矩阵在实际中的应用班级：小组成员：指导老师：
目录
摘要 (3)
问题提出 (4)
实际应用举例 (4)
论文总结 (10)
参考文献 (102)
【摘要】我们可以说是息息相关。随着科学技术的发展，数学也越来越贴近我们的生活，在学习高等代数的也不能忘记将数学知识应用于生活。在学习数学知识的同时，我本篇论文中，过程中，我们发现代数在生活和实践中都有不可缺少的的位置。文献管理方面的应用进们就对代数中的矩阵在人口流动，电阻电路，加密解密，行了探究。
【关键词】高等代数，矩阵，实际，应用
Abstract】【and is more of science mathematics and technology, With the development
more close to our life. While we are learning mathematics knowledge，we cannot forget the application of mathematical knowledge in life. In learning the advanced algebra course, we found the algebra in the life and practices have an indispensable position. In this thesis, we do research on the matrix about the population flow, resistance and circuit, encryption and decryption and document management 。
【Key words】
Advanced Algebra, matrix, practical, application
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【问题提出】
接触高等代数一个学期以来，并未感觉其与实际生活有多大联系。但我们从李思泽老师讲的《高等代数在信息安全中的应用》一课中了解到，其实高等代数与我们的生活密切相关，可以为我们解决实际中的许多问题。我们小组成员积极搜集资料，认真翻阅课件，发现了高等代数与实际问题的诸多联系，而矩阵在高等代数中又占据着极其重要的地位。近几年来，随着互联网和计算机技术的迅速发展，科学计算在实践中的基础地位日益突出，用矩阵方法解决实际问题已渗透到众多
领域。现在我们小组成员仅凭我们浅显的知识对现实中的几个问题进行分析解决。【实际应用举例】
一、人口流动问题（矩阵高次幂的应用）
设某中小城市及郊区乡镇共有30万人从事农、工、商工作，假定这个总人数在若干年内保持不变，而社会调查表明：
（1）在这30万就业人员中，目前约有15万人从事农业，9万人从事工业，6万人经商；
（2）在务农人员中，每年约有20%改为务工，10%改为经商；
（3）在务工人员中，每年约有20%改为务农，10%改为经商；
（4）在经商人员中，每年约有10%改为务农，10%改为务工。
现欲预测一、二年后从事各业人员的人数，以及经过多年之后，从事各业人员总数之发展趋势。
现做如下解答：
T表示第i年后从事这三种职业的人员总数，,yz)则若用三维向量解(x ii,iTTTT并考察在n)，(x,y,z)),y已知(x,z,y=(15,9,6)。而欲求(x,z→∞212112000T的发展趋势。,y,z)(x 时nnn依题意，一年后，从事农、工、商的人员总数应为
X=0.7x+0.2y+0.1z0
0104
+0.1z=0.2xY+0.7y0010 Z=0.1x+0.1y+0.8z 0100即
xxX0.7 0.2 0.1 0 1 0
y = A Y0.2 0.7 0.1 y= 0 1 0
zZ0.1 0.1 0.8 z0 0 1
TT代入上式，即得) =(15,9,6) 以(x,y,z000X12.9 1 Y= 9.9 1
Z7.2
1
即一年后从事各业人员的人数分别为12.9万、9.9万、7.2万人。
以及
Xxx11.73
0 1 2
2
Y= A y= A y= 10.23 0 1 2
Zzz8.04
0 2 1
即两年后从事各业人员的人数分别为11.73万、10.23万、8.04万人。进而推得
xx x0 n-1 n
n y= Ay=A y 0 n n-1
zzz0
n n-1
n决定。年之后从事各业人员的人数完全由A 即n
在这个问题的求解过程中，我们应用到矩阵的乘法、转置等，将一个实际问题数学化，进而解决了实际生活中的人口流动问题。这个问题看似复杂，但通过对矩阵的正确应用，我们成功的将其解决。不得不说，矩阵是我们解决实际问题的重要工具。
二、电阻电路的计算
如图所示的电路中，已知R=2Ω，R=4Ω，R=12Ω，R=4Ω，R=12Ω，R=4Ω，642153R=2Ω，设电压源u=10V，求i,u,u.
7374s
现求解如下：
5
，由物理学定律，任何回路中诸i,i和解设各个网孔的回路电流分别为i cba0. 元件上电压之和等于据图可列出各回路的电压方程为
=u-R (R+R+R)ii s3b1a23=0 i
-R+(R+R+R)i-Ri cab35435=0 )i+Ri+(R+R -R cb6557可写成矩阵形式为：1 +R 0 i -R+R R a 1233+R+R-R R i =
0 u-R s5 3b 35 4 0 -R R+R+Ri0 c 6557
把参数代入，列方程如下：
18 -12 0 i1 a
-12 28 -12 i= 0 u sb
0 -12 18 i 0 c
AI=bu简写成s T I。已知u=10，解矩阵方程得其中=( i,i,i)
sbac 1 0 0 0.9259
U= 0 1 0 0.5556 这就是问题的解
0 0 1 0.3704
意味着
i 0.9259 a I= i = 0.5556 b
i 0.3704 c
任何稳态电路问题都可以用线性代数方程描述。直流电路构成的是实系数方程，
它的解为实数；而交流电路构成的是复系数方程，它的解为负数。所以用矩阵方
程和计算机软件就显得更为重要。由此题我们看出矩阵在表示数方面有简洁直观、
表现力强的特点，是理论与实际结合的一个很好的触点。
三、矩阵在密码学中的应用
在密码学中，原来的消息为明文，经过伪装的明文则变成了密文。有明文变成密文的过程称为加密。由密文变成明文的过程称为译密。改变明文的方法称为密码。密码在军事上和商业上是一种保密通信技术。矩阵在保密通信中发挥了重要作用。
n-1AX=X说明，X，等式R例如，如图所示，当矩阵A可逆时，对A中的所有-1-1确定的线性变换称为由A确定的线性变换的逆变AXAXA把向量变回到，换。
6
这使一些有心人想到可用可逆矩阵及其逆矩阵对需发送的秘密消息加密和译密。母个字先息要送出的消“ACCOMPLISH THE TASK.”。首把每设假我们；另外，A映射到数1,2,3，…，26.例如，数1表示，数11表示K,ZA,B,C,…用0表示句号等。于是数集表示空格，27
