【标题】变换法在求解常微分方程中的应用
【作者】陈黎丽
【关键词】变换法微分方程变量代换法通解
【指导老师】刘春花
【专业】数学教育
【正文】
1引言
近期以来,一些数学工作者探讨了许多变量变换在求解常微分方程问题上的应用，并取得了许多重要的进展，使复杂的方程也能通过变换变成简单，容易计算的方程.但我们知道，数学题的解法是千变万化、错综复杂，数学题是灵活多变的，根本没有统一的解法，要研究其解法是永远也研究不完的.
微分方程是十七世纪与微积分同时产生的，微分方程理论是从实践中产生的，同时，它又是微积分解决实际问题的桥梁.随着常微分方程在实际生产、生活中表现出重要的应用性, 因此，研究常微分方程的解题方法也变得十分必要.自18世纪初以来，很多学者对微分方程的解法做了许多研究,并且已有了许多研究成果.例如：文献[1]以及文献[2]都是对一阶常微分方程初等解法的研究,就是把常微分方程的求解问题转化为积分问题, 能用这种方法求解的微分方程称为可积方程.这两个文献就常见的可化为变量分离方程后采用积分法求解的常微分方程进行了归纳总.伯努利(Bernoulli)方程是一种特殊的一阶非线性常微分方程，伯努利方程通解的研究具有重要的理论意义和广泛的应用价值.伯努利方程解法也比较多，传统的解决办法是通过适当的变量代换后将它化为一阶非齐次线性微分方程,采用常数变易法求得对应线性方程的通解，过程比较繁琐,也容易出现计算错误，因此文献[5]对这样的缺陷作了进一步的改进，提出了求解伯努利(Bernoulli)方程的一种新方法，通过运用部分凑微分法给出求方程通解的一种直接解法,简化了运算步骤.文献[6]中对于二阶常系数线性齐次方程的解法( 和)，本文献介绍了一种简单的解法,是通过变量替换将方程转化为更为简单的二阶常系数齐次线性方程,再对新方程进行( 和)的分类讨论.文献[7]中讨论了高阶线性常微分方程的构成，总结了运用拉普拉斯变换法对几种常见的问题进行解答，极大地简化了计算.文献[8]构想了求解二阶变系数线性微分方程的一个新方法:分离变量法.在所给条件下,将二阶线性微分方程通过变换将其化为变量可分离方程,并指出这种转化所作的函数变换,从而得到了变系数二阶线性齐次微分方程的一些新的、实用的可积判据和可积类型,推广了前人的可积性结果,扩大了微分方程的求积范围.
变换法是求解常微分方程最常用的，也是比较简单的方法，应用也比较广泛.这段时间通过查阅资料也了解到了变化法的优越性，同时也学到了很多知识，吸取前人的精华使我受益匪浅，因此，我就对求解微分方程的一些方法进行归纳、总结，进而学到更多的知识. 2、一阶微分方程
2.1、齐次型方程
2．1.1 齐次方程
形如的方程称为齐次方程.可以通过引入变换(或)代入原方程,得：, 这是关于变量与的可分离变量的方程.分离变量,得: ,两端积分后解得,再以代替即得齐次方程的解.
有些方程, 可以经过变量代换化为齐次方程, 然后再转化为变量分离方程.例如[1], 形如的方程, 可分三种情形讨论如下:
(1)当时, 为齐次方程, 令, 即可转化为变量分离方程.
(2)当,即二阶行列式时,令, 则原方程变为.
再令,则有,代入上式,得,即转化成为变量分离方程.
(3)当,即二阶行列式且不全为零时, 联立方程组
，
令其解为,因为, 不全为零.
再进行坐标变换，
原式成为：
，
这是关于, 的齐次方程, 从而可以利用分离变量的方法求解.
例1 求解方程的通解.
解：原方程可以变为：式2-1
令，
式2-2
则，两边对求导：. 式2-3 将式2-2和式2-3代入式2-1得：
.
移项得：
.
分离变量，得：
，即.
两边积分，得：
，
将代入得.
代入原方程进行检验得到它也是方程的解.
因此原方程的通解为，.
例2[2] 求解方程的通解.
分析：经过观察本题不能将方程变形为的形式.为了使方程简化，不妨令，再进行分离变量.
解：令，则，即.
原方程就可以变形为：
，
即
，
分离变量，得：
，
两边积分，得：
，
即，代入，
得原方程的通解：
.
例3 求解方程的通解.
分析：本题与前面例题有所不同，是属于第三种情形，，首先联立方程组求解其交点，然后再进行坐标变换.
