一 爱因斯坦求和约定 1.1指标 变量的集合： n n y y y x x x ,...,,,...,,2121 表示为： n j y n i x j i ...,3,2,1,,...,3,2,1,== 写在字符右下角的 指标，例如xi 中的i 称为下标。写在字符右上角的指标，例如yj 中的j 称为上标；使用上标或下标的涵义是不同的。 用作下标或上标的拉丁字母或希腊字母，除非作了说明，一般取从1到n 的所有整数，其中n 称为指标的范围。 1.2求和约定 若在一项中，同一个指标字母在上标和下标中重复出现，则表示要对这个指标遍历其范围1，2，3，…n 求和。这是一个约定，称为求和约定。 例如： 3 3 33 2 32 1 31 2 3 23 2 22 1 21 1 3 13 2 12 1 11 b x A x A x A b x A x A x A b x A x A x A =++=++=++
筒写为： i j ij b x A = ｊ——哑指标 ｉ——自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同 遍历指标的范围求和的重复指标称为“哑标”或“伪标”。不求和的指标称为自由指标。 1.3 Kronecker-δ符号（克罗内克符号）和置换符号 Kronecker-δ符号定义 j i j i ij ji ≠=???==当当0 1δδ 置换符号 ijk ijk e e =定义为: ?? ? ??-==的任意二个指标任意k j,i,当021) (213,132,3的奇置换3，2，1是k j,i,当112)(123,231,3的偶置换3，2， 1是k j,i,当1ijk ijk e e i,j,k 的这些排列分别叫做循环排列、逆循环排列和非循环排列。 置换符号主要可用来展开三阶行列式： 23123133122123321123123113322133221133 323 123222 113121 1a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++==
张量概念的形成与张量分析的建立 【摘要】：张量分析在数学物理学中占据重要地位。由于广义相对论的成功,张量分析逐渐被人们所重视。更重要的是规范场论和弦理论的建立,张量分析被应用到了更加广泛的领域。而如此重要的数学分支的历史却极少被研究,这不能不说是一个很大的缺憾。在发掘、搜集、整理、分析张量数学的原始文献的基础上,运用概念分析的方法,梳理、研究、探讨了张量数学的发展史,得到了若干新的发现。首先,找到了向量的代数定义的原始文献,这是张量数学发展史研究的中间链条。如果没有向量的代数定义,这种扩张量是无法超出三维情形的。而张量是一种高维的数学量,因此向量的代数定义是通向张量概念的非常重要的概念。在关于张量数学史的研究中,这是一个被忽略的内容。其次,解读了张量概念的电磁学起源。从电磁学角度揭示了张量概念的物理学源头。而在过去,则一直把弹性力学作为张量概念起点,事实上,应用力学与张量概念的起源关系不大。论文最重要的发现是考证了第一个在现代意义上使用tensor的学者。论文系统论述了张量分析的建立过程。从非欧空间观念、高斯的内蕴思想、黎曼的n维流形、格拉斯曼的高维空间观念、凯莱的n维向量空间开始,逐一陈述了张量数学的历史。张量分析作为解决曲线坐标系中微分运算的数学方法,是从高斯的内蕴几何开始孕育的。而第一个真正提出这个问题的是黎曼,他的n维流形的构想,具体地提出了弯曲空间中二次微分形式的变换问题,这是通向张量分析的起点。随后,经过贝尔特拉米、克
里斯托夫、里奇等人的发展,这种方法终于得以建立。作为补充,简述了张量分析的应用史。包括爱因斯坦、希尔伯特的引力场方程,以及外尔、列维-齐维塔的黎曼几何学。这里的新发现是考证了“黎曼几何学”这个名词的最早出处。张量分析的产生,依赖19世纪的代数和几何的解放。正是非欧几何和抽象代数的出现,使得张量分析得以产生。而张量分析与黎曼几何的深入发展,极大地促进了现代数学的进步。这使得对张量数学史的研究具有深刻的意义。【关键词】：张量分析曲线坐标系向量的代数定义黎曼流形协变系统 【学位授予单位】：山西大学 【学位级别】：博士 【学位授予年份】：2008 【分类号】：O183.2 【目录】：中文摘要4-5Abstract5-11导论11-33一论文选题的意义11-12二关于张量数学的几个重要问题12-15三论文的基本内容15-22四国内外研究现状22-29五思路、研究方法、创新点与不足之处29-33第一章流形理论:张量概念形成的几何学进路33-60第二节弯曲空间观念的形成:黎曼流形的渊源之一34-481、非欧空间观念形成:张量数学的萌芽34-372、弯曲空间的首次探索:张量分析的几何学基础37-48第二节高维空间观念的形成:黎曼流形的渊源之二48-531、格拉斯曼
反对称张量在N维空间中的几何意义 By wxy 目录 推广的猜想、通过平面构造二阶张量 面量的基本性质 面量的模 单位面量 面量的“方向”、意义 面量的“点乘” 构造四维二阶张量 四维空间中平面间的位置关系 射影面积定理推广 四维空间中平面间的夹角位置术语 高维空间“叉乘”推广 向量间的叉乘：求法平面 标量与面量间的叉乘：求平面的法平面 叉乘与点乘的关系1 标量与标量间的叉乘：得置换张量 面量与面量间的叉乘：得标量 面量与面量间的叉乘的几何意义 叉乘与点乘的关系2 面量与奇异面量 面量之和有意义的条件 面量与向量的叉积：得到向量
