习题一
1. 某战士有两支枪，射击某目标时命中率分别为0.9及0.5，若随机地用一支枪，射击一发
子弹后发现命中目标，问此枪是哪一支的概率分别为多大？
2. 设随机变量X 的概率密度为
f （x ）＝???
??≤>+0
01
2x x x A
求：（1）常数A; (2)分布函数F （x ）；（3）随机变量Y ＝lnX 的分布函数及概率分布。
3. 设随机变量（X, Y ）的概率密度为 f (x , y) = Asin (x + y ), 0≤x ,y ≤
2
π 求：(1) 常数A ；（2）数学期望EX ，EY ； （3） 方差DX ，DY ；(4) 协方差及相关系数。
4. 设随机变量X 服从指数分布
??
?<≥=-0
)(x x ke x f kx
()0>k 求特征函数)(x ?,并求数学期望和方差。
5. 设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为λ1 和λ2的泊松分布，试用特征函数
求Z = X ＋Y 随机变量的概率分布。
6．一名矿工陷进一个三扇门的矿井中。第一扇门通到一个隧道，走两小时后他可到达安全区。第二扇门通到又一隧道，走三个小时会使他回到这矿井中。第三扇门通到另一隧道，走五个小时后，仍会使他回到这矿井中。假定矿井中漆黑一团，这矿工总是等可能地在三扇门中选择一扇，让我们计算矿工到达安全区的时间X 的矩母函数。
7． 设 （X ， Y ） 的分布密度为
（1） ??
?<<<<=其他，,
01
0,
10xy 4),(y x y x φ
（2）
??
?<<<<=其他，,
01
0,10xy 8),(y x y x φ
问X ，Y 是否相互独立？
8. 设（X ，Y ）的联合分布密度为
问： （1）α， β取何值时X ，Y 不相关； （2）α，β取何值时相互独立。
习题二
１．设有两个随机变量X 、Ｙ相互独立，它们的概率度分别为)(x f X 和)(y f Y ，定义如下随机过程：
Yt X t Z +=)(，R t ∈
试求)(t Z 的均值函数)(t m 和相关函数),(21t t R 。
２．从t=0开始每隔
2
1
秒丢掷一次硬币（均匀的），对每一个丢掷的时刻t ，规定随机变量
X(t)= ?
??掷出反面当时刻掷出正面
当时刻t t t t ,2,cos π
试求：（1）F （21；x 1），F （x t 11；）（2）F （2
1，1；x 1，x 2）。
３．袋中有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量
?????=时取得白球
如果时取得红球
如果（t e t t
t X t ,,3)
试求这个随机过程的一维分布函数族。
４．设在时间区间[]t ,0内来到某商店的顾客数X(t)是参数λ的泊松过程。n Y 为第n 个顾客来到的时刻，求n Y 的分布函数。
5. 设通过十字路口的车流可以看做泊松过程，如果1分钟内没有车子通过的概率为0.2，求2分钟内有多于一辆车通过的概率。
6.令)(t N 表示[]t ,0时间内（单位：分）顾客到达某商店的人数，设}{t N 是泊松过程。根据历史资料统计分析，顾客到达该商店的强度是每小时30人。求两个顾客相继到达的时间间隔短于4分钟的概率。
7.一质点从坐标原点出发在数轴上做随机游动，每隔1秒以概率p 向右移动一格（1单位长），或以概率q=1—p 向左移动一格，以X （n ）表示质点在第n 秒至n+1秒之间的位置（坐标），则随机过程 {}?=，，，，210n )(n X
由于质点随机游动的独立性，它是一个独立增量过程。求X （n ）的概率分布及增量X （t+ ）—X （t ）的概率分布。
8. 求随机过程t X t X ωsin )(=的一维概率密度，其中ω为常数，X ~)1,0(N 。
9.设复随机过程Z （t ）=
∑=n
k k
A
1
e t i
k
θ，01≤≤t ，其中A k （1n k ≤≤）是相互独立且服
从N (0，
σ
2k
)的随机变量，
θ
k
(1)n k ≤≤是常数，试求复随机过程Z （t ）的均值函数与自
相关函数。
10.设{}0t )(≥，t X 为一个独立增量过程，且X （0）=0，证明X(t)是个马氏过程。
11.设随机过程Vt X t X +=0)(，T t ∈，其中0X ，V 是相互独立的标准正态分布变量，试证)(t X 是一个正态过程。
12.设2)(At Vt S t X ++=，0≥t ，其中S 、V 、A 为相互独立的正态分布变量，试证)(t X 是一个正态过程。
习题三
1. 一质点在区间[0,4]中的0,1,2,3,4上作随机游动,移动的规则是:在0点以概率1向右移动
一个单位,在1,2,3点上各以概率1/3向左,向右移动一个单位或留在原处,试求转移概率矩阵.