解：联立方程组求解得交点坐标为：，
令
常微分方程知识点总结 常微分方程知识点你学得怎么样呢？下面是的常微分方程知识 点总结，欢迎大家阅读！ 微分方程的概念 方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中 就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和数之间的关系找出来，列出包含一个数或几个数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。 但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的 问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。 物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个的函数。 解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似， 也是要把研究的问题中已知函数和函数之间的关系找出来，从列出的包含函数的一个或几个方程中去求得函数的表达式。但是无论在方程
的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。 在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。因此，凡是表示函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布?贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常 有力的工具。 牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星 的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。 微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。
毕业论文格式设置速成 第一章引言 在毕业论文的制作过程中，笔者发现格式问题是困扰很多同学的一个大问题。大部分同学对于格式的调整少则要花费一天的时间，多则近乎两天。笔者通过对我校硕士生论文格式要求的细心研究，加之对数位同学论文格式的修改经验，总结出一套快速设定论文格式的方法，希望对同学们的论文写作起到直接的帮助。 使用这套论文格式设置方法，可以有效地节约设置时间，并且修改方便。其主要原则有以下三点：第一，论文写作与论文格式设置分开，不要在写作过程中调整任何格式；第二，将论文分为四个部分，分别设置格式，最后合并文档形成完整的论文文档；第三，针对格式要求逐项设置，不要使用模板。避免遗漏和套用格式会发生的冲突。 第二章论文写作前的准备工作 文章写作前要做好以下几个准备工作。 2.1 word软件设置为显示所有选项 具体方法如下：在word软件下，点击“工具”→“选项”→“视图”→“格式标记”，在“全部”一框前面打勾。之后，您会发现，在word的页面上包括空格、回车等隐形的符号都可以看清，这样可以避免在论文写作过程中，多加空格或者回车格式不对等问题。
2.2 论文写作中不要设置格式 在论文写作过程中，注意对word文档不要设置格式，这样有利于我们在文章写完后根据要求统一设置格式。 （1）在有其他格式的文本（如网页内容、caj格式内容、pdf格式内容）拷贝到论文文档中时，注意将原有的格式清除掉。具体方法有二： 1、将复制的内容拷贝到记事本中，在从记事本中拷贝到word文档中。 2、将复制的内容拷贝到word文档中，选中拷贝的内容在工具栏中，选择清除格式，将格式清除。
常微分方程在数学建模中的应用 这里介绍几个典型的用微分方程建立数学模型的例子. 一、人口预测模型 由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型. 例1（ 马尔萨斯 （Malthus ） 模型） 英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为r ,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型. 解 设时刻t 的人口为)(t N ,把)(t N 当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在t 到t t ?+时间段内,人口的增长量为 t t rN t N t t N ?=-?+)()()(, 并设0t t =时刻的人口为0N ,于是 ?????==． ， 00)(d d N t N rN t N 这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为 )(00e )(t t r N t N -=, 此式表明人口以指数规律随时间无限增长. 模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为9 1006.3?,而在以后7年中,人口总数以每年2%的速度增长,这样19610=t ,901006.3?=N ,02.0=r ,于是 ) 1961(02.09 e 1006.3)(-?=t t N . 这个公式非常准确地反映了在1700—1961年间世界人口总数.因为,这期间地球上的人 口大约每35年翻一番,而上式断定34.6年增加一倍（请读者证明这一点）． 但是,后来人们以美国人口为例,用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较,却发现有很大的差异,尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时,发现更令人不可思议的问题,如按此模型计算,到2670年,地球上将有36 000亿人口.如果地球表面全是陆地（事实上,地球表面还有80%被水覆盖）,我们也只得互相踩着肩膀站成两层了,这是非常荒谬的,因此,这一模型应该修改. 例2（逻辑Logistic 模型） 马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢？这主要是地
常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.