推广的猜想、通过平面构造二阶张量 张量是向量的推广。在N 维空间中向量有N 个分量，而张量则有N 的阶数次方个分量。 因为张量、向量在欧氏空间中具有平移不变性，所以我们干脆只讨论已经平移到坐标原点的张量。 标量（〇阶张量）可以表示N 维空间中有“大小”、“正负”的原点； 向量（一阶张量）可以表示N 维空间中过原点的一条有方向有“大小”（长度）的直线； 由前面的例子我们希望二阶张量能代表有“大小”有“方向”的过原点的平面，但我们该怎么来具体表示呢？让我们先从我们已经熟知的表示方法开始。 已知两个在平面内的不共线（线性独立）的基底1111(,,,,...)a x y z t =、2222(,,,,...)b x y z t =，我们怎样表示这个平面？ N 维空间中最一般的平面表示方法是 P a b λμ=+。但这个式子实际上是个极其简陋原始的方程组，用起来不方便，我们平时熟知的在三维空间中表示平面的方法是表示它的法向量，即 n a b =?,但这条路在四维空间中走不通。因为四维空间中与平面完全绝对垂直的也是平面！（“绝对垂直”即在两平面中各取任意一条直线，它们都垂直，详见后面“四维空间中平面间的位置关系”。）我们希望二阶张量能表示“大小”，即a 和b 间围成的平行四边形的“面积”，我们假定面积也能正交分解，投影。考察任意一个坐标面如 xOy 平面，a 和b 间围成的平行四边形的面积在这个坐标面的投影为1221x y x y -，我们可以构造一个张量F ，使,i j i j i j F a b b a =-，即F a b a b =?-?。为了方便，我们记ab a b a b =?-?。（正反并矢积之差） 面量的基本性质 面量的模 张量F 即表示向量a 和b 所决定的平面，我们称F 为“面量”，记为“F ”。三维空间中： (,,)n x y z =，1212121212121212121212120000=00000xy xz xy yz xz yz e e x y y x x z z x z y F e e y x x y y z z y z x e e z x x z y z z y y x ??---??????????=---=-????????????-----???? ??。我们这样定义的所有面量都是反对称张量，面量的模为基向量a 和b 间平行四边形的面积，即
第一章 习题7： 若c a m b =+，则 2322(12)(2)(32)a c m b i j k i j k i j k m m m m m m =-=++--+=-+-+- 注意 0a b ?=，则 2(12)(2)2(32)0m m m -+--+= 29 m =- 132023999a i j k = + + 习题10： （1.2.17）式为： )1 23g g g = ? )2 31g g g = ? )3 12g g g = ? ()123g g g g =??()()2i j k i j =+-?+= 2 = ()12011101i j k g g i j k ?= =+- 则 ()1 12 g i j k =+- ()231011 10i j k g g i j k ?= =-++ ()2 12 g i j k = -++ ()311 100 11 i j k g g i j k ?==-+ ()312 g i j k =-+ 11112g g g =?= 222g = 332g =
()()12211j k i k g g = ++== ()( )1331 1j k i j g g =++ == ()()32231g i k i j g =++== 习题24： T =N N T =ΩΩ T ?=?=?u N N u N u T ?=?=-?u u u ΩΩΩ 习题34： :()():ij ji ij i j i j j i T a b T a b T a b ====N ab ba N :()():ij ji ij i j i j j i a b a b a b =Ω=-Ω=-Ω=-ab ba ΩΩ 习题36： ??=??a T b a S b 推出 ()0?-?= a T S b 对a ，b 为任意张量都成立，，则0-=T S ，即=T S 习题48： 设 s r s r u u ==u g g ()pq r pq p q r q p u u ?=Ω ?=Ωu g g g g Ω 1 :2?? ?- ? ?? ? u =u ∈Ωω ()()11:221122 11 22 12 i j k pq s pq j k i s ijk p q s ijk p q s jk i s jk ist ijk s ijk s t ist jk s s t s t jk ijk s j k k j s t st ts st pq s t s t u u u u u u u u δδδδδδδ??-∈Ω?=-∈Ω? ? ?? =-∈Ω ?= ∈Ω ∈ =-Ω=- -Ω= Ω-Ω =Ω=Ω =g g g g g g g g g g g g g g g q p u g
流体力学专业硕士研究生培养方案 一、培养目标 系统掌握流体力学及相关学科的基础理论和专业知识，了解所研究领域的历史、现状和发展动态，了解本学科与相关学科的交叉渗透；掌握相关的研究方法与计算技术，能够在研究中熟练地使用计算机；较为熟练的掌握一门外国语；能够阅读本专业的外文资料，初步具有独立从事与本学科有关的研究工作的能力；完成具有一定科学意义的学位论文。能在科研院所、高等院校从事相关的教学、科研或工程技术工作。 二、研究方向：见附件一 三、学习年限及时间分配 学制为2年。课程学习在2个学期内完成，学位论文时间不少于1年。 四、课程设置及学分要求：见附件二 硕士生所修课程总学分不少于26学分，其中学位课(包括公共课、专业必修课)不低于16学分。 五、文献阅读 研究生在导师的指导下，从第二学期开始查阅的文献资料应在15篇以上（其中外文文献资料应在三分之一以上），并在讨论班上报告所读内容。考核通过，获得1个必修学分。 六、开题报告 在查阅大量文献资料的基础上作选题报告，确定研究课题。学位论文选题报告应具有一定的学术意义或工程应用价值。首次选题未通过者，应在3个月内补作。硕士生选题报告应在科研所（教研室）内公开组织进行。考核通过，获得1个必修学分。 七、中期考核 研究生的学位论文工作中期考核由考核小组对研究生的论文工作进展情况、取得的阶段性成果、存在的问题、与预期目标的差距等进行检查考核。对存在的问题，要提出解决问题的措施和要求，学位论文工作中期检查安排在每年的12月上旬进行。 八、论文工作 论文工作应与课程学习交叉进行，硕士生用于科学研究和撰写论文的累计时间一般不应少于一年。导师要全面掌握硕士研究生的论文工作进度，根据实际需要对论文工作计划进行及时和必要的调整。硕士论文的具体要求按学校学位管理条例规定执行。