2. 一个圆周上共有N 格（按顺时针排列），一个质点在该圆周上作随机游动，移动的规则
是：质点总是以概率p 顺时针游动一格，以概率q=1-p 逆时针游动一格。试求移动概率矩阵。
3.一个质点在全直线的整数点上作随机游动，移动的规则是：以概率p从i移动到i-1，以
概率q从i移到i+1，以概率r停留在i，且r+p+q=1，试求转移概率矩阵。
4.波利亚（polya）罐子模型
波利亚（polya）罐子模型可描述如下：一个罐子装有r格红球，l个黑球，现随机地从罐中取出一个球，记录其颜色，然后将这个球放回罐中，并且再加进a个同颜色的球。持续地进
行这一实验过程，设X n表示第n次试验结束时罐中实有红球的数目：
X n=i，i≥r，I={0，1，2，···，}
不论在时刻n时如何转移到i的，系统在时刻n+1时，必转移到状态i+a或i，因此，{ X n，n≥0}是马氏链。使求它的一步转移概率，并说明此链不是时间齐次的马氏链。
5.设袋中有a个球，球为黑色的或白色的，今随机地从袋中取一个球，然后放回一个不同
颜色的球。若在袋里有k个白球，则称系统处于状态k，试用马尔可夫链描述这个模型(称为爱伦菲斯特模型)，并求转移概率矩阵。
6．设水库的蓄水情况分为三个状态：空库、半库、蓄满。并分别记为1，2，3。在不同季
节水库蓄水状态可能转变，设它为齐次马氏链，其转移矩阵为
????
??????=2.07.01.04.03.03.01.05.04.01P 初始分布行矩阵为()8.01.01.0)0(=P ，试求)2(P 并指出经过两个季节水库蓄满的概率。
7． 一个开关有两个状态：开、关，分别记为1，2。设
??
?=2n ,21n ,1开关处于状态在时刻开关处于状态
在时刻n X 又设开关现在开着时，经过单位时间后为开或闭的概率都是1/2；而现在关着时，经过
单位时间后，他仍然关着的概率是1/3，开着的概率为2/3。
（1） 试写出马氏链{}0,≥n X n 的一步转移矩阵；
（2） 设开始时开关处于状态1，求经过二步转移开关仍处于状态1的概率。
8． 设马氏链的状态空间为}3,2,1{=I ,其进一步转移矩阵为
????????????
???
?=323
10313131021211P
试研究各状态间的关系。
9．设马氏链
{}0,≥n X n 的状态空间{}2,1,0=I ,其一步转移矩阵为
????????????
???
?=323
10414121021
21
1P
试研究各状态间的关系，并画出状态传递图。
10．设马氏链
{}0,≥n X n 的状态空间{}3,2,1,0=I ,其一步转移矩阵为
??????????????????=10
8181412100212
10021
211P
试研究各状态间的关系，并画出状态传递图。
11．设马氏链}0,{≥n X n 的状态空间}2,1,0{=I ,其一步转移矩阵为
???????
?????
????=02
12
1210212121
01P 试问此链是否具有遍历性，若有，则求其平稳分布。
12．天气预报问题 若明天是否有雨仅与今天天气有关，与过去无关。并设今日有雨、明日也有雨的概率为α，今日无雨、明日也有雨的概率为β。试求：（1）一步转移矩阵；（2）今日有雨且第4日仍有雨的概率（设).4.0,7.0==βα。
13．考虑一个通信系统，它通过几个阶段传送数字0和1，设在每一阶段被下一阶段接受的数字仍与者阶段相同的转移概率为0.75.且记第n 阶段接受的数 n X ，试求进入第1阶段的
数字是0，而且第5阶段被接受到的也是0的概率。
14．设建筑物受到地震的损害程度为齐次马氏链，按损害的程度分为5种状态：无损害称为状态1，轻微损害称为状态2，中等损害称为状态3，严重损害称为状态4，全部倒塌称为状态5。设一步转移概率为
????
????????????=100008.02.00001.05.04.00001.04.05.00000
2.08.01P
又设初始分布为
0)5(,0)4(,0)3(,0)2(,1)1(00000=====p p p p p
试求接连发生二次地震时，该建筑物出现各种状态的概率是多少？
15．设某河流每日的BOD （生物耗氧量）浓度为齐次马氏链
}1,{≥n X n ，状态空间
}4,3,2,1{=I 是按BOD 浓度极低、低、中、高分别表示为1，2，3，4，其转移矩阵为（以
天为单位）
????
?????
???=4.04.02.001.06.025.005.01.02.05..02.001.04.05.01P
如果BOD 浓度高，则称河流处于污染状态。
（1） 说明此马氏链为不可约非周期正常返链； （2） 求此链的平稳分布；
（3） 求河流再次到达污染的平均时间4μ。
16.设马氏链的状态空间
}4,3,2,1{
=
I，其一步转移矩阵为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
1
2
1
2
1
1
3
1
3
1
3
1
1
P 试对其状态分类。
17.设马氏链的状态空间
}5,4,3,2,1{
=
I，其一步转移矩阵为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
1
1
6.0
4.0
8.0
2.0
5.0
5.0
1
P
试研究各状态的类及周期性。
18.设马氏链的状态空间为
}3,2,1{
=
I，其一步转移矩阵为
??
