常微分方程的实际应用

常微分方程的实际应用

于萍

摘要：常微分方程在当代数学中是极为重要的一个分支，它的实用价值很高，应用也很广泛，本文主要介绍常微分方程在几何、机械运动、电磁振荡方面的应用，并举例说明，体会常微分方程对解决实际问题的作用，在解决实际问题过程中通常是建立起实际问题的数学模型，也就是建立反映这个实际问题的微分方程，求解这个微分方程，用所得的数学结果解释实际问题，从而预测到某些物理过程的特定性质，以便达到能动地改造世界，解决实际问题的目的。

关键字：常微分方程，几何，机械运动，电磁振荡，应用

Abstract: Nomal differential equation is an important part of math at it has a high practical value. This thesis shows the use in geometry, mechaics and electrothermal and makes some examples. Also, it summarizes the normal move of dealing with practical problems by the normal differential equation. Normal, we set up the maths matic model of the problem, solute the normal differentical equation make the use of the result to explain practical problems and make a forecast of some special character of physical process.

Key: Normal differetial equation geometry mechanics electrothermal use

引言

数学分析中所研究的函数，是反映客观现实世界运动过程中量与量之间的一种关系，但在大量的实际问题中遇到稍为复杂的一些运动过程时，反映运动规律的量与量之间的关系(即函数)往往不能直接写出来，却比较容易地建立这些变量和它们的导数(或微分)间的关系式，不同的物理现象可以具有相同的数学模型，这一事实正是现代许多应用数学工作者和工程人员应用模拟方法解决物理或工程问题的理论依据。例如，利用电路来模拟某些力学系统或机械等等在现时已相当普遍。在自然科学和技术科学的其他领域中，例如化学、生物学、自动控制、电力技术等等，都提出了大量的微分方程问题，因此，社会的生产实践是常微分方程理论取之不尽的基本源泉。此外，常微分方程与数学的其他分支的关系也是非常密切的。它们往往互相联系、互相促进。例如，几何学、机械运动、电磁振荡就是常微分方程理论的丰富的源泉之一，常微分方程也是解决实际问题不可或缺的武器。

一、常微分方程在几何学的应用

在几何应用问题中，列的方程常常是含有变限定积分的方程。在求解时要化为相应的微分方程或微分方程初值问题。凡是能用定积分计算的量，一定分布在某个区间(比如[]b a ,)上，并且对于该区间具有可加性，曲边梯形的面积A 与区间[]b a ,有关，当把[]b a ,分成n 个部分区间时，则所求量A 也相应地分成n 个部分量),,2,1(n i A i =?，而A 就等于所有这些部分之和，即∑=?=n

i i A A 1，这时我们就称面积A 对区间[]b a ,具有可加性，几

何中的面积、弧长，曲线方程等都具有这种特性。在求解微分方程的应用问题时，列出方程是关键性的一步，一定要逐字逐句地仔细阅读题目，根据题目的要求确定未知函数和自变量，然后利用题设中指出的(或包含的)相等关系列出方程，应用问题常常是初值问题。因而，要从题设中确定未知函数满足的初始条件。

常微分方程在解决几何问题的过程中通常采用数形结合，达到简易直观的效果。

利用y '表示曲线)(x f y =上()y x ,点处的切线斜率或dy

dx

-

表示曲线)(x f y =上()y x ,点的法线斜率以及

?x

a dt

t f )(表示由曲线

)(x f y =)0)((≥x f ，直线a x x x ==,，x 轴所围图形的面积等方面的意义，列方程。

解方程，在求解过程中一定要对常微分方程的解法熟悉于心，才能得心应手。首先要审视方程，判断方程类型，属于一阶微分方程还是可降阶微分方程或高阶微分方程等等。根据不同类型，确定解题方案。

下面就让我们结合具体例题来体会常微分方程在解决几何问题的应用。

例1［2］、设)(x f y =是第一象限内连接点)0,1(),1,0(B A 的一段连续曲线，),(y x M 为该曲线上任意一点，点C 为M 在x 轴上的投影。O 为坐标

原点，若梯形OCMA 的面积与曲边三角形CBM 的面积之和为31

63+x ，求

)(x f 的表达式。

解：根据题意有：

0)1(,1)0(==f f

且[]3

1

6)()(1231+=++?x dt t f x f x x

，

将上式两边对x 求导数，

得[]2)()(2)(1212x x f x f x x f =-'++ 当10≤

x

x x f x x f 1

)(1)(-=-

' 方程两边同除x ，

即得2

11)(x x x f -='

??

?

?? 积分可得c x

x x x f ++=1

)(

于是，方程通解为cx x x f ++=1)(2 把0)1(=f 代入通解，可确定常数2-=c 故所求函数)(x f 的表达式为：

.

x

y

10,)1(21)(22≤≤-=-+=x x x x x f

例2［2］、在上半平面求一条向上凹的曲线，其任一点),(y x p 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数，(Q 是法线与x 轴的交点)，且曲线在点)1,1(处切线与x 轴平行。

解：见图，所求曲线为)(x f y =，于是其在),(y x p 点处的曲率为：

2

322

3

2)

1()

1(y y y y k '+''=

'+''=

(∵曲线为凹的，∴0>''y )

曲线)(x f y =在),(y x p 点处的法线方

程：)0)((1

≠'-'

-=-y x X y y Y

它与x 轴的交点Q 的坐标

)0,(y y x Q '+，

于是2

1222)1()(y y y y y PQ '+=+'=， 由题设PQ

k 1

=

， 即2

122

32)

1(1)

1(y y y y '+=

'+''

21y y y '+='?——这是不显含x 的方程 初始条件为，1|1==x y ，0|1='x y 令dy

dp

p

y p y =''=',，于是方程变为 y dy

dp p

p p dy dp yp

=+?+=2

211

x

y

12ln )1ln(2

1

c y p +=+?， 代入0|1='=x y ，得01=c

11222-±=?-=?y p y p ，

积分得22)1()1ln(c x y y +-±=-+ 代入1|1==x y ，得02=c 故所求曲线为：

)1(21-±=-+

x e y y ，即)(2

1

)1(1---+=x x e e y

例3［3］、已知曲线过)1,1(点，如果把曲线上任一点P 处的切线与y 轴的交点记作Q ，则以PQ 为直径所做的圆都经过点)0,1(F ，求此曲线方程。

解：见图

所求曲线设为)(x f y =

于是切线方程为)(x X y y Y -'=- 切线PQ 与y 轴的交点Q 的坐标为

),0(y x y Q '-

设M 点为切线段PQ 的中点，坐标为

??? ??'-2,2

y x y x

∵圆经过点)0,1(F ∴MF MQ =

于是得方程???