1,3,3,15,13,16,12,9,19,8,5,0,20,19,11,27
矩阵4×5表示消息“ACCOMPLISH THE TASK”，这个消息（按列）写成
1 13 19 8 1
M = 3 16 8 5 19
3 12 0 0 11
15 9 20 20 27
密码的发送者和接收者都知道的密码矩阵是
1 -1 -1 1
3 0 -3
4 A =
3 -2 2 -1
-1 1 2 -2
其逆矩阵（译码矩阵）是
9 1 -1 7
-15 1 -1 5 A = 1/2
-19 -1 3 -13
-21 -1 3 -15
7
加密后的消息通过通信渠道，以乘积AM的形式输出，接收者收到的矩阵
1 -1 -1 1 1 13 19 8 1
C = AM = 3 0 -3 4 13 16 8 5 19
3 -2 2 -1 3 12 0 0 11
-1 1 2 -2 15 9 20 20 27
10 -6 31 23 -2
= 54 39 137 104 78
-12 22 21 -6 -40
-22 9 -51 -43 -14
-1C来译出消息，即相继变换矩阵C的第1列，第2之后接收者通过计算乘积A 列，…的元素就会变回到原来的信息。
上述例子是矩阵乘法与逆矩阵的应用，将高等代数与密码学紧密结合起来。运用数学知识破译密码，进而运用到军事等方面。可见矩阵的作用是何其强大。
四、矩阵在文献管理中的应用
假如数据库中包括了n个文件，而搜索所用的关键词有m个，如果关键词按字母顺序排列，我们就可以把数据库表示为m×n的矩阵A。其中每个关键词占矩阵的一行，每个文件用矩阵的列表示。A的第j列的第一个元素是一个数，它表示第一个关键词出现的相对频率；第二个元素表示第二个关键词出现的相对频m 空间的列向量xR表示。如果关率；…，依次类推。用于搜索的关键词清单用键词清单中第i个关键词在搜索列中出现，则x的第i个元素就赋值1，否则就T 乘以x。0。为了进行搜索，只要把A 赋值下面我们来看一个例子:
假如，数据库包含有一下书名：B1-应用线性代数，B2-初等线性代数，B3-初等线性代数及其应用，B4-线性代数及其应用，B5-线性代数及应用，B6-矩阵代数及应用，B7-矩阵理论。而搜索的6个关键词组成的集按以下的拼音字母次序排
列；
初等，代数，矩阵，理论，线性，应用
因为这些关键词在书名中做多出现1次，所以其相对频率数不是0就是1。当第i个关键词出现在第j本书名上时，元素A（i，j）就等于1，否则就等于0。这关键词书
样我们的数据库矩阵就可用下表表示：
8
假如读者输入的关键词是“应用，线性，代数”，则数据库矩阵和搜索向量为
0 1 1 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 0 1
x= 0 A= 0 0 0 0 0 1 1 ，0 0 0 0 0 0 1 0
1 1 1 1 1 0 0 1
1 0 1 1 1 1 0 1
T，于是可得y=A搜索结果可以表示为两者的乘积：x 0 1 0 0 1 1 0 3
1 1 0 0 1 0 1 2
1 1 0 0 1 1 0 3
T x= 0 1 0 0 1 1 0 = 3 y=A 0 1 0 0 1 1 1 3
0 1 1 0 0 1 1 2
0 0 1 1 0 0 0
，说明四本书=y=y=3=yy的各个分量就表示各书与搜索向量匹配程度。因为y5314必然包含所有三个关键词。这四本书就被认为具有最高的匹配度，
B1,B3,B4,B5 因而在搜索的结果中会把这几本书排在最前面。
它不一定是在具体的几何空间内进行的变量本例把线性变换的概念进一步扩展，变换，在本例中是从“关键词”到“文献目录”的变换。现代搜索中往往包括几节省计算机的存储空但由于矩阵和向量的稀疏性，百万个文件和成千的关键词，间和搜索时间。9
【论文总结】
在我们小组成员的共同努力下，一篇小论文终于新鲜出炉。我们一起去图书馆查阅资料，明确分工，仔细观摩范文，研究参考文献。这次论文的编写不仅加深了
我们对高等代数的了解，明确了它的重要性，还使我们在分工与合作中感受到集体力量的强大和成功的喜悦感。
感谢李思泽老师一个学期以来辛勤的工作，您清晰的课件布局，严谨的工作态度，风趣的讲课方式，让我们被高等代数深深吸引。也许这篇论文显得有些浅显，用语也并不专业，但它凝聚着我们小组全体成员的心血。它不仅锻炼了我们的思维方式，开阔了我们的视野，也使得我们对学习有了更新的了解。
总之，感谢李老师的辛勤劳动，我们一定会更加努力，不仅仅是在高代的学习上，也在整个大学生活中努力做到更好，使自己成为一个能肩负祖国重任的人。
【参考文献】
《线性代数及其应用》（第二版）天津大学数学系代数教研组编著
《线性代数及其应用》中国财政经济出版社张杰邹杰涛主编
《线性代数及其应用》（第二版）华东理工大学出版社刘剑平主编
《线性代数及其应用》（第二版）高等教育出版社河北农业大学理学院《工程线性代数》电子工业出版社陈怀琛杨威主编
《高等代数》（第三版）高等教育出版社北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编
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高等数学的矩阵在实际生活中的应用 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
矩阵在实际生活中的应用 一．【摘要】 随着科学技术的发展，数学的应用越来越广泛，可以说和我们的生活息息相关。而高等数学中的线性代数，也同样有着广泛的应用。本篇论文中，我们就对线性代数中的矩阵在生产成本、人口流动、加密解密、计算机图形变换等方面的应用进行研究。 【关键词】 高等数学矩阵实际应用 二．应用举例 1.生产成本计算：在社会生产管理中经常要对生产过程中产生的很多数据进行统计、处理、分析，以此来对生产过程进行了解和监控，进而对生产进行管理和调控，保证正常平稳的生产以达到最好的经济收益。但是得到的原始数据往往纷繁复杂，这就需要用一些方法对数据进行处理，生成直接明了的结果。在计算中引入矩阵可以对数据进行大量的处理，这种方法比较简单快捷。 例1.某工厂生产三种产品A、B、C。每种产品的原料费、支付员工工资、管理费和其他费用等见表1，每季度生产每种产品的数量见表2。财务人员需要用表格形势直观地向部门经理展示以下数据：每一季度中每一类成本的数量、每一季度三类成本的总数量、四个季度每类成本的总数量。 表1.生产单位产品的成本（元）表2.每种产品各季度产量（件）
解 我们用矩阵的方法考虑这个问题。两张表格的数据都可以表示成一个矩阵。如下所示： 通过矩阵的乘法运算得到 MN 的第一行元素表示了四个季度中每个季度的原料总成本； MN 的第二行元素表示了四个季度中每个季度的支付工资总成本； MN 的第三行元素表示了四个季度中每个季度的管理及其他总成本。 MN 的第一列表示了春季生产三种产品的总成本； MN 的第二列表示了夏季生产三种产品的总成本； MN 的第三列表示了秋季生产三种产品的总成本； MN 的第四列表示了冬季生产三种产品的总成本。 对总成本进行汇总，每一类成本的年度总成本由矩阵的每一行元素相加得到，每一季度的总成本可由每一列相加得到。如下表： 表3. 总成本汇总表 ? ? ?? ? ??=200040003500250030003700480028002000250030002000N