??? ??=10005.05.005.05.01P 试研究各状态的类，并讨论各状态的遍历性。
19.设马氏链的状态空间为}4,3,2,1{=I ，其一步转移矩阵为
???????
??=02.02.06.0007.03.00001
0100
1P
试对各状态进行分类。
20.设{}0),(≥t t X 为一个时间连续的马氏链，其状态空间}1,0{=I 。假定)(t X 在时间段t ?内改变一次状态（从一个值跳到另一个值）的概率为)(t o t ?+?λ，未曾改变状态的概率为
)(1t o t ?+?-λ，而在这段时间内改变多于一次的概率为)(t o ?。试求时间t 时的转移概率
)
(t P ij （i,j=0，1）。
习题四
1. 已知随机过程X(t)的自相关函数为RX(τ)=σ2
exp ｛－α
τ
｝，试判断其连续性和可微
性。
2. 随机初相信号X(t)=Acos(
ωt+?)，试中A 和ω均为常数，已知mX(t)=0,
RX(τ)=A 2
cos ωt/2,τ=t －s 。信号X(t)在时间T 内的积分值为Y(T)=
?
T
X(t)dt,试求Y(T)
的均值和方差。
3. 讨论随机过程X(t)=At 2
+Bt+C,(其中A ，B ，C 独立同分布且服从N(0,σ
2
))的均方连续
性、均方可微性和均方可积性。并求X ＇(t),Y(t)=t
1
?
t
X(s)ds 的均值函数和相关函数。
4. 讨论随机过程X(t)，(其中X(t)的均值为0，相关函数R(s,t)=1/[a 2+(s －t)2
])的均方连续
性、均方可微性
和均方可积性。并求X ＇(t),Y(t)=t
1
?
t
X(s)ds 的均值函数和相关函数。
习题五
1. 设Z(t)=Xsint+Ycost,其中X,Y 是相互独立同分布的随机变量，其分布列为
证明Z(t)是宽平稳过程。
2．设t B t A t X ωωsin cos )(+=，其中ω是常数，A ,B 是相互独立，且都服从正态分布
),0(2σN 的随机变量，试证明)(t Z 是平稳过程。
3．设随机过程t t X ωcos )(=，其中ω是在()π2,0上均匀分布的随机变量，试证 (1) ωn n X X n cos )(==，() ,2,1,0±±=n 是一个平稳序列。 （2）)(t X ，()+∞∞-∈,t ，不是一个平稳过程。
4．设随机过程)()(ε+=t f t X 其中)(t f 是周期为T 的波形，ε在区间内为均匀分布的随机变量，证明)(t X 是平稳过程。
5.设随机过程)(t X 由下列三个样本函数组成，且等概率发生，
1),(1=e t X ，t e t X sin ),(2=，t e t X cos ),(3=
问：（1）计算均值)(t m x 和自相关函数),(21t t R x ； （2）该随机过程)(t X 是否平稳。
6.设随机过程X(t)=Asin(2πθ1t+θ2)其中A 为常数，θ1和θ2为相互独立的随机变量。θ1的概率密度为偶函数，θ2在[]ππ,.-内均匀分布。证明： （1）X(t)为平稳过程； （2）X(t)是均值遍历的
习题六
1. 设}{n Y ),2,1,0( =n 为独立随机序列，且,,00
μ==n EY Y 令∑==n
k k
n Y X 1
，则当0
>μ时，
{}n X 关于{}n Y 是下鞅；当0<μ时，{}n X 关于{}n Y 是上鞅。
2.设}{n Y ),2,1,0( =n 为独立随机序列，且,,00
μ==n EY Y 令μ
n Y X n
k k n -=∑=1
，则
{}n X 关于{}n Y 是鞅。
2. 设
}{n Y ),2,1,0( =n 表示生灭过程各代的个体数，且10=Y ，任意一个个体生育后代
的分布为均值μ，证明
n n
n Y X -=μ是一个关于{}n Y 的鞅。
4.（公平博弈的问题）设 ,,21X X 独立同分布，分布函数为21
)1()1(=
-===i i X P X P ，
于是，可以将
i X 看作一个投硬币的游戏的结果：如果出现正面就赢1元，出现反面则输1
元：假设我们按以下的规则来赌博，每次投硬币之前的赌注都比上一次翻一倍，直到赢了赌
博即停，令n W 表示第n 次赌博后所输（或赢）的总钱数，00=W ，则n W 是关于n X X X ,,2
1的鞅。
5.设)(t B 是布朗运动，则
（1）
t t B -)(2
是鞅； （2）对任何的实数u ，
}
2)(exp{2
t u t uB -是鞅。
习题七
1. 通常假设股票价格服从马尔科夫过程，是什么含义？
2. 假设某股票的价格变化遵循维那过程，其初始价值为20元，估算的时间为一年。在一
年结束时，若资产价值按正态分布，其期望值为10，标准差为1，那么在两年期结束时，资产价值的期望值和标准差是多少？
3. 假定有一支股票价格S 遵循一般维那过程，即dS=dW dt σμ+，在第一年中，μ=2，σ
=3，若股票价格的初始值为30，则在第二年末股票价格的分布概率为多少？
4. 考虑一种无红利支付的股票，假定价格S 遵循过程： t S t S S ?+?=?εσμ
其中每年预期收益率为1.0=μ（以连续复利计），漂移率为3.0=σ，若初始值为S=20元，试分别解释当时间间隔为一周、一月和一季度时，股票的价格变化规律？
习题八
1. 求随机微分)()
(t B e
d .