阶线性微分方程的研究与应用 摘要：本文分析了一阶线性微分方程的几种初等解法类型以及应用，总结出了这些不同类型方程可借助变量变换或积分因子化成变量分离方程和恰当方程两种类型，从而归纳了一阶微分方程的求解问题以及应用领域。 矢键i司：变量变换积分因子变量分离方程恰当方程 引言 对于一阶微分方程的初等解法，通常我们把他们归结为方程的积分问题，虽然一般的一阶方程没有初等解法，但是对于一些有限的有初等解法的类型，它们却反映了实际问题中出现的微分方程的相当部分，因此，掌握这些类型方程的解法还是有重要实际意义的，下面我们就对这些类型方程的解法一作以总结。 微分方程 微分方程就是联系着自变量、未知函数及其导数的尖系式，形如 般)” 的方程，称为一阶线性微分方程。 1、变量变换方法 形如的方程，称为变量分离方程，这里的(1?1) f(x))g(y)分别x, y的连续函数. 如果g(y) 土0,我们将(1?1)改写成二f(x)dx,两边积分得，gCy) (1-2) 其中c任意常数。 例1求方程 ￡=pa)y 的通解，其中P(X)是X的连续函数。 解将变量分离，得到
—=p(x)dx y 两边积分，即得 In |y|= / p(x) dx+ C 这里c是任意常数，由对数定义，即有 lyl y= g/ p(x)dx+c 土gCgJ p(x)dx 求解方程生一￥ dx y
将变量分离，得到 y d y=?x d x, 两边积分，即得 因而，通解为 这里c是任意正常数。或者解出y,写出显函数形式的解 y= dy y | . y 例3求解方程〒=-+tan- dx X X y dy du 解这是齐次微分方程，以?二u及子二X —+U代入，则原方程变为 K dx dx du I A+u=u+anu du tan u dx X 将上式分离变量，即有 cot udu =— x 两边积分，得到
毕业论文答辩感言 ----WORD文档，下载后可编辑修改---- 下面是小编收集整理的范本，欢迎您借鉴参考阅读和下载，侵删。您的努力学习是为了更美好的未来！ 毕业论文答辩感言摘录 首先，衷心地感谢我的导师赵仲堂教授。当我面对科学的高峰有些彷徨时，是导师在鼓励我，“攻坚莫畏难，只怕肯登攀”;当我在科学的殿堂中步履蹒跚时，是导师在指点我，“问渠哪得清如许，为有源头活水来”;当我埋头于书本执迷不悟时，是导师在明示我，“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”;当我在实际工作中遇到困难时，是导师在引导我，“壁立千仞无欲则刚，海纳百川有容乃大”。我的导师，学识渊博，对专业孜孜以求，精益求精。百忙之余仍然读书不辍，不断探求;为人师表，率先垂范;传道授业，呕心沥血。如果说我从导师那里学会了怎样做好学问，那么首先应该说我从导师那里领略了真正的学术精神，导师严谨的治学态度和坚韧的探索精神将使我终生受益。 衷心地感谢李士雪、王志玉、徐凌中、姜宝法、王束玫、彭绩、方鹏骞、卢祖洵、李立明、曾光等教授的鼎力支持，以及王陇德、姚志彬、江捍平、张丹、钟育新、陈广源、王立新、刘松暖、陈金喜、钟天伦等领导，在我工作和学习中，时常能感受到他们对我的关心和帮助。 衷心地感谢山东大学公共卫生学院的全体老师。当我在千里之外
迷茫、徘徊时，是他们慷慨地为我敞开了大门，把我领进了一个深奥而又迷人的殿堂。感谢亲爱的师兄弟们，感谢他们在科研工作中给予的大力帮助! 衷心地感谢深圳市卫生局、宝安区卫生局及各系统、各部门的领导、同事和朋友们在我平时工作及完成论文过程中对我的支持与帮助。 最后，衷心地感谢宝安区委、区政府、区人大、区政协、区编委等各级领导及区人事局、区计划局、区财政局等部门、社会各界对我区公共卫生事业的重视和支持!衷心地感谢宝安区公共卫生系统的各位同仁以卓越的执行力作出的突出贡献!(孙玉卫博士) 毕业论文答辩感言摘抄 值此论文完成之际，衷心感谢我的导师李会庆研究员三年来呕心沥血的培养。 三年来，在课题设计、现场调查、实验室工作、论文撰写等各个方面，导师给予了悉心指导和无私帮助。导师敏锐的洞察力、渊博的学识、严谨的治学态度及忘我的奉献精神，是我永远学习的楷模。 衷心感谢山东大学公共卫生学院赵仲堂院长、谢克勤教授、王志玉教授、王洁贞教授、王束玫教授、王志萍教授、姜宝法教授、徐凌中教授、贾存显老师在学习、研究等方面给予的帮助指导和支持。 衷心感谢李士保老师在生活、学习等方面给予的帮助。 衷心感谢山东省诸城市计划生育服务站丁树奇站长、赵民书记及全体工作人员在现场调查、患者追踪、样品保存、运输等方面所做的大量工作。
常微分方程的实际应用 于萍 摘要：常微分方程在当代数学中是极为重要的一个分支，它的实用价值很高，应用也很广泛，本文主要介绍常微分方程在几何、机械运动、电磁振荡方面的应用，并举例说明，体会常微分方程对解决实际问题的作用，在解决实际问题过程中通常是建立起实际问题的数学模型，也就是建立反映这个实际问题的微分方程，求解这个微分方程，用所得的数学结果解释实际问题，从而预测到某些物理过程的特定性质，以便达到能动地改造世界，解决实际问题的目的。 关键字：常微分方程，几何，机械运动，电磁振荡，应用