矩阵在实际生活中的应用 华中科技大学文华学院 城市建设工程学部 环境工程1班丛
目录 摘要 (3) 实际应用举例 (4) 论文总结 (15) 参考文献 (16)
摘要：随着现代科学的发展，数学在经济中广泛而深入的应用 是当前经济学最为深刻的因素之一，马克思曾说过：“一门学科 只有成功地应用了数学时，才真正达到了完善的地步”。下面 通过具体的例子来说明矩阵在经济生活中、人口流动、电阻电路、密码学、文献管理的应用。 关键词：矩阵、人口流动、电阻电路、密码学、文献管理
一：矩阵在经济生活中的应用 1．“活用”行列式定义 定义：用符号表示的n阶行列式D指的是n!项代数和，这些项是一切可能的取自D不同行与不同列上的n个元素的乘积的符号为。由定义可以看出。n阶行列式是由n!项组成的，且每一项为来自于D中不同行不同列的n个元素乘积。 实例1：某市打算在第“十一”五年规划对三座污水处理厂进行技术改造，以达到国家标准要求。该市让中标的三个公司对每座污水处理厂技术改造费用进行报价承包，见下列表格(以1万元人民币为单位)．在这期间每个公司只能对一座污水处理厂进行技术改造，因此该市必须把三座污水处理厂指派给不同公司，为了使报价的总和最小，应指定哪个公司承包哪一座污水处理厂? 设这个问题的效率矩阵为，根据题目要求，相当于从效率矩阵中选取来自不同行不同列的三个元素“和”中的最小者!从行列式定义知道，这样的三个元素之共有31=6(项)，如下： 由上面分析可见报价数的围是从最小值54万元到最大值58万元。由
④得到最小报价总数54万元，因此，该城市 应选定④即 2．“借用”特征值和特征向量 定义：“设A是F中的一个数．如果存在V中的零向量，使得，那么A就叫做的特征值，而叫做的属于本征值A的一个特征向量。 实例2：发展与环境问题已成为21世纪各国政府关注 和重点，为了定量分析污染与工业发展水平的关系，有人提出了以下的工业增长模型：设是某地区目前的污染水平(以空气或河湖水质的某种污染指数为测量单位)，是目前 的工业发展水平(以某种工业发展指数为测量单位)．若干年后(例如5年后)的污染水平和工业发展水平分别为和 它们之间的关系为 试分析若干年后的污染水平和工业发展水平。对于这个 问题，将(1)写成矩阵形式，就是
浅谈矩阵在数学建模中的应用 【摘要】矩阵作为一种认识复杂事物的简捷工具已经被广泛应用在各个学科领域中，在数学建模中也有许多应用。本文就数学建模中使用矩阵的情况做一些举例、小结，最后给出一个典型的数学模型。 【关键词】数学建模；模型；矩阵 矩阵是最基本的数学概念之一，也是人们把握复杂的实际事物本质的一种简捷的思维工具。在数学建模中，矩阵的使用相当广泛，如数学规划、层次分析、马氏链模型、投入产出、数据拟合等都主要应用矩阵分析解决问题，就数学建模中涉及的矩阵就有量纲矩阵、L矩阵、成对比较矩阵、正互反矩阵、一致阵、邻接矩阵、素阵、状态转移矩阵、随机矩阵，还有网络计划分析法中的可达矩阵、模糊评价分析法中的评判矩阵、投入产出法中的消耗系数矩阵、产品流量矩阵，另外在数学建模中还使用了许多普通矩阵。 1.线性方程组与矩阵 自然科学和工程实践很多问题的解决都归纳为线性方程组的求解和矩阵运算。有些问题本身就是一个线性方程组，例如结构应力分析问题、电子传输网分析问题、投入产出分析问题和各种晶体管电路分析问题；另一方面有些数值计算方法也导致线性方程组求解，如数据拟合问题、非线性方程组和偏微分方程数值解问题等等。 例1：曲线拟合问题：已知一组（二维）数据，即平面上n个点（x1，y1）（i＝1，2，…，n），寻求一个函数（曲线）y＝f（x），使f（x）在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。曲线拟合问题最常用的解法——线性最小二乘法的基本思路： 数学规划是解决这类问题的有效方法。 而线性规划是数学规划中产生较早的一个分支，如今在国防科技、经济学、现代工农业、环境工程、生物学等众多学科和领域都有十分广泛的应用，典型问题有生产计划、任务分配、投料或产品的混合、运输、库存等问题。 3.微分方程模型中的矩阵 微分方程是研究函数变化过程中变化规律的有力工具，在科技、工程、经济管理、人口、交通、生态、环境等各个领域有着广泛的应用，如在研究牛顿力学、热量在介质中的传播、抛体运动、化学中液体浓度变化、人口增长预测、种群变化、交通流量控制等过程中，作为研究对象的函数，常常要和函数自身的导数一起，用一个符合其内在规律的方程，即微分方程来加以描述。矩阵较多地用在微分方程，尤其是方程组有关的理论结果的表示上。
波士顿矩阵分析在实际案例中的运用[1] 上海和达汽车零部件有限公司是由某国内上市公司与外商合的生产汽车零部件的企业。公司于1996年正式投产．配套厂海大众发、一汽大众、上海通用、东风柳汽、吉利、湖南长风武等。 和达公司的主要产品分成五类，一是挤塑和复合挤塑类(密封嵌条、车顶饰条等)；二是滚压折弯类(车门导槽、滑轨、车架管；三是普通金属焊接类(汽车仪表板横梁模块)；四是激光焊接镁合金横梁模块)；五是排档杆类(手动排档总成系列)。 和达公司产品波士顿矩阵分析 A 问题型业务(Question Marks．指高增长、低市场份额) 处在这个领域中的是一些投机性产品。这些产品可能利润率但占有的市场份额很小。公司必须慎重回答“是否继续投资．业务?”这个问题。只有那些符合企业发展长远目标、企业具优势、能够增强企业核心竞争力的业务才得到肯定的回答。 从和达公司的情况来看。滚压折弯类产品由于技术含量不高．褴低，未来市场竞争程度必然加剧。所以对于这类产品．最好就是舍弃。由于目前还能带来利润，不必迅速退出，只要目前持必要的市场份额，公司不必再增加投入。当竞争对手大举,可以舍弃。 B 明星型业务(8tsx8，指高增长、高市场份额) 这个领域中的产品处于快速增长的市场中并且占有支配地位份额。但也许不会产生正现金流量。但因为市场还在高速成业必须继续投资，以保持与市场同步增长，并击退竞争对手。 对于和达公司来说，铝横梁的真空电子束焊接系统是国内第一家。具有技术上的领先优势。因此企业应该加大对这一产品的投入．以继续保持技术上的领先地位。对于排档杆类产品．由于国内在这个领域的竞争程度还不太激烈，因此可以考虑进入。和达公司应该把这类产品作为公司