2. 利用伊托公式证明
??
≥-=
t t
S k ds s B t B s dB B 03
)(22,)()(3
1)(
3. 设B （t ）是标准布朗运动，证明
[]
2,)()1(2
1
)(02≥-=
?-k ds s B k k t B E t k k
并求出[
][
]
)(,)(6
4
t B E t B E 的值。
4. 设B(t)是标准布朗运动，)0),((t u u B I I t ≤≤=，利用伊托公式证明下列随机过程是关
于t I 的连续鞅。
（1）)(cos )(2
t B e t X t =； （2）)(sin )(2t B e t X t =
习题九
1. 若某种股票的初始价格为30美元，年预期收益为15%，年波动性为25%，问在六个月
后，该股票价格的概率分布是什么？并判断在置信度为95%时股票价格的变化范围。
2. 假设某种股票当前的价格为15元，每年的预期收益率为12%，每年的波动率为20%，
则在一年后股票价格的均值和方差是多少？
随机过程考试试题及答案详解 1、（15分）设随机过程C t R t X +?=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均 匀分布。 （1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】 （1）? ∞ -= x dt t f x F )()(，则)(t f 为密度函数； （2）)(t X 为),(b a 上的均匀分布，概率密度函数?? ???<<-=其他,0,1 )(b x a a b x f ，分布函数 ?? ??? >≤≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,1,,0)(，2)(b a x E += ，12)()(2a b x D -=； （3）参数为λ的指数分布，概率密度函数???<≥=-0,00 ,)(x x e x f x λλ，分布函数 ?? ?<≥-=-0 ,00,1)(x x e x F x λ，λ1)(=x E ，21 )(λ=x D ； （4）2 )(,)(σμ==x D x E 的正态分布，概率密度函数∞<<-∞= -- x e x f x ,21 )(2 22)(σμπ σ， 分布函数∞<<-∞= ? ∞ --- x dt e x F x t ,21)(2 22)(σμπ σ，若1,0==σμ时，其为标准正态分布。 【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。 （1）因R 为]1,0[上的均匀分布，C 为常数，故)(t X 亦为均匀分布。由R 的取值范围可知， )(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度?? ???+≤≤=其他,0,1 )(t C x C t x f ，一维分布 函数?? ??? +>+≤≤-<=t C x t C X C t C x C x x F ,1,,0)(；
（1） 设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为 t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({，且是一个周期为T 的函数，即0),()(≥=+τττB T B ，求方差函数)]()([T t X t X D +-。 解：由定义，有： )(2)0()0()}()({2)0()0()]} ()()][()({[2)] ([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D （2） 试证明：如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程，且0)0(=X ，那么它必是一个马 尔可夫过程。 证明：我们要证明： n t t t <<<≤? 210，有 } )()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 形式上我们有： } )()(,,)(,)({} )()(,,)(,)(,)({} )(,,)(,)({} )(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤= ======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 因此，我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与2 ,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立即可。 由独立增量过程的定义可知，当2,,2,1,1-=<<<-n j t t t a n n j 时，增量 )0()(X t X j -与)()(1--n n t X t X 相互独立，由于在条件11)(--=n n x t X 和0)0(=X 下，即 有)(j t X 与1)(--n n x t X 相互独立。由此可知，在11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与 2,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立，结果成立。 （3） 设随机过程}0,{≥t W t 为零初值（00=W ）的、有平稳增量和独立增量的过程， 且对每个0>t ，),(~2t N W t σμ，问过程}0,{≥t W t 是否为正态过程，为什么？ 解：任取n t t t <<<≤? 210，则有： n k W W W k i t t t i i k ,,2,1][1 1 =-=∑=-
随机过程习题解答（一） 第一讲作业： 1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。 （a）分别写出随机变量和的分布密度 （b）试问：与是否独立？说明理由。 解：（a） （b）由于： 因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为： 因此与独立。 2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。 （a）试求和的相关系数； （b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。 解：（a）利用的独立性，由计算有： （b）当的时候，和线性相关，即 3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为 ，且是一个周期为T的函数，即，试求方差 函数。 解：由定义，有： 4、考察两个谐波随机信号和，其中：
式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。 （a）求的均值、方差和相关函数； （b）若与独立，求与Y的互相关函数。 解：（a） （b） 第二讲作业： P33/2．解： 其中为整数，为脉宽 从而有一维分布密度： P33/3．解：由周期性及三角关系，有： 反函数，因此有一维分布： P35/4. 解：(1) 其中 由题意可知，的联合概率密度为：