向量是在一个线性空间中定义的量，当这个线性空间的基变换时，向量的分量也跟着变换。而一个线性空间有一个伴随的对偶空间。 张量是一个同时定义在几个线性空间的量，这几个线性空间的基可同时变换，或者只是只变换几个，此时，张量的分量也跟着变换。我们一般见到的张量是同时定义在几个线性空间及其对偶空间里的量，在实际的符号表达中，就表现为同时有几个上指标和下指标，也即线性空间及其对偶空间。 张量其实是一种线性代数，即多重线性代数，从字面上理解，也正好是上面提到的“定义在多个线性空间的量”。 在流形中，一点的切空间正好同构于一个欧氏空间，也即，与一个欧氏空间的性质一样。而这个欧氏空间有一个伴随的对偶空间，所以可以定义张量。 要对流形上张量作微分运算，必须比较流形上相距很近两点的张量的差，这就引出了联络的概念，而联络的概念的引出，需要这两个不同的点的欧氏空间是同构的。进而发展了张量分析。 现代数学是建立在代数与拓扑基础上的，很多概念如果代数水平不行，是很难理解的。比如泛函分析、纤维从理论等。代数方面的知识，最好能掌握抽象代数的概念，进而掌握交换代数的知识。 其实，线性代数是很多现代数学概念的基础，而线性代数的核心就是空间的概念。而现在，我们国内工科学的线性代数只是讲一讲矩阵、矩阵运算、特征值、特征向量、二次形等等。线性代数的精髓概念根本涉及不到。这也就造成了很多同学理解现代数学中很多概念的困难。 现代数学的一个非常重要的方法论就是公理化的方法。这是希尔伯特在其《几何基础》中最先明确提出的，这本书当初得到了彭加莱的很高的评价。 公理化思想的威力我当初是在学习《实变函数论》这门课时深刻体会到的。武熙鸿老师的《黎曼几何初步》中，则是处处渗透着公理化的思想，读来颇有味道。 应该这样说，是低阶张量被我们找到了可以比拟的物理意义，但张量本身并不需要具有几何比拟 其实，张量是有很强的几何背景的，不管是低阶的，还是高阶的。这主要是因为现代张量的定义是建立在线性空间概念的基础上的。而线性空间正是从一、二、三维空间中抽现出来的。只要把握住“多个线性空间及其对偶空间”这个关键就行了。 而物理学家对于张量的定义是从坐标变换的角度定义的，这正是当初Ricci定义的方式。这种定义在现代数学中推广起来比较困难。所以把它定义成了多重线性映射。 我的朋友有的是搞弹性理论和流体的，但他们对张量的理解也很混乱，所以有时也向他们解释这个东西。但好像解释来解释去，他们还是不太明白。可能与他们是搞计算的有关，对这些纯理论的东东没有一个很系统的学习与理解，而且理解那么深也没用。不过，他们搞得计算的东东倒是一门很深的东东，我理解起来挺困难的。有时与他们神侃，很是佩服他们的计算机水平，不只对数值计算有极深的造诣，对一个程序如何编译成汇编代码，如何在CPU 中执行，操作系统如何对内存处理，那些程序又如何在内存中调度，反正听得多了，我也能
晶体物理性能 南京大学物理系
由于近代科学技术的发展，单晶体人工培养技术的成熟，单晶体的各方面物理性能（如力、声、热、电、磁、光）以及它们之间相互作用的物理效应，在各尖端科学技术领域里，都得到了某些应用．特别是石英一类压电晶体作为换能器、稳定频率的晶体谐振器、晶体滤波器等在电子技术中，比较早地在工业规模上进行大批生产和广泛应用．激光问世的四十多年来，单晶体在激光的调制、调Q、锁模、倍频、参量转换等光电技术应用中，已成单晶体应用中极为活跃的领域． 《晶体物理性能》是我系晶体物理专业的专业课程之一，目的就是希望对晶体特别是光电技术中使用的晶体（包括基质晶体与非线性光学晶体）的有关物理性能及其应用方面的基本知识，有一个了解．对今后从事光电晶体的生长、检测和应用的工作，在分析问题、解决问题方面有所帮助，同时要在今后工作中不断从实践和理论两个方面扩大知识领域，有一个基础．考虑到本专业属于晶体材料性质的专业特点，本课程不仅对晶体物理性能的各个方面作深入全面的介绍，也将侧重于激光晶体有关的一些性能及其应用． 鉴于以上考虑，《晶体物理性能》讲义将以离子晶体为主要对象，以光电技术上应用为线索组织内容，共分为八章．着重于从宏观角度结合微观机制介绍晶体基本物理性能以及各种交互作用过程的物理效应和它们在光电技术中的某些应用，包括弹性与弹性波（第二章），晶体光学中的各向异性（第五章），压电与铁电现象（第四章），电光效应（第七章），光学参量过程（第六章），声光效应（第八章）．由于晶体物理性能的各向异性的特点和晶体对称性有密切关系，通常正确、方便地描述这些物理性能必须使用张量来表示．因此，在第一章，我们介绍了关于张量分析基础知识方面的内容． 由于水平有限，实践经验缺乏，时间仓促，因而内容安排不妥、取舍不当、错误之处一定很多，希望同学们提出宝贵意见，批评指正．
