矩阵的实际应用

43 14
向量:
1 9
b1
3
,
b2
15
20
14
或者写成一个矩阵
1 9
B
3
15
20 14
第一步 “加密”
现任选一个三阶的可逆矩阵，例如
1 2 3
A
1 0
1 1
2 2
于是将要发出的信息（或矩阵）经乘以 A变成“密码”后发出
1 2 3 1 67
1 2 3 9 81
Ab1
1
3580
1670 1900 1830 1740
MP的第一行元素表示四个季度中每一季度原料的总成本 MP的第二行元素表示四个季度中每一季度工资的总成本 MP的第三行元素表示四个季度中每一季度管理的总成本
每一类成本的年度总成本由矩阵的每一行元素相加得到 每一季度的总成本可由每一列相加得到
1870 2160 2070 1960
MP
3450
3940
3810
3580
1670 1900 1830 1740
表3汇总了总成本
应用2 人口迁徙模型
设在一个大城市中的总人口是固定的。 人口的分布则因居民在市区和郊区之间 迁徙而变化。每年有6%的市区居民搬 到郊区去住，而有2%的郊区居民搬到 市区。假如开始时有30%的居民住在市 区，70%的居民住在郊区，问10年后市 区和郊区的居民人口比例是多少？30年、 50年后又如何？
Ax0
0.2960 0.7040
人口迁徙模型
从初始到k年，此关系保持不变，因此上 述算式的递推式为
xk Axk1 A2 xk2 L Ak x0 输入：A[0.94,0.02;0.06,0.98],
x0[0.3;0.7]
x1A*x0,
x10A^10*x0,
x30A^30*x0, x50A^50*x0
计算 MP 得：
0.10 M 0.30
0.30 0.40
0.15 0.25
P
4000
2000
4500 2600
4500 2400
4000
2200
0.10 0.20 0.15 5800 6200 6000 6000
1870 2160 2070 1960
MP
3450
3940
3810
1
2
3
44
,
Ab2
1
1
2
15
52
0 1 2 20 43
0 1 2 14 43
或者
1
AB
1
0
2 3 1 9 67 81
1
2
3
15
44
52
C
1 2 20 14 43 43
第二步 “解密”
67
在收到信息：
44
43
81
52
后，可予以解密（当然这里
信源 加密 信道 解密 信宿
1929年，希尔（Hill）通过矩阵理论对传输信息 进行加密处理，提出了在密码史上有重要地位的希尔 加密算法。下面我们介绍一下这种算法的基本思想。
【准备】若要发出信息 action，现需要利用矩阵 乘法给出加密方法和加密后得到的密文，并给出相应 的解密方法。
【假设】（1）假定26个英文字母与数字之间有以 下的一一对应关系：
0.10 M 0.30
0.30 0.40
0.15 0.25
4000
P
2000
4500 2600
4500 2400
4000
2200
0.10
0.20
0.15
5800 6200 6000 6000
MP 的第一列表示夏季生产三种产品的总成本 MP 的第二列表示秋季生产三种产品的总成本 MP 的第三列表示冬季生产三种产品的总成本 MP 的第四列表示春季生产三种产品的总成本
应用1 生产成本
某工厂生产三种产品. 每种产品的原料费、工资支付 、管理费等见表1. 每季度生产每种产品的数量见表2.
该公司希望在股东会议上用一个表格 直观百度文库展示出以下数据：
(1) 每一季度中每一类成本的数量； (2) 每一季度三类成本的总数量； (3) 四个季度每类成本的总数量.
解 我们用矩阵的方法考虑这个问题. 这两张表格中 的数据均可表示为一个矩阵.
得到：
0.2960
0.2717
0.2541
0.2508
x1
0.7040
,
x10
0.7283
,
x30
0.7459 ,
x50
0.7492 ,
应用3 应用矩阵编制Hill密码
密码学在经济和军事方面起着极其重要的作 用。现在密码学涉及很多高深的数学知识，这里 只做简单介绍。
密码学中将信息代码称为密码，尚未转换成 密码的文字信息称为明文，由密码表示的信息称 为密文。从明文到密文的过程称为加密，反之为 解密。
人口迁徙模型
这个问题可以用矩阵乘法来描述。把人 口变量用市区和郊区两个分量表示。 一年以后，市区人口为xc1 (10.06)
xc00.02xs0，郊区人口xs1 0.06xc0 (10.02)xs0 用矩阵乘法来描述，可写成：
x1
xc1 xs1
0.94 0.06
0.02 0.3 0.98 0.7
矩阵的实际应用
线性代数研究最多最基本的便是矩阵。矩阵是线 性代数最基本的概念，矩阵的运算是线性代数的基本 内容。矩阵就是一个数表，而这个数表可以进行变换， 以形成新的数表。如果你了解原始数表的含义，而且 你可以从中抽象出某种变化规律，你就可以用线性代 数的理论对你研究的数表进行变换，并得出你想要的 一些结论。这些结论就可以直观的、简洁的数表形式 展现在你眼前。在日常生活中，矩阵无时无刻不出现 在我们的身边，例如生产管理中的生产成本问题、人 口的流动和迁徙、密码学、图论、生态统计学、以及 在化工、医药、日常膳食等方面都经常涉及到的配方 问题、超市物品配送路径等都和矩阵息息相关。
ABCL b b bL 1 2 3L
XY Z bbb 24 25 26
（2）假设将单词中从左到右，每3个字母分为一组， 并将对应的3个整数排成3维的行向量，加密后仍为3 维的行向量，其分量仍为整数。
【加密、解密】
若要发出信息action，使用上述代码，则此信
息的编码是：1，3，20，9，15，14．可以写成两个
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可逆矩阵 A 是事先约定的，这个可逆矩阵 A 称为解密的钥匙， 或称为“密匙” ）．即用
0 1 1
A1
2
2
1
从密码中恢复明码： 1 1 1
67 0 1 1 67 1
81 9
A1
44
2
2
1
44
3
,
A1
52
15
43 1 1 1 43 20