利用变换：，及雅克比行列式： 我们有的联合分布密度为： 因此有： 且V和相互独立独立。 （2）典型样本函数是一条正弦曲线。 （3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且 所以。 （4）由于： 所以因此 当时， 当时， 由（1）中的结论，有： P36/7．证明： (1) (2) 由协方差函数的定义，有：
P37/10. 解：（1） 当i =j 时；否则 令 ，则有 第三讲作业： P111/7．解： （1）是齐次马氏链。经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。 （2）由题意，我们有一步转移矩阵： P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有： （2）由齐次马氏链的性质，有： （2）
《随机过程期末考试卷》 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为： 试求:在时,求。 解： 当时，＝ ＝ 1.2 设离散型随机变量X服从几何分布： 试求的特征函数，并以此求其期望与方差。解： 所以： 2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个 任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t ?????=时取得白球如果对时取得红球 如果对t e t t t X t 3)( .维分布函数族试求这个随机过程的一 2.2 设随机过程 ，其中 是常数，与是 相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概 率密度为 试证明为宽平稳过程。 解：（1） 与无关 （2） ， 所以 （3） 只与时间间隔有关，所以 为宽平稳过程。 2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E .321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（ 2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且 数。试求它们的互协方差函 2.5， 试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立 为多少？ 3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分 钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲） 解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。以小时为单位。 则((1))30E N =。 40 30 (30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。 3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当1N =2N ，1λ=2λ时，计算上述概率。 解： 法一：（1）乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程，令它们为1()N t 、2()N t 。1 N T 表示1()N t =1N 的发生时 刻，2 N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。 1 11 1111111()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 2 22 1222222()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 第二章 随机过程分析 学习指导 1.1.1 要点 随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。 1. 随机过程的概念 随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。 2. 随机过程的分布函数和概率密度函数 如果ξ(t )是一个随机过程，则其在时刻t 1取值ξ(t 1)是一个随机变量。ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率为P [ ξ(t 1) ≤ x 1 ]，随机过程ξ(t )的一维分布函数为 F 1(x 1, t 1) = P [ξ(t 1) ≤ x 1] (2-1) 如果F 1(x 1, t 1)的偏导数存在，则ξ(t )的一维概率密度函数为 1111111 (,) (, ) (2 - 2)?=?F x t f x t x 对于任意时刻t 1和t 2，把ξ(t 1) ≤ x 1和ξ(t 2) ≤ x 2同时成立的概率 {}212121122(, ; , )(), () (2 - 3)F x x t t P t x t x ξξ=≤≤ 称为随机过程 (t )的二维分布函数。如果 2212122121212 (,;,) (,;,) (2 - 4)F x x t t f x x t t x x ?=??? 存在，则称f 2(x 1, x 2; t 1, t 2)为随机过程 (t )的二维概率密度函数。 对于任意时刻t 1，t 2，…，t n ，把 {}n 12n 12n 1122n n ()(),(),,() (2 - 5) =≤≤≤L L L F x x x t t t P t x t x t x ξξξ，，，；，，，称为随机过程 (t )的n 维分布函数。如果 n n 12n 12n n 12n 12n 12n (x )() (2 - 6)?=???L L L L L F x x t t t f x x x t t t x x x ，，，；，，，，，，；，，， 存在，则称f n (x 1, x 2, …, x n ; t 1, t 2, …, t n )为随机过程 (t )的n 维概率密度函数。 3. 随机过程的数字特征 随机过程的数字特征主要包括均值、方差、自相关函数、协方差函数和互相关函数。 随机过程 (t )在任意给定时刻t 的取值 (t )是一个随机变量，其均值为 []1()(, )d (2 - 7)E t xf x t x ξ∞ -∞ =? 1、 已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为mx 和my ，它们的自 相关函数分别为Rx()和Ry()。（1）求Z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数；（2）求Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数。 答案： （1）[][])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z ττττ++=+= [][] ) ()()()()()()()()(τττττy x z R R t y t y E t x t x E R t y t x =++== ：独立的性质和利用 （2）[]()()[])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z +?