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随机过程-方兆本-第三版-课后习题答案.docx

习题 4

以下如果没有指明变量 t 的取值范围，一般视为 t R ，平稳过程指宽平稳过程。

1. 设 X (t ) sin Ut ，这里 U 为 (0,2 ) 上的均匀分布 . （a ）若 t 1,2,

，证明 { X (t ), t 1,2, } 是宽平稳但不是严平稳，

（b ）

设 t

[ 0, ) ，证明 { X (t), t 0} 既不是严平稳也不是宽平稳过程 .

证明：（ a ）验证宽平稳的性质

EX (t) E sin(Ut )

sin(Ut ) ? 1 dU 1 ( cosUt ) 02 0, t 1,2,

2 2 t

COV ( X (t ), X (s)) E(sinUt ?sin Us) 1

E(cos(t s)U cos(t s)U ) 1 { 1 [cos(t

1 [cos(t

2 1 s)U ]02 s)U ]02 } ?

2 t s

t s

2 t

0, t s

COV ( X (t ), X (t )) Esin 2 Ut 1

2 (b) EX (t) (1 cos(2 t)), 与t 有

关 ,

2 t

DX(t)

1 1 sin(

2 t )，与 t 有关，不平稳 .

2 8 t

2. 设 { X n ,n

1,2, } 是平稳序列，定义 { X n (i ) , n

1,2, }, i 1,2,为

X n (1)

X n X n 1, X n (2 )

X n (1) X n (1)1 ,

，证明：这些序列仍是平稳的 .

证明：已知， EX

m DX

,COV (X n t , X t )

t )

(

(1)

EX n EX n 1

(1)

D ( X n

X n 1 )

2 (1)

EX n 0, DX n

COV ( X n (1)t , X n (1) ) COV ( X n t X n t 1 , X n X n 1 ) COV ( X n t , X n ) COV ( X n t 1 , X n )

COV ( X n t , X n 1 )

COV ( X n t 1 , X n 1 ) 2 (t )

(t 1)

显然， X n (1) 为平稳过程 .

同理可证， X n ( 2) , X n ( 3) ,

亦为平稳过程 .

3.Z n k2( a k n u k )里k和 a k正常数，k=1， ....n;u1, ...u n是（0,2）

上独立均匀分布随机量。明{ x n , n0,1,2,...} 是平程。

明： E X n =k2E cos(a k n u k ) ，

u k )du k= 1/ 2sin( a k n u k ) |02

E cos(a k n u k ) =1/ 2 cos(a k n=0

D[cos( a k n u k ) ]=1/2- E cos(2a k n2u k )1/ 2

cov (cos(a k n u k ),cos( a k (n t)u k ) )= E cos(a k n u k ) E cos(a k (n1) u k)=1/2cos

a k t

cov(cos( a k n u k ),cos( a l n u l ))0,( k l )

n n

E X n =0,D(X n)=k2 .2D (cos(a k n u k ) )k2.常数

k1k 1

n n

cov( x n t , x n )k . l .2.cov[cos( a k (n t ) u k ),cov( a l n u l )]

K 1 l1

=k2 .2.1/ 2.cos( a k t)

k 1

只与 t 有关，与 n 无关。

从而知道 { X n .n=0,1,2 ?.}平的。

4. A k k1,2...n是 n个实随机变量；W k，k=1,2?n 是 n 个数。A k与 W k之

n jwt

是一个复的平稳过程。（2足的条件才能使： Z (t )A k e ）

j=1 k1

Ez k EA k e jw k t常数

,要求EA

Solution:k 1

n n

Ez t z t E A k A l e j k t j l t常数

E A k A l 0, k l

k 1 l 1要求

5.设

x n , n 1,2,... 是一列独立同分布随机变量序列，

P x n

p ，

P x n

1 1 p,n 1,2,...

s 0

0, s n

x n

, n 1,2,...

s n , n 1,2,...

令

求

的协方差

函数和自相关函数，

p 取何值时，此序列为平稳序列？

Solution :

Ex n

p 1,Dx n

Ex n

2 p 1

2 2 1

2 p

12 1 p

2 p 1

14 p 1 p

1 n

E x n x m

Ex k

p 1 n

p 1 , n m, Es n

k 1

协方差函数

R s

m, n

cov s n m , s n

n m n

1 1

R s n

cov x k , x l

D x 1

... D x n

m, n

n m

k 1 l 1

n 4 p 1

自相关函数：

r s n

m,n

R s n m, n

Es n m Es n

4 p 1

n n m

n m

2 p

Ex 0, D x n

, Es 0, D s

当 p=

2 n

时，

R s n m,n

但协方差函数

始终与

n,n+m 有关，还是不平稳！

6.设 X t

是一个平稳过程，对每一个 t R ， X / t 存在，证明对每个给定的 t ，

X t 与 X / t 不相关，其中 X /

dX t .

Proof.

EX t

m ， D X t 2

. E X t

t m .

X / t

lim X tt

X t ， EX / t 0 .

t 0

Cov X t , X / tEX t X / t lim E X t X t t X t

t 0t

1dX 2 t 1 d2

t 1 d 2

m20

2E EX

2 dt

dt 2 dt

7.设X t是 Gauss 过程，均值为0 ，协方差函数 R 24e 2 Z .

令 Z t X t 1 ,W t X t 1 ，

（i）求E Z t W t和E Z t W t 2；

（ii ）求Z t的密度函数 f Z z及 P Z t 1 ；

（iii ）求Z t与 W t 的联合密度 f Z ,W z,w.

Solution.（i ）EZ t W t EX t1X t14e 4.

（ii ）EX t0, D X t R 0 4 .

Z t X t 1 ~ N 0,2 2

11x2

P Z t1

e 2 4 dx .

（iii ）Z t ,W t ~ N 0;22;0;22;4e4， P R 2 e 4

22 f

Z ,W z, w1exp1z02e 4z 0 w 0w 0

2 1 e 8 4 2 1 e 8444 8. 设X t , t R 是一个严平稳过程，为只取有限个值的随机变量.证明

y t X t, t R 仍是一个严平稳过程.

