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北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形综合练习题(含答案,教师版)

北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形综合练习题

1.如图，以正方形ABCD的顶点A为坐标原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，对角线AC与BD相交于点E，P为BC上一点，点P坐标为(a，b)，则点P绕点E顺时针旋转90°得到的对应点P′的坐标是(D)

A．(a－b，a) B．(b，a) C．(a－b，0) D．(b，0)

2.如图，菱形ABCD边长为6，∠BAD＝120°，点E，F分别在AB，AD上且BE＝AF，

则EF的最小值为(A)．

A．B．．D

3.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，

将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C

4.如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A′

B′D′，分别连接A′C，A′D，B′C，则A′C＋B′C

5.菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(2，0)，∠DOB＝60°，点P是对

角线OC上一个动点，E(0，－1)，当EP＋BP最短时，点P

6.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，并且OA ＝5，OC ＝3.若把矩形OABC 绕着点O 逆时针旋转，使点A 恰好落在BC 边上的A 1处，则点C 的对应点C 1的坐标为(－95，12

)．

7.如图，∠MON ＝90°，矩形ABCD 的顶点A ，B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB ＝4，BC ＝1，在运动过程中，点

D 到点O

8.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，点E 是AD 的中点，点F 是AB 上一动点．将△AEF 沿直线EF 折叠，点A 落在点A ′处．在EF 上任取一点G ，连接GC ，GA ′，CA ′，则

△CGA ′周长的最小值为

9.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BD 为AC 的中线，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG ＝BD ，连接BG ，DF.

(1)求证：四边形BDFG 为菱形；

(2)若AG ＝13，CF ＝6，则四边形BDFG 的周长为20．

证明：∵∠ABC ＝90°，BD 为AC 的中线， ∴BD ＝12AC.

∵AG ∥BD ，BD ＝FG ，

∴四边形BDFG 是平行四边形．

∵CF ⊥BD ，∴CF ⊥AG.

又∵点D 是AC 中点，∴DF ＝1

2AC.∴BD ＝DF.

∴四边形BDFG 是菱形．

10.如图，E ，F 分别是矩形ABCD 的边AD ，AB 上的点，EF ＝EC ，且EF ⊥EC. (1)求证：AE ＝DC ； (2)若DC ＝2，则BE ＝2．

证明：在矩形ABCD 中， ∠A ＝∠D ＝90°， ∴∠EFA ＋∠AEF ＝90°. ∵EF ⊥EC ，∴∠FEC ＝90°. ∴∠AEF ＋∠CED ＝90°. ∴∠EFA ＝∠CED. 在△AEF 和△DCE 中， ????

?∠A ＝∠D ，∠EFA ＝∠CED ，EF ＝CE ，

∴△AEF ≌△DCE(AAS)． ∴AE ＝DC.

11.已知：在矩形ABCD 中，BD 是对角线，AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F. (1)如图1，求证：AE ＝CF ；

(2)如图2，当∠ADB ＝30°时，连接AF ，CE ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图

2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD 面积的1

解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，AD ∥BC. ∴∠ABE ＝∠CDF. ∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ， ∴∠AEB ＝∠CFD ＝90°.

在△ABE 和△CDF 中，????

?∠ABE ＝∠CDF ，∠AEB ＝∠CFD ，AB ＝CD ，

∴△ABE ≌△CDF(AAS)．∴AE ＝CF. (2)S △ABE ＝S △CDF ＝S △BCE ＝S △ADF ＝1

S 矩形ABCD .

12.如图，在四边形ABCD 中，BC ∥AD ，BC ＝1

2AD ，点E 为AD 的中点，点F 为AE 的中点，AC

⊥CD ，连接BE ，CE ，CF.

(1)判断四边形ABCE 的形状，并说明理由；

(2)如果AB ＝4，∠D ＝30°，点P 为BE 上的动点，求△PAF 周长的最小值．

解：(1)四边形ABCE 是菱形，理由如下： ∵点E 是AD 的中点， ∴AE ＝12

AD.

∵BC ＝1

AD ，∴AE ＝BC.

∵BC ∥AD ，∴四边形ABCE 是平行四边形． ∵AC ⊥CD ，点E 是AD 的中点，∴CE ＝AE ＝DE. ∴四边形ABCE 是菱形． (2)∵四边形ABCE 是菱形．

∴AE ＝EC ＝AB ＝4，点A ，C 关于BE 对称．

∵点F是AE的中点，∴AF＝1

AE＝2.

∴当PA＋PF最小时，△PAF的周长最小，

即点P为CF与BE的交点时，△PAF的周长最小．

此时△PAF的周长为PA＋PF＋AF＝CF＋AF.

∵CE＝DE，

∴∠ECD＝∠D＝30°，∠ACE＝90°－30°＝60°.

∴△ACE是等边三角形．∴AC＝AE＝CE＝4.

∵AF＝EF，∴CF⊥AE.

∴CF＝AC2－AF2＝2 3.

△PAF周长的最小值为CF＋AF＝23＋2.

13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D 作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于点E，连接CD，BE.

(1)求证：CE＝AD；

(2)当D为AB的中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明你的理由；

(3)若D为AB的中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形CDBE是正方形？请说明你的理由．

解：(1)证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°.

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACB＝∠DFB.

∴AC∥DE.

∵MN∥AB，即CE∥AD，

∴四边形ADEC是平行四边形．

∴CE＝AD.

(2)四边形CDBE是菱形．理由：

∵D为AB的中点，∴AD＝BD.

∵CE＝AD，∴BD＝CE.

∵BD∥CE，∴四边形CDBE是平行四边形．

∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝BD.

∴四边形CDBE是菱形．

(3)当∠A＝45°时，四边形CDBE是正方形．理由：

∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，

∴∠ABC＝∠A＝45°.∴AC＝BC.

∵D为AB的中点，∴CD⊥AB.∴∠CDB＝90°.

又∵四边形CDBE是菱形，

∴四边形CDBE是正方形．

14.如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连接EC，连接AP并延长交CD于点F，连接BP，交CE于点H.

(1)若∠PBA∶∠PBC＝1∶2，判断△PBC的形状，并说明理由；

(2)求证：四边形AECF为平行四边形．

解：(1)△PBC是等边三角形，理由如下：

在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，

∵∠PBA∶∠PBC＝1∶2，

∴∠PBC＝60°.

由折叠的性质，得PC＝BC.

∴△PBC是等边三角形．

(2)证明：由折叠的性质，得△EBC≌△EPC.

∴BE＝PE.∴∠EBP＝∠EPB.

∵E为AB的中点，∴BE＝AE.

∴AE ＝PE.∴∠EPA ＝∠EAP.

∵∠EBP ＋∠EPB ＋∠EPA ＋∠EAP ＝180°， ∴∠EPB ＋∠EPA ＝90°. ∴∠BPA ＝90°，即BP ⊥AF.

由折叠的性质，得BP ⊥CE ，∴AF ∥CE. ∵四边形ABCD 是矩形，∴AE ∥CF. ∴四边形AECF 为平行四边形．

15.如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N.

(1)求证：CM ＝CN ；

(2)若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3∶1，求MN

的值．

解：(1)证明：由折叠的性质，得∠ENM ＝∠DNM ，又∵∠ANE ＝∠CND ， ∴∠ANM ＝∠CNM. ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC. ∴∠ANM ＝∠CMN. ∴∠CMN ＝∠CNM. ∴CM ＝CN.

(2)过点N 作NH ⊥BC 于点H ，则四边形NHCD 是矩形， ∴HC ＝DN ，NH ＝DC. ∵S △CMN S △CDN ＝1

2MC ·NH

ND ·NH ＝MC ND

＝3，

∴MC＝3ND＝3HC.

∴MH＝2HC.

设DN＝x，则HC＝x，MH＝2x.

∴CM＝CN＝3x.

在Rt△CDN中，DC＝CN2－DN2＝22x. 在Rt△MNH中，MN＝MH2＋HN2＝23x.

∴MN

＝

23x

＝2 3.

16.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，DE＝EF，过点D作DG⊥EF于点H，交AB边于点G.

(1)如图1，求证：DE＝DG；

(2)如图2，将EF绕点E逆时针旋转90°得到EK，点F对应点K，连接KG，EG.若H为DG的中点，在不添加任何辅助线及字母的情况下，请直接写出图中所有与EG长度相等的线段(不包括EG)．

解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝DC，AD∥BC，∠DAG＝∠DCE＝90°.

∴∠DEC＝∠EDF.

∵DE＝EF，∴∠EFD＝∠EDF.

∴∠EFD＝∠DEC.

∵DG⊥EF，∴∠GHF＝90°.

∴∠DGA＋∠AFH＝180°.

∵∠AFH＋∠EFD＝180°，

∴∠DGA＝∠EFD＝∠DEC.

在△DAG和△DCE中，

????

?∠DGA ＝∠DEC ，∠DAG ＝∠DCE ，DA ＝DC ，

∴△DAG ≌△DCE(AAS)． ∴DG ＝DE.

(2)与线段EG 相等的线段有：DE ，DG ，GK ，KE ，EF.

17.如图，BD 是正方形ABCD 的对角线，线段BC 在其所在的直线上平移，将平移得到的线段记为PQ ，连接PA ，过点Q 作QO ⊥BD ，垂足为O ，连接OA ，OP.

(1)如图1所示，求证：AP ＝2OA ；

(2)如图2所示，PQ 在BC 的延长线上，如图3所示，PQ 在BC 的反向延长线上，猜想线段AP ，OA 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BC ，∠ABD ＝∠CBD ＝45°. ∵QO ⊥BD ，∴∠BOQ ＝90°. ∴∠BQO ＝∠CBD ＝45°.∴OB ＝OQ. ∵PQ ＝BC ，∴AB ＝PQ.

在△ABO 和△PQO 中，????

?OB ＝OQ ，∠ABO ＝∠PQO ，AB ＝PQ ，

∴△ABO ≌△PQO(SAS)． ∴OA ＝OP ，∠AOB ＝∠POQ. ∵∠BOP ＋∠POQ ＝90°，

∴∠BOP ＋∠AOB ＝90，即∠AOP ＝90°. ∴△AOP 是等腰直角三角形． ∴AP ＝2OA.

(2)当PQ在BC的延长线上时，线段AP，OA之间的数量关系为AP＝2OA；当PQ在BC的反向延长线上时，线段AP，OA之间的数量关系为AP＝2OA.

北师大版九年级数学上册知识点总结

北师大版初中数学知识点汇总九年级(上册) 班级姓名第一章证明(二) 1、三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、 2、等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”） 3、等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。含30度的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 4、直角三角形（1）勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。（2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。（3）直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 5、线段的垂直平分线（1）线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。（2）三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 6、角平分线（1）角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。

北师大版数学九年级上册知识点归纳

北师大版《数学》（九年级上册）知识点归纳第一章证明（二）一、公理（1）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS ”）。（2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS ”）。（3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA ”）。（4）全等三角形的对应边相等、对应角相等。推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS ”）。二、等腰三角形 1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。等腰三角形的其他性质： ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45° ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。 ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2 b