+++=+=ττττ [])()()()()()()()(t y t y t x t y t y t x t x t x E ττττ+++++++= 仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质：)(2)()(τττy y x x z R m m R R ++= 2、 一个RC 低通滤波电路如下图所示。假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n 0/2 的高斯白噪声。（1）求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数；（2）求输出信号的一维概率密度函数。 答案： （1） 该系统的系统函数为RCs s X s Y s H +==11)()()( 则频率响应为Ω +=ΩjRC j H 11)( 而输入信号x(t)的功率谱密度函数为2 )(0n j P X =Ω 该系统是一个线性移不变系统，所以输出y(t)的功率谱密度函数为： ()2 20212/)()()(Ω+=ΩΩ=ΩRC n j H j P j P X Y 对)(Ωj P Y 求傅里叶反变换，就得到输出的自相关函数： ()??∞ ∞-Ω∞ ∞-ΩΩΩ+=ΩΩ=d e RC n d e j P R j j Y Y ττππτ22012/21)(21)( R C 电压：y(t) 电压：x(t) 电流：i(t) 一．填空题（每空2分，共20分） 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为it (e -1) e λ。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 随机过程补充例题 例题1 设袋中有a 个白球b 个黑球。甲、乙两个赌徒分别有n 元、m 元，他们不知道那一种球多。他们约定：每一次从袋中摸1个球，如果摸到白球甲给乙1元，如果摸到黑球乙给甲1元，直到两个人有一人输光为止。求甲输光的概率。 解 此问题是著名的具有两个吸收壁的随机游动问题，也叫赌徒输光问题。 由题知，甲赢1元的概率为b p a b =+，输1元的概率为 a q a b =+，设n f 为甲输光的概率，t X 表示赌t 次后甲的赌金， inf{:0 }t t t X or X m n τ===+，即τ 表示最终摸球次数。如果 inf{:0 }t t t X or X m n τ===+=Φ（Φ为空集），则令τ=∞。 设A =“第一局甲赢”，则()b p A a b = +，()a p A a b = +，且第一局甲赢的条件下(因甲有1n +元)，甲最终输光的概率为1n f +，第一局甲输的条件下(因甲有1n -元)，甲最终输光的概率为1n f -，由全概率公式，得到其次一元二次常系数差分方程与边界条件 11n n n f pf qf +-=+ 01f =，0m n f += 解具有边界条件的差分方程 由特征方程 2()p q p q λλ+=+ （1）当q p ≠时，上述方程有解121,q p λλ==，所以差分方程的 通解为 212()n q f c c p =+ 代入边界条件得 1()11()n n n m q p f q p +-=- - （2）当q p =时，上述方程有解121λλ==，所以差分方程的通解为 12n f c c n =+ 代入边界条件得 1n n f n m =- + 综合（1）（2）可得 1()11() 1n n m n q p p q q f p n p q n m +? -?- ≠?? -=?? ?-=? +? 若乙有无穷多的赌金，则甲最终输光概率为 () lim 1n jia n m q p q p p f p q →∞ ?>?==??≤? 由上式可知，如果赌徒只有有限的赌金，而其对手有无限的赌金，当其每局赢的概率p 不大于每局输的概率q ，即p q ≤时， 北京工业大学2009-20010学年第一学期期末 数理统计与随机过程(研) 课程试卷 学号 姓名 成绩 注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。 考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛 骤等编第三版（或第二版）高等教育出版社。可以看笔记、作业，但不允许看其它任何打印或复印的资料。考试时允许使用计算器。考试时间120分钟。考试日期：2009年12月31日 一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平050.=α）？ 解：这是单个正态总体 ),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法. 解 85:0=μH ，85:1≠μH 选统计量 n s x T /0 μ-= 已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ， 计算得n s x T /0μ-= 31 .328/885 80=-= 查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值052.2)27(025.0=t . 由于052.2>T 2622.2>，故拒绝 0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为 该班的英语成绩为85分. 050.= 解：由极大似然估计得.2?==x λ 在X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。 则}{k X P =有估计 =i p ?ΛΛ,7,0, !2}{?2 ===-k k e k X P k =0?p 2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 证明：当12n 0t t t t <<< <<时， 1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤= n n 1122n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x , X(t )-X(0)=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，又因为n n P(X(t)x X(t )=x )=≤n n n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，故1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x , X(t )=x )≤=n n P(X(t)x X(t )=x )≤ 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1 信息论与编码课程习题1——预备知识 概率论与马尔可夫链 1、某同学下周一上午是否上课，取决于当天情绪及天气情况，且当天是否下雨与心情好坏没有关系。