浅谈矩阵在实际生活中的应用 摘要：从数学的发展来看，它来源于生活实际，在科技日新月异的今天， 数学越来越多地被应用于我们的生活，可以说数学与生活实际息息相关。我们在学习数学知识的同时，不能忘记把数学知识应用于生活。在学习线性代数的过程中，我们发现代数在生活实践中有着不可或缺的位置。在本文中，我们对代数中的矩阵在成本计算、人口流动、加密解密、计算机图形变换等方面的应用进行了探究。 关键词：线性代数矩阵实际应用 Abstract:From the development of mathematics, we can see that it comes from our life. With the development of science and technology, the math is more and more being used in our lives, it can be said that mathematics and real life are closely related. While learning math knowledge we can not forget to apply mathematical knowledge to our life. In the process of learning linear algebra, we found that algebra has an indispensable position in life practice. In this article, we explore the application of the matrix in the costing, population mobility, encryption and decryption, computer graphics transform. Keywords: linear algebra matrix practical application
矩阵在初中数学的应用 在初中阶段解方程组是最基础的知识，对于简单的二元一次方程 组来说比较容易求出解，可是对于三元、四元的方程来说就有一定的难度了。那么如何解决这一难题呢？我们可以借助于矩阵来解决。 一次方程组也叫线性方程组，是最简单也是最重要的一类代数方 程组。一次方程组的解法早在中国古代的数学名著《九章算术》方程章中已经作了比较完整的论述。所用的方法本质上相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施行初等变换消去未知数的方法。 1、二元一次方程组的解法 消元法包括代入消元法与加减消元法 代入消元法就是从方程组中的某一个方程解出一个未知数（用含有 其他未知数的代数式表示），再将这个未知数的表达式代入这个方程组的其他方程中，在其他方程中消去这个未知数。 加减消元法就是将方程组的一些方程分别乘适当的数，使得某一个 未知数的系数相加减等于0，然后将这些方程相加减，消去这个未知数。下面我们以一般的方程为例。 （1）代入消元法 111222 (1)(2)x a b y c a x b y c +=??+=? 当10b ≠时，有方程（1）解出111 (3)c a x y b -= 此时方程组与下列方程组同解：
111222 (3)(2)c a x y b a x b y c -?=???+=? 方程（3）要代入（2）消去未知数y 112221 c a x a x b y c b -+== （4） 有方程（4）解出x ，再将x 的值代入方程（3）求出y 的值，也 可以将x 的值代入方程（2）求出y 的值 （2）加减消元法 111222 (1) (2)a x b y c a x b y c +=??+=? 将两个方程各乘适当的数，使未知数y 或x 的系数相同或互为相 反数，经相加或相减后消去未知数y 或x ，得出一元一次方程 33a x c = （3） 此时，原方程组与下列方程组中有同解： 1113 3(1)(3)a x b y c a x c +=??=? 因此，有方程（3）解出x 的值后，将x 的值代入方程（1）求出y 的值。 2、三元一次方程组的解法及四元一次方程的解法 如果利用上面的两种方法来做也是可以完成的，但就是非常的麻 烦，我们利用矩阵的知识来完成。
矩阵在自己专业中的应用及举例
摘要： I、矩阵是线性代数的基本概念，它在线性代数与数学的许多分支中都有重要的应用，许多实际问题可以用矩阵表达并用相关的理论得到解决。 II、文中介绍了矩阵的概念、基本运算、可逆矩阵、矩阵的秩等容。 III、矩阵在地理信息系统中也有许多的应用，比如文中重点体现的在计算机图形学中应用。 关键词： 矩阵可逆矩阵图形学图形变换 正文： 第一部分引言 在线性代数中，我们主要学习了关于行列式、矩阵、方程、向量等相关性比较强的容，而这些容在我们专业的其他一些学科中应用也是比较广泛的，是其它一些学科的很好的辅助学科之一。因此，能够将我们所学的东西融会贯通是一件非常有意义的事，而且对我们的学习只会有更好的促进作用。在计算机图形学中矩阵有一些最基本的应有，但是概念已经与线性代数中的有一些不同的意义。在计算机图形学中，矩阵可以是一个新的额坐标系，也可以是对一些测量点的坐标变换，例如：平移、错切等等。在后面的文章中，我通过查询一些相关的资料，对其中一些容作了比较详细的介绍，希望对以后的学习能够有一定的指导作用。在线性代数中，矩阵也占据着一定的重要地位，
与行列式、方程、向量、二次型等容有着密切的联系，在解决一些问题的思想上是相同的。尤其他们在作为处理一些实际问题的工具上的时候。 图形变换是计算机图形学领域的主要容之一，为方便用户在图形交互式处理过程中度图形进行各种观察，需要对图形实施一系列的变换，计算机图形学主要有以下几种变换：几何变换、坐标变换和观察变换等。这些变换有着不同的作用，却又紧密联系在一起。 第二部分 研究问题及成果 1. 矩阵的概念 定义：由n m ?个数排列成的m 行n 列的矩阵数表 ????? ???????ann an an n a a a n a a a ΛM ΛM M K Λ212222111211 称为一个n m ?矩阵，其中an 表示位于数表中第i 行第j 列的数，i=1,2,3，…n ，又称为矩阵的元素。A,B 元素都是实数的矩阵称为实矩阵。元素属于复数的矩阵称为复矩阵。 下面介绍几种常用的特殊矩阵。 （1）行距阵和列矩阵 仅有一行的矩阵称为行距阵（也称为行向量），如 A=(a11 a12 .... a1n), 也记为 a=(a11,a12,.....a1n). 仅有一列的矩阵称为列矩阵（也称为列向量），如
矩阵在实际生活中的应用 一．【摘要】 随着科学技术的发展，数学的应用越来越广泛，可以说和我们的生活息息相关。而高等数学中的线性代数，也同样有着广泛的应用。本篇论文中，我们就对线性代数中的矩阵在生产成本、人口流动、加密解密、计算机图形变换等方面的应用进行研究。 【关键词】 高等数学矩阵实际应用 二．应用举例 1.生产成本计算：在社会生产管理中经常要对生产过程中产生的很多数据进行统计、处理、分析，以此来对生产过程进行了解和监控，进而对生产进行管理和调控，保证正常平稳的生产以达到最好的经济收益。但是得到的原始数据往往纷繁复杂，这就需要用一些方法对数据进行处理，生成直接明了的结果。在计算中引入矩阵可以对数据进行大量的处理，这种方法比较简单快捷。 例1.某工厂生产三种产品A、B、C。每种产品的原料费、支付员工工资、管理费和其他费用等见表1，每季度生产每种产品的数量见表2。财务人员需要用表格形势直观地向部门经理展示以下数据：每一季度中每一类成本的数量、每一季度三类成本的总数量、四个季度每类成本的总数量。 表1.生产单位产品的成本（元）表2.每种产品各季度产量（件） 产品 成本 A B C 原料费用10 20 15 支付工资30 40 20