??=+-='=1

|11112

x y x y x y y ①

令z y =2，则方程①

x

x z x z x y x y 2

22111)(2122+-='?+-='? ② (1)c x z dx x z dz z x z ln ln 2ln 2

2+=?=?='

2cx z =

(2)令2)(x x c z =为②的解，代入并整理，得

3222

2)(22)(x

x x c x x x c +-='?+-=' c x

x x c ~12)(2+-=

? 故②的通解为：222~12~12x c x x c x x z +-=??

? ??+-= 即方程的通解为22~12x c

x y +-=， 代入初值1|1==x y ，得0~=c

故所求曲线为122-=x y

例4［1］、在制造探照灯的反射镜面时，总是要求将点光源射出的光线平行地反射出去，以保证探照灯有良好的方向性，试求反射镜面的几何形状。

解：取光源所在处为坐标原点，而x 轴平行于光的反射方向，(见图)。 设所求曲面由曲线

??

?==0

)

(z x f y ① 绕x 轴旋转而成，则求反射镜面问题归结为求xy 平面上的曲线

)(x f y =的问题。

x

过曲线)(x f y =上任一点),(y x M 作切线NT

则由反射定律：入射角等于反射角，容易推知21αα= 从而ON OM = 注意到

NP

MP

tg dx dy =

=2α 及22,,y x OM y MP x OP +=== 就得到函数)(x f y =所满足的微分方程式

22y

x x y

dx dy ++=

这是齐次方程。 设x

y

=

μ，将它化为变量分离方程求解 得)2(2x c c y += c 为任意常数

故反射镜面的形状为旋转抛物面)2(22x c c z y +=+

二、常微分方程在机械振动中的应用

常微分方程与物理联系甚为广泛，下面我们就一起来看一下常微分方程在机械振动中的应用，常微分方程解决力学问题需要：

建立坐标系，对所研究物体进行受力分析； 根据牛顿第二定律ma F =，列方程； 解方程。

下面，让我们从实例中体会常微分方程在力学中的作用。

例1［2］：一个质量为m 的船以速度0v 行驶，在0=t 时，动力关闭，假设水的阻力正比于n v ，其中n 为一常数，v 为瞬时速度，求速度与滑行距离的函数关系。

解：船所受的净力=向前推力-水的阻力=n kv -0， 加速度=速度对时间的导数，即dt

dv

a =， 于是，由题设有

?????=-==0

0|v v kv

dt

dv m t n 现在要求的不是速度与时间的关系，而是速度与距离的关系，设距离为x ，于是，上述方程可化为：

n kv dx dv

mv dt dx dx dv m dt dv m -==?= kdx dv mv n -=?-1 (※)

当2≠n 时，两边积分，得c kx n

mv n +-=--22

把0|,|000====t t x v v 代入上式，得n

mv c n -=-220

故n

n v x m

n k v --+--

=20

2)2( 当2=n 时，(※)kdx dv mv -=?-1， 积分得x m

k ce

v -=，

将初值代入，得0v c = 故x m

k e

v v -=0

例2［2］、两个质量相同的重物挂于弹簧下端，其中一个坠落，求另一个重物的运动规律，已知弹簧挂一个重物伸长为a 。

解：如图所示，建立坐标系设弹簧自由状态时长度为l ，取a l +处(即挂一重物时弹簧的长度)为坐标原点，取x 轴铅直向下，设在t 时刻，重物在x 处，由虎克定律知，此时弹性恢复力为

k kx ,-为弹性系数，负号“—”是因为弹性恢复力与位移反向，由牛顿第二定律有：

????

?

????='=-=0)0()0(22x a

x kt dt x

d m ∵挂两重物时，弹簧伸长a 2，由虎克定律有：

a

mg

k a k mg =

??=22 ∴方程x a g

dt x d -=?22，

其特征方程：a

g a

g ±=?-=λλ2 于是方程通解为t a

g c t a g c x sin cos

21+= t a

g

a g c t a g a g c x cos sin 21

+-=' 把初始条件0)0(,)0(='=x a x 代入以上两式 得0,21==c a c

∴所求重物的运动规律为t a

g

a x cos

=

例3［1］ 数学摆是系于一根长度为l 的线上而质量为m 的质点M 在重力作用下，它在垂直于地面的平面上沿圆周动运。如图所示，试确定摆的运动方程。

解：设取反时针运动的方向作为计算摆与铅垂线所成的角?的正方向，质点M 沿圆周的切向速度v 可以表为dt

d l

v ?

=作用于质点M 的重力mg 将摆拉回平衡位置A 。把重力mg 分解为两个分量MQ 和，第一个分量MQ 沿着半径

OM 的方向，与线的拉力相抵消，它不会引起

质点M 的速度v 的数值改变，因为总是使质

点M 向着平衡位置A 的方向运动，即当角?为正时，向减小?的方向运动，当角?为负时，向增大?的方向运动，所以MP 的数值等于?sin mg -，因

此，摆的运动方程是?sin mg dt dv m -=，即??sin 22l g

dt

d -=。

(1)如果只研究摆的微小振动，即当?比较小时的情况，我们可以取

?sin 的近似值?代入上式，这样就得到微小振动时摆的运动方程：

02

2=+??l g

dt

d (2)如果我们假设摆是在一个粘性的介质中摆动，那么，沿摆的运动方向就存在一个与速度v 成比例的阻力，若阻力系数为μ，则摆动方程为

02

2=++??μ?l g dt d m dt

d 。 (3)如果沿摆的运动方向恒有一个外力)(t F 作用于它，这时摆的运动

称为强迫微小振动，其方程为：)(1

22t F ml l g dt d m dt

d =++??μ?。

当要确定摆的某一个特定运动时，我们应给出摆的初始状态：当0=t 时，0??=，

0w dt

d =?