简单的说：张量概念是矢量概念和矩阵概念的推广，标量是零阶张量，矢量是一阶张量，矩阵（方阵）是二阶张量，而三阶张量则好比立体矩阵，更高阶的张量用图形无法表达。 向量是在一个线性空间中定义的量，当这个线性空间的基变换时，向量的分量也跟着变换。而一个线性空间有一个伴随的对偶空间。 张量是一个同时定义在几个线性空间的量，这几个线性空间的基可同时变换，或者只是只变换几个，此时，张量的分量也跟着变换。我们一般见到的张量是同时定义在几个线性空间及其对偶空间里的量，在实际的符号表达中，就表现为同时有几个上指标和下指标，也即线性空间及其对偶空间。 张量其实是一种线性代数，即多重线性代数，从字面上理解，也正好是上面提到的“定义在多个线性空间的量”。 在流形中，一点的切空间正好同构于一个欧氏空间，也即，与一个欧氏空间的性质一样。而这个欧氏空间有一个伴随的对偶空间，所以可以定义张量。 要对流形上张量作微分运算，必须比较流形上相距很近两点的张量的差，这就引出了联络的概念，而联络的概念的引出，需要这两个不同的点的欧氏空间是同构的。进而发展了张量分析。 现代数学是建立在代数与拓扑基础上的，很多概念如果代数水平不行，是很难理解的。比如泛函分析、纤维从理论等。代数方面的知识，最好能掌握抽象代数的概念，进而掌握交换代数的知识。 其实，线性代数是很多现代数学概念的基础，而线性代数的核心就是空间的概念。而现在，我们国内工科学的线性代数只是讲一讲矩阵、矩阵运算、特征值、特征向量、二次形等等。线性代数的精髓概念根本涉及不到。这也就造成了很多同学理解现代数学中很多概念的困难。 现代数学的一个非常重要的方法论就是公理化的方法。这是希尔伯特在其《几何基础》中最先明确提出的，这本书当初得到了彭加莱的很高的评价。 公理化思想的威力我当初是在学习《实变函数论》这门课时深刻体会到的。武熙鸿老师的《黎曼几何初步》中，则是处处渗透着公理化的思想，读来颇有味道。 应该这样说，是低阶张量被我们找到了可以比拟的物理意义，但张量本身并不需要具有几何比拟 其实，张量是有很强的几何背景的，不管是低阶的，还是高阶的。这主要是因为现代张量的定义是建立在线性空间概念的基础上的。而线性空间正是从一、二、三维空间中抽现出来的。只要把握住“多个线性空间及其对偶空间”这个关键就行了。 而物理学家对于张量的定义是从坐标变换的角度定义的，这正是当初Ricci定义的方式。这种定义在现代数学中推广起来比较困难。所以把它定义成了多重线性映射。 我的朋友有的是搞弹性理论和流体的，但他们对张量的理解也很混乱，所以有时也向他们解释这个东西。但好像解释来解释去，他们还是不太明白。可能与他们是搞计算的有关，对这些纯理论的东东没有一个很系统的学习与理解，而且理解那么深也没用。不过，他们搞得计算的东东倒是一门很深的东东，我理解起来挺困难的。有时与他们神侃，很是佩服他们的计
附录1 各向同性张量分量的构成 通常有两种求各向同性张量分量表达式的方法。一是利用某些特殊的坐标变换，根据各向同性张量定义直接求出分量表达式；二是利用线性张量函数和各向同性张量函数的Chauchy 表示定理求分量表达式。前者较为直观，阶数升高时比较麻烦，后者较为抽象，但适用于任意阶张量。 附1.1 用特殊坐标变换求各向同性张量分量表达式 根据定义，各向同性张量为在任意直角坐标系下分量值不变的非零张量，如 ij ij ijk ijk A A A A ''==l l ? 一阶张量 一阶张量满足 i ij j i i i a a a a a '==++112233ββββ 考虑附图1特殊坐标变换 根据各向同性张量定义和变换II （附图1b ） ()()()a =a a a a a =a a a =a a =a a a a '==+='==+'==+=11 1222222 2333333 31111111βββ（1.1a ） a =a a =123? （1.1b ） 根据变换I （附图1a ） ()a =a a a a a '==-=-=11 11111110β? a =a a ==1230?
这表明 ★ 不存在一阶各向同性张量 从（1.1）式的推导过程可归纳下面的轮换定理： 将各向同性张量分量指标作置换 1223 31,,???所得的分量值不变。 例如 A =A =A A =A A A =A =A =112233122331213213 ? 二阶张量 根据变换I （附图1a ） ()2 A =A =A A A '=-=1111 11111111111ββ ()()()()A =A =A A A A A =A =A A A A '=-+=-='=+-=-=1212 1122121212122121 221121122121110110 ββββ?? 再由轮换定理 A =A =A =A =A A A =A =A ===1122331223312132130 λ 所以有 ij ij A =λδ 这是二阶各向同性张量分量的一般形式。 ? 三阶张量 根据变换I （附图1a ） ()A =A =A A A A '=-=-=3 111111 11111111111111111110βββ? 不难得知，指标中有两个2，一个1或两个3，一个1或三个指标均不同的分量也有同样结果 A A =A A A =A A =A =A A =A =A ======1333133311222122211232313121322133210 再由轮换定理