Proof.

X t1,X t n X t1h ,, X t n h

F y1 , , y n t 1 , t 2 , , t n P y t1 ,, y t n y1 , , y n

=p((X( t1 -)，?，X(t n-)≤（y1,?，y n）)

= k

Pk .p((X( t

1 -

，?X( t

n - a

k )≤( y 1 ,?,

y n ))

= k

Pk .p((X( t

1 -h-

),?X(

t n

-h-

k ))≤（

y 1

，?，

y n ）

)

=p((y(

-h),

?,y(

-h))

≤(

y 1

,?， y

))=

t 1 h,...., tn h

(

y 1

，?， y n

）

即知 y(t ) 平 .

9 、 X (t ）， t R 是一个平程，构造随机程

Y 如下：

Y （ t ） =1, ）若 X （ t ）＞ 1，若 X （t ）＞ 0;-1

，若 X （ t ） ≤0

明 Y （ t ）是一个平程，如果一步假定 X (t ）， t

R 是均 0 的 Gauss

程（平），明

R Y

( )

arcsin X X

（R ( ) R ( )）

明： P （（Y(

t 1

),?,Y(

t n )） = （ a 1 ，?， a n ））

=P(X( t 1

)，?， X （

t n ）中有的大于 0，有的小于等于

=P (X( t 1

+h)

，?， X （

t n +h ）相于

X( t 1 )

，?， X （

t n ）中的符号

不 )

=P （（Y(t 1

+h), ?,Y( t n +h) ） = （ a 1 ，?， a n ））

即

y(t) 亦平的 .

EX(t)=0,E

X (t )

R x

(0) ,X(t)

N(0, R x

(0) )

1 1

EY(t)=1*P(Y(t)=1)- 1*P(Y(t)=-1)=P(X(t)

＞ 0)- P(X(t)

≤

- =0

0)=

2 2

( ) =EY(t+

)Y(t)=P(X(t+ )＞ 0, X(t) ＞ 0)+P(X(t+ )≤ X(t) ≤

)≤

0, 0)- P(X(t+

0, X(t) ＞ 0)+ P(X(t+ )＞0, X(t)

≤

R （y 2）

exp －１

x 2 2 (2) xy

y 2

2 R （0） 1

R x (0)

d x d y

0 （2）

２（１－

（2）

记

（） R x (2 )

R x (0 )

１

x 2

2 (2)xy

y 2

+ exp －

d x d y

2 R （0） 1

R x (0)

（2）

２（１－

（2）

－

exp

－

１

x 2 2 (2)xy y

d y d x

（）

R ( 0)

（）

２（１－（2）

2 R x 0 1

－

exp －

１

x 2 2 (2) xy y

d y d x

（）

R (0)

（）２（１－

（2）

2 R x 0 1

＝２

exp

r 2 (1

( 2)sin 2

.rdrd

(2)

0 0

2 R x (0) 1

2R x (0)(1

（2））

－

1 exp

1 2

r 2 (1 (2) sin2 .rdrd

0 0

2 R x (0) 1

(2)

2R x (0)(1 （2））

极坐标变换：

x r cos , y r sin

( 2 )

d 1

2 1

( 2)

d ＝

( 2) sin 2

令 t tan ,

arctan , d

1 dt

1 t 2

1 2

( 2) dt

＝

2 (2 ) t

1t 2

2 ( 2)t

＝

t ( 2 ) 2 1

t ( 2) 2

arctan

( 2 )

（ 2）

arctan

(2)

arctan

(2)

＝

1 2

(2)

＝

arctan

( 2)

(2)

arcsin (2)

＝

注：验证 sin arctan

sin arcsin

．即可！

10. 设 X t 是一个复值平稳过程，证明：

E X t X t 2

2 Re R 0R

Proof ：

E X t

X t 2

E X t X t X t X t

EX t

X t

EX t X t

EX t

X t

2 R 0 R

2 Re R 0

11. 设

X t

是零均值的平稳 Gauss

过程，协方差函数为 R ，证明：

，其中

? 为标准正态函数。

R ''

Proof ：

X t

h X t

由 E

y t 0

因 EX ' t

0, 则 Ey

X t h

X t

R 0

R h

R h R 0

y t

Ey 2 t

h 2

hR '

0, h , 2

h , 0

h 2

E y

2 t

R ''

2 t

即 y t

0, R ''

y t @ X ' t

从而 P

X '

X ' t

R ''

12. 设 {x(t)} 为连续平衡过程 ,均值 m 未知，协方差函数

R( ) = ae

b| |

,R , a 0, b 0 .

对固定的 T 0 ，令 x =

x(s)ds 。证明： Ex

m （即 x 是 m 的无偏估计）以及

Var ( x)2a[(bT ) 1(bT ) 2 (1 e bT )] 。

Ex(t )m ， Ex T 1T

Proof:Ex( s)ds

Var ( x)E(x m)2E[T1T

E( x(t ) m)dt gT1

( x(s)m)ds] 00

= T2T T

m)( x( s)m)dtds T2

T T

b|t s|dtds 0

E( x(t)

ae 00

= T2[

T s

b (s t ) dtds

T T

b (t

s) dtds ] 0

= aT2

(e bT1)]2 [T2

b b

13 ．设{ x(t )}为平稳过程，以及{ x(t )} 的n阶导数 x( n) (t) 存在，证明 { x( n ) (t)} 是平稳过程。Proof:由 Cov( x( n) (t ), x( n) (t))(1)n R(2 n) () 知

{ x( n) (t)} 为平稳过程Ex( n) (t) 0

Ex (t) E lim x(t

)x(t )lim Ex(t)Ex(t )0

00 14 ．证明定理 4.1 中关于平稳序列均值的遍历性定理。

Proof:{ x n} 为均值遍历性lim 1N 1

R( ) 0

Ex(n) 即 E( x m)2

均值遍历性：x lim x(k)m0( N)