。 这里0?代表摆的初始位置，0w 代表初始角速度。

例4［3］：生产实践中很多机械问题都归结为弹性振动问题，下面便是一个弹簧振动的典型例子。设有弹性系数c 而自

然长度为l 的弹簧竖着悬挂着。它的上端固定，下端悬挂，一个质量为m 的物体，物体受到垂直干扰力)(1t f f =，求物体的运动规律所满足的微分方程。

解：如图所示，取通过悬挂点的直线为x 轴，向下记为正方向，原点取在系统平衡位置，为确定物体运动规律，先分析它的位置，)(t x x =处的受力情况。

(1) 弹簧弹性力0f ，依虎克定律)(0x c f +-=δ，其中δ为弹簧在物体重力作用下的伸长量。

(2) 物体所受重力mg p =

(3) 介质阻力R 与物体运动速度成正比，与运动方向相反，

dt

dx

v R μ

μ-=-= 其中μ为常数，称为阻尼系数。 (4) 重力干扰力)(1t f f =

因此，这时物体所受合外力

())(10t f dt dx

mg x c f R p f F +-++-=+++=μδ

再由牛二定律，得方程：

())(122t f dt dx mg x c dt

x d m +-++-=μδ

由于系统的平衡位置处，弹性力δc f -=0与重力mg p =平衡，故有

0=+-mg c δ

于是上述方程写成

)(122t f cx dt dx

dt x d m =++μ ①

若记

n m

2=μ

，

2k m c

= )()(1t f m

t f = 则①可写成

)(22

2

2t f x k dt dx n dt

x d =++ ② 这就是该物体在外力)(t f 作用下运动规律。

)(t x x =所满足的微分方程

若物体振动过程中，未受外力干扰，即0)(=t f ，则微分方程

022

2

2=++x k dt dx n dt

x d 三、常微分方程在电磁振荡中的应用

建立起实际问题的数学模型一般是比较困难的，因为这需要对与问题有关的自然规律有一个清晰的了解，如前面所求的力学问题就要对牛二定律有清楚的认识，同时也需要有一定的数学知识，为了要建立起实

际问题的数学模型，一定要学习有关的自然科学和工程技术的专业知识，微分方程往往可以看作是各种不同物理现象的数学模型，我们在建立微分方程的时候，只能考虑影响这个物理现象的一些主要因素，而把其它一些次要因素忽略掉，如果的确考虑到了那些最主要的因素，那么，我们所得到的微分方程，它的解和所考虑的物理现象就是比较接近的，这时，我们得到的数学模型是有用的，否则，我们还应考虑其它一些因素，以便建立起更为合理的数学模型，为了解决热电学问题，需要了解其中的一些基本规律，如下面将用到牛顿冷却定律，其内容为热量总是从物体中温度高的向温度低的物体传导；在一定温度范围内，一个物体的温度变化速度与这一物体的温度和其所在介质温度差值成比例，等等，我们将在实例中一一解答。

常微分方程解决电磁振荡问题通常建立起电热学问题的数学模型，也就是反映这个实际问题的微分方程。

求解这个微分方程。用所得的数学结果解释实际问题，从而预测到某些物理过程的特定性质，以便达到能动地改造世界，解决实际问题的目的。

接下来，就让我们从实例中体会常微分方程在电热方面的应用。 例1［1］. L R -电路，如图，它包含电感L ，电阻R 和电源E ，设0=t 时，电路中没有电流，我们要求建立：当开关k 闭合后，电流I 应该满足的微分方程，假设E L R ,,都是常数。

解：为了建立电路的微分方程，我们引用关于电路的基尔霍夫第二定律：

L

在闭合回路中，所有支路上的电压的代数和等于零。

注意到经过电阻R 的电压降是RI ，而经过电感L 的电压降是dt

dI L ，由基尔霍夫第二定律得到0=--RI dt

dI

L

E 。 即

L

E I L R dt dI =+ 求出的)(t I I =应满足条件：

当0=t 时，0=I ，如果假定在0t t =时，0I I =，电源E 突然短路，因而E 变为零，此后亦保持为零，那么电流I 满足方程。

0=+I L

R

dt dI ，及条件0t t =时，0I I = 例2［1］ C L R --电路，如图所示，它包括电感L ，电阻R 和电容C ，设C L R ,,均为常数，电源)(t e 是时间t 的已知函数，我们要求建立：当开关k 闭合后，电流I 应满足的微分方程。 解：注意到经过电感L ，电阻R 和电容C 的电压降分别为dt dI L

，RI 和C

Q

，其中Q 为电量，因此由基尔霍夫第二定律得到C

Q

RI dt dI L

t e ++=)( ∵ dt

dQ

I =

，微分上式得到 dt t de L LC I dt dI L R dt

I d )

(12

2=++ 这就是电流I 应满足的微分方程，如果)(t e =常数，得到

R

02

2=++LC I

dt dI L R dt

I d 如果又有0=R ，则得到

012

2=+LC dt

I d 例3［1］. 电容器的充电和放电，如图所示C R -电路，开始时电容C 上没有电荷，电容两端电压为零，我们把开关k 闭合“1”后，电池E 就对电容C 充电，电容C 两端电压c U 逐渐升高，经过相当时间后，电容充电完毕，我们再把开关k 合上“2”，这时电容就开始放电过程，现在要求找出充、放电过程中，电容C 两端的电压c U 随时间t 的变化规律。

解：对于充电过程，由闭合回路的基尔霍夫第二定律有

E RI U C =+ ① 对电容C 充电时，电容上的电量Q 逐渐增多，根据c CU Q =得到：

dt dU C

CU dt d

dt dQ I c c ===)( ② 将②代入①，得c U 满足的微分方程：

E UC dt

dU RC

c

=+ ③ 这里E C R ,,都是常数，方程③属于变量分离方程，将③变量分离得到

RC

dt

E U dU c c -

=- 两边积分，得到

R

11

ln C RC

E U c +-

=- 即t RC

t RC

C c e

C e

e E U 1211-

=±=-

这里12C e C ±=为任意常数。

将初始条件：0=t 时，0=c U 代入得到E C -=2

∴ ???

