =α
α2222cos 2cos cos m m m m mv r '++'
1.16 解：
动量定理、角动量定理和动能定理7个方程式中仅有3个是独立的。
1·17
解：把A 、B 看作系统，由动量定理知其质心速度c v 满足 0)m (v m v m B c B A =+ 所以得B
A B c m m v m v +=
由易知A 、B 各绕质心做半径为B A B m m l m r +=1，B A A m m l m r +=2的圆周运动，由初始条件得l
0v
=?
θ
以质心C 点的坐标C x 和C y 及杆和x 轴的夹角θ为坐标
∴
v m y
m B C B A 0)m =+= （ k v lm k l m m m k y
x m L B B
A B A C C B A 02m )m (=+++=?
022222
1m 21)(21v m l m m m y m m T B B A B A C B A =+++=
?
1.18
解：设m 1和m 2碰撞后，m 1的速度变为v '
1，m 2的速度变为v 2，m 2与m 3碰撞后，m 2的速度变为
v '
2
，m 3的速度变为v 3
由于两次碰撞时水平方向都不受外力，所以动量守恒，同时机械能守恒 对
m 1
和m 2
而言，则有：
m 1
v 1
=m 1v '
1+m 2v 2
2
1m 1
v
2
1
=2
1m 1
v
2
,1
+
2
1m 2
v
22
两式联立消去
v
'
1
，则有v 2
=m
m v m 2
1
1
12+ ①
对于
m 2
和m 3
而言，同样有：
m 2
v 2
=m 2v '
2+m 3v 3
2
1m 2
v
2
2
=2
1m 2
v
2'2
+
2
1m 3
v
23
由以上两式联立消去
v
'
2
则有v 3
=m
m v m 3
2
2
22+ ②
将①代入②得：
v 3
=)).((43
2
2
1
1
21m m m m v m m ++
将上式对
m 2
求导得
)
()(3221)
(42
2312
2112
3
m m m m m m m v m m v d d +++-=
由
02
3
=m v d d 可得m 2=
m
m 3
1
即当m
2
=m m 31
时v
3
最大且)
).((43
1
3
3
1
11
3
1
1
max 3m m m m m m v m m m v ++
=
1.21 解: 由题意得
m(θ?θ22
2
sin ??+r r )=F r +mg θcos ① θθθ?θsin cos sin 2g r r =-??
? ② 0cos 2sin =+?
???θθ?θ? ③
由③得 ?
???-=θ?θ?2tan 整理并积分可得θ
?2
sin a
=
?
④ 将之代入②可得 θθθ
θsin cos sin 32
g a r r =-?
?
整理并积分可得)sin cos 2(22
c a r g ++--=?
θ
θθ（正值舍去）
由题意知，2
π
θ=
时若要质点不飞出去，则0=?
θ
220a c c a -=?=+∴
由题意知，初态时刻即r
h
-=θcos 时也有0=?θ
)(2122
h r h
g r a -=
∴ ⑤ 已知初态时速度为v 0 ，2
2
00h
r v -=?
? ⑥
联立④⑤⑥即可得 r h
g v 20=
1.22
21x m mx '=————①，
且 )]sin()[sin(21αθα-+=+R x x ————②
F Ny F N
对小球列牛二方程，有：
y n ma F mg 1)cos(=+-θα————③
x n ma s F 1)(in =+θα————④
对半球列水平方向的牛二方程，有：
x n a m s F 2)(in '=+θα————⑤
对半球列水平位移方程，由积分得：
2t 0t
02x dt dt a
x
=????————⑥
对小球列竖直方向上的位移方程，由积分得：
)]cos([cos t 0t
1θαα+-=????R dt dt a
y
————⑦
对⑥和⑦分别对时间求偏微分，同时联立①和②，得：
])sin()[cos(222θθαθθα ?+-?+'
+==m m mR x a x ————⑧ ])sin()[cos(21θθαθθα ?++?+=R a y ————⑨ 由③和⑤得：
)
sin()
cos()(21θαθα+=
+-x
y ma a g m ————⑩
将⑧⑨带入⑩中并且使用 θθθθθθθ ?=?=
d d dt d d d 代换，整理可得： θθθαθθαθαθαd m m R m g m m mR ?'+?+'-=?+'++++])cos([])tan()()cos()[sin(2 ————⑾
对⑾两边同时积分，并且00=θ，00
=θ ，可得： )
cos(]sin )[sin(2)(cos )
sin()(22
θααθαθαθαθθ
+?-+'+++'+=R m mR m m g
1,25
解：对于杆 m y ..
=-mg+Fcos a
对于三角形 '
m
x ..
=Fsina
体系满足约束 x0=l xtana+y=h
运动方程为 x ..
tana-g+
n
m '
x ..
cota=0
即 x ..
=g
a
m m a m cot 2
'cot +
y ..
=-g
a
m m m
cot 2
'+
1.26
解 设弹簧原长为Ｌ，在距离左端l 处取一质元ｄl ，其质量为ｄｍ＝
L
mdl
。 建立X 轴，以平衡位置为坐标原点O 。 在某时刻，设物体的位移为ｘ，则质点位移为
x L
dl
， 速度为ｖ＝dt
dx
L dl ，质元的动能为dE k =dm v 22， 整个弹簧的动能为Ｅ弹k ＝2
3320
)()(2)(21?
?
?==
L
L
k dt
dx
dl L
m dl L m dt dx L dl dE
弹簧的弹性势能为22
kx E p =，滑块的动能为物k E ＝
2')(2dt
dx m ， 系统的机械能物k E ＋p E ＋Ｅ弹k ＝常量,
则2')(2dt dx m +22kx +2
3
3)()(2?