N2N1 k

E x N Ex(k)m

2 N 1 k N

1N212N N

X k m|X k m X l m Var X N E E

2N 1 K N2N 1K N K N

1N N

E X k m X l m

2N 1 2k N l N

1N N

R k l

2N 1 2k N l N

令 t k l , s

k l , 则 t s 2k,t

1 2 N t

2 N

2N t

R s

2N 1

t 2 N s 2N

t 0 s 2 N t

2N 1

R o

2N 2N

1 1

2N 1

lim Var X N

由均值遍历，知

lim 2N 1

2 N 1

2 R

2N 1

知

2N 1

(A)

1 N

1 0

lim

可推出

N 0

（B ）

由（ B ）很容易推出（ A ）

15、如果

X 1，X 2， X 3， X 4

是均值为 0 的联合正态随机向量，则

EX 1，X 2， X 3，X 4 Cov X 1，X 2 Cov X 3，X 4

Cov X 1， X 3 Cov X 2，X 4

Cov X 1， X 4 Cov X 2，X 3

proof:

协方

差阵

12 13 14

21 22 23 24 31

32 33 34

矩

母函数

t 1 x

t 2 x 2 t 3x 3

exp

t t

t 4

12 34

13 2414 23

t 1 t 2 t 3

R N

X k

2N 1 K

ER N

Var R N

X k

m X k

m R

1 K

m X l m R 2

2 E

X k

m X k m X l

2N 1

N L

R 2

2 E

E X k X k

X l X l

N L N

2 E

R 2

R 2 k -

R k l

R k

lR 2

N L

2 N 1

R 2

2N 0

2 N 1

lim

1 N

N k R

可知：

16 、设 X 0 为随机变量，其概率密度函数为

2 x,0 x 1

f ( x)＝{ 0,其他，设 X n 1 在给定 X 0 , X 1,L

X n 下是 [1 X n ] 上的均匀分布， n 0,1,2,L ,

证明 { X n ,n=0,1, L } 的均值遍历性。

Proof:

EX 0

2xdx 2

E(X 1 X 0 ) 1 x 1 dx

1 x 0

0 3

x 0

EX 1 1

EX 0 1 1 2 2

E(X n 1 X 0 , X 1,L X n )

x 1 dx

1 [ 1

x 2 ]11 x

2 3

1 x n

x n

2 1

n EX n 1 1 2

EX n 1

2x 4 10 1

( 2 )2

EX 0

2 x

2xdx , DX 0

4 2

2 3

E(X n 2

1 X 0 , X 1 ,L X n )

1 dx 1

x n

x n 2 1 x n

x n

EX n 2

1 EX n

EX n 2 EX n 2 1 DX n 1 ( 2 )2

2 3 18

E[ X n X n m ] EE[ X n X n m X 0 , X 1 ,L X n m 1 ]

EX n (1

X n m 1)

( 2) 2

1 ( 1 ) m

18 2

R m

cov(X n , X n m )

( 2) 2

1 ( 1 )m EX n EX n m 1 ( 1)m ,

18 2

由推论 4.2 知： { X n 1} 是均值遍历的

17 、设 {, n 0, 1,L } 为白噪声序列，令 X ＝ X + ，1,n 0, 1, 2,L 则

X n ＝

, n

L , 1,0,1,L } 为平稳序列。

n K ，从而证明 { X n

K 0

求出该序列的协方差函数，此序列是否具有遍历性？

Proof: 易知： X n ＝

，

n K

K 0

EX n ＝

E n K

0, COV ( X n m , X n ) E[

K n m k

n l ]

K 0

l 0

k l

m l l

2 m

2 l

1 ; (| | 1)

e 0 k 0

n m k n e

n 1

e 0

; (m 0,1,2, )

R( m)

因 R(m) 0(m 0) ，故 { X n } 为均值遍历的。

以下没有特殊声明，所涉及的过程均假定均值函数为零。

18 ．我们称一个随机过程 X 为平稳 Gauss-Markov 过程，如果 X 是平稳 Gauss Process ，

并且具有 Markov

性，即对任意的

S t ，任意实数 x t , x s , x u 有

P( X t x t | X s x s , X u x u , u s) P(X t x t | X s

x) s 。试证明：零均值的平稳

Gauss-Markov 过程的协方差函数 R(2) 具有 ce a| |

这种形式，这里 c 为常数。

Proof

：

X t1

R(0)

R(t 2 t 1 )

R(t n t 1 ) R 0

R 1n

t 2

R(t 2

t 1 )

R( 0)

R(t 2 t n )

R 21

R 0

R(t n

t 1 ) R(t n

t 2 )

R(0)

n 2

R 0

{ 1

( x ,x , x ) 1 ( X , X ,X )}

f ( X t1 , X t 2 , X t 3 )

1 e

( 2 ) 2 |

3 |

R 0

R 12

R 0

23 ,

R 0

, 2

R 0

1{1( x , x )1 (x , x )} f ( x t 1 , x t 2 , x t 3 )

12112

f ( x t1 , x t 2 )1 e 2, f ( X t 3 | X t1 , X t 2 )

2|1|2 f ( x t 1 , x t 2 )

1{1 (x,x )1 (x, x )} f ( x t 2 , x t 3 )

23212

f ( x t 2 , x t 3 )1 e 2, f ( X t 3| X t 2 )

2||2f ( x t 2 )

19. 根据 markov 性， f （ x t3︱ x t1， x t2）=f （x t3︱ x t2）知

R（ t 3-t 1） = R （ t 2-t 1）R（ t 3 -t 2） , R(-)=R( ).