简单的说:张量概念是矢量概念和矩阵概念的推广,标量是零阶张量,矢量是一阶张量，矩阵(方阵）是二阶张量，而三阶张量则好比立体矩阵，更高阶的张量用图形无法表达。 向量是在一个线性空间中定义的量，当这个线性空间的基变换时，向量的分量也跟着变换。而一个线性空间有一个伴随的对偶空间。 张量是一个同时定义在几个线性空间的量,这几个线性空间的基可同时变换,或者只是只变 换几个,此时,张量的分量也跟着变换。我们一般见到的张量是同时定义在几个线性空间及其对偶空间里的量，在实际的符号表达中，就表现为同时有几个上指标和下指标,也即线性空间及其对偶空间。 张量其实是一种线性代数，即多重线性代数，从字面上理解，也正好是上面提到的“定义在多个线性空间的量”。 在流形中,一点的切空间正好同构于一个欧氏空间，也即，与一个欧氏空间的性质一样。而这个欧氏空间有一个伴随的对偶空间,所以可以定义张量。 要对流形上张量作微分运算,必须比较流形上相距很近两点的张量的差,这就引出了联络的 概念，而联络的概念的引出,需要这两个不同的点的欧氏空间是同构的。进而发展了张量分析。 现代数学是建立在代数与拓扑基础上的,很多概念如果代数水平不行,是很难理解的。比如泛函分析、纤维从理论等。代数方面的知识,最好能掌握抽象代数的概念，进而掌握交换代数的知识。 其实,线性代数是很多现代数学概念的基础，而线性代数的核心就是空间的概念。而现在,我们国内工科学的线性代数只是讲一讲矩阵、矩阵运算、特征值、特征向量、二次形等等.线性代数的精髓概念根本涉及不到。这也就造成了很多同学理解现代数学中很多概念的困难。 现代数学的一个非常重要的方法论就是公理化的方法。这是希尔伯特在其《几何基础》中最先明确提出的，这本书当初得到了彭加莱的很高的评价. 公理化思想的威力我当初是在学习《实变函数论》这门课时深刻体会到的。武熙鸿老师的《黎曼几何初步》中，则是处处渗透着公理化的思想，读来颇有味道。 应该这样说,是低阶张量被我们找到了可以比拟的物理意义,但张量本身并不需要具有几何 比拟 其实,张量是有很强的几何背景的,不管是低阶的，还是高阶的。这主要是因为现代张量的定义是建立在线性空间概念的基础上的。而线性空间正是从一、二、三维空间中抽现出来的。只要把握住“多个线性空间及其对偶空间”这个关键就行了. 而物理学家对于张量的定义是从坐标变换的角度定义的,这正是当初Ricci定义的方式。这种定义在现代数学中推广起来比较困难。所以把它定义成了多重线性映射. 我的朋友有的是搞弹性理论和流体的，但他们对张量的理解也很混乱，所以有时也向他们解释这个东西。但好像解释来解释去，他们还是不太明白。可能与他们是搞计算的有关,对这些纯理论的东东没有一个很系统的学习与理解,而且理解那么深也没用。不过,他们搞得计算的东东倒是一门很深的东东，我理解起来挺困难的。有时与他们神侃,很是佩服他们的计算
第2章 张量分析 §2.1矢量空间、基、基矢 1．线性矢量空间 设有n 个矢量,1,2, ,i i n =a ，它们构成一个集合R ，其中每个矢量i a 称为R 的一个 元素。如()i j i j +≠a a 唯一地确定R 的另一个元素，及i k a （k 为标量）也给定R 内唯一确定的元素，则称R 为线性（矢量）空间。R 中的零元素记为O ，且具有i ?=O a O . 2．空间的维数 设i α为m 个标量，若能选取i α，使得 1 0m i i i =α=∑a 且i α不合为零，则称此m 个矢量线性相关，否则，称为线性无关。 例1 位于同一平面内的两个矢量1a 和2a （如图）是线性无关的，即 11220α+α≠a a 若1α和2α为任意值，且不全为零。 例2 位于同一平面内的三个矢量1a ，2a ，3a 是线性相关的，则恒可找到1α,2α,3α（不全为零）使 1122330α+α+α=a a a 如图： 21133''=α+αa a a 集合R 内线性无关元素的最大个数称为集合或空间的维数。设R 的维数为n ，则记为 n R ，欧氏空间为3R 。 3．空间的基和基元素 n R 中任意n 个线性无关元素的全体称为n R 的一个基。基的每个元素称为基元素，由 于n R 的n 确良基元素是线性无关的。于是n R 内任一个元素r 可表示成基元素的线性组合。设(1,2, ,)i i n =a 为n R 的任选的基，则有： 1 0n i i i ='α≠∑a ，i α'为任意的不全为零的标量 但总可选取00≠α及i α不全等于零，使得 01 0n i i i =α=α=∑r a 或者 2a 1a 2
张量 张量是用来描述矢量、标量和其他张量之间线性 关系的几何对象。这种关系最基本的例子就是点积、 叉积和线性映射。矢量和标量本身也是张量。张量可 以用多维数值阵列来表示。张量的阶（也称度或秩） 表示阵列的维度，也表示标记阵列元素的指标值。例 如，线性映射可以用二位阵列--矩阵来表示，因此该 阵列是一个二阶张量。矢量可以通过一维阵列表示， 所以其是一阶张量。标量是单一数值，它是0阶张量。 张量可以描述几何向量集合之间的对应关系。例 如，柯西应力张量T 以v 方向为起点，在垂直于v 终点方向产生应力张量T(v)，因此，张量表示了这两个 向量之间的关系，如右图所示。 因为张量表示了矢量之间的关系，所以张量必 须避免坐标系出现特殊情况这一问题。取一组坐标 系的基向量或者是参考系，这种情况下的张量就可 以用一系列有序的多维阵列来表示。张量的坐标以 “协变”（变化规律）的形式独立，“协变”把一种 坐标下的阵列和另一种坐标下的阵列联系起来。这 种变化规律演化成为几何或物理中的张量概念，其 精确形式决定了张量的类型或者是值。 张量在物理学中十分重要，因为在弹性力学、流体力学、广义相对论等领域中，张量提供了一种简洁的数学模型来建立或是解决物理问题。张量的概念首先由列维-奇维塔和格莱格里奥-库尔巴斯特罗提出，他们延续了黎曼、布鲁诺、克里斯托费尔等人关于绝对微分学的部分工作。张量的概念使得黎曼曲率张量形式的流形微分几何出现了替换形式。 历史 现今张量分析的概念源于卡尔?弗里德里希?高斯在微分几何的工作，概念的 制定更受到19世纪中叶代数形式和不变量理论的发展[2]。“tensor ”这个单词在 1846年被威廉·罗恩·哈密顿[3]提及，这并不等同于今天我们所说的张量的意思。 [注1]当代的用法是在1898年沃尔德马尔·福格特提出的[4]。 “张量计算”这一概念由格雷戈里奥·里奇·库尔巴斯特罗在1890年《绝对微分几何》中发展而来，最初由里奇在1892年提出[5]。随着里奇和列维-奇维塔1900年的经典著作《Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications 》（绝对微分学的方法及其应用）出版而为许多数学家所知[6]。 