L
dt
dx
dl L
m
=常量
对上式两边求导，得：[m 3
0'
)(?+L
dl L m ]22dt
x d +kx=0
则22dt
x
d +x dl L m m k
L ?+0
3
')
(=0
所以此体系的振动频率f=
=T 1?+L dl L m
m k
3
')(21π
1.27 解：
A,B 点运动方程是
Mx ’’=-F
My ’’=-F
F=
因此体系相当于质点受有心引力作用 能量守恒 角动量守恒
1.28
对质点分析可得，绳子拉力不做功，所以能量守恒。 而对于圆柱体的轴线力矩不为零，所以对圆柱轴线角动量不守恒。 如图，以O 点为极点建立极坐标，
则可列方程如下 ()
(
)
θθθθF r
r m F r r r
=+=- 2m 2
还有如下关系式 ()2221r α+=R ，ααα
αθarctan arct -=-=R
R an 依次求导，有2
1r α+=R ，α
α
α 2
1R r += ，()
α
α
α
αα 2
2
2
3
2111
R r
+++=R ααθarctan -=，αααθ 221+=， ()
ααααα
αθ 22
222112+++= α
1
tan =
x
将力分解可得 2
1cos α
α
+-=-=T T r F x F F 2
T
11sin F α
θ+==F x F T
将以上代入方程可得
()()()
(
)
()
()
()
2
1
22
22
2
12
222222
122
1
2
2
22
2212223211
m 11211211m 11R 111R ααααααααααααα
ααααααααα
αα+=+++???? ??+++++-=???? ??++-+++T
T F R R F R
化解可得
()0201222
2=-+=++-B B ααα
ααα
αα
α 其中mR
F B T
=
消B ，可得02
=+ααα
另由α
α
ααd d = 代入可得0=+αααα
d d 积分可得C =α
α 又由能量守恒，θθe e v r r r +=，所以0
222v r r v =+=θ 代入r 和θ ，可得()
()
202224222222111v R R =++++αα
ααααα ，即R v 0=αα 积分
C t R
v +=0
221α，又由()()2010α+==R R r ，()00=α，0=C 所以R t v 02=
α Rt v 20=α Rt
v 0
241-=α 代入ααα
α 22+=B 化简可得???
??-=211200
Rt v R
v
B 所以t
Rv mv Rt v mv mRB F T 02
000
242=== 此即所求。
另解 第一问同上，而对于力的求解过程，也有()
(
)
θ
θθθF r
r m F r r r
=+=- 2m 2 在任意时
刻对速度分解有
x
v v x v v r c o s s i n 00==θ 而 θ
θe e v r r r += 所以会有
r
R r v r r
R
v r
2
2
0-==θ
即
2
220
0r R r v r
R
v r -==θ
同时 由于r
R
v r
0= 积分 ??
=t
r
R
dt R v rdr 0
0 可得
Rt v R r 0222=-
3220201r R v r r R v r -=??? ??-= ③ r
R R r r r R v r R r r r R v 223222022322022--=--= θ ④ ①
②
而由1、2、3代入径向方程可得
r
R r F r R r rv r R v m T 2
242
2203220--=???
? ??---
化简得 Rt v mv R r mv F T 0
20
2
22
2=
-= 而由1、2、4代入法向方程可得 r R F r R r v r R
v r R R r r r R rv m T
=???
?
?
?-+--2
2
2002232220
22
化简得 Rt v mv R
r r R Rr R r R R mv F T 02
02223
223202222=
--+-=
1.31 解：
m dm
v gdt dv m
dm dt v g dt dv
mg dt
dm
v dt dv m
r
r r --=?
--=-=+ 设()t f m m 0=
()gt m
m v v v v c c v t c
f v gt v f
df v gdt dv o
r r r -+==?===+--=--=ln
10f 0ln :00故时积分
1.34
解：建立竖直向上的坐标z ，设软链最高能被提到h 。
对重物和软链组成的系统，从开始运动到软链达到最高，有机械能守恒，得
g h p
pzgdz mgh h
2
021=
=? 解得h=2m/p 。
答：软链最后可提到2m/p 处。
1.32 雨滴下落时，其质量的增加率与雨滴的表面积成正比，求雨滴速度与时间的关系。 解：设雨滴的本体为.m 由物理学知
.)(F mv dt
d
= (1) 1) 在处理这类问题时，常常将模型的几何形状理想化。对于雨滴，我们常将它看成球形，设其半径为,r 则雨滴质量m 是与半径r 的三次方成正比，密度看成是不变的，于是
31r k m =， (2)
其中1k 为常数。
2) 由题设知，雨滴质量的增加率与其表面积成正比，即
,4222r k r k dt
dm
=?=π (3) 其中2k 为常数。由(2)，得
.321dt
dr
r k dt dm ?= (4) 由(3)=(4)，得
.31
2λ==k k dt dr (5) 对(5)两边积分：,0
??=r a
t
t d dr λ得
,a t r +=λ (6)
将(6)代入(2)，得
.)(31a t k m +=λ (7)
3）以雨滴下降的方向为正，分析(1)式
,)(])([3131g a t k v a t k dt
d
+=+λλ (8) ,)(])([30
13
10
gdt a t k v a t k d t
v
+=+??
λλ
,)(41
)(34131k a t g k v a t k ++=
+λλ
λ（3k 为常数） 当0=t 时，0=v ，故,4413λga k k -=].)
([43
4
a t a a t g v +-+=λλλ
班级姓名学号 第一章静力学公理与受力分析(1) 一．是非题 1、加减平衡力系公理不但适用于刚体，还适用于变形体。（） 2、作用于刚体上三个力的作用线汇交于一点，该刚体必处于平衡状态。（） 3、刚体是真实物体的一种抽象化的力学模型，在自然界中并不存在。（） 4、凡是受两个力作用的刚体都是二力构件。（） 5、力是滑移矢量，力沿其作用线滑移不会改变对物体的作用效果。（）二．选择题 1、在下述公理、法则、原理中，只适于刚体的有（） ①二力平衡公理②力的平行四边形法则 ③加减平衡力系公理④力的可传性原理⑤作用与反作用公理 三．画出下列图中指定物体受力图。未画重力的物体不计自重，所有接触处均为光滑接触。整体受力图可在原图上画。 )a(球A )b(杆AB d(杆AB、CD、整体 )c(杆AB、CD、整体)