即 R(0)R(+h)=R()R(h) （>0,h>0）可知： R( )=Ce -a︱︱

R( +h)/R(0)= R()/R(0)* R(h)/R(0) 即 f （x） = R(x)/R(0)= e-at

R(0)=2C=2︱ R( ) ︱

20.设 {X（t ） }为平稳过程，令 y（ t ）=X （ t+a ）-X （t-a ），分别以 R x、S x和 R y、S y记随机

过程 X 和 Y 的协方差函数和功率谱密度函数，证明。

R y（）= 2R x（）-R x（+2a ） -R z（-2a ），

S y（）= 4S x（）sin2aw

Proof R y（）=Cov（y（t+），y（t））=E{（x（t++a ）-m ）- （x（ t+ -a ）-m ）}*（（x（ t+a ） -m ） - （ x（ t-a ） -m ））。其中 m=EX （t ）

=E（ X（ t++a ）-m ）（ X（ t+a ）-m ）-E（ X（t++a ）-m）（ x（ t-a ）-m ）- E（X（ t+-a ）-m ）（ X（ t+a ） -m ） +E （ X（ t+-a ） -m ）（ x（ t-a ） -m）

= R x（） -R x（2a+） -R x（-2a ）+R x（） =2 R x（） - R x（ 2a+） - R x（-2a ）S y（）=R y（）e-jw=（2R x（）- R x（+2a ） -R x（-2a ）） e -jw

=2S x（ w ） -R x（ k ） e -jwk *e j2aw -R x（）e -jwk *e -j2aw

k2a2a

=2S x（ w ） -2cos（ 2aw ） S x（ w ） =4S x（ w ） sin 2（ aw ）

21 、设平稳过程 X 的协方差函数R（）

2 e

，试研究其功率密度函数的性质。

Solution:由 Wiener-Khintchine公式知，功率谱密度函数

S（ w） 2R( ) cos()d 2 2e2) d

cos(

R（）a22

e a

22 、设平稳过程{ X t }cos b

的协方差函数2，求功率谱密度函数

Solution:

S（ w）R( )e j d 2 e j e j e j d a 2e a e j d -222

31.设x

,n... 1,0,1...

为平稳序列，协方差函数为R.

(1)求 x n 1 的形如x n 1

n的最小均方误差方差预报，

a 为待定常数2

(2)求 x n 1 的形如x n 1ax

n 1的最小均方误差方差预报，

a ，

b 为待定

(3)上述两个预报中，哪个预报的均方误差要小些？试用R

表示它们的差

(4)求x

n k 的形如

x n k

ax n

n N ,1k

的最小均方误差内插，（a,b 为待定）N

Z n x n k

Z n Z n ax n bx n N

(5)设k 0，其中 N为固定常数，求的形如的最小均方误差预报，其中 a,b为待定常数。

Solution：

Q a E x n 1 ax n 2

ax n x n0 ,Q' a 2E x n 1

(1)

R 11R 1 a x n 1

R 0x n

R 0

Q a, b E x n 1 ax n

bx n 1

(2)

ax n bx n 1

x n 0

E 2 x n 1

ax n bx n 1

n 1

E 2 x n 1

R 1

R 0 R 2

R 1 aR 0 bR 1 0

R 2 0 R 2 1

R 0 R 2

R 2 1

R 2 aR 1 bR 0 0

R 2 0 R 2 1

(3)

R 2 0

R 2 1

Q a

R 0

Q a,b E x n 1 a b x n 1 R 0 2 a R 1 2 b R 2 a R 0

2 ab R 1 b R 0

R 5 0 R 3 0 3R 2 1 R 2 22R 2 0 R 2 1 R 2 R 0 R 2 1 2R 2 1 R 2 2 2R 4 1 R 2

R 2 0 R 2

Q a,b R 2 0 R 2 1 R 0 R 2 R 2 1

Q a

R 0 R

0 R 2

R 0 R 2 R 2

1 R 0 R

2 0

R 2 0

(4) Q

a,b E x n k

ax n bx n

2 N

Q 4 a, b

ax n bx n N

x n

E 2 x n k

Q 4 a, b

ax n bx n N

x n N

E 2 x n k

aR 0 bR N R k

aR N

bR 0

R N k

R 0 R k

R N R N k

0 R 2 N

R 2 R 0 R n

k R k R N

R 2 N

R 2 (5)

Q 5 E

n k

ax n bx n N

K 0

Q 5

x n k

ax n

bx n N

x n

k 0

Q 5

n k

ax n

bx n N

n N

k 0

aR 0

bR N

R k

k 0

aR N

bR 0

R N

k 0

R 0

R k

R N

R N k

0 R

R 0

R N k

R N

R k

k 0

0 R 2

差 4-16

35. {Xn,n=0, ±1,?.}

AR （p ）模型：

X n 1 X

n 1

.....p X

n p

n= ?,-1,0,1, ?

出 Yule-Walker方程:

R( h)1R(h1) ...p R(h p)

Proof.E(xx nn h)1E(x n 1x n h)...p E(x n p x n h)E( n x n h) R(h)1R(h1) ...p R( p h)0

36.考 AR （ p ）模型：

X n 1 X n 1.....p X n p n n= ?,-1,0,1, ?

假定 11Z p Z p的根都在位外，求功率密度函数

Proof S(w) e jwz R( )e jwz [ 1 R(1) ...p R(p)]

1jw

e jwk

R( k) ...

jpw

jwk

R( k)

k k 0

[ 1e jw...p e jpw ] s(w)

S(w) 足上述式子

37.考如下 AR(2) 模型：

（1 ）X n0.5X n 10.3X n 2n（ 2 ）X n0.5X n 1 0.3X n 2n

用 Yule-Walker方程出方差函数，明它的密度函数S(w) 在（ -，）上的。

Proof （ 1 ）E( X n X n 1)0.5Ex n20.3Ex n 1 x n2 E ( x n 1n)

R(1)0.5R(0)0.3R(1)R(1)5

R(0) 7

E( X X) 0.5Ex x0.3Ex2E(x )

n 2

n n 2n 1 n 2n n 2

R(2)0.5R(1)0.3R(0)R(2)23

R(0) 35

R(4)16.4

似的， R(3)3535

Ex x0.5Ex

n x0.3Ex

n 2

E x

n n 1 n n n R()0.5R(1) 0.3R(2)

e j

0.5

e j 1 R

0.3e j 2 R

S 2

e j 2

e j g2

e j R

e j

S 1

其中， e j g2

= cos 2

j sin 2

故 S 1

具有周期性。

对于（

2 ），类似于（ 1 ）即得

38. 求下列自回归模型二协方差函数和相关函数。

（1 ） X n 0.8 X n 1n

（ 2 ） X n 0.5X n 1

X n 0

Solution. （ 1 ） X n X n 1

0.8 X n 2

X n

协方差函数

R 1

0.8R 0 0

R 1

0.8R 0

X n X n 2

0.8 X n 1 X n 2 n

X n 2

R 1

0.8 0.8

类似地， R 2

0.8| z| R 0 , z

0, 1, 2...