? ??-=-t RC c e E U 1

1 ④ 这就是C R -电路充电过程电容C 两端的电压变化规律，由④知道，电压C U 从零开始逐渐增大，且当+∞→t 时，E U c =，在电工学中，通常称RC =τ为时间常数，当τ3=t 时，E U c 95.0=，就是说，经过τ3的时间后，电容C 上的电压已达到外加电压的95%，实际上，通常认为这时电容C 的充电过程已基本结束，易见充电结果E U c =，对于放电过程，可以类似地进行。

例4［1］．将某物体放置于空气中，在时刻0=t 时，测量它的温度为

C u ?=1500，10分钟后测量得温度为C u ?=1001，我们要求决定此物体的温度u 和时间t 的关系，并计算20分钟后物体的温度，这里假定空气的温度保持为C u a ?=24。

解：设物体在时刻t 的温度为)(t u u =，则温度的变化速度以

dt

du

来表示，根据牛顿冷却定律知，热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导，∴a u u >0，所以温差a u u -为正，又∵物体将随时间而逐渐冷却，故温度变化速度

dt du 恒为负，因此由牛顿冷却定律得到)(a u u k dt

du

--= ① 这里0>k 是比例常数①式就是物体冷却过程数学模型，为了决定物

体的温度u 和时间t 的关系，我们从方程①中“解出”u ，注意到a u 是常数，且a u u -0>，将①改写成：

a

a u u u u d --)

(kdt -=，两边积分，得

c

kt u u a ~)ln(+-=-，c ~为“任意常数” 根据对数定义，得到c

kt a e

u u ~+-=-

令c e c =~

，即得kt a ce u u -+= ② 根据“初始条件”：当0=t 时，0u u =

容易确定c 的数值，为此，将0=t ，0u u =代入②式，得

a u u c -=0

∴e u u u u a a )(0-+= ③

若k 的数值确定了，③就完全决定了温度u 与时间t 的关系，根据条件10=t ，1u u =，得到k a a e u u u u 1001)(--+=

由此，a

a u u u u k --=

10ln

101 由给定1500=u ，1001=u ，24=a u 代入，得

051.066.1ln 10

12410024150ln 101≈=--=

k ∴ t e u 051.012624-+= ④

这样，利用④式就可以算出任何时刻t 的温度u 的数值。

参考文献：

1、王高雄，周之铭，朱思铭、王寿松编《常微分方程》

2、陈文灯，黄先开，曹显兵编《聚集考研——数学》

3、李永乐，李正元编《数学历年试题解析》

常微分方程知识点总结

常微分方程知识点总结 常微分方程知识点你学得怎么样呢？下面是的常微分方程知识 点总结，欢迎大家阅读！ 微分方程的概念 方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中 就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和数之间的关系找出来，列出包含一个数或几个数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。 但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的 问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。 物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个的函数。 解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似， 也是要把研究的问题中已知函数和函数之间的关系找出来，从列出的包含函数的一个或几个方程中去求得函数的表达式。但是无论在方程

的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。 在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。因此，凡是表示函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布?贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常 有力的工具。 牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星 的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。 微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。

常微分方程习题及答案

第十二章 常微分方程 (A) 一、是非题 1．任意微分方程都有通解。( ) 2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9． 221xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1．在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是 。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是 。 ③x y y dx dy x ln ?=是 。 ④x x y y x sin 2+='是 。 ⑤02=-'+''y y y 是 。 2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数。 3．x e y 2-=''的通解是 。 4．x x y cos 2sin -=''的通解是 。 5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 阶微分方程。 6．微分方程()06 ='-''?y y y 是 阶微分方程。 7．y 1 = 所满足的微分方程是 。

8．x y y 2='的通解为 。 9． 0=+x dy y dx 的通解为 。 10．()2511 2+=+-x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为 。 11．方程()012=+-'y x y x 的通解为 。 12．3阶微分方程3x y ='''的通解为 。 三、选择题 1．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 2．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A ．3 B ．5 C ．4 D ． 2 3．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -= 4．微分方程3 23y y ='的一个特解是( )。 A ．13+=x y B ．()3 2+=x y C ．()2 C x y += D ． ()3 1x C y += 5．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A ．0=+'y y B ．02=+'y y C ．0=+y y n D ． x y y cos =+'' 6．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数。 A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ． 上述都不对 7．y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A ．1+=x e y B ．x e y 2= C ．2 2x e y ?= D ． x e y ?=3 8．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A ．x a y sin *= B ．x a y cos *?= C ．()x b x a x y cos sin *+= D ． x b x a y sin cos *+= 9．下列微分方程中，( )是二阶常系数齐次线性微分方程。

常微分方程练习题及答案复习题)

常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.

(完整版)常微分方程的大致知识点

= + ?x = + ?x = + ?x 常微分方程的大致知识点 （一）初等积分法 1、线素场与等倾线 2、可分离变量方程 3、齐次方程（一般含有 x 或 y 的项） y x 4、一阶线性非齐次方程 常数变易法，或 y = e ? a ( x )dx [? b (x )e -? a ( x )dx dx + C ] 5、伯努力方程 令 z = y 1-n ，则 dz = (1 - n ) y -n dy ，可将伯努力方程化成一阶线性非齐次或一阶线性齐次 dx 6、全微分方程 若?M ?y 若 ?M ?y dx = ?N ，则u (x , y ) = C ，（留意书上公式） ?x ≠ ?N ，则找积分因子，（留意书上公式） ?x f (x f ( y , （二）毕卡序列 x y 1 y 0 0 x f (x , y 0 )dx ， y 2 y 0 0 x f (x , y 1 )dx ， y 3 y 0 0 f (x , y 2 )dx ，其余类推 （三）常系数方程 1、常系数齐次L (D ) y = 0 方法：特征方程 7、可降阶的二阶微分方程 d 2 y = , dy ) ，令 dy = d 2 y p ,则 = dy dx 2 d 2 y = dx dy ) ，令 dx dy = p ,则 dx 2 d 2 y dx = p dp dx 2 dx dx dx 2 dy 8、正交轨线族