Abstract: Nomal differential equation is an important part of math at it has a high practical value. This thesis shows the use in geometry, mechaics and electrothermal and makes some examples. Also, it summarizes the normal move of dealing with practical problems by the normal differential equation. Normal, we set up the maths matic model of the problem, solute the normal differentical equation make the use of the result to explain practical problems and make a forecast of some special character of physical process. Key: Normal differetial equation geometry mechanics electrothermal use
毕业论文写作时间安排 个实用的时间管理方法！预收从速时间管理方法并不是要把所有事情做完，而是更有效的运用时间。成功掌握以下条方法，不仅能提升你的效率，还能让你更加有达成目标的自信。 1.定制生活目标，按照重要程度排序为你的生活制定目标，如果你一直漫无目的地过生活，那现在至少该想一个了。目标对有效的时间管理是很有用的，就像是大海中的航行方向，确定你生活地走向。如果你有太多的目标，那就认真的管理它们。你生活中的每一个领域都需要目标。比如工作，健康等。 每一天，你都要有一个首要的目标。对多数人来说，这是工作的目标。但是，如果你身体健康有问题，那么健康就成为你最大的目标。 2.集中精力完成最重要的任务有了目标后，就要制定完成目标的任务。如果你的目标是健康，那你就要每天尽早煅炼身体。 3.每时每刻铭记你的最重要的目标如果你的目标过多，那么就每天优先完成最重要的五个目标。最好把这五个列一个优先顺序表。 4.用金钱衡量时间如果你知道你的一小时值多少钱，时间管理就变得容易得多。如果一小时值600美元，那么你就知道了在脸书上浪费的30分钟相当于300美金。
5.不要太执着于完美你想把每一件事都做得完美无缺。但是，完美只能浪费时间。在适当的时候放手不是一件坏事。 6.为每个任务设置一个时限如果通常要花三个小时完成一个任务，那么，你可以将时限设置成三小时。你就惊奇的发现，你在时限内完成了所给任务。 7.试着为每天的工作制定时间表每天早上上班前，或者每天晚上睡觉前，专为每天的工作制定时间表，这样你会更快的完成工作。 8.将大的目标转换成几个任务分别完成你可以将每个目标分成几个步骤完成，并且给每个步骤制定时限。这样你就可以很快的完成目标。 9.可以将某项任务交给别人比如像浏览邮件等工作，不是很重要，又费时，何不将它将交付给别人呢。 10.给每个步骤制定时限工作时限很重要。如果一个工作任务下达时，上司没有给你规定时限，你自己也应该设定一个时限。它真的很实用，你将会为自己变得如此的高效率而惊奇。
目录 摘要.................................................................................................................... I Abstract................................................................................................................ I I 第1章绪论 (1) 1.1 课题研究背景及目的 (1) 1.2 研究现状 (1) 1.3 研究方法 (1) 1.4 研究内容 (2) 第2章经济学中常用微分方程的解法 (3) 2.1 微分方程的简介 (3) 2.2经济中常用微分方程的解法 (3) 第3章三个经济模型 (8) 3.1价格调整模型 (8) 3.2蛛网模型 (9) 3.3Logistic模型 (10) 第4章微分方程在经济的两个分析中的应用 (12) 4.1边际分析 (12) 4.2弹性分析 (12) 结语 (14) 参考文献............................................................................... 错误！未定义书签。附录................................................................................... 错误！未定义书签。致谢................................................................................... 错误！未定义书签。
毕业论文（设计）论文（设计）题目： 姓名王氏狂生 学号20120018 学院能源与动力工程学院 专业热能与动力工程 年级2012级 指导教师 2012年12月12日
题目 摘要 XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXX 关键词：XXXX XXXXX XXXXXX
常微分方程的大致知识点Last revision on 21 December 2020