f(杆AC、CD、整体 )e(杆AC、CB、整体) 四．画出下列图中指定物体受力图。未画重力的物体不计自重，所有接触处均为光滑接触。多杆件的整体受力图可在原图上画。 )a(球A、球B、整体)b(杆BC、杆AC、整体
班级 姓名 学号 第一章 静力学公理与受力分析（2） 一．画出下列图中指定物体受力图。未画重力的物体不计自重，所有接触处均为光滑 接触。整体受力图可在原图上画。 W A D B C E Original Figure A D B C E W W F Ax F Ay F B FBD of the entire frame )a (杆AB 、BC 、整体 )b (杆AB 、BC 、轮E 、整体 )c (杆AB 、CD 、整体 )d (杆BC 带铰、杆AC 、整体
理论力学---1 1-1.两个力，它们的大小相等、方向相反和作用线沿同一直线。这是 (A)它们作用在物体系统上，使之处于平衡的必要和充分条件； (B)它们作用在刚体系统上，使之处于平衡的必要和充分条件； (C)它们作用在刚体上，使之处于平衡的必要条件，但不是充分条件； (D)它们作用在变形体上，使之处于平衡的必要条件，但不是充分条件； 1-2. 作用在同一刚体上的两个力F1和F2，若F1 = - F2，则表明这两个力 (A)必处于平衡； (B)大小相等，方向相同； (C)大小相等，方向相反，但不一定平衡； (D)必不平衡。 1-3. 若要在已知力系上加上或减去一组平衡力系，而不改变原力系的作用效果，则它们所作用的对象必需是 (A)同一个刚体系统； (B)同一个变形体； (C)同一个刚体，原力系为任何力系； (D)同一个刚体，且原力系是一个平衡力系。 1-4. 力的平行四边形公理中的两个分力和它们的合力的作用范围 (A)必须在同一个物体的同一点上； (B)可以在同一物体的不同点上； (C)可以在物体系统的不同物体上； (D)可以在两个刚体的不同点上。 1-5. 若要将作用力沿其作用线移动到其它点而不改变它的作用，则其移动范围 (A)必须在同一刚体内； (B)可以在不同刚体上； (C)可以在同一刚体系统上； (D)可以在同一个变形体内。 1-6. 作用与反作用公理的适用范围是 (A)只适用于刚体的内部； (B)只适用于平衡刚体的内部； (C)对任何宏观物体和物体系统都适用； (D)只适用于刚体和刚体系统。 1-7. 作用在刚体的同平面上的三个互不平行的力，它们的作用线汇交于一点，这是刚体平衡的 (A)必要条件，但不是充分条件； (B)充分条件，但不是必要条件； (C)必要条件和充分条件； (D)非必要条件，也不是充分条件。 1-8. 刚化公理适用于 (A)任何受力情况下的变形体； (B)只适用于处于平衡状态下的变形体； (C)任何受力情况下的物体系统； (D)处于平衡状态下的物体和物体系统都适用。 1-9. 图示A、B两物体，自重不计，分别以光滑面相靠或用铰链C相联接，受两等值、反向且共线的力F1、F2的作用。以下四种由A、B所组成的系统中，哪些是平衡的？
第二章力系的简化 2-1．通过A（3，0，0），B（0，4，5）两点（长度单位为米），且由A指向B的力F，在z轴上投影为，对z轴的矩的大小为。 答：F/2；62F/5。 2-2．已知力F的大小，角度φ和θ，以及长方体的边长a，b，c，则力F在轴z和y上的投影：Fz= ；Fy= ；F对轴x的矩 M x(F)= 。 答：Fz=F·sinφ；Fy=－F·cosφ·cosφ；Mx（F）=F（b·sinφ+c·cosφ·cosθ） 图2－40 图2－41 2-3．力F通过A（3，4、0），B（0，4，4）两点（长度单位为米），若F=100N，则该力在x轴上的投影为，对x轴的矩为。 答：－60N； 2-4．正三棱柱的底面为等腰三角形，已知OA=OB=a，在平面ABED内有沿对角线AE的一个力F，图中α=30°，则此力对各坐标轴之矩为： M x（F）= ；M Y（F）= ；M z（F）= 。 答：M x（F）=0，M y（F）=－Fa/2；M z（F）=6Fa/4 2-5．已知力F的大小为60（N），则力F对x轴的矩为；对z轴的矩为。 答：M x（F）=160 N·cm；M z（F）=100 N·cm
图2－42 图2－43 2-6．试求图示中力F 对O 点的矩。 解：a: M O (F)=F l sin α b: M O (F)=F l sin α c: M O (F)=F(l 1+l 3)sin α+ F l 2cos α d: ()22 21l l F F M o +=αsin 2-7．图示力F=1000N ，求对于z 轴的力矩M z 。 题2－7图 题2－8图 2-8．在图示平面力系中，已知：F 1=10N ，F 2=40N ，F 3=40N ，M=30N ·m 。试求其合力，并画在图上（图中长度单位为米）。 解：将力系向O 点简化 R X =F 2－F 1=30N R V =－F 3=－40N ∴R=50N 主矩：Mo=（F 1+F 2+F 3）·3+M=300N ·m 合力的作用线至O 点的矩离 d=Mo/R=6m 合力的方向：cos （R ，）=，cos （R ，）=－
第一章 部分习题解答 1-3 试画出图示各结构中构件AB 的受力图 1-4 试画出两结构中构件ABCD 的受力图 F Ax F A y F B (a) (a) F A F B F Bx F C F B F C F By F B F D F D F Bx F By
1-5 试画出图a 和b 所示刚体系整体合格构件的受力图 1-5a F Ax F A y F D F By F A F Bx F B F A F A F B F D N ’ F B F D F A N
1-5b 1- 8在四连杆机构的ABCD 的铰链B 和C 上分别作用有力F 1和F 2，机构在图示位置平衡。 试求二力F 1和F 2之间的关系。 解： 杆AB ，BC ，CD 为二力杆，受力方向分别沿着各杆端点连线的方向。 解法1(解析法) 假设各杆受压，分别选取销钉B 和C 为研究对象，受力如图所示： 由共点力系平衡方程，对B 点有： ∑=0x F 045cos 02=-BC F F 对C 点有： ∑=0x F 030cos 01=-F F BC F Ax F A y F Dx F Dy W T E F Cx F C y W F Ax F A y F Bx F B y F Cx F C y F Dx F Dy F Bx F By T E 045 030