在20世纪，这个学科演变为了广为人知的张量分析，1915年左右，爱因斯坦的广义相对论理论中广泛应用了这一理论。广义相对论完全由张量语言表述。爱因斯坦曾向几何学家马塞尔·格罗斯曼学习过张量方法，并学得很艰苦。[7]1915 年到1917年之间，列维·奇维塔 在与爱因斯坦互相尊重互相学习的氛围下，对爱因斯坦的张量表述给与了一些指正。 “我很佩服你的计算方法的风采，它必将使你在数学大道上策马奔腾，然而我们却只能步履蹒跚。”阿尔伯特·爱因斯坦，意大利相对论数学家[8]。 柯西应力张量是一个二阶张量。该张量的元素在三维笛卡尔坐标系下组成如下矩 阵： 312()()()111213212223313233 T T T =e e e σσσσσσσσσσ??=???????????? 该矩阵的各列表示作用在 e 1,e 2,e 3方向正方体表面上的应力（单位面积上的力）。
柯西应力张量是一个二阶张量。该张量的元素在三维笛
，其中新的基矢量按照如下公式由旧的基矢量变换得到，
指数之间的变换规律如下： 11111111,,,,11,,,,=n n n m n n m n n m n m i i i j j j j i i i j j i i j j T R R R R T ++++???∧???--????????????（）（）这样的张量称为阶或类型为（n,m-n ）型的张量[4].这样的讨论产生了张量的一般定义。 定义：（n,m-n ）型的张量是多线性映射的分配，即： 对于基f=(e 1,...,e N ) 是如此，如果应用如下基变换 多维阵列变成“协变”规律形式 11111111,,,,11,,,,[f,]=[f ] n n n m n n m n n m n m i i i j j j j i i i j j i i j j T R R R R R T ++++??????--????????????（）（）多维阵列定义张量满足“协变”规律，这个可以追溯到里奇的早期工作。如今，这种定义在一些物理和工程书籍中仍然经常使用。 张量场 在许多实际应用当中，特别是微分几何和物理领域，通常把张量的元素考虑成为函数形式。事实上，这只是Ricci 早期的工作。在当今的数学术语里面，这样的对象称为张量场，但是它们通常仅仅指的的张量本身。 本文当中的“协变”规律的定义采用一种不同的形式，张量场的基底由基础空间的坐标所决定，而且，“协变”规律的定义通过坐标函数的偏导数来表示， ，定义如下坐标变换 多线性映射 有一种定义张量的方法是站在多维阵列的角度的，从被定义对象基独立性和几何对象的本质来看，这种定义方法并不明显。尽管这种方法也可以说明变化规律对基独立性的觉得作用，但有时还是首选张量更本质的定义。一种方法是张量定义成多线性映射。这种方法中（n,m ）类型的张量被定义成一种映射。 copies copies :, n m T V V V V R **???????????→ 式中V 表示向量空间，V *表示该向量空间对应的共轭向量空间，其中的变元是线性的。 通过把多线性映射（n,m ）型的张量T 应用到V 的基{e 1}和V *的基共轭基{ε1}中，即： 1111(,,,,)i in i in j jm j jm T T e e εε??????≡??????
电力系统分块计算的意义和策略何小庆11031009 摘要：本文阐述了电力系统分块可行性和电力系统分块意义，介绍了了两种重要的分块方法：节点撕裂法和支路切割法。通过这几种方法做了比较，最后对电力系统分块做了展望。 关键字：电力系统分块，节点撕裂法，支路切割法 Abstract：This paper presents a reliability of a section algorithm of power system and the importance of this algorithm,and introduces two vital methods of a section algorithm of power system,node tearing and branch cutting .Through comparing those methods,we can conclude the future of a section algorithm of power system. Key word： a section algorithm of power system,node tearing,branch cutting 0 前言 网络分块计算最早有Kron[1]于20世纪50年代初提出，他利用张量分析的概念发展了网络分裂算法（piecewise diakoptics），其基本思想是吧电网分解成若干规模较小的子网，对每一个子网在分割的边界处分别进行等值计算，然后再求出分割边界处的协调变量，最后求出各个子网的内部电量，得到却系统的解。 1 电力系统分块可行性分析 电力系统能够分块计算具有以下几个原因： 一，现代电力系统规模庞大，节点众多，分块处理可将大系统拆分为大量小系统，最终简化分析计算过程。 二，目前的计算工具无法满足计算速度的要求。分块处理应用于某一台计算机上，通过串行处理而有效地求解交大系统的分析结果，虽然对于缩短计算时间成效不大，但对于减少内存占用意义明显。分块处理应用于多台计算机上，通过并行处理可提供比单台计算机更快的计算速度，从而缩短计算时间。 三，电力系统本身所具有的分层分区结构特别适合分块计算的应用。就信息的传送而言，每一个地区电网只能收集到本地区系统内的信息，其中重要的信息将被传送到更高一级的调度中心。调度中心根据各地区传送来德尔信息进行加工处理，将协调信息传送给各地区电力系统的调度中心。