常微分方程的大致知识点 （一）初等积分法 1、线素场与等倾线 2、可分离变量方程 3、齐次方程（一般含有x y y x 或的项） 4、一阶线性非齐次方程 常数变易法，或])([)()(?+??=-C dx e x b e y dx x a dx x a 5、伯努力方程 令n y z -=1，则dx dy y n dx dz n --=)1(，可将伯努力方程化成一阶线性非齐次或一阶线性齐次 6、全微分方程 若x N y M ??=??，则C y x u =),(，（留意书上公式） 若 x N y M ??≠??，则找积分因子，（留意书上公式） 7、可降阶的二阶微分方程 ),(22dx dy x f dx y d =，令dx dy dx y d p dx dy ==22,则 ),(22dx dy y f dx y d =，令dy dp p dx y d p dx dy ==22,则 8、正交轨线族 （二）毕卡序列 ?+=x x dx y x f y y 0),(001，?+=x x dx y x f y y 0),(102，?+=x x dx y x f y y 0),(203，其余类推 （三）常系数方程 1、常系数齐次0)(=y D L 方法：特征方程 单的实根21,λλ，x x e C e C y 2121λλ+= 单的复根i βαλ±=2,1，)sin cos (21x C x C e y x ββα+= 重的实根λλλ==21，x e x C C y λ)(21+= 重的复根i βαλ±=2,1，i βαλ±=4,3，]sin )(cos )[(4321x x C C x x C C e y x ββα+++=
§2、2 伽利略变换 2、2、1 伽利略变换 （1） 如图2-2-1所示,有两个惯性 系S 和'S , 它们对应的坐标轴相互平行, 且 当t ='t =0时,两系的坐标原点'O 与O 重合， 设'S 系相对于S 系沿x 轴正方向以速度u 运动， 同一质点P 在某一时刻在S 系中的时空坐标为(x,y,z,t),在S`系中的时空坐标为 （x’,y’,z’,t’） ???????===-=t t z z y y ut x x '''' 即 t u r r ??ρ-='或 (1) x=x ' ＋ｕｔ ?? ? ??==='''t t z z y y 即 t u r r ? ??+=' 式（1）称为伽利略时空坐标变换公式， （２）将式（1）中的空间坐标分别对时间求一次导数得： 图2-2-1
??? ??? ???====-=-==z z y y x x v dt dz v v dt dy v u v u dt dx dt dx v '' '''' 即u v v -=??' 或??? ??? ???======+=+==z z y y x x v dt dz dt dz v v dt dy dt dy v u v u dt dx dt dx v '''''1即u v v ???'+'= （2） 式（2）称为伽利略速度变换公式， （3）将式（2）再对时间求一次导数得 ??? ?? ? ???=='='=='='=='='z z z z y y y y x x x x a dt dv dt v d a a dt dv dt v d a a dt dv dt v d a 即a a ??=' ??? ??' ='='=z z y y x x a a a a a a a a ? ?'= （3） 式（3）表明在伽利略变换下加速度保持不变，式（3）称为伽利略加速度变换公式， 2、2、2 经典力学的时空观 （1） t=t ',或Δt=Δt ' （4） （2） Δr '=2 12212212222)()()()()()(z z y y x x z y x -+-+-=?+?+?, Δr '=212212212222)()()()()()(z z y y x x z y x -+-+-=?+?+?， 因,,)()(1212121212 y y y y x x ut x ut x x x -='-'-=---='-' r r z z z z ?='?-='-'所以,1212 （5）
毕业论文不同于一般的小论文，特别是硕士毕业论文或者博士毕业论文。一般的小论文就四五页，而硕士论文动辄五六十页，有的甚至七八十页。所以有些东西如果要人工的去修改，将是一件非常痛苦的事情。痛苦的事情至少有两个：目录自动生成和编号、参考文献引用的上标。本文将从这两个方面说说小技巧，自动生成，非常方便。 先说两种痛苦情况。 设定好文章的目录结构后，突然发现中间要添加或者删除一个章节，添加删除容易，可是其后遗症就是后面的编号都要跟着变动。比如要删除第二章，那么原理的第三章就要改为第二章，后面的要跟着动，添加也一样，很麻烦。 第二个情况就是参考文献的上标问题。硕士论文参考文献都有好几十个，一般论文会要求按照论文的引用顺序列出参考文献。如果需要添加新的参考文献，那么这些参考文献的上标号又会跟着变动。 目录自动生成简单说下，将文档切换到大纲视图，然后设置你要设定成目录的文字的大纲级别。如果将大纲级别设定为1级，那么就是1级目录，一般我们会设置到3级，这样会生成1、2、3级目录。设定好后，在要插入目录的地方，点击“插入”-->“引用”-->“索引和目录”就可以了。格式在另外设置下就行了。 现在来说说这两个的简单解决办法。 首先都要设置成段落编号。将你要设定的一级目录设定成一级编号，二级目录设定成二级编号等等。参考文献一样，设置成段落编号。设定成段落编号有一个非常大的好处，就是插入或者删除其中的某个项目时，其后面的变好会跟着变动，所以这就解决了因添加删除中间的项目，而要同时修改后面的编号问题了。 目录的更新，只需要在“大纲视图”下点击更新目录，或者在页面视图的目录上，点击右键，选择“更新域”即可。 将参考文献设置成段落编号后，在需要插入参考文献引用的地方，点击“插入”-->“引 用”-->“交叉引用”，找到相应参考文献的编号就可以了。然后再自己设置一下格式。 还有几种方法，从网上摘录下来的。 （一）采用书签、交叉引用方法：参考文献的编号和引用 步骤如下： （1）在word文档末尾添加几个文献，如：