解 我们用矩阵的方法考虑这个问题。两张表格的数据都可以表示成一个矩阵。如下所示： 通过矩阵的乘法运算得到 MN 的第一行元素表示了四个季 度中每个季度的原料总成本； MN 的第二行元素表示了四个季度中每个季度的支付工资总成本； MN 的第三行元素表示了四个季度中每个季度的管理及其他总成本。 MN 的第一列表示了春季生产三种产品的总成本； MN 的第二列表示了夏季生产三种产品的总成本； MN 的第三列表示了秋季生产三种产品的总成本； MN 的第四列表示了冬季生产三种产品的总成本。 对总成本进行汇总，每一类成本的年度总成本由矩阵的每一行元素相加得到，每一季度的总成本可由每一列相加得到。如下表： 表3. 总成本汇总表 管理及其他费用 10 15 10 产品 季度 春季 夏季 秋季 冬季 A 2000 3000 2500 2000 B 2800 4800 3700 3000 C 2500 3500 4000 2000 季度 春季 夏季 秋季 冬季 全年 原料费 113500 178500 159000 110000 561000 支付工资 222000 352000 303000 220000 1097000 ????? ??=200040003500250030003700480028002000250030002000N
第27卷第4期 2005年12月 湘潭师范学院学报(自然科学版) Journal of Xiangtan Normal U niversity(N atural Science Edition) Vol.27N o.4D ec.2005 矩阵理论在其他数学学科中的应用 * 邢永丽,陈维兵,阎真真 (中国地质大学信息工程学院,北京100083) 摘 要:讨论矩阵理论在其他数学学科如最优化理论、图论等中的应用,给出若干用阵理论解题的例子,并给出与常规方法相比较的相应评价。 关键词:矩阵理论;矩阵的秩;矩阵的特征值 中图分类号:O1-1 文献标识码:A 文章编号:1671-0231(2005)04-0014-03 数学是科学之母,是众多学科的共同基础。随着计算机的飞速发展和信息时代的到来,在大多研究领域中,人们对定量研究越来越重视。可以说任何一个学科的发展都与定量分析和研究密不可分,而数学在定量研究中起着至关重要的作用。就数学本身而言,作为大学数学的老三高之一的高等代数是理工科专业特别是数学专业最重要的基础课之一。而矩阵理论是高等代数中的核心内容,矩阵理论中的许多思想和方法极大地丰富了数学的代数理论。 随着人们对科学研究的深入,矩阵理论的应用愈来愈广。它在众多学科和领域中发挥着不可替代的作用,如数学分析中多元函数的一阶近似、隐函数存在定理与矩阵理论密切相关;常微分方程中的一阶线性方程组和高阶线性方程理论的建立及其求解方法完全要建立在矩阵理论的基础上;解析几何上对于二次曲线、二次曲面的分类和研究,也必须用到矩阵理论;还有计算方法的许多理论,以及最优化理论中许多问题的提出和求解,图论上对图的定量研究都离不开了矩阵理论。总之,矩阵理论在其它数学学科和研究领域中应用的实例不胜枚举。因此我们不应该独立地学习它,应将其应用到其他的数学课程并同它们有机地结合起来,从而加深对高等代数的理解。而把矩阵理论应用到这些数学学科如最优化、图论等中时,与常规方法相比,往往会有独特的效果,使很多问题变得简单明了。就矩阵理论在最优化理论和图论中的应用举例说明。 1 最优化中的应用 最优化理论与算法是一门重要的数学分支,它所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案最优以及怎样找出最优方案。而矩阵理论在其中扮演重要角色,特别是最优化中线形规划的单纯形方法是完全基于矩阵理论的。这一节我们仅用矩阵理论来解决一个线性规划问题。1.1 设s ={x |A x \b },其中A 是m @n 矩阵(m >n),A 的秩为n, 证明:x (0)是极点的充要条件是:A 和b 可作以下分解: A = A 1A 2 , b = b 1b 2 , 其中A 1有n 行,且A 1的秩为n,b 1是n 维列向量,使得A 1x (0)=b 1,A 2x (0)\b 2。 分析:一般的最优化教材[1]上的证法基本都是把A 中的元素进行调整,将该问题转化成标准的最优 14 * 收稿日期:2005-04-06 作者简介:邢永丽(1963-),女,河北邯郸人,副教授,研究方向:计算数学。
矩阵的应用 矩阵的应用范围很广，在平时生活中，如魔方的解决，可用矩阵代换。 在经济数学中的应用，利用矩阵方法计算投入产出分析中的直接消耗系数和完全消耗系数，利用矩阵方法求矛盾线性方程组的最小二乘解，利用矩阵的方法求线性规划问题中的最优解，矩阵的初等行变换在标准化经济效果中的应用，矩阵的理论与方法在农业科研中的几个应用等等。 在计算机科学技术中，很多领域都要用到线性代数的知识。比如数字图像处理、计算机图形学、计算几何学、人工智能、网络通信、以及一般的算法设计和分析等。 在管理方面，也存在着矩阵的应用。组织管理中矩阵式组织结构，是指企业既有纵向的职能管理部门，实行专业化分工，又拥有按产品（或项目）划分的横向管理系统，由产品经理（或项目经理）将最终成果报向上级领导，以此保持企业对外部环境的灵活适应能力和内部职责的明确界定的一种组织结构形式。矩阵管理，对组织资源相关方面的一种平衡，通常是围绕产品线或者业务线的组织资源以及按职能或地区划分的组织资源二者之间的一种平衡。矩阵管理模式通过横向及纵向的管理方式，通过跨职能部门的设立，强化彼此间信息的流通，更加灵活、有效地协调各项不同业务的发展。 在质量管理中的矩阵图法，就是从多维问题的事件中，找出成对的因素，排列成矩阵图，然后根据矩阵图来分析问题，确定关键点的方法，它是一种通过多因素综合思考，探索问题的好方法。在复杂的质量问题中，往往存在许多成对的质量因素．将这些成对因素找出来，分别排列成行和列，