X n

0.8 n 1

0.8 n

...

0.8 k

n k

k 0

R 0

D X n

0.8 2 k

1 25

，相关函数： r z

R z

n k

0.82 9

k 0

（2 ） X n X n 1 0.5 X n 1 X n 1

n X n 1 ， R 1 0.5R 0

X n

n 2

0.5 X n 1 X n 2 n X n 2 ， R 2

0.5R 1

0.5 2 R 0

R z

0.5 |z| ， z 0, 1, 2,...

通过迭代： X n

0.5

n 1

0.5 2 n 2

...

0.5 k

n k

R 0

0.5

2k 2

X n

n k

k 0

1 4

1 0.25 3

求下列滑动平均模型协方差函数和相关函数：

（1 ）X n n0.5 n -10.5 n- 2（ 2 ）X n n0.6 n-1 0.2 n-2 0.1 n -3 Solution:

(1) R0E

0.52

1.52 1.5( 21) n

n -1

n- 2

R 1 E n0.5 n-10.5 n-2n -10.5 n-20.5 n -3

=0.52E20.52 E n -220.25

n -1

R 2E n0.5 n -10.5 n- 2n- 20.5 n-30.5 n -4

=0.52E

0.5 n -2

R 3E n0.5 n -10.5 n- 2n-30.5 n -40.5 n -50

R0,4r R EX n 2

（2 ）R 0 E n20.6 2 E n-120.2 2 E n- 220.12 E n-32 1.41

R 1 E n0.6 n -1 0.2 n- 20.1 n-3n -1

= 0.6E20.12E20.02E2

n-1n -2n -3

0.6n- 2 0.2 n-3 0.1 n-4 0.5

R 2E n0.6 n -10.2n -20.1 n- 3n-20.6 n -30.2 n -40.1 n- 5

0.2E n -2 0.06E n -30.26

R 3E n0.6 n -10.2 n- 20.1 n-3n -20.6 n -30.2 n -40.1 n- 5

=0.1E

0.1 n -3

R 4E n0.6 n -10.2n -20.1 n- 3n-40.6 n -50.2 n -60.1 n- 70

R0,4r R

42 ．考虑 AR（ 2）模型：X n X n 10.25X n 2n 求

X n e n

及

E X n e X n e n

Solution：

X n 1n

E X n

1 X n , X n 1,L , X 1

E X n 0.25X n 1 X n ,L , X 1

X n 0.25X n

E X n X n 1n

E X n 0.25X n 1

X n 0.25X n

E n 2

n 1

X n 2 n E X n

X n , X n 1 ,L , X 1

E X n 1 0.25X n X n , X n 1,L , X 1

X n 1n 0.25X n

X n 0.25X n 1 0.25X n 0.75X n

0.25X n

E X n

X n 2 n E

n 1

0.25X n

0.75X n

0.25X n

n 2

E X n

0.25X n 1 n 1X

0.25X n 1 2

E n 2

n 1

X n e n X n e 1n 0.25 X n e 2 n

e 3

E X n e

X n en

e 2

41 ．考虑 AR （2）模型： X n 1.8X n 1 0.8X n 2 n

求 X n

分析：

X n 1 n

E X n 1 X n , X n 1 ,L , X 1

1.8X n

0.8X n 1

X n 2 n

E X n 2 X n , X n 1,L , X 1

1.8 X n 1n 0.8X n

1.8

1.8X n 0.8X n 1 0.8X n

4.04X n

1.44X n 1

X n en

1.8 X n e 1 n 0.8 X n e 2 n ,

e 3

中国科学大学随机过程(孙应飞)复习题及答案

（1）设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为 t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({，且是一个周期为T 的函数，即0),()(≥=+τττB T B ，求方差函数)]()([T t X t X D +-。解：由定义，有： )(2)0()0()}()({2)0()0()]} ()()][()({[2)] ([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D （2）试证明：如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程，且0)0(=X ，那么它必是一个马尔可夫过程。证明：我们要证明： n t t t <<<≤? 210，有 } )()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 形式上我们有： } )()(,,)(,)({} )()(,,)(,)(,)({} )(,,)(,)({} )(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤= ======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 因此，我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与2 ,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立即可。由独立增量过程的定义可知，当2,,2,1,1-=<<<-n j t t t a n n j 时，增量 )0()(X t X j -与)()(1--n n t X t X 相互独立，由于在条件11)(--=n n x t X 和0)0(=X 下，即有)(j t X 与1)(--n n x t X 相互独立。由此可知，在11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与 2,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立，结果成立。（3）设随机过程}0,{≥t W t 为零初值（00=W ）的、有平稳增量和独立增量的过程，且对每个0>t ，),(~2t N W t σμ，问过程}0,{≥t W t 是否为正态过程，为什么？解：任取n t t t <<<≤? 210，则有： n k W W W k i t t t i i k ,,2,1][1 1 =-=∑=-