毕业论文 论文题目：常微分方程在数学建模中的应用姓名： 学科专业： 指导教师： 完成时间：
常微分方程是数学理论（特别是微积分）联系实际的重要工具，它不仅与几何学、力学、电子技术、自动控制、星际航行、甚至和化学、生物学、农业以及经济学都有着密切的联系。本文结合实践背景，建立数学模型，并利用所得结果去解释某些实际问题。 关键字常微分方程、人口预测模型、市场价格模型、混合溶液的数学模型、震动模型
第一章人口预测模型 第二章市场价格模型 第三章混合溶液的数学模型第四章震动模型
绪论 当我们描述实际对象的某些特性随时间（或空间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来性态，研究它的控制手段时，通常要建立对象的动态模型。建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析作出简化假设，然后按照对象内在的或可以类比的其他对象的规律列出微分方程，求出方程的解并将结果翻译回实际对象，就可以进行描述、分析、预测或控制了。 事实上在微分方程课程中，解所谓应用题时我们遇到简单的建立动态模型问题，例如“一质量为m的物体自高h处自由下落，初速度是零，设阻力与下落速度的平方成正比，比例系数为k，求下落速度随时间的变化规律。”又如“容器内有盐水100L,内含盐10kg,令以3L/min的速度从一管放进净水，以2L/min的速度从另一管抽出盐水，设容器内盐水浓度始终是均匀的，求容器内含盐量随时间变化规律。”本文讨论的是常微分方程在数学建模中的应用。
第一章 人口预测模型 由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型. 例1（马尔萨斯（Malthus ）模型） 英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为r ,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型. 解 设时刻t 的人口为)(t N ,把)(t N 当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在t 到t t ?+时间段内,人口的增长量为 t t rN t N t t N ?=-?+)()()(, 并设0t t =时刻的人口为0N ,于是 ?????==． ， 00)(d d N t N rN t N 这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为 )(00e )(t t r N t N -=, 此式表明人口以指数规律随时间无限增长. 模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为91006.3?,而在以后7年中,人口总数以每年2%的速度增长,这样19610=t ,901006.3?=N ,02.0=r ,于是 )1961(02.09e 1006.3)(-?=t t N . 这个公式非常准确地反映了在1700—1961年间世界人口总数.因为,这期间
微分方程应用 1 引言 常微分方程的形成与发展和很多学科有着密切的联系，例如力学、天文学、物理学等.数学的其他分支的快速发展，产生出很多新兴学科，这些新兴学科的产生都对常微分方程的发展有着深刻的影响，而且当前计算机的快速发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具. 数学解决实际问题就必须建立模型，而数学建模就是把数学语言描述实际现象的过程.利用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分重要的一步，但是也是最困难的一步.建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程.要通过大量调查、收集相关数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题. 因此本文先简要介绍了如何建立微分方程模型，并通过具体的实例来简单地介绍了微分方程在数学建模中的应用. 2 数学模型简介 通常我们把现实问题的一个模拟称为模型．如交通图、地质图、航空模型和建筑模型等．利用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等来模拟现实的模型称为数学模型．数学模型在实际生活中经常碰到，如求不规则图形的面积，可建立定积分的数学模型，求变化率的问题可建立导数模型，统计学中抽样调查，买彩票中奖的概率问题等等．学会建立数学模型对解决实际生活问题会有很大的帮助． 建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁．随着科学技术的进步，特别是电子计算机技术的迅速发展，数学已经渗透到从自然科学技术到工农业生产建设，从经济生活到社会生活的各个领域．一般地说，当实际问题需要我们对所研究的现实对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果时，往往都离不开数学的应用，而建立数学模型则是这个过程的关键环节． 3 常微分方程模型 3．1 常微分方程的简介