解以上二个方程可得：22163.13 6 2F F F == 解法2(几何法) 分别选取销钉B 和C 为研究对象，根据汇交力系平衡条件，作用在B 和C 点上的力构成封闭的力多边形，如图所示。 对B 点由几何关系可知：0245cos BC F F = 对C 点由几何关系可知： 0130cos F F BC = 解以上两式可得：2163.1F F = F F
理论力学题库——第二章 一、 填空题 1. 对于一个有n 个质点构成的质点系，质量分别为123,,,...,...i n m m m m m ，位置矢量分别 为123,,,...,...i n r r r r r ，则质心C 的位矢为 。 2. 质点系动量守恒的条件是 。 3. 质点系机械能守恒的条件是 。 4. 质点系动量矩守恒的条件是 。 5. 质点组 对 的微商等于作用在质点组上外力的矢量和，此即质点组的 定理。 6. 质心运动定理的表达式是 。 7. 平面汇交力系平衡的充分必要条件是合力为零。 8. 各质点对质心角动量对时间的微商等于 外力对质心的力矩 之和。 9. 质点组的角动量等于 质心角动量 与各质点对质心角动量之和。 10. 质点组动能的微分的数学表达式为： ∑∑∑===?+?==n i i i i n i i e i n i i i r d F r d F v m d dT 1 )(1)(12 )21( ， 表述为质点组动能的微分等于 力和 外 力所作的 元功 之和。 11. 质点组动能等于 质心 动能与各质点对 质心 动能之和。 12. 柯尼希定理的数学表达式为： ∑='+=n i i i C r m r m T 1 2221 ，表述为质点组动能等于 质心 动能与各质点对 质心 动能之和。 13. 2-6.质点组质心动能的微分等于 、外 力在 质心系 系中的元功之和。 14. 包含运动电荷的系统，作用力与反作用力 不一定 在同一条直线上。 15. 太阳、行星绕质心作圆锥曲线的运动可看成质量为 折合质量 的行星受太阳(不动) 的引力的运动。 16. 两粒子完全弹性碰撞，当 质量相等 时，一个粒子就有可能把所有能量转移给另一个 粒子。 17. 设木块的质量为m 2 , 被悬挂在细绳的下端，构成一种测定子弹速率的冲击摆装置。如 果有一质量为m 1的子弹以速率v 1 沿水平方向射入木块，子弹与木块将一起摆至高度为 h 处，则此子弹射入木块前的速率为： 2 /11 2 11)2(gh m m m += v 。 18. 位力定理（亦称维里定理）可表述为：系统平均动能等于均位力积的负值 。（或
理论力学部分 第一章 静力学基础 一、是非题 1．力有两种作用效果，即力可以使物体的运动状态发生变化，也可以使物体发生变形。 （ ） 2．两端用光滑铰链连接的构件是二力构件。 （ ） 3．作用在一个刚体上的任意两个力成平衡的必要与充分条件是：两个力的作用线相同，大小相等，方向相反。 （ ） 4．作用于刚体的力可沿其作用线移动而不改变其对刚体的运动效应。 （ ） 5．三力平衡定理指出：三力汇交于一点，则这三个力必然互相平衡。 （ ） 6．约束反力的方向总是与约束所能阻止的被约束物体的运动方向一致的。 （ ） 二、选择题 线但方向相反。 1．若作用在A 点的两个大小不等的力1F 和2F ，沿同一直则其合力可以表示为 。 ① 1F －2F ； ② 2F －1F ； ③ 1F ＋2F ； 2．三力平衡定理是 。 ① 共面不平行的三个力互相平衡必汇交于一点； ② 共面三力若平衡，必汇交于一点； ③ 三力汇交于一点，则这三个力必互相平衡。 3．在下述原理、法则、定理中，只适用于刚体的有 。 ① 二力平衡原理； ② 力的平行四边形法则； ③ 加减平衡力系原理； ④ 力的可传性原理； ⑤ 作用与反作用定理。 4．图示系统只受F 作用而平衡。欲使A 支座约束力的作用线与AB 成30?角，则斜面的倾角应为 ________。 ① 0?； ② 30?； ③ 45?； ④ 60?。 5．二力A F 、B F 作用在刚体上且 0=+B A F F ，则此刚体________。 ①一定平衡； ② 一定不平衡； ③ 平衡与否不能判断。 三、填空题 1．二力平衡和作用反作用定律中的两个力，都是等值、反向、共线的，所不同的是 。 2．已知力F 沿直线AB 作用，其中一个分力的作用与AB 成30°角，若欲使另一个分力的大小在所有分力中为最小，则此二分力间的夹角为 度。 3．作用在刚体上的两个力等效的条件是
第一章 静力学基础 一、 选择题 1.如图所示三铰刚架，受水平力P 作用，有以下四种说法，其中错的是（ ）。 A.AC 为二力平衡杆件 B.BC 为三力平衡构件 C.反力R A 和R B 的方向都指向C D.R A 的方向指向C ，R B 的方向不确定 2．光滑面对物体的约束力，作用在接触点处，方向沿接 触面的公法线，且（ ） A ．指向受力物体，恒为拉力 B ．指向受力物体，恒为压力 C ．背离受力物体，恒为拉力 D ．背离受力物体，恒为压力 3．力的可传性原理是指作用于刚体上的力可在不改变其对刚体的作用效果下（ ） A ．平行其作用线移到刚体上任一点 B ．沿其作用线移到刚体上任一点 C ．垂直其作用线移到刚体上任一点 D ．任意移动到刚体上任一点 4.柔索对物体的约束反力，作用在连接点，方向沿柔索( ) A.指向该被约束体，恒为拉力 B.背离该被约束体，恒为拉力 C.指向该被约束体，恒为压力 D.背离该被约束体，恒为压力 5.图示平面结构，由两根自重不计的直角弯杆组成，C 为铰链。不计各接触处摩擦，若在D 处作用有水平向左的主动力F ，则支座A 对系统的约束反力为（ ） A.F ，方向水平向右 B. 2 F ，方向铅垂向上 C. 2 2 F ，方向由A 点指向C 点 D. 2 2 F ，方向由A 点背离C 点 6.加减平衡力系公理适用于( ) A.刚体 B.变形体 C.任意物体 D.由刚体和变形体组成的系统 7.如图所示，不计自重的杆AB ，其A 端与地面光滑铰接，B 端放置在倾角为30°的光滑斜面上，受主动力偶M 的作用，则杆AB 正确的受力图为( )
8、( )是平面一般力系简化的基础。 A.二力平衡公理 B.力的可传性定理 C.作用和与反作用公理 D.力的平移定理 9.三直角折杆AB 、BC 、BD 连接如图所示，不计自重。其中属二力杆的杆件是（ ） A.AB 杆 B.BC 杆 C.AB 杆和BC 杆 D.BD 杆 10.如图所示简支梁，受P 力作用，对于反力R A 、R B 有以下四种表述，其中正确的是（ ）。 A.R A 、R B 的方向都是向上的。即↑ B.反力R A ↓，R B ↑ C.反力R A 方向不定，R B ↑ D.反力R A 、R B 的方向都是向下的，即↓ 一选择题 1D2B 3B 4B 5C 6A 7C 8D 9A 10A 二 .填空题 1、力矩的三要素为大小、方向、 。 2、静力学是是研究物体在力系作用下的 的科学。 3．作用于刚体上的力，可沿其作用线任意移动其作用点，而不改变该力对刚体的作用效果，称为力的_________。 4.只在两点受力而处于 无重杆，称为二力杆。 5．作用在刚体上的力F ，可以平行移动到刚体上任一点O ，但必须附加一力偶，此附加力偶的矩等于____________。