? ? dy 单的实根, ， y = C e 1x + C e 2 x 1 2 1 2 单的复根1, 2 = ± i ， y = e x (C cos x + C 2 sin x ) 重的实根 = = ， y = (C + C x )e x 1 2 1 2 重的复根1, 2 = ± i ，3, 4 = ± i ， y = e x [(C + C 2 x ) c os x + (C 3 + C 4 x ) sin x ] 2、常系数非齐次L (D ) y = 方法：三部曲。 f (x ) 第一步求L (D ) y = 0 的通解Y 第二步求L (D ) y = f (x ) 的特解 y * 第三步求L (D ) y = f (x ) 的通解 y = Y + y * 如何求 y * ？ 当 f (x ) = P m (x )e x 时， y * = x k Q (x )e x 当 f (x ) = P m (x )e ux cos vx + Q (x )e ux sin vx 时， y * = x k e ux (R (x ) cos vx + S m (x ) sin vx ) 当 f (x ) 是一般形式时， y * = ? x W (x ,) f ()d ，其中 W(.)是郎斯基行列式 x 0 W () （四）常系数方程组 方法：三部曲。 第一步求 dX dt = A (t ) X 的通解， Φ(t )C 。利用特征方程 A - I = 0 ，并分情况讨论。 第二步求 dX dt 第三步求 dX dt = A (t ) X + f (t ) 的特解， Φ(t )?Φ-1 (s ) f (s )ds ，（定积分与不定积分等价） = A (t ) X + f (t ) 的通解， Φ(t )C + Φ(t )?Φ-1 (s ) f (s )ds （五）奇点与极限环 ? dx = ax + b y dt ? ? = cx + dy 1、分析方程组? dt 的奇点的性质，用特征方程： A - I = 0 特征方程的根有 3 种情况：相异实根、相异复根、相同实根。第一种情况：相异实根，1 ≠ 2 1 1 m m m

常微分方程期末试题B答案

2005——2006学年第二学期 常微分方程课程试卷（B） 一、填空题（每空2 分，共16分）。 1．李普希滋条件是初值问题存在唯一解的充分条件． 2. 一阶微分方程的一个特解的图像是二 维空间上的一条曲线． 3．线性齐次微分方程组Y A Y ) ( d d x x =的一个基本解组的个数不能多于n个，其中R ∈ x，n R Y∈． 4．二阶线性齐次微分方程的两个解) ( 1 x y? =,) ( 2 x y? =成为其基本解组的充要条件是线性无关． 5．方程2 sin() y xy y '' =+的通解是 6．变量可分离方程()()()()0= +dy y q x p dx y N x M的积分因子是()() x P y N 1 7．性齐次微分方程组的解组) ( , ), ( ), ( 2 1 x x x n Y Y Y 为基本解组的充分必要条件是它们的朗斯基行列式0 ) (≠ x W． 8．方程540 y y y ''' ++=的基本解组是x x e e4 ,- - 二、选择题（每小题3 分，共15分）。 9．两个不同的线性齐次微分方程组（ D ）的基本解组． (A) 一定有相同(B) 可能有相同 (C) 一定有相似(D) 没有相同 10．方程组 ? ? ? ?? ? ? + = + = y x t y y x t x 4 3 d d 2 d d 的奇点)0,0(的类型是（D ）． （A）稳定焦点（B）不稳定焦点（C）鞍点（D）不稳定结点11．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（ C ）． (A) 1± = x(B)1± = y

(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）． （A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间 （C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间 13．方程4d d +-=x y x y （ A ）奇解． (A) 无 (B) 有一个 (C) 有两个 (D) 可能有 三、计算题（每小题8分，共48分） 。 14．求方程 x y x y x y tan d d +=的通解 解：令x y u =，则u x u y '+='， u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时，等号两边积分 1d tan d C x x u u +=?? C x u ln ln sin ln += 0≠C Cx x y =sin 15．求方程0d d )1(2=+--y x x y x 的通解 解：积分因子21)(x x =μ， 则 0d 1d 122=+--y x x x y x 为全微分方程．取10=x ，00=y ，于是通积分为 1012 2d d 1C y x x y x y x =+--?? 即 C x x x y =++1 16．求方程2221)(x y x y y + '-'=的通解 解:令 p y ='，得到2 2 2x xp p y +-= （*） ，两端同时关于求导，

常微分方程和偏微分方程的数值解法教学大纲

上海交通大学致远学院 《常微分方程和偏微分方程的数值解法》教学大纲 一、课程基本信息 课程名称（中文）：常微分方程和偏微分方程的数值解法 课程名称（英文）：Numerical Methods for Ordinary and Partial Differential Equations 课程代码：MA300 学分 / 学时：4学分 / 68学时 适用专业：致远学院与数学系相关专业 先修课程：偏微分方程，数值分析 后续课程：相关课程 开课单位：理学院数学系计算与运筹教研室 Office hours: 每周二19：00—21：00，地点：数学楼1204 二、课程性质和任务 本课程是致远学院和数学系应用数学和计算数学方向的一门重要专业基础课程，其主要任务是通过数学建模、算法设计、理论分析和上机实算“四位一体”的教学方法，使学生掌握常微分方程与偏微分方程数值解的基本方法、基本原理和基本理论，进一步提升同学们利用计算机解决实际问题的能力。在常微分方程部分，将着重介绍常微分方程初值问题的单步法，含各类Euler方法和Runge-Kutta方法，以及线性多步法。将简介常微分方程组和高阶常微分方程的数值方法。在偏微分方程部分，将系统介绍求解椭圆、双曲、抛物型方程的差分方法的构造方法和理论分析技巧，对于椭圆型方程的边值问题将介绍相应变分原理与有限元方法。将在课堂上实时演示讲授的核心算法的计算效果，以强调其直观效果与应用性。本课程重视实践环节建设，学生要做一定数量的大作业。 三、教学内容和基本要求 第一部分：常微分方程数值解法 1 引论 1.1回顾：一阶常微分方程初值问题及解的存在唯一性定理