常微分方程期末复习提要 中央电大 顾静相 常微分方程是广播电视大学本科开放教育数学与应用数学专业的统设必修课程．本课程的主要任务是要使学生掌握常微分方程的基本理论和方法，增强运用数学手段解决实际问题的能力．本课程计划学时为54，3学分，主要讲授初等积分法、基本定理、线性微分方程组、线性微分方程、定性理论简介等内容。本课程的文字教材是由潘家齐教授主编、中央电大出版社出版的主辅合一型教材《常微分方程》．现已编制了28学时的IP 课件供学生在网上学习． 一、复习要求和重点 第一章 初等积分法 1．了解常微分方程、常微分方程的解的概念，掌握常微分方程类型的判别方法． 常微分方程与解的基本概念主要有：常微分方程，方程的阶，线性方程与非线性方程，解，通解，特解，初值问题。 2．了解变量分离方程的类型，熟练掌握变量分离方程解法． （1）显式变量可分离方程为： )()(d d y g x f x y = ； 当0≠g 时，通过积分??+=C x x f y g y d )()(d 求出通解。 （2）微分形式变量可分离方程为： y y N x M x y N x M d )()(d )()(2211=； 当0)()(21≠x M y N 时，通过积分 ??+=C x x M x M y y N y N d ) ()(d )()(2112求出通解。 3．了解齐次方程的类型，熟练掌握齐次方程（即第一类可化为变量可分离的方程）的解法． 第一类可化为变量可分离方程的一阶齐次微分方程为： )(d d x y g x y = ； 令x y u =，代入方程得x u u g x u -=)(d d ，当0)(≠-u u g 时，分离变量并积分，得?=-u u g u x C )(d 1e ，即)(e u C x ?=，用x y u =回代，得通解)(e x y C x ?=. 4．了解一阶线性方程的类型，熟练掌握常数变易法，掌握伯努利方程的解法． （1）一阶线性齐次微分方程为： 0)(d d =+y x p x y 通解为：?=-x x p C y d )(e 。 （2）一阶线性非齐次微分方程为： )()(d d x f y x p x y =+； 用常数变易法可以求出线性非齐次方程的通解：??+?=-]d e )([e d )(d )(x x f C y x x p x x p 。 （3）伯努利方程为：)1,0()()(d d ≠=+n y x f y x p x y n ，
怎样写毕业论文写作全攻略不看是你的后悔！ 又到了大四毕业季，看似轻松好玩的大四生活其实也暗藏着无限的压力，找工作、考研，谋出路的同时，还要确保能够顺利毕业，拿到毕业证。下面，小编就结合自己的经验，谈一谈如何能够写好本科生毕业论文。 单地说，毕业论文就是大学生毕业前提交的一份具有一定学术价值的文章，是对大学所学知识以及自身工作、社交、学习能力的一次总结和提高，学校重点通过毕业论文来考察大学生掌握知识的程度以及分析问题和解决问题的能力。毕业论文写作过程一般分为以下几个阶段:1.题目选择；2.课题调研；3.文献检索与应用；4.撰写论文；5.论文答辩。毕业论文通常由题目、摘要、目录、引言、正文、结论、参考文献和附录等部分构成。对于本科生，论文字数一般在5000至20000字之间，同时对于论文打印和排版的格式也有着十分严格的要求。 很多时候，我们写文章都是先在Word中写好后再排版，但对于毕业论文这种篇幅较长的文章，这样做往往效率不高。下面的实战通过先制定论文格式，再动笔写论文的方式进行，相信你会觉得这种方式对你的论文写作更有帮助。要写好一篇论文，首先要做的就是拟定一个好题目。何为好题目？在小编看来，好的论文题目有以下标准：细化、典型、好写。所谓细化，就是题目要小，具体到某个例子上，这样写出来的论文，内容才不会空泛，写成教科书一样的东西。所谓典型，就是你最后得出的结论能够有所支撑，文、题、例子都要相互契合。所谓好写，很显然，就是你要对这个题目熟悉，并且也找得出很多资料来。 当然，有些学校是不用自己拟题的，资深老编辑为您的发表之路再添捷径白老师寇寇176加04寇051寇51那么，选的时候就不能随便选，选一个最有把握的吧。拟对一个好的提纲，你的论文就成功了一半。小编在拟题纲的时候，是按照从大到小的顺序，一层一层的来规划。论文的正文，按照学校规定的格式，一般是三级左右的标题，那么就可以用标题来拟提纲。要想写一篇优秀的毕业论文，一定要把握好关键字。一般是3-6个。关键词不要太多，也不要太少。关键词太少，论文没意义；太多，论文没重点。然后依据关键词查阅相关文献。查阅完相关文献，就针对自己的题目，列出提纲，每个提纲下列出主要表述的观点。并将可能用到的文献做个简单罗列。越详细越好，这对后续文章撰写有很大帮助。 首先，可以把你的论文分为3~4个部分，一般第一部分为绪论，中间2~3个部分为你的主要中心内容，可以从泛到细，从宏观到微观，来规划，最后一个部分为结论部分，根据具体的内容，在每个部分下面再细分，顺序不能杂乱。一般本科生毕业论文的字数要求都在8000字以上，这8000+字如果你都准备完全靠自己的脑袋来写的话，那么小编只有用崇敬的眼光祝你好运了。正常情况下，资料必不可少，除了你的论文中要用到的数据支撑、理论依据等，你还需要借鉴一下别人是怎么写的。搜集资料的话，你需要用到图书馆+互联网，图书馆自是不必多说，相关书籍借一堆再说。