(完整版)答案应用随机过程a

山东财政学院 2009—2010学年第 1 学期期末考试《应用随机过程》试卷(A ) （考试时间为120分钟）参考答案及评分标准考试方式：闭卷开课学院统计与数理学院使用年级 07级出题教师张辉一．判断题（每小题2分，共10分，正确划√，错误划ⅹ） 1. 严平稳过程一定是宽平稳过程。（ⅹ ） 2. 非周期的正常返态是遍历态。（√ ） 3. 若马氏链的一步转移概率阵有零元，则可断定该马氏链不是遍历的。（ⅹ ） 4. 有限马尔科夫链没有零常返态。（√ ） 5．若状态i 有周期d, 则对任意1≥n , 一定有：0)(?nd ii p 。（ⅹ ）二．填空题（每小题5分，共10分） 1. 在保险公司的索赔模型中，设索赔要求以平均每月两次的速率的泊松过程到达保险公司，若每次赔付金额是均值为10000元的正态分布，一年中保险公司的平均赔付金额是＿＿240000元＿＿＿。 2．若一个矩阵是随机阵，则其元素满足的条件是：（1）任意元素非负（2）每行元素之和为1。三．简答题（每小题5分，共10分） 1．简述马氏链的遍历性。答：设) (n ij p 是齐次马氏链{}1,≥n X n 的n 步转移概率，，如果对任意 I j i ∈,存在不依赖于i 的极限0)(?=j n ij p p ，则称齐次马氏链{}1,≥n X n 具有遍历性。 2．非齐次泊松过程与齐次泊松过程有何不同？

答：非齐次泊松过程与齐次泊松过程的不同在于：强度λ不再是常数，而是与t 有关，也就是说，不再具有平稳增量性。它反映了其变化与时间相关的过程。如设备的故障率与使用年限有关，放射物质的衰变速度与衰败时间有关，等等。四．计算、证明题（共70分） 1. 请写出C —K 方程，并证明之. （10分）解： 2. 写出复合泊松过程的定义并推算其均值公式. （15分）解：若{}0),(≥t t N 是一个泊松过程，是Λ,2,1,=i Y i 一族独立同分布的随机变量，并且与{}0),(≥t t X 也是独立的， )(t X =∑=t N i i Y 1，那么{}0),(≥t t X 复合泊松过程

期末随机过程试题及标准答案

《随机过程期末考试卷》 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-t t 则 {(5)6|(3)4}______P X X === 9．更新方程()()()()0t K t H t K t s dF s =+-?解的一般形式为。 10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分） 1.设A,B,C 为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式： P(BC A)=P(B A)P(C AB)。 2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1

随机过程习题答案A

随机过程习题解答（一）第一讲作业： 1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。（a）分别写出随机变量和的分布密度（b）试问：与是否独立？说明理由。解：（a）（b）由于：因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为：因此与独立。 2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。（a）试求和的相关系数；（b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。解：（a）利用的独立性，由计算有：（b）当的时候，和线性相关，即 3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为，且是一个周期为T的函数，即，试求方差函数。解：由定义，有： 4、考察两个谐波随机信号和，其中：

式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。（a）求的均值、方差和相关函数；（b）若与独立，求与Y的互相关函数。解：（a）（b）第二讲作业： P33/2．解：其中为整数，为脉宽从而有一维分布密度： P33/3．解：由周期性及三角关系，有：反函数，因此有一维分布： P35/4. 解：(1) 其中由题意可知，的联合概率密度为：

利用变换：，及雅克比行列式：我们有的联合分布密度为：因此有：且V和相互独立独立。（2）典型样本函数是一条正弦曲线。（3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且所以。（4）由于：所以因此当时，当时，由（1）中的结论，有： P36/7．证明： (1) (2) 由协方差函数的定义，有：

P37/10. 解：（1）当i =j 时；否则令，则有第三讲作业： P111/7．解：（1）是齐次马氏链。经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。（2）由题意，我们有一步转移矩阵： P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有：（2）由齐次马氏链的性质，有：（2）

随机过程试题及答案

一．填空题（每空2分，共20分） 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为it (e -1) e λ。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-

应用随机过程试题及答案

应用随机过程试题及答案一．概念简答题（每题5 分，共40 分） 1. 写出卡尔曼滤波的算法公式 2. 写出ARMA（p,q）模型的定义 3. 简述Poisson 过程的随机分流定理 4. 简述Markov 链与Markov 性质的概念 5. 简述Markov 状态分解定理 6．简述HMM 要解决的三个主要问题得分B 卷（共9 页）第2 页7. 什么是随机过程，随机序列？8．什么是时齐的独立增量过程？二．综合题（每题10 分，共60 分） 1 ．一维对称流动随机过程n Y , 0 1 0, , n n k k Y Y X ? ? ? ? 1 ( 1) ( 1) , 2 k k k X p x p x ? ? ? ? ? 具有的概率分布为且1 2 , , ... X X 是相互独立的。试求1 Y 与2 Y 的概率分布及其联合概率分布。 2. 已知随机变量Y 的密度函数为其他而且，在给定Y=y 条件下，随机变量X 的条件密度函数为? ? 其他试求随机变量X 和Y 的联合分布密度函数( , ) f x y . 得分B 卷（共9 页）第3 页 3. 设二维随机变量( , ) X Y 的概率密度为( ,其他试求p{x<3y} 4．设随机过程( ) c o s 2 , ( , ) , X t X t t ? ? ? ? ? ? X 是标准正态分布的随机变量。试求数学期望( ) t E X ，方差( ) t D X ，相关函数1 2 ( , ) X R t t ，协方差1 2 ( , ) X C t t 。B 卷（共9 页）第4 页5 ．设马尔科夫链的状态空间为I={0,1}, 一步转移概率矩阵为

随机过程习题答案

1、已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为mx 和my ，它们的自相关函数分别为Rx()和Ry()。（1）求Z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数；（2）求Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数。答案：（1）[][])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z ττττ++=+= [][] ) ()()()()()()()()(τττττy x z R R t y t y E t x t x E R t y t x =++== ：独立的性质和利用（2）[]()()[])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z +?+++=+=ττττ [])()()()()()()()(t y t y t x t y t y t x t x t x E ττττ+++++++= 仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质：)(2)()(τττy y x x z R m m R R ++= 2、一个RC 低通滤波电路如下图所示。假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n 0/2 的高斯白噪声。（1）求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数；（2）求输出信号的一维概率密度函数。答案：（1）该系统的系统函数为RCs s X s Y s H +==11)()()( 则频率响应为Ω +=ΩjRC j H 11)( 而输入信号x(t)的功率谱密度函数为2 )(0n j P X =Ω 该系统是一个线性移不变系统，所以输出y(t)的功率谱密度函数为： ()2 20212/)()()(Ω+=ΩΩ=ΩRC n j H j P j P X Y 对)(Ωj P Y 求傅里叶反变换，就得到输出的自相关函数： ()??∞ ∞-Ω∞ ∞-ΩΩΩ+=ΩΩ=d e RC n d e j P R j j Y Y ττππτ22012/21)(21)( R C 电压：y(t) 电压：x(t) 电流：i(t)