常微分方程的大致知识点

常微分方程的大致知识点Last revision on 21 December 2020

常微分方程的大致知识点 （一）初等积分法 1、线素场与等倾线 2、可分离变量方程 3、齐次方程（一般含有x y y x 或的项） 4、一阶线性非齐次方程 常数变易法，或])([)()(?+??=-C dx e x b e y dx x a dx x a 5、伯努力方程 令n y z -=1，则dx dy y n dx dz n --=)1(，可将伯努力方程化成一阶线性非齐次或一阶线性齐次 6、全微分方程 若x N y M ??=??，则C y x u =),(，（留意书上公式） 若 x N y M ??≠??，则找积分因子，（留意书上公式） 7、可降阶的二阶微分方程 ),(22dx dy x f dx y d =，令dx dy dx y d p dx dy ==22,则 ),(22dx dy y f dx y d =，令dy dp p dx y d p dx dy ==22,则 8、正交轨线族 （二）毕卡序列 ?+=x x dx y x f y y 0),(001，?+=x x dx y x f y y 0),(102，?+=x x dx y x f y y 0),(203，其余类推 （三）常系数方程 1、常系数齐次0)(=y D L 方法：特征方程 单的实根21,λλ，x x e C e C y 2121λλ+= 单的复根i βαλ±=2,1，)sin cos (21x C x C e y x ββα+= 重的实根λλλ==21，x e x C C y λ)(21+= 重的复根i βαλ±=2,1，i βαλ±=4,3，]sin )(cos )[(4321x x C C x x C C e y x ββα+++=

常微分方程习题集

《常微分方程》测试题1 一、填空题30% 1、形如的方程，称为变量分离方程， 这里.分别为的连续函数。 2、形如-的方程，称为伯努利方程， 这里的连续函数.n 3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上 关于满足利普希兹条件。 4、形如-的方程，称为 欧拉方程，这里 5、设的某一解，则它的任一解 - 。 二、计算题40% 1、求方程 2、求方程的通解。 3、求方程的隐式解。 4、求方程 三、证明题30% 1.试验证=是方程组x=x,x= ，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。 2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%> 《常微分方程》测试题2

一、填空题：（30%） 1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的 8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与线性无关的另一 10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是. 二、求下列微分方程的通解：（40%） 1、 2、 3、 4、 5、求解方程． 三、求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计. （10分）

四、求解微分方程组 满足初始条件的解. （10%） 五、证明题：（10%） 设，是方程 的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C 《常微分方程》测试题3 1．辨别题 指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%) （1）（2）（3） （4）（5）（6） 2、填空题(8%) （1）．方程的所有常数解是___________. （2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________. （3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是 ________________. （4）.设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________. 3、单选题(14%) （1）．方程是（）.

(整理)常微分方程试题及参考答案

常微分方程试题 一、填空题(每小题3分，共39分) 1.常微分方程中的自变量个数是________. 2.路程函数S(t)的加速度是常数a，则此路程函数S(t)的一般形式是________. 3.微分方程=g( )中g(u)为u的连续函数，作变量变换________，方程可化为变 量分离方程. 4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式 为x= (t),P=ψ(t),t为参数，则方程参数形式的通解为________. 5.方程=(x+1)3的通解为________. 6.如果函数f(x,y)连续，y= (x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上，满 足初始条件 (x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h 上的连续解. 7.方程=x2+xy，满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________. 8.方程+a1(t) +…+a n-1(t) +a n(t)x=0 中a i(t) i=1,2,…，n是〔a,b〕上的连续函数，又x1(t),x2(t),…，x n(t)为方程n 个线性无关的解，则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是：________. 9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________. 10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，x1(t),x2(t),…，x n(t)是方程组 x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为：x(t)=________的形式. 11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 可化为与之 等价的一阶方程组________. 12.如果A是3×3的常数矩阵，-2为A的三重特征值，则方程组x′=Ax的基 解矩阵exp A t=________. 13.方程组 的奇点类型是________. 二、计算题(共45分) 1.(6分)解方程 = . 2.(6分)解方程 x″(t)+ =0. 3.(6分)解方程 (y-1-xy)dx+xdy=0. 4.(6分)解方程

2018年电大第三版常微分方程答案知识点复习考点归纳总结参考

习题1.2 1．dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为：

dx dy =- y x y x +- 令x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -1 12++u u du=x 1 dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令x y =u dx dy =u+ x dx du 211u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e x 3 2 e x 3-3e 2y -=c. 9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为： dx dy =x y ln x y 令 x y =u ,则dx dy =u+ x dx du

《常微分方程》第三次作业

《常微分方程》第三次作业 第3章 一阶线性微分方程组 1．完成定理3.1的证明． 2．完成定理3.1′的证明 3．将下列方程式化为一阶方程组 （1）0)()(=++x g x x f x &&& （2）)(d d d d 22t f kx t x c t x m =++ （3）0)()()(321=+'+''+'''y x a y x a y x a y 4．求解方程组 ?????? ?+=+=y t p x t q t y y t q x t p t x )()(d d )()(d d 其中)(),(t q t p 在[a , b ]上连续． 5．设n n ?矩阵函数)(1t A ，)(2t A 在（a , b ）上连续，试证明，若方程组 X A X )(d d 1t t = 与X A X )(d d 12t t = 有相同的基本解组，则)(1t A ≡)(2t A ． 6．求解下列方程组： （1）???????==y t y x t x 2d d d d （2）???????+=+=x y t y x y t x 54d d 45d d （3）???????+-=+=y x t y y x t x αββαd d d d 7．求解下列方程组： （1）???-=+=x y y y x x 23&& （2）??? ??+-=-+=+-=z y x z z y x y z y x x 222&&& 8．求解下列方程组： （1）???????=+=y t y y x t x 3d d 3d d （2）???? ?????=+=+=333222 11 2d d 2d d 2d d y x y y y x y y y x y （3）?????+=+=2 e 2t x y y x t && （4）???++=++=t y x y t y x x e 823532&&