分块计算正好可以适应这一分层调度的要求。近年来，随着计算机的发展，各种并行计算机和多处理机组成的列阵机相继出现。这样的应用背景促进了人们对并行计算的兴趣，并开展了大量的研究工作，提出了各种基于网络分块的并行计算。 根据协调变量的不同，网络分块计算主要分为两类：一类是支路切割法（branch cutting），通过切割原网络中的某些支路把原网络分解；另一类是节点撕裂法（node tearing），即将原网络的部分节点“撕裂”开，把网络分解。前者的协调变量是切割电流，后者的协调变量是分裂点点位。两种方法有各自的特点，将两种方法统一起来，就产生了统一的网络分裂算法。 2 电力系统分块意义 现代电力系统规模庞大，使进行各种分析的计算量很大，以致现有计算工具无法满足计算速度的要求。分块处理可以达到利用现有计算工具，大大缩短计算时间的要求。 对于电力系统，通常情况下，是在各电力公司的边界线对系统进行分割。分割理论的应用至少有二：第一种应用是，把分割法应用于某一台计算机上，通过串行处理而有效地求解较大系统的分析结果，这中方法的
练习题Ⅱ（金属所） 1. 用下标符号证明：C B A B C A C B A )()()(?-?=??。 2. 证明 nk nj ni mk mj mi lk lj li lmn ijk δδδδδδδδδ=∈∈ 3. 证明ijk klm =(δil δjm -δim δjl ) 4. 证明ijk ikj =-6。 5. 证明 ijk mik =-2δjm 。 6. 证明具有中心对称的晶体不具有由奇阶张量描述的物理性质，但由偶阶张量描述的物理性质也具有中心对称的特性。 7. B 为矢量，M 为二阶张量，证明： (div M )?B =div(M ?B )-{ (B ?)∶M } 8. 设在P 点的应力张量 σ如下：求法线方向为]221[的面上的正应力。 ???? ? ??----=211121112)(ij σ 9. 设在P 点的应力张量 σ如下：求该处的主应力及主方向。并验证主方向是相互正交 的。 ???? ? ??=740473037)(ij σ 10. 位移场u 在给定坐标系下的分量分别是：u 1= ax 2+bx 3，u 2=ax 1 cx 3，u 3= bx 2+cx 3； 其中a 、b 、c 皆为常数。求这个位移场的应变张量Γ。 11. 弹性体的的应变张量场如下所示，这个应变张量场合理吗？ ???? ??????++--=3222 2111 216112226226)(x x x x x x x ij ε 12. 在立方晶体中承受一均匀应力场，以]101[、]211[和[111]为x 1、x 2和x 3坐标轴的应力分量只有σ13和σ23两项，求以三个晶轴作坐标系的各应力分量σ’ij 。
第一章 张量的概念 § 1.1 引言 什么是张量？这是读者在开始学习本课程时会提出的问题，现从读者已有的力学知识出发，举例对这个问题作一些初步的阐述，使读者对张量这个新的概念，有个初步的理解。 有三维空间，一个矢量（例如力矢量、速度矢量等）在某些参考坐标系中，有三个分量，这三个分量的集合，规定了这个矢量。当坐标变化换时 ，这些分量按一定的变换法则变换。 在力学中还有一些更复杂的量。例如受力物体内一点的应力状态，有9个应力分量，如以直角坐标表示，用矩阵形式列出，则有 ()???? ? ??σσσσσσσσσ=σzz zy zx yz yy yx xz xy xx ij 这9个分量的集合，规定了一点的应力状态，称为应力张量。当坐标变换时， 应力张量的分量按一定的变换法则变换，再如，一点的应力状态，具有和应力张量相似的性质，称为应变张量。 把上述的力矢量、速度矢量、应力张量、应变张量等量的性质抽象化，撇开它们所表示的量的物理性质，抽出其数学上的共性，便得出抽象的张量概念。所谓张量是一个物理量或几何量，它由在某参考坐标系中一定数目的分量的集合所规定，当坐标变换时，这些分量按一定的变换法则变换。张量有不同的“阶”和“结构”，这由它们所遵循的不同的变换法则来区分。矢量是一阶张量；应力张量、应变张量是二阶张量；还有三阶、四阶、......等高阶张量。可以看出，张量是矢量概念的推广。关于张量的严密的解析定义，将在 § 1.8中讨论。 由张量的特性可以看出，它是一种不依赖于特定坐标系的表达物理定律的方式。采用张量记法表示的方程，在某一坐标系中成立，则在容许变换的其它坐标系中也成立，即张量方程具有不变性。这使它特别适合于表达物理定律，因为物理定律与人们为了描述它所采用的坐标系无关。因此，张量分析为人们提供了推导基本方程的有力工具。此外，张量记法简洁，是一种非常精炼的数学语言。 张量这个名词是沃伊特（V oigt ）首先提出的，用来表示晶体的应力（张力）状态，可见张量分析与弹性力学关系的密切。张量分析在力学领域中有广泛的应用，是力学工作者的重要数学工具。 § 1.2 符号与求和约定 一、指标 在张量分析中广泛运用指标。几个变量的集合 n 21x ,...,x ,x 可表示为