若下雨且心情好，则50%的可能会上课；若不下雨且心情好，则有10%的可能性不上课；若不下雨且心情不好则有40%的可能性上课；若下雨且心情不好，则有90%的可能不会上课。假设当天下雨的概率为30%，该同学当天心情好的概率为20%，试计算该同学周一上课的可能性是多大？ 分析： 天气情况用随机变量X 表示，“0”表示下雨，“1”表示不下雨；心情好坏用Y 表示，“0”表示心情好用“0”表示，心情不好用“1”表示；是否上课用随机变量Z 表示，“0”表示上课，“1”表示不上课。由题意可知 已知[]5.00,0|0====Y X Z P ，[]5.00,0|1====Y X Z P []1.00,1|1====Y X Z P ，[]9.00,1|0====Y X Z P []4.01,1|0====Y X Z P ，[]6.01,1|1====Y X Z P []9.01,0|1====Y X Z P ，[]1.01,0|0====Y X Z P []3.00==X P ，[]7.01==X P []2.00==Y P ，[]8.01==Y P 即题目实际上给出了八个个条件概率和四个概率 [][][][]0,0|00|000===?==?===X Y Z P X Y P X P Z P [][][]0,1|00|10===?==?=+X Y Z P X Y P X P [][][]1,0|01|01===?==?=+X Y Z P X Y P X P [][][]1,1|01|11===?==?=+X Y Z P X Y P X P 由于X ，Y 相互独立，则有 [][][][]0,0|0000===?=?===X Y Z P Y P X P Z P [][][]0,1|010===?=?=+X Y Z P Y P X P [][][]1,0|001===?=?=+X Y Z P Y P X P [][][]1,1|011===?=?=+X Y Z P Y P X P []5.02.03.00??==Z P 1.08.03.0??+9.02.07.0??+1.08.07.0??+ =? 注意：全概率公式的应用 2、已知随机变量X 和Y 的联合分布律如又表所示， 且()Y X Y X g Z +==2 11,，()Y X Y X g Z /,22==， 求： 随机过程复习题 一、填空题： 1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。 2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意0 12 ≥>t t ， ，则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 6 18}4)3(|6)5({-===e X X P 15 3 2 6 2 3 2 92! 23 ! 2)23(! 23 }2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({}2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=? ?? ==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 6 6 2 18! 26 }2)3()5({}4)3(|6)5({--== =-===e e X X P X X P 3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(4 1 2141， ????? ? ?? ? ????? ??? ?=434 10313131 04341 1)(P ，则167)2(12 =P ，16 1}2,2,1{210= ===X X X P ???????? ? ????? ????=48 3148 1348 436133616367164167165)1()2(2 P P 16 7)2(12= P 16 1314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ， )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 4 2++= ωωω ωS ，则)(t X 的均方值 = 212 1- 222 22 2 11221)2(2 221 1 1 22 )(+??-+?? = +- += ωωωωωS τ τ τ--- = e e R X 2 12 1)(2 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 第二章 随机过程分析 1.1 学习指导 1.1.1 要点 随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。 1. 随机过程的概念 随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。 2. 随机过程的分布函数和概率密度函数 如果ξ(t )是一个随机过程，则其在时刻t 1取值ξ(t 1)是一个随机变量。ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率为P [ ξ(t 1) ≤ x 1 ]，随机过程ξ(t )的一维分布函数为 F 1(x 1, t 1) = P [ξ(t 1) ≤ x 1] (2-1) 如果F 1(x 1, t 1)的偏导数存在，则ξ(t )的一维概率密度函数为 1111111 (,) (, ) (2 - 2)?=?F x t f x t x 对于任意时刻t 1和t 2，把ξ(t 1) ≤ x 1和ξ(t 2) ≤ x 2同时成立的概率 {}212121122(, ; , )(), () (2 - 3)F x x t t P t x t x ξξ=≤≤ 称为随机过程ξ (t )的二维分布函数。如果 2212122121212 (,;,) (,;,) (2 - 4)F x x t t f x x t t x x ?=??? 存在，则称f 2(x 1, x 2; t 1, t 2)为随机过程ξ (t )的二维概率密度函数。 对于任意时刻t 1，t 2，…，t n ，把 {}n 12n 12n 1122n n ()(),(), ,() (2 - 5) =≤≤≤F x x x t t t P t x t x t x ξξξ，，，；，，，称为随机过程ξ (t )的n 维分布函数。如果 n n 12n 12n n 12n 12n 12n (x ) () (2 - 6)?=???F x x t t t f x x x t t t x x x ，，，；，，，，，，；，，， 存在，则称f n (x 1, x 2, …, x n ; t 1, t 2, …, t n )为随机过程ξ (t )的n 维概率密度函数。 3. 随机过程的数字特征 随机过程的数字特征主要包括均值、方差、自相关函数、协方差函数和互相关函数。 随机过程ξ (t )在任意给定时刻t 的取值ξ (t )是一个随机变量，其均值为 []1()(, )d (2 - 7)E t xf x t x ξ∞ -∞ =? 第一章 随机过程的基本概念 1．设随机过程 +∞<<-∞=t t X t X ,cos )(0ω，其中0ω是正常数，而X 是标准正态变量。