常微分方程解题方法总结.doc

常微分方程解题方法总结 来源：文都教育 复习过半， 课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍 . 接下来， 如何将零散的知 识点有机地结合起来， 而不容易遗忘是大多数考生面临的问题 . 为了加强记忆， 使知识自成 体系，建议将知识点进行分类系统总结 . 著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴， 他强调读 书要“由薄到厚、由厚到薄”，对同学们的复习尤为重要 . 以常微分方程为例， 本部分内容涉及可分离变量、 一阶齐次、 一阶非齐次、 全微分方程、 高阶线性微分方程等内容， 在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多， 遇到具体的题 目不知该如何下手， 这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法 . 下面以表格的形 式将常微分方程中的解题方法加以总结，一目了然，便于记忆和查询 . 常微分方程 通解公式或解法 ( 名称、形式 ) 当 g( y) 0 时，得到 dy f (x)dx ， g( y) 可分离变量的方程 dy f ( x) g( y) 两边积分即可得到结果； dx 当 g( 0 ) 0 时，则 y( x) 0 也是方程的 解 . 解法：令 u y xdu udx ，代入 ，则 dy 齐次微分方程 dy g( y ) x dx x u g (u) 化为可分离变量方程 得到 x du dx 一 阶 线 性 微 分 方 程 P ( x)dx P ( x) dx dy Q(x) y ( e Q( x)dx C )e P( x) y dx

伯努利方程 解法：令 u y1 n，有 du (1 n) y n dy ， dy P( x) y Q( x) y n（n≠0,1）代入得到du (1 n) P(x)u (1 n)Q(x) dx dx 求解特征方程：2 pq 三种情况： 二阶常系数齐次线性微分方程 y p x y q x y0 二阶常系数非齐次线性微分方程 y p x y q x y f ( x) (1)两个不等实根：1, 2 通解： y c1 e 1x c2 e 2x (2) 两个相等实根：1 2 通解： y c1 c2 x e x (3) 一对共轭复根：i , 通解： y e x c1 cos x c2 sin x 通解为 y p x y q x y 0 的通解与 y p x y q x y f ( x) 的特解之和. 常见的 f (x) 有两种情况： x （ 1）f ( x)e P m ( x) 若不是特征方程的根，令特解 y Q m ( x)e x；若是特征方程的单根，令特 解 y xQ m ( x)e x；若是特征方程的重根， 令特解 y*x2Q m (x)e x； （2）f (x) e x[ P m ( x) cos x p n ( x)sin x]

2018常微分方程考研复试真题及答案

常微分方程计算题 2.指出下列方程中的阶数，是线性方程还是非线性方程，并说明理由； （1） t 2 2 2dt u d +t dt du +( t 2 -1)u=0 （2） dx dy =x 2+y 2 ; （3）dx dy + 2 x y =0 3.求曲线族y=C 1e x +C 2x e x 所满足的微分方程 4．验证函数y= C 1e x 2+ C 2e x 2-是微分方程y `` -4y=0的解，进一步验证它是通解。 5.试用一阶微分方程形式不变性求解方程dx dy =2x 6.什么叫积分一个微分方程 7．什么是求解常微分方程的初等积分法 8．分离变量一阶方程的特征是什么 9．求下列方程的通解 （1） y ` ＝sinx （2） x 2 y 2 y ` +1=y （3） tgx dx dy =1+y （4） dx dy =exp(2x-y) （5） dx dy =21y 2- （6） x 2 ydx=(1- y 2 +x-2 x 2 y 2 )dx （7）( x 2 +1)( y 2 -1)dx+xydy=0 10.叙述齐次函数的定义 11．试给出一阶方程y ` ＝f(x,y)或p(x,y)dx+ q(x,y)dy=0为齐次方程的特征。说明二

个方程的关系。 12．求解齐次方程通常用什么初等变换，新旧函数导数关系如何 13．求解下列方程 dx dy ＝2 22y x xy - 14．求解下列方程 （1）（x+2y ）dx —xdy=0 (2) dx dy =x y +y x 2 15. dx dy =22y x xy + 16(x 2 +y 2 )dx —2xydy=0 17. dx dy =5 242+---y x x y 18―――――19 20―――――――27

常微分方程期末试题知识点复习考点归纳总结参考

期末考试 一、填空题（每空2 分，共16分）。 1．方程22d d y x x y +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 2. 方程组 n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 维空间中的一条积分曲线. 3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f x y =初值唯一的 条件． 4．方程组???????=-=x t y y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 5．方程2)(2 1y y x y '+'=的通解是 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ?=,)(2x y ?=成为其基本解组的充要条件是 8．方程440y y y '''++=的基本解组是 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。 9．一阶线性微分方程 d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ ）． （A ）?=x x p d )(e μ （B ）?=x x q d )(e μ （C ）?=-x x p d )(e μ （D ）?=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ ） （A ）可分离变量方程 （B ）线性方程 （C ）全微分方程 （D ）贝努利方程 11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ ）． (A) 1±=x (B)1±=y

(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）． （A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间 （C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间 13．方程222+-='x y y （ ）奇解． （A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无 三、计算题（每小题8分，共48分）。 14．求方程22 2d d x y xy x y -=的通解 15．求方程0d )ln (d 3=++y x y x x y 的通解 16．求方程2 221)(x y x y y +'-'=的通解