其交点就是其相互关联的程度，在此基础上再找出存在的问题及问题的形态，从而找到解决问题的思路。矩阵图法的用途十分广泛．常用矩阵图法解决以下问题：①把系列产品的硬件功能和软件功能相对应，并要从中找出研制新产品或改进老产品的切入点；②明确应保证的产品质量特性及其与管理机构或保证部门的关系，使质量保证体制更可靠；③明确产品的质量特性与试验测定项目、试验测定仪器之间的关系，力求强化质量评价体制或使之提高效率；④当生产工序中存在多种不良现象，且它们具有若干个共同的原因时，希望搞清这些不良现象及其产生原因的相互关系，进而把这些不良现象一举消除；⑤在进行多变量分析、研究从何处入手以及以什么方式收集数据。 矩阵分析法，数学分析的重要工具，矩阵论既是一门发展完善、理论严谨、方法独特的数学基础，又广泛应用于各个领域。在经济管理中，矩阵分析法作为一门管理决策工具，其应用范围越来越广，理论越来越完善。在实际操作中，矩阵分析法具有简单明了、易于掌握的特点。矩阵分析法在营销活动中的应用，企业将整个市场进行细分后，根据企业资源条件和竞争者状况，选择若干个子市场作为自己的目标市场，这就是目标市场选择，企业往往就是目标市场选择，企业往往根据市场和产品状况来发现和了解市场机会，进行目标市场选择。 在职工管理方面，矩阵式组织结构因为其项目的临时性，使组织员工无法明确个人发展的途径。一方面，矩阵式组织结构便于部门间协调监督、提高决策效率、灵活调配组织资源等；另一方面，其项目的临时性又不利于员工明确职业发展方向，时常令员工缺乏职业安全感。由于传统的职业
矩阵的应用 矩阵理论既是学习经典数学的基础，又是一门很有实用价值的数学理论。随着科学技术的发展，这一理论业已成为现代各科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的强有力工具，而计算机的广泛应用和MATLAB 等数学计算软件的迅猛普及为矩阵分析法提供了更为广阔的发展和应用前景。 应用一 矩阵运算的应用 1.1 矩阵加法在产品的增量问题中的应用 甲、乙两化工厂在2001年和2002年所生产的3种化工产品1A ，2A ，3A 的数量如表1（单位:万吨）所示： 表1 化工产品数量 年份 产品 工厂 2001 2002 1A 2A 3A 1A 2A 3A 甲 45 36 28 47 37 28 乙 41 32 33 42 31 35 （1）作矩阵A 和B 分别表示2001年和2002年工厂甲、乙生产各化工产品数量； （2）计算矩阵A+B 和B-A ，并说明其经济意义。 解：（1）???? ??=333241283645A ，??? ? ??=353142283747B （2）???? ??=+686383567392B A ，??? ? ??-=-211012A B 矩阵A+B 说明这两年甲、乙两厂生产的3种化工产品的数量，B-A 说明甲、乙两厂在2001年比2002年生产的3种化工产品的增量。 1.2 矩阵乘法在生产中的应用 例1．某股份公司生产四种产品，各类产品在生产过程中的生产成本以及在各季度的产量分别由表2和表3给出。 表2 产品生产成本
表3 各季度产量 季度 产品 春 夏 秋 冬 A 9000 10500 11000 8500 B 6500 6000 5500 7000 C 10500 9500 9500 10000 D 8500 9500 9000 8500 在年度股东大会上，公司准备用一个单一的表向股东们介绍所有产品在各个季度的各项生产成本，各个季度的总成本，以及全年各项的总成本。此表应如何做法？ 解：将表2和表3分别写成如下矩阵： M=???? ? ??5.07.06.03.085.09.005.18.065.07.08.05.0 N=?????? ? ? ?85009000950085001000095009500105007000550060006500850011000105009000 并计算： MN=???? ? ??180001775018150182003037530775313253070022375224002287522575 利用乘积MN 可做如下的符合题意的表4： 表4 总表 1.3.矩阵乘法在产品利润中的应用 例. 今有甲、乙两种产品销往1A ，2A 两地，已知销售量、总价值与总利润如 产品 消耗 A B C D 原材料 0.5 0.8 0.7 0.65 劳动力 0.8 1.05 0.9 0.85 经营管理 0.3 0.6 0.7 0.5
“矩阵论”课程研究报告科目：矩阵理论及其应用教师：舒永录 姓名：朱月学号：20140702057t 专业：机械工程类别：学术 上课时间：2014 年9月至2014年12 月 考生成绩： 阅卷评语： 阅卷教师(签名)
相关变量的独立变换 摘要：用矩阵的理论及方法来处理实际生活中或现代工程中的各种问题已 越来越普遍。在工程中引进矩阵理论不仅是理论的表达极为简洁，而且对理论的实质刻画也更为深刻，这一点是毋庸置疑的。本文将矩阵论的知识用于解决实用机械可靠性设计问题。 正文 一、问题描述 在建立机械系统可靠性模型时，一般总假设个元素间关于强度相互独立。但是实际中，各元素间关于应力和强度又往往是相关的，并且这种相关性有时会对系统的可靠度产生显著影响。对于一些随机变量之间不是完全相关，但也不是完全独立的情况，就要进行相关变量的独立变换。 二、方法简述 设系统的基本变量为),,(21n x x x X ，??，各变量之间相关，则随机变量x 的 n 维正态概率密度函数为[1] )1()()(21exp ||2()(1 2 12 ? ??--???-=---X X T X X n X C X C X f μμπ） 式中 ?? ? ???????????=2321232212131212 ),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(21n X n n n n X n X X x x x x x x x x x x x x x x x x x x C σσσ 称为随机变量X 的协方差矩阵。矩阵中的任意元素),cov(j i x x 是变量i x 与变 量j x 的协方差，|C X |是协方差矩阵的行列式，1 -X C 是协方差矩阵的逆矩阵，X ，X μ及 )X X μ-（是n 维列向量 ?? ? ?? ?????--=-????? ?????=?? ??? ?????=n n X n X n x x X x x μμμμμμ 1111, , X
矩阵在经济生活中的应用 班级：电子商务151 姓名：xx 学号：2015xxxxxx 总述：随着社会的不断发展，科技的不断进步，大学经济数学在各个方面的应用越来越广。而经济数学中的线性代数之矩阵，同样也同样有着广泛的应用。比如矩阵在生产成本、人口流动、加密解密等方面的应用。 一、首先，我来阐述下矩阵的基本概念。 1、由m ?n 个数a ij (i =1, 2,???,m ;j =1, 2,???,n )按一定秩序排列成的一个m 行n 列的矩形表, 称为一个m 行n 列的矩阵, 简称m ?n 记 其中，矩阵还可以分为，对角矩阵、单位矩阵、数量矩阵三角形矩阵、同型矩阵等等。 2、矩阵的乘法、矩阵转置、逆矩阵、行列式等知识的应用 二、现在来谈谈它在生活中的应用 1.生产成本计算：在社会生产管理中经常要对生产过程中产生的很多数据进行统计、处理、分析，以此来对生产过程进行了解和监控，进而对生产进行管理和调控，保证正常平稳的生产以 111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ?? ? ? ???