学期数理统计与随机过程(研)试题(答案)

北京工业大学2009-20010学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试卷学号姓名成绩注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》浙江大学盛骤等编第三版（或第二版）高等教育出版社。可以看笔记、作业，但不允许看其它任何打印或复印的资料。考试时允许使用计算器。考试时间120分钟。考试日期：2009年12月31日一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平050.=α）？解：这是单个正态总体 ),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法. 解 85:0=μH ，85:1≠μH 选统计量 n s x T /0 μ-= 已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ，计算得n s x T /0μ-= 31 .328/885 80=-= 查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值052.2)27(025.0=t . 由于052.2>T 2622.2>，故拒绝 0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为该班的英语成绩为85分.

050.= 解：由极大似然估计得.2?==x λ 在X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。则}{k X P =有估计 =i p ?ΛΛ,7,0, !2}{?2 ===-k k e k X P k =0?p

应用随机过程答题(2)

--------------------------------------装----------------------------------------订 ---------------------------------------线-------------------------------------- 第 - 1 - 页共 -3- 页 2005-2006学年秋季学期《随机分析》课程期末考试试题B 说明：学生必须将答案全部写在答题纸上，凡写在试题上的一律无效。学生可随身携带计算器。一、填空题（每小题3分，共计10×3＝30分） 1）随机变量()2~,X N μδ，则其矩母函数()=t g 。 2）(){}0,≥t t N 为以参数2=λ的Possion 过程，则()()}{=2211＝且＝N N P 。 3）设Poisson 过程(){}0,≥t t N 的强度为3，n X 表示过程第1-n 次与第n 次事件的时间间隔，则}{=n X E ， }{=n X D 。 4）设某刊物邮购部的顾客数是平均速率为6的Poisson 过程，订阅1年、2年、3年的概率分别21， 31和6 1，且相互独立。订阅一年时，可得1元手续费。以()t X 记在[]t ,0得到的总手续费。则()}{=t X E ＝，()}{= t X D ＝。 5）考虑状态0，1，2的一个Markov 链{}0,≥n X n ，其一步转移概率矩阵为 ????? ??=1.08.01.04.02.04.06.03.01.0P ，初始分布为2.0,5.0,3.0210===p p p ，则 ()====1,0,1210X X X P 。 6）已知状态为1，2，3，4的齐次Markov 链{}0,≥n X n 及其一步转移概率矩阵为

随机过程-方兆本-第三版-课后习题答案

习题4 以下如果没有指明变量t 的取值范围，一般视为R t ∈，平稳过程指宽平稳过程。 1. 设Ut t X sin )(=，这里U 为)2,0(π上的均匀分布. （a ）若Λ,2,1=t ，证明},2,1),({Λ=t t X 是宽平稳但不是严平稳，（b ）设),0[∞∈t ，证明}0),({≥t t X 既不是严平稳也不是宽平稳过程. 证明：（a ）验证宽平稳的性质 Λ,2,1,0)cos (2121)sin()sin()(2020==-=? ==?t Ut t dU Ut Ut E t EX π π ππ ))cos()(cos(2 1 )sin (sin ))(),((U s t U s t E Us Ut E s X t X COV ---=?= t U s t s t U s t s t ππ π21}])[cos(1])[cos(1{212020? +++--= s t ≠=,0 2 1 Ut Esin ))(),((2= =t X t X COV (b) ,)),2cos(1(21 )(有关与t t t t EX ππ-= .)2sin(81 21DX(t)有关，不平稳，与t t t ππ-= 2. 设},2,1,{Λ=n X n 是平稳序列，定义Λ Λ,2,1},,2,1,{) (==i n X i n 为 Λ,,)1(1)1()2(1)1(---=-=n n n n n n X X X X X X ，证明：这些序列仍是平稳的. 证明：已知，)(),(,,2 t X X COV DX m EX t t n n n γσ===+ 2 121)1(1)1()1(2)(,0σγσ≡+=-==-=--n n n n n n X X D DX EX EX EX ) 1()1()(2),(),() ,(),(),(),(111111) 1()1(++--=+--=--=--+-+-++--+++t t t X X COV X X COV X X COV X X COV X X X X COV X X COV n t n n t n n t n n t n n n t n t n n t n γγγ显然，) 1(n X 为平稳过程. 同理可证，Λ,,) 3()2(n n X X 亦为平稳过程. 3.设 1 )n n k k k Z a n u σ==-∑这里k σ和k a 为正常数，k=1，....n; 1,...n u u 是（0,2π）

随机过程复习试题及答案

2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。证明：当12n 0t t t t <<< <<时， 1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤= n n 1122n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x , X(t )-X(0)=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，又因为n n P(X(t)x X(t )=x )=≤n n n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，故1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x , X(t )=x )≤=n n P(X(t)x X(t )=x )≤ 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1