试求X （t ）的一维概率分布 解：∵ 当0cos 0=t ω 即 πω)2 1 (0+ =k t 即 πω)21(10+=k t 时 {}10)(==t x p 若 0cos 0≠t ω 即 πω)2 1 (1 0+≠ k t 时 {}{}x t X P x x X P t x F ≤=≤=0cos )(),(ω 当 0cos 0>t ω时 ξπ ωωξd e t x X P t x F t x ? - = ??? ? ??≤=02 cos 0 2 021cos ),( · 此时 ()t e x t x F t x f t x 0cos 2cos 1 21,),(022ωπ ω? =??= - 若 0cos 0 ?? ?= ,2 ,cos )(出现反面出现正面t t t X π 假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为21。试确定)(t X 的一维分布函数)2 1 ,(x F 和)1,(x F ，以及二维分布函数)1,2 1;,(21x x F ] 解：（1）先求)21 ,(x F 显然???=?? ???-=??? ??出现反面出现正面 出现反面出现正面10,212,2cos 21π X 随机变量?? ? ??21X 的可能取值只有0，1两种可能，于是 21 021= ??????=?? ? ??X P 2 1121=??????=??? ??X P 所以 ?????≥<≤<=??? ?? 11102 1 0021,x x x x F 再求F （x ,1） 显然???-=?? ?=出现反面出现正面出现反面出现正面 2 1 2 cos (1)πX {}{}2 1 2)1(-1 (1)====X p X p ? 所以 ???? ???≥<≤<=2 121- 2 1-1 0,1)(x x x x F (2) 计算)1,2 1 ;,(21x x F ???-=???=出现反面出现正面出现反面出现正面 2 1)1(, 1 0)2 1 ( X X 随机过程复习题(含答 案) 随机过程复习题 一、填空题： 1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。 2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t ， ，则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 618}4)3(|6)5({-===e X X P 15 32 62 32 92! 23!2)23(!23}2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({} 2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=???==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 66 218! 26}2)3()5({}4)3(|6)5({--===-===e e X X P X X P 3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为 ),,(4 12141， ???? ?? ?? ?????? ??? ?=434 10313131 043 411)(P ，则167)2(12=P ，16 1 }2,2,1{210= ===X X X P ???????? ?????? ????=48 31481348 436133616367 164167165)1()2(2P P 16 7 )2(12=P 16 1 314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ， )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 42 ++=ωωωωS ，则)(t X 的均方值= 2 121- 222 2221 1221)2(22211122)(+??-+??=+-+= ωωωωωS ττ τ-- -=e e R X 2 12 1)(2 随机过程复习 一、回答： 1 、 什么是宽平稳随机过程？ 2 、 平稳随机过程自相关函数与功率谱的关系？ 3 、 窄带随机过程的相位服从什么分布？包络服从什么分布？ 4 、 什么是白噪声？性质？ 二、计算： 1 、随机过程 X (t) Acos t + Bsin t ，其中 是常数， A 、B 是相互独 立统计的高斯变量， 并且 E[A]=E[B]=0 ， A 2 ]=E[ B 2 ]= 2 。求： X (t) E[ 的数学期望和自相关函数？ 2 、判断随机过程 X (t ) A cos( t ) 是否平稳？其中 是常数，A 、 分 别为均匀分布和瑞利分布的随机变量，且相互独立。 a f ( ) 1 2 ； f A ( a) a 2 e 2 2 a 0 2 3 、求随机相位正弦函数 X (t) A cos( 0 t ) 的功率谱密度， 其中 A 、 0 是常数， 为[0,2 ]内均匀分布的随机变量。 4 、求用 X (t ) 自相关函数及功率谱表示的 Y (t ) X (t) cos( 0 t) 的自相关 函数及谱密度。 其中， 为[0,2 ]内均匀分布的随机变量， X (t ) 是与 相互独立的随机过程。 5 、设随机过程 { X (t ) Acos( 0t Y),t} ，其中 0 是常数， A 与 Y 是相互独立的随机变量， Y 服从区间 (0,2 ) 上的均匀分布， A 服从瑞利 分布，其概率密度为 x 2 x 2 e 2 2 x 0 f A (x) 0 x 0 试证明 X (t ) 为宽平稳过程。 解：（ 1） m X (t) E{ Acos( 0 t Y)} E( A)E{cos( 0t Y )} x 2 x 2 2 e 2 2 dx y)dy 0 与 t 无关 2 cos( 0t 0 （ 2） X 2 (t) E{ X 2 (t )} E{ A cos( 0t Y)}2 E( A 2 ) E{cos 2 ( 0t Y )} E( A 2 ) 3 x 2 t E( A 2 ) x 1 2 t 2 e 2 2 dt ， 2 e 2 2 dx 2 t t t te 2 2 |0 e 2 2 dt 2 2e 2 2 |0 22 所以 X 2 (t ) E{ X 2 (t )} （3） R X (t 1,t 2 ) E{[ A cos( 0t 1 Y)][ A cos( 0t 2 Y )]} E[ A 2 ] E{cos( 0t 1 Y ) cos( 0t 2 Y)} 2 2 2 1 0t 1 0t 2 y) cos 0 (t 2 t 1)] 1 dy [cos( 2 2 2 cos 0 (t 2 t 1 ) 只与时间间隔有关，所以 X (t ) 为宽平稳过程。 6 、 设随机过程 X (t ) R t C ， t (0, ) ， C 为常数， R 服从 [0,1] 区间 上的均匀分布。 （ 1 ）求 （ 2 ）求 X (t ) X (t ) 的一维概率密度和一维分布函数； 的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】随机过程习题和答案
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