理论力学课后习题第二章思考题解答 2.1.答：因均匀物体质量密度处处相等，规则形体的几何中心即为质心，故先找出各规则形体的质心把它们看作质点组，然后求质点组的质心即为整个物体的质心。对被割去的部分，先假定它存在，后以其负质量代入质心公式即可。 2.2.答：物体具有三个对称面已足以确定该物体的规则性，该三平面的交点即为该物体的几何对称中心，又该物体是均匀的，故此点即为质心的位置。 2.3.答：对几个质点组成的质点组，理论上可以求每一质点的运动情况，但由于每一质点受到周围其它各质点的相互作用力都是相互关联的，往往其作用力难以 n3 预先知道；再者，每一质点可列出三个二阶运动微分方程，各个质点组有个相互关联的三个二阶微分方程组，难以解算。但对于二质点组成的质点组，每一质点的运动还是可以解算的。 若质点组不受外力作用，由于每一质点都受到组内其它各质点的作用力，每一质点的合内力不一定等于零，故不能保持静止或匀速直线运动状态。这表明，内力不改变质点组整体的运动，但可改变组内质点间的运动。 2.4.答：把碰撞的二球看作质点组，由于碰撞内力远大于外力，故可以认为外力为零，碰撞前后系统的动量守恒。如果只考虑任一球，碰撞过程中受到另一球的碰撞冲力的作用，动量发生改变。 2.5.答：不矛盾。因人和船组成的系统在人行走前后受到的合外力为零（忽略水对船的阻力），且开船时系统质心的初速度也为零，故人行走前后系统质心相对地面的位置不变。当人向船尾移动时，系统的质量分布改变，质心位置后移，为抵消这种改变，船将向前移动，这是符合质心运动定理的。 2.6.答：碰撞过程中不计外力，碰撞内力不改变系统的总动量，但碰撞内力很大，
理论力学第一章习题答案 设开始计时的时刻速度为,由题可知枪弹作匀减速运动设减速度大小为. 则有: 由以上两式得 再由此式得 证明完毕. { { S S t t 题1.1.1图 0v a ()()??? ??? ? +-+=-=2 2121021102122 1t t a t t v s at t v s 1102 1 at t s v += () () 2121122t t t t t t s a +-= () 1第1.3题图
由题分析可知，点的坐标为 又由于在中，有 （正弦定理）所以 联立以上各式运用 由此可得 得 得 化简整理可得 此即为点的轨道方程. （2）要求点的速度，分别求导 y 题1.3.2图 C ? ? ?=+=ψψ ?sin cos cos a y a r x ?AOB ? ψsin 2sin a r = r y r a 2sin 2sin == ψ?1cos sin 22=+??r y a x r a x 2 2cos cos --= -=ψ?12422 222222=---++r y a x y a x r y 22222223y a x r a x y -=-++()() 2 222222234r a y x y a x -++=-C C ??? ? ?? ? =--=2cos sin cos 2cos sin ?ωψψ?ω?ωr y r r x
又因为 对两边分别求导 故有 所以 ①② 对①求导 ③ 对③求导 ④ 对②求导 ⑤ 对⑤求导 ⑥ 对于加速度，我们有如下关系见题1.7.1图 ? ω =ψ?sin 2sin a r =ψ ? ωψ cos 2cos a r = 22y x V +=4cos sin cos 2cos sin 2222 ? ωψψ?ω?ωr r r +??? ? ??--=()ψ?ψ??ψ ω ++= sin cos sin 4cos cos 22r ? ? ?==θθ sin cos r y r x θθθ sin cos r r x -=θθθθθθθcos sin sin 2cos 2 r r r r x ---=θθθcos sin r r y +=θθθθθθθsin cos cos 2sin 2 r r r r y -++= a 题1.7.1图
理论力学2章作业题解 1-1 支座受力F ，已知F ＝10kN ，方向如图所示。求力F 沿x 、y 轴及沿x ′、y ′轴分解的结果，并求力F 在各轴上的投影。 解答 分力的大小需按平行四边形法则进行计算。 F 在x ，y 轴上的分力大小为：kN F F x 66.830cos ||0 ==r ，kN F F y 0.530sin ||0==r 。 F 在x ￠，y ￠轴上的分力大小为：kN F F x 0.10||==￠r ，kN F F y 17.515sin 2||0=′=￠r 。 F 在x ，y 轴上的投影大小为：kN F F x 66.830cos 0==，kN F F y 0.530sin 0==。 F 在x ￠，y ￠轴上的投影大小为：kN F F x 66.830cos 0==￠，kN F F y 59.275cos 0-=-=￠。 1-3计算图中F 1、F 2、F 3三个力分别在x 、y 、z 轴上的投影。已知F 1＝2kN ，F 2＝1kN ，F 3＝3kN 。 解答 0.0,6.18.0,2.16.011111==′=-=′-=z y x F kN F F kN F F . kN F F kN F F kN F F z y x 707.0,566.08.0,424.06.022 2222222222=′==′′==′′ = kN F kN F kN F z y x 0.3,0.0,0.0333=== 1-5 力F 沿正六面体的对顶线AB 作用，F ＝100N 。求F 在ON 上的投影。 解答 计算ON 方向的单位矢量n 。 k j k j n 447.0894.020040020040022+=++= 力F 的解析表达式为： k j i k j i F 470.62470.62852.46 400400300)400400300(1002 22++-=++++-= 力F 在ON 轴的投影为 N F ON 78.83447.047.62894.047.62=′+′=×=n F 题1-1 附图 题1-3 附图 题1-5 附图
理论力学课后习题第二章解答 2.1 解 均匀扇形薄片，取对称轴为轴，由对称性可知质心一定在轴上。 有质心公式 设均匀扇形薄片密度为，任意取一小面元， 又因为 所以 对于半圆片的质心，即代入，有 2.2 解 建立如图2.2.1图所示的球坐标系 x x 题2.1.1图 ? ?=dm xdm x c ρdS dr rd dS dm θρρ==θcos r x =θθθρθρsin 32a dr rd dr rd x dm xdm x c ===?? ????2 π θ= πππ θθa a a x c 342 2sin 32sin 32=?==