秋华师《常微分方程》在线作业

秋华师《常微分方程》在线作业

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奥鹏1７春16秋华师《常微分方程》在线作业 一、单选题（共20 道试题，共60 分。） １. 微分方程ｙ''+y=sinx的一个特解具有形式()。 A. y*=asinx B．y＊＝acosx C．ｙ*=x(ａsiｎｘ＋bcosx) D．y*＝acｏsx+bｓinx 正确答案: 2. y'''+ｓｉnxy＇-ｘ=cｏsx的通解中应含(）个独立常数。 A. １ B. 2 C．3 D. ４ 正确答案： 3．微分方程xyy''+x（y')^3-y^4-ｙ'＝0的阶数是()。 A. 3 B. 4 C. 5 Ｄ. 2 正确答案： ４．微分方程ｙ'''-ｘ^2ｙ'＇-x^5＝１的通解中应含的独立常数的个数为（)。 A. 3 B. 5 C. 4 D． 2 正确答案： 5. 过点(１,3)且切线斜率为2x的曲线方程y=ｙ(x)应满足的关系是（）。 A.y'＝2x B. ｙ''＝２ｘ C. y＇＝2x,y(１)=３ Ｄ. ｙ''＝2x,ｙ(1）＝3 正确答案： ６.方程dy/ｄx=3y（2/３)过点(0，0）有（)． A. 无数个解 B. 只有一个解 C．只有两个解 D．只有三个解

正确答案： ７. 方程y'-２y=0的通解是（)。 A. y＝sinx B. y=4e^(２ｘ) C．ｙ=Ce^(2ｘ) Ｄ．ｙ=ｅ^x 正确答案： 8. 下列函数中,是微分方程y＇'-7y'+1２ｙ＝0的解()。 Ａ. y=ｘ^３ B. y=x^2 C. ｙ=e^(3x) D．y=ｅ^（2x) 正确答案： 9．按照微分方程通解定义,ｙ＇'=sinx的通解是()。 A. -sｉnｘ+C1x+C2 Ｂ. －ｓinx+C1+Ｃ2 Ｃ. siｎx+C１ｘ＋C2 D．ｓinx+C１x+C2 正确答案: 10．方程组dY/ｄx＝F(x,Y),ｘ∈R，Y∈R^n的任何一个解的图象是（）维空间中的一条积分曲线. A. n B.n+１ C．n-1 D. n－２ 正确答案: 1１．下列函数中，哪个是微分方程dｙ-２ｘdx=0的解（)。 A. y=2x Ｂ．y=x^2 C. ｙ=-2x D．y=－x 正确答案： １２. 微分方程cosｙdy=ｓｉnxdx的通解是()。 Ａ. sinｘ+cｏsｘ=C B．ｃosｙ-ｓinx=Ｃ C. cosｘ－siny＝C D.cｏｓx+sinｙ=C 正确答案: 13. 微分方程2ydｙ-ｄx=0的通解为（)。 A. y^2-x=C B. ｙ-x＾(１/2)＝C C. y=x+C D. y＝-x+C 正确答案：

常微分方程应用题和答案

应 用 题（每题10分） 1、设()f x 在(,)-∞∞上有定义且不恒为零，又()f x '存在并对任意,x y 恒有 ()()()f x y f x f y +=，求()f x 。 2、设()()()F x f x g x =，其中函数(),()f x g x 在(,)-∞∞内满足以下条件 ()(),()(),(0)0,()()2x f x g x g x f x f f x g x e ''===+= （1）求()F x 所满足的一阶微分方程； （2）求出()F x 的表达式。 3、已知连续函数()f x 满足条件320 ()3x x t f x f dt e ??=+ ??? ?，求()f x 。 4、已知函数()f x 在(0,)+∞内可导，()0,lim ()1x f x f x →+∞ >=，且满足 1 1 0()lim ()h x h f x hx e f x →? ?+ ?= ? ?? ? ，求()f x 。 5、设函数()f x 在(0,)+∞内连续，5 (1)2 f =，且对所有,(0,)x t ∈+∞，满足条件 1 1 1 ()()()xt x t f u du t f u du x f u du =+? ??，求()f x 。 6、求连续函数()f x ，使它满足10 ()()sin f tx dt f x x x =+?? 。 7、已知可微函数()f t 满足 31() ()1()x f t dt f x t f t t =-+?，试求()f x 。 8、设有微分方程 '2()y y x ?-=， 其中21 ()01x x x ?? 。试求在(,)-∞∞内的连续函 数()y y x =使之在(,1)-∞和()1,+∞内部满足所给方程，且满足条件(0)0y =。 9、设位于第一象限的曲线()y f x = 过点122?? ? ? ?? ，其上任一点(,)P x y 处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分。 （1）求曲线()y f x =的方程； （2）已知曲线sin y x =在[0,]π上的弧长为l ，试用l 表示曲线()y f x =的弧长s 。 10、求微分方程(2)0xdy x y dx +-=的一个解()y y x =，使得由曲线()y y x =与直线 1,2x x ==以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小。 11、设曲线L 位于xOy 平面的第一象限内，L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交，交点记为

常微分方程边值问题的数值解法

第8章 常微分方程边值问题的数值解法 引 言 第7章介绍了求解常微分方程初值问题的常用的数值方法；本章将介绍常微分方程的边值问题的数值方法。 只含边界条件(boundary-value condition)作为定解条件的常微分方程求解问题称为常微分方程的边值问题(boundary-value problem). 为简明起见，我们以二阶边值问题为 则边值问题(8.1.1)有唯一解。 推论 若线性边值问题 ()()()()()(),, (),()y x p x y x q x y x f x a x b y a y b αβ'''=++≤≤?? ==? (8.1.2) 满足 (1) (),()p x q x 和()f x 在[,]a b 上连续； (2) 在[,]a b 上, ()0q x >, 则边值问题(8.1.1)有唯一解。 求边值问题的近似解，有三类基本方法： (1) 差分法(difference method)，也就是用差商代替微分方程及边界条件中的导数，最终化为代数方程求解； (2) 有限元法(finite element method)；

(3) 把边值问题转化为初值问题，然后用求初值问题的方法求解。 差分法 8.2.1 一类特殊类型二阶线性常微分方程的边值问题的差分法 设二阶线性常微分方程的边值问题为 (8.2.1)(8.2.2) ()()()(),,(),(), y x q x y x f x a x b y a y b αβ''-=<