实用类文本阅读 一、阅读下面的文字，完成1--3小题。 不平凡的求学生涯 1931年9月，清华大学招入了一批新学生，其中有一个瘦小的戴眼镜的无锡人。这位新生作文和历史拿了满分，理科却几乎是零分，他就是后来成为中国近代力学之父的钱伟长。清华当年招生的作文题目是《梦游清华园》，钱伟长写了一篇四百五十字的赋，出题目的老师想改改不了，只能给了满分。历史考题更奇怪，要求写出二十四史的作者、注者和卷数，许多考生望“题”兴叹，而钱伟长却答得分毫不差。钱伟长的文科好，一点也不奇怪。他的父亲和祖父都是教书先生，四叔是著名的文科学者钱穆。他中学的文史老师，则是语文学家吕叔湘。钱伟长自小看古书长大，十岁的时候就可以把《三国演义》倒背如流。可是，19岁的钱伟长在数理上一塌糊涂，物理只考了5分，数学、化学共考了20分，英文因没学过是0分。 但正是这样一个在文史上极具天赋、数理上极度“瘸腿”的学生，却在一夜之间做出了一个大胆的决定——弃文从理。这个决定缘于1931年9月18日，日本发动了震惊中外的“九·一八事变”。听到了这个消息后，钱伟长拍案而起，他说：我不读历史系了，我要学造飞机大炮。他决定转学物理以振兴中国的军力。于是钱伟长几次跑去找物理系主任吴有训，吴先生被这位青年的爱国热情打动了，答应他试读一年。为了能尽早赶上课程，钱伟长来往于宿舍、教室和图书馆之间，早起晚归，极度用功。他克服了用英语听课和阅读的困难，一年后数理课程超过了70分，四年后，成了一名出类拔萃的优秀生。正如他后来常说的：“我从来不相信有什么‘天才’，而只是相信人的才能是用艰苦的劳动培植出来的。奋发才有为，勤学才有识。” 1940年1月钱伟长考取中英庚款会的公费留学生，赴加拿大多伦多大学学习。钱伟长与自己的导师辛吉教授第一次面谈时，发现两人都在研究板壳理论，于是师生俩开始共同啃这块硬骨头。的确，板壳内禀理论是一大难题，但是很有实用价值。在航空航海工程、武器装备、仪器仪表和各项工程设施中，到处可见到平板和壳体。多年来对于各种各样的板壳，各学派学者用不同的方程式来描述，钱伟长认为它们应该有内在的联系，有必要加以统一。于是他开始废寝忘食地寻求这种联系。经过半年多努力，用掉了几尺厚的草稿纸，他终于以严谨简约的张量分析为基本工具，建立了板壳的基本理论，对原有的各种论述进行分类，提炼出本质的核心内容，找到了一组统一的方程式。 与此同时，辛吉教授通过另一途径得到了类似的结果。1941年，他们合写成了一再为人们称道、引用的著名论文《弹性板壳的内禀理论》。这篇论文发表于世界导弹之父冯·卡门的60岁祝寿文集。该文集的作者多数是当时世界上第一流的科学家，28岁的钱伟长，是文集作者中最年轻的学者、唯一的中国人。爱因斯坦看后也由衷感叹，这位中国青年解决了困扰我多年的问题。此文奠定了钱伟长在美国科学界的地位。 1942年取得博士学位后，经过辛吉教授特地推荐，钱伟长到了冯·卡门所在的美国加州理工学院做博士后研究。由于反法西斯战争的需要，美国当时正在加紧研究火箭、导弹，精确地计算火箭导弹的弹道成了当务之急。钱伟长担起了这个重任，他经常到喷气推进研究所在地墨西哥州的白沙基地参加火箭试验，对各种型号的导弹的弹道及空气动力学性能进行了细致的分析，写出了许多保密的内部报告，并提出了有关火箭、导弹落点的理论。在第二次世界大战中，伦敦遭到德国导弹的袭击，英国首相邱吉尔很着急，向美国求援，问题转达到冯·卡门那里，钱伟长提出了一个对运行的导弹加以干扰迫使其射程减小的方案，立即得到采纳。因此战争中尽管伦敦东码头区遭到德国导弹破坏，市中心却安然无恙。邱吉尔在回忆录中提起此事，说美国青年人很厉害，但实际上应该说：中国青年人很厉害! （摘编自戴世强《钱伟长小传》） 1．下列对传记有关内容的分析和概括，最恰当的两项是（5分） A．钱伟长在清华大学入学考试中，文史成绩优异，作文和历史都拿了满分，是因为钱伟长受到良好的家庭环境的熏陶和影响，自小是看古书长大的。 B．钱伟长基于爱国的崇高理想，弃文从理，转系后读书极为用功，最终成为一名优秀的理科毕业生，这充分说明了奋发才能有为、勤学才能有识的道理。 C．多年来各学派学者对平板和壳体进行了广泛研究，但没有找到内在联系，钱伟长在前人研究的基础上建立起板壳的基本理论，与导师辛吉的研究结果相似。 D．由于反法西斯战争的需要，钱伟长在美国加州理工学院时主要从事有关火箭、导弹的研究，他提出的方案曾帮助伦敦在二战中免遭德国导弹的破坏。 E．本文用形象生动的语言，记叙了钱伟长青年时期刻苦求学的过程，展现了一代科学大师的成长历程，塑造了一个成就卓著、令人尊敬的科学家的形象。 2．本文反映了钱伟长哪些优秀的品格?请简要概括。（6分） 3．文史上极具天赋的钱伟长上大学时却弃文从理，最终在科学领域还取得了杰出的成就；而人们平时却常说扬长避短更容易取得成功。对此，你有何看法?请结合选文探究。（8分）二、阅读下面的文字，完成4--6小题 寂静钱钟书 周劼人 12月19日，寂寥的寒夜，清华园日晷旁，烛光隐隐。小提琴哀婉的曲调飘散在清冷的夜空，人们伫立无语，鞠躬，献上白菊。 偶有路人好奇：“这是在祭奠谁？” 有人低声答语：“今天是钱钟书先生辞世10周年。” 10年前，钱钟书先生安详离世。遵钱先生遗嘱，“一切从简”，连在八宝山的告别仪式也只有短短的20分钟。“如此寂静。”钱先生的一位生前好友说。那日，清华的南北主干道上飘起了一千只纸鹤，学生们用这种方式，静静地送别他们的老学长。 他的人生，本不寂静。 无论是人们熟稔的《围城》，还是近乎天书的《管锥编》，都惊讶了世人，折服了学界。《管锥编》单是书证就数万条，引述涉及四千位作家上万种著作。世人惊叹“大师风华绝代，天才卓尔不群”。 然而他却又静静地坐在书斋里，照例埋头读他的书，做他的学问。图书馆内很多冷僻线装书的借书单上，只有他一人的名字。即使是身处困境，他也只是默默地埋头书本。“文革”时他被送去干校劳动改造，能看的只有寥寥几本书，但只要抱起书本来，就能兴致盎然。第一批“大赦”回京的名单中，没有钱钟书，也没有杨绛。他们夫妻二人平静地走回窝棚，杨先生说：“给咱们这样一个棚，咱们就住下，行吗？”钱先生歪着脑袋认真的想了一下，说：“没有书。” “文革”后，对钱钟书先生的称颂日渐声高，然而钱家的书斋内一如既往地平静。他谢绝了一切记者和学者的拜访，有人将此误读为“清高孤傲，自以为是”。 他人的不解，钱先生并未在意过。杨绛先生说：“他从不侧身大师之列……他只想安安心心做学问。” “钱先生做学问是‘心在焉’,”清华大学一位老师说：“而我们今天这个社会上，今天这个校园里，有多少人则是‘心不在焉’。” 清华大学一位博士生说，他多次读《围城》，读第三遍时忽然明白，“围城不是别人给的，