把球帽看成垂直于轴的所切层面的叠加（图中阴影部分所示）。设均匀球体的密度为。 则 由对称性可知，此球帽的质心一定在轴上。 代入质心计算公式，即 2.3 解 建立如题2. 3.1图所示的直角坐标，原来与共同作一个斜抛运动。 当达到最高点人把物体水皮抛出后，人的速度改变，设为，此人即以 的速度作平抛运动。由此可知，两次运动过程中，在达到最高点时两次运动的水平距离是一致的（因为两次运动水平方向上均以作匀速直线运动，运动的时间也相同）。所以我们只要比较人把物抛出后水平距离的变化即可。第一次运动：从最高点运动到落地，水平距离 题2.2.1图 z ρ)(222z a dz y dv dm -===ρπρπρz )2()(432 b a b a dm zdm z c ++-==? ?人 W y 题2.3.1图 x v x v αcos v 0=水平v 1s
① ② ③ 第二次运动:在最高点人抛出物体，水平方向上不受外力，水平方向上动量守恒，有 可知道 水平距离 跳的距离增加了 = 2.4解 建立如图2.4.1图所示的水平坐标。 以，为系统研究，水平方向上系统不受外力，动量守恒，有 ① 对分析；因为 ② 在劈上下滑，以为参照物，则受到一个惯性力（方向与加速度方向相反）。如图2.4.2图所示。所以相对下滑。由牛顿第二定律有 t a v s ?=cos 01gt v =αsin 0ααcos sin 20 1g v s =)(cos )(0u v w Wv v w W x x -+=+αu w W w a v v x ++ =cos 0αααsin )(cos sin 0202uv g W w w g v t v s x ++==12s s s -=?αsin )(0uv g w W w + 题2.4.1图 θ题2.4.2图 1m 2m 02211=+x m x m 1m 相对绝a a a +=1m 2m 2m 1m 21x m F -=惯2m 1m 2m
理论力学 期末考试试题 1-1、自重为P=100kN 的T 字形钢架ABD,置于铅垂面内，载荷如图所示。其中转矩M=20kN.m ，拉力F=400kN,分布力q=20kN/m,长度l=1m 。试求固定端A 的约束力。 解：取T 型刚架为受力对象，画受力图. 1-2 如图所示，飞机机翼上安装一台发动机，作用在机翼OA 上的气动力按梯形分布： 1q =60kN/m ，2q =40kN/m ，机翼重1p =45kN ，发动机重2p =20kN ，发动机螺旋桨的反作用 力偶矩M=18kN.m 。求机翼处于平衡状态时，机翼根部固定端O 所受的力。 解：
1-3图示构件由直角弯杆EBD以及直杆AB组成，不计各杆自重，已知q=10kN/m，F=50kN，M=6kN.m，各尺寸如图。求固定端A处及支座C的约束力。
1-4 已知：如图所示结构，a, M=Fa, 12F F F ==, 求：A ，D 处约束力. 解： 1-5、平面桁架受力如图所示。ABC 为等边三角形，且AD=DB 。求杆CD 的内力。
1-6、如图所示的平面桁架，A 端采用铰链约束，B 端采用滚动支座约束，各杆件长度为1m 。在节点E 和G 上分别作用载荷E F =10kN ，G F =7 kN 。试计算杆1、2和3的内力。 解：
2-1 图示空间力系由6根桁架构成。在节点A上作用力F，此力在矩形ABDC平面内，且与铅直线成45o角。ΔEAK=ΔFBM。等腰三角形EAK，FBM和NDB在顶点A，B和D处均为直角，又EC=CK=FD=DM。若F=10kN，求各杆的内力。
理论力学期末考试试题 1-1、自重为P=100kN的T字形钢架ABD,置于铅垂面内，载荷如图所示。其中转矩M=20kN.m，拉力F=400kN,分布力q=20kN/m,长度l=1m。试求固定端A的约束力。 解：取T型刚架为受力对象，画受力图. 1-2 如图所示，飞机机翼上安装一台发动机，作用在机翼OA上的气动力按梯形分布： q=60kN/m，2q=40kN/m，机翼重1p=45kN，发动机 1 重 p=20kN，发动机螺旋桨的反作用力偶矩M=18kN.m。求机翼处于平2 衡状态时，机翼根部固定端O所受的力。
解： 1-3图示构件由直角弯杆EBD以及直杆AB组成，不计各杆自重，已知q=10kN/m，F=50kN，M=6kN.m，各尺寸如图。求固定端A处及支座C的约束力。
1-4 已知：如图所示结构，a, M=Fa, 12F F F ==, 求：A ，D 处约束 力. 解：
1-5、平面桁架受力如图所示。ABC为等边三角形，且AD=DB。求杆CD的内力。 1-6、如图所示的平面桁架，A端采用铰链约束，B端采用滚动支座约
束，各杆件长度为1m。在节点E和G上分别作用载荷 F=10kN，G F=7 E kN。试计算杆1、2和3的内力。 解： 2-1 图示空间力系由6根桁架构成。在节点A上作用力F，此力在矩形ABDC平面内，且与铅直线成45o角。ΔEAK=ΔFBM。等腰三角形EAK，FBM和NDB在顶点A，B和D处均为直角，又EC=CK=FD=DM。若F=10kN，求各杆的内力。
2-2 杆系由铰链连接，位于正方形的边和对角线上，如图所示。在节点D沿对角线LD方向作用力 F。在节点C沿CH边铅直向下作用力F。 D 如铰链B，L和H是固定的，杆重不计，求各杆的内力。
理论力学题库——第四章 一、填空题 1.科里奥利加速度（“是”或“不是”）由科里奥利力产生的，二 者方向（“相同”或“不相同”）。 2.平面转动参考系中某一点对静止参考系的加速度的表达式 是，其中是相对加速度，是牵 连加速度，是科里奥利加速度。 4-1.非惯性系中，运动物体要受到 4种惯性力的作用它们是：惯性力、惯性切 向力、惯性离轴力、科里奥利力。 4-2.在北半球，科里奥利力使运动的物体向右偏移，而南半球，科里奥利力使 运动的物体向左偏移。（填“左”或“右”） 4-3.产生科里奥利加速度的条件是：物体有相对速度υ'及参照系转动，有角速度ω，且υ'与ω不平行。 4-4.科里奥利加速度是由参考系的转动和物体的相对运动相互影响产生的。 4-5.物体在主动力、约束力和惯性力的作用下在动系中保持平衡，称为相对平衡。4-6.重力加速度随纬度增加的主要原因是：地球自转产生的惯性离轴力与地心引力有抵消作用。 4-7.由于科里奥利力的原因北半球气旋（旋风）一般是逆时针旋转的.（顺时针或逆时针） 4-8.地球的自转效应，在北半球会使球摆在水平面内顺时针转动.（顺时针或逆时针） 二、选择题 1.关于平面转动参考系和平动参考系，正确的是（） A.平面转动参考系是非惯性系； B.牛顿定律都不成立； C.牛顿定律都成立； D.平动参考系中质点也受科里奥利力。