应用随机过程习题课二

习题 1. 设随机过程{(,),}X t t ω-∞<<+∞只有两条样本函数 12(,)2cos ,(,)2cos ,X t t X t t x ωω==--∞<<+∞ 且1221 (),()33P P ωω==，分别求：（1）一维分布函数(0,)F x 和(,)4F x π ；（2）二维分布函数(0,;,)4F x y π ；（3）均值函数()X m t ；（4）协方差函数(,)X C s t . 2. 利用抛掷一枚硬币一次的随机试验，定义随机过程 1 2 cos ()2t X t πωω?=??出现正面出现反面且“出现正面”与“出现反面”的概率相等，各为1 2 ，求 1）画出{()}X t 的样本函数 2）{()}X t 的一维概率分布，1 (;)2F x 和(1;)F x 3）{()}X t 的二维概率分布121 (,1;,)2 F x x 3. 通过连续重复抛掷一枚硬币确定随机过程{()}X t cos ()2 t t X t t π?=? ?在时刻抛掷硬币出现正面在时刻抛掷硬币出现反面求：（1）1(,),(1,)2F x F x ；（2）121 (,1;,)2 F x x 4. 考虑正弦波过程{(),0}X t t ≥，()cos X t t ξω=，其中ω为正常数，~(0,1)U ξ. （1）分别求3,,,424t ππππωωωω = 时()X t 的概率密度(,)f t x . （2）求均值函数()m t ，方差函数()D t ，相关函数(,)R s t ，协方差函数(,)C s t . 5. 给定随机过程： ()X t t ξη=+ ()t -∞<<+∞ 其中r. v. (,)ξη的协方差矩阵为1334C ?? = ??? ，求随机过程{(),}X t t -∞<<+∞的协方差函数. 6. 考虑随机游动{(),0,1,2,}Y n n =

随机过程试题及答案

1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-t t 则 {(5)6|(3)4}______P X X === 9．更新方程()()()()0t K t H t K t s dF s =+-?解的一般形式为。 10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分） P(BC A)=P(B A)P(C AB)。 2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1

随机过程复习题(含答案)

随机过程复习题一、填空题： 1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。 2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t ，，则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 618}4)3(|6)5({-===e X X P 15 32 62 32 92! 23!2)23(!23}2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({} 2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=???==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 66 218! 26}2)3()5({}4)3(|6)5({--===-===e e X X P X X P 3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(4 1 2141， ?????? ?? ????????? ?=434 103 13131043 411)(P ，则167)2(12=P ，161}2,2,1{210====X X X P

???????? ?????? ????=48 31481348 436133616367 164167165)1()2(2P P 16 7 )2(12=P 16 1 314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ， )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 42 ++=ωωωωS ，则)(t X 的均方值= 2 121- 222 2221 1221)2(22211122)(+??-+??=+-+= ωωωωωS ττ τ-- -=e e R X 2 12 1)(2

随机过程课后习题

习题一 1．设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,...k P X k pq k ===。求X 的特征函数、EX 及DX 。其中01,1p q p <<=-是已知参数。 2．（1）求参数为（p,b ）的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为（2）求其期望和方差；（3）证明对具有相同的参数b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。 3．设X 是一随机变量，F （x ）是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。（1）(),(0,)Y aF X b a b =+≠是常数；（2）Z=ln F()X ，并求()k E Z （k 为自然数）。 4．设12,,...,n X X X 相互独立，具有相同的几何分布，试求的分布。 5．试证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。 6．试证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。 7．设12,,...,n X X X 相互独立同服从正态分布2(,)N a σ，试求n 维随机向量12,,...,n X X X 的分布，并求出其均值向量和协方差矩阵，再求的概率密度函数。 8．设X 、Y 相互独立，且（1）分别具有参数为(m, p)及(n, p)的二项分布；（2）分别服从参数为12(,),(,)p b p b 的Γ分布。求X+Y 的分布。 9．已知随机向量（X, Y ）的概率密度函数为试求其特征函数。 10．已知四维随机向量X ,X ,X ,X 1234（）服从正态分布，均值向量为0，协方差矩阵为B σ?kl 44=()，求(X ,X ,X ,X E 1234)。 11．设X 1，X 2 和X 3相互独立，且都服从(0,1)N ，试求随机变量112Y X X =+和 213Y X X =+组成的随机向量(Y 1, Y 2)的特征函数。 12．设X 1，X 2 和X 3相互独立，且都服从2(0,)N σ，试求：（1）随机向量(X 1, X 2, X 3)的特征函数； 1,0() 0,0()p p bx b x e x p x p x --?>? Γ??≤? =0,0 b p >>1 n k k X =∑ (1)()(1) jt jnt jt e e f t n e -=-21 ()1f t t =+1 1n i i X X n ==∑22 1[1()],1,1 (,)40,xy x y x y p x y ?+--<

《随机过程及其在金融领域中的应用》习题一答案

习题一 1、设人民币存款利率为5%，每年计息一次，那么大约要多少年时间才能使存款额变为原来的4倍？如果利率变为4%，又要多少年？解：设初始投入资金为Q 元，大约需要n 年，其中的利率为r 。依题意，可得：公式计算法：Q ?5%?n =Q 1?Q 【PS: Q 1为存款后的利息+本金，Q 为本金】 1) 当r=5%的时候：Q ?5%?n =4Q ?Q 所以：n =35%=60 2) 当r=4%的时候：Q ?5%?n =4Q ?Q 3) 所以：n =34%=75 答：当利率为5％的时候，大约60年可以达到4倍。利率为4％的时候，大约75年可以达到4倍。 2、如果利率为年复合利率r ，请给出一个公式，用它来估计要多少年才能使存款额变为原来的3倍。解：【推导过程】当利率为r ，则一年之后存放余额为Q+rQ=(1+r)Q 之后连本带息存款，二年之后存放余额 Q (1+r )+Q (1+r )r =Q(1+r)2 ······ 依次类推n 年后存款达到Q(1+r)n 依据上述公式和P3的(1—4)，可以得到： Q(1+r)n =3Q 且(1+r)n =e nr =>(1+r)n =3且(1+r)n =e nr 且当n 充分大时=>(1+r)n ≈e nr ，则由题意得到Q(1+r)n =3Q =>(1+r )n =3且(1+r )n ≈e nr ,近似e nr ≈3 n ≈ln3r =ln3r 3、考虑期权定价C 问题，设利率为r ，在t=0时刻，某股票价格为100元，在t =1时刻，该股票的价格为200或50，即 100(t =0)↗↘20050 (t =1) 试证明：若C ≠100?50(1+r )?13，则存在一个购买组合，使得在任何情况下都能带来正的利润现值，即套利发生。【本题默认执行价格为150】

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