在网上搜资料的话，选择还是比较多的：百度文库、知网、道客巴巴…要是你把搜集到的资料统统直接塞进你的提纲中，然后直接交给老师的话，那就只有等着被打回来的份儿了。忘了吗？还有查重在前方等着你呢！话说天下论文一大抄，但是不能随便抄，得要有技巧的抄。网上其实有很多抄论文的教程，小编看了一下，便捷是便捷，但是都不太保险啊。小编的方法：吸取其精华，用自己的文字表述出来，最好几篇一起。如果这样还是过不了查重的话。。。。我就想不粗来谁能救你了。查阅好资料之后就可以开始实验，调研，翻阅相关的书籍，整理所需要的数据，材料，参考其它相关论文的结构，目录。大致整理出自己所要写的内容和构架，给自己的导师进行指导，如果没有问题，就可以着手写论文了。最后一个步骤就是写论文，在资料准备完成之后最重要的就是论文格式了，标题、摘要、关键解决论文问题有的放矢避免被退稿拒稿可以及时咨询拥有八年论文安排发表从业经历口碑相传叩叩311加064寇318寇1的期刊之家网杨主任拥有丰富
毕业论文文献综述 信息与计算科学 浅谈常微分方程的数值解法及其应用 一、前言部分 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解.牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解. 后来瑞士数学家雅各布?贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论. 微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法.微分方程也就成了最有生命力的数学分支.总之，力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程.在当代，甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流模型等.因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的. [1] “常微分方程”是理学院数学系所有专业学生的重要专业基础课之一，也是工科、经济等专业必学内容之一.其重要性在于它是各种精确自然科学、社会科学中表述基本定律和各种问题的根本工具之一，换句话说，只要根据实际背景，列出了相应的微分方程，并且能（数值地或定性地）求出这种方程的解，人们就可以预见到，在已知条件下这种或那种“运动”过程将怎样进行，或者为了实现人们所希望的某种“运动”应该怎样设计必要的装置和条件等等.例如，我们要设计人造卫星轨道，首先，根据力学原理，建立卫星运动的微分方程，列出初始条件，然后求出解，即卫星运行轨道.随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，微分方程的应用范围更广泛. [2]从数学自身的角度看，微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展.从这个角度说，微分方程变成了数学的中心. [3]总之，微分方程从它诞生起即日益成为人类认识并进而改造自然、社会的有力工具，成为数学科学联系实际的主要途径之一.文章就常微分的数值解法以及应用展开简单的论述。 二、主体部分 2.1微分方程概念介绍
微分方程在高中物理中的应用 高中阶段，我们经常会遇到一些需要定性分析的物理问题，其实如果我们应用高等数学 的知识，可以把其中一些问题进行定量的分析。 例如，质量为m 的物体从高度H 自由下落，所受阻力f 与速度v 成正比，g 为重力加速 度这是我们平时常见的一类问题。但我们只知道速度V 最终会趋近于某一数值v0。下面我 进行一下定量分析。 根据题目所给信息，可列出动力学方程 mg-kv=ma ① a=dv/dt ② 结合①式可得mg-kv=mdv/dt 这里移项可得dt=mdv/(mg-kv)③ 两边同时积分便可的到 V=mg(ce*(-kt/m)+1)/k 又∵自由下落，可得t=0时v=.0 ∴v=mg(1-e*(-kt/m))/k ④ 由④式知，当t 趋近于正无穷时，e*(-kt/m)=0， 此时v=mg/k ⑤ 若按照正常思路，当物体受力平衡时，mg=kv,此时也能得到⑤式的结论。 而在高考中，更为常见的是在电磁场中的同类问题，我们不妨看一下下面这一道例题 （2012·山东理综）如图所示，相距为L 的两条足够长的光滑平行金属导轨与水平面的夹 角为θ，上端接有定值电阻，匀强磁场垂直于导轨平面，磁感应强度为B 。将质量为m 的导 体棒由静止释放，当速度达到v 时开始匀速运动，此时对导体棒施加一平行于导轨向下的 拉力，并保持拉力的功率为P ，导体棒最终以2v 的速度匀速运动。导体棒始终与导轨垂直 且接触良好，不计导轨和导体棒的电阻，重力加速度为g ，下列选项正 确的是 A ．P =2mg sin θ B ．P =3mg sin θ C ．当导体棒速度达到v /2时加速度为12 g sin θ D ．在速度达到2v 以后匀速运动的过程中，R 上产生的焦耳热等于拉力 所做的功 我们根据题目也可以列出动力学方程 Mgsin θ-B*2L*2V/R=ma ① a=dv/dt ② 同样可以解得v=(mgR sin θ/B*2L*2)(1-e*(-B*2L*2t/mR))③ 从③式可以看出当t 趋近于正无穷时，v=mgR sin θ/B*2L*2即B*2L*2v/R=mg sin θ转化而来。 所以题目中所说当速度到达V 时开始匀速运动存在明显错误。应改为近似于做匀速直线运 动。