2. 下列关于非惯性系的说法中正确的是： 【C 】 A 惯性离心力与物体的质量无关； B 科里奥利力与物体的相对运动无关； C 科里奥利力是参考系的转动与物体相对与参考系的运动引起的； D 科里奥利力使地球上南半球河流右岸冲刷比左岸严重。 3. 科里奥利力的产生与下列哪个因素无关？ 【B 】 A 参照系的转动； B 参照系的平动； C 物体的平动； D 物体的转动。 4. 在非惯性系中如果要克服科里奥利力的产生，需要： 【D 】 A 物体作匀速直线运动； B 物体作匀速定点转动； C 物体作匀速定轴转动； D 物体静止不动。 5. A 、B 两点相对于地球作任意曲线运动，若要研究A 点相对于B 点的运动，则A (A) 可以选固结在B 点上的作平移运动的坐标系为动系； (B) 只能选固结在B 点上的作转动的坐标系为动系； (C) 必须选固结在A 点上的作平移运动的坐标系为动系； (D) 可以选固结在A 点上的作转动的坐标系为动系。 6..点的合成运动中D (A) 牵连运动是指动点相对动参考系的运动； (B) 相对运动是指动参考系相对于定参考系的运动； (C) 牵连速度和牵连加速度是指动参考系对定参考系的速度和加速度； (D) 牵连速度和牵连加速度是该瞬时动系上与动点重合的点的速度和加速度。 7. dt v d a e e =和dt v d a r r =两式A (A) 只有当牵连运动为平移时成立； (B) 只有当牵连运动为转动时成立； (C) 无论牵连运动为平移或转动时都成立； (D) 无论牵连运动为平移或转动时都不成立。 8.点的速度合成定理D (A) 只适用于牵连运动为平移的情况下才成立； (B) 只适用于牵连运动为转动的情况下才成立； (C) 不适用于牵连运动为转动的情况； (D) 适用于牵连运动为任意运动的情况。
理论力学题库——第二章 一、填空题 1.对于一个有"个质点构成的质点系，质量分别为加］，加2,加3,…叫,…加"，位置矢量分别 为,“，￡，?"，???—，则质心c的位矢为_______________ 。 2.质点系动量守恒的条件是______________________________ 。 3.质点系机械能守恒的条件是__________________________ , 4.质点系动量矩守恒的条件是___________________________________ o 5.质点组_______ 对______ 的微商等于作用在质点组上外力的矢量和，此即质点组的 定理。 & 质心运动定理的表达式是______________________________ 0 7.平面汇交力系平衡的充分必要条件是合力为零。 8.各质点对质心角动量对时间的微商等于外力对质心的力矩之和。 9.质点组的角动量等于质心角动量与各质点对质心角动量之和。 10.质点组动能的澈分的数学表达式为：￡耳"?心+￡戸件叭 2 t.i /-I /-I 表述为质点组动能的微分等于_力和力所作的元功之和。 11.质点组动能等于质心动能与各质点对质心动能之和。 12.柯尼希定理的数学表达式为：丁=丄〃呢2+￡性十2 ,表述为质点组动能等于质心 2 /.I 动能与各质点对质心动能之和。 13.2-6?质点组质心动能的微分等于、外力在质心系系中的元功之和。 14.包含运动电荷的系统，作用力与反作用力不--定在同一条直线上。 15.太阳、行星绕质心作圆锥曲线的运动可看成质量为折合质量的行星受太阳（不动）的引力的运 动。 16.两粒子完全弹性碰撞，当质量相等时，一个粒子就有可能把所有能量转移给另一个粒子。 17.设木块的质呈为nh ,被悬挂在细绳的下端，构成一种测定子弹速率的冲击摆装置。如果有一质 量为叫的子弹以速率v,沿水平方向射入木块，子弹与木块将一起摆至高度为 久=佟上竺（2g〃严 h处，则此子弹射入木块前的速率为：E___________ 。 18.位力定理（亦称维里定理）可表述为：系统平均动能等于均位力积的负值。（或 沧士护T ） 二、选择题
第一章习题 细杆OL 绕O 点以角速ω转动，并推动小环C 在固定的钢丝AB 上滑动。图中的d 为已知常数，试求小球的速度及加速度的量值。 解 如题1.4.1图所示， A B O C L x θd 第1.4题图 OL 绕O 点以匀角速度转动，C 在AB 上滑动，因此C 点有一个垂直杆的速度分量 22x d OC v +=?=⊥ωω C 点速度 d x d d v v v 222 sec sec cos +====⊥⊥ω θωθθ 又因为ωθ=&所以C 点加速度 θθθω&????==tan sec sec 2d dt dv a () 2 222222tan sec 2d x d x d += =ωθθω
矿山升降机作加速度运动时，其变加速度可用下式表示： ?? ? ? ? -=T t c a 2sin 1π 式中c 及T 为常数，试求运动开始t 秒后升降机的速度及其所走过的路程。已知升降机的初 速度为零。 解 由题可知，变加速度表示为 ?? ? ? ? -=T t c a 2sin 1π 由加速度的微分形式我们可知 dt dv a = 代入得 dt T t c dv ?? ? ?? -=2sin 1π 对等式两边同时积分dt T t c dv t v ???? ? ??-=00 2sin 1π 可得 ： D T t c T ct v ++ =2cos 2ππ （D 为常数） 代入初始条件：0=t 时，0=v ，故 c T D π 2- = 即????? ???? ??-+=12cos 2T t T t c v ππ 又因为dt ds v = 所以dt T t T t c ????? ???? ??-+12cos 2ππ =ds 对等式两边同时积分，可得： ? ???? ???? ??-+=t T t T T t c s 2sin 22212πππ
第2章混凝土结构材料的物理力学性能 2.1选择题 1．混凝土若处于三向应力作用下，当（ D ）。 A. 横向受拉，纵向受压，可提高抗压强度； B. 横向受压，纵向受拉，可提高抗压强度； C. 三向受压会降低抗压强度； D. 三向受压能提高抗压强度； 2．混凝土的弹性模量是指（ A ）。 A. 原点弹性模量； B. 切线模量； C. 割线模量； D. 变形模量； 3．混凝土强度等级由150mm 立方体抗压试验，按（ B ）确定。 A. 平均值μfcu ； B. C. D. μfcu -1. 645σ ；μfcu -2σ ；μfcu -σ； 4．规范规定的受拉钢筋锚固长度l a 为（ C ）。 A ．随混凝土强度等级的提高而增大；