达到最好的经济收益。但是得到的原始数据往往纷繁复杂，这就需要用一些方法对数据进行处理，生成直接明了的结果。在计算中引入矩阵可以对数据进行大量的处理，这种方法比较简单快捷。 例1、某企业生产4种产品, 各种产品的季度产值(单位: 万元)如下表所示: 这个排成4行4列的矩形产值阵列 结论：具体描述了这家企业各种产品各季度的产值, 同时也揭示了产值的季增长率及年产量等情况。使得生产数据更加简单明了，便于数据的分析和企业未来发展规划的布局与展开。 例2、生产m 种产品需用n 种材料, 如果以a ij 表示生产第i 种产品(i =1, 2,???,m )耗用第j 种材料( j =1, 2,???,n )的定额, 则消耗定额可以用一个矩形表表示, 如下表所示 80587578987085849075909088708280?? ? ? ???
######学院 矩阵的实际应用 课程题目：线性代数 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2012年11月1 日
矩阵的实际应用 摘要：从数学的发展来看，它来源于生活实际，在科技日新月异的今天，数学越来越多地被应用于我们的生活，可以说数学与生活实际息息相关。我们在学习数学知识的同时，不能忘记把数学知识应用于生活。在学习线性代数的过程中，我们发现代数在生活实践中有着不可或缺的位置。在本文中，我们对代数中的矩阵在成本计算、人口流动、加密解密、计算机图形变换等方面的应用进行了探究。 关键词：线性代数矩阵实际应用 Abstract: From the development of mathematics, we can see that it comes from our life. With the development of science and technology, the math is more and more being used in our lives, it can be said that mathematics and real life are closely related. While learning math knowledge we can not forget to apply mathematical knowledge to our life. In the process of learning linear algebra, we found that algebra has an indispensable position in life practice. In this article, we explore the application of the matrix in the costing, population mobility, encryption and decryption, computer graphics transform. Keywords: linear algebra matrix practical application
第13课__矩阵的简单应用____ 1. 初步了解三阶或高阶矩阵． 2. 了解矩阵的简单问题. 1. 阅读：选修42第74～81页. 2. 解悟：①一级路矩阵与二级路矩阵的区别在于从一个结点到另一个结点是直达，还是间接到达． ②矩阵的平方运算可直接进行矩阵相乘，更高次方的运算可运用矩阵的特征值与特征向量计算． ③有关数列的递推关系由错误!＝M 错误!得到转移矩阵M ，因此错误!＝M n 错误!，可利用矩阵的特征值与特征向量的性质求错误!. 3. 践习：在教材空白处，完成第 81页习题第1、2题. 基础诊断 1. 设数列{a n }，{b n }满足a n ＋1＝3a n ＋2b n ，b n ＋1＝2b n ，且满足??????a n ＋2b n ＋2＝M ??????a n b n ，则二阶矩阵M ＝________． 2. 设某校午餐有A ，B 两种便当选择，经统计数据显示，今天订A 便当的人，第二天再订A 便当的概率是35；今天订B 便当的人，第二天再订B 便当的概率为4 5，已知星期一有 40%的同学订了A 便当，60%的同学订了B 便当，则星期四时订A 便当同学的概率是多少？
范例导航 考向 A n α(n ∈N *)的求法 例1 自然界生物群的成长受到多种条件因素的影响，比如出生率、死亡率、资源的可利用性与竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害等等．因此，它们和周边环境是一种既相生又相克的生存关系．但是，如果没有任何限制，种群也会泛滥成灾．现假设两个互相影响的 种群X ，Y 随时间段变化的数量分别为{a n }，{b n }，有关系式???? ?a n ＋1＝a n ＋2b n ，b n ＋1＝3a n ＋2b n ，其中a 1＝6， b 1＝4，试分析20个时段后，这两个种群的数量变化趋势． 已知矩阵M ＝??????1102，β＝???? ? ?31. (1) 求出矩阵M 的特征值和特征向量； (2) 计算M 4β，M 10β，M 100β； (3) 从第(2)小题的计算中，你发现了什么？ 考向 A n α(n ∈N *)在具体应用题中的应用 例2 某同学做了一个数字信号模拟传送器，经过10个环节，把由数字0，1构成的数字信号由发生端传到接收端．已知每一个环节会把1错转为0的概率为0.3，把0错转为1的概率为0.2，若发出的数字信号中共有10 000个1，5 000个0.问： (1) 从第1个环节转出的信号中0，1各有多少个？ (2) 最终接收端收到的信号中0，1个数各是多少？(精确到十位) (3) 该同学为了完善自己的仪器，决定在接收端前加一个修正器，把得到的1和0分别以一定的概率转换为0和1，则概率分别等于多少时，才能在理论上保证最终接收到的0和1的个数与发出的信号相同．
矩阵在实际生活中的应用
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浅谈矩阵在实际生活中的应用 摘要：从数学的发展来看，它来源于生活实际，在科技日新月异的今天， 数学越来越多地被应用于我们的生活，可以说数学与生活实际息息相关。我们在学习数学知识的同时，不能忘记把数学知识应用于生活。在学习线性代数的过程中，我们发现代数在生活实践中有着不可或缺的位置。在本文中，我们对代数中的矩阵在成本计算、人口流动、加密解密、计算机图形变换等方面的应用进行了探究。 关键词：线性代数矩阵实际应用 Abstract:From the development of mathematics, we can see that it comes from our life. With the development of science and technology, the math is more and more being used in our lives, it can be said that mathematics and real life are closely related. While learning math knowledge we can not forget to apply mathematical knowledge to our life. In the process of learning linear algebra, we found that algebra has an indispensable position in life practice. In this article, we explore the application of the matrix in the costing, population mobility, encryption and decryption, computer graphics transform. Keywords: linear algebra matrix practical application
题目：矩阵论在电气工程中的应用 指导老师：XXX _______________________________ 学生姓名：XXX _____________________________ 所属院系：电气工程学院_______________ 专业：_____________ 电气工程 ________________ 学号: XXX _______________________ 完成日期：20xx 年x月x日__________________ 矩阵论在电气工程中的应用 摘要 电路分析是电气专业领域人员必需的一项能力。该知识具有概念性强、电路分析繁杂求解计算量大的特点。为了解决这个问题，因此引入了矩阵理论，并结合软件对矩阵分析的良好支持，以期达到优化分析电路的目的。本文就矩阵理论中的网络拓扑知识展开，介绍了网络拓扑在电路中的应用，并以给予求解。关键词：电路分析矩阵法网络拓扑 ABSTRACT
Circuit an alysis is an esse ntial ability of professi onal pers onnel in the field of electronic. The concept of strong, complex circuit an alysis calculatio n with the kno wledge of the characteristics of large amount. In order to alleviate this problem, so weintroduced matrix theory, comb ined with good support an alysis software for matrix, in order to achieve the purpose of optimization of circuit analysis. In this paper, the network topology in matrix theory unfolds, introduces the application of n etwork topology in circuit, and to give the solutio n. KEY WORDScircuit analysis ； matrix method ； network topology 0前言 矩阵是线性代数里的一个重要概念，在电路网络分析、工程结构分析等方面， 矩阵都是一个强自力的工具，因为它能使较复杂的计算过程简化成一系列的四则 运算，便于用计算机的算法语言或程序进行描述和解答。 当运行这些程序时，能 迅速地得到较准确的计算结果。在电子领域基础知识电路分析中，经过理论分析 后形成线性方程组，求未知解是电路分析的一项基本技能。 而求解线性方程组使 用矩阵理论优势十分明显。 例如某电路网孔法求网孔电流ia , ib ，ic ，其中电阻供电电压为已知网孔方 程为： (R 1 R 2 RJi a Rj bQs R 3j a (R 3 R 4 RJi bR i c^ ( 1) R 5 R R 6 RJi J 0 上述方程(1),在求解过程中相对简单，但如果未知量继续增多，则利用初 等代数方法求解线性方程组就比较困难， 相当繁杂，借助矩阵理论可将方程式变 换为如下矩阵形式 R R R R 0 i a 1 R 1 R R R R i^ 0 u s 1 . 1 0 R R R R i c
选修4－2矩阵与变换 2.6矩阵的简单应用 编写人：编号：013 学习目标 1、初步了解高阶矩阵。 2、了解矩阵的简单应用。 学习过程： 一、预习： （一）阅读教材，了解下列问题： 1、一个矩阵是一张由数据(或字母)排列成的表,它能把原本纷繁复杂的事物或数学对象的数学规律简单明了地表示出来,使人一目了然。同时对矩阵施行某些运算，则可以使我们看清事物之间或对象之间蕴含的数学规律。 2、（1）网络图，（2）结点，（3）一级路矩阵，（4）一级路矩阵: 二、课堂训练： 例1．已知盒子A中装有3只大小和重量相同的小球，其中2只黑色的，1只白色的；盒子B中装有5只大小和重量相同的小球，其中3只黑色的，2只白色的。假定A,B两个盒子很难分辨，而且可以任取一个，现在要求先取一个盒子，那么从中摸到一只黑色小球的概率有多大？
例2、某运动服销售经销A,B,C,D四种品牌的运动服，其尺寸分别有S（小号）、M(中号)、L(大号)、XL(特大号)四种，一天内，该店的销售情况如下表所示（单位：件）： 品牌 A B C D 型号 S 3 2 0 1 M 5 3 4 3 L 2 4 5 5 XL 1 0 1 1 假设不同品牌的运动服的平均利润是A为20元/件，B为15元/件，C为30元/件，D为25元/件，请问：M号的运动服在这天获得的总利润是多少？ 例3、如图所示的是A，B，C三个城市间的交通情况。小月想从其中某一个城市出发直达另一个城市，她可以有几种选择?如果她想从某一个城市出发，先经过一个城市，再到达另外一个城市，她又可以有几种选择？
例4、已知一级路矩阵???? ??????002001210表示一个网络图，它的结点分别是A ，B ，C ，试画出满足条件的一个网络图民。 例5、在军事密码学中，密码发送的流程图如下所示，它的数学原理是：发送方将传送的信息数字化后用一个矩阵X 表示（不足的元素可以补上0，字与字之间的空格也可以0记），在矩阵的左边乘上一个双方约定的可逆方阵A ，得到B=AX ，则B 即为传送出去的密码。接收方收到密码后，只需左乘A 的逆矩阵A 1-，即可得到发送出去的明码B A X 1-=.不妨以二阶矩阵为例，先将英文字母数字化，让a 26,,1→→z 。现已知发送方传出的密码为7,13,39,67,双方约定的可逆矩阵为?? ?? ??5432，试破解发送的密码。