B ．随钢筋等级提高而降低； C ．随混凝土等级提高而减少，随钢筋等级提高而增大； D ．随混凝土及钢筋等级提高而减小； 5．属于有明显屈服点的钢筋有（ A ）。 A ．冷拉钢筋； B ．钢丝； C ．热处理钢筋； D ．钢绞线； 6．钢材的含碳量越低，则（ B ）。 A ．屈服台阶越短，伸长率也越短，塑性越差； B ．屈服台阶越长，伸长率越大，塑性越好； C ．强度越高，塑性越好； D ．强度越低，塑性越差； 7．钢筋的屈服强度是指（ D ）。 A. 比例极限； B. 弹性极限； C. 屈服上限； D. 屈服下限； 8．能同时提高钢筋的抗拉和抗压强度的冷加工方法是（ B ）。
A. 冷拉； B. 冷拔； 9．规范确定f cu , k 所用试块的边长是（ A ）。 A ．150 mm； B ．200 mm； C ．100mm ； D ．250 mm； 10．混凝土强度等级是由（ A ）确定的。 A ．f cu , k ； B ．f ck ； C ．f cm ； D ．f tk ； 11．边长为100mm 的非标准立方体试块的强度换算成标准试块的强度，则需乘以换算系数（ C ）。 A ．1.05 ； B ．1.0 ； C ．0.95 ； D ．0.90 ； 12．E c =
理论力学试题及答案 一、是非题（每题2分。正确用√，错误用×，填入括号内。） 1、作用在一个物体上有三个力，当这三个力的作用线汇交于一点时，则此力系必然平衡。 2、力对于一点的矩不因力沿其作用线移动而改变。（） 3、在自然坐标系中，如果速度υ = 常数，则加速度α = 0。（） 4、虚位移是偶想的，极微小的位移，它与时间，主动力以及运动的初始条件无关。 5、设一质点的质量为m，其速度 与x轴的夹角为α，则其动量在x轴上的投影为mv x =mvcos a。 二、选择题（每题3分。请将答案的序号填入划线内。） 1、正立方体的顶角上作用着六个大小相等的力，此力系向任一点简化的结果 是。 ①主矢等于零，主矩不等于零； ②主矢不等于零，主矩也不等于零； ③主矢不等于零，主矩等于零； ④主矢等于零，主矩也等于零。 2、重P的均质圆柱放在V型槽里，考虑摩擦柱 上作用一力偶，其矩为M时（如图），圆柱处于极限 平衡状态。此时按触点处的法向反力N A与N B的关系 为。 ①N A = N B；②N A > N B；③N A < N B。 3、边长为L的均质正方形平板，位于铅垂平面内并置于光滑水平面上，如图示，若给平板一微小扰动，使其从图示位置开始倾倒，平板在倾倒过程中，其质心C点的运动轨迹是。 ①半径为L/2的圆弧；②抛物线；③椭圆曲线；④铅垂直线。 4、在图示机构中，杆O 1 A//O2 B，杆O2 C//O3 D，且O1 A = 20cm，O2 C = 40cm，CM = MD = 30cm，若杆AO1 以角速度ω = 3 rad / s 匀速转动，则D 点的速度的大小为 cm/s，M点的加速度的大小为cm/s2。 ①60；②120；③150；④360。
第二章思考题 2.1一均匀物体假如由几个有规则的物体并合（或剜去）而成，你觉得怎样去求它的质心？ 2.2一均匀物体如果有三个对称面，并且此三对称面交于一点，则此质点即均匀物体的质心，何故？ 2.3在质点动力学中，能否计算每一质点的运动情况？假如质点组不受外力作用，每一质点是否都将静止不动或作匀速直线运动？ 2.4两球相碰撞时，如果把此两球当作质点组看待，作用的外力为何？其动量的变化如何？如仅考虑任意一球，则又如何？ 2.5水面上浮着一只小船。船上一人如何向船尾走去，则船将向前移动。这是不是与质心运动定理相矛盾？试解释之。 2.6为什么在碰撞过程中，动量守恒而能量不一定守恒？所损失的能量到什么地方去了？又在什么情况下，能量才也守恒？ 2.7选用质心坐标系，在动量定理中是否需要计入惯性力？ 2.8轮船以速度V 行驶。一人在船上将一质量为m 的铁球以速度v 向船首抛去。有人认为：这时人作的功为 ()mvV mv mV v V m +=-+222 2 12121 你觉得这种看法对吗？如不正确，错在什么地方？ 2.9秋千何以能越荡越高？这时能量的增长是从哪里来的？ 2.10在火箭的燃料全部燃烧完后，§2.7（2）节中的诸公式是否还能应用？为什么？ 2.11多级火箭和单级火箭比起来，有哪些优越的地方？ 第二章思考题解答 2.1.答：因均匀物体质量密度处处相等，规则形体的几何中心即为质心，故先找出各规则形体的质心把它们看作质点组，然后求质点组的质心即为整个物体的质心。对被割去的部分，先假定它存在，后以其负质量代入质心公式即可。 2.2.答：物体具有三个对称面已足以确定该物体的规则性，该三平面的交点即为该物体的几何对称中心，又该物体是均匀的，故此点即为质心的位置。 2.3.答：对几个质点组成的质点组，理论上可以求每一质点的运动情况，但由于每一质点受到周围其它各质点的相互作用力都是相互关联的，往往其作用力难以预先知道；再者，每一质点可列出三个二阶运动微分方程，各个质点组有n 3个相互关联的三个二阶微分方程组，
第2章 力系的等效与简化 2－1试求图示中力F 对O 点的矩。 解：（a ）l F F M F M F M M y O y O x O O ?==+=αsin )()()()(F （b ）l F M O ?=αsin )(F （c ）)(sin cos )()()(312l l Fl F F M F M M y O x O O +--=+=ααF （d ）2 22 1sin )()()()(l l F F M F M F M M y O y O x O O +==+=αF 2－2 图示正方体的边长a =0.5m ，其上作用的力F =100N ，求力F 对O 点的矩及对x 轴的力矩。 解：)(2 )()(j i k i F r F M +-? +=?=F a A O m kN )(36.35) (2 ?+--=+--= k j i k j i Fa m kN 36.35)(?-=F x M 2－3 曲拐手柄如图所示，已知作用于手柄上的力F =100N ，AB =100mm ，BC =400mm ，CD =200mm ， α = 30°。试求力F 对x 、y 、z 轴之矩。 解： )cos cos sin (sin )4.03.0()(2k j i k j F r F M αααα--?-=?=F D A k j i αααα22sin 30sin 40)sin 4.03.0(cos 100--+-= 力F 对x 、y 、z 轴之矩为： m N 3.43)2.03.0(350)sin 4.03.0(cos 100)(?-=+-=+-=ααF x M m N 10sin 40)(2?-=-=αF y M m N 5.7sin 30)(2?-=-=αF z M 2—4 正三棱柱的底面为等腰三角形，已知OA=OB =a ，在平面ABED 内沿对角线AE 有一个力F ， 图中θ =30°，试求此力对各坐标轴之矩。 习题2-1图 A r A 习题2-2